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第1講　機械振動
情境導思 擺鐘是一種時鐘,是根據單擺原理制造的,用擺錘控制其他機件,使鐘走得快慢均勻。 (1)單擺的周期與擺錘的質量有關嗎 (2)鐘擺做的是什么運動
[footnoteRef:1] [1:
1.一個單擺做受迫振動,其共振曲線(振幅A與驅動力的頻率f的關系)如圖所示,則(　　)
[A] 此單擺的固有周期約為0.5 s
[B] 此單擺的擺長約為1 m
[C] 若擺長增大,單擺固有頻率增大
[D] 若擺長增大,共振曲線的峰將向右移動
【答案】 B
2.(2024·黑龍江哈爾濱模擬)(多選)如圖甲所示,彈簧振子以O點為平衡位置,在光滑水平面上的A、B兩點之間做簡諧運動。取水平向右為正方向,振子的位移x隨時間t變化的正弦曲線如圖乙所示,彈簧的勁度系數為2 N/m,下列說法正確的是(　　)
[A] t=2 s時,振子的加速度為零
[B] 振子在t=0.1 s時和t=0.3 s時速度相同
[C] t=1.8 s時,回復力大小為0.4 N
[D] 0~1.8 s時間內,振子運動的路程為1.8 m
【答案】 ACD]
【答案】 平衡位置　回復力　平衡位置　平衡位置　效果　合力
分力　-kx　Asin(ωt+φ)　初相　Asin ωt　Acos ωt　驅動力
驅動力　無關　固有頻率　等于　振幅
考點一　簡諧運動的基本特征
(1)如圖甲所示在光滑水平面上,兩根輕彈簧勁度系數分別為k1、k2,中間連接一滑塊,開始兩彈簧均處于原長狀態,現在使滑塊向右移動位移x,由靜止釋放后滑塊做簡諧運動,什么力提供其做簡諧運動的回復力 導出其表達式。
甲
提示:兩彈簧彈力的合力提供滑塊做簡諧運動的回復力。設向右為正方向,回復力F=-(k1+k2)x,k1、k2為常數,則F=-kx。
(2)如圖乙所示,在水平面上有一小物塊與左端固定的輕質彈簧相連,彈簧處于原長時小物塊位于O點。現將小物塊拉至N點,釋放后小物塊做往復運動。小物塊和水平面間各處的動摩擦因數相同,則小物塊的往復運動過程是不是簡諧運動 只看向左或向右運動的單一過程,其運動規律是否符合簡諧運動規律 小物塊第一次向左運動的過程和第一次向右運動的過程所用時間有什么關系
乙
提示:小物塊由于受到摩擦阻力的作用,振幅越來越小,故其往復運動過程不是簡諧運動。只看向左或向右運動的單一過程,小物塊在彈簧彈力和恒定的滑動摩擦力作用下運動,符合簡諧運動規律。根據彈簧振子的周期決定因素可知,周期與振幅無關,故小物塊第一次向左運動過程和第一次向右運動過程所用時間相等,均為半個周期。
1.簡諧運動的基本特征
受力 特點 回復力F=-kx,F(或a)的大小與x的大小成正比,方向相反
運動 特點 衡位置時,a、F、x都減小,v增大;遠離平衡位置時,a、F、x都增大,v減小
能量 振幅越大,能量越大。在運動過程中,動能和勢能相互轉化,系統的機械能守恒
周 期 性 做簡諧運動的物體的位移、回復力、加速度和速度均隨時間做周期性變化,變化周期就是簡諧運動的周期T;動能和勢能也隨時間做周期性變化,其變化周期為
對 稱 性 (1)如圖所示,做簡諧運動的物體經過關于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP=OP′)時,速度的大小、動能、勢能相等,相對于平衡位置的位移大小相等。 (2)物體由P到O所用的時間等于由O到P′所用時間,即tPO=tOP′。 (3)物體往復過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等,即tOP=tPO。 (4)相隔或(n為正整數)的兩個時刻,物體位置關于平衡位置對稱,位移、速度、加速度大小相等,方向相反
2.兩種典型模型
模型 彈簧振子 單擺
示 意 圖
簡諧 運動 條件 (1)彈簧質量可忽略。 (2)無摩擦等阻力。 (3)在彈簧彈性限度內 (1)擺線為不可伸縮的輕細線。 (2)無空氣阻力。 (3)擺角小于或等于5°
回復力 彈簧的彈力提供 擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力
平衡 位置 彈簧處于原長處 最低點
周期 與振幅無關 T=2π
能量 轉化 彈性勢能與動能的相互轉化,系統的機械能守恒 重力勢能與動能的相互轉化,擺球的機械能守恒
3.幾種簡諧運動常見模型
模型 圖示 回復力來源
彈簧振子模型(豎直面振動) 物體所受重力與彈簧彈力的合力
彈簧振子模型(光滑斜面振動) 物體所受重力沿斜面的分力與彈簧彈力的合力
連接體模型(M在光滑水平面振動) 物體M對m的摩擦力提供m的回復力
類單擺模型(光滑弧面小弧度振動) 小球所受重力沿圓弧切線方向的分力
魚漂模型(豎直面振動) 物體所受重力與水對物體浮力的合力
[例1] 【簡諧運動基本物理量的分析】 如圖所示,物塊在光滑水平面B、C之間做簡諧運動,當物塊位于O點時,彈簧處于原長,在物塊從C運動到O的過程中(　　)
[A] 動能不斷增大,加速度不斷減小
[B] 回復力不斷增大,系統機械能守恒
[C] 彈性勢能不斷減小,加速度不斷增大
[D] 彈性勢能不斷增大,加速度不斷減小
【答案】 A
【解析】 做簡諧運動的物塊,從C到O的過程中逐漸衡位置,速度方向指向平衡位置,彈簧彈力充當回復力,也指向平衡位置,故速度方向與彈力方向相同,所以彈力做正功,動能增大;由于偏離平衡位置的位移不斷減小,由回復力公式F=-kx可知,回復力不斷減小,根據牛頓第二定律可知F=-kx=ma,故加速度不斷減小;整個系統只有系統內的彈力做功,故系統的機械能守恒;在小球從C到O的過程中,彈簧形變量不斷減小,故彈性勢能不斷減小,故A正確,B、C、D錯誤。
[變式] 【振子質量變化時對簡諧運動各物理量的影響】 如圖所示,在[例1]中,當振子運動到最大位移C處時,在小物塊上放上一同樣的小物塊共同做簡諧運動,則振子的周期、振幅、最大動能和最大速度以及系統的最大勢能、機械能都會發生什么變化
【答案】 見解析
【解析】 彈簧振子做簡諧運動的周期T=2π,若在小物塊上放上一同樣的小物塊共同做簡諧運動,振子質量增大,周期變大。根據機械能守恒定律,系統機械能等于最大位移時的彈性勢能,放上另一小物塊彈簧的最大長度不變,系統最大彈性勢能不變,系統機械能不變,振子振幅不變,振子的最大動能等于系統最大彈性勢能,所以振子的最大動能不變,由于振子質量增大,振子的最大速度v=將變小。
[例2] 【簡諧運動的證明】 (2024·河北邯鄲三模)已知質量均勻分布的球殼對球殼內部的質點的萬有引力為零。如圖所示,在地球北緯60°的A處鑿開一個穿過地軸的直線隧道,直通北緯60°的B處,假設隧道光滑,現將一個質量為m的物體在A處無初速度釋放,地球質量為M,半徑為R,引力常量為G,不考慮地球自轉。下列說法正確的是(　　)
[A] 物體在隧道內做勻變速直線運動
[B] 剛釋放時物體的加速度大小為
[C] 物體在隧道內的最大速度為
[D] 物體從A點運動到B點的時間為2π
【答案】 B
【解析】 如圖所示,
設地球密度為ρ,在地球表面有G=mg,所以g===,設物體運動過程中距離地心為r,則G=mg′,所以g′==g,設物體運動過程中與地心的連線與OC的夾角為θ,物體到C點的距離為x,則 sin θ=,則mg′sin θ=ma=F,所以物體所受萬有引力沿隧道方向的分力為F=x=x=kx,即F與x成正比,
物體在隧道內做簡諧運動,故A錯誤;剛釋放時物體所受萬有引力沿隧道方向的分力大小為F1==,故物體的加速度大小為a==,故B正確;由以上分析可知,當物體運動到C點時,加速度為零,速度達到最大,根據動能定理可得·=m-0,解得vm=,故C錯誤;由簡諧運動的知識可知,物體從A運動到B的時間是周期T的一半,即t=,T=2π,k=,所以t==π,故D錯誤。
考點二　簡諧運動的表達式和圖像
1.利用振動圖像可獲取的信息
(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ0。
(2)某時刻振動質點離開平衡位置的位移。
(3)某時刻質點速度的大小和方向:曲線上各點切線斜率的絕對值和正負分別表示各時刻質點的速度大小和方向,速度的方向也可根據下一相鄰時刻質點的位移的變化來確定。
(4)某時刻質點的回復力和加速度的方向:回復力總是指向平衡位置,回復力和加速度的方向相同。
(5)某段時間內質點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況。
2.簡諧運動的對稱性和周期性在圖像中的特點(如圖)
(1)相隔Δt=nT(n=1,2,3,…)的兩個時刻,彈簧振子在同一位置,位移和速度都相同。
(2)相隔Δt=(n+)T(n=0,1,2,…)的兩個時刻,彈簧振子的位置關于平衡位置對稱,位移等大反向(或都為零),速度也等大反向(或都為零)。
[例3] 【簡諧運動的圖像分析】 某簡諧運動的y-t圖像如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
[A] 振幅為2 cm
[B] 頻率為2.5 Hz
[C] 0.1 s時速度為零
[D] 0.2 s時加速度方向沿y軸負方向
【答案】 B
【解析】 根據題圖可知,振幅為1 cm,周期為T=0.4 s,則頻率為f== Hz=2.5 Hz,故A錯誤,B正確;根據題圖可知,0.1 s時質點處于平衡位置,此時速度最大,故C錯誤;根據題圖可知,0.2 s時質點處于負向最大位移處,則此時加速度方向沿y軸正方向,故D錯誤。
簡諧運動圖像問題的分析方法
解決簡諧運動圖像問題時,首先要理解x-t圖像的意義,其次要把x-t圖像與質點的實際振動過程聯系起來。圖像上的一個點表示振動中的一個狀態(位置、振動方向等),圖像上的一段曲線對應振動的一個過程,關鍵是判斷好平衡位置、最大位移及振動方向。
[例4] 【簡諧運動的表達式】 (2024·四川成都開學考試)如圖甲,水平彈簧振子的平衡位置為O點,振子在B、C兩點之間做簡諧運動,規定水平向右為正方向。圖乙是振子做簡諧運動的x-t圖像。下列說法正確的是(　　)
[A] 振子從C點經過O點運動到B點為一次全振動
[B] 圖乙中的P點時刻,振子的速度沿正方向
[C] 振子的振動方程為x=0.1sin(2πt+)m
[D] 振子在前1.5 s內的位移大小為0.2 m
【答案】 D
【解析】 振子從C點經過O點運動到B點后,再由B點經過O點回到C點為一次全振動,故A錯誤;題圖乙中的P點時刻,振子正在向負向位移最大處運動,其速度沿負方向,故B錯誤;由題圖乙可知,振子的振幅為A=0.1 m,周期為T=1 s,
則圓頻率為ω== rad/s=2π rad/s,規定水平向右為正方向,初相位為φ0=,
則振子的振動方程為x=Asin (ωt+φ0)=0.1sin(2πt+)m,故C錯誤;t=0時刻振子位于B點,
因t=1.5 s=T,故t=1.5 s時振子位于C點,故位移大小為2倍的振幅,等于0.2 m,故D正確。
(1)根據圖像寫表達式。
①從圖像中找出振幅A和周期T,ω=。
②根據t=0時的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
③把A、ω、φ代入表達式x=Asin(ωt+φ)即可(若圖像為余弦函數圖像或其他形式也可以用該方法求得,只不過φ不相同)。
(2)根據表達式畫圖像。
①根據x=Asin(ωt+φ)找出振幅A和振動周期T=。
②令t=0,找出初始時刻的位移x(x的正、負要有明確表示)。
③選好標度,作出正弦函數圖像。
[例5] 【簡諧運動的周期性與對稱性】 (2024·河北滄州三模)(多選)如圖所示,沿水平方向做簡諧運動的質點,經A點后向右運動,從質點經過A點時開始計時,t1=1 s時質點經過B點,t2=3 s時質點也經過B點,已知A、B兩點相距0.2 m且關于平衡位置對稱,則下列說法正確的是(　　)
[A] 該振動的振幅和周期可能是0.1 m,1 s
[B] 該振動的振幅和周期可能是0.1 m,0.4 s
[C] 若t1、t2時刻均向左經過B點,則振幅和周期可能為0.2 m,0.4 s
[D] 若t1、t2時刻分別向右、向左經過B點,則振幅和周期可能為0.2 m, s
【答案】 BCD
【解析】 若振幅A=0.1 m,在0~1 s時間內根據簡諧運動的周期性有+nT1=1 s(n=0,1,2,…),在1~3 s時間內根據簡諧運動的周期性有n′T1=2 s(n′=1,2,3,…),當T1=0.4 s時n=2,n′=5滿足題意,周期為1 s時不同時滿足上述兩個公式,故A錯誤,B正確;若振幅A=0.2 m且質點t1時刻向右經過B點、t2時刻向左經過B點,在0~1 s時間內根據簡諧運動的周期性有+nT2=1 s(n=0,1,2,…),在1~3 s時間內根據簡諧運動的周期性有+n′T2=2 s(n′=0,1,2,…),當T2= s時n=1,n′=2,故D正確;若振幅A=0.2 m且t1、t2時刻均向左經過B點,在0~1 s時間內根據簡諧運動的周期性有+nT3=1 s(n=0,1,2,…),在1~3 s時間內根據簡諧運動的周期性有n′T3=2 s(n′=1,2,3,…),當T3=0.4 s時n=2,n′=5,故C正確。
考點三　單擺及周期公式
(1)如圖甲所示忽略擺球大小的情況下,擺球在紙面內擺動和垂直于紙面內做小角度擺動,等效擺長相同嗎 各是多少
提示:不同。紙面內擺動擺長l等效=l,垂直于紙面內擺動擺長l等效′=lsin α+l。
(2)如圖乙所示的單擺在懸點正下方l處有一釘子,懸線與釘子相碰無機械能損失,當擺球在紙面內擺動時,等效擺長為多少 擺動周期為多少
提示:左側等效擺長為l等效=l,右側等效擺長為l等效′=l。擺動周期T=+=π+π=π(+)。
(3)如圖丙所示處于豎直向下的勻強電場中的帶正電的擺球做簡諧運動,則擺球等效重力加速度為多少 若勻強電場水平向右呢
提示:擺球在平衡位置靜止時,細線的拉力FT=mg+qE,則等效重力加速度為g′==g+。若勻強電場水平向右,擺球平衡時如圖所示,則等效重力加速度為g″==。
(4)如圖丁所示,帶正電的擺球在勻強磁場中做簡諧運動,等效重力加速度為何值
提示:擺球擺動時擺球所受洛倫茲力不影響回復力,故等效重力加速度仍為g。
1.單擺分析
(1)簡諧運動的條件:θ<5°。
(2)受力特征:重力和細線的拉力。
①回復力:擺球重力沿切線方向上的分力,F=mgsin θ=-x=-kx,負號表示回復力F與位移x的方向相反。
②向心力:細線的拉力和重力沿細線方向的分力的合力充當向心力,F向=FT-mgcos θ。
當擺球在最高點時,F向==0,FT=mgcos θ。
當擺球在最低點時,F向=,F向最大,FT=mg+m。
2.類單擺模型
(1)有些情況下,單擺處在并非只有重力場的環境中,即為類單擺,則T=2π中,l為等效擺長,g為等效重力加速度。如圖所示,為豎直面內的光滑圓弧,且 R,當小球在間運動時,其運動為類單擺運動,等效擺長為R。
(2)等效重力加速度。
①對于不同星球表面:g=,M與R分別為星球的質量與半徑。
②單擺處于超重或失重狀態時:g效=g±a。
③重力場與勻強電場中:g效=。
[例6] 【單擺周期公式的應用】 (2024·江蘇模擬)一單擺在豎直平面內做小角度擺動。擺球從左側最高點A運動到最低點C時,擺線被懸點O(未畫出)正下方的釘子P擋住,之后球運動到右側最高點B,該過程中的頻閃照片如圖所示,已知閃光的時間間隔相等,PC=l。則O、P兩點間的距離為(　　)
[A] l [B] l [C] l [D] l
【答案】 B
【解析】 設相鄰兩次閃光的時間間隔為t,則擺球在左側的擺動周期為T1=12t,擺球在右側的擺動周期為T2=8t,可得T1∶T2=3∶2,根據單擺周期公式T=2π,可得==,則O、P兩點間的距離為LOP=。故選B。
[例7] 【單擺振動圖像的應用】 (2024·河北保定一模)甲、乙兩個單擺在同一地理位置做簡諧振動的圖像分別如圖中曲線甲、乙所示,根據圖像所提供的信息來判斷,下列說法正確的是(　　)
[A] 甲的周期為4.8 s
[B] 乙的周期為1.8 s
[C] 甲、乙的擺長之比為9∶16
[D] 0~7.2 s內乙的路程為1.5 m
【答案】 A
【解析】 由題圖可知,甲的周期滿足T甲=3.6 s,
解得T甲=4.8 s,乙的周期為T乙=3.6 s,A正確,B錯誤;根據T=2π可得=,C錯誤;0~7.2 s內乙的路程s=2×4A=2×4×0.15 m=1.2 m,D錯誤。
[例8] 【類單擺問題】 (2024·浙江6月選考卷,9)如圖所示,不可伸長的光滑細線穿過質量為0.1 kg的小鐵球,兩端A、B懸掛在傾角為30°的固定斜桿上,間距為1.5 m。小球平衡時,A端細線與桿垂直;當小球受到垂直于紙面方向的擾動做微小擺動時,等效于懸掛點位于小球重垂線與AB交點的單擺,重力加速度g=10 m/s2,則(　　)
[A] 擺角變小,周期變大
[B] 小球擺動周期約為2 s
[C] 小球平衡時,A端拉力為 N
[D] 小球平衡時,A端拉力小于B端拉力
【答案】 B
【解析】根據單擺的周期公式T=2π可知,周期與擺角無關,故A錯誤;同一根細線中,A端拉力大小等于B端拉力大小,平衡時對小球受力分析如圖,可得2FAcos 30°=mg,解得FA=FB== N,故C、D錯誤;根據幾何知識可知擺長為l=m=1 m,故周期為T=2π≈2 s,故B正確。
考點四　受迫振動和共振
1.簡諧運動、受迫振動和共振的比較
項目 振動 簡諧運動 受迫振動 共振
受力情況 受回復力 受驅動力作用 受驅動力作用
振動周 期或頻率 由系統本身性質決定,即固有周期T0或固有頻率f0 由驅動力的周期或頻率決定,即T=T驅或f=f驅 T驅=T0或f驅=f0
振動能量 振動系統的機械能不變 由產生驅動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大
常見例子 彈簧振子或單擺(θ≤5°) 機械工作時底座發生的振動 共振篩、聲音的共鳴等
2.對共振的理解
(1)共振曲線。
如圖所示,橫坐標為驅動力的頻率f,縱坐標為振幅A。它直觀地反映了驅動力的頻率對某固有頻率為f0的振動系統做受迫振動時振幅的影響。由圖可知,f與f0越接近,振幅A越大;當f=f0時,振幅A最大。
(2)受迫振動中系統能量的轉化。
做受迫振動的系統的機械能不守恒,系統與外界時刻進行能量交換。
[例9] 【共振曲線的理解】 (2024·山東淄博一模)(多選)我國加速穩步推進載人登月,未來中國航天員將登上月球。試想航天員用同一裝置對同一單擺分別在地球和月球上做受迫振動實驗,得到如圖所示的共振曲線,共振頻率為f1、f2。將月球視為密度均勻、半徑為r的球體,引力常量為G,地球表面的重力加速度為g,不考慮星球自轉的影響。下列說法正確的是(　　)
[A] 該單擺在月球上的共振頻率為f2
[B] 月球表面的重力加速度g月=g
[C] 月球的質量M月=
[D] 月球的密度ρ月=
【答案】 BD
【解析】 根據單擺周期公式可得T=2π,可得f==,由于月球的重力加速度小于地球的重力加速度,所以該單擺在月球上的共振頻率為f1;設月球表面的重力加速度為g月,則有f1=,f2=,可得月球表面的重力加速度為g月=g,故A錯誤,B正確;物體在月球表面上,有=mg月,解得月球質量為M月=,根據M月=ρ月·πr3,可得月球的密度為ρ月=,故C錯誤,D正確。
[例10] 【受迫振動的理解】 (2024·甘肅蘭州檢測)如圖所示的裝置,在曲軸上懸掛一個彈簧振子,若不轉動把手,讓其自由振動,周期為T1。現使把手以周期T2勻速轉動(T2>T1),當其運行到穩定后,則(　　)
[A] 彈簧振子的振動周期為T1
[B] 彈簧振子的振動周期為T1+T2
[C] 要使彈簧振子的振幅增大,可讓把手的轉速減小
[D] 要使彈簧振子的振幅增大,可讓把手的轉速增大
【答案】 D
【解析】 現使把手以周期T2勻速轉動,彈簧振子做受迫振動,所以彈簧振子振動周期為T2,故A、B錯誤;振子發生共振,振幅最大,由于T2>T1,當把轉速增大時,驅動力的頻率與固有頻率相差越小,所以共振越明顯,振幅越大,故C錯誤,D正確。
對點1.簡諧運動的基本特征
1.(4分)(2024·河北卷,6)如圖,一電動機帶動輕桿在豎直框架平面內勻速轉動,輕桿一端固定在電動機的轉軸上,另一端懸掛一紫外光筆,轉動時紫外光始終豎直投射至水平鋪開的感光紙上,沿垂直于框架的方向勻速拖動感光紙,感光紙上就畫出了描述光點振動的x-t圖像。已知輕桿在豎直面內長0.1 m,電動機轉速為12 r/min。該振動的圓頻率和光點在12.5 s內通過的路程分別為(　　)
[A] 0.2 rad/s,1.0 m
[B] 0.2 rad/s,1.25 m
[C] 1.26 rad/s,1.0 m
[D] 1.26 rad/s,1.25 m
【答案】 C
【解析】 紫外光在紙上的投影做的是簡諧運動,電動機的轉速為n=12 r/min=0.2 r/s,因此圓頻率 ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s,周期為T==5 s,簡諧運動的振幅即為輕桿的長度A=0.1 m,12.5 s通過的路程為s=×4A=1.0 m。故選C。
對點2.簡諧運動的表達式和圖像
2.(6分)(2024·安徽合肥期中)(多選)如圖所示,小球在豎直平面內以半徑為R、角速度為ω沿逆時針方向做勻速圓周運動,用豎直向下的平行光照射小球,觀察到其影子在水平面上做簡諧運動。取圓心投影點O′為原點,水平向右為正方向建立O′x坐標系,從小球某次經最低點的時刻開始計時,關于影子的說法正確的是(　　)
[A] 振幅為R
[B] 振動過程中的最大加速度為ω2R
[C] 振動周期為
[D] 位移表達式為x=Rsin(ωt+π)
【答案】 ABC
【解析】 圓心投影點O′為平衡點,最大位移為R,則振幅為R,故A正確;影子的運動可以看作小球在水平方向上的分運動,當影子運動到最右端時,位移最大,加速度也最大,此時小球也達到相應的水平方向的最大位移處,此時水平方向的加速度大小為ω2R,則振動過程中的最大加速度為ω2R,故B正確;影子的振動周期應和小球做圓周運動的周期相同,即為,故C正確;從小球經最低點向右運動的時刻開始計時,位移表達式為x=Asin t=Rsin ωt,故D錯誤。
對點3.單擺及周期公式
3.(4分)(2024·甘肅卷,5)如圖為某單擺的振動圖像,重力加速度g取 10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] 擺長為1.6 m,起始時刻速度最大
[B] 擺長為2.5 m,起始時刻速度為零
[C] 擺長為1.6 m,A、C點的速度相同
[D] 擺長為2.5 m,A、B點的速度相同
【答案】 C
【解析】 由單擺的振動圖像可知振動周期為T=0.8π s,由單擺的周期公式T=2π得擺長為l==1.6 m,x-t圖像的斜率表示速度,故起始時刻速度為零,且A、C點的速度相同,A、B點的速度大小相等,方向不同。故選C。
4.(4分)(2024·河北張家口三模)“桿線擺”結構如圖所示,輕桿一端通過活動鉸鏈與立柱OO′垂直連接,另一端安裝質量為m的擺球,細線一端拉住擺球,另一端系在立柱上的A點,給擺球一垂直于紙面的較小速度,使輕桿垂直于立柱OO′來回擺動,擺動角度小于5°,擺球的運動軌跡被約束在一個傾斜的平面內。已知立柱OO′與豎直方向的夾角及細線與輕桿的夾角均為θ=30°,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 擺球在擺動過程中細線上的拉力大小為 mg
[B] 擺球靜止在平衡位置時輕桿對擺球作用力大小為 mg
[C] 擺球向平衡位置運動過程中輕桿對擺球作用力增大
[D] 若增大細線長度使A點上移則擺球運動周期增大
【答案】 A
【解析】 擺球在平衡位置靜止時,對擺球受力分析,如圖所示,
由平衡條件得桿對擺球為支持力,大小為mg,細線上的拉力大小FA=mg,擺球擺動過程中,運動軌跡被約束在一個傾角為30°的平面內,垂直該平面擺球一直處于平衡狀態,故細線拉力大小不變,向平衡位置擺動過程中沿桿方向向心力大小不斷增大,桿上支持力逐漸減小,故A正確,B、C錯誤;增大細線長度使A點上移,擺球運動平面不變,等效為一個在斜面上的單擺,周期為T=2π,擺長為桿的長度不變,擺球運動周期不變,故D錯誤。
對點4.受迫振動和共振
5.(4分)(2024·山東德州期中)轎車的懸掛系統是由車身與輪胎間的彈簧及避震器組成的支持系統。某型號轎車的“車身—懸掛系統”振動的固有周期是0.4 s,這輛汽車勻速通過某路口的條狀減速帶,如圖所示,已知相鄰兩條減速帶間的距離為1.2 m,該車經過該減速帶過程中,下列說法正確的是(　　)
[A] 當轎車以10.8 km/h的速度通過減速帶時,車身上下顛簸得最劇烈
[B] 轎車通過減速帶的速度越小,車身上下振動的幅度也越小
[C] 轎車通過減速帶的速度越大,車身上下顛簸得越劇烈
[D] 該轎車以任意速度通過減速帶時,車身上下振動的頻率都等于2.5 Hz,與車速無關
【答案】 A
【解析】 當轎車以v=10.8 km/h=3 m/s的速度通過減速帶時,車身因過減速帶而產生的受迫振動的周期為T== s=0.4 s,與“車身—懸掛系統”振動的固有周期相等,故此時車身會產生共振現象,顛簸得最劇烈,故A正確;因過減速帶使車身上下振動的頻率與車身系統的固有頻率越接近,車身上下振動的幅度越大,所以當轎車通過減速帶的速度越小,車身上下振動的幅度不一定越小,速度越大時,車身上下顛簸得也不一定越劇烈,故B、C錯誤;受迫振動的物體的振動頻率等于驅動力的頻率,故該轎車以任意速度通過減速帶時,車身上下振動的頻率不都等于2.5 Hz,與車速有關,故D錯誤。
6.(4分)(2024·北京卷,9)圖甲為用手機和輕彈簧制作的一個振動裝置。手機加速度傳感器記錄了手機在豎直方向的振動情況,以向上為正方向,得到手機振動過程中加速度a隨時間t變化的曲線為正弦曲線,如圖乙所示。下列說法正確的是(　　)
[A] t=0時,彈簧彈力為0
[B] t=0.2 s時,手機位于平衡位置上方
[C] 從t=0至t=0.2 s,手機的動能增大
[D] a隨t變化的關系式為a=4sin(2.5πt)m/s2
【答案】 D
【解析】 由題圖乙知,t=0時,手機加速度為0,由牛頓第二定律得彈簧彈力大小F=mg,A錯誤;t=0.2 s時,手機的加速度為正,則手機位于平衡位置下方,B錯誤;從t=0至t=0.2 s,手機的加速度增大,手機從平衡位置向最大位移處運動,速度減小,動能減小,C錯誤;由T=0.8 s,可得圓頻率ω==2.5π rad/s,則a隨t變化的關系式為a=4sin(2.5πt)m/s2,D正確。
7.(6分)(2024·海南卷,12)(多選)真空中有兩個點電荷,電荷量均為-q(q≥0),固定于相距為2r的P1、P2兩點,O是P1P2連線的中點,M點在P1P2連線的中垂線上,距離O點為r,N點在P1P2連線上,距離O點為x(x r),已知靜電力常量為k,則下列說法正確的是(　　)
[A] P1P2中垂線上電場強度最大的點到O點的距離為r
[B] P1P2中垂線上電場強度的最大值為
[C] 在M點放入一電子,從靜止釋放,電子的加速度一直減小
[D] 在N點放入一電子,從靜止釋放,電子的運動可視為簡諧運動
【答案】 BCD
【解析】 設兩點電荷在P1P2中垂線上的A點產生的合電場強度最大,且此時分電場強度與豎直方向的夾角為θ,如圖所示,由電場強度的疊加原理可得,A點的合電場強度為E=2kcos θ=k(1-cos2θ)cos θ,由數學知識可得,當cos θ=時,合電場強度E有最大值,且最大值為E=,此時A點到O點的距離為y=r,A錯誤,B正確;由于r>r,可知在M點放入一電子,電子受到的靜電力方向向上,從靜止釋放,電子向上運動的過程中靜電力一直減小,電子的加速度一直減小,C正確;設沿OP2方向為正方向,在N點放入一電子,N點距O點為x,電子在N點受到的靜電力的合力為F=-k+k=keq,由于x r,則有F=-x,可知電子在P1P2連線上以O點為平衡位置做簡諧運動,D正確。
8.(13分)(2024·江蘇南通模擬)1610年,伽利略用自制的望遠鏡發現了木星的四顆主要衛星。根據他的觀察,其中一顆衛星P做振幅為A、周期為T的簡諧運動,他推測該衛星振動是衛星做圓周運動在某方向上的投影。如圖所示是衛星P運動的示意圖,在xOy平面內,質量為m的衛星P繞坐標原點O做勻速圓周運動。若認為木星位于坐標原點O。
(1)求衛星P做圓周運動的向心力大小;
(2)物體做簡諧運動時,回復力應滿足F=-kx。試證明:衛星P繞木星做勻速圓周運動在x軸上的投影是簡諧運動。
【答案】 (1)mA　(2)見解析
【解析】 (1)衛星P做圓周運動的向心力大小為
F=mω2r=mA。
(2)如圖,
取向右為正方向,則
F=-mrcos θ=-mx=-kx,
則衛星P繞木星做勻速圓周運動在x軸上的投影是簡諧運動。
9.(15分)(2024·重慶一模)如圖,光滑圓槽的半徑L遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三小球(均可視為質點)同時由靜止釋放,開始時乙球的位置B低于甲球位置A,甲球與圓心連線和豎直方向夾角為θ,丙球釋放位置C為圓槽的圓心,O為圓槽最低點,重力加速度為g。若甲、乙、丙三球不相碰。
(1)求甲球運動到O點速度大小;
(2)通過計算分析,甲、乙、丙三球誰先第一次到達O點;
(3)若單獨釋放甲球從釋放到第15次經過O點所經歷的時間。
【答案】 (1)　(2)丙球
(3)π
【解析】 (1)設甲球質量為m,根據題意可知甲球靜止釋放,運動到O點過程,由動能定理有
mg(L-Lcos θ)=mv2,
解得甲球運動到O點速度大小為
v=。
(2)對于丙球,根據自由落體運動規律有
L=g,
解得t丙=,
對于甲、乙兩球可看成類似單擺的簡諧運動,其運動周期為T=2π,
甲、乙兩球第一次到達O點時運動T周期,則
t乙=t甲=T=π,
則丙球最先第一次到達O點,甲、乙同時到達。
(3)根據題意可知甲球做簡諧運動,運動一個周期經過兩次O點,第15次經過O點所經歷的時間為t=7T+,
已知周期T=2π,
聯立解得t=π。
(
第
11
頁
)第1講　機械振動
情境導思 擺鐘是一種時鐘,是根據單擺原理制造的,用擺錘控制其他機件,使鐘走得快慢均勻。 (1)單擺的周期與擺錘的質量有關嗎 (2)鐘擺做的是什么運動
考點一　簡諧運動的基本特征
(1)如圖甲所示在光滑水平面上,兩根輕彈簧勁度系數分別為k1、k2,中間連接一滑塊,開始兩彈簧均處于原長狀態,現在使滑塊向右移動位移x,由靜止釋放后滑塊做簡諧運動,什么力提供其做簡諧運動的回復力 導出其表達式。
甲
提示:兩彈簧彈力的合力提供滑塊做簡諧運動的回復力。設向右為正方向,回復力F=-(k1+k2)x,k1、k2為常數,則F=-kx。
(2)如圖乙所示,在水平面上有一小物塊與左端固定的輕質彈簧相連,彈簧處于原長時小物塊位于O點。現將小物塊拉至N點,釋放后小物塊做往復運動。小物塊和水平面間各處的動摩擦因數相同,則小物塊的往復運動過程是不是簡諧運動 只看向左或向右運動的單一過程,其運動規律是否符合簡諧運動規律 小物塊第一次向左運動的過程和第一次向右運動的過程所用時間有什么關系
乙
提示:小物塊由于受到摩擦阻力的作用,振幅越來越小,故其往復運動過程不是簡諧運動。只看向左或向右運動的單一過程,小物塊在彈簧彈力和恒定的滑動摩擦力作用下運動,符合簡諧運動規律。根據彈簧振子的周期決定因素可知,周期與振幅無關,故小物塊第一次向左運動過程和第一次向右運動過程所用時間相等,均為半個周期。
1.簡諧運動的基本特征
受力 特點 回復力F=-kx,F(或a)的大小與x的大小成正比,方向相反
運動 特點 衡位置時,a、F、x都減小,v增大;遠離平衡位置時,a、F、x都增大,v減小
能量 振幅越大,能量越大。在運動過程中,動能和勢能相互轉化,系統的機械能守恒
周 期 性 做簡諧運動的物體的位移、回復力、加速度和速度均隨時間做周期性變化,變化周期就是簡諧運動的周期T;動能和勢能也隨時間做周期性變化,其變化周期為
對 稱 性 (1)如圖所示,做簡諧運動的物體經過關于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP=OP′)時,速度的大小、動能、勢能相等,相對于平衡位置的位移大小相等。 (2)物體由P到O所用的時間等于由O到P′所用時間,即tPO=tOP′。 (3)物體往復過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等,即tOP=tPO。 (4)相隔或(n為正整數)的兩個時刻,物體位置關于平衡位置對稱,位移、速度、加速度大小相等,方向相反
2.兩種典型模型
模型 彈簧振子 單擺
示 意 圖
簡諧 運動 條件 (1)彈簧質量可忽略。 (2)無摩擦等阻力。 (3)在彈簧彈性限度內 (1)擺線為不可伸縮的輕細線。 (2)無空氣阻力。 (3)擺角小于或等于5°
回復力 彈簧的彈力提供 擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力
平衡 位置 彈簧處于原長處 最低點
周期 與振幅無關 T=2π
能量 轉化 彈性勢能與動能的相互轉化,系統的機械能守恒 重力勢能與動能的相互轉化,擺球的機械能守恒
3.幾種簡諧運動常見模型
模型 圖示 回復力來源
彈簧振子模型(豎直面振動) 物體所受重力與彈簧彈力的合力
彈簧振子模型(光滑斜面振動) 物體所受重力沿斜面的分力與彈簧彈力的合力
連接體模型(M在光滑水平面振動) 物體M對m的摩擦力提供m的回復力
類單擺模型(光滑弧面小弧度振動) 小球所受重力沿圓弧切線方向的分力
魚漂模型(豎直面振動) 物體所受重力與水對物體浮力的合力
[例1] 【簡諧運動基本物理量的分析】 如圖所示,物塊在光滑水平面B、C之間做簡諧運動,當物塊位于O點時,彈簧處于原長,在物塊從C運動到O的過程中(　　)
[A] 動能不斷增大,加速度不斷減小
[B] 回復力不斷增大,系統機械能守恒
[C] 彈性勢能不斷減小,加速度不斷增大
[D] 彈性勢能不斷增大,加速度不斷減小
[變式] 【振子質量變化時對簡諧運動各物理量的影響】 如圖所示,在[例1]中,當振子運動到最大位移C處時,在小物塊上放上一同樣的小物塊共同做簡諧運動,則振子的周期、振幅、最大動能和最大速度以及系統的最大勢能、機械能都會發生什么變化
[例2] 【簡諧運動的證明】 (2024·河北邯鄲三模)已知質量均勻分布的球殼對球殼內部的質點的萬有引力為零。如圖所示,在地球北緯60°的A處鑿開一個穿過地軸的直線隧道,直通北緯60°的B處,假設隧道光滑,現將一個質量為m的物體在A處無初速度釋放,地球質量為M,半徑為R,引力常量為G,不考慮地球自轉。下列說法正確的是(　　)
[A] 物體在隧道內做勻變速直線運動
[B] 剛釋放時物體的加速度大小為
[C] 物體在隧道內的最大速度為
[D] 物體從A點運動到B點的時間為2π
考點二　簡諧運動的表達式和圖像
1.利用振動圖像可獲取的信息
(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ0。
(2)某時刻振動質點離開平衡位置的位移。
(3)某時刻質點速度的大小和方向:曲線上各點切線斜率的絕對值和正負分別表示各時刻質點的速度大小和方向,速度的方向也可根據下一相鄰時刻質點的位移的變化來確定。
(4)某時刻質點的回復力和加速度的方向:回復力總是指向平衡位置,回復力和加速度的方向相同。
(5)某段時間內質點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況。
2.簡諧運動的對稱性和周期性在圖像中的特點(如圖)
(1)相隔Δt=nT(n=1,2,3,…)的兩個時刻,彈簧振子在同一位置,位移和速度都相同。
(2)相隔Δt=(n+)T(n=0,1,2,…)的兩個時刻,彈簧振子的位置關于平衡位置對稱,位移等大反向(或都為零),速度也等大反向(或都為零)。
[例3] 【簡諧運動的圖像分析】 某簡諧運動的y-t圖像如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
[A] 振幅為2 cm
[B] 頻率為2.5 Hz
[C] 0.1 s時速度為零
[D] 0.2 s時加速度方向沿y軸負方向
簡諧運動圖像問題的分析方法
解決簡諧運動圖像問題時,首先要理解x-t圖像的意義,其次要把x-t圖像與質點的實際振動過程聯系起來。圖像上的一個點表示振動中的一個狀態(位置、振動方向等),圖像上的一段曲線對應振動的一個過程,關鍵是判斷好平衡位置、最大位移及振動方向。
[例4] 【簡諧運動的表達式】 (2024·四川成都開學考試)如圖甲,水平彈簧振子的平衡位置為O點,振子在B、C兩點之間做簡諧運動,規定水平向右為正方向。圖乙是振子做簡諧運動的x-t圖像。下列說法正確的是(　　)
[A] 振子從C點經過O點運動到B點為一次全振動
[B] 圖乙中的P點時刻,振子的速度沿正方向
[C] 振子的振動方程為x=0.1sin(2πt+)m
[D] 振子在前1.5 s內的位移大小為0.2 m
(1)根據圖像寫表達式。
①從圖像中找出振幅A和周期T,ω=。
②根據t=0時的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
③把A、ω、φ代入表達式x=Asin(ωt+φ)即可(若圖像為余弦函數圖像或其他形式也可以用該方法求得,只不過φ不相同)。
(2)根據表達式畫圖像。
①根據x=Asin(ωt+φ)找出振幅A和振動周期T=。
②令t=0,找出初始時刻的位移x(x的正、負要有明確表示)。
③選好標度,作出正弦函數圖像。
[例5] 【簡諧運動的周期性與對稱性】 (2024·河北滄州三模)(多選)如圖所示,沿水平方向做簡諧運動的質點,經A點后向右運動,從質點經過A點時開始計時,t1=1 s時質點經過B點,t2=3 s時質點也經過B點,已知A、B兩點相距0.2 m且關于平衡位置對稱,則下列說法正確的是(　　)
[A] 該振動的振幅和周期可能是0.1 m,1 s
[B] 該振動的振幅和周期可能是0.1 m,0.4 s
[C] 若t1、t2時刻均向左經過B點,則振幅和周期可能為0.2 m,0.4 s
[D] 若t1、t2時刻分別向右、向左經過B點,則振幅和周期可能為0.2 m, s
考點三　單擺及周期公式
(1)如圖甲所示忽略擺球大小的情況下,擺球在紙面內擺動和垂直于紙面內做小角度擺動,等效擺長相同嗎 各是多少
提示:不同。紙面內擺動擺長l等效=l,垂直于紙面內擺動擺長l等效′=lsin α+l。
(2)如圖乙所示的單擺在懸點正下方l處有一釘子,懸線與釘子相碰無機械能損失,當擺球在紙面內擺動時,等效擺長為多少 擺動周期為多少
提示:左側等效擺長為l等效=l,右側等效擺長為l等效′=l。擺動周期T=+=π+π=π(+)。
(3)如圖丙所示處于豎直向下的勻強電場中的帶正電的擺球做簡諧運動,則擺球等效重力加速度為多少 若勻強電場水平向右呢
提示:擺球在平衡位置靜止時,細線的拉力FT=mg+qE,則等效重力加速度為g′==g+。若勻強電場水平向右,擺球平衡時如圖所示,則等效重力加速度為g″==。
(4)如圖丁所示,帶正電的擺球在勻強磁場中做簡諧運動,等效重力加速度為何值
提示:擺球擺動時擺球所受洛倫茲力不影響回復力,故等效重力加速度仍為g。
1.單擺分析
(1)簡諧運動的條件:θ<5°。
(2)受力特征:重力和細線的拉力。
①回復力:擺球重力沿切線方向上的分力,F=mgsin θ=-x=-kx,負號表示回復力F與位移x的方向相反。
②向心力:細線的拉力和重力沿細線方向的分力的合力充當向心力,F向=FT-mgcos θ。
當擺球在最高點時,F向==0,FT=mgcos θ。
當擺球在最低點時,F向=,F向最大,FT=mg+m。
2.類單擺模型
(1)有些情況下,單擺處在并非只有重力場的環境中,即為類單擺,則T=2π中,l為等效擺長,g為等效重力加速度。如圖所示,為豎直面內的光滑圓弧,且 R,當小球在間運動時,其運動為類單擺運動,等效擺長為R。
(2)等效重力加速度。
①對于不同星球表面:g=,M與R分別為星球的質量與半徑。
②單擺處于超重或失重狀態時:g效=g±a。
③重力場與勻強電場中:g效=。
[例6] 【單擺周期公式的應用】 (2024·江蘇模擬)一單擺在豎直平面內做小角度擺動。擺球從左側最高點A運動到最低點C時,擺線被懸點O(未畫出)正下方的釘子P擋住,之后球運動到右側最高點B,該過程中的頻閃照片如圖所示,已知閃光的時間間隔相等,PC=l。則O、P兩點間的距離為(　　)
[A] l [B] l [C] l [D] l
[例7] 【單擺振動圖像的應用】 (2024·河北保定一模)甲、乙兩個單擺在同一地理位置做簡諧振動的圖像分別如圖中曲線甲、乙所示,根據圖像所提供的信息來判斷,下列說法正確的是(　　)
[A] 甲的周期為4.8 s
[B] 乙的周期為1.8 s
[C] 甲、乙的擺長之比為9∶16
[D] 0~7.2 s內乙的路程為1.5 m
[例8] 【類單擺問題】 (2024·浙江6月選考卷,9)如圖所示,不可伸長的光滑細線穿過質量為0.1 kg的小鐵球,兩端A、B懸掛在傾角為30°的固定斜桿上,間距為1.5 m。小球平衡時,A端細線與桿垂直;當小球受到垂直于紙面方向的擾動做微小擺動時,等效于懸掛點位于小球重垂線與AB交點的單擺,重力加速度g=10 m/s2,則(　　)
[A] 擺角變小,周期變大
[B] 小球擺動周期約為2 s
[C] 小球平衡時,A端拉力為 N
[D] 小球平衡時,A端拉力小于B端拉力
考點四　受迫振動和共振
1.簡諧運動、受迫振動和共振的比較
項目 振動 簡諧運動 受迫振動 共振
受力情況 受回復力 受驅動力作用 受驅動力作用
振動周 期或頻率 由系統本身性質決定,即固有周期T0或固有頻率f0 由驅動力的周期或頻率決定,即T=T驅或f=f驅 T驅=T0或f驅=f0
振動能量 振動系統的機械能不變 由產生驅動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大
常見例子 彈簧振子或單擺(θ≤5°) 機械工作時底座發生的振動 共振篩、聲音的共鳴等
2.對共振的理解
(1)共振曲線。
如圖所示,橫坐標為驅動力的頻率f,縱坐標為振幅A。它直觀地反映了驅動力的頻率對某固有頻率為f0的振動系統做受迫振動時振幅的影響。由圖可知,f與f0越接近,振幅A越大;當f=f0時,振幅A最大。
(2)受迫振動中系統能量的轉化。
做受迫振動的系統的機械能不守恒,系統與外界時刻進行能量交換。
[例9] 【共振曲線的理解】 (2024·山東淄博一模)(多選)我國加速穩步推進載人登月,未來中國航天員將登上月球。試想航天員用同一裝置對同一單擺分別在地球和月球上做受迫振動實驗,得到如圖所示的共振曲線,共振頻率為f1、f2。將月球視為密度均勻、半徑為r的球體,引力常量為G,地球表面的重力加速度為g,不考慮星球自轉的影響。下列說法正確的是(　　)
[A] 該單擺在月球上的共振頻率為f2
[B] 月球表面的重力加速度g月=g
[C] 月球的質量M月=
[D] 月球的密度ρ月=
[例10] 【受迫振動的理解】 (2024·甘肅蘭州檢測)如圖所示的裝置,在曲軸上懸掛一個彈簧振子,若不轉動把手,讓其自由振動,周期為T1。現使把手以周期T2勻速轉動(T2>T1),當其運行到穩定后,則(　　)
[A] 彈簧振子的振動周期為T1
[B] 彈簧振子的振動周期為T1+T2
[C] 要使彈簧振子的振幅增大,可讓把手的轉速減小
[D] 要使彈簧振子的振幅增大,可讓把手的轉速增大
(滿分:60分)
對點1.簡諧運動的基本特征
1.(4分)(2024·河北卷,6)如圖,一電動機帶動輕桿在豎直框架平面內勻速轉動,輕桿一端固定在電動機的轉軸上,另一端懸掛一紫外光筆,轉動時紫外光始終豎直投射至水平鋪開的感光紙上,沿垂直于框架的方向勻速拖動感光紙,感光紙上就畫出了描述光點振動的x-t圖像。已知輕桿在豎直面內長0.1 m,電動機轉速為12 r/min。該振動的圓頻率和光點在12.5 s內通過的路程分別為(　　)
[A] 0.2 rad/s,1.0 m
[B] 0.2 rad/s,1.25 m
[C] 1.26 rad/s,1.0 m
[D] 1.26 rad/s,1.25 m
2.(6分)(2024·安徽合肥期中)(多選)如圖所示,小球在豎直平面內以半徑為R、角速度為ω沿逆時針方向做勻速圓周運動,用豎直向下的平行光照射小球,觀察到其影子在水平面上做簡諧運動。取圓心投影點O′為原點,水平向右為正方向建立O′x坐標系,從小球某次經最低點的時刻開始計時,關于影子的說法正確的是(　　)
[A] 振幅為R
[B] 振動過程中的最大加速度為ω2R
[C] 振動周期為
[D] 位移表達式為x=Rsin(ωt+π)
3.(4分)(2024·甘肅卷,5)如圖為某單擺的振動圖像,重力加速度g取 10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] 擺長為1.6 m,起始時刻速度最大
[B] 擺長為2.5 m,起始時刻速度為零
[C] 擺長為1.6 m,A、C點的速度相同
[D] 擺長為2.5 m,A、B點的速度相同
4.(4分)(2024·河北張家口三模)“桿線擺”結構如圖所示,輕桿一端通過活動鉸鏈與立柱OO′垂直連接,另一端安裝質量為m的擺球,細線一端拉住擺球,另一端系在立柱上的A點,給擺球一垂直于紙面的較小速度,使輕桿垂直于立柱OO′來回擺動,擺動角度小于5°,擺球的運動軌跡被約束在一個傾斜的平面內。已知立柱OO′與豎直方向的夾角及細線與輕桿的夾角均為θ=30°,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
[A] 擺球在擺動過程中細線上的拉力大小為 mg
[B] 擺球靜止在平衡位置時輕桿對擺球作用力大小為 mg
[C] 擺球向平衡位置運動過程中輕桿對擺球作用力增大
[D] 若增大細線長度使A點上移則擺球運動周期增大
5.(4分)(2024·山東德州期中)轎車的懸掛系統是由車身與輪胎間的彈簧及避震器組成的支持系統。某型號轎車的“車身—懸掛系統”振動的固有周期是0.4 s,這輛汽車勻速通過某路口的條狀減速帶,如圖所示,已知相鄰兩條減速帶間的距離為1.2 m,該車經過該減速帶過程中,下列說法正確的是(　　)
[A] 當轎車以10.8 km/h的速度通過減速帶時,車身上下顛簸得最劇烈
[B] 轎車通過減速帶的速度越小,車身上下振動的幅度也越小
[C] 轎車通過減速帶的速度越大,車身上下顛簸得越劇烈
[D] 該轎車以任意速度通過減速帶時,車身上下振動的頻率都等于2.5 Hz,與車速無關
6.(4分)(2024·北京卷,9)圖甲為用手機和輕彈簧制作的一個振動裝置。手機加速度傳感器記錄了手機在豎直方向的振動情況,以向上為正方向,得到手機振動過程中加速度a隨時間t變化的曲線為正弦曲線,如圖乙所示。下列說法正確的是(　　)
[A] t=0時,彈簧彈力為0
[B] t=0.2 s時,手機位于平衡位置上方
[C] 從t=0至t=0.2 s,手機的動能增大
[D] a隨t變化的關系式為a=4sin(2.5πt)m/s2
7.(6分)(2024·海南卷,12)(多選)真空中有兩個點電荷,電荷量均為-q(q≥0),固定于相距為2r的P1、P2兩點,O是P1P2連線的中點,M點在P1P2連線的中垂線上,距離O點為r,N點在P1P2連線上,距離O點為x(x r),已知靜電力常量為k,則下列說法正確的是(　　)
[A] P1P2中垂線上電場強度最大的點到O點的距離為r
[B] P1P2中垂線上電場強度的最大值為
[C] 在M點放入一電子,從靜止釋放,電子的加速度一直減小
[D] 在N點放入一電子,從靜止釋放,電子的運動可視為簡諧運動
8.(13分)(2024·江蘇南通模擬)1610年,伽利略用自制的望遠鏡發現了木星的四顆主要衛星。根據他的觀察,其中一顆衛星P做振幅為A、周期為T的簡諧運動,他推測該衛星振動是衛星做圓周運動在某方向上的投影。如圖所示是衛星P運動的示意圖,在xOy平面內,質量為m的衛星P繞坐標原點O做勻速圓周運動。若認為木星位于坐標原點O。
(1)求衛星P做圓周運動的向心力大小;
(2)物體做簡諧運動時,回復力應滿足F=-kx。試證明:衛星P繞木星做勻速圓周運動在x軸上的投影是簡諧運動。
9.(15分)(2024·重慶一模)如圖,光滑圓槽的半徑L遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三小球(均可視為質點)同時由靜止釋放,開始時乙球的位置B低于甲球位置A,甲球與圓心連線和豎直方向夾角為θ,丙球釋放位置C為圓槽的圓心,O為圓槽最低點,重力加速度為g。若甲、乙、丙三球不相碰。
(1)求甲球運動到O點速度大小;
(2)通過計算分析,甲、乙、丙三球誰先第一次到達O點;
(3)若單獨釋放甲球從釋放到第15次經過O點所經歷的時間。
(
第
11
頁
)(共77張PPT)
高中總復習·物理
第1講　
機械振動
情境導思
擺鐘是一種時鐘,是根據單擺原理制造的,用擺錘控制其他機件,使鐘走得快慢均勻。
(1)單擺的周期與擺錘的質量有關嗎
(2)鐘擺做的是什么運動
知識構建
平衡位置
回復力
平衡位置
平衡位置
效果
合力
分力
-kx
Asin(ωt+φ)
初相
Asin ωt
Acos ωt
知識構建
驅動力
驅動力
無關
固有頻率
等于
振幅
小題試做
1.一個單擺做受迫振動,其共振曲線(振幅A與驅動力的頻率f的關系)如圖所示,則(　　)
[A] 此單擺的固有周期約為0.5 s
[B] 此單擺的擺長約為1 m
[C] 若擺長增大,單擺固有頻率增大
[D] 若擺長增大,共振曲線的峰將向右移動
B
小題試做
2.(2024·黑龍江哈爾濱模擬)(多選)如圖甲所示,彈簧振子以O點為平衡位置,在光滑水平面上的A、B兩點之間做簡諧運動。取水平向右為正方向,振子的位移x隨時間t變化的正弦曲線如圖乙所示,彈簧的勁度系數為2 N/m,下列說法正確的是(　 　)
[A] t=2 s時,振子的加速度為零
[B] 振子在t=0.1 s時和t=0.3 s時速度相同
[C] t=1.8 s時,回復力大小為0.4 N
[D] 0~1.8 s時間內,振子運動的路程為1.8 m
ACD
(1)如圖甲所示在光滑水平面上,兩根輕彈簧勁度系數分別為k1、k2,中間連接一滑塊,開始兩彈簧均處于原長狀態,現在使滑塊向右移動位移x,由靜止釋放后滑塊做簡諧運動,什么力提供其做簡諧運動的回復力 導出其表達式。
甲
提示:兩彈簧彈力的合力提供滑塊做簡諧運動的回復力。設向右為正方向,回復力F=-(k1+k2)x,k1、k2為常數,則F=-kx。
(2)如圖乙所示,在水平面上有一小物塊與左端固定的輕質彈簧相連,彈簧處于原長時小物塊位于O點。現將小物塊拉至N點,釋放后小物塊做往復運動。小物塊和水平面間各處的動摩擦因數相同,則小物塊的往復運動過程是不是簡諧運動 只看向左或向右運動的單一過程,其運動規律是否符合簡諧運動規律 小物塊第一次向左運動的過程和第一次向右運動的過程所用時間有什么關系
乙
提示:小物塊由于受到摩擦阻力的作用,振幅越來越小,故其往復運動過程不是簡諧運動。只看向左或向右運動的單一過程,小物塊在彈簧彈力和恒定的滑動摩擦力作用下運動,符合簡諧運動規律。根據彈簧振子的周期決定因素可知,周期與振幅無關,故小物塊第一次向左運動過程和第一次向右運動過程所用時間相等,均為半個周期。
1.簡諧運動的基本特征
受力 特點 回復力F=-kx,F(或a)的大小與x的大小成正比,方向相反
運動 特點 衡位置時,a、F、x都減小,v增大;遠離平衡位置時,a、F、x都增大,v減小
能量 振幅越大,能量越大。在運動過程中,動能和勢能相互轉化,系統的機械能守恒
周期性 做簡諧運動的物體的位移、回復力、加速度和速度均隨時間做周期性變化,變化周期就是簡諧運動的周期T;動能和勢能也隨時間做周期性變化,其變化周期為
2.兩種典型模型
模型 彈簧振子 單擺
示 意 圖
簡諧 運動 條件 (1)彈簧質量可忽略。 (2)無摩擦等阻力。 (3)在彈簧彈性限度內 (1)擺線為不可伸縮的輕細線。
(2)無空氣阻力。
(3)擺角小于或等于5°
3.幾種簡諧運動常見模型
模型 圖示 回復力來源
彈簧振子模型 (豎直面振動) 物體所受重力與彈簧彈力的合力
彈簧振子模型 (光滑斜面振動) 物體所受重力沿斜面的分力與彈簧彈力的合力
連接體模型(M在光滑水平面振動) 物體M對m的摩擦力提供m的回復力
類單擺模型(光滑弧面小弧度振動) 小球所受重力沿圓弧切線方向的分力
魚漂模型(豎直面振動) 物體所受重力與水對物體浮力的合力
[例1] 【簡諧運動基本物理量的分析】 如圖所示,物塊在光滑水平面B、C之間做簡諧運動,當物塊位于O點時,彈簧處于原長,在物塊從C運動到O的過程中(　　)
[A] 動能不斷增大,加速度不斷減小
[B] 回復力不斷增大,系統機械能守恒
[C] 彈性勢能不斷減小,加速度不斷增大
[D] 彈性勢能不斷增大,加速度不斷減小
A
【解析】 做簡諧運動的物塊,從C到O的過程中逐漸衡位置,速度方向指向平衡位置,彈簧彈力充當回復力,也指向平衡位置,故速度方向與彈力方向相同,所以彈力做正功,動能增大;由于偏離平衡位置的位移不斷減小,由回復力公式F=-kx可知,回復力不斷減小,根據牛頓第二定律可知F=-kx=ma,故加速度不斷減小;整個系統只有系統內的彈力做功,故系統的機械能守恒;在小球從C到O的過程中,彈簧形變量不斷減小,故彈性勢能不斷減小,故A正確,
B、C、D錯誤。
[變式] 【振子質量變化時對簡諧運動各物理量的影響】 如圖所示,在[例1]
中,當振子運動到最大位移C處時,在小物塊上放上一同樣的小物塊共同做簡諧運動,則振子的周期、振幅、最大動能和最大速度以及系統的最大勢能、機械能都會發生什么變化
[例2] 【簡諧運動的證明】 (2024·河北邯鄲三模)已知質量均勻分布的球殼對球殼內部的質點的萬有引力為零。如圖所示,在地球北緯60°的A處鑿開一個穿過地軸的直線隧道,直通北緯60°的B處,假設隧道光滑,現將一個質量為m的物體在A處無初速度釋放,地球質量為M,半徑為R,引力常量為G,不考慮地球自轉。下列說法正確的是(　　)
[A] 物體在隧道內做勻變速直線運動
B
【解析】 如圖所示,
1.利用振動圖像可獲取的信息
(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ0。
(2)某時刻振動質點離開平衡位置的位移。
(3)某時刻質點速度的大小和方向:曲線上各點切線斜率的絕對值和正負分別表示各時刻質點的速度大小和方向,速度的方向也可根據下一相鄰時刻質點的位移的變化來確定。
(4)某時刻質點的回復力和加速度的方向:回復力總是指向平衡位置,回復力和加速度的方向相同。
(5)某段時間內質點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況。
2.簡諧運動的對稱性和周期性在圖像中的特點(如圖)
(1)相隔Δt=nT(n=1,2,3,…)的兩個時刻,彈簧振子在同一位置,位移和速度都相同。
[例3] 【簡諧運動的圖像分析】 某簡諧運動的y-t圖像如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
[A] 振幅為2 cm
[B] 頻率為2.5 Hz
[C] 0.1 s時速度為零
[D] 0.2 s時加速度方向沿y軸負方向
B
方法點撥
簡諧運動圖像問題的分析方法
解決簡諧運動圖像問題時,首先要理解x-t圖像的意義,其次要把x-t圖像與質點的實際振動過程聯系起來。圖像上的一個點表示振動中的一個狀態
(位置、振動方向等),圖像上的一段曲線對應振動的一個過程,關鍵是判斷好平衡位置、最大位移及振動方向。
[例4] 【簡諧運動的表達式】 (2024·四川成都開學考試)如圖甲,水平彈簧振子的平衡位置為O點,振子在B、C兩點之間做簡諧運動,規定水平向右為正方向。圖乙是振子做簡諧運動的x-t圖像。下列說法正確的是(　　)
[A] 振子從C點經過O點運動到B點為一次全振動
[B] 圖乙中的P點時刻,振子的速度沿正方向
D
方法點撥
(1)根據圖像寫表達式。
②根據t=0時的位移求出初相φ,即x0=Asin φ。
③把A、ω、φ代入表達式x=Asin(ωt+φ)即可(若圖像為余弦函數圖像或其他形式也可以用該方法求得,只不過φ不相同)。
方法點撥
(2)根據表達式畫圖像。
②令t=0,找出初始時刻的位移x(x的正、負要有明確表示)。
③選好標度,作出正弦函數圖像。
[例5] 【簡諧運動的周期性與對稱性】 (2024·河北滄州三模)(多選)如圖所
示,沿水平方向做簡諧運動的質點,經A點后向右運動,從質點經過A點時開始計時,t1=1 s時質點經過B點,t2=3 s時質點也經過B點,已知A、B兩點相距0.2 m且關于平衡位置對稱,則下列說法正確的是( 　 　)
[A] 該振動的振幅和周期可能是0.1 m,1 s
[B] 該振動的振幅和周期可能是0.1 m,0.4 s
[C] 若t1、t2時刻均向左經過B點,則振幅和周期可能為0.2 m,0.4 s
BCD
(1)如圖甲所示忽略擺球大小的情況下,擺球在紙面內擺動和垂直于紙面內做小角度擺動,等效擺長相同嗎 各是多少
提示:不同。紙面內擺動擺長l等效=l,垂直于紙面內擺動擺長l等效′=lsin α+l。
(3)如圖丙所示處于豎直向下的勻強電場中的帶正電的擺球做簡諧運動,則擺球等效重力加速度為多少 若勻強電場水平向右呢
(4)如圖丁所示,帶正電的擺球在勻強磁場中做簡諧運動,等效重力加速度為何值
提示:擺球擺動時擺球所受洛倫茲力不影響回復力,故等效重力加速度仍為g。
1.單擺分析
(1)簡諧運動的條件:θ<5°。
(2)受力特征:重力和細線的拉力。
2.類單擺模型
(2)等效重力加速度。
[例6] 【單擺周期公式的應用】 (2024·江蘇模擬)一單擺在豎直平面內做小角度擺動。擺球從左側最高點A運動到最低點C時,擺線被懸點O(未畫出)正下方的釘子P擋住,之后球運動到右側最高點B,該過程中的頻閃照片如圖所示,已知閃光的時間間隔相等,PC=l。則O、P兩點間的距離為(　　)
B
[例7] 【單擺振動圖像的應用】 (2024·河北保定一模)甲、乙兩個單擺在同一地理位置做簡諧振動的圖像分別如圖中曲線甲、乙所示,根據圖像所提供的信息來判斷,下列說法正確的是(　　)
[A] 甲的周期為4.8 s
[B] 乙的周期為1.8 s
[C] 甲、乙的擺長之比為9∶16
[D] 0~7.2 s內乙的路程為1.5 m
A
[例8] 【類單擺問題】 (2024·浙江6月選考卷,9)如圖所示,不可伸長的光滑細線穿過質量為0.1 kg的小鐵球,兩端A、B懸掛在傾角為30°的固定斜桿上,間距為1.5 m。小球平衡時,A端細線與桿垂直;當小球受到垂直于紙面方向的擾動做微小擺動時,等效于懸掛點位于小球重垂線與AB交點的單擺,重力加速度g=10 m/s2,則(　　)
[A] 擺角變小,周期變大
[B] 小球擺動周期約為2 s
[D] 小球平衡時,A端拉力小于B端拉力
B
1.簡諧運動、受迫振動和共振的比較
項目 振動 簡諧運動 受迫振動 共振
受力情況 受回復力 受驅動力作用 受驅動力作用
振動周 期或頻率 由系統本身性質決定,即固有周期T0或固有頻率f0 由驅動力的周期或頻率決定,即T=T驅或 f=f驅 T驅=T0或f驅=f0
振動能量 振動系統的機械能不變 由產生驅動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大
常見例子 彈簧振子或單擺(θ≤5°) 機械工作時底座發生的振動 共振篩、聲音的共鳴等
2.對共振的理解
(1)共振曲線。
如圖所示,橫坐標為驅動力的頻率f,縱坐標為振幅A。它直觀地反映了驅動力的頻率對某固有頻率為f0的振動系統做受迫振動時振幅的影響。由圖可知,f與f0越接近,振幅A越大;當f=f0時,振幅A最大。
(2)受迫振動中系統能量的轉化。
做受迫振動的系統的機械能不守恒,系統與外界時刻進行能量交換。
[例9] 【共振曲線的理解】 (2024·山東淄博一模)(多選)我國加速穩步推進載人登月,未來中國航天員將登上月球。試想航天員用同一裝置對同一單擺分別在地球和月球上做受迫振動實驗,得到如圖所示的共振曲線,共振頻率為f1、f2。將月球視為密度均勻、半徑為r的球體,引力常量為G,地球表面的重力加速度為g,不考慮星球自轉的影響。下列說法正確的是(　 　)
BD
[例10] 【受迫振動的理解】 (2024·甘肅蘭州檢測)如圖所示的裝置,在曲軸上懸掛一個彈簧振子,若不轉動把手,讓其自由振動,周期為T1。現使把手以周期T2勻速轉動(T2>T1),當其運行到穩定后,則(　 　)
[A] 彈簧振子的振動周期為T1
[B] 彈簧振子的振動周期為T1+T2
[C] 要使彈簧振子的振幅增大,可讓把手的轉速減小
[D] 要使彈簧振子的振幅增大,可讓把手的轉速增大
D
【解析】 現使把手以周期T2勻速轉動,彈簧振子做受迫振動,所以彈簧振子振動周期為T2,故A、B錯誤;振子發生共振,振幅最大,由于T2>T1,當把轉速增大時,驅動力的頻率與固有頻率相差越小,所以共振越明顯,振幅越大,故C錯誤,D正確。
基礎對點練
對點1.簡諧運動的基本特征
1.(4分)(2024·河北卷,6)如圖,一電動機帶動輕桿在豎直框架平面內勻速轉動,輕桿一端固定在電動機的轉軸上,另一端懸掛一紫外光筆,轉動時紫外光始終豎直投射至水平鋪開的感光紙上,沿垂直于框架的方向勻速拖動感光紙,感光紙上就畫出了描述光點振動的x-t圖像。已知輕桿在豎直面內長0.1 m,電動機轉速為12 r/min。該振動的圓頻率和光點在12.5 s內通過的路程分別為
(　　)
[A] 0.2 rad/s,1.0 m [B] 0.2 rad/s,1.25 m
[C] 1.26 rad/s,1.0 m [D] 1.26 rad/s,1.25 m
C
對點2.簡諧運動的表達式和圖像
2.(6分)(2024·安徽合肥期中)(多選)如圖所示,小球在豎直平面內以半徑為R、角速度為ω沿逆時針方向做勻速圓周運動,用豎直向下的平行光照射小球,觀察到其影子在水平面上做簡諧運動。取圓心投影點O′為原點,水平向右為正方向建立O′x坐標系,從小球某次經最低點的時刻開始計時,關于影子的說法正確的是(　 　 )
[A] 振幅為R
[B] 振動過程中的最大加速度為ω2R
ABC
[D] 位移表達式為x=Rsin(ωt+π)
對點3.單擺及周期公式
3.(4分)(2024·甘肅卷,5)如圖為某單擺的振動圖像,重力加速度g取 10 m/s2。下列說法正確的是(　　)
[A] 擺長為1.6 m,起始時刻速度最大
[B] 擺長為2.5 m,起始時刻速度為零
[C] 擺長為1.6 m,A、C點的速度相同
[D] 擺長為2.5 m,A、B點的速度相同
C
4.(4分)(2024·河北張家口三模)“桿線擺”結構如圖所示,輕桿一端通過活動鉸鏈與立柱OO′垂直連接,另一端安裝質量為m的擺球,細線一端拉住擺球,另一端系在立柱上的A點,給擺球一垂直于紙面的較小速度,使輕桿垂直于立柱OO′來回擺動,擺動角度小于5°,擺球的運動軌跡被約束在一個傾斜的平面內。已知立柱OO′與豎直方向的夾角及細線與輕桿的夾角均為θ=30°,重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
A
[C] 擺球向平衡位置運動過程中輕桿對擺球作用力增大
[D] 若增大細線長度使A點上移則擺球運動周期增大
【解析】 擺球在平衡位置靜止時,對擺球受力分析,如圖所示,
對點4.受迫振動和共振
5.(4分)(2024·山東德州期中)轎車的懸掛系統是由車身與輪胎間的彈簧及避震器組成的支持系統。某型號轎車的“車身—懸掛系統”振動的固有周期是0.4 s,這輛汽車勻速通過某路口的條狀減速帶,如圖所示,已知相鄰兩條減速帶間的距離為1.2 m,該車經過該減速帶過程中,下列說法正確的是(　　)
[A] 當轎車以10.8 km/h的速度通過減速帶時,車身上下顛簸得最劇烈
[B] 轎車通過減速帶的速度越小,車身上下振動的幅度也越小
[C] 轎車通過減速帶的速度越大,車身上下顛簸得越劇烈
[D] 該轎車以任意速度通過減速帶時,車身上下振動的頻率都等于2.5 Hz,與車速無關
A
因過減速帶使車身上下振動的頻率與車身系統的固有頻率越接近,車身上下振動的幅度越大,所以當轎車通過減速帶的速度越小,車身上下振動的幅度不一定越小,速度越大時,車身上下顛簸得也不一定越劇烈,故B、C錯誤;受迫振動的物體的振動頻率等于驅動力的頻率,故該轎車以任意速度通過減速帶時,車身上下振動的頻率不都等于2.5 Hz,與車速有關,故D錯誤。
6.(4分)(2024·北京卷,9)圖甲為用手機和輕彈簧制作的一個振動裝置。手機加速度傳感器記錄了手機在豎直方向的振動情況,以向上為正方向,得到手機振動過程中加速度a隨時間t變化的曲線為正弦曲線,如圖乙所示。下列說法正確的是(　　)
[A] t=0時,彈簧彈力為0
[B] t=0.2 s時,手機位于平衡位置上方
[C] 從t=0至t=0.2 s,手機的動能增大
[D] a隨t變化的關系式為a=4sin(2.5πt)m/s2
D
綜合提升練
7.(6分)(2024·海南卷,12)(多選)真空中有兩個點電荷,電荷量均為-q(q≥0),固定于相距為2r的P1、P2兩點,O是P1P2連線的中點,M點在P1P2連線的中垂線上,距離O點為r,N點在P1P2連線上,距離O點為x(x r),已知靜電力常量為k,則下列說法正確的是(　 　)
[C] 在M點放入一電子,從靜止釋放,電子的加速度一直減小
[D] 在N點放入一電子,從靜止釋放,電子的運動可視為簡諧運動
BCD
8.(13分)(2024·江蘇南通模擬)1610年,伽利略用自制的望遠鏡發現了木星的四顆主要衛星。根據他的觀察,其中一顆衛星P做振幅為A、周期為T的簡諧運動,他推測該衛星振動是衛星做圓周運動在某方向上的投影。如圖所示是衛星P運動的示意圖,在xOy平面內,質量為m的衛星P繞坐標原點O做勻速圓周運動。若認為木星位于坐標原點O。
(1)求衛星P做圓周運動的向心力大小;
(2)物體做簡諧運動時,回復力應滿足F=-kx。試證明:衛星P繞木星做勻速圓周運動在x軸上的投影是簡諧運動。
9.(15分)(2024·重慶一模)如圖,光滑圓槽的半徑L遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三小球(均可視為質點)同時由靜止釋放,開始時乙球的位置B低于甲球位置A,甲球與圓心連線和豎直方向夾角為θ,丙球釋放位置C為圓槽的圓心,O為圓槽最低點,重力加速度為g。若甲、乙、丙三球不相碰。
(1)求甲球運動到O點速度大小;
(2)通過計算分析,甲、乙、丙三球誰先第一次到達O點;
【答案】 (2)丙球
(3)若單獨釋放甲球從釋放到第15次經過O點所經歷的時間。

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