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第2講　電場能的性質
情境導思 如圖所示是等高線圖。思考:類比到電場中,我們用類似的方法表示電場中電勢相等的各點在一個等勢面上。分析下列關于等勢面的說法。 (1)電荷在等勢面上移動時所受靜電力為什么不做功 (2)等勢面上各點的電場強度相等嗎 (3)勻強電場中的等勢面是什么形式 (4)點電荷在真空中形成的電場的等勢面是以點電荷為球心的一簇球面,它們的電場強度相同嗎
[footnoteRef:1] [1:
1.(2024·北京卷,11)如圖所示,兩個等量異種點電荷分別位于M、N兩點,P、Q是MN連線上的兩點,且MP=QN。下列說法正確的是(　　)
[A] P點電場強度比Q點電場強度大
[B] P點電勢與Q點電勢相等
[C] 若兩點電荷的電荷量均變為原來的2倍,P點電場強度大小也變為原來的2倍
[D] 若兩點電荷的電荷量均變為原來的2倍,P、Q兩點間電勢差不變
【答案】 C
2.(2024·黑吉遼卷,6)在水平方向的勻強電場中,一帶電小球僅在重力和電場力作用下于豎直面(紙面)內運動,如圖,若小球的初速度方向沿虛線,則其運動軌跡為直線,若小球的初速度方向垂直于虛線,則其從O點出發運動到O點等高處的過程中(　　)
[A] 動能減小,電勢能增大
[B] 動能增大,電勢能增大
[C] 動能減小,電勢能減小
[D] 動能增大,電勢能減小
【答案】 D]
【答案】 起始　qEd　qUAB　零勢能　EpA-EpB　　零電勢　電勢　不做功　強弱　φA-φB　定向移動
考點一　靜電力做功、電勢和電勢能的關系
1.求靜電力做功的四種方法
2.電勢高低的判斷
判斷依據 判斷方法
電場線方向 沿電場線方向電勢逐漸降低
場源電荷 的正負 取無限遠處電勢為零,正電荷周圍電勢為正值,負電荷周圍電勢為負值;靠近正電荷處電勢高,靠近負電荷處電勢低
靜電力 做功 根據UAB=,將WAB、q的正負號代入,由UAB的正負判斷φA、φB的高低
3.電勢能大小的判斷
判斷方法 方法解讀
公式法 將電荷量、電勢連同正負號一起代入公式Ep=qφ,Ep為正且絕對值越大,電勢能越大;Ep為負且絕對值越大,電勢能越小
電勢法 正電荷在電勢高的地方電勢能大,負電荷在電勢低的地方電勢能大
做功法 靜電力做正功,電勢能減小;靜電力做負功,電勢能增加
能量守 恒法 在電場中,若只有靜電力做功時,電荷的動能和電勢能相互轉化,動能增加,電勢能減小;反之,動能減小,電勢能增加
[例1] 【靜電力做功與電勢能】 (2025·河北秦皇島模擬)(多選)科學家在研究電荷分布的對稱性的時候,巧妙地借助了我國傳統文化中的“陰陽太極圖”,以獲得更多的啟示和靈感,如圖所示的三維坐標系。太極圖呈圓形位于xOz平面內,y軸過圓心O,在x軸兩側對稱分布各有一個大半圓和小半圓,M、N各是小半圓的圓心,現在M、N上分別放置一個等量的負點電荷和正點電荷,在y軸的正向有一個定點C,在圓的邊緣有一個位置D,則下列說法正確的是(　　)
[A] 若將正試探電荷q由C點沿y軸移動到O點,則q的電勢能始終不變
[B] 若將正試探電荷q由A點沿“陰陽”邊界經O移動到B點,則q的電勢能增加
[C] 若將負試探電荷q沿虛線由C移到D,則靜電力一直對電荷做正功
[D] 若將負試探電荷沿z軸由O向z軸正向移動,則靜電力一直對電荷做負功
【答案】 AB　
【解析】 由題意可知,y軸在等量異種點電荷連線的中垂線上,因此正試探電荷q在由C點沿y軸移動到O點的過程中,所受靜電力的方向始終與運動方向垂直,則靜電力對q不做功,q的電勢能不變,選項A正確;正試探電荷q由A點沿“陰陽”邊界經O移動到B點,可以分成兩部分看,第一部分是從A到O,這個過程M位置的負點電荷對q不做功,N位置的正點電荷對q做負功,q的電勢能增加;第二部分是從O到B,此過程N位置的正點電荷對q不做功,M位置的負點電荷對q做負功,電勢能仍然在增加,所以q的電勢能一直在增加,選項B正確;負試探電荷q沿虛線由C移到D,從xOz平面上看,負試探電荷q所受的靜電力在做負功,選項C錯誤;負試探電荷沿z軸由O向z軸正向移動,則靜電力與運動方向一直垂直,靜電力不做功,選項D錯誤。
[例2] 【電勢能和電勢】 (2025·黑龍江哈爾濱模擬)(多選)如圖所示,真空中有一正方體,其上M、P兩個頂點處分別放置電荷量大小都為q的正點電荷,N、Q兩個頂點處分別放置電荷量大小都為q的負點電荷。圖中的a、b、c、d是其他的四個頂點,O點為正方體中心,規定無限遠處電勢為零,下列表述正確的是(　　)
[A] a、b兩點的電場強度大小相等
[B] a點的電勢等于b點的電勢
[C] O點的電勢為零
[D] 同一帶正電的試探電荷在c點電勢能小于在d點電勢能
【答案】 AC
【解析】 把四個點電荷的疊加場看成兩對等量異種點電荷電場的疊加,在M、N處等量異種點電荷的疊加場中,a、b兩點處在兩點電荷連線的中垂線上,且關于連線對稱,可知a、b兩點的電場強度大小相等,在P、Q處等量異種點電荷的疊加場中,a、b兩點分別位于正、負點電荷的正上方等高處,可知a、b兩點處電場線的疏密程度相同,可知它們的電場強度大小相等,由矢量疊加可知,a、b兩點的電場強度大小相等,故A正確;在M、N處等量異種點電荷的疊加場中,a、b兩點處在兩點電荷連線的中垂線上,可知φa=φb,在P、Q處等量異種點電荷的疊加場中,a、b兩點分別位于正、負點電荷的正上方等高處,根據沿電場線方向電勢降低可知φa>φb,綜上所述,a點的電勢大于b點的電勢,故B錯誤;由題圖可知,O點既處在M、N處等量異種點電荷連線的中垂線上也處于P、Q處等量異種點電荷連線的中垂線上,可知O點的電勢為零,故C正確;由選項B分析可知,c點電勢大于d點電勢,根據Ep=qφ,可知同一帶正電的試探電荷在c點的電勢能大于在d點的電勢能,故D錯誤。
電勢能、電勢、電勢差、靜電力做功的關系
考點二　電場線、等勢面與帶電粒子的運動軌跡
電場線、等勢面與帶電粒子的運動軌跡的綜合
(1)已知等勢面的形狀、分布,根據電場線與等勢面相互垂直可以繪制電場線。
(2)由電場線和等差等勢面的疏密,可以比較電場強度的大小,進而確定靜電力或加速度的大小。
(3)由帶電粒子的運動軌跡可以判斷帶電粒子所受靜電力方向,由靜電力和速度方向的關系,確定靜電力做功的正負,從而確定電勢能和動能的變化情況。
(4)由靜電力的方向結合帶電粒子的電性可判斷電場線的方向和電勢高低或由靜電力的方向結合電場線的方向判斷帶電粒子的電性。
[例3] 【等勢面的理解與應用】 (2024·甘肅卷,9)(多選)某帶電體產生電場的等勢面分布如圖中實線所示,虛線是一帶電粒子僅在此電場作用下的運動軌跡,M、N分別是運動軌跡與等勢面b、a的交點。下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子帶負電荷
[B] M點的電場強度比N點的小
[C] 粒子在運動軌跡上存在動能最小的點
[D] 粒子在M點的電勢能大于在N點的電勢能
【答案】 BCD
【解析】 沿電場線方向電勢降低,故可知該帶電體帶正電,根據粒子所受靜電力指向曲線軌跡的凹側可知,帶電粒子帶正電荷,故A錯誤;因為M點的電勢大于N點的電勢,故粒子在M點的電勢能大于在N點的電勢能,故D正確;由于帶電粒子僅在電場作用下運動,電勢能與動能總和不變,故可知當電勢能最大時動能最小,故粒子在運動軌跡上到達最大電勢處時動能最小,故C正確;等差等勢面越密集的地方電場強度越大,故M點的電場強度比N點的小,故B正確。
[例4] 【電場線與帶電粒子的運動軌跡】 (多選)真空中某電場的電場線如圖中實線所示,M、O、N為同一根電場線上不同位置的點,兩個帶電粒子a、b先后從P點以相同的速度射入該電場區域,僅在靜電力作用下的運動軌跡如圖中虛線所示,已知a粒子帶正電,且向左上方偏轉,則下列說法正確的是(　　)
[A] M點的電勢高于N點的電勢
[B] 該電場可能是等量異種點電荷形成的
[C] M、N兩點電場強度相同
[D] b粒子一定帶負電,運動過程中電勢能減少,動能增加
【答案】 BD
【解析】 a粒子帶正電,且向左上方偏轉,可知其受到的靜電力指向左側,電場強度指向左側,沿電場線方向電勢降低,故M點的電勢低于N點的電勢,故A錯誤;等量異種點電荷形成的電場線如圖所示,可知該電場可能是等量異種點電荷形成的,故B正確;M、N兩點電場強度方向不同,故C錯誤;b粒子帶負電,運動過程中靜電力與速度方向夾角為銳角,靜電力做正功,電勢能減少,動能增加,故D正確。
考點三　電勢差與電場強度的關系
1.勻強電場中電勢差與電場強度的關系
(1)UAB=Ed,d為A、B兩點沿電場方向的距離。
(2)沿電場強度方向電勢降落得最快。
(3)兩個推論。
推論1:勻強電場中同一直線上任意線段兩個端點間的電勢差與這兩點間的距離成正比。
如圖甲所示,勻強電場中某直線上的兩個線段MN和PQ,它們兩端點間的電勢差與其距離的關系為=或=。
推論2:勻強電場中任意平行直線上兩點間的電勢差與這兩點間的距離成正比。
如圖乙所示,MN∥PQ,有=或=。
2.“等分法”的應用
在勻強電場中,沿任意一個方向的電勢降落都是均勻的,故在同一直線上間距相同的兩點間電勢差大小相等。如果把某兩點間的距離等分為n段,則每段兩端點間的電勢差大小等于原電勢差的,這種通過等分間距求解電勢問題的方法,叫作等分法。若已知勻強電場中某幾點的電勢,要求其他點的電勢時,一般采用“等分法”在電場中找與待求點的電勢相同的等勢點。“等分法”也常用在畫電場線的問題中。
3.E=在非勻強電場中的幾點妙用
(1)解釋等差等勢面的疏密與電場強度大小的關系:當電勢差U一定時,電場強度E越大,則沿電場強度方向的距離d越小,即電場強度越大,等差等勢面越密。
(2)定性判斷非勻強電場電勢差的大小關系:如距離相等的兩點間的電勢差,E越大,U越大;E越小,U越小。
(3)利用φ-x圖像的斜率判斷電場強度隨位置變化的規律:k===E,斜率的絕對值表示電場強度的大小,正負表示電場強度的方向。
[例5] 【非勻強電場中的電場強度和電勢差】 (2025·湖北黃石模擬)如圖是勻強電場遇到空腔導體后的部分電場線分布圖,正方形ABCD的對角線BD邊正好與圖中豎直向上的直電場線重合,O點是正方形兩對角線的交點。下列說法正確的是(　　)
[A] 將一負電荷由A點移到B點,電荷的電勢能增加
[B] O點電勢與C點電勢相等
[C] D、O間的電勢差等于O、B間的電勢差
[D] 在O點放置一正點電荷,該點電荷所受靜電力的方向豎直向下
【答案】 A
【解析】 將一負電荷由A點移到B點,靜電力做負功,電荷的電勢能增加,故A正確;AC與BD垂直,與其他電場線不垂直,AC不是等勢線,O點電勢與C點電勢不相等,故B錯誤;根據電場線的疏密程度可知,D、O間的電場強度大于O、B間的電場強度,由U=Ed可知D、O間的電勢差大于O、B間的電勢差,故C錯誤;在O點放置一正點電荷,該電荷所受靜電力的方向與該點電場方向相同,豎直向上,故D錯誤。
[例6] 【“等分法”確定電場線及電勢高低】(2025·湖北荊州模擬)如圖所示,長方形ABCD所在平面有勻強電場,E、F分別為AB邊、CD邊中點,已知AB邊長為8 cm、BC邊長為4 cm。將電子從C點移動到D點,靜電力做功為20 eV;將電子從E點移動到F點,靜電力做功為-10 eV,不計電子重力,下列說法正確的是(　　)
[A] 長方形ABCD的四個頂點中,D點的電勢最高
[B] 勻強電場的電場強度大小為5 V/cm
[C] 沿AC連線方向,電勢降低最快
[D] 從D點沿DC方向發射動能為4 eV的電子,在以后的運動過程中該電子最小動能為2 eV
【答案】 D
【解析】 由于電子帶負電,根據UAB=可知,將電子從C點移動到D點,靜電力做功為20 eV,則有UCD=-20 V,即φC-φD=-20 V,將電子從E點移動到F點,靜電力做功為-10 eV,則有UEF=10 V,取F點電勢為零,φE=10 V,由于F為CD邊中點,則有φF=,可得φC=-10 V,φD=10 V,則DE為等勢線。根據等勢線與電場線垂直,沿電場線方向電勢逐漸降低,可知電場線沿AF方向,如圖所示。
可知,沿AF連線方向,電勢降低最快,長方形四個頂點中,A點的電勢最高,故A、C錯誤;勻強電場的電場強度大小為E== V/cm,故B錯誤;從D點沿DC方向發射動能為4 eV的電子,則該電子在電場中做類斜拋運動,則當電子沿電場線方向上的分速度為零時,電子的動能最小,此時電子的速度為vmin=vcos 45°,由于發射動能為Ek=mv2=4 eV,則最小動能為Ekmin=m=2 eV,故D正確。
[例7] 【電勢差與電場強度的綜合問題】 (2024·甘肅張掖階段練習)如圖所示,t=0時刻一質量為m=2×10-19 kg、電荷量為q=+8×10-15 C的帶電粒子以大小為v0=3×103 m/s的速度從MN連線上的P點豎直向上射入水平向右的勻強電場中。t=5×10-4 s時粒子運動至MN上的Q點(圖中未標出)。已知MN與水平方向的夾角為θ=37°,粒子的重力忽略不計,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)電場強度的大小;
(2)粒子在Q點的速度v的大小及P、Q兩點之間的電勢差UPQ;
(3)粒子到達Q點之前,其運動軌跡與MN之間的最大距離d。
【答案】 (1)400 V/m　(2)×103 m/s　800 V (3)0.3 m
【解析】 (1)設粒子在水平方向上的位移為x,在豎直方向上的位移為y,粒子在Q點的水平速度為vx,運動時間為t,則有x=t,y=v0t,
由幾何關系得tan θ=,
由牛頓第二定律有Eq=ma,
由運動學公式有vx=at,
聯立解得E=400 V/m。
(2)根據v=,
可得v=×103 m/s,
由動能定理可知qUPQ=mv2-m,
解得UPQ=800 V。
(3)將粒子的初速度、加速度分別沿MN和垂直于MN分解,設初速度在垂直于MN方向的分速度為v1,加速度在垂直于MN方向的分量為a1,則有v1=v0cos 37°,a1=asin 37°,
結合運動學公式,有-=-2a1d,
解得d=0.3 m。
對點1.靜電力做功、電勢和電勢能的關系
1.(4分)(2025·廣東深圳模擬)兩塊平行金屬板安裝在絕緣基座上,A板連接感應起電機的正極,B板連接負極,一個由錫紙包裹的乒乓球用絕緣細線懸掛于A、B兩板之間,搖動起電機,乒乓球在靜電力作用下與A、B兩板碰撞做往返運動,下列說法正確是(　　)
[A] A板的電勢低于B板的電勢
[B] 乒乓球往返運動過程中始終帶正電
[C] A→B的運動過程中靜電力對乒乓球做負功
[D] A→B的運動過程中乒乓球電勢能減小
【答案】 D
【解析】 根據題意,A板連接感應起電機的正極,B板連接負極,則可知A板的電勢高于B板的電勢,故A錯誤;當乒乓球在靜電力的作用下從A板向B板運動,則乒乓球一定帶正電,而當乒乓球與B板發生碰撞,在接觸的過程中乒乓球上的正電荷將與B板所帶負電荷中和并使乒乓球帶上負電,之后靜電力繼續對乒乓球做正功,使乒乓球運動到A板,如此反復,因此乒乓球往返運動過程中與A板碰撞后帶正電,與B板碰撞后帶負電,故B錯誤;根據題意,乒乓球在靜電力作用下與A、B兩板碰撞做往返運動,則可知A→B的運動過程中靜電力對乒乓球做正功,乒乓球的電勢能減小,故C錯誤,D正確。
2.(4分)(2025·內蒙古高考適應性考試)如圖,一帶正電小球甲固定在光滑絕緣斜面上,另一帶正電小球乙在斜面上由靜止釋放。以釋放點為原點,沿斜面向下為正方向建立x軸。在乙沿x軸加速下滑過程中,其動能Ek和機械能E隨位置x變化的圖像,可能正確的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 設兩個帶電小球間距為r,對小球乙,由動能定理可知(mgsin θ-k)x=Ek,則Ek-x圖像的斜率表示小球乙所受合外力,則F合=mgsin θ-k,所以在乙沿x軸加速下滑過程中,兩個帶電小球間距r逐漸減小,小球乙所受合外力沿斜面向下且逐漸減小,則Ek-x圖像斜率逐漸減小,故A、B不符合題意;由E-x圖像的斜率表示庫侖力,則E-x圖像斜率k斜=
k,所以在乙沿x軸加速下滑過程中,庫侖力逐漸增大,E-x圖像的斜率逐漸增大,故C不符合題意,D符合題意。
對點2.電場線、等勢面與帶電粒子的運動軌跡
3.(6分)(2024·廣東廣州階段練習)(多選)電纜周圍的電場分布對電纜的電氣化強度影響很大。如圖所示為電纜終端周圍的電場分布情況,圖中虛線為等勢線,實線為電場線,下列說法正確的是(　　)
[A] 電場中b點的電場強度小于c點的電場強度
[B] 將一電子放在c點,電子的電勢能為-30 eV
[C] 將一質子由a點經b點移至c點,靜電力先做正功后做負功
[D] 在b點由靜止釋放一帶正電的粒子,粒子將沿電場線運動
【答案】 AB　
【解析】 電場線的疏密表示電場強度的大小,b點疏密程度小于c點疏密程度,所以b點的電場強度小于c點的電場強度,故A正確;根據Ep=qφ,可知將一電子放在c點,電子的電勢能為Ep=-e×30 V=-30 eV,故B正確;由題圖可知Uab<0,Ubc>0,可知將一質子由a點經b點移至c點,靜電力先做負功后做正功,故C錯誤;由于b點電場線不是直線,所以在b點由靜止釋放一帶正電的粒子,粒子并不會沿電場線運動,故D錯誤。
對點3.電勢差與電場強度的關系
4.(4分)(2024·江西卷,1)蠟燭火焰是一種含有電子、正離子、中性粒子的氣體狀物質,將其置于電壓恒定的兩平行金屬板間,板間電場視為勻強電場,如圖所示。若兩金屬板間距減小,關于火焰中電子所受的電場力,下列說法正確的是(　　)
[A] 電場力增大,方向向左
[B] 電場力增大,方向向右
[C] 電場力減小,方向向左
[D] 電場力減小,方向向右
【答案】 B
【解析】 兩板間電壓U不變,當兩板間距d減小時,由E=可知電場強度E增大,再由F=eE可知電子所受電場力增大。板間的電場線水平向左,可知帶負電的電子所受電場力方向
向右。
5.(6分)(2025·四川遂寧模擬)(多選)如圖所示的坐標系中,質量為m=0.5 kg、帶電荷量為q=+10-4 C 的小球從坐標原點O處,以初速度v0= m/s 斜向右上方拋出,進入斜向右上方電場強度為E=5×104 V/m的勻強電場中,E與x軸正方向的夾角為30°,v0與E的夾角為30°,重力加速度g取10 m/s2,下列說法正確的是(　　)
[A] 小球的加速度的大小為10 m/s2
[B] 小球的加速度的大小為10 m/s2
[C] 若小球能運動到x軸上的P點,則小球在P點的速度大小為 m/s
[D] O、P兩點間的電勢差為6×104 V
【答案】 BC
【解析】小球在電場中受到的靜電力為F=qE=10-4×5×104 N=5 N,小球受到的重力為G=mg=0.5×10 N=5 N,小球受力如圖所示。根據幾何知識可知小球所受合力為F合=5 N,則小球的加速度的大小為a== m/s2=10 m/s2,故A錯誤,B正確;設O、P的距離為x,把x分別沿著v0和垂直于v0分解,則有x1=xsin 30°,x2=xcos 30°,由類平拋運動規律可得x1=v0t,x2=at2,小球在P點的速度為v=,聯立解得x= m,v= m/s,故C正確;由勻強電場電勢差與電場強度關系可得UOP=Excos 30°=9×104 V,故D錯誤。
6.(4分)(2025·山西運城模擬)如圖所示,半徑為R的虛線圓在豎直面內,O是圓心,AC、BD分別為豎直和水平直徑,E是弧AD的中點,F是弧BC的中點,電場強度為E0的勻強電場豎直向下,甲、乙兩個帶電粒子(重力忽略不計)質量均為m,帶電荷量的絕對值均為q,先讓甲從C點以初速度v1水平拋出,經過一段時間t1運動到B點,再讓乙從E點以初速度v2水平拋出,經過一段時間t2運動到F點,下列說法正確的是(　　)
[A] 甲、乙均帶負電
[B] B、C兩點間的電勢差與E、F兩點間的電勢差之比為1∶
[C] 甲在B點的速度以及乙在F點的速度與水平方向的夾角均為45°
[D] v1∶v2=1∶
【答案】 B
【解析】 由甲、乙運動的軌跡可知,甲受力方向與電場方向相反,帶負電荷,乙受力方向與電場方向相同,帶正電荷,故A錯誤;B、C兩點間的電勢差UBC=E0R,E、F兩點間的電勢差UEF=E0·2Rcos 45°=E0R,所以B、C兩點間的電勢差與E、F兩點間的電勢差之比為UBC∶UEF=1∶,故B正確;在甲運動到B點的過程以及乙運動到F點的過程中,位移與水平方向的夾角均為45°,根據平拋運動的速度與水平方向夾角的正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍可知,速度與水平方向夾角不等于45°,故C錯誤;因為兩個帶電粒子質量均為m,帶電荷量的絕對值均為q,根據牛頓第二定律可知兩粒子的加速度相等,對于甲有R=v1t1,R=a,可得v1=,對于乙有2Rcos 45°=v2t2,2Rsin 45°=a,可得v2=,則v1∶v2=1∶,故D錯誤。
7.(6分)(2025·內蒙古高考適應性考試)(多選)如圖,在豎直平面內,一水平光滑直導軌與半徑為2L的光滑圓弧導軌相切于N點,M點右側有平行于導軌面斜向左下的勻強電場。不帶電小球甲以5 的速度向右運動,與靜止于M點、帶正電的小球乙發生彈性正碰。碰撞后,甲運動至MN中點時,乙恰好運動至N點,之后乙沿圓弧導軌最高運動至P點,不考慮此后的運動。已知甲、乙的質量比為4∶1,M、N之間的距離為6L,的圓心角為45°,重力加速度為g,全程不發生電荷轉移。乙從M運動到N的過程(　　)
[A] 最大速度為8
[B] 所用時間為
[C] 加速度大小為4g
[D] 受到的靜電力是重力的5倍
【答案】 ACD
【解析】 甲、乙發生彈性正碰,則有m甲v0=m甲v1+m乙v2,m甲=m甲+m乙,聯立解得v1=v0=3,v2=v0=8,此后乙在電場力作用下做減速運動,所以乙的最大速度為8,故A正確;乙從M點運動到N點,甲恰好運動到MN中點,甲做勻速直線運動,時間為t==,故B錯誤;乙從M運動到N的過程中,做勻減速直線運動,根據位移時間關系有6L=v2t-at2,解得加速度大小a=4g,故C正確;由于所對的圓心角為45°,設電場線方向與水平方向的夾角為θ,乙從M到P,根據動能定理有-Fcos θ(6+)L-(m乙g+Fsin θ)(2-)L=0-m乙,根據C選項分析可知Fcos θ=4m乙g,聯立可得Fsin θ=3m乙g,所以θ=37°,F=5m乙g,故D正確。
8.(16分)(2024·山東德州期中)如圖,真空中有兩個足夠大的平行金屬板與水平面成45°放置,上極板帶正電,下極板帶負電,板間電場強度為E=。板間的同一豎直面內有兩個球形小油滴A和B,質量均為m0,A不帶電,B帶電荷量為-q(q>0),初始時A、B豎直方向的高度差為h。現將A、B同時由靜止釋放,一段時間后二者相遇并融合為新油滴C。二者融合的過程中總質量、總電荷量均守恒,并滿足動量守恒。融合后的瞬間,給裝置通入空氣,此后C恰好做勻速直線運動。已知球形油滴受到的空氣阻力大小為F阻=kv,其中k為比例系數,m為油滴質量,v為油滴運動速率,不計空氣浮力,重力加速度為g。求:
(1)初始時A、B水平方向的距離;
(2)比例系數k;
(3)C勻速運動時間t0過程中電勢能的變化量。
【答案】 (1)h　(2)(2m0·　
(3)-2m0gt0
【解析】 (1)對B受力分析,在豎直方向上有
qEcos 45°-m0g=m0ay,
可得ay=g,方向豎直向上。
A、B在豎直方向位移有
h=gt2+ayt2,
可得t=,
對B分析,在水平方向上有
qEsin 45°=m0ax,
可得ax=2g,
在水平方向位移為x=axt2,
可得x=h。
(2)融合前瞬間B的豎直、水平速度分別為
vBy=ayt=,vBx=axt=2,
融合前瞬間A的速度為vA=gt=,
根據動量守恒定律,豎直方向有
m0vA-m0vBy=2m0vy,
水平方向有
m0vBx=2m0vx,
可得vy=0,vx=,
可知融合后C的速度為v=vx=,
對C,由力的平衡條件可得
2m0gtan 45°=k(2m0v,
可得k=(2m0·。
(3)電勢能的變化量
ΔEp=-qE(vt0)cos 45°=-2m0gt0。
(
第
17
頁
)第2講　電場能的性質
情境導思 如圖所示是等高線圖。思考:類比到電場中,我們用類似的方法表示電場中電勢相等的各點在一個等勢面上。分析下列關于等勢面的說法。 (1)電荷在等勢面上移動時所受靜電力為什么不做功 (2)等勢面上各點的電場強度相等嗎 (3)勻強電場中的等勢面是什么形式 (4)點電荷在真空中形成的電場的等勢面是以點電荷為球心的一簇球面,它們的電場強度相同嗎
考點一　靜電力做功、電勢和電勢能的關系
1.求靜電力做功的四種方法
2.電勢高低的判斷
判斷依據 判斷方法
電場線方向 沿電場線方向電勢逐漸降低
場源電荷 的正負 取無限遠處電勢為零,正電荷周圍電勢為正值,負電荷周圍電勢為負值;靠近正電荷處電勢高,靠近負電荷處電勢低
靜電力 做功 根據UAB=,將WAB、q的正負號代入,由UAB的正負判斷φA、φB的高低
3.電勢能大小的判斷
判斷方法 方法解讀
公式法 將電荷量、電勢連同正負號一起代入公式Ep=qφ,Ep為正且絕對值越大,電勢能越大;Ep為負且絕對值越大,電勢能越小
電勢法 正電荷在電勢高的地方電勢能大,負電荷在電勢低的地方電勢能大
做功法 靜電力做正功,電勢能減小;靜電力做負功,電勢能增加
能量守 恒法 在電場中,若只有靜電力做功時,電荷的動能和電勢能相互轉化,動能增加,電勢能減小;反之,動能減小,電勢能增加
[例1] 【靜電力做功與電勢能】 (2025·河北秦皇島模擬)(多選)科學家在研究電荷分布的對稱性的時候,巧妙地借助了我國傳統文化中的“陰陽太極圖”,以獲得更多的啟示和靈感,如圖所示的三維坐標系。太極圖呈圓形位于xOz平面內,y軸過圓心O,在x軸兩側對稱分布各有一個大半圓和小半圓,M、N各是小半圓的圓心,現在M、N上分別放置一個等量的負點電荷和正點電荷,在y軸的正向有一個定點C,在圓的邊緣有一個位置D,則下列說法正確的是(　　)
[A] 若將正試探電荷q由C點沿y軸移動到O點,則q的電勢能始終不變
[B] 若將正試探電荷q由A點沿“陰陽”邊界經O移動到B點,則q的電勢能增加
[C] 若將負試探電荷q沿虛線由C移到D,則靜電力一直對電荷做正功
[D] 若將負試探電荷沿z軸由O向z軸正向移動,則靜電力一直對電荷做負功
[例2] 【電勢能和電勢】 (2025·黑龍江哈爾濱模擬)(多選)如圖所示,真空中有一正方體,其上M、P兩個頂點處分別放置電荷量大小都為q的正點電荷,N、Q兩個頂點處分別放置電荷量大小都為q的負點電荷。圖中的a、b、c、d是其他的四個頂點,O點為正方體中心,規定無限遠處電勢為零,下列表述正確的是(　　)
[A] a、b兩點的電場強度大小相等
[B] a點的電勢等于b點的電勢
[C] O點的電勢為零
[D] 同一帶正電的試探電荷在c點電勢能小于在d點電勢能
電勢能、電勢、電勢差、靜電力做功的關系
考點二　電場線、等勢面與帶電粒子的運動軌跡
電場線、等勢面與帶電粒子的運動軌跡的綜合
(1)已知等勢面的形狀、分布,根據電場線與等勢面相互垂直可以繪制電場線。
(2)由電場線和等差等勢面的疏密,可以比較電場強度的大小,進而確定靜電力或加速度的大小。
(3)由帶電粒子的運動軌跡可以判斷帶電粒子所受靜電力方向,由靜電力和速度方向的關系,確定靜電力做功的正負,從而確定電勢能和動能的變化情況。
(4)由靜電力的方向結合帶電粒子的電性可判斷電場線的方向和電勢高低或由靜電力的方向結合電場線的方向判斷帶電粒子的電性。
[例3] 【等勢面的理解與應用】 (2024·甘肅卷,9)(多選)某帶電體產生電場的等勢面分布如圖中實線所示,虛線是一帶電粒子僅在此電場作用下的運動軌跡,M、N分別是運動軌跡與等勢面b、a的交點。下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子帶負電荷
[B] M點的電場強度比N點的小
[C] 粒子在運動軌跡上存在動能最小的點
[D] 粒子在M點的電勢能大于在N點的電勢能
[例4] 【電場線與帶電粒子的運動軌跡】 (多選)真空中某電場的電場線如圖中實線所示,M、O、N為同一根電場線上不同位置的點,兩個帶電粒子a、b先后從P點以相同的速度射入該電場區域,僅在靜電力作用下的運動軌跡如圖中虛線所示,已知a粒子帶正電,且向左上方偏轉,則下列說法正確的是(　　)
[A] M點的電勢高于N點的電勢
[B] 該電場可能是等量異種點電荷形成的
[C] M、N兩點電場強度相同
[D] b粒子一定帶負電,運動過程中電勢能減少,動能增加
考點三　電勢差與電場強度的關系
1.勻強電場中電勢差與電場強度的關系
(1)UAB=Ed,d為A、B兩點沿電場方向的距離。
(2)沿電場強度方向電勢降落得最快。
(3)兩個推論。
推論1:勻強電場中同一直線上任意線段兩個端點間的電勢差與這兩點間的距離成正比。
如圖甲所示,勻強電場中某直線上的兩個線段MN和PQ,它們兩端點間的電勢差與其距離的關系為=或=。
推論2:勻強電場中任意平行直線上兩點間的電勢差與這兩點間的距離成正比。
如圖乙所示,MN∥PQ,有=或=。
2.“等分法”的應用
在勻強電場中,沿任意一個方向的電勢降落都是均勻的,故在同一直線上間距相同的兩點間電勢差大小相等。如果把某兩點間的距離等分為n段,則每段兩端點間的電勢差大小等于原電勢差的,這種通過等分間距求解電勢問題的方法,叫作等分法。若已知勻強電場中某幾點的電勢,要求其他點的電勢時,一般采用“等分法”在電場中找與待求點的電勢相同的等勢點。“等分法”也常用在畫電場線的問題中。
3.E=在非勻強電場中的幾點妙用
(1)解釋等差等勢面的疏密與電場強度大小的關系:當電勢差U一定時,電場強度E越大,則沿電場強度方向的距離d越小,即電場強度越大,等差等勢面越密。
(2)定性判斷非勻強電場電勢差的大小關系:如距離相等的兩點間的電勢差,E越大,U越大;E越小,U越小。
(3)利用φ-x圖像的斜率判斷電場強度隨位置變化的規律:k===E,斜率的絕對值表示電場強度的大小,正負表示電場強度的方向。
[例5] 【非勻強電場中的電場強度和電勢差】 (2025·湖北黃石模擬)如圖是勻強電場遇到空腔導體后的部分電場線分布圖,正方形ABCD的對角線BD邊正好與圖中豎直向上的直電場線重合,O點是正方形兩對角線的交點。下列說法正確的是(　　)
[A] 將一負電荷由A點移到B點,電荷的電勢能增加
[B] O點電勢與C點電勢相等
[C] D、O間的電勢差等于O、B間的電勢差
[D] 在O點放置一正點電荷,該點電荷所受靜電力的方向豎直向下
[例6] 【“等分法”確定電場線及電勢高低】(2025·湖北荊州模擬)如圖所示,長方形ABCD所在平面有勻強電場,E、F分別為AB邊、CD邊中點,已知AB邊長為8 cm、BC邊長為4 cm。將電子從C點移動到D點,靜電力做功為20 eV;將電子從E點移動到F點,靜電力做功為-10 eV,不計電子重力,下列說法正確的是(　　)
[A] 長方形ABCD的四個頂點中,D點的電勢最高
[B] 勻強電場的電場強度大小為5 V/cm
[C] 沿AC連線方向,電勢降低最快
[D] 從D點沿DC方向發射動能為4 eV的電子,在以后的運動過程中該電子最小動能為2 eV
[例7] 【電勢差與電場強度的綜合問題】 (2024·甘肅張掖階段練習)如圖所示,t=0時刻一質量為m=2×10-19 kg、電荷量為q=+8×10-15 C的帶電粒子以大小為v0=3×103 m/s的速度從MN連線上的P點豎直向上射入水平向右的勻強電場中。t=5×10-4 s時粒子運動至MN上的Q點(圖中未標出)。已知MN與水平方向的夾角為θ=37°,粒子的重力忽略不計,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)電場強度的大小;
(2)粒子在Q點的速度v的大小及P、Q兩點之間的電勢差UPQ;
(3)粒子到達Q點之前,其運動軌跡與MN之間的最大距離d。
(滿分:50分)
對點1.靜電力做功、電勢和電勢能的關系
1.(4分)(2025·廣東深圳模擬)兩塊平行金屬板安裝在絕緣基座上,A板連接感應起電機的正極,B板連接負極,一個由錫紙包裹的乒乓球用絕緣細線懸掛于A、B兩板之間,搖動起電機,乒乓球在靜電力作用下與A、B兩板碰撞做往返運動,下列說法正確是(　　)
[A] A板的電勢低于B板的電勢
[B] 乒乓球往返運動過程中始終帶正電
[C] A→B的運動過程中靜電力對乒乓球做負功
[D] A→B的運動過程中乒乓球電勢能減小
2.(4分)(2025·內蒙古高考適應性考試)如圖,一帶正電小球甲固定在光滑絕緣斜面上,另一帶正電小球乙在斜面上由靜止釋放。以釋放點為原點,沿斜面向下為正方向建立x軸。在乙沿x軸加速下滑過程中,其動能Ek和機械能E隨位置x變化的圖像,可能正確的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
對點2.電場線、等勢面與帶電粒子的運動軌跡
3.(6分)(2024·廣東廣州階段練習)(多選)電纜周圍的電場分布對電纜的電氣化強度影響很大。如圖所示為電纜終端周圍的電場分布情況,圖中虛線為等勢線,實線為電場線,下列說法正確的是(　　)
[A] 電場中b點的電場強度小于c點的電場強度
[B] 將一電子放在c點,電子的電勢能為-30 eV
[C] 將一質子由a點經b點移至c點,靜電力先做正功后做負功
[D] 在b點由靜止釋放一帶正電的粒子,粒子將沿電場線運動
對點3.電勢差與電場強度的關系
4.(4分)(2024·江西卷,1)蠟燭火焰是一種含有電子、正離子、中性粒子的氣體狀物質,將其置于電壓恒定的兩平行金屬板間,板間電場視為勻強電場,如圖所示。若兩金屬板間距減小,關于火焰中電子所受的電場力,下列說法正確的是(　　)
[A] 電場力增大,方向向左
[B] 電場力增大,方向向右
[C] 電場力減小,方向向左
[D] 電場力減小,方向向右
5.(6分)(2025·四川遂寧模擬)(多選)如圖所示的坐標系中,質量為m=0.5 kg、帶電荷量為q=+10-4 C 的小球從坐標原點O處,以初速度v0= m/s 斜向右上方拋出,進入斜向右上方電場強度為E=5×104 V/m的勻強電場中,E與x軸正方向的夾角為30°,v0與E的夾角為30°,重力加速度g取10 m/s2,下列說法正確的是(　　)
[A] 小球的加速度的大小為10 m/s2
[B] 小球的加速度的大小為10 m/s2
[C] 若小球能運動到x軸上的P點,則小球在P點的速度大小為 m/s
[D] O、P兩點間的電勢差為6×104 V
6.(4分)(2025·山西運城模擬)如圖所示,半徑為R的虛線圓在豎直面內,O是圓心,AC、BD分別為豎直和水平直徑,E是弧AD的中點,F是弧BC的中點,電場強度為E0的勻強電場豎直向下,甲、乙兩個帶電粒子(重力忽略不計)質量均為m,帶電荷量的絕對值均為q,先讓甲從C點以初速度v1水平拋出,經過一段時間t1運動到B點,再讓乙從E點以初速度v2水平拋出,經過一段時間t2運動到F點,下列說法正確的是(　　)
[A] 甲、乙均帶負電
[B] B、C兩點間的電勢差與E、F兩點間的電勢差之比為1∶
[C] 甲在B點的速度以及乙在F點的速度與水平方向的夾角均為45°
[D] v1∶v2=1∶
7.(6分)(2025·內蒙古高考適應性考試)(多選)如圖,在豎直平面內,一水平光滑直導軌與半徑為2L的光滑圓弧導軌相切于N點,M點右側有平行于導軌面斜向左下的勻強電場。不帶電小球甲以5 的速度向右運動,與靜止于M點、帶正電的小球乙發生彈性正碰。碰撞后,甲運動至MN中點時,乙恰好運動至N點,之后乙沿圓弧導軌最高運動至P點,不考慮此后的運動。已知甲、乙的質量比為4∶1,M、N之間的距離為6L,的圓心角為45°,重力加速度為g,全程不發生電荷轉移。乙從M運動到N的過程(　　)
[A] 最大速度為8
[B] 所用時間為
[C] 加速度大小為4g
[D] 受到的靜電力是重力的5倍
8.(16分)(2024·山東德州期中)如圖,真空中有兩個足夠大的平行金屬板與水平面成45°放置,上極板帶正電,下極板帶負電,板間電場強度為E=。板間的同一豎直面內有兩個球形小油滴A和B,質量均為m0,A不帶電,B帶電荷量為-q(q>0),初始時A、B豎直方向的高度差為h。現將A、B同時由靜止釋放,一段時間后二者相遇并融合為新油滴C。二者融合的過程中總質量、總電荷量均守恒,并滿足動量守恒。融合后的瞬間,給裝置通入空氣,此后C恰好做勻速直線運動。已知球形油滴受到的空氣阻力大小為F阻=kv,其中k為比例系數,m為油滴質量,v為油滴運動速率,不計空氣浮力,重力加速度為g。求:
(1)初始時A、B水平方向的距離;
(2)比例系數k;
(3)C勻速運動時間t0過程中電勢能的變化量。
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第
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)(共62張PPT)
高中總復習·物理
第2講　
電場能的性質
情境導思
如圖所示是等高線圖。思考:類比到電場中,我們用類似的方法表示電場中電勢相等的各點在一個等勢面上。分析下列關于等勢面的說法。
(1)電荷在等勢面上移動時所受靜電力為什么不做功
(2)等勢面上各點的電場強度相等嗎
(3)勻強電場中的等勢面是什么形式
(4)點電荷在真空中形成的電場的等勢面是以點電荷為球心的一簇球面,它們的電場強度相同嗎
知識構建
起始
qEd
qUAB
零勢能
EpA-EpB
零電勢
電勢
不做功
強弱
知識構建
φA-φB
定向移動
小題試做
1.(2024·北京卷,11)如圖所示,兩個等量異種點電荷分別位于M、N兩點,P、Q是MN連線上的兩點,且MP=QN。下列說法正確的是(　　)
[A] P點電場強度比Q點電場強度大
[B] P點電勢與Q點電勢相等
[C] 若兩點電荷的電荷量均變為原來的2倍,P點電場強度大小也變為原來的2倍
[D] 若兩點電荷的電荷量均變為原來的2倍,P、Q兩點間電勢差不變
C
小題試做
2.(2024·黑吉遼卷,6)在水平方向的勻強電場中,一帶電小球僅在重力和電場力作用下于豎直面(紙面)內運動,如圖,若小球的初速度方向沿虛線,則其運動軌跡為直線,若小球的初速度方向垂直于虛線,則其從O點出發運動到O點等高處的過程中(　　)
[A] 動能減小,電勢能增大
[B] 動能增大,電勢能增大
[C] 動能減小,電勢能減小
[D] 動能增大,電勢能減小
D
1.求靜電力做功的四種方法
2.電勢高低的判斷
3.電勢能大小的判斷
判斷方法 方法解讀
公式法 將電荷量、電勢連同正負號一起代入公式Ep=qφ,Ep為正且絕對值越大,電勢能越大;Ep為負且絕對值越大,電勢能越小
電勢法 正電荷在電勢高的地方電勢能大,負電荷在電勢低的地方電勢
能大
做功法 靜電力做正功,電勢能減小;靜電力做負功,電勢能增加
能量守 恒法 在電場中,若只有靜電力做功時,電荷的動能和電勢能相互轉化,動能增加,電勢能減小;反之,動能減小,電勢能增加
[例1] 【靜電力做功與電勢能】 (2025·河北秦皇島模擬)(多選)科學家在研究電荷分布的對稱性的時候,巧妙地借助了我國傳統文化中的“陰陽太極圖”,以獲得更多的啟示和靈感,如圖所示的三維坐標系。太極圖呈圓形位于xOz平面內,y軸過圓心O,在x軸兩側對稱分布各有一個大半圓和小半圓,M、N各是小半圓的圓心,現在M、N上分別放置一個等量的負點電荷和正點電荷,在y軸的正向有一個定點C,在圓的邊緣有一個位置D,則下列說法正確的是(　 　)
[A] 若將正試探電荷q由C點沿y軸移動到O點,則q的電勢能始終不變
[B] 若將正試探電荷q由A點沿“陰陽”邊界經O移動到B點,則q的電勢能增加
[C] 若將負試探電荷q沿虛線由C移到D,則靜電力一直對電荷做正功
[D] 若將負試探電荷沿z軸由O向z軸正向移動,則靜電力一直對電荷做負功
AB
【解析】 由題意可知,y軸在等量異種點電荷連線的中垂線上,因此正試探電荷q在由C點沿y軸移動到O點的過程中,所受靜電力的方向始終與運動方向垂直,則靜電力對q不做功,q的電勢能不變,選項A正確;正試探電荷q由A點沿“陰陽”邊界經O移動到B點,可以分成兩部分看,第一部分是從A到O,這個過程M位置的負點電荷對q不做功,N位置的正點電荷對q做負功,q的電勢能增加;第二部分是從O到B,此過程N位置的正點電荷對q不做功,M位置的負點電荷對q做負功,電勢能仍然在增加,所以q的電勢能一直在增加,選項B正確;負試探電荷q沿虛線由C移到D,從xOz平面上看,負試探電荷q所受的靜電力在做負功,選項C錯誤;負試探電荷沿z軸由O向z軸正向移動,則靜電力與運動方向一直垂直,靜電力不做功,選項D錯誤。
[例2] 【電勢能和電勢】 (2025·黑龍江哈爾濱模擬)(多選)如圖所示,真空中有一正方體,其上M、P兩個頂點處分別放置電荷量大小都為q的正點電荷,N、Q兩個頂點處分別放置電荷量大小都為q的負點電荷。圖中的a、b、c、d是其他的四個頂點,O點為正方體中心,規定無限遠處電勢為零,下列表述正確的是(　　 )
[A] a、b兩點的電場強度大小相等
[B] a點的電勢等于b點的電勢
[C] O點的電勢為零
[D] 同一帶正電的試探電荷在c點電勢能小于在d點電勢能
AC
【解析】 把四個點電荷的疊加場看成兩對等量異種點電荷電場的疊加,在M、N處等量異種點電荷的疊加場中,a、b兩點處在兩點電荷連線的中垂線上,且關于連線對稱,可知a、b兩點的電場強度大小相等,在P、Q處等量異種點電荷的疊加場中,a、b兩點分別位于正、負點電荷的正上方等高處,可知a、b兩點處電場線的疏密程度相同,可知它們的電場強度大小相等,由矢量疊加可知,a、b兩點的電場強度大小相等,故A正確;
在M、N處等量異種點電荷的疊加場中,a、b兩點處在兩點電荷連線的中垂線上,可知φa=φb,在P、Q處等量異種點電荷的疊加場中,a、b兩點分別位于正、負點電荷的正上方等高處,根據沿電場線方向電勢降低可知φa>φb,綜上所述,a點的電勢大于b點的電勢,故B錯誤;由題圖可知,O點既處在M、N處等量異種點電荷連線的中垂線上也處于P、Q處等量異種點電荷連線的中垂線上,可知O點的電勢為零,故C正確;由選項B分析可知,c點電勢大于d點電勢,根據Ep=qφ,可知同一帶正電的試探電荷在c點的電勢能
大于在d點的電勢能,故D錯誤。
方法點撥
電勢能、電勢、電勢差、靜電力做功的關系
電場線、等勢面與帶電粒子的運動軌跡的綜合
(1)已知等勢面的形狀、分布,根據電場線與等勢面相互垂直可以繪制電場線。
(2)由電場線和等差等勢面的疏密,可以比較電場強度的大小,進而確定靜電力或加速度的大小。
(3)由帶電粒子的運動軌跡可以判斷帶電粒子所受靜電力方向,由靜電力和速度方向的關系,確定靜電力做功的正負,從而確定電勢能和動能的變化情況。
(4)由靜電力的方向結合帶電粒子的電性可判斷電場線的方向和電勢高低或由靜電力的方向結合電場線的方向判斷帶電粒子的電性。
[例3] 【等勢面的理解與應用】 (2024·甘肅卷,9)(多選)某帶電體產生電場的等勢面分布如圖中實線所示,虛線是一帶電粒子僅在此電場作用下的運動軌跡,M、N分別是運動軌跡與等勢面b、a的交點。下列說法正確的是
(　 　)
[A] 粒子帶負電荷
[B] M點的電場強度比N點的小
[C] 粒子在運動軌跡上存在動能最小的點
[D] 粒子在M點的電勢能大于在N點的電勢能
BCD
【解析】 沿電場線方向電勢降低,故可知該帶電體帶正電,根據粒子所受靜電力指向曲線軌跡的凹側可知,帶電粒子帶正電荷,故A錯誤;因為M點的電勢大于N點的電勢,故粒子在M點的電勢能大于在N點的電勢能,故D正確;由于帶電粒子僅在電場作用下運動,電勢能與動能總和不變,故可知當電勢能最大時動能最小,故粒子在運動軌跡上到達最大電勢處時動能最小,故C正確;等差等勢面越密集的地方電場強度越大,故M點的電場強度比N點的小,故B正確。
[例4] 【電場線與帶電粒子的運動軌跡】 (多選)真空中某電場的電場線如圖中實線所示,M、O、N為同一根電場線上不同位置的點,兩個帶電粒子a、b先后從P點以相同的速度射入該電場區域,僅在靜電力作用下的運動軌跡如圖中虛線所示,已知a粒子帶正電,且向左上方偏轉,則下列說法正確的是
(　 　)
[A] M點的電勢高于N點的電勢
[B] 該電場可能是等量異種點電荷形成的
[C] M、N兩點電場強度相同
[D] b粒子一定帶負電,運動過程中電勢能減少,動能增加
BD
【解析】 a粒子帶正電,且向左上方偏轉,可知其受到的靜電力指向左側,電場強度指向左側,沿電場線方向電勢降低,故M點的電勢低于N點的電勢,故A錯誤;等量異種點電荷形成的電場線如圖所示,可知該電場可能是等量異種點電荷形成的,故B正確;M、N兩點電場強度方向不同,故C錯誤;b粒子帶負電,運動過程中靜電力與速度方向夾角為銳角,靜電力做正功,電勢能減少,動能增加,故D正確。
1.勻強電場中電勢差與電場強度的關系
(1)UAB=Ed,d為A、B兩點沿電場方向的距離。
(2)沿電場強度方向電勢降落得最快。
(3)兩個推論。
推論1:勻強電場中同一直線上任意線段兩個端點間的電勢差與這兩點間的距離成正比。
推論2:勻強電場中任意平行直線上兩點間的電勢差與這兩點間的距離成
正比。
2.“等分法”的應用
(1)解釋等差等勢面的疏密與電場強度大小的關系:當電勢差U一定時,電場強度E越大,則沿電場強度方向的距離d越小,即電場強度越大,等差等勢面越密。
(2)定性判斷非勻強電場電勢差的大小關系:如距離相等的兩點間的電勢差,E越大,U越大;E越小,U越小。
[例5] 【非勻強電場中的電場強度和電勢差】 (2025·湖北黃石模擬)如圖是勻強電場遇到空腔導體后的部分電場線分布圖,正方形ABCD的對角線BD邊正好與圖中豎直向上的直電場線重合,O點是正方形兩對角線的交點。下列說法正確的是(　　)
[A] 將一負電荷由A點移到B點,電荷的電勢能增加
[B] O點電勢與C點電勢相等
[C] D、O間的電勢差等于O、B間的電勢差
[D] 在O點放置一正點電荷,該點電荷所受靜電力的方向豎直向下
A
【解析】 將一負電荷由A點移到B點,靜電力做負功,電荷的電勢能增加,故A正確;AC與BD垂直,與其他電場線不垂直,AC不是等勢線,O點電勢與C點電勢不相等,故B錯誤;根據電場線的疏密程度可知,D、O間的電場強度大于O、B間的電場強度,由U=Ed可知D、O間的電勢差大于O、B間的電勢差,故C錯誤;在O點放置一正點電荷,該電荷所受靜電力的方向與該點電場方向相同,豎直向上,故D錯誤。
[例6] 【“等分法”確定電場線及電勢高低】(2025·湖北荊州模擬)如圖所示,長方形ABCD所在平面有勻強電場,E、F分別為AB邊、CD邊中點,已知AB邊長為8 cm、BC邊長為4 cm。將電子從C點移動到D點,靜電力做功為
20 eV;將電子從E點移動到F點,靜電力做功為-10 eV,不計電子重力,下列說法正確的是(　　)
[A] 長方形ABCD的四個頂點中,D點的電勢最高
D
[C] 沿AC連線方向,電勢降低最快
[D] 從D點沿DC方向發射動能為4 eV的電子,在以后的運動過程中該電子最小動能為2 eV
[例7] 【電勢差與電場強度的綜合問題】 (2024·甘肅張掖階段練習)如圖所示,t=0時刻一質量為m=2×10-19 kg、電荷量為q=+8×10-15 C的帶電粒子以大小為v0=3×103 m/s的速度從MN連線上的P點豎直向上射入水平向右的勻強電場中。t=5×10-4 s時粒子運動至MN上的Q點(圖中未標出)。已知MN與水平方向的夾角為θ=37°,粒子的重力忽略不計,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8。求:
(1)電場強度的大小;
【答案】 (1)400 V/m
(2)粒子在Q點的速度v的大小及P、Q兩點之間的電勢差UPQ;
(3)粒子到達Q點之前,其運動軌跡與MN之間的最大距離d。
【答案】 (3)0.3 m
基礎對點練
對點1.靜電力做功、電勢和電勢能的關系
1.(4分)(2025·廣東深圳模擬)兩塊平行金屬板安裝在絕緣基座上,A板連接感應起電機的正極,B板連接負極,一個由錫紙包裹的乒乓球用絕緣細線懸掛于A、B兩板之間,搖動起電機,乒乓球在靜電力作用下與A、B兩板碰撞做往返運動,下列說法正確是(　　)
[A] A板的電勢低于B板的電勢
[B] 乒乓球往返運動過程中始終帶正電
[C] A→B的運動過程中靜電力對乒乓球做負功
[D] A→B的運動過程中乒乓球電勢能減小
D
【解析】 根據題意,A板連接感應起電機的正極,B板連接負極,則可知A板的電勢高于B板的電勢,故A錯誤;當乒乓球在靜電力的作用下從A板向B板運動,則乒乓球一定帶正電,而當乒乓球與B板發生碰撞,在接觸的過程中乒乓球上的正電荷將與B板所帶負電荷中和并使乒乓球帶上負電,之后靜電力繼續對乒乓球做正功,使乒乓球運動到A板,如此反復,因此乒乓球往返運動過程中與A板碰撞后帶正電,與B板碰撞后帶負電,故B錯誤;根據題意,乒乓球在靜電力作用下與A、B兩板碰撞做往返運動,則可知A→B的運動過程中靜電力對乒乓球做正功,乒乓球的電勢能減小,故C錯誤,D正確。
2.(4分)(2025·內蒙古高考適應性考試)如圖,一帶正電小球甲固定在光滑絕緣斜面上,另一帶正電小球乙在斜面上由靜止釋放。以釋放點為原點,沿斜面向下為正方向建立x軸。在乙沿x軸加速下滑過程中,其動能Ek和機械能E隨位置x變化的圖像,可能正確的是(　　)
D
[A] [B] [C] [D]
對點2.電場線、等勢面與帶電粒子的運動軌跡
3.(6分)(2024·廣東廣州階段練習)(多選)電纜周圍的電場分布對電纜的電氣化強度影響很大。如圖所示為電纜終端周圍的電場分布情況,圖中虛線為等勢線,實線為電場線,下列說法正確的是(　 　)
[A] 電場中b點的電場強度小于c點的電場強度
[B] 將一電子放在c點,電子的電勢能為-30 eV
[C] 將一質子由a點經b點移至c點,靜電力先做正功后做負功
[D] 在b點由靜止釋放一帶正電的粒子,粒子將沿電場線運動
AB
對點3.電勢差與電場強度的關系
4.(4分)(2024·江西卷,1)蠟燭火焰是一種含有電子、正離子、中性粒子的氣體狀物質,將其置于電壓恒定的兩平行金屬板間,板間電場視為勻強電場,如圖所示。若兩金屬板間距減小,關于火焰中電子所受的電場力,下列說法正確的是(　　)
[A] 電場力增大,方向向左
[B] 電場力增大,方向向右
[C] 電場力減小,方向向左
[D] 電場力減小,方向向右
B
BC
6.(4分)(2025·山西運城模擬)如圖所示,半徑為R的虛線圓在豎直面內,O是圓心,AC、BD分別為豎直和水平直徑,E是弧AD的中點,F是弧BC的中點,電場強度為E0的勻強電場豎直向下,甲、乙兩個帶電粒子(重力忽略不計)質量均為m,帶電荷量的絕對值均為q,先讓甲從C點以初速度v1水平拋出,經過一段時間t1運動到B點,再讓乙從E點以初速度v2水平拋出,經過一段時間t2運動到F點,下列說法正確的是(　　)
B
綜合提升練
ACD
(1)初始時A、B水平方向的距離;
【答案】 (1)h　
(2)比例系數k;
(3)C勻速運動時間t0過程中電勢能的變化量。

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