資源簡介

第3講　實(shí)驗(yàn):用單擺測量重力加速度
一、實(shí)驗(yàn)裝置
二、實(shí)驗(yàn)器材
帶孔小球、伸縮性小的細(xì)線(約1 m長)、鐵架臺、鐵夾、刻度尺、停表、游標(biāo)卡尺。
三、實(shí)驗(yàn)步驟
1.在細(xì)線的一端打一個比小球上的孔徑稍大的結(jié),將細(xì)線穿過球上的小孔。
2.把細(xì)線上端固定在鐵架臺的鐵夾上,使鐵夾伸到桌面以外,讓擺球自然下垂,在單擺平衡位置處做上標(biāo)記。
3.用刻度尺量出懸線長l′(準(zhǔn)確到mm),用游標(biāo)卡尺測出小球的直徑d,然后計(jì)算出懸點(diǎn)到球心的距離l=l′+,即為擺長。
4.把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(小于5°),然后放開小球讓它擺動,用停表測出單擺完成30~50次全振動的時間,計(jì)算出平均完成一次全振動的時間,即為單擺的振動周期。
5.變條件:改變擺長,重做幾次實(shí)驗(yàn)。
四、數(shù)據(jù)處理
1.公式法:將相應(yīng)的l和T代入公式g=中求出g值,通過改變擺長,求得重力加速度g的平均值。
2.圖像法:由單擺周期公式T=2π,可得l=T2,以擺長l為縱坐標(biāo),以T2為橫坐標(biāo)作出的l-T2圖像是一條過原點(diǎn)的直線,如圖所示,其斜率k=,由圖像斜率即可求得重力加速度g。
五、注意事項(xiàng)
1.實(shí)驗(yàn)所用的單擺應(yīng)符合理論要求,即線要細(xì)且彈性要小,擺球用密度和質(zhì)量較大的小球,并且要在擺角不超過5°的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
2.要使單擺在豎直平面內(nèi)振動,不能使其形成圓錐擺,方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放。
3.測量擺長時,擺長應(yīng)為懸線長與擺球的半徑之和。
4.測量單擺周期時,應(yīng)從擺球通過平衡位置開始計(jì)時,并且采用倒數(shù)到0開始計(jì)時的方法,4、3、2、1、0、1、2、3…在數(shù)“0”的同時按下停表開始計(jì)時計(jì)數(shù)。
5.要注意進(jìn)行多次測量,并取平均值。
六、誤差分析
1.系統(tǒng)誤差主要來源
單擺模型本身是否符合要求:①懸點(diǎn)是否固定。②小球與細(xì)線是否符合要求。③是單擺運(yùn)動還是圓錐擺運(yùn)動等。
2.本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來源
(1)振動時間t(單擺周期T=)的測量:是否從擺球通過平衡位置開始計(jì)時、多記或漏記全振動的次數(shù)、停表的讀數(shù)等。
(2)長度的測量:測量擺線長、擺球的直徑讀數(shù)時的誤差等。
考點(diǎn)一　基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)
[例1] 【實(shí)驗(yàn)原理與操作】 (2024·廣西卷,11)單擺可作為研究簡諧運(yùn)動的理想模型。
(1)制作單擺時,在圖甲、圖乙兩種單擺的懸掛方式中,選擇圖甲方式的目的是要保持?jǐn)[動中　　　　不變。
(2)用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑,測得讀數(shù)如圖丙,則擺球直徑為　　　　 cm。
(3)若將一個周期為T的單擺,從平衡位置拉開5°的角度釋放,忽略空氣阻力,擺球的振動可看作簡諧運(yùn)動。當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間,以釋放時刻作為計(jì)時起點(diǎn),則擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關(guān)系為　　　　　　　　　　　。
【答案】 (1)擺長　(2)1.06 (3)x=cos(t)
【解析】 (1)選擇題圖甲方式的目的是要保持?jǐn)[動中擺長不變。
(2)擺球直徑為d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
(3)根據(jù)單擺的周期公式T=2π可得單擺的擺長為l=,從平衡位置拉開5°的角度處釋放,可得振幅為A=lsin 5°,以該位置為計(jì)時起點(diǎn),根據(jù)簡諧運(yùn)動規(guī)律可得擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關(guān)系為x=Acos ωt=cos(t)。
[例2] 【實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理】 (2025·河南高考適應(yīng)性考試)學(xué)生實(shí)驗(yàn)小組利用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?br/>實(shí)驗(yàn)器材有:鐵架臺、細(xì)線、擺球、秒表、卷尺等。
完成下列問題:
(1)實(shí)驗(yàn)時,將細(xì)線的一端連接擺球,另一端固定在鐵架臺上O點(diǎn),如圖甲所示,然后將擺球拉離平衡位置。使細(xì)線與豎直方向成夾角θ(θ<5°),釋放擺球,讓單擺開始擺動。為了減小計(jì)時誤差,應(yīng)該在擺球擺至　　　　(選填“最低點(diǎn)”或“最高點(diǎn)”)時開始計(jì)時。
(2)選取擺線長度為100.0 cm時,測得擺球擺動30個完整周期的時間(t)為60.60 s。若將擺線長度視為擺長,求得重力加速度大小為　　 　 m/s2。(取π2=9.870,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)
(3)選取不同的擺線長度重復(fù)上述實(shí)驗(yàn),相關(guān)數(shù)據(jù)匯總在下表中,在坐標(biāo)紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關(guān)系曲線,如圖乙所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
設(shè)直線斜率為k,則重力加速度可表示為g=　　　　(用k表示)。由圖乙求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮椤　　　?m/s2(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
(4)用圖像法得到的重力加速度數(shù)值要比(2)中得到的結(jié)果更精確,原因是　 。
【答案】 (1)最低點(diǎn)　(2)9.68　(3)4π2k　9.69
(4)見解析
【解析】 (1)擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時速度最大,測量周期誤差最小,故應(yīng)選擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時開始計(jì)時。
(2)周期T== s=2.02 s,由單擺周期公式T=2π,解得g=≈9.68 m/s2。
(3)由上述分析有l(wèi)=T2,可知斜率k=== m/s2= m/s2,故 g=4π2k,代入數(shù)據(jù)解得g≈9.69 m/s2。
(4)用圖像法處理數(shù)據(jù)時,無論是否考慮擺球半徑,圖像斜率均為,對g的測量結(jié)果沒有影響。
[例3] 【實(shí)驗(yàn)原理與誤差分析】 (2024·湖北武漢模擬)在“用單擺測量重力加速度”實(shí)驗(yàn)中:
(1)用游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑,測量結(jié)果如圖甲所示,則該擺球的直徑為　　　　cm,用最小刻度為1 mm的刻度尺測擺長,測量情況如圖乙所示,懸掛點(diǎn)與刻度尺0刻度線對齊,由圖甲和圖乙可知單擺的擺長為　　　　m(結(jié)果保留3位小數(shù))。
(2)將單擺正確懸掛后進(jìn)行如下操作,其中正確的是　　　　。(多選)
A.實(shí)驗(yàn)時可以用停表測量擺球完成1次全振動所用時間并作為單擺的周期
B.把擺球從平衡位置拉開一個很小的角度靜止釋放,使之做簡諧運(yùn)動
C.實(shí)驗(yàn)時將擺球拉開一個很小的角度靜止釋放,并同時啟動停表開始計(jì)時
D.擺球應(yīng)選體積小,密度大的金屬小球
(3)用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2-L圖像,可以求出重力加速度g。已知三位同學(xué)作出的T2-L圖線的示意圖如圖丙中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都過原點(diǎn),圖線b對應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹怠t相對于圖線b,下列分析正確的是　　　　。
A.出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長L
B.出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將51次全振動記為50次
C.圖線c對應(yīng)的重力加速度g大于圖線b對應(yīng)的g值
【答案】 (1)0.95　0.992　(2)BD　(3)C
【解析】 (1)游標(biāo)卡尺分度值為0.1 mm,可知擺球的直徑為d=9 mm+5×0.1 mm=0.95 cm;單擺的擺長為擺線的長度加上擺球的半徑,由題圖乙可得,擺線的長度為98.70 cm,則擺長為L=98.70 cm+ cm≈0.992 m。
(2)用停表測量單擺完成1次全振動所用時間并作為單擺的周期誤差較大,應(yīng)用累積法測量周期,即記錄n次全振動的時間t,則周期為T=,A錯誤;把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放,使之做簡諧運(yùn)動,B正確;為了減小測量誤差,在擺球經(jīng)過平衡位置時開始計(jì)時,C錯誤;為了減小擺球擺動過程中的空氣阻力,擺球應(yīng)選體積小,密度大的金屬小球,D正確。
(3)圖線a中擺長為零時就已出現(xiàn)了振動周期,一定是擺長測短了,原因可能是誤將懸點(diǎn)到擺球上端的距離記為擺長L,故A錯誤;實(shí)驗(yàn)中誤將51次全振動記為50次,則周期的測量值偏大,導(dǎo)致重力加速度測量值變小,根據(jù)圖線斜率k=,可知圖線斜率偏大,不會出現(xiàn)圖線c,故B錯誤;同理可知,圖線c的斜率小于圖線b的斜率,可知圖線c對應(yīng)的g值大于圖線b對應(yīng)的g值,故C正確。
考點(diǎn)二　創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)
[例4] 【實(shí)驗(yàn)器材創(chuàng)新】 (2024·黑吉遼卷,12)圖甲為一套半圓拱形七色彩虹積木示意圖,不同顏色的積木直徑不同。某同學(xué)通過實(shí)驗(yàn)探究這套積木小幅擺動時周期T與外徑D之間的關(guān)系。
(1)用刻度尺測量不同顏色積木的外徑D,其中對藍(lán)色積木的某次測量如圖乙所示,從圖中讀出D=　　　　 cm。
(2)將一塊積木靜置于硬質(zhì)水平桌面上,設(shè)置積木左端平衡位置的參考點(diǎn)O,將積木的右端按下后釋放,如圖丙所示。當(dāng)積木左端某次與O點(diǎn)等高時記為第0次并開始計(jì)時,第20次時停止計(jì)時,這一過程中積木擺動了　　　　個周期。
(3)換用其他積木重復(fù)上述操作,測得多組數(shù)據(jù)。為了探究T與D之間的函數(shù)關(guān)系,可用它們的自然對數(shù)作為橫、縱坐標(biāo)繪制圖像進(jìn)行研究,數(shù)據(jù)如下表所示:
顏色 紅 橙 黃 綠 青 藍(lán) 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制出ln T-ln D圖像如圖丁所示,則T與D的近似關(guān)系為　　　　。
A.T∝ B.T∝D2
C.T∝ D.T∝
(4)請寫出一條提高該實(shí)驗(yàn)精度的改進(jìn)措施: 　 。
【答案】 (1)7.55　(2)10　(3)A　(4)見解析
【解析】 (1)刻度尺的分度值為0.1 cm,需要估讀到分度值下一位,讀數(shù)為D=7.55 cm。
(2)積木左端兩次經(jīng)過參考點(diǎn)O為一個周期,當(dāng)積木左端某次與O點(diǎn)等高時記為第0次并開始計(jì)時,之后每計(jì)數(shù)一次,經(jīng)歷半個周期,可知,第20次時停止計(jì)時,這一過程中積木擺動了10個周期。
(3)由題圖丁可知,ln T與ln D成線性關(guān)系,根據(jù)圖像可知,直線經(jīng)過(2.80,-0.5)與(1.80,-1.0),則有==0.5,解得ln T=0.5ln D-1.9,則有l(wèi)n T=ln -ln e1.9=ln ,解得T=,可知T∝。故選A。
(4)為了減小實(shí)驗(yàn)誤差,提高該實(shí)驗(yàn)精度的改進(jìn)措施:用游標(biāo)卡尺測量外徑D、通過測量40次或60次左端與O點(diǎn)等高所用時間來求周期、適當(dāng)減小擺動的幅度。
[例5] 【實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)創(chuàng)新】 (2024·山東濟(jì)南模擬)在利用單擺實(shí)驗(yàn)測量重力加速度時,某同學(xué)想改變傳統(tǒng)停表計(jì)時的方式,改為使用霍爾元件和單片機(jī)進(jìn)行計(jì)時。按圖甲方式將霍爾元件置于磁性擺球靜止時的正下方,當(dāng)小球做單擺運(yùn)動經(jīng)過最低點(diǎn)時,霍爾傳感器產(chǎn)生脈沖信號并發(fā)送給單片機(jī),單片機(jī)接收信號并計(jì)時,并將數(shù)據(jù)傳輸給電腦和手機(jī),實(shí)時顯示測量結(jié)果并分析處理和存儲數(shù)據(jù)。
甲
(1)實(shí)驗(yàn)前用刻度尺測出繩長為L,用游標(biāo)尺上有20個小格的游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑,結(jié)果如圖乙所示,可讀出擺球的直徑d=　　　 cm。
乙
(2)電腦將單片機(jī)傳輸?shù)挠?jì)時數(shù)據(jù)處理后得到電壓的脈沖信號隨時間t的變化圖線如圖丙所示,則該單擺的周期為　　　　。
丙
(3)最后根據(jù)測量得到單擺的擺長和運(yùn)動周期,計(jì)算出重力加速度,其表達(dá)式為g=　　　　。(用本題中涉及的符號表示)
(4)若某次實(shí)驗(yàn)找不到磁性小球,只有一個不規(guī)則的小磁鐵,將小磁鐵用細(xì)線懸掛起來做成單擺,以測量的繩長L為橫坐標(biāo),T2為縱坐標(biāo),在圖丁中作出T2-L圖線。
丁
(5)使用圖像法處理數(shù)據(jù)測重力加速度,不規(guī)則小磁鐵的重心不確定,這對測量結(jié)果是否有影響 　　 (選填“是”或“否”)。
【答案】 (1)0.810　(2)2t0　(3)　(4)圖見解析　(5)否
【解析】 (1)由題圖甲可知游標(biāo)卡尺分度值為0.05 mm,則擺球的直徑是d=8 mm+2×0.05 mm=0.810 cm。
(2)由題意可知,當(dāng)小球做單擺運(yùn)動經(jīng)過最低點(diǎn)時,霍爾傳感器產(chǎn)生脈沖信號,相鄰兩個電壓脈沖之間的時間間隔為半個周期,由題圖丙可知該單擺的周期為2t0。
(3)可知繩長為L,擺球的直徑為d,則有擺長為L′=L+,由單擺的周期公式可得g=。
(4)以測量的繩長L為橫坐標(biāo),T2為縱坐標(biāo),設(shè)小磁鐵的重心到固定小磁鐵懸線的距離為d′,可知單擺的擺長為L+d′,由單擺的周期公式可得T2=L+,可知T2-L圖線如圖所示。
(5)使用圖像法處理數(shù)據(jù)測重力加速度,不規(guī)則小磁鐵的重心不確定,由T2=L+,可知T2-L 圖線的斜率不變,則測量值g不變,因此這對測量結(jié)果沒有影響。
1.(4分)了解地球表面重力加速度的分布,對地球物理學(xué)、航空航天技術(shù)及大地測量等領(lǐng)域有十分重要的意義。某同學(xué)利用圖甲所示的裝置測量重力加速度。請回答下列問題:
乙
(1)實(shí)驗(yàn)中用停表測量單擺的周期。擺球某次經(jīng)過最低點(diǎn)開始計(jì)時并數(shù)0,當(dāng)擺球第60次經(jīng)過最低點(diǎn)停止計(jì)時,停表的示數(shù)如圖乙所示,則單擺的周期為　　　　 s(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
(2)改變擺長,多次測量,作出周期的平方與擺長的圖像如圖丙所示,則重力加速度為
　　　　 m/s2(π2取9.86,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
【答案】 (1)1.90　(2)9.76
【解析】 (1)擺球某次經(jīng)過最低點(diǎn)開始計(jì)時并數(shù)0,當(dāng)擺球第60次經(jīng)過最低點(diǎn)停止計(jì)時,則擺球經(jīng)過30次全振動,由題圖乙可知單擺在30次全振動所用的時間為t=30 s+27.10 s=57.10 s,則單擺的周期為T== s≈1.90 s。
(2)由單擺周期公式T=2π,可得T2=L,由題圖丙所示T2-L圖像可知,圖線的斜率k== s2/m,解得重力加速度為g≈9.76 m/s2。
2.(9分)某實(shí)驗(yàn)小組利用圖甲所示的裝置做“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)。在鐵架臺上端用擺線懸掛一擺球,鐵架臺下端固定一個激光源,發(fā)出的激光方向與水平面平行,在擺球的右邊與擺球中心等高的位置固定一智能手機(jī),使得激光的中心與擺球的中心以及智能手機(jī)的光線接收口在同一水平直線上。利用手機(jī)光線傳感器接收到的光照強(qiáng)度隨時間變化情況,測出擺球的周期。
(1)實(shí)驗(yàn)主要過程如下:
①按圖甲安裝實(shí)驗(yàn)裝置,下列有關(guān)器材的選擇和安裝最合理的是　　　　。
　　　
A B C D
②如圖乙所示,用游標(biāo)卡尺測出擺球的直徑d=　　　　 cm;用刻度尺測出擺線長度l,算出擺長L。
③打開激光光源和手機(jī)傳感器,運(yùn)行軟件。
④讓單擺做簡諧運(yùn)動,采集數(shù)據(jù)。
⑤改變擺線長度l,重復(fù)步驟④。
⑥導(dǎo)出數(shù)據(jù)獲得單擺振動周期T,從而得到對應(yīng)的T2與L的數(shù)據(jù),如表所示:
　　次數(shù) 數(shù)據(jù)　　 1 2 3 4 5 6
L/cm 38.00 48.00 58.00 68.00 78.00 88.00
T/s 1.24 1.39 1.53 1.66 1.78 1.89
T2/s2 1.54 1.93 2.34 2.76 3.17 3.57
⑦根據(jù)表中數(shù)據(jù)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn),如圖丙所示。
丙
⑧請?jiān)趫D丙中繪出T2-L圖像,并根據(jù)圖像求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=　　　　m/s2。(π2取9.87,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)
(2)下列關(guān)于本實(shí)驗(yàn)的誤差中,屬于系統(tǒng)誤差的有　　　　。(多選)
A.測量擺長引起的誤差
B.描繪圖線引起的誤差
C.擺線具有伸縮性引起的誤差
D.利用手機(jī)測量周期引起的誤差
【答案】 (1)①B　②1.13　⑧圖見解析　9.72　(2)CD
【解析】 (1)①擺線懸點(diǎn)應(yīng)固定,擺線應(yīng)選擇質(zhì)量小、不易伸長的細(xì)絲線,擺球應(yīng)選擇體積小、質(zhì)量大的鐵球,故B符合題意。
②擺球直徑d=11 mm+3×0.1 mm=11.3 mm=1.13 cm。
⑧根據(jù)數(shù)據(jù)繪出T2-L圖像如圖所示,
由T=2π得T2=L,圖線斜率k==,得g≈9.72 m/s2。
(2)測量擺長引起的誤差和描繪圖線引起的誤差是由不穩(wěn)定隨機(jī)因素造成的,屬于偶然誤差,A、B錯誤;擺線具有伸縮性和手機(jī)測量周期引起的誤差是由儀器不完善、測量方法不準(zhǔn)確等因素造成的,屬于系統(tǒng)誤差,C、D正確。
3.(8分)(2024·湖北武漢模擬)某同學(xué)欲利用一固定光滑圓弧面測定重力加速度,圓弧面如圖甲所示,圖中虛線為圓弧面最低處,圓弧面半徑約為1.5 m,該同學(xué)取一小鐵球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
(1)用游標(biāo)卡尺測量小鐵球的直徑,示數(shù)如圖乙所示,則小鐵球的直徑d=　　　　 cm。
(2)該同學(xué)將小鐵球從槽中虛線左側(cè)接近虛線處由靜止釋放,則小鐵球的運(yùn)動可等效為一單擺。當(dāng)小鐵球第一次經(jīng)過虛線處開始用停表計(jì)時,并計(jì)數(shù)為1,當(dāng)計(jì)數(shù)為60時,所用的時間為t,則等效單擺的周期T=　　　　。
(3)更換半徑不同的金屬球進(jìn)行實(shí)驗(yàn),正確操作,根據(jù)實(shí)驗(yàn)記錄的數(shù)據(jù),繪制的T2-圖像如圖丙所示,圖中圖線的橫、縱截距均已標(biāo)出,則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=　　　　,圓弧面的半徑R=　　 　　。
【答案】 (1)1.66　(2)　(3)　a
【解析】 (1)由題圖乙可知游標(biāo)卡尺的精確度為0.1 mm,則小球直徑為d=16 mm+6×0.1 mm=16.6 mm=1.66 cm。
(2)根據(jù)題意可知,當(dāng)計(jì)數(shù)為60時,小鐵球完成個周期所用的時間為t,則等效單擺的周期為T==。
(3)根據(jù)題意擺長為l=R-,由單擺周期公式T=2π,得T2=4π2,聯(lián)立解得T2=-·+R,斜率為-=-,解得g=;縱截距為R=b,解得R=b=a。
4.(9分)(2024·湖南長沙模擬)科技文化節(jié)中,某興趣小組做了如下實(shí)驗(yàn)。利用單擺測量重力加速度,實(shí)驗(yàn)操作如下:
(1)使用游標(biāo)卡尺測量實(shí)心鋼球的直徑,如圖a所示,鋼球直徑的讀數(shù)為d=　　　　 mm。
a
(2)將器材按圖b方式連接,用刻度尺測量出懸點(diǎn)與鋼球最上端間細(xì)線長度為l;使鋼球按照圖c方式運(yùn)動,擺角小于5°,鋼球第1次經(jīng)過最低點(diǎn)處開始計(jì)時,第n次經(jīng)過最低點(diǎn)時的總時間為t,則重力加速度g=　　　　　　　　　　。(用測得的物理量表示)
(3)若鋼球?qū)嶋H按圖d方式在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動,但仍然視作單擺,則測量出的重力加速度值　　　　(選填“偏大”或“偏小”)。
(4)該小組將鋼球換成沙擺,如圖e所示,薄木板在沿箭頭方向被水平拉出的過程中,漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲線如圖f所示,當(dāng)沙擺擺動經(jīng)過最低點(diǎn)時開始計(jì)時(記為第1次),當(dāng)它第20次經(jīng)過最低點(diǎn)時測得所需的時間為19 s(忽略擺長的變化),當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭取10 m/s2,則:
①該沙擺的擺長約為　　　m(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。
②由圖f可知薄木板做的是勻加速運(yùn)動,且加速度大小約為　　　　　　　m/s2(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。
【答案】 (1)12.35　(2)
(3)偏大　(4)①1.0　②3.1×10-2
【解析】 (1)20分度的游標(biāo)卡尺精確度為0.05 mm,則鋼球直徑的讀數(shù)為d=12 mm+7×0.05 mm=12.35 mm。
(2)根據(jù)題意可知單擺的擺長為L=l+,鋼球第1次經(jīng)過最低點(diǎn)處開始計(jì)時,第n次經(jīng)過最低點(diǎn)時的總時間為t,則單擺的周期為T==,由單擺的周期公式T=2π,可得重力加速度為g=。
(3)設(shè)繩與中心線的夾角為θ,由牛頓第二定律有mgtan θ=m·Lsin θ,解得圓錐擺的周期為T1=2π(4)①當(dāng)沙擺擺動經(jīng)過最低點(diǎn)時開始計(jì)時(記為第1次),當(dāng)它第20次經(jīng)過最低點(diǎn)時測得所需的時間為19 s,周期T2= s=2 s,根據(jù)T2=2π,解得L′≈1.0 m。
②根據(jù)Δx=a()2,得a=×10-2 m/s2=3.1×10-2 m/s2。
(
第
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頁
)第3講　實(shí)驗(yàn):用單擺測量重力加速度
一、實(shí)驗(yàn)裝置
二、實(shí)驗(yàn)器材
帶孔小球、伸縮性小的細(xì)線(約1 m長)、鐵架臺、鐵夾、刻度尺、停表、游標(biāo)卡尺。
三、實(shí)驗(yàn)步驟
1.在細(xì)線的一端打一個比小球上的孔徑稍大的結(jié),將細(xì)線穿過球上的小孔。
2.把細(xì)線上端固定在鐵架臺的鐵夾上,使鐵夾伸到桌面以外,讓擺球自然下垂,在單擺平衡位置處做上標(biāo)記。
3.用刻度尺量出懸線長l′(準(zhǔn)確到mm),用游標(biāo)卡尺測出小球的直徑d,然后計(jì)算出懸點(diǎn)到球心的距離l=l′+,即為擺長。
4.把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(小于5°),然后放開小球讓它擺動,用停表測出單擺完成30~50次全振動的時間,計(jì)算出平均完成一次全振動的時間,即為單擺的振動周期。
5.變條件:改變擺長,重做幾次實(shí)驗(yàn)。
四、數(shù)據(jù)處理
1.公式法:將相應(yīng)的l和T代入公式g=中求出g值,通過改變擺長,求得重力加速度g的平均值。
2.圖像法:由單擺周期公式T=2π,可得l=T2,以擺長l為縱坐標(biāo),以T2為橫坐標(biāo)作出的l-T2圖像是一條過原點(diǎn)的直線,如圖所示,其斜率k=,由圖像斜率即可求得重力加速度g。
五、注意事項(xiàng)
1.實(shí)驗(yàn)所用的單擺應(yīng)符合理論要求,即線要細(xì)且彈性要小,擺球用密度和質(zhì)量較大的小球,并且要在擺角不超過5°的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
2.要使單擺在豎直平面內(nèi)振動,不能使其形成圓錐擺,方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放。
3.測量擺長時,擺長應(yīng)為懸線長與擺球的半徑之和。
4.測量單擺周期時,應(yīng)從擺球通過平衡位置開始計(jì)時,并且采用倒數(shù)到0開始計(jì)時的方法,4、3、2、1、0、1、2、3…在數(shù)“0”的同時按下停表開始計(jì)時計(jì)數(shù)。
5.要注意進(jìn)行多次測量,并取平均值。
六、誤差分析
1.系統(tǒng)誤差主要來源
單擺模型本身是否符合要求:①懸點(diǎn)是否固定。②小球與細(xì)線是否符合要求。③是單擺運(yùn)動還是圓錐擺運(yùn)動等。
2.本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來源
(1)振動時間t(單擺周期T=)的測量:是否從擺球通過平衡位置開始計(jì)時、多記或漏記全振動的次數(shù)、停表的讀數(shù)等。
(2)長度的測量:測量擺線長、擺球的直徑讀數(shù)時的誤差等。
考點(diǎn)一　基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)
[例1] 【實(shí)驗(yàn)原理與操作】 (2024·廣西卷,11)單擺可作為研究簡諧運(yùn)動的理想模型。
(1)制作單擺時,在圖甲、圖乙兩種單擺的懸掛方式中,選擇圖甲方式的目的是要保持?jǐn)[動中　　　　不變。
(2)用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑,測得讀數(shù)如圖丙,則擺球直徑為　　　　 cm。
(3)若將一個周期為T的單擺,從平衡位置拉開5°的角度釋放,忽略空氣阻力,擺球的振動可看作簡諧運(yùn)動。當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間,以釋放時刻作為計(jì)時起點(diǎn),則擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關(guān)系為　　　　　　　　　　　。
[例2] 【實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理】 (2025·河南高考適應(yīng)性考試)學(xué)生實(shí)驗(yàn)小組利用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?br/>實(shí)驗(yàn)器材有:鐵架臺、細(xì)線、擺球、秒表、卷尺等。
完成下列問題:
(1)實(shí)驗(yàn)時,將細(xì)線的一端連接擺球,另一端固定在鐵架臺上O點(diǎn),如圖甲所示,然后將擺球拉離平衡位置。使細(xì)線與豎直方向成夾角θ(θ<5°),釋放擺球,讓單擺開始擺動。為了減小計(jì)時誤差,應(yīng)該在擺球擺至　　　　(選填“最低點(diǎn)”或“最高點(diǎn)”)時開始計(jì)時。
(2)選取擺線長度為100.0 cm時,測得擺球擺動30個完整周期的時間(t)為60.60 s。若將擺線長度視為擺長,求得重力加速度大小為　　 　 m/s2。(取π2=9.870,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)
(3)選取不同的擺線長度重復(fù)上述實(shí)驗(yàn),相關(guān)數(shù)據(jù)匯總在下表中,在坐標(biāo)紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關(guān)系曲線,如圖乙所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
設(shè)直線斜率為k,則重力加速度可表示為g=　　　　(用k表示)。由圖乙求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮椤　　　?m/s2(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
(4)用圖像法得到的重力加速度數(shù)值要比(2)中得到的結(jié)果更精確,原因是　 。
[例3] 【實(shí)驗(yàn)原理與誤差分析】 (2024·湖北武漢模擬)在“用單擺測量重力加速度”實(shí)驗(yàn)中:
(1)用游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑,測量結(jié)果如圖甲所示,則該擺球的直徑為　　　　cm,用最小刻度為1 mm的刻度尺測擺長,測量情況如圖乙所示,懸掛點(diǎn)與刻度尺0刻度線對齊,由圖甲和圖乙可知單擺的擺長為　　　　m(結(jié)果保留3位小數(shù))。
(2)將單擺正確懸掛后進(jìn)行如下操作,其中正確的是　　　　。(多選)
A.實(shí)驗(yàn)時可以用停表測量擺球完成1次全振動所用時間并作為單擺的周期
B.把擺球從平衡位置拉開一個很小的角度靜止釋放,使之做簡諧運(yùn)動
C.實(shí)驗(yàn)時將擺球拉開一個很小的角度靜止釋放,并同時啟動停表開始計(jì)時
D.擺球應(yīng)選體積小,密度大的金屬小球
(3)用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2-L圖像,可以求出重力加速度g。已知三位同學(xué)作出的T2-L圖線的示意圖如圖丙中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都過原點(diǎn),圖線b對應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹怠t相對于圖線b,下列分析正確的是　　　　。
A.出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長L
B.出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將51次全振動記為50次
C.圖線c對應(yīng)的重力加速度g大于圖線b對應(yīng)的g值
考點(diǎn)二　創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)
[例4] 【實(shí)驗(yàn)器材創(chuàng)新】 (2024·黑吉遼卷,12)圖甲為一套半圓拱形七色彩虹積木示意圖,不同顏色的積木直徑不同。某同學(xué)通過實(shí)驗(yàn)探究這套積木小幅擺動時周期T與外徑D之間的關(guān)系。
(1)用刻度尺測量不同顏色積木的外徑D,其中對藍(lán)色積木的某次測量如圖乙所示,從圖中讀出D=　　　　 cm。
(2)將一塊積木靜置于硬質(zhì)水平桌面上,設(shè)置積木左端平衡位置的參考點(diǎn)O,將積木的右端按下后釋放,如圖丙所示。當(dāng)積木左端某次與O點(diǎn)等高時記為第0次并開始計(jì)時,第20次時停止計(jì)時,這一過程中積木擺動了　　　　個周期。
(3)換用其他積木重復(fù)上述操作,測得多組數(shù)據(jù)。為了探究T與D之間的函數(shù)關(guān)系,可用它們的自然對數(shù)作為橫、縱坐標(biāo)繪制圖像進(jìn)行研究,數(shù)據(jù)如下表所示:
顏色 紅 橙 黃 綠 青 藍(lán) 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制出ln T-ln D圖像如圖丁所示,則T與D的近似關(guān)系為　　　　。
A.T∝ B.T∝D2
C.T∝ D.T∝
(4)請寫出一條提高該實(shí)驗(yàn)精度的改進(jìn)措施: 　 。
[例5] 【實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)創(chuàng)新】 (2024·山東濟(jì)南模擬)在利用單擺實(shí)驗(yàn)測量重力加速度時,某同學(xué)想改變傳統(tǒng)停表計(jì)時的方式,改為使用霍爾元件和單片機(jī)進(jìn)行計(jì)時。按圖甲方式將霍爾元件置于磁性擺球靜止時的正下方,當(dāng)小球做單擺運(yùn)動經(jīng)過最低點(diǎn)時,霍爾傳感器產(chǎn)生脈沖信號并發(fā)送給單片機(jī),單片機(jī)接收信號并計(jì)時,并將數(shù)據(jù)傳輸給電腦和手機(jī),實(shí)時顯示測量結(jié)果并分析處理和存儲數(shù)據(jù)。
甲
(1)實(shí)驗(yàn)前用刻度尺測出繩長為L,用游標(biāo)尺上有20個小格的游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑,結(jié)果如圖乙所示,可讀出擺球的直徑d=　　　 cm。
乙
(2)電腦將單片機(jī)傳輸?shù)挠?jì)時數(shù)據(jù)處理后得到電壓的脈沖信號隨時間t的變化圖線如圖丙所示,則該單擺的周期為　　　　。
丙
(3)最后根據(jù)測量得到單擺的擺長和運(yùn)動周期,計(jì)算出重力加速度,其表達(dá)式為g=　　　　。(用本題中涉及的符號表示)
(4)若某次實(shí)驗(yàn)找不到磁性小球,只有一個不規(guī)則的小磁鐵,將小磁鐵用細(xì)線懸掛起來做成單擺,以測量的繩長L為橫坐標(biāo),T2為縱坐標(biāo),在圖丁中作出T2-L圖線。
丁
(5)使用圖像法處理數(shù)據(jù)測重力加速度,不規(guī)則小磁鐵的重心不確定,這對測量結(jié)果是否有影響 　　 (選填“是”或“否”)。
(滿分:30分)
1.(4分)了解地球表面重力加速度的分布,對地球物理學(xué)、航空航天技術(shù)及大地測量等領(lǐng)域有十分重要的意義。某同學(xué)利用圖甲所示的裝置測量重力加速度。請回答下列問題:
乙
(1)實(shí)驗(yàn)中用停表測量單擺的周期。擺球某次經(jīng)過最低點(diǎn)開始計(jì)時并數(shù)0,當(dāng)擺球第60次經(jīng)過最低點(diǎn)停止計(jì)時,停表的示數(shù)如圖乙所示,則單擺的周期為　　　　 s(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
(2)改變擺長,多次測量,作出周期的平方與擺長的圖像如圖丙所示,則重力加速度為
　　　　 m/s2(π2取9.86,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
2.(9分)某實(shí)驗(yàn)小組利用圖甲所示的裝置做“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)。在鐵架臺上端用擺線懸掛一擺球,鐵架臺下端固定一個激光源,發(fā)出的激光方向與水平面平行,在擺球的右邊與擺球中心等高的位置固定一智能手機(jī),使得激光的中心與擺球的中心以及智能手機(jī)的光線接收口在同一水平直線上。利用手機(jī)光線傳感器接收到的光照強(qiáng)度隨時間變化情況,測出擺球的周期。
(1)實(shí)驗(yàn)主要過程如下:
①按圖甲安裝實(shí)驗(yàn)裝置,下列有關(guān)器材的選擇和安裝最合理的是　　　　。
　　　
A B C D
②如圖乙所示,用游標(biāo)卡尺測出擺球的直徑d=　　　　 cm;用刻度尺測出擺線長度l,算出擺長L。
③打開激光光源和手機(jī)傳感器,運(yùn)行軟件。
④讓單擺做簡諧運(yùn)動,采集數(shù)據(jù)。
⑤改變擺線長度l,重復(fù)步驟④。
⑥導(dǎo)出數(shù)據(jù)獲得單擺振動周期T,從而得到對應(yīng)的T2與L的數(shù)據(jù),如表所示:
　　次數(shù) 數(shù)據(jù)　　 1 2 3 4 5 6
L/cm 38.00 48.00 58.00 68.00 78.00 88.00
T/s 1.24 1.39 1.53 1.66 1.78 1.89
T2/s2 1.54 1.93 2.34 2.76 3.17 3.57
⑦根據(jù)表中數(shù)據(jù)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn),如圖丙所示。
丙
⑧請?jiān)趫D丙中繪出T2-L圖像,并根據(jù)圖像求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=　　　　m/s2。(π2取9.87,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)
(2)下列關(guān)于本實(shí)驗(yàn)的誤差中,屬于系統(tǒng)誤差的有　　　　。(多選)
A.測量擺長引起的誤差
B.描繪圖線引起的誤差
C.擺線具有伸縮性引起的誤差
D.利用手機(jī)測量周期引起的誤差
3.(8分)(2024·湖北武漢模擬)某同學(xué)欲利用一固定光滑圓弧面測定重力加速度,圓弧面如圖甲所示,圖中虛線為圓弧面最低處,圓弧面半徑約為1.5 m,該同學(xué)取一小鐵球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
(1)用游標(biāo)卡尺測量小鐵球的直徑,示數(shù)如圖乙所示,則小鐵球的直徑d=　　　　 cm。
(2)該同學(xué)將小鐵球從槽中虛線左側(cè)接近虛線處由靜止釋放,則小鐵球的運(yùn)動可等效為一單擺。當(dāng)小鐵球第一次經(jīng)過虛線處開始用停表計(jì)時,并計(jì)數(shù)為1,當(dāng)計(jì)數(shù)為60時,所用的時間為t,則等效單擺的周期T=　　　　。
(3)更換半徑不同的金屬球進(jìn)行實(shí)驗(yàn),正確操作,根據(jù)實(shí)驗(yàn)記錄的數(shù)據(jù),繪制的T2-圖像如圖丙所示,圖中圖線的橫、縱截距均已標(biāo)出,則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=　　　　,圓弧面的半徑R=　　 　　。
4.(9分)(2024·湖南長沙模擬)科技文化節(jié)中,某興趣小組做了如下實(shí)驗(yàn)。利用單擺測量重力加速度,實(shí)驗(yàn)操作如下:
(1)使用游標(biāo)卡尺測量實(shí)心鋼球的直徑,如圖a所示,鋼球直徑的讀數(shù)為d=　　　　 mm。
a
(2)將器材按圖b方式連接,用刻度尺測量出懸點(diǎn)與鋼球最上端間細(xì)線長度為l;使鋼球按照圖c方式運(yùn)動,擺角小于5°,鋼球第1次經(jīng)過最低點(diǎn)處開始計(jì)時,第n次經(jīng)過最低點(diǎn)時的總時間為t,則重力加速度g=　　　　　　　　　　。(用測得的物理量表示)
(3)若鋼球?qū)嶋H按圖d方式在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動,但仍然視作單擺,則測量出的重力加速度值　　　　(選填“偏大”或“偏小”)。
(4)該小組將鋼球換成沙擺,如圖e所示,薄木板在沿箭頭方向被水平拉出的過程中,漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲線如圖f所示,當(dāng)沙擺擺動經(jīng)過最低點(diǎn)時開始計(jì)時(記為第1次),當(dāng)它第20次經(jīng)過最低點(diǎn)時測得所需的時間為19 s(忽略擺長的變化),當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭取10 m/s2,則:
①該沙擺的擺長約為　　　m(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。
②由圖f可知薄木板做的是勻加速運(yùn)動,且加速度大小約為　　　　　　　m/s2(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。
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高中總復(fù)習(xí)·物理
第3講　
實(shí)驗(yàn):用單擺測量重力加速度
一、實(shí)驗(yàn)裝置
二、實(shí)驗(yàn)器材
帶孔小球、伸縮性小的細(xì)線(約1 m長)、鐵架臺、鐵夾、刻度尺、停表、游標(biāo)卡尺。
三、實(shí)驗(yàn)步驟
1.在細(xì)線的一端打一個比小球上的孔徑稍大的結(jié),將細(xì)線穿過球上的小孔。
2.把細(xì)線上端固定在鐵架臺的鐵夾上,使鐵夾伸到桌面以外,讓擺球自然下垂,在單擺平衡位置處做上標(biāo)記。
4.把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(小于5°),然后放開小球讓它擺動,用停表測出單擺完成30~50次全振動的時間,計(jì)算出平均完成一次全振動的時間,即為單擺的振動周期。
5.變條件:改變擺長,重做幾次實(shí)驗(yàn)。
四、數(shù)據(jù)處理
五、注意事項(xiàng)
1.實(shí)驗(yàn)所用的單擺應(yīng)符合理論要求,即線要細(xì)且彈性要小,擺球用密度和質(zhì)量較大的小球,并且要在擺角不超過5°的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
2.要使單擺在豎直平面內(nèi)振動,不能使其形成圓錐擺,方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放。
3.測量擺長時,擺長應(yīng)為懸線長與擺球的半徑之和。
4.測量單擺周期時,應(yīng)從擺球通過平衡位置開始計(jì)時,并且采用倒數(shù)到0開始計(jì)時的方法,4、3、2、1、0、1、2、3…在數(shù)“0”的同時按下停表開始計(jì)時計(jì)數(shù)。
5.要注意進(jìn)行多次測量,并取平均值。
六、誤差分析
1.系統(tǒng)誤差主要來源
單擺模型本身是否符合要求:①懸點(diǎn)是否固定。②小球與細(xì)線是否符合要求。③是單擺運(yùn)動還是圓錐擺運(yùn)動等。
2.本實(shí)驗(yàn)的偶然誤差主要來源
(2)長度的測量:測量擺線長、擺球的直徑讀數(shù)時的誤差等。
[例1] 【實(shí)驗(yàn)原理與操作】 (2024·廣西卷,11)單擺可作為研究簡諧運(yùn)動的理想模型。
(1)制作單擺時,在圖甲、圖乙兩種單擺的懸掛方式中,選擇圖甲方式的目的是要保持?jǐn)[動中　　 　　不變。
擺長
【解析】 (1)選擇題圖甲方式的目的是要保持?jǐn)[動中擺長不變。
(2)用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑,測得讀數(shù)如圖丙,則擺球直徑為　　　　 cm。
【解析】 (2)擺球直徑為d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
1.06
(3)若將一個周期為T的單擺,從平衡位置拉開5°的角度釋放,忽略空氣阻力,擺球的振動可看作簡諧運(yùn)動。當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間,以釋放時刻作為計(jì)時起
點(diǎn),則擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關(guān)系為　　　　 　　 　　。
[例2] 【實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理】 (2025·河南高考適應(yīng)性考試)學(xué)生實(shí)驗(yàn)小組利用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?br/>實(shí)驗(yàn)器材有:鐵架臺、細(xì)線、擺球、秒表、卷尺等。
完成下列問題:
(1)實(shí)驗(yàn)時,將細(xì)線的一端連接擺球,另一端固定在鐵架臺上O點(diǎn),如圖甲所示,然后將擺球拉離平衡位置。使細(xì)線與豎直方向成夾角θ(θ<5°),釋放擺球,讓單擺開始擺動。為了減小計(jì)時誤差,應(yīng)該在擺球擺至　　 　　(選填“最低點(diǎn)”或
“最高點(diǎn)”)時開始計(jì)時。
最低點(diǎn)
【解析】 (1)擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時速度最大,測量周期誤差最小,故應(yīng)選擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時開始計(jì)時。
(2)選取擺線長度為100.0 cm時,測得擺球擺動30個完整周期的時間(t)為60.60 s。若將擺線長度視為擺長,求得重力加速度大小為　　 　 m/s2。(取π2=9.870,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)
9.68
(3)選取不同的擺線長度重復(fù)上述實(shí)驗(yàn),相關(guān)數(shù)據(jù)匯總在下表中,在坐標(biāo)紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關(guān)系曲線,如圖乙所示。
l/m t/s T2/s2
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
設(shè)直線斜率為k,則重力加速度可表示為g=
　　　 　(用k表示)。由圖乙求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?br/>　　　m/s2(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
4π2k
9.69
(4)用圖像法得到的重力加速度數(shù)值要比(2)中得到的結(jié)果更精確,原因是
　 。
[例3] 【實(shí)驗(yàn)原理與誤差分析】 (2024·湖北武漢模擬)在“用單擺測量重力加速度”實(shí)驗(yàn)中:
(1)用游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑,測量結(jié)果如圖甲所示,則該擺球的直徑為
　　　　cm,用最小刻度為1 mm的刻度尺測擺長,測量情況如圖乙所示,懸掛點(diǎn)與刻度尺0刻度線對齊,由圖甲和圖乙可知單擺的擺長為　　　　 m
(結(jié)果保留3位小數(shù))。
0.95
0.992
(2)將單擺正確懸掛后進(jìn)行如下操作,其中正確的是　　　　。(多選)
A.實(shí)驗(yàn)時可以用停表測量擺球完成1次全振動所用時間并作為單擺的周期
B.把擺球從平衡位置拉開一個很小的角度靜止釋放,使之做簡諧運(yùn)動
C.實(shí)驗(yàn)時將擺球拉開一個很小的角度靜止釋放,并同時啟動停表開始計(jì)時
D.擺球應(yīng)選體積小,密度大的金屬小球
BD
(3)用多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出T2-L圖像,可以求出重力加速度g。已知三位同學(xué)作出的T2-L圖線的示意圖如圖丙中的a、b、c所示,其中a和b平行,b和c都過原點(diǎn),圖線b對應(yīng)的g值最接近當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊闹怠t相對于圖線b,下列分析正確的是　　　　。
A.出現(xiàn)圖線a的原因可能是誤將懸點(diǎn)到小球下端的距離記為擺長L
B.出現(xiàn)圖線c的原因可能是誤將51次全振動記為50次
C.圖線c對應(yīng)的重力加速度g大于圖線b對應(yīng)的g值
C
[例4] 【實(shí)驗(yàn)器材創(chuàng)新】 (2024·黑吉遼卷,12)圖甲為一套半圓拱形七色彩虹積木示意圖,不同顏色的積木直徑不同。某同學(xué)通過實(shí)驗(yàn)探究這套積木小幅擺動時周期T與外徑D之間的關(guān)系。
(1)用刻度尺測量不同顏色積木的外徑D,其中對藍(lán)色積木的某次測量如圖乙所示,從圖中讀出D=　　 　　 cm。
7.55
【解析】 (1)刻度尺的分度值為0.1 cm,
需要估讀到分度值下一位,讀數(shù)為D=7.55 cm。
(2)將一塊積木靜置于硬質(zhì)水平桌面上,設(shè)置積木左端平衡位置的參考點(diǎn)O,將積木的右端按下后釋放,如圖丙所示。當(dāng)積木左端某次與O點(diǎn)等高時記為第0次并開始計(jì)時,第20次時停止計(jì)時,這一過程中積木擺動了　　 　　個周期。
10
【解析】 (2)積木左端兩次經(jīng)過參考點(diǎn)O為一個周期,當(dāng)積木左端某次與O點(diǎn)等高時記為第0次并開始計(jì)時,之后每計(jì)數(shù)一次,經(jīng)歷半個周期,可知,第20次時停止計(jì)時,這一過程中積木擺動了10個周期。
(3)換用其他積木重復(fù)上述操作,測得多組數(shù)據(jù)。為了探究T與D之間的函數(shù)關(guān)系,可用它們的自然對數(shù)作為橫、縱坐標(biāo)繪制圖像進(jìn)行研究,數(shù)據(jù)如下表所示:
顏色 紅 橙 黃 綠 青 藍(lán) 紫
ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792
ln T -0.45 -0.53 -0.56 -0.65 -0.78 -0.92 -1.02
根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制出ln T-ln D圖像如圖丁所示,則T與D的近似關(guān)系為
　　　　。
A
(4)請寫出一條提高該實(shí)驗(yàn)精度的改進(jìn)措施:
　 。
為了減小實(shí)驗(yàn)誤差,提高該實(shí)驗(yàn)精度的改進(jìn)措施:用游標(biāo)卡尺測量外徑D、通過測量40次或60次左端與O點(diǎn)等高所用時間來求周期、適當(dāng)減小擺動的幅度
[例5] 【實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)創(chuàng)新】 (2024·山東濟(jì)南模擬)在利用單擺實(shí)驗(yàn)測量重力加速度時,某同學(xué)想改變傳統(tǒng)停表計(jì)時的方式,改為使用霍爾元件和單片機(jī)進(jìn)行計(jì)時。按圖甲方式將霍爾元件置于磁性擺球靜止時的正下方,當(dāng)小球做單擺運(yùn)動經(jīng)過最低點(diǎn)時,霍爾傳感器產(chǎn)生脈沖信號并發(fā)送給單片機(jī),單片機(jī)接收信號并計(jì)時,并將數(shù)據(jù)傳輸給電腦和手機(jī),實(shí)時顯示測量結(jié)果并分析處理和存儲數(shù)據(jù)。
甲
(1)實(shí)驗(yàn)前用刻度尺測出繩長為L,用游標(biāo)尺上有20個小格的游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑,結(jié)果如圖乙所示,可讀出擺球的直徑d=　　 　 cm。
0.810
乙
【解析】 (1)由題圖甲可知游標(biāo)卡尺分度值為0.05 mm,
則擺球的直徑是d=8 mm+2×0.05 mm=0.810 cm。
甲
(2)電腦將單片機(jī)傳輸?shù)挠?jì)時數(shù)據(jù)處理后得到電壓的脈沖信號隨時間t的變化圖線如圖丙所示,則該單擺的周期為　　　　。
2t0
丙
【解析】 (2)由題意可知,當(dāng)小球做單擺運(yùn)動經(jīng)過最低點(diǎn)時,霍爾傳感器產(chǎn)生脈沖信號,相鄰兩個電壓脈沖之間的時間間隔為半個周期,由題圖丙可知該單擺的周期為2t0。
(3)最后根據(jù)測量得到單擺的擺長和運(yùn)動周期,計(jì)算出重力加速度,其表達(dá)式
為g=　　 　　。(用本題中涉及的符號表示)
(4)若某次實(shí)驗(yàn)找不到磁性小球,只有一個不規(guī)則的小磁鐵,將小磁鐵用細(xì)線懸掛起來做成單擺,以測量的繩長L為橫坐標(biāo),T2為縱坐標(biāo),在圖丁中作出T2-L圖線。
丁
(5)使用圖像法處理數(shù)據(jù)測重力加速度,不規(guī)則小磁鐵的重心不確定,這對測量結(jié)果是否有影響 　　　(選填“是”或“否”)。
否
1.(4分)了解地球表面重力加速度的分布,對地球物理學(xué)、航空航天技術(shù)及大地測量等領(lǐng)域有十分重要的意義。某同學(xué)利用圖甲所示的裝置測量重力加速度。請回答下列問題:
(1)實(shí)驗(yàn)中用停表測量單擺的周期。擺球某次經(jīng)過最低點(diǎn)開始計(jì)時并數(shù)0,當(dāng)擺球第60次經(jīng)過最低點(diǎn)停止計(jì)時,停表的示數(shù)如圖乙所示,則單擺的周期為
　　　　 s(結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
1.90
乙
乙
(2)改變擺長,多次測量,作出周期的平方與擺長的圖像如圖丙所示,則重力加速度為　　　　 m/s2(π2取9.86,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)。
9.76
2.(9分)某實(shí)驗(yàn)小組利用圖甲所示的裝置做“用單擺測量重力加速度”的實(shí)驗(yàn)。在鐵架臺上端用擺線懸掛一擺球,鐵架臺下端固定一個激光源,發(fā)出的激光方向與水平面平行,在擺球的右邊與擺球中心等高的位置固定一智能手機(jī),使得激光的中心與擺球的中心以及智能手機(jī)的光線接收口在同一水平直線上。利用手機(jī)光線傳感器接收到的光照強(qiáng)度隨時間變化情況,測出擺球的周期。
(1)實(shí)驗(yàn)主要過程如下:
①按圖甲安裝實(shí)驗(yàn)裝置,下列有關(guān)器材的選擇和安裝最合理的是　　　　。
B
A B C D
【解析】 (1)①擺線懸點(diǎn)應(yīng)固定,擺線應(yīng)選擇質(zhì)量小、不易伸長的細(xì)絲線,擺球應(yīng)選擇體積小、質(zhì)量大的鐵球,故B符合題意。
②如圖乙所示,用游標(biāo)卡尺測出擺球的直徑d=　　　　 cm;用刻度尺測出擺線長度l,算出擺長L。
1.13
【解析】 ②擺球直徑d=11 mm+3×0.1 mm=11.3 mm=1.13 cm。
③打開激光光源和手機(jī)傳感器,運(yùn)行軟件。
④讓單擺做簡諧運(yùn)動,采集數(shù)據(jù)。
⑤改變擺線長度l,重復(fù)步驟④。
⑥導(dǎo)出數(shù)據(jù)獲得單擺振動周期T,從而得到對應(yīng)的T2與L的數(shù)據(jù),如表所示:
　　次數(shù) 數(shù)據(jù)　　 1 2 3 4 5 6
L/cm 38.00 48.00 58.00 68.00 78.00 88.00
T/s 1.24 1.39 1.53 1.66 1.78 1.89
T2/s2 1.54 1.93 2.34 2.76 3.17 3.57
⑦根據(jù)表中數(shù)據(jù)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn),如圖丙所示。
丙
⑧請?jiān)趫D丙中繪出T2-L圖像,并根據(jù)圖像求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭=
　　 　　m/s2。(π2取9.87,結(jié)果保留3位有效數(shù)字)
9.72
(2)下列關(guān)于本實(shí)驗(yàn)的誤差中,屬于系統(tǒng)誤差的有　　　　。(多選)
A.測量擺長引起的誤差
B.描繪圖線引起的誤差
C.擺線具有伸縮性引起的誤差
D.利用手機(jī)測量周期引起的誤差
CD
【解析】 (2)測量擺長引起的誤差和描繪圖線引起的誤差是由不穩(wěn)定隨機(jī)因素造成的,屬于偶然誤差,A、B錯誤;擺線具有伸縮性和手機(jī)測量周期引起的誤差是由儀器不完善、測量方法不準(zhǔn)確等因素造成的,屬于系統(tǒng)誤差,
C、D正確。
3.(8分)(2024·湖北武漢模擬)某同學(xué)欲利用一固定光滑圓弧面測定重力加速度,圓弧面如圖甲所示,圖中虛線為圓弧面最低處,圓弧面半徑約為1.5 m,該同學(xué)取一小鐵球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。
(1)用游標(biāo)卡尺測量小鐵球的直徑,示數(shù)如圖乙所示,則小鐵球的直徑d=
　　　　 cm。
1.66
【解析】 (1)由題圖乙可知游標(biāo)卡尺的精確度為0.1 mm,
則小球直徑為d=16 mm+6×0.1 mm=16.6 mm=1.66 cm。
(2)該同學(xué)將小鐵球從槽中虛線左側(cè)接近虛線處由靜止釋放,則小鐵球的運(yùn)動可等效為一單擺。當(dāng)小鐵球第一次經(jīng)過虛線處開始用停表計(jì)時,并計(jì)數(shù)
為1,當(dāng)計(jì)數(shù)為60時,所用的時間為t,則等效單擺的周期T=　　　　。
a
4.(9分)(2024·湖南長沙模擬)科技文化節(jié)中,某興趣小組做了如下實(shí)驗(yàn)。利用單擺測量重力加速度,實(shí)驗(yàn)操作如下:
(1)使用游標(biāo)卡尺測量實(shí)心鋼球的直徑,如圖a所示,鋼球直徑的讀數(shù)為d=
　　 　　 mm。
a
12.35
【解析】 (1)20分度的游標(biāo)卡尺精確度為0.05 mm,
則鋼球直徑的讀數(shù)為d=12 mm+7×0.05 mm=12.35 mm。
(2)將器材按圖b方式連接,用刻度尺測量出懸點(diǎn)與鋼球最上端間細(xì)線長度為l;使鋼球按照圖c方式運(yùn)動,擺角小于5°,鋼球第1次經(jīng)過最低點(diǎn)處開始計(jì)時,
第n次經(jīng)過最低點(diǎn)時的總時間為t,則重力加速度g=　　　　　　　 　　　。
(用測得的物理量表示)
(3)若鋼球?qū)嶋H按圖d方式在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動,但仍然視作單擺,則測量出的重力加速度值　　　　(選填“偏大”或“偏小”)。
偏大
(4)該小組將鋼球換成沙擺,如圖e所示,薄木板在沿箭頭方向被水平拉出的過程中,漏斗漏出的沙在板上形成的一段曲線如圖f所示,當(dāng)沙擺擺動經(jīng)過最低點(diǎn)時開始計(jì)時(記為第1次),當(dāng)它第20次經(jīng)過最低點(diǎn)時測得所需的時間為
19 s(忽略擺長的變化),當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭取10 m/s2,則:
①該沙擺的擺長約為　　　m(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。
1.0
②由圖f可知薄木板做的是勻加速運(yùn)動,且加速度大小約為　　　　　 m/s2
(結(jié)果保留2位有效數(shù)字)。
3.1×10-2

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