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第5講　小專題:動力學中的傳送帶模型
考點一　水平傳送帶中的動力學問題
1.傳送帶模型問題的兩個關鍵分析
受力 分析 (1)摩擦力方向的判斷:①同向“以快帶慢”;②反向“互相阻礙”。 (2)共速時摩擦力可能突變:①滑動摩擦力突變為零;②滑動摩擦力突變為靜摩擦力;③摩擦力方向突變
運動 分析 (1)參考系的選擇:①研究物體的速度、位移、加速度時均以地面為參考系;②研究物體的滑行痕跡等一般以傳送帶為參考系。 (2)判斷共速以后物體是否能與傳送帶保持相對靜止。 (3)判斷物體在達到共速之前是否滑出傳送帶
2.水平傳送帶的幾種情況
(條件:傳送帶以速度v勻速運行,滑塊的初速度為v0)
情境 滑塊的運動情況
傳送帶不夠長 傳送帶足夠長
一直勻加速 先勻加速后勻速
續　表
情境 滑塊的運動情況
傳送帶不夠長 傳送帶足夠長
v0v0>v時,一直勻減速 v0>v時,先勻減速再勻速
滑塊一直 勻減速 滑塊先勻減速到速度為零,后被傳送帶傳回左端: (1)若v0v,返回到左端時速度為v
[例1] 【水平傳送帶】 如圖所示,水平固定放置的傳送帶在電機的作用下一直保持速度v=4 m/s順時針轉動,兩輪軸心間距L=10 m。一個物塊(視為質點)以速度v0=8 m/s從左輪的正上方水平向右滑上傳送帶,經過t=2 s物塊離開傳送帶,重力加速度g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] 物塊在傳送帶上一直做勻減速直線運動
[B] 物塊在傳送帶上做勻減速運動的時間為1.5 s
[C] 物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為0.4
[D] 物塊在傳送帶上留下的劃痕長為6 m
【答案】 C
【解析】 假設物塊在傳送帶上一直做勻減速直線運動,設加速度的大小為a,L=v0t-at2,解得a=3 m/s2,離開傳送帶時物塊的速度為v1=v0-at=2 m/s<4 m/s,假設不成立,故物塊在傳送帶上先做勻減速直線運動,再與傳送帶共速做勻速直線運動,最后從右端離開,A錯誤;設物塊在傳送帶上做勻減速運動的時間為t1,則與傳送帶一起勻速運動的時間為2 s-t1,L=t1+v×(2 s-t1),解得t1=1 s,B錯誤;根據加速度的定義式可得a== m/s2=4 m/s2,由牛頓第二定律可得μmg=ma,解得μ=0.4,物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為0.4,C正確;物塊與傳送帶的相對位移大小即劃痕長度為Δx=v0t1-a-vt1=2 m,物塊在傳送帶上留下的劃痕長為2 m,D錯誤。
[提升] 【水平加速傳送帶】 在[例1]中,若物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ。初始時,傳送帶與物塊都是靜止的,現讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動,當其速度達到v0后,便以此速度做勻速運動。經過一段時間,物塊在傳送帶上留下了一段痕跡后,物塊相對于傳送帶不再滑動。求此痕跡的長度。
【答案】
【解析】 依題意知,a0>=μg,即傳送帶的加速度大于物塊的加速度,由運動學公式可得,傳送帶達到勻速所用時間t1=,物塊達到與傳送帶相對靜止的時間t2=,
根據以上分析,物塊與傳送帶的vt圖線分別如圖中直線OB和折線OAB所示。
因vt圖線和t軸所圍圖形的面積表示位移,則△OAB的面積即為二者間的相對位移,即痕跡的長度。由幾何知識得l=(t2-t1)v0=(-)v0,
整理得l=。
(1)傳送帶問題中物體所受摩擦力的“地位”。
①物體與傳送帶運動方向相同時,若v物v帶,摩擦力為阻力,物體減速。
②物體與傳送帶運動方向相反時,摩擦力先為阻力,物體減速到零再為動力,物體反向加速運動。
③當v物=v帶時,摩擦力發生突變,物體的加速度發生突變。
(2)求解“劃痕”問題。
物體與傳送帶的劃痕長度Δx等于物體與傳送帶的相對位移的大小,即等于兩者對地的位移之差的絕對值,即Δx=|x帶-x物|。
[例2] 【傳送帶與動力學圖像的結合】 (2024·江蘇鎮江聯考)如圖所示,水平方向的傳送帶順時針轉動,傳送帶速度大小恒為v=2 m/s,兩端A、B間距離為3 m,一物塊從B端以初速度v0=4 m/s滑上傳送帶,物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.4,g取10 m/s2。物塊從滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中,速度隨時間變化的圖像是下列選項圖中的(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 物塊先向左做勻減速運動,加速度大小a=μg=4 m/s2,經過t1==1 s速度減小到零,此時向左運動的位移x1=v0t1-a=2 m<3 m,物塊沒有到達傳送帶A端,因此接下來物塊向右加速運動,加速度大小不變,經t2==0.5 s速度達到2 m/s,與傳送帶的速度相等,這時向右運動的位移x2=a=0.5 m,接下來向右勻速運動,選項B正確。
考點二　傾斜傳送帶中的動力學問題
傾斜傳送帶的幾種情況
(條件:傳送帶以速度v勻速運行,滑塊的初速度為v0)
情境 滑塊的運動情況
傳送帶不夠長 傳送帶足夠長
一直加速(一定滿足關系μ>tan θ) 先加速后勻速(一定滿足關系μ>tan θ)
一直加速(加速度為gsin θ+μgcos θ) 若μ≥tan θ,先加速后勻速
若μv0v0>v時:若μ>tan θ,一直減速,加速度大小為μgcos θ-gsin θ;若μv時:若μ>tan θ,先減速后勻速;若μ(摩擦力方向一定 沿斜面向上) μμ>tan θ,一直減速 μ>tan θ,先減速到速度為零后反向加速再勻速,若v0≤v,則回到原位置時速度大小為v0,若v0>v,則回到原位置時的速度大小為v
[例3] 【傾斜上傳】 (2024·安徽卷,4)傾角為θ的傳送帶以恒定速率v0順時針轉動。t=0時在傳送帶底端無初速輕放一小物塊,如圖所示。t0時刻物塊運動到傳送帶中間某位置,速度達到v0。不計空氣阻力,則物塊從傳送帶底端運動到頂端的過程中,加速度a、速度v隨時間t變化的關系圖線可能正確的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 物塊輕放在傳送帶上,0～t0時間內做加速運動。由受力分析可知,物塊受重力、支持力、滑動摩擦力,滑動摩擦力大于重力沿傳送帶向下的分力,合力不變,加速度不變,做勻加速運動。t0之后,當物塊速度與傳送帶相同時,靜摩擦力與重力沿傳送帶向下的分力相等,加速度突變為零,物塊做勻速直線運動,C正確,A、B、D錯誤。
[例4] 【傾斜下傳】 (2024·江蘇淮安檢測)如圖所示,傳送帶與水平地面的夾角θ=37°,從A到B的長度為L=10.25 m,傳送帶以v0=10 m/s的速率逆時針轉動。在傳送帶上端A無初速度放一個質量為m=0.5 kg 的黑色煤塊(可視為質點),它與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.5,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,煤塊在傳送帶上經過會留下黑色痕跡。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。
(1)判斷當煤塊與傳送帶速度相同時,接下來它們能否相對靜止;
(2)求煤塊從A運動到B的時間;
(3)求煤塊從A到B的過程中在傳送帶上留下痕跡的長度。
【答案】 (1)不能　(2)1.5 s　(3)5 m
【解析】 (1)由于mgsin 37°>μmgcos 37°,所以煤塊與傳送帶速度相同后,它們不能相對靜止。
(2)煤塊剛放上時,受到沿傳送帶向下的摩擦力,由牛頓第二定律得
mgsin θ+μmgcos θ=ma1,
解得加速度大小為 a1=10 m/s2,
煤塊加速運動至與傳送帶速度相同時需要的時間 t1==1 s,
發生的位移 x1=a1=5 m,
煤塊速度達到v0后,加速度大小改變,繼續沿傳送帶向下加速運動,則有
mgsin θ-μmgcos θ=ma2,
解得 a2=2 m/s2,
且 x2=L-x1=5.25 m,
由x2=v0t2+a2,得 t2=0.5 s,
故煤塊從A運動到B的時間為t=t1+t2=1.5 s。
(3)第一過程痕跡長 Δx1=v0t1-x1=5 m,
第二過程痕跡長 Δx2=x2-v0t2=0.25 m,
Δx2與Δx1部分重合,故痕跡總長為5 m。
對點1.水平傳送帶中的動力學問題
1.(4分)(2024·貴州黔西聯考)如圖,水平傳送帶勻速順時針轉動,速度大小v1=2 m/s,A、B兩輪間的距離L為4 m,在右端一物塊以v2=3 m/s的速度滑上傳送帶,物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.2,g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　　)
[A] 物塊能滑過B輪
[B] 物塊經t=2 s速度減為零
[C] 物塊返回到A輪時的速度大小仍是3 m/s
[D] 物塊在傳送帶上滑動時加速度的大小是2 m/s2
【答案】 D
【解析】 物塊向左運動時,受到的滑動摩擦力向右,產生的加速度大小為a==2 m/s2,物塊向左運動速度減小到零時所用時間為t==1.5 s,通過的位移大小為x==2.25 m2.(6分)(多選)快遞分揀站利用傳送帶可以大幅提高分揀效率,其過程可以簡化為如圖所示,水平傳送帶長為L,以一定的速度v2=8 m/s順時針勻速運行,工作人員以一定的初速度v1將快遞箱推放到傳送帶左端。若快遞箱被從左端由靜止釋放,到達右端過程中加速時間和勻速時間相等,快遞箱可視為質點,快遞箱與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.4,g取10 m/s2,則(　　)
[A] 傳送帶長L為24 m
[B] 若v1=0,全程快遞箱在傳送帶上留下的痕跡長為4 m
[C] 若v1=v2,則全程快遞箱的路程與傳送帶的路程之比為12∶13
[D] 若v1=0,將傳送帶速度增大為原來的2倍,則快遞箱先勻加速運動再勻速運動
【答案】 AC
【解析】 當v1=0時,根據牛頓第二定律知,快遞箱加速時加速度a==μg=4 m/s2,快遞箱加速過程的位移x1==8 m,快遞箱勻速過程位移x2=v2·=16 m,所以傳送帶總長L=24 m,則痕跡長Δx=x2-x1=8 m,故A正確,B錯誤;如果v1=v2,快遞箱加速時間t1==1 s,加速位移x1′==6 m,勻速時間t2==2.25 s,在此期間傳送帶勻速位移x=v2(t1+t2)=26 m,所以兩者路程之比為L∶x=12∶13,故C正確;如果傳送帶速度加倍,則快遞箱加速時間t1′==4 s,加速位移x1″==32 m,大于24 m,所以快遞箱一直勻加速運動,故D錯誤。
對點2.傾斜傳送帶中的動力學問題
3.(4分)如圖甲所示,MN是一段傾角為θ=30°的傳送帶,一個可以看作質點、質量為m=1 kg的物塊,以沿傳送帶向下的速度v0=4 m/s從M點開始沿傳送帶運動。物塊運動過程的部分vt圖像如圖乙所示,g取10 m/s2,則(　　)
[A] 物塊最終從傳送帶N點離開
[B] 物塊將在4.8 s時回到原處
[C] 物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為
[D] 傳送帶的速度v=1 m/s,方向為逆時針
【答案】 C
【解析】 由題圖乙可知,物塊速度減為零后反向向上運動,最終的速度大小為1 m/s,因此物塊沒從N點離開,物塊最終與傳送帶共速,所以傳送帶沿順時針方向運動,速度大小為1 m/s,故A、D錯誤;vt圖像中的斜率表示加速度,可知物塊沿傳送帶下滑時的加速度大小為a= m/s2=2.5 m/s2,根據牛頓第二定律可得a=,聯立解得物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=,故C正確;物塊沿傳送帶向下減速到速度為零所用時間為t1==1.6 s,物塊沿傳送帶向下減速通過的位移大小為x1=t1=3.2 m,物塊反向向上加速到與傳送帶共速所用時間為t2==0.4 s,物塊反向向上加速通過的位移大小為x2=t2=0.2 m,則物塊與傳送帶共速后繼續向上運動回到原處所用時間為t3==3 s,則物塊從滑上傳送帶到回到原處所用時間為t=t1+t2+t3=5 s,故B錯誤。
4.(6分)(2024·江西南昌二模)(多選)如圖所示,一傳送帶傾斜放置,以恒定速率v順時針轉動。t=0時刻一物塊以初速度v0從A端沖上傳送帶,t=t0時刻離開傳送帶,則物塊速度隨時間變化的圖像可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 對物塊受力分析可知,物塊受到重力、摩擦力和支持力。設最大靜摩擦力大小為Fm,重力沿傳送帶向下的分力為mgsin θ。若v0v,物塊先做勻減速運動,加速度a1=gsin θ+μgcos θ,與傳送帶共速后,若Fm5.(8分)機場地勤工作人員利用傳送帶從飛機上卸行李。如圖所示,以恒定速率v1=0.6 m/s運行的傳送帶與水平面間的夾角θ=37°,轉軸間距L=3.95 m。工作人員沿傳送方向以速度v2=1.6 m/s從傳送帶頂端推下一件小包裹(可視為質點)。小包裹與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.8。重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小包裹相對傳送帶滑動時加速度的大小a;
(2)小包裹通過傳送帶所需的時間t。
【答案】 (1)0.4 m/s2　(2)4.5 s
【解析】 (1)小包裹的速度v2大于傳送帶的速度v1,所以小包裹受到傳送帶的摩擦力沿傳送帶向上,根據牛頓第二定律可知μmgcos θ-mgsin θ=ma,
解得a=0.4 m/s2。
(2)根據(1)可知小包裹開始階段在傳送帶上做勻減速直線運動,用時t1==2.5 s,
在傳送帶上滑動的距離為x1=t1=2.75 m,
因為小包裹所受滑動摩擦力大于重力沿傳送帶方向上的分力,即μmgcos θ>mgsin θ,所以小包裹與傳送帶共速后做勻速直線運動至傳送帶底端,勻速運動的時間為t2==2 s,
所以小包裹通過傳送帶的時間為t=t1+t2=4.5 s。
6.(6分)(多選)如圖甲所示,水平放置的傳送帶在電機的作用下以v2=4 m/s的速度順時針轉動,兩輪軸心間距為L=5 m。質量為m=0.5 kg的物塊(可視為質點),從左輪的正上方以速度v1水平向右滑上傳送帶后物塊與傳送帶的vt圖像如圖乙所示,經過時間t0從右輪的正上方離開傳送帶,物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.2,重力加速度g取10 m/s2,物塊在傳送帶上運動的過程中,下列說法正確的是(　　)
[A] 物塊在傳送帶上運動時先受滑動摩擦力再受靜摩擦力
[B] 物塊在傳送帶上運動的時間為t0=1 s
[C] 物塊滑上傳送帶的速度v1=6 m/s
[D] 物塊與傳送帶之間的相對位移大小為Δx=1 m
【答案】 BCD
【解析】 由題圖乙可知物塊在傳送帶上運動的過程中,始終做勻減速運動,對其受力分析可知,物塊在傳送帶上運動時始終受滑動摩擦力的作用,故A錯誤;物塊在傳送帶上運動的過程中,以初速度方向為正方向,由牛頓第二定律可得-μmg=ma,物塊在傳送帶上運動的過程中,由勻變速直線運動的規律可得-=2aL,L=t0,聯立解得v1=6 m/s,t0=1 s,故B、C正確;傳送帶的位移為x=v2t0=4 m,物塊與傳送帶之間的相對位移大小為Δx=L-x=1 m,故D正確。
7.(6分)(多選)如圖甲所示,一足夠長的傳送帶傾斜放置,傾角為θ,以恒定速率順時針轉動,一煤塊以初速度v0=12 m/s從A端沖上傳送帶,煤塊的速度隨時間變化的圖像如圖乙所示,g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　　)
[A] 傾斜傳送帶與水平方向夾角的正切值tan θ=0.75
[B] 煤塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0
[C] 煤塊從最高點下滑到A端所用的時間為2 s
[D] 煤塊在傳送帶上留下的痕跡長為(12+4)m
【答案】 AD
【解析】 0～1 s內煤塊的加速度大小為a1=||= m/s2=8 m/s2,根據牛頓第二定律可得mgsin θ+μmgcos θ=ma1,1 s后煤塊的加速度大小為a2=||= m/s2=4 m/s2,根據牛頓第二定律可得mgsin θ-μmgcos θ=ma2,聯立解得θ=37°,μ=0.25,傾斜傳送帶與水平方向夾角的正切值為tan θ=0.75,故A正確,B錯誤;0～1 s煤塊的位移為x1=v0t1-a1=12×1 m-×8×12 m=8 m,1～2 s煤塊的位移為x2=v1t2-a2=4×1 m-×4×12 m=2 m,煤塊下滑的過程中,根據運動學公式有x1+x2=a2,解得煤塊從最高點下滑到A端所用的時間為t3= s,故C錯誤;0～1 s煤塊相對傳送帶向上的位移Δx1=x1-v′t1=(8-4×1)m=4 m,1～2 s煤塊相對傳送帶向下的位移為Δx2=v′t2-x2=4×1 m-2 m=2 m,2～(2+)s煤塊相對傳送帶向下的位移為Δx3=x1+x2+v′t3=8 m+2 m+4 m=(10+4)m,由于Δx2+Δx3>Δx1,煤塊在傳送帶上留下的痕跡長為Δx=Δx2+Δx3=(12+4)m,故D正確。
8.(10分)應用于地鐵的包裹安檢裝置,其傳送包裹部分可簡化為如圖所示的傳送帶示意圖。若安檢時某乘客將可視為質點的包裹靜止放在傳送帶的最左端,傳送帶始終以v0=0.5 m/s的速度順時針勻速運行,包裹與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.05,傳送帶全長l=2 m,包裹傳送到最右端時乘客才能將其拿走,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求包裹在傳送帶上運動的時間;
(2)求當包裹與傳送帶相對靜止時,包裹相對于傳送帶運動的距離;
(3)若乘客將包裹放在傳送帶上后,立即以v=1 m/s 的速度勻速從傳送帶最左端走到傳送帶的最右端,求乘客要想拿到包裹,需要在傳送帶最右端等待的時間。
【答案】 (1)4.5 s　(2)0.25 m　(3)2.5 s
【解析】 (1)設包裹的質量為m,包裹加速階段的加速度大小為a,則由牛頓第二定律可得
μmg=ma,
解得a=0.5 m/s2,
包裹加速到v0所用的時間為t1=,
解得t1=1 s,
t1時間內包裹的位移大小為x1=a,
解得x1=0.25 m,
包裹在傳送帶上勻速運動的時間為t2=,
解得t2=3.5 s,
故包裹在傳送帶上運動的總時間t=t1+t2=4.5 s。
(2)t1時間內傳送帶的位移大小為x2=v0t1,
解得x2=0.5 m,
故包裹相對于傳送帶運動的距離為Δx=x2-x1=0.25 m。
(3)乘客從傳送帶的最左端走到最右端所用的時間為t3==2 s,
故乘客需要在傳送帶最右端等待的時間為Δt=t-t3=2.5 s。
9.(10分)如圖所示為某工廠的貨物傳送裝置,傾斜運輸帶AB(與水平面成α=37°角)與一斜面BC(與水平面成θ=30°角)平滑連接,B點到C點的距離為L=0.6 m,運輸帶運行速度恒為v0=5 m/s,A點到B點的距離為x=4.5 m,現將一質量為m=0.4 kg的小物體輕輕放于A點,物體恰好能到達最高點C點,已知物體與斜面間的動摩擦因數μ1=,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)小物體運動到B點時的速度v的大小;
(2)小物體與運輸帶間的動摩擦因數μ;
(3)小物體從A點運動到C點所經歷的時間t。
【答案】 (1)3 m/s　(2)　(3)3.4 s
【解析】 (1)設小物體在斜面上做勻減速運動的加速度為a1,由牛頓第二定律得
mgsin θ+μ1mgcos θ=ma1,
由運動學公式知v2=2a1L,
聯立解得v=3 m/s。
(2)因為v又因為v2=2a2x,
聯立解得μ=。
(3)小物體從A點運動到B點的時間t1=,
從B點運動到C點的時間t2=,
聯立并代入數據得小物體從A點運動到C點所經歷的時間t=t1+t2=3.4 s。
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考點一　水平傳送帶中的動力學問題
1.傳送帶模型問題的兩個關鍵分析
受力 分析 (1)摩擦力方向的判斷:①同向“以快帶慢”;②反向“互相阻礙”。 (2)共速時摩擦力可能突變:①滑動摩擦力突變為零;②滑動摩擦力突變為靜摩擦力;③摩擦力方向突變
運動 分析 (1)參考系的選擇:①研究物體的速度、位移、加速度時均以地面為參考系;②研究物體的滑行痕跡等一般以傳送帶為參考系。 (2)判斷共速以后物體是否能與傳送帶保持相對靜止。 (3)判斷物體在達到共速之前是否滑出傳送帶
2.水平傳送帶的幾種情況
(條件:傳送帶以速度v勻速運行,滑塊的初速度為v0)
情境 滑塊的運動情況
傳送帶不夠長 傳送帶足夠長
一直勻加速 先勻加速后勻速
續　表
情境 滑塊的運動情況
傳送帶不夠長 傳送帶足夠長
v0v0>v時,一直勻減速 v0>v時,先勻減速再勻速
滑塊一直 勻減速 滑塊先勻減速到速度為零,后被傳送帶傳回左端: (1)若v0v,返回到左端時速度為v
[例1] 【水平傳送帶】 如圖所示,水平固定放置的傳送帶在電機的作用下一直保持速度v=4 m/s順時針轉動,兩輪軸心間距L=10 m。一個物塊(視為質點)以速度v0=8 m/s從左輪的正上方水平向右滑上傳送帶,經過t=2 s物塊離開傳送帶,重力加速度g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] 物塊在傳送帶上一直做勻減速直線運動
[B] 物塊在傳送帶上做勻減速運動的時間為1.5 s
[C] 物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為0.4
[D] 物塊在傳送帶上留下的劃痕長為6 m
[提升] 【水平加速傳送帶】 在[例1]中,若物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ。初始時,傳送帶與物塊都是靜止的,現讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動,當其速度達到v0后,便以此速度做勻速運動。經過一段時間,物塊在傳送帶上留下了一段痕跡后,物塊相對于傳送帶不再滑動。求此痕跡的長度。
(1)傳送帶問題中物體所受摩擦力的“地位”。
①物體與傳送帶運動方向相同時,若v物v帶,摩擦力為阻力,物體減速。
②物體與傳送帶運動方向相反時,摩擦力先為阻力,物體減速到零再為動力,物體反向加速運動。
③當v物=v帶時,摩擦力發生突變,物體的加速度發生突變。
(2)求解“劃痕”問題。
物體與傳送帶的劃痕長度Δx等于物體與傳送帶的相對位移的大小,即等于兩者對地的位移之差的絕對值,即Δx=|x帶-x物|。
[例2] 【傳送帶與動力學圖像的結合】 (2024·江蘇鎮江聯考)如圖所示,水平方向的傳送帶順時針轉動,傳送帶速度大小恒為v=2 m/s,兩端A、B間距離為3 m,一物塊從B端以初速度v0=4 m/s滑上傳送帶,物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.4,g取10 m/s2。物塊從滑上傳送帶到離開傳送帶的過程中,速度隨時間變化的圖像是下列選項圖中的(　　)
[A] [B]
[C] [D]
考點二　傾斜傳送帶中的動力學問題
傾斜傳送帶的幾種情況
(條件:傳送帶以速度v勻速運行,滑塊的初速度為v0)
情境 滑塊的運動情況
傳送帶不夠長 傳送帶足夠長
一直加速(一定滿足關系μ>tan θ) 先加速后勻速(一定滿足關系μ>tan θ)
一直加速(加速度為gsin θ+μgcos θ) 若μ≥tan θ,先加速后勻速
若μv0v0>v時:若μ>tan θ,一直減速,加速度大小為μgcos θ-gsin θ;若μv時:若μ>tan θ,先減速后勻速;若μ(摩擦力方向一定 沿斜面向上) μμ>tan θ,一直減速 μ>tan θ,先減速到速度為零后反向加速再勻速,若v0≤v,則回到原位置時速度大小為v0,若v0>v,則回到原位置時的速度大小為v
[例3] 【傾斜上傳】 (2024·安徽卷,4)傾角為θ的傳送帶以恒定速率v0順時針轉動。t=0時在傳送帶底端無初速輕放一小物塊,如圖所示。t0時刻物塊運動到傳送帶中間某位置,速度達到v0。不計空氣阻力,則物塊從傳送帶底端運動到頂端的過程中,加速度a、速度v隨時間t變化的關系圖線可能正確的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
[例4] 【傾斜下傳】 (2024·江蘇淮安檢測)如圖所示,傳送帶與水平地面的夾角θ=37°,從A到B的長度為L=10.25 m,傳送帶以v0=10 m/s的速率逆時針轉動。在傳送帶上端A無初速度放一個質量為m=0.5 kg 的黑色煤塊(可視為質點),它與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.5,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,煤塊在傳送帶上經過會留下黑色痕跡。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。
(1)判斷當煤塊與傳送帶速度相同時,接下來它們能否相對靜止;
(2)求煤塊從A運動到B的時間;
(3)求煤塊從A到B的過程中在傳送帶上留下痕跡的長度。
(滿分:60分)
對點1.水平傳送帶中的動力學問題
1.(4分)(2024·貴州黔西聯考)如圖,水平傳送帶勻速順時針轉動,速度大小v1=2 m/s,A、B兩輪間的距離L為4 m,在右端一物塊以v2=3 m/s的速度滑上傳送帶,物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.2,g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　　)
[A] 物塊能滑過B輪
[B] 物塊經t=2 s速度減為零
[C] 物塊返回到A輪時的速度大小仍是3 m/s
[D] 物塊在傳送帶上滑動時加速度的大小是2 m/s2
2.(6分)(多選)快遞分揀站利用傳送帶可以大幅提高分揀效率,其過程可以簡化為如圖所示,水平傳送帶長為L,以一定的速度v2=8 m/s順時針勻速運行,工作人員以一定的初速度v1將快遞箱推放到傳送帶左端。若快遞箱被從左端由靜止釋放,到達右端過程中加速時間和勻速時間相等,快遞箱可視為質點,快遞箱與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.4,g取10 m/s2,則(　　)
[A] 傳送帶長L為24 m
[B] 若v1=0,全程快遞箱在傳送帶上留下的痕跡長為4 m
[C] 若v1=v2,則全程快遞箱的路程與傳送帶的路程之比為12∶13
[D] 若v1=0,將傳送帶速度增大為原來的2倍,則快遞箱先勻加速運動再勻速運動
對點2.傾斜傳送帶中的動力學問題
3.(4分)如圖甲所示,MN是一段傾角為θ=30°的傳送帶,一個可以看作質點、質量為m=1 kg的物塊,以沿傳送帶向下的速度v0=4 m/s從M點開始沿傳送帶運動。物塊運動過程的部分vt圖像如圖乙所示,g取10 m/s2,則(　　)
[A] 物塊最終從傳送帶N點離開
[B] 物塊將在4.8 s時回到原處
[C] 物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為
[D] 傳送帶的速度v=1 m/s,方向為逆時針
4.(6分)(2024·江西南昌二模)(多選)如圖所示,一傳送帶傾斜放置,以恒定速率v順時針轉動。t=0時刻一物塊以初速度v0從A端沖上傳送帶,t=t0時刻離開傳送帶,則物塊速度隨時間變化的圖像可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.(8分)機場地勤工作人員利用傳送帶從飛機上卸行李。如圖所示,以恒定速率v1=0.6 m/s運行的傳送帶與水平面間的夾角θ=37°,轉軸間距L=3.95 m。工作人員沿傳送方向以速度v2=1.6 m/s從傳送帶頂端推下一件小包裹(可視為質點)。小包裹與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.8。重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)小包裹相對傳送帶滑動時加速度的大小a;
(2)小包裹通過傳送帶所需的時間t。
6.(6分)(多選)如圖甲所示,水平放置的傳送帶在電機的作用下以v2=4 m/s的速度順時針轉動,兩輪軸心間距為L=5 m。質量為m=0.5 kg的物塊(可視為質點),從左輪的正上方以速度v1水平向右滑上傳送帶后物塊與傳送帶的vt圖像如圖乙所示,經過時間t0從右輪的正上方離開傳送帶,物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.2,重力加速度g取10 m/s2,物塊在傳送帶上運動的過程中,下列說法正確的是(　　)
[A] 物塊在傳送帶上運動時先受滑動摩擦力再受靜摩擦力
[B] 物塊在傳送帶上運動的時間為t0=1 s
[C] 物塊滑上傳送帶的速度v1=6 m/s
[D] 物塊與傳送帶之間的相對位移大小為Δx=1 m
7.(6分)(多選)如圖甲所示,一足夠長的傳送帶傾斜放置,傾角為θ,以恒定速率順時針轉動,一煤塊以初速度v0=12 m/s從A端沖上傳送帶,煤塊的速度隨時間變化的圖像如圖乙所示,g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　　)
[A] 傾斜傳送帶與水平方向夾角的正切值tan θ=0.75
[B] 煤塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0
[C] 煤塊從最高點下滑到A端所用的時間為2 s
[D] 煤塊在傳送帶上留下的痕跡長為(12+4)m
8.(10分)應用于地鐵的包裹安檢裝置,其傳送包裹部分可簡化為如圖所示的傳送帶示意圖。若安檢時某乘客將可視為質點的包裹靜止放在傳送帶的最左端,傳送帶始終以v0=0.5 m/s的速度順時針勻速運行,包裹與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.05,傳送帶全長l=2 m,包裹傳送到最右端時乘客才能將其拿走,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求包裹在傳送帶上運動的時間;
(2)求當包裹與傳送帶相對靜止時,包裹相對于傳送帶運動的距離;
(3)若乘客將包裹放在傳送帶上后,立即以v=1 m/s 的速度勻速從傳送帶最左端走到傳送帶的最右端,求乘客要想拿到包裹,需要在傳送帶最右端等待的時間。
9.(10分)如圖所示為某工廠的貨物傳送裝置,傾斜運輸帶AB(與水平面成α=37°角)與一斜面BC(與水平面成θ=30°角)平滑連接,B點到C點的距離為L=0.6 m,運輸帶運行速度恒為v0=5 m/s,A點到B點的距離為x=4.5 m,現將一質量為m=0.4 kg的小物體輕輕放于A點,物體恰好能到達最高點C點,已知物體與斜面間的動摩擦因數μ1=,g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)小物體運動到B點時的速度v的大小;
(2)小物體與運輸帶間的動摩擦因數μ;
(3)小物體從A點運動到C點所經歷的時間t。
(
第
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)(共50張PPT)
高中總復習·物理
第5講　
小專題:動力學中的傳送帶
模型
1.傳送帶模型問題的兩個關鍵分析
受力 分析 (1)摩擦力方向的判斷:①同向“以快帶慢”;②反向“互相阻礙”。
(2)共速時摩擦力可能突變:①滑動摩擦力突變為零;②滑動摩擦力突變為靜摩擦力;③摩擦力方向突變
運動 分析 (1)參考系的選擇:①研究物體的速度、位移、加速度時均以地面為參考系;②研究物體的滑行痕跡等一般以傳送帶為參考系。
(2)判斷共速以后物體是否能與傳送帶保持相對靜止。
(3)判斷物體在達到共速之前是否滑出傳送帶
2.水平傳送帶的幾種情況
(條件:傳送帶以速度v勻速運行,滑塊的初速度為v0)
情境 滑塊的運動情況
傳送帶不夠長 傳送帶足夠長
一直勻加速 先勻加速后勻速
v0v0>v時,一直勻減速 v0>v時,先勻減速再勻速
滑塊一直 勻減速 滑塊先勻減速到速度為零,后被傳送帶傳回左端:
(1)若v0(2)若v0>v,返回到左端時速度為v
[例1] 【水平傳送帶】 如圖所示,水平固定放置的傳送帶在電機的作用下一直保持速度v=4 m/s順時針轉動,兩輪軸心間距L=10 m。一個物塊(視為質點)以速度v0=8 m/s從左輪的正上方水平向右滑上傳送帶,經過t=2 s物塊離開傳送帶,重力加速度g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] 物塊在傳送帶上一直做勻減速直線運動
[B] 物塊在傳送帶上做勻減速運動的時間為1.5 s
[C] 物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為0.4
[D] 物塊在傳送帶上留下的劃痕長為6 m
C
[提升] 【水平加速傳送帶】 在[例1]中,若物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ。初始時,傳送帶與物塊都是靜止的,現讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動,當其速度達到v0后,便以此速度做勻速運動。經過一段時間,物塊在傳送帶上留下了一段痕跡后,物塊相對于傳送帶不再滑動。求此痕跡的長度。
方法點撥
(1)傳送帶問題中物體所受摩擦力的“地位”。
①物體與傳送帶運動方向相同時,若v物v帶,摩擦力為阻力,物體減速。
②物體與傳送帶運動方向相反時,摩擦力先為阻力,物體減速到零再為動力,物體反向加速運動。
③當v物=v帶時,摩擦力發生突變,物體的加速度發生突變。
(2)求解“劃痕”問題。
物體與傳送帶的劃痕長度Δx等于物體與傳送帶的相對位移的大小,即等于兩者對地的位移之差的絕對值,即Δx=|x帶-x物|。
B
[A] [B] [C] [D]
傾斜傳送帶的幾種情況
(條件:傳送帶以速度v勻速運行,滑塊的初速度為v0)
情境 滑塊的運動情況
傳送帶不夠長 傳送帶足夠長
一直加速(一定滿足關系μ>tan θ) 先加速后勻速(一定滿足關系μ>tan θ)
一直加速(加速度為gsin θ+μgcos θ) 若μ≥tan θ,先加速后勻速
若μμgcos θ加速,后以a2=gsin θ-μgcos θ加速
v0v0>v時:若μ>tan θ,一直減速,加速度大小為μgcos θ-gsin θ;若μv時:若μ>tan θ,先減速后勻速;若μ(摩擦力方向一定 沿斜面向上) μμ>tan θ,一直減速 μ>tan θ,先減速到速度為零后反向加速再勻速,若v0≤v,則回到原位置時速度大小為v0,若v0>v,則回到原位置時的速度大小為v
C
[例3] 【傾斜上傳】 (2024·安徽卷,4)傾角為θ的傳送帶以恒定速率v0順時針轉動。t=0時在傳送帶底端無初速輕放一小物塊,如圖所示。t0時刻物塊運動到傳送帶中間某位置,速度達到v0。不計空氣阻力,則物塊從傳送帶底端運動到頂端的過程中,加速度a、速度v隨時間t變化的關系圖線可能正確的是(　　)
[A] [B] [C] [D]
[例4] 【傾斜下傳】 (2024·江蘇淮安檢測)如圖所示,傳送帶與水平地面的夾角θ=37°,從A到B的長度為L=10.25 m,傳送帶以v0=10 m/s的速率逆時針轉動。在傳送帶上端A無初速度放一個質量為m=0.5 kg 的黑色煤塊(可視為質點),它與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.5,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,煤塊在傳送帶上經過會留下黑色痕跡。取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2。
(1)判斷當煤塊與傳送帶速度相同時,接下來它們能否相對靜止;
【答案】 (1)不能
規范答題
【解析】 (1)由于mgsin 37°>μmgcos 37°,所以煤塊與傳送帶速度相同后,它們不能相對靜止。
(2)求煤塊從A運動到B的時間;
【答案】 (2)1.5 s
規范答題
(3)求煤塊從A到B的過程中在傳送帶上留下痕跡的長度。
【答案】 (3)5 m
規范答題
1.(4分)(2024·貴州黔西聯考)如圖,水平傳送帶勻速順時針轉動,速度大小v1=2 m/s,A、B兩輪間的距離L為4 m,在右端一物塊以v2=3 m/s的速度滑上傳送帶,物塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.2,g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　　)
[A] 物塊能滑過B輪
[B] 物塊經t=2 s速度減為零
[C] 物塊返回到A輪時的速度大小仍是3 m/s
[D] 物塊在傳送帶上滑動時加速度的大小是2 m/s2
對點1.水平傳送帶中的動力學問題
基礎對點練
D
AC
對點2.傾斜傳送帶中的動力學問題
C
[A] [B] [C] [D]
AC
【解析】 對物塊受力分析可知,物塊受到重力、摩擦力和支持力。設最大靜摩擦力大小為Fm,重力沿傳送帶向下的分力為mgsin θ。若v0確,B錯誤;若v0>v,物塊先做勻減速運動,加速度a1=gsin θ+μgcos θ,與傳送帶共速后,若Fm(1)小包裹相對傳送帶滑動時加速度的大小a;
【答案】 (1)0.4 m/s2　
【解析】 (1)小包裹的速度v2大于傳送帶的速度v1,所以小包裹受到傳送帶的摩擦力沿傳送帶向上,
根據牛頓第二定律可知μmgcos θ-mgsin θ=ma,
解得a=0.4 m/s2。
(2)小包裹通過傳送帶所需的時間t。
【答案】 (2)4.5 s
6.(6分)(多選)如圖甲所示,水平放置的傳送帶在電機的作用下以v2=4 m/s的速度順時針轉動,兩輪軸心間距為L=5 m。質量為m=0.5 kg的物塊(可視為質點),從左輪的正上方以速度v1水平向右滑上傳送帶后物塊與傳送帶的v-t圖像如圖乙所示,經過時間t0從右輪的正上方離開傳送帶,物塊與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.2,重力加速度g取10 m/s2,物塊在傳送帶上運動的過程中,下列說法正確的是(　 　)
[A] 物塊在傳送帶上運動時先受滑動摩擦力再受靜摩擦力
[B] 物塊在傳送帶上運動的時間為t0=1 s
[C] 物塊滑上傳送帶的速度v1=6 m/s
[D] 物塊與傳送帶之間的相對位移大小為Δx=1 m
BCD
綜合提升練
7.(6分)(多選)如圖甲所示,一足夠長的傳送帶傾斜放置,傾角為θ,以恒定速率順時針轉動,一煤塊以初速度v0=12 m/s從A端沖上傳送帶,煤塊的速度隨時間變化的圖像如圖乙所示,g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　 　)
[A] 傾斜傳送帶與水平方向夾角的正切值tan θ=0.75
[B] 煤塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0
[C] 煤塊從最高點下滑到A端所用的時間為2 s
[D] 煤塊在傳送帶上留下的痕跡長為(12+4)m
AD
8.(10分)應用于地鐵的包裹安檢裝置,其傳送包裹部分可簡化為如圖所示的傳送帶示意圖。若安檢時某乘客將可視為質點的包裹靜止放在傳送帶的最左端,傳送帶始終以v0=0.5 m/s的速度順時針勻速運行,包裹與傳送帶間的動摩擦因數為μ=0.05,傳送帶全長l=2 m,包裹傳送到最右端時乘客才能將其拿走,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求包裹在傳送帶上運動的時間;
【答案】 (1)4.5 s　
(2)求當包裹與傳送帶相對靜止時,包裹相對于傳送帶運動的距離;
【答案】 (2)0.25 m
【解析】 (2)t1時間內傳送帶的位移大小為x2=v0t1,
解得x2=0.5 m,
故包裹相對于傳送帶運動的距離為Δx=x2-x1=0.25 m。
(3)若乘客將包裹放在傳送帶上后,立即以v=1 m/s 的速度勻速從傳送帶最左端走到傳送帶的最右端,求乘客要想拿到包裹,需要在傳送帶最右端等待的時間。
【答案】 (3)2.5 s
(1)小物體運動到B點時的速度v的大小;
【答案】 (1)3 m/s
【解析】 (1)設小物體在斜面上做勻減速運動的加速度為a1,由牛頓第二定律得mgsin θ+μ1mgcos θ=ma1,
由運動學公式知v2=2a1L,
聯立解得v=3 m/s。
(2)小物體與運輸帶間的動摩擦因數μ;
(3)小物體從A點運動到C點所經歷的時間t。
【答案】 (3)3.4 s

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