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第5講　小專題:帶電粒子在交變電場中的運動
考點一　帶電粒子在交變電場中的直線運動
1.常見的交變電場
常見的產生交變電場的電壓波形有方形波、鋸齒波、正弦波等。
2.常見的題目類型
(1)粒子做單向直線運動。
(2)粒子做往返運動。
3.思維方法
(1)注重全面分析(分析受力特點和運動規律):抓住粒子的運動具有周期性和在空間上具有對稱性的特征,求解粒子運動過程中的速度、位移、做功或確定與物理過程相關的臨界條件。
(2)從兩條思路出發:一是力和運動的關系,根據牛頓第二定律及運動學規律分析;二是功能關系。
[例1] 【帶電粒子的單向直線運動】 (2025·河北石家莊模擬)(多選)直線加速器是粒子物理學重要的實驗工具,圖中一系列管狀導體叫作漂移管,漂移管與頻率恒定的交流電源相連,每當電子到達兩個相鄰漂移管交界處時,電子前方的漂移管總是接電源正極,電子后方的漂移管總是接電源負極。當電子最后離開加速器時速度能夠接近光速。不考慮相對論效應,下列說法正確的是(　　)
[A] 電子在漂移管中被加速
[B] 電子在漂移管中做勻速運動
[C] 從前到后相鄰漂移管之間的距離差不變
[D] 從前到后相鄰漂移管之間的距離差逐漸變小
【答案】 BD
【解析】 由于靜電屏蔽,管狀導體漂移管內的電場強度為零,電子在漂移管內做勻速直線運動,而在漂移管之間形成的電場中被加速,故A錯誤,B正確;由于每當電子到達兩個相鄰漂移管交界處時,電子前方的漂移管總是接電源正極,則電子在每個漂移管中勻速直線運動的時間等于交流電源周期的一半,即電子在相鄰漂移管之間加速過程的時間也等于交流電源周期的一半,則有t0=,若電子被加速n次后、被加速n+1次后、被加速n+2次后,根據動能定理有neU=m,(n+1)eU=m,(n+2)eU=m,第n個漂移管與第n+1個漂移管之間的距離Ln=t0,第n+1個漂移管與第n+2個漂移管之間的距離Ln+1=t0,則從前到后相鄰漂移管之間的距離差ΔL=Ln+1-Ln,解得ΔL=·,可知從前到后相鄰漂移管之間的距離差逐漸變小,故C錯誤,D正確。
[例2] 【帶電粒子的往復運動】 (2025·廣東東莞模擬)電視機顯像管的結構示意圖如圖所示,電子槍均勻發射的電子束經加速電場加速后高速通過偏轉電場,最后打在熒光屏上呈現光斑,在顯像管偏轉極板上加上不同的電壓,光斑在熒光屏上呈現不同情況,以上極板帶正電時為正,下列說法正確的是(　　)
[A] 若在偏轉極板加上如圖甲所示的偏轉電場,則可以在熒光屏上看到一個固定的光斑
[B] 若在偏轉極板加上如圖乙所示的偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏的O點下側移動
[C] 若在偏轉極板加上如圖丙所示的偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏上從上向下移動
[D] 若在偏轉極板加上如圖丁所示的偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏上O點兩側做往復運動
【答案】 D
【解析】 若在偏轉極板加上如題圖甲所示的偏轉電場,若電子是在正向電壓時間段進入偏轉電場,在熒光屏上側留下一個光斑;若電子是在反向電壓時間段進入偏轉電場,在熒光屏下側留下一個光斑;可以看到熒光屏的O點上側、下側各一個光斑,故A錯誤。若在偏轉極板加上如題圖乙所示的偏轉電場,電子一直向上偏轉,所以在熒光屏O點上方看到一個光斑移動,故B錯誤。若在偏轉極板加上如題圖丙所示的偏轉電場,可以看到一個光斑在熒光屏上從下向上移動,故C錯誤。若在偏轉極板加上如題圖丁所示的正弦式偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏上O點兩側做往復運動,故D正確。
考點二　帶電粒子在交變電場中的偏轉
1.帶電粒子在交變電場中的運動,通常只討論電壓的大小不變、方向做周期性變化(如方波)的情形。
當粒子垂直于交變電場方向射入時,沿初速度方向的分運動為勻速直線運動,沿電場方向的分運動具有周期性。
2.研究帶電粒子在交變電場中的運動,關鍵是根據電場變化的特點,利用牛頓第二定律正確地判斷粒子的運動情況。根據電場的變化情況,分段求解帶電粒子運動的末速度、位
移等。
3.對于鋸齒波和正弦波等電壓產生的交變電場,若粒子穿過板間的時間極短,帶電粒子穿過電場時可認為是在勻強電場中運動。
[例3] 【偏轉中的類平拋運動】 (2024·遼寧沈陽階段練習)(多選)如圖甲所示,真空中水平放置兩塊長度為2d的平行金屬板P、Q,兩板間距為d,兩板間加上如圖乙所示最大值為U0的周期性變化的電壓,在兩板左側緊靠P板處有一粒子源A,自t=0時刻開始連續釋放初速度大小為v0、方向平行于金屬板的相同帶電粒子,t=0時刻釋放的粒子恰好從Q板右側邊緣離開電場。已知電場變化周期T=,粒子質量為m,不計粒子重力及相互間的作用力,則下列說法正確的是(　　)
[A] t=0時刻進入的粒子在t=時刻的速度方向與金屬板成45°角
[B] t=0到t=時間段內進入的粒子離開電場時的速度方向均平行于極板
[C] t=時刻進入的粒子在t=時刻與P板的距離為
[D] t=時刻進入的粒子與P板的最大距離為
【答案】 ABC
【解析】 粒子進入電場后,水平方向做勻速運動,t=0時刻進入電場的粒子在電場中運動的時間為t=,此時間正好是交變電場的一個周期,由于t=0時刻進入的粒子恰好從Q板右側邊緣離開電場,所以在t=時刻粒子運動到兩極板之間的正中央,根據速度偏轉角的正切等于位移偏轉角的正切的2倍,即tan θ=2tan α=1,可知速度方向與金屬板成45°角,故A正確;根據對稱性可得,t=0到t=時刻內進入的粒子用多長時間加速偏轉就用多長時間對稱減速偏轉,豎直方向速度最終變為0,因此t=0到t=時間段內進入的粒子離開電場時的速度方向均平行于極板,故B正確;因為=a()2,t=時刻進入的粒子在豎直方向向下加速,運動位移為d′=a()2=,然后向下減速,運動位移為,故在t=時刻與P板的距離為,故C正確;t=時刻進入的粒子在豎直方向上用時間向下加速,位移d″=a()2=,再用時間向下減速到0,位移為,再用時間向上加速,位移為d =a()2=,再用時間向上減速到0,位移為,重復一次上述過程后正好為1個周期T,粒子離開電場,所以最終粒子與P板的最大距離為dm=+=,故D錯誤。
[例4] 【臨界情況下的偏轉】 (2025·遼寧撫順模擬)如圖甲所示,兩平行正對的金屬板間距為d,兩板間所加電壓如圖乙所示。在兩板左側中間位置O點有一個粒子源,能沿兩板中軸線OO′向外持續射出質量為m、電荷量為+q、初速度為v0的粒子。已知極板長度為4d,不計粒子重力及粒子間的相互作用,t=0時刻兩板間電場方向豎直向下,此時射入板間的粒子恰好能從極板右側射出,則(　　)
[A] t=0時刻射入極板間的粒子離開電場時沿電場方向的位移為d
[B] t=0時刻射入極板間的粒子離開電場時速度方向仍沿OO′方向
[C] t=時刻射入極板間的粒子將打在極板上
[D] 粒子從右側射出時的最大動能為Ek=m+qU0
【答案】 B
【解析】 粒子在電場中運動的時間為t=,t=0時刻射入極板間的粒子豎直方向先向下加速,后向下減速,因粒子恰能從極板右側射出,則離開電場時沿電場方向的位移為d,故A錯誤;由對稱性可知,t=0時刻射入極板間的粒子離開電場時沿電場方向的速度減為零,則速度方向仍沿OO′方向,故B正確;t=時刻射入極板間的粒子豎直方向先向上加速,時間為,然后向上減速,時間為,則最終粒子恰能從上極板邊緣飛出,故C錯誤;粒子無論何時進入電場,射出電場時沿電場方向的速度均為零,可知粒子從右側射出時的動能均為Ek=m,故D錯誤。
對點1.帶電粒子在交變電場中的直線運動
1.(4分)(2024·江蘇期末)某電場的電場強度E隨時間t變化規律的圖像如圖所示。當t=0時,在該電場中由靜止釋放一個帶電粒子,設帶電粒子只受靜電力作用,則下列說法正確的是(　　)
[A] 帶電粒子將始終向同一個方向運動
[B] 0～2 s內靜電力對帶電粒子的沖量為零
[C] 2 s末帶電粒子回到原出發點
[D] 0～2 s內,靜電力做的總功不為零
【答案】 D
【解析】 由牛頓第二定律可得帶電粒子在第1 s內的加速度大小為a1=,第2 s內加速度大小為a2=,因E2=2E1,則a2=2a1,則帶電粒子先勻加速運動1 s再勻減速0.5 s時速度為零,接下來的0.5 s將反向勻加速,再反向勻減速1 s,t=3 s時速度為零,v-t圖像如圖所示。由圖可知,帶電粒子在電場中做往復運動,故A錯誤;由v-t圖像面積表示位移可知,t=2 s時,帶電粒子位移不為零,沒有回到原出發點,故C錯誤;由v-t圖像可知,t=2 s時,v≠0,根據動能定理可知,0～2 s內靜電力做的總功不為零,故D正確;由動量定理可知,0～2 s內靜電力對帶電粒子的沖量不為零,故B錯誤。
2.(6分)(2024·江西宜春期中)(多選)如圖所示,在相距較遠的兩平行金屬板中央有一個靜止的帶電粒子(不計重力),當兩板間的電壓分別如圖中甲、乙、丙、丁所示時,在t=0時刻靜止釋放該粒子,下列說法正確的是(　　)
[A] 電壓如圖甲所示時,在0～T時間內,粒子始終朝同一方向運動
[B] 電壓如圖乙所示時,在0～時間內,粒子先做勻減速運動,后做勻加速運動
[C] 電壓如圖丙所示時,在0～時間內,粒子動量變化量為零
[D] 電壓如圖丁所示時,若粒子在之前不能到達極板,則一直不能到達極板
【答案】 AD
【解析】 由題圖甲可知粒子應朝同一方向先加速后減速,T時刻速度恰好減到零,不返回,故A正確;根據E=可知電場時刻在變化,則粒子受變力作用,粒子做非勻變速運動,故B錯誤;0～內電壓值始終為正,故靜電力沖量之和不為零,粒子動量變化量不為零,故C錯誤;電壓是題圖丁時,粒子先加速,到后減速,時減為零,若此過程粒子一直未打到板上,那么由運動的對稱性可知,后反向加速,T后減速,T時減為零,之后又反向加速…,故粒子做往復運動,故D正確。
對點2.帶電粒子在交變電場中的偏轉
3.(6分)(2025·河南洛陽模擬)(多選)如圖甲所示,兩平行金屬板A、B的板長和板間距均為d,兩板之間的電壓隨時間周期性變化規律如圖乙所示。一不計重力的帶電粒子以速度v0從O點沿板間中線射入極板之間,若t=0時刻進入電場的帶電粒子在t=T時刻剛好沿A板右邊緣射出電場,則(　　)
[A] t=0時刻進入電場的粒子在t=時刻速度大小為 v0
[B] t=時刻進入電場的粒子在t=時刻速度大小為v0
[C] t=時刻進入電場的粒子在兩板間的最大偏移量為
[D] t=時刻進入電場的粒子最終平行于極板射出電場
【答案】 AD
【解析】 在時刻,粒子在水平方向上的分速度為v0,兩平行金屬板A、B的板長和板間距均為d,則有d=v0T,=××2,解得vy=v0,則t=時刻,vy=v0,根據平行四邊形定則知,粒子的速度為v==v0,故A正確;t=0時刻進入電場的粒子,運動時間為電場變化周期T,則有水平方向d=v0T,豎直方向每移動的位移都相同,設為Δy,則有Δy=a()2=aT2=d,當該粒子在時刻以速度v0進入電場,則此時粒子豎直方向上在靜電力的作用下,先做勻加速,再勻減速,接著再反向勻加速和勻減速后回到中線位置,由運動的對稱性可知,豎直方向先勻加速后勻減速的位移大小為y1=2×a()2=aT2=,故C錯誤;t=時刻進入電場的粒子在t=時刻,豎直方向速度為vy′=a·=,根據平行四邊形定則知,粒子的速度為v==v0,故B錯誤;由于水平方向做勻速直線運動,所以粒子無論什么時候進入電場,運動時間都是T,粒子在t=時刻以速度v0進入電場,豎直方向先向上加速再向上減速,再向下加速,再向下減速,豎直方向速度為零,粒子最終平行于極板射出電場,故D
正確。
4.(4分)(2025·安徽淮北模擬)如圖甲所示,長為8d、間距為d的平行金屬板水平放置,O點為兩板中點的一粒子源,能持續水平向右發射初速度為v0、電荷量為+q、質量為m的粒子。在兩板間存在如圖乙所示的交變電場,取豎直向下為正方向,不計粒子重力,下列判斷正確的是(　　)
[A] 能從板間射出的粒子的動能均相同
[B] 粒子在電場中運動的最短時間為
[C] t=時刻進入的粒子,從O′點的下方射出
[D] t=時刻進入的粒子,從O′點的上方射出
【答案】 A
【解析】 由題圖可知電場強度大小E=,則粒子在電場中的加速度大小a==,則粒子在電場中運動的最短時間滿足d=a,解得tmin=,故B錯誤;能從板間射出的粒子在板間運動的時間均為t=,則任意時刻射入的粒子射出電場時沿電場方向的速度均為0,可知射出電場時的動能均為m,故A正確;t==時刻進入的粒子,在沿電場方向先向下加速,后向下減速,速度到零;然后向上加速,再向上減速,速度到零……如此反復,則最后從O′點射出時沿電場方向的位移為零,則粒子將從O′點射出,故C錯誤;t==時刻進入的粒子,在沿電場方向先向下加速,運動的位移y1=at2=··()2=d>d,此時粒子已經到達下極板,即粒子不能從右側射出,故D錯誤。
5.(6分)(2024·四川南充階段練習)(多選)如圖甲所示,真空中有一平行板電容器水平放置,兩極板所加電壓如圖乙所示,板長l=v0T,板間距為d。t=時,帶電粒子a靠近下極板,從左側以v0的速度水平射入,a粒子恰好不會打在上極板上。若質量和電荷量相同的b粒子以2v0的水平速度從相同位置射入,恰好從下極板的右側邊緣飛離極板,粒子可視為質點且不計重力。下列說法正確的是(　　)
[A] a粒子飛離極板時的豎直速度為零
[B] a粒子飛離極板時豎直偏移量為d
[C] b粒子進入極板的時刻可能為T
[D] b粒子進入極板的時刻可能為T
【答案】 AD
【解析】 由于板長l=v0T,粒子在水平方向上做勻速直線運動,可知粒子飛離極板所需時間為t==T,由于a粒子進入電場后,豎直方向上的加速度大小為a=,根據速度公式可知,豎直方向開始加速過程的末速度大小為v=a(-)=,時刻電場方向發生改變,粒子所受靜電力方向改變,加速度方向改變,粒子開始做減速運動,根據對稱性可知,經過T粒子豎直方向的分速度減為零,之后從T～T時間內開始反向加速,豎直方向末速度大小為v′=a(T-)=,最后在T～T內減速至零。作出一個周期內的vy-t圖像,如圖所示,
則由vy-t圖像可知,a粒子飛離極板時豎直方向的分速度恰好為零,故A正確;由于a粒子恰好不會打在上極板上,根據豎直方向的vy-t圖像可知,a粒子在T～T內豎直方向的位移大小為d,且有d=··(-)=,a粒子在T～T內豎直方向的位移大小為y1=··(-)==,則a粒子飛離極板時豎直偏移量y=d-y1=d,故B錯誤;設b粒子在電場中運動時間為tb,粒子水平方向做勻速直線運動,則有l=2v0tb,解得tb=,設0～內的t時刻,b粒子從下極板左端下邊緣進入電場,然后從下極板右端邊緣飛離極板,即粒子在豎直方向的側移量等于0,則有a(-t)2+a(-t)t-at2=0,解得t=T,故C錯誤,D正確。
6.(10分)(2025·河南周口模擬)如圖甲,平行板電容器兩極板M、N的間距為d,M板接地(電勢為零),t=0時一帶正電的粒子沿兩板中心線PQ以某一速度進入極板,當N板電勢為零時,粒子從平行板右端中間Q點飛出,在極板間運動時間為T,當N板電勢為φ0時,粒子恰從M板右端邊緣飛出。忽略邊界效應,板間的電場強度為勻強電場,不計粒子重力。
(1)求粒子的比荷;
(2)若N板電勢隨時間變化的規律如圖乙所示,粒子恰從平行板右端中間Q點飛出,求k的值及φ1的最大值。
【答案】 (1)　(2)3　3φ0
【解析】 (1)根據題意,當N板電勢為0時,粒子沿著兩板中線做勻速直線運動,當N板電勢為φ0時粒子在M、N板間做類平拋運動,設其在垂直于M、N板的方向做初速度為零的勻加速直線運動的加速度大小為a,則有=aT2,
其中a=·,
聯立解得=。
(2)粒子從0～時間內,豎直向上做初速度為零的勻加速直線運動,設其加速度大小為a1,加速結束時的末速度大小為v1,則有v1=a1·,
由于粒子水平方向上所受合力為零,因此水平方向上始終做勻速直線運動,穿過平行板電容器的時間為T,可知,在～T時間內粒子在豎直方向上先做勻減速直線運動,后做勻加速直線運動,設加速度大小為a2,粒子從Q點離開平行板時豎直方向的末速度大小為v2,則有
-v2=v1-a2·,
兩個階段粒子在豎直方向上發生的位移大小相等、方向相反,因此有a1()2=-[v1·-a2()2],
聯立可得=,=,
根據牛頓第二定律有a1=,a2=,
由此可知k=3,
當φ1最大時,粒子在豎直方向速度減為零時恰好達到上極板,則豎直方向加速時的位移
y1=a1()2,
豎直方向減速到零時的位移y2=,
豎直方向的總位移=y1+y2,
聯立解得a1=,
而根據(1)中可得d=aT2,
解得a1=3a,
因此可知φ1max=3φ0。
7.(14分)(2024·江蘇泰州期末)如圖甲所示,邊長為l的正方形ABCD區域內存在平行于紙面豎直方向的勻強電場,在CD邊右側3l處平行CD放置熒光屏,O1O2是通過正方形中心O1和熒光屏中心O2的軸線。電子由靜止經加速電壓加速后以一定速度沿軸線連續射入電場。整個系統置于真空中,不計電子重力,已知電子電荷量為e、質量為m。
(1)若加速電壓為u0,電子恰好從D點飛出,求電子從進入正方形區域到打到熒光屏上的時間t;
(2)若電子均以速度v0沿軸線射入正方形區域,正方形區域所加偏轉電場如圖乙所示,偏轉電場變化周期為T,且T遠大于電子在偏轉電場中的運動時間,電子偏轉后恰好全部從CD邊射出偏轉電場并能全部打在熒光屏上形成運動的光點,求最大電場強度Em以及熒光屏的最小長度d;
(3)求在(2)的條件下熒光屏上光點經過O2的速度v的大小。
【答案】 (1)2l　(2)　7l　(3)
【解析】 (1)電子從進入正方形區域到打到熒光屏,水平方向做勻速直線運動,設電子進入正方形區域的速度為v1,則eu0=m,
解得v1=,
時間為t==2l。
(2)電子在正方形區域中運動的時間t2=,
當電場強度為Em時,電子出電場時在CD方向上的位移為,則
=×,
解得Em=,
設電子打到熒光屏上的最小長度為d,電子離開正方形區域時速度偏轉的角度為θ,則
tan θ==,
解得d=7l。
(3)當電場強度為E時,電子出電場時在CD方向上的位移為y1=×()2,
在熒光屏上偏轉的位移為y,則=,解得y=,
光點通過O2時的速度大小v==×=×=。
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考點一　帶電粒子在交變電場中的直線運動
1.常見的交變電場
常見的產生交變電場的電壓波形有方形波、鋸齒波、正弦波等。
2.常見的題目類型
(1)粒子做單向直線運動。
(2)粒子做往返運動。
3.思維方法
(1)注重全面分析(分析受力特點和運動規律):抓住粒子的運動具有周期性和在空間上具有對稱性的特征,求解粒子運動過程中的速度、位移、做功或確定與物理過程相關的臨界條件。
(2)從兩條思路出發:一是力和運動的關系,根據牛頓第二定律及運動學規律分析;二是功能關系。
[例1] 【帶電粒子的單向直線運動】 (2025·河北石家莊模擬)(多選)直線加速器是粒子物理學重要的實驗工具,圖中一系列管狀導體叫作漂移管,漂移管與頻率恒定的交流電源相連,每當電子到達兩個相鄰漂移管交界處時,電子前方的漂移管總是接電源正極,電子后方的漂移管總是接電源負極。當電子最后離開加速器時速度能夠接近光速。不考慮相對論效應,下列說法正確的是(　　)
[A] 電子在漂移管中被加速
[B] 電子在漂移管中做勻速運動
[C] 從前到后相鄰漂移管之間的距離差不變
[D] 從前到后相鄰漂移管之間的距離差逐漸變小
[例2] 【帶電粒子的往復運動】 (2025·廣東東莞模擬)電視機顯像管的結構示意圖如圖所示,電子槍均勻發射的電子束經加速電場加速后高速通過偏轉電場,最后打在熒光屏上呈現光斑,在顯像管偏轉極板上加上不同的電壓,光斑在熒光屏上呈現不同情況,以上極板帶正電時為正,下列說法正確的是(　　)
[A] 若在偏轉極板加上如圖甲所示的偏轉電場,則可以在熒光屏上看到一個固定的光斑
[B] 若在偏轉極板加上如圖乙所示的偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏的O點下側移動
[C] 若在偏轉極板加上如圖丙所示的偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏上從上向下移動
[D] 若在偏轉極板加上如圖丁所示的偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏上O點兩側做往復運動
考點二　帶電粒子在交變電場中的偏轉
1.帶電粒子在交變電場中的運動,通常只討論電壓的大小不變、方向做周期性變化(如方波)的情形。
當粒子垂直于交變電場方向射入時,沿初速度方向的分運動為勻速直線運動,沿電場方向的分運動具有周期性。
2.研究帶電粒子在交變電場中的運動,關鍵是根據電場變化的特點,利用牛頓第二定律正確地判斷粒子的運動情況。根據電場的變化情況,分段求解帶電粒子運動的末速度、位
移等。
3.對于鋸齒波和正弦波等電壓產生的交變電場,若粒子穿過板間的時間極短,帶電粒子穿過電場時可認為是在勻強電場中運動。
[例3] 【偏轉中的類平拋運動】 (2024·遼寧沈陽階段練習)(多選)如圖甲所示,真空中水平放置兩塊長度為2d的平行金屬板P、Q,兩板間距為d,兩板間加上如圖乙所示最大值為U0的周期性變化的電壓,在兩板左側緊靠P板處有一粒子源A,自t=0時刻開始連續釋放初速度大小為v0、方向平行于金屬板的相同帶電粒子,t=0時刻釋放的粒子恰好從Q板右側邊緣離開電場。已知電場變化周期T=,粒子質量為m,不計粒子重力及相互間的作用力,則下列說法正確的是(　　)
[A] t=0時刻進入的粒子在t=時刻的速度方向與金屬板成45°角
[B] t=0到t=時間段內進入的粒子離開電場時的速度方向均平行于極板
[C] t=時刻進入的粒子在t=時刻與P板的距離為
[D] t=時刻進入的粒子與P板的最大距離為
[例4] 【臨界情況下的偏轉】 (2025·遼寧撫順模擬)如圖甲所示,兩平行正對的金屬板間距為d,兩板間所加電壓如圖乙所示。在兩板左側中間位置O點有一個粒子源,能沿兩板中軸線OO′向外持續射出質量為m、電荷量為+q、初速度為v0的粒子。已知極板長度為4d,不計粒子重力及粒子間的相互作用,t=0時刻兩板間電場方向豎直向下,此時射入板間的粒子恰好能從極板右側射出,則(　　)
[A] t=0時刻射入極板間的粒子離開電場時沿電場方向的位移為d
[B] t=0時刻射入極板間的粒子離開電場時速度方向仍沿OO′方向
[C] t=時刻射入極板間的粒子將打在極板上
[D] 粒子從右側射出時的最大動能為Ek=m+qU0
(滿分:50分)
對點1.帶電粒子在交變電場中的直線運動
1.(4分)(2024·江蘇期末)某電場的電場強度E隨時間t變化規律的圖像如圖所示。當t=0時,在該電場中由靜止釋放一個帶電粒子,設帶電粒子只受靜電力作用,則下列說法正確的是(　　)
[A] 帶電粒子將始終向同一個方向運動
[B] 0～2 s內靜電力對帶電粒子的沖量為零
[C] 2 s末帶電粒子回到原出發點
[D] 0～2 s內,靜電力做的總功不為零
2.(6分)(2024·江西宜春期中)(多選)如圖所示,在相距較遠的兩平行金屬板中央有一個靜止的帶電粒子(不計重力),當兩板間的電壓分別如圖中甲、乙、丙、丁所示時,在t=0時刻靜止釋放該粒子,下列說法正確的是(　　)
[A] 電壓如圖甲所示時,在0～T時間內,粒子始終朝同一方向運動
[B] 電壓如圖乙所示時,在0～時間內,粒子先做勻減速運動,后做勻加速運動
[C] 電壓如圖丙所示時,在0～時間內,粒子動量變化量為零
[D] 電壓如圖丁所示時,若粒子在之前不能到達極板,則一直不能到達極板
對點2.帶電粒子在交變電場中的偏轉
3.(6分)(2025·河南洛陽模擬)(多選)如圖甲所示,兩平行金屬板A、B的板長和板間距均為d,兩板之間的電壓隨時間周期性變化規律如圖乙所示。一不計重力的帶電粒子以速度v0從O點沿板間中線射入極板之間,若t=0時刻進入電場的帶電粒子在t=T時刻剛好沿A板右邊緣射出電場,則(　　)
[A] t=0時刻進入電場的粒子在t=時刻速度大小為 v0
[B] t=時刻進入電場的粒子在t=時刻速度大小為v0
[C] t=時刻進入電場的粒子在兩板間的最大偏移量為
[D] t=時刻進入電場的粒子最終平行于極板射出電場
4.(4分)(2025·安徽淮北模擬)如圖甲所示,長為8d、間距為d的平行金屬板水平放置,O點為兩板中點的一粒子源,能持續水平向右發射初速度為v0、電荷量為+q、質量為m的粒子。在兩板間存在如圖乙所示的交變電場,取豎直向下為正方向,不計粒子重力,下列判斷正確的是(　　)
[A] 能從板間射出的粒子的動能均相同
[B] 粒子在電場中運動的最短時間為
[C] t=時刻進入的粒子,從O′點的下方射出
[D] t=時刻進入的粒子,從O′點的上方射出
5.(6分)(2024·四川南充階段練習)(多選)如圖甲所示,真空中有一平行板電容器水平放置,兩極板所加電壓如圖乙所示,板長l=v0T,板間距為d。t=時,帶電粒子a靠近下極板,從左側以v0的速度水平射入,a粒子恰好不會打在上極板上。若質量和電荷量相同的b粒子以2v0的水平速度從相同位置射入,恰好從下極板的右側邊緣飛離極板,粒子可視為質點且不計重力。下列說法正確的是(　　)
[A] a粒子飛離極板時的豎直速度為零
[B] a粒子飛離極板時豎直偏移量為d
[C] b粒子進入極板的時刻可能為T
[D] b粒子進入極板的時刻可能為T
6.(10分)(2025·河南周口模擬)如圖甲,平行板電容器兩極板M、N的間距為d,M板接地(電勢為零),t=0時一帶正電的粒子沿兩板中心線PQ以某一速度進入極板,當N板電勢為零時,粒子從平行板右端中間Q點飛出,在極板間運動時間為T,當N板電勢為φ0時,粒子恰從M板右端邊緣飛出。忽略邊界效應,板間的電場強度為勻強電場,不計粒子重力。
(1)求粒子的比荷;
(2)若N板電勢隨時間變化的規律如圖乙所示,粒子恰從平行板右端中間Q點飛出,求k的值及φ1的最大值。
7.(14分)(2024·江蘇泰州期末)如圖甲所示,邊長為l的正方形ABCD區域內存在平行于紙面豎直方向的勻強電場,在CD邊右側3l處平行CD放置熒光屏,O1O2是通過正方形中心O1和熒光屏中心O2的軸線。電子由靜止經加速電壓加速后以一定速度沿軸線連續射入電場。整個系統置于真空中,不計電子重力,已知電子電荷量為e、質量為m。
(1)若加速電壓為u0,電子恰好從D點飛出,求電子從進入正方形區域到打到熒光屏上的時間t;
(2)若電子均以速度v0沿軸線射入正方形區域,正方形區域所加偏轉電場如圖乙所示,偏轉電場變化周期為T,且T遠大于電子在偏轉電場中的運動時間,電子偏轉后恰好全部從CD邊射出偏轉電場并能全部打在熒光屏上形成運動的光點,求最大電場強度Em以及熒光屏的最小長度d;
(3)求在(2)的條件下熒光屏上光點經過O2的速度v的大小。
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高中總復習·物理
第5講　
小專題:帶電粒子在交變電場中的運動
1.常見的交變電場
常見的產生交變電場的電壓波形有方形波、鋸齒波、正弦波等。
2.常見的題目類型
(1)粒子做單向直線運動。
(2)粒子做往返運動。
3.思維方法
(1)注重全面分析(分析受力特點和運動規律):抓住粒子的運動具有周期性和在空間上具有對稱性的特征,求解粒子運動過程中的速度、位移、做功或確定與物理過程相關的臨界條件。
(2)從兩條思路出發:一是力和運動的關系,根據牛頓第二定律及運動學規律分析;二是功能關系。
[例1] 【帶電粒子的單向直線運動】 (2025·河北石家莊模擬)(多選)直線加速器是粒子物理學重要的實驗工具,圖中一系列管狀導體叫作漂移管,漂移管與頻率恒定的交流電源相連,每當電子到達兩個相鄰漂移管交界處時,電子前方的漂移管總是接電源正極,電子后方的漂移管總是接電源負極。當電子最后離開加速器時速度能夠接近光速。不考慮相對論效應,下列說法正確的是(　 　)
[A] 電子在漂移管中被加速
[B] 電子在漂移管中做勻速運動
[C] 從前到后相鄰漂移管之間的距離差不變
[D] 從前到后相鄰漂移管之間的距離差逐漸變小
BD
[例2] 【帶電粒子的往復運動】 (2025·廣東東莞模擬)電視機顯像管的結構示意圖如圖所示,電子槍均勻發射的電子束經加速電場加速后高速通過偏轉電場,最后打在熒光屏上呈現光斑,在顯像管偏轉極板上加上不同的電壓,光斑在熒光屏上呈現不同情況,以上極板帶正電時為正,下列說法正確的是(　　)
[A] 若在偏轉極板加上如圖甲所示的偏轉電場,則可以在熒光屏上看到一個固定的光斑
[B] 若在偏轉極板加上如圖乙所示的偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏的O點下側移動
[C] 若在偏轉極板加上如圖丙所示的偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏上從上向下移動
[D] 若在偏轉極板加上如圖丁所示的偏轉電場,則可以看到一個光斑在熒光屏上O點兩側做往復運動
D
1.帶電粒子在交變電場中的運動,通常只討論電壓的大小不變、方向做周期性變化(如方波)的情形。
當粒子垂直于交變電場方向射入時,沿初速度方向的分運動為勻速直線運動,沿電場方向的分運動具有周期性。
2.研究帶電粒子在交變電場中的運動,關鍵是根據電場變化的特點,利用牛頓第二定律正確地判斷粒子的運動情況。根據電場的變化情況,分段求解帶電粒子運動的末速度、位移等。
3.對于鋸齒波和正弦波等電壓產生的交變電場,若粒子穿過板間的時間極短,帶電粒子穿過電場時可認為是在勻強電場中運動。
ABC
[例4] 【臨界情況下的偏轉】 (2025·遼寧撫順模擬)如圖甲所示,兩平行正對的金屬板間距為d,兩板間所加電壓如圖乙所示。在兩板左側中間位置O點有一個粒子源,能沿兩板中軸線OO′向外持續射出質量為m、電荷量為+q、初速度為v0的粒子。已知極板長度為4d,不計粒子重力及粒子間的相互作用,t=0時刻兩板間電場方向豎直向下,此時射入板間的粒子恰好能從極板右側射出,則(　 　)
B
對點1.帶電粒子在交變電場中的直線運動
1.(4分)(2024·江蘇期末)某電場的電場強度E隨時間t變化規律的圖像如圖所示。當t=0時,在該電場中由靜止釋放一個帶電粒子,設帶電粒子只受靜電力作用,則下列說法正確的是(　　)
[A] 帶電粒子將始終向同一個方向運動
[B] 0～2 s內靜電力對帶電粒子的沖量為零
[C] 2 s末帶電粒子回到原出發點
[D] 0～2 s內,靜電力做的總功不為零
基礎對點練
D
2.(6分)(2024·江西宜春期中)(多選)如圖所示,在相距較遠的兩平行金屬板中央有一個靜止的帶電粒子(不計重力),當兩板間的電壓分別如圖中甲、乙、丙、丁所示時,在t=0時刻靜止釋放該粒子,下列說法正確的是(　 　)
AD
對點2.帶電粒子在交變電場中的偏轉
3.(6分)(2025·河南洛陽模擬)(多選)如圖甲所示,兩平行金屬板A、B的板長和板間距均為d,兩板之間的電壓隨時間周期性變化規律如圖乙所示。一不計重力的帶電粒子以速度v0從O點沿板間中線射入極板之間,若t=0時刻進入電場的帶電粒子在t=T時刻剛好沿A板右邊緣射出電場,則( 　　)
AD
4.(4分)(2025·安徽淮北模擬)如圖甲所示,長為8d、間距為d的平行金屬板水平放置,O點為兩板中點的一粒子源,能持續水平向右發射初速度為v0、電荷量為+q、質量為m的粒子。在兩板間存在如圖乙所示的交變電場,取豎直向下為正方向,不計粒子重力,下列判斷正確的是(　　)
A
綜合提升練
AD
作出一個周期內的vy-t圖像,如圖所示,
6.(10分)(2025·河南周口模擬)如圖甲,平行板電容器兩極板M、N的間距為d,
M板接地(電勢為零),t=0時一帶正電的粒子沿兩板中心線PQ以某一速度進入極板,當N板電勢為零時,粒子從平行板右端中間Q點飛出,在極板間運動時間為T,當N板電勢為φ0時,粒子恰從M板右端邊緣飛出。忽略邊界效應,板間的電場強度為勻強電場,不計粒子重力。
(2)若N板電勢隨時間變化的規律如圖乙所示,粒子恰從平行板右端中間Q點飛出,求k的值及φ1的最大值。
【答案】 (2)3　3φ0
7.(14分)(2024·江蘇泰州期末)如圖甲所示,邊長為l的正方形ABCD區域內存在平行于紙面豎直方向的勻強電場,在CD邊右側3l處平行CD放置熒光屏,O1O2是通過正方形中心O1和熒光屏中心O2的軸線。電子由靜止經加速電壓加速后以一定速度沿軸線連續射入電場。整個系統置于真空中,不計電子重力,已知電子電荷量為e、質量為m。
(1)若加速電壓為u0,電子恰好從D點飛出,求電子從進入正方形區域到打到熒光屏上的時間t;
(2)若電子均以速度v0沿軸線射入正方形區域,正方形區域所加偏轉電場如圖乙所示,偏轉電場變化周期為T,且T遠大于電子在偏轉電場中的運動時間,電子偏轉后恰好全部從CD邊射出偏轉電場并能全部打在熒光屏上形成運動的光點,求最大電場強度Em以及熒光屏的最小長度d;
(3)求在(2)的條件下熒光屏上光點經過O2的速度v的大小。

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