資源簡介

第5講　小專題:動力學、能量和動量觀點的綜合應用
考點一　動量守恒定律應用中的臨界極值問題
碰撞中的臨界極值問題,指的是相互作用中的物體“恰好不相撞”“相距最近”“相距最遠”或“恰好上升到最高點”等,求解的關鍵是速度相等。常見類型有:
(1)當小物塊到達最高點時,兩物體速度相同。
(2)彈簧最短或最長時,兩物體速度相同,此時彈簧彈性勢能最大。
(3)兩物體剛好不相撞,兩物體速度相同。
(4)滑塊恰好不滑出長木板,滑塊滑到長木板末端時與長木板速度相同。
[例1] 【恰好上升到最高點的臨界】 如圖所示,在水平面上放置一個側面半徑為R的圓弧凹槽,凹槽質量為m,凹槽最低點A點切線水平,B點為最高點。一個質量也為m的小球以速度v0從A點沖上凹槽,重力加速度為g,不計一切摩擦,則下列說法正確的是(　　)
[A] 小球在凹槽內運動的全過程中,小球與凹槽的總動量守恒,且最終離開凹槽后做平拋運動
[B] 若v0=,小球恰好可到達凹槽的B點且最終離開凹槽后做自由落體運動
[C] 若v0=,小球最后一次離開凹槽的位置一定是A點,且最終離開凹槽后做自由落體運動
[D] 若v0=,小球最后一次離開凹槽的位置一定是B點,且最終離開凹槽后做豎直上拋運動
【答案】 C
【解析】 小球在凹槽內運動的全過程中,小球與凹槽的水平方向動量守恒,但總動量不守恒,故A錯誤;若小球恰好到達B點時,由于水平方向動量守恒有mv0=2mv,由機械能守恒定律可知m=×2mv2+mgR,聯立解得v0=2,故B錯誤;當v0>2時,小球從B點飛出后做斜拋運動,水平方向速度跟凹槽相同,再次返回時恰好能落到B點,故最后一次離開凹槽的位置一定是A點,由水平方向動量守恒得mv0=mv1+mv2,由機械能守恒定律可知m=m+m,聯立解得v1=0,v2=v0,可知小球最終離開凹槽后做自由落體運動,故C正確,D錯誤。
[例2] 【彈簧類的臨界問題】 (2024·山東菏澤模擬)如圖甲所示,在光滑水平面上,小球A以初動量p0沿直線運動,與靜止的帶輕質彈簧的小球B發生正碰,此過程中,小球A的動量p隨時間t變化的部分圖像如圖乙所示,t1時刻圖線的切線斜率最大,此時縱坐標為p1,t2時刻縱坐標為零。已知小球A、B的直徑相同,則(　　)
[A] 小球A、B的質量之比為
[B] t2時刻彈簧的彈性勢能最大
[C] 小球A的初動能和彈簧最大彈性勢能之比為
[D] 0~t2時間內,小球B的動量變化量為p0-p1
【答案】 C
【解析】 t1時刻圖線的切線斜率最大,則小球A的動量變化率最大,由F=可知此時彈簧彈力最大,由胡克定律可知,此時彈簧形變量最大,則此時彈簧的彈性勢能最大,故B錯誤;t1時刻兩小球共速,設速度大小為v,設小球B此時的動量大小為p2,則小球A的質量mA=,根據動量守恒定律有p0=p1+p2,則小球B的質量mB==,由此可知兩小球的質量之比為=,故A錯誤;根據機械能守恒定律有=++Epm,小球A的初動能和彈簧最大彈性勢能之比k==,故C正確;0~t2時間內,小球B的動量變化量ΔpB=-ΔpA=p0,故D錯誤。
[例3] 【恰好不相撞的臨界問題】(2024·河北承德期中)滑板運動是由沖浪運動演變而成的一種極限運動。如圖所示,一同學在水平地面上進行滑板練習,該同學站在滑板A前端,與滑板A一起以20 m/s的共同速度向右做勻速直線運動,在滑板A正前方有一靜止的滑板B,在滑板A接近滑板B時,該同學迅速從滑板A跳上滑板B,接著又從滑板B跳回滑板A,最終兩滑板恰好不相撞。已知該同學的質量為45 kg,兩滑板的質量均為2.5 kg,不計滑板與地面間的摩擦,下列說法正確的是(　　)
[A] 上述過程中該同學與滑板A和滑板B組成的系統機械能守恒
[B] 該同學跳回滑板A后,他和滑板A的共同速度為19 m/s
[C] 該同學跳離滑板B的過程中,滑板B的速度減小
[D] 該同學跳離滑板B的過程中,對滑板B的沖量大小為47.5 N·s
【答案】 B
【解析】 因該同學從A跳上B,再跳回A時最終兩滑板恰好不相撞,可知兩滑板速度相等,該同學跳回滑板A的整個過程中水平方向動量守恒,則(m+M)v0=(2m+M)v,解得該同學和滑板A的共同速度為v=19 m/s,選項B正確;上述過程中人與滑板A和滑板B組成的系統的機械能變化量為ΔE=(2m+M)v2-(m+M)=-475 J,則系統的機械能不守恒,選項A錯誤;該同學跳上和跳離滑板B的過程中,人給滑板B水平方向的作用力均向右,可知滑板B的速度增加,選項C錯誤;該同學跳上滑板B以及跳離滑板B的過程中對滑板B的總沖量為I=mv=47.5 N·s,則該同學跳離滑板B的過程中對滑板B的沖量大小小于47.5 N·s,選項D錯誤。
考點二　力學三大觀點的綜合問題
1.解決力學問題的三大觀點
動力學觀點 運用牛頓運動定律結合運動學知識,可解決勻變速運動問題
能量觀點 用動能定理和能量守恒定律等,可解決非勻變速運動問題
動量觀點 用動量守恒定律等,可解決非勻變速運動問題
2.力學規律的選用原則
(1)如果要列出各物理量在某一時刻的關系式,可用牛頓第二定律。
(2)研究某一物體受到力的持續作用發生運動狀態改變時,一般用動量定理(涉及時間的問題)或動能定理(涉及位移的問題)去解決問題。
(3)若研究的對象為一物體系統,且它們之間有相互作用,一般用動量守恒定律和機械能守恒定律去解決問題,但需注意所研究的問題是否滿足守恒的條件。
(4)在涉及相對位移問題時,則優先考慮能量守恒定律,系統克服摩擦力所做的總功等于系統機械能的減少量,即轉化為系統內能的量。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打擊、繩繃緊等物理現象時,需注意到這些過程一般均隱含有系統機械能與其他形式能量之間的轉化。由于作用時間都極短,因此用動量守恒定律去解決。
[例4] 【動量與能量觀點的綜合應用】 (2025·河南高考適應性考試)如圖,在有圓孔的水平支架上放置一物塊,玩具子彈從圓孔下方豎直向上擊中物塊中心并穿出,穿出后物塊和子彈上升的最大高度分別為h和8h,已知子彈的質量為m,物塊的質量為4m,重力加速度大小為g。在子彈和物塊上升過程中,子彈所受阻力忽略不計,物塊所受阻力大小為自身重力的,子彈穿過物塊時間很短,不計物塊厚度的影響,求:
(1)子彈擊中物塊前瞬間的速度大小;
(2)子彈從擊中物塊到穿出過程中系統損失的機械能。
【答案】 (1)10　(2)mgh
【解析】 (1)子彈穿出物塊后上升8h,由機械能守恒定律有8mgh=m,解得v1=4;
物塊上升h,由動能定理有-4mgh-·4mgh=0-·4m,
解得v2=;
由動量守恒定律得mv0=mv1+4mv2,
得v0=10。
(2)子彈從擊中物塊到穿出過程中由能量守恒定律有ΔE=m-m-·4m,
解得ΔE=mgh。
[例5] 【力學三大觀點的綜合應用】 (2024·湖北卷,14)如圖所示,水平傳送帶以 5 m/s 的速度順時針勻速轉動,傳送帶左右兩端的距離為3.6 m。傳送帶右端的正上方有一懸點O,用長為0.3 m、不可伸長的輕繩懸掛一質量為0.2 kg的小球,小球與傳送帶上表面平齊但不接觸。在O點右側的P點固定一釘子,P點與O點等高。將質量為 0.1 kg的小物塊無初速輕放在傳送帶左端,小物塊運動到右端與小球正碰,碰撞時間極短,碰后瞬間小物塊的速度大小為1 m/s、方向水平向左。小球碰后繞O點做圓周運動,當輕繩被釘子擋住后,小球繼續繞P點向上運動。已知小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為0.5,重力加速度大小g=10 m/s2。
(1)求小物塊與小球碰撞前瞬間,小物塊的速度大小;
(2)求小物塊與小球碰撞過程中,兩者構成的系統損失的總動能;
(3)若小球運動到P點正上方,繩子不松弛,求P點到O點的最小距離。
【答案】 (1)5 m/s　(2)0.3 J　(3)0.2 m
【解析】 (1)小物塊在傳送帶上做勻加速直線運動,由牛頓第二定律有μm物g=m物a,
解得a=5 m/s2,
由運動學公式有x==2.5 m可知小物塊運動到傳送帶右端前與傳送帶共速,即小物塊與小球碰撞前瞬間速度大小
v=v傳= 5 m/s。
(2)小物塊與小球發生正碰,系統動量守恒,以向右為正方向,由動量守恒定律有
m物v=m物v1+m球v2,
代入數據解得碰后小球速度v2=3 m/s,小物塊與小球碰撞過程中,兩者構成的系統損失的總動能為ΔEk=m物v2-m物-m球,
解得ΔEk=0.3 J。
(3)若小球運動到P點正上方,繩子恰好不松弛,設此時P點到O點的距離為d,小球在P點正上方的速度為v3,重力提供向心力有
m球g=m球,
小球從O點正下方到P點正上方過程根據機械能守恒定律有
m球=m球+m球g(2L繩-d),
聯立解得d=0.2 m,
即P點到O點的最小距離為0.2 m。
對點1.動量守恒定律應用中的臨界極值問題
1.(4分)(2024·安徽蕪湖二模)如圖所示,質量均為m的物塊A、B放在光滑的水平面上,中間用輕彈簧相連,彈簧處于原長,一顆質量為km(k<1)的子彈以水平速度v0射入物塊A并留在物塊A中(時間極短),則下列說法正確的是(　　)
[A] 子彈射入物塊A的過程中,子彈的動量變化量為
[B] 子彈射入物塊A的過程中,物塊A的動能增加量為
[C] 在彈簧第一次壓縮到最短的過程中,物塊B的動量大小最大值為
[D] 彈簧第一次壓縮到最短的過程中,彈簧具有的最大彈性勢能為
【答案】 C
【解析】 子彈射入物塊A的過程中,子彈與物塊A組成的系統動量守恒,則有kmv0=(m+km)v1,求得v1=v0,子彈動量的變化量Δp=kmv1-kmv0=-,物塊A的動能增加量為ΔEkA=m=,選項A、B錯誤;子彈與物塊A、B、彈簧組成的系統動量守恒,彈簧第一次壓縮到最短的過程中,彈簧壓縮到最短時物塊B的動量大小最大,由動量守恒定律有kmv0=(2m+km)v2,求得v2=v0,物塊B的動量大小最大值為pBm=,選項C正確;彈簧第一次壓縮到最短的過程中,彈簧具有的最大彈性勢能為ΔEp=(m+km)-(2m+km)=,選項D錯誤。
2.(8分)(2024·福建泉州一模)如圖,左端固定在墻壁上的水平輕質彈簧,處于自然狀態時另一端在光滑水平臺面右端。質量為3m的小車靜置于光滑的水平面上且緊靠平臺,其左側a端與臺面等高,小車的上表面由長度為R的粗糙水平面ab和半徑為R的四分之一圓弧形光滑軌道bc組成。質量為m的小物塊P(與彈簧不拴接)在外力作用下將彈簧壓縮至某一位置,由靜止釋放后從a端以大小為2(g為重力加速度大小)的速度滑上小車,恰好能到達頂端c。求:
(1)由靜止釋放時彈簧的彈性勢能Ep;
(2)P與ab間的動摩擦因數μ。
【答案】 (1)2mgR　(2)0.5
【解析】 (1)設彈簧恢復原長時,P的速度為v0,根據系統能量守恒有Ep=m,
其中v0=2,
解得Ep=2mgR。
(2)P恰好能到達頂點c,此時P與小車共速,設此時速度大小為v,根據水平方向動量守恒有
mv0=(m+3m)v,
根據系統能量守恒有
m=(m+3m)v2+mgR+μmgR,
聯立解得μ=0.5。
對點2.力學三大觀點的綜合問題
3.(6分)(多選)如圖甲所示,a、b兩物塊(均視為質點)用輕質彈簧連接并放置在光滑的水平面上,b的質量為m,t=0時使a獲得水平向右、大小為v0的速度,a、b運動的速度—時間關系圖像如圖乙所示,已知陰影部分的面積為S0,彈簧的彈性勢能Ep與彈簧的形變量x以及彈簧的勁度系數k之間的關系式為Ep=kx2,彈簧始終處于彈性限度內,下列說法正確的是(　　)
[A] t1時刻,a、b間的距離最大
[B] a的質量為2m
[C] 0~t3時間內,a所受沖量的大小為mv0
[D] 彈簧的勁度系數為
【答案】 BD
【解析】 t1時刻之前a的速度大于b的速度,t1時刻a的速度等于b的速度,故t1時刻彈簧的壓縮量最大,a、b間的距離最小,故A錯誤;設a的質量為ma,0~t1時間內,由動量守恒定律得mav0=ma·v0+m·v0,解得ma=2m,故B正確;0~t3時間內,對a由動量定理有I=2m·v0-2m·v0=-mv0,負號表示方向與a的初速度方向相反,大小為mv0,故C錯誤;分析題意可得t=0時彈簧處于原長,設t1時刻彈簧的形變量為x0,已知陰影部分的面積為S0,則有x0=S0,設彈簧的勁度系數為k,則有Ep=k,由系統的機械能守恒可得Ep=×2m-(2m+m)(v0)2,綜合解得k=,故D正確。
4.(8分)(2024·貴州畢節模擬)如圖所示,PQ為光滑水平面,QN為粗糙水平面,兩者之間平滑連接。兩物體A和B并排靜置于光滑水平面PQ上,它們的質量M均為0.5 kg。一顆質量m=0.1 kg的子彈以v0=34 m/s的水平速度從左邊射入A,射出A后繼續進入B中且當子彈與B保持相對靜止時,A和B都還沒有離開光滑水平面。已知子彈在物體A和B中所受阻力相同且一直保持不變,A的長度為LA=0.23 m,A離開光滑水平面后在粗糙水平面QN內位移為x=2 m。A、B與QN間的動摩擦因數μ都為0.1,不計空氣阻力,g取10 m/s2。求:
(1)物體A和物體B離開光滑水平面時的速度大小vA、vB;
(2)子彈在物體B中穿過的距離LB。
【答案】 (1)2 m/s　4 m/s　(2)0.03 m
【解析】 (1)設A離開光滑水平面時的速度為vA,則μMgx=M,
解得vA=2 m/s,
子彈射入A、B的過程中,根據動量守恒定律可得
mv0=MvA+(m+M)vB,
解得B離開光滑水平面時的速度vB=4 m/s。
(2)子彈穿透A時的速度為v彈,則
mv0=mv彈+2MvA,
解得v彈=14 m/s,
設子彈在物體B中穿過的距離為LB,由能量守恒定律可得
F阻LB=m+M-(m+M),
子彈在物體A中穿過的距離為LA,由能量守恒定律可得
F阻LA=m-(m+×2M),
聯立解得LB=0.03 m。
5.(11分)(2024·遼寧遼陽模擬)如圖所示,質量為4m、半徑為R的光滑四分之一圓弧體A靜止在足夠長的光滑水平面上,水平面剛好與圓弧面的最底端相切,輕彈簧放在光滑水平面上,左端固定在豎直固定擋板上,用外力使質量為m的小球B壓縮彈簧(B與彈簧不連接),由靜止釋放小球,小球被彈開后運動到圓弧體的最高點時,恰好與圓弧體相對靜止,不計小球的大小,重力加速度為g。求:
(1)彈簧具有的最大彈性勢能;
(2)小球B第一次滾上圓弧面的一瞬間對圓弧面的壓力大小;
(3)小球B第二次滾上圓弧面后,上升的最大高度。
【答案】 (1)1.25mgR　(2)3.5mg　(3)0.04R
【解析】 (1)由題意知,小球到達圓弧體的最高點時,豎直方向的速度為零,水平方向的速度與圓弧體的速度相同,設彈簧開始具有的最大彈性勢能為Ep,小球被彈開后速度大小為v0,滾上圓弧體最高點后速度大小為v1,根據能量守恒定律有
Ep=×5m+mgR,
Ep=m,
根據動量守恒定律有mv0=5mv1,
聯立解得Ep=1.25mgR。
(2)由(1)可解得v0=,
小球B第一次滾上圓弧面的一瞬間,
FN-mg=m,
解得FN=3.5mg,
根據牛頓第三定律可知,小球對圓弧面的壓力大小
FN′=FN=3.5mg。
(3)設小球第一次離開圓弧面時,小球的速度大小為v2、圓弧體的速度大小為v3,根據動量守恒定律有mv0=4mv3-mv2,
根據能量守恒定律有
m=×4m+m,
從小球第二次滾上圓弧面到上升到最高點過程中,設上升到最高點時共同速度為v4,上升的最大高度為h,根據動量守恒定律有4mv3+mv2=5mv4,
根據能量守恒定律有
×4m+m=×5m+mgh,
聯立解得h=0.04R。
6.(13分)(2024·湖南懷化二模)如圖所示,一質量M=3.0 kg、長L=5.15 m的長木板B靜止放置于光滑水平面上,其左端緊靠一半徑R=2 m的光滑圓弧軌道,但不粘連。圓弧軌道左端點P與圓心O的連線PO與豎直方向夾角為60°,其右端最低點處與長木板B上表面相切。距離木板B右端d=2.5 m處有一與木板等高的固定平臺,平臺上表面光滑,其上放置有質量m=1.0 kg的滑塊D。平臺上方有一固定水平光滑細桿,其上穿有一質量M=3.0 kg的滑塊C,滑塊C與D通過一輕彈簧連接,開始時彈簧處于豎直方向(彈簧伸縮狀態未知)。一質量m=1.0 kg的滑塊A自M點以某一初速度水平拋出下落高度H=3 m后恰好能從P點沿切線方向滑入圓弧軌道。A下滑至圓弧軌道最低點并滑上木板B,帶動B向右運動,B與平臺碰撞后即粘在一起不再運動。A隨后繼續向右運動,滑上平臺,與滑塊D碰撞并粘在一起向右運動。A、D組合體在隨后運動過程中一直沒有離開平臺,且C沒有滑離細桿。A與木板B間動摩擦因數為μ=0.75。忽略所有滑塊大小及空氣阻力對問題的影響。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求滑塊A到達P點的速度大小;
(2)求滑塊A滑上平臺時速度的大小;
(3)若彈簧第一次恢復原長時,C的速度大小為 0.5 m/s,則隨后運動過程中彈簧的最大彈性勢能是多大
【答案】 (1)4 m/s　(2)2 m/s　(3)見解析
【解析】 (1)滑塊A由M點做平拋運動到達P點,豎直方向有=2gH,
在P點沿切線進入圓軌道,則有vP=,
聯立解得滑塊A到達P點的速度大小為
vP=4 m/s。
(2)從P點到圓弧最低點,由動能定理得
mgR(1-cos 60°)=m-m,
假設滑塊A在木板B上與B共速后,木板才到達右側平臺,以A、B為整體,由動量守恒定律得mv1=(M+m)v2,
由能量關系有μmgx相=m-(M+m),
聯立解得x相=5 m<5.15 m,
B從開始滑動到A、B共速的過程中,對B由動能定理得μmgxB=M,
解得xB=1.25 m<2.5 m,
故假設成立;
B與平臺碰撞后,B立即停止,A在B上繼續向右運動,對A由動能定理得
-μmg(L-x相)=m-m,
解得A滑上平臺的速度為v3=2 m/s。
(3)第1種情況:彈簧第一次恢復原長時,若C的速度方向向右,對A、D和C組成的系統,取向右為正方向,由動量守恒定律可得mv3=2mv4+Mv5,
三者速度相同時彈性勢能最大,由動量守恒定律得
mv3=(2m+M)v6,
由能量關系Epm=×2m+M-(2m+M),
聯立解得Epm=0.0 375 J。
第2種情況:彈簧第一次恢復原長時,若C的速度方向向左,對A、D和C組成的系統,取向右為正方向,由動量守恒定律得mv3=2mv7-Mv5,
三者速度相同時彈性勢能最大,由動量守恒定律
mv3=(2m+M)v8,
由能量關系可知
Epm′=×2m+M-(2m+M),
聯立解得Epm′=3.0 375 J。
(
第
10
頁
)第5講　小專題:動力學、能量和動量觀點的綜合應用
考點一　動量守恒定律應用中的臨界極值問題
碰撞中的臨界極值問題,指的是相互作用中的物體“恰好不相撞”“相距最近”“相距最遠”或“恰好上升到最高點”等,求解的關鍵是速度相等。常見類型有:
(1)當小物塊到達最高點時,兩物體速度相同。
(2)彈簧最短或最長時,兩物體速度相同,此時彈簧彈性勢能最大。
(3)兩物體剛好不相撞,兩物體速度相同。
(4)滑塊恰好不滑出長木板,滑塊滑到長木板末端時與長木板速度相同。
[例1] 【恰好上升到最高點的臨界】 如圖所示,在水平面上放置一個側面半徑為R的圓弧凹槽,凹槽質量為m,凹槽最低點A點切線水平,B點為最高點。一個質量也為m的小球以速度v0從A點沖上凹槽,重力加速度為g,不計一切摩擦,則下列說法正確的是(　　)
[A] 小球在凹槽內運動的全過程中,小球與凹槽的總動量守恒,且最終離開凹槽后做平拋運動
[B] 若v0=,小球恰好可到達凹槽的B點且最終離開凹槽后做自由落體運動
[C] 若v0=,小球最后一次離開凹槽的位置一定是A點,且最終離開凹槽后做自由落體運動
[D] 若v0=,小球最后一次離開凹槽的位置一定是B點,且最終離開凹槽后做豎直上拋運動
[例2] 【彈簧類的臨界問題】 (2024·山東菏澤模擬)如圖甲所示,在光滑水平面上,小球A以初動量p0沿直線運動,與靜止的帶輕質彈簧的小球B發生正碰,此過程中,小球A的動量p隨時間t變化的部分圖像如圖乙所示,t1時刻圖線的切線斜率最大,此時縱坐標為p1,t2時刻縱坐標為零。已知小球A、B的直徑相同,則(　　)
[A] 小球A、B的質量之比為
[B] t2時刻彈簧的彈性勢能最大
[C] 小球A的初動能和彈簧最大彈性勢能之比為
[D] 0~t2時間內,小球B的動量變化量為p0-p1
[例3] 【恰好不相撞的臨界問題】(2024·河北承德期中)滑板運動是由沖浪運動演變而成的一種極限運動。如圖所示,一同學在水平地面上進行滑板練習,該同學站在滑板A前端,與滑板A一起以20 m/s的共同速度向右做勻速直線運動,在滑板A正前方有一靜止的滑板B,在滑板A接近滑板B時,該同學迅速從滑板A跳上滑板B,接著又從滑板B跳回滑板A,最終兩滑板恰好不相撞。已知該同學的質量為45 kg,兩滑板的質量均為2.5 kg,不計滑板與地面間的摩擦,下列說法正確的是(　　)
[A] 上述過程中該同學與滑板A和滑板B組成的系統機械能守恒
[B] 該同學跳回滑板A后,他和滑板A的共同速度為19 m/s
[C] 該同學跳離滑板B的過程中,滑板B的速度減小
[D] 該同學跳離滑板B的過程中,對滑板B的沖量大小為47.5 N·s
考點二　力學三大觀點的綜合問題
1.解決力學問題的三大觀點
動力學觀點 運用牛頓運動定律結合運動學知識,可解決勻變速運動問題
能量觀點 用動能定理和能量守恒定律等,可解決非勻變速運動問題
動量觀點 用動量守恒定律等,可解決非勻變速運動問題
2.力學規律的選用原則
(1)如果要列出各物理量在某一時刻的關系式,可用牛頓第二定律。
(2)研究某一物體受到力的持續作用發生運動狀態改變時,一般用動量定理(涉及時間的問題)或動能定理(涉及位移的問題)去解決問題。
(3)若研究的對象為一物體系統,且它們之間有相互作用,一般用動量守恒定律和機械能守恒定律去解決問題,但需注意所研究的問題是否滿足守恒的條件。
(4)在涉及相對位移問題時,則優先考慮能量守恒定律,系統克服摩擦力所做的總功等于系統機械能的減少量,即轉化為系統內能的量。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打擊、繩繃緊等物理現象時,需注意到這些過程一般均隱含有系統機械能與其他形式能量之間的轉化。由于作用時間都極短,因此用動量守恒定律去解決。
[例4] 【動量與能量觀點的綜合應用】 (2025·河南高考適應性考試)如圖,在有圓孔的水平支架上放置一物塊,玩具子彈從圓孔下方豎直向上擊中物塊中心并穿出,穿出后物塊和子彈上升的最大高度分別為h和8h,已知子彈的質量為m,物塊的質量為4m,重力加速度大小為g。在子彈和物塊上升過程中,子彈所受阻力忽略不計,物塊所受阻力大小為自身重力的,子彈穿過物塊時間很短,不計物塊厚度的影響,求:
(1)子彈擊中物塊前瞬間的速度大小;
(2)子彈從擊中物塊到穿出過程中系統損失的機械能。
[例5] 【力學三大觀點的綜合應用】 (2024·湖北卷,14)如圖所示,水平傳送帶以 5 m/s 的速度順時針勻速轉動,傳送帶左右兩端的距離為3.6 m。傳送帶右端的正上方有一懸點O,用長為0.3 m、不可伸長的輕繩懸掛一質量為0.2 kg的小球,小球與傳送帶上表面平齊但不接觸。在O點右側的P點固定一釘子,P點與O點等高。將質量為 0.1 kg的小物塊無初速輕放在傳送帶左端,小物塊運動到右端與小球正碰,碰撞時間極短,碰后瞬間小物塊的速度大小為1 m/s、方向水平向左。小球碰后繞O點做圓周運動,當輕繩被釘子擋住后,小球繼續繞P點向上運動。已知小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為0.5,重力加速度大小g=10 m/s2。
(1)求小物塊與小球碰撞前瞬間,小物塊的速度大小;
(2)求小物塊與小球碰撞過程中,兩者構成的系統損失的總動能;
(3)若小球運動到P點正上方,繩子不松弛,求P點到O點的最小距離。
(滿分:50分)
對點1.動量守恒定律應用中的臨界極值問題
1.(4分)(2024·安徽蕪湖二模)如圖所示,質量均為m的物塊A、B放在光滑的水平面上,中間用輕彈簧相連,彈簧處于原長,一顆質量為km(k<1)的子彈以水平速度v0射入物塊A并留在物塊A中(時間極短),則下列說法正確的是(　　)
[A] 子彈射入物塊A的過程中,子彈的動量變化量為
[B] 子彈射入物塊A的過程中,物塊A的動能增加量為
[C] 在彈簧第一次壓縮到最短的過程中,物塊B的動量大小最大值為
[D] 彈簧第一次壓縮到最短的過程中,彈簧具有的最大彈性勢能為
2.(8分)(2024·福建泉州一模)如圖,左端固定在墻壁上的水平輕質彈簧,處于自然狀態時另一端在光滑水平臺面右端。質量為3m的小車靜置于光滑的水平面上且緊靠平臺,其左側a端與臺面等高,小車的上表面由長度為R的粗糙水平面ab和半徑為R的四分之一圓弧形光滑軌道bc組成。質量為m的小物塊P(與彈簧不拴接)在外力作用下將彈簧壓縮至某一位置,由靜止釋放后從a端以大小為2(g為重力加速度大小)的速度滑上小車,恰好能到達頂端c。求:
(1)由靜止釋放時彈簧的彈性勢能Ep;
(2)P與ab間的動摩擦因數μ。
對點2.力學三大觀點的綜合問題
3.(6分)(多選)如圖甲所示,a、b兩物塊(均視為質點)用輕質彈簧連接并放置在光滑的水平面上,b的質量為m,t=0時使a獲得水平向右、大小為v0的速度,a、b運動的速度—時間關系圖像如圖乙所示,已知陰影部分的面積為S0,彈簧的彈性勢能Ep與彈簧的形變量x以及彈簧的勁度系數k之間的關系式為Ep=kx2,彈簧始終處于彈性限度內,下列說法正確的是(　　)
[A] t1時刻,a、b間的距離最大
[B] a的質量為2m
[C] 0~t3時間內,a所受沖量的大小為mv0
[D] 彈簧的勁度系數為
4.(8分)(2024·貴州畢節模擬)如圖所示,PQ為光滑水平面,QN為粗糙水平面,兩者之間平滑連接。兩物體A和B并排靜置于光滑水平面PQ上,它們的質量M均為0.5 kg。一顆質量m=0.1 kg的子彈以v0=34 m/s的水平速度從左邊射入A,射出A后繼續進入B中且當子彈與B保持相對靜止時,A和B都還沒有離開光滑水平面。已知子彈在物體A和B中所受阻力相同且一直保持不變,A的長度為LA=0.23 m,A離開光滑水平面后在粗糙水平面QN內位移為x=2 m。A、B與QN間的動摩擦因數μ都為0.1,不計空氣阻力,g取10 m/s2。求:
(1)物體A和物體B離開光滑水平面時的速度大小vA、vB;
(2)子彈在物體B中穿過的距離LB。
5.(11分)(2024·遼寧遼陽模擬)如圖所示,質量為4m、半徑為R的光滑四分之一圓弧體A靜止在足夠長的光滑水平面上,水平面剛好與圓弧面的最底端相切,輕彈簧放在光滑水平面上,左端固定在豎直固定擋板上,用外力使質量為m的小球B壓縮彈簧(B與彈簧不連接),由靜止釋放小球,小球被彈開后運動到圓弧體的最高點時,恰好與圓弧體相對靜止,不計小球的大小,重力加速度為g。求:
(1)彈簧具有的最大彈性勢能;
(2)小球B第一次滾上圓弧面的一瞬間對圓弧面的壓力大小;
(3)小球B第二次滾上圓弧面后,上升的最大高度。
6.(13分)(2024·湖南懷化二模)如圖所示,一質量M=3.0 kg、長L=5.15 m的長木板B靜止放置于光滑水平面上,其左端緊靠一半徑R=2 m的光滑圓弧軌道,但不粘連。圓弧軌道左端點P與圓心O的連線PO與豎直方向夾角為60°,其右端最低點處與長木板B上表面相切。距離木板B右端d=2.5 m處有一與木板等高的固定平臺,平臺上表面光滑,其上放置有質量m=1.0 kg的滑塊D。平臺上方有一固定水平光滑細桿,其上穿有一質量M=3.0 kg的滑塊C,滑塊C與D通過一輕彈簧連接,開始時彈簧處于豎直方向(彈簧伸縮狀態未知)。一質量m=1.0 kg的滑塊A自M點以某一初速度水平拋出下落高度H=3 m后恰好能從P點沿切線方向滑入圓弧軌道。A下滑至圓弧軌道最低點并滑上木板B,帶動B向右運動,B與平臺碰撞后即粘在一起不再運動。A隨后繼續向右運動,滑上平臺,與滑塊D碰撞并粘在一起向右運動。A、D組合體在隨后運動過程中一直沒有離開平臺,且C沒有滑離細桿。A與木板B間動摩擦因數為μ=0.75。忽略所有滑塊大小及空氣阻力對問題的影響。重力加速度g取10 m/s2。
(1)求滑塊A到達P點的速度大小;
(2)求滑塊A滑上平臺時速度的大小;
(3)若彈簧第一次恢復原長時,C的速度大小為 0.5 m/s,則隨后運動過程中彈簧的最大彈性勢能是多大
(
第
10
頁
)(共47張PPT)
高中總復習·物理
第5講　
小專題:動力學、
能量和動量觀點的綜合應用
碰撞中的臨界極值問題,指的是相互作用中的物體“恰好不相撞”“相距最近”
“相距最遠”或“恰好上升到最高點”等,求解的關鍵是速度相等。常見類型有:
(1)當小物塊到達最高點時,兩物體速度相同。
(2)彈簧最短或最長時,兩物體速度相同,此時彈簧彈性勢能最大。
(3)兩物體剛好不相撞,兩物體速度相同。
(4)滑塊恰好不滑出長木板,滑塊滑到長木板末端時與長木板速度相同。
C
[例2] 【彈簧類的臨界問題】 (2024·山東菏澤模擬)如圖甲所示,在光滑水平面上,小球A以初動量p0沿直線運動,與靜止的帶輕質彈簧的小球B發生正碰,此過程中,小球A的動量p隨時間t變化的部分圖像如圖乙所示,t1時刻圖線的切線斜率最大,此時縱坐標為p1,t2時刻縱坐標為零。已知小球A、B的直徑相同,則(　　)
C
[例3] 【恰好不相撞的臨界問題】(2024·河北承德期中)滑板運動是由沖浪運動演變而成的一種極限運動。如圖所示,一同學在水平地面上進行滑板練習,該同學站在滑板A前端,與滑板A一起以20 m/s的共同速度向右做勻速直線運動,在滑板A正前方有一靜止的滑板B,在滑板A接近滑板B時,該同學迅速從滑板A跳上滑板B,接著又從滑板B跳回滑板A,最終兩滑板恰好不相撞。已知該同學的質量為45 kg,兩滑板的質量均為2.5 kg,不計滑板與地面間的摩擦,下列說法正確的是(　　)
[A] 上述過程中該同學與滑板A和滑板B組成的系統機械能守恒
[B] 該同學跳回滑板A后,他和滑板A的共同速度為19 m/s
[C] 該同學跳離滑板B的過程中,滑板B的速度減小
[D] 該同學跳離滑板B的過程中,對滑板B的沖量大小為47.5 N·s
B
該同學跳上和跳離滑板B的過程中,人給滑板B水平方向的作用力均向右,可知滑板B的速度增加,選項C錯誤;該同學跳上滑板B以及跳離滑板B的過程中對滑板B的總沖量為I=mv=47.5 N·s,則該同學跳離滑板B的過程中對滑板B的沖量大小小于47.5 N·s,選項D錯誤。
1.解決力學問題的三大觀點
動力學觀點 運用牛頓運動定律結合運動學知識,可解決勻變速運動問題
能量觀點 用動能定理和能量守恒定律等,可解決非勻變速運動問題
動量觀點 用動量守恒定律等,可解決非勻變速運動問題
2.力學規律的選用原則
(1)如果要列出各物理量在某一時刻的關系式,可用牛頓第二定律。
(2)研究某一物體受到力的持續作用發生運動狀態改變時,一般用動量定理
(涉及時間的問題)或動能定理(涉及位移的問題)去解決問題。
(3)若研究的對象為一物體系統,且它們之間有相互作用,一般用動量守恒定律和機械能守恒定律去解決問題,但需注意所研究的問題是否滿足守恒的
條件。
(4)在涉及相對位移問題時,則優先考慮能量守恒定律,系統克服摩擦力所做的總功等于系統機械能的減少量,即轉化為系統內能的量。
(5)在涉及碰撞、爆炸、打擊、繩繃緊等物理現象時,需注意到這些過程一般均隱含有系統機械能與其他形式能量之間的轉化。由于作用時間都極短,因此用動量守恒定律去解決。
(1)子彈擊中物塊前瞬間的速度大小;
(2)子彈從擊中物塊到穿出過程中系統損失的機械能。
[例5] 【力學三大觀點的綜合應用】 (2024·湖北卷,14)如圖所示,水平傳送帶以
5 m/s 的速度順時針勻速轉動,傳送帶左右兩端的距離為3.6 m。傳送帶右端的正上方有一懸點O,用長為0.3 m、不可伸長的輕繩懸掛一質量為0.2 kg的小球,小球與傳送帶上表面平齊但不接觸。在O點右側的P點固定一釘子,P點與O點等高。將質量為 0.1 kg的小物塊無初速輕放在傳送帶左端,小物塊運動到右端與小球正碰,碰撞時間極短,碰后瞬間小物塊的速度大小為1 m/s、方向水平向左。小球碰后繞O點做圓周運動,當輕繩被釘子擋住后,小球繼續繞P點向上運動。已知小物塊與傳送帶間的動摩擦因數為0.5,重力加速度大小g=10 m/s2。
(1)求小物塊與小球碰撞前瞬間,小物塊的速度大小;
【答案】 (1)5 m/s　
(2)求小物塊與小球碰撞過程中,兩者構成的系統損失的總動能;
【答案】 (2)0.3 J
(3)若小球運動到P點正上方,繩子不松弛,求P點到O點的最小距離。
【答案】 (3)0.2 m
對點1.動量守恒定律應用中的臨界極值問題
1.(4分)(2024·安徽蕪湖二模)如圖所示,質量均為m的物塊A、B放在光滑的水平面上,中間用輕彈簧相連,彈簧處于原長,一顆質量為km(k<1)的子彈以水平速度v0射入物塊A并留在物塊A中(時間極短),則下列說法正確的是(　　)
基礎對點練
C
(1)由靜止釋放時彈簧的彈性勢能Ep;
【答案】 (1)2mgR　
(2)P與ab間的動摩擦因數μ。
【答案】 (2)0.5
對點2.力學三大觀點的綜合問題
BD
4.(8分)(2024·貴州畢節模擬)如圖所示,PQ為光滑水平面,QN為粗糙水平面,兩者之間平滑連接。兩物體A和B并排靜置于光滑水平面PQ上,它們的質量M均為0.5 kg。一顆質量m=0.1 kg的子彈以v0=34 m/s的水平速度從左邊射入A,射出A后繼續進入B中且當子彈與B保持相對靜止時,A和B都還沒有離開光滑水平面。已知子彈在物體A和B中所受阻力相同且一直保持不變,A的長度為LA=0.23 m,A離開光滑水平面后在粗糙水平面QN內位移為x=2 m。A、B與QN間的動摩擦因數μ都為0.1,不計空氣阻力,g取10 m/s2。求:
(1)物體A和物體B離開光滑水平面時的速度大小vA、vB;
【答案】 (1)2 m/s　4 m/s
(2)子彈在物體B中穿過的距離LB。
【答案】 (2)0.03 m
5.(11分)(2024·遼寧遼陽模擬)如圖所示,質量為4m、半徑為R的光滑四分之一圓弧體A靜止在足夠長的光滑水平面上,水平面剛好與圓弧面的最底端相切,輕彈簧放在光滑水平面上,左端固定在豎直固定擋板上,用外力使質量為m的小球B壓縮彈簧(B與彈簧不連接),由靜止釋放小球,小球被彈開后運動到圓弧體的最高點時,恰好與圓弧體相對靜止,不計小球的大小,重力加速度為g。求:
綜合提升練
(1)彈簧具有的最大彈性勢能;
【答案】 (1)1.25mgR
【解析】 (1)由題意知,小球到達圓弧體的最高點時,豎直方向的速度為零,
水平方向的速度與圓弧體的速度相同,
設彈簧開始具有的最大彈性勢能為
Ep,小球被彈開后速度大小為v0,
滾上圓弧體最高點后速度大小為v1,
(2)小球B第一次滾上圓弧面的一瞬間對圓弧面的壓力大小;
【答案】 (2)3.5mg
(3)小球B第二次滾上圓弧面后,上升的最大高度。
【答案】 (3)0.04R
6.(13分)(2024·湖南懷化二模)如圖所示,一質量M=3.0 kg、長L=5.15 m的長木板B靜止放置于光滑水平面上,其左端緊靠一半徑R=2 m的光滑圓弧軌道,但不粘連。圓弧軌道左端點P與圓心O的連線PO與豎直方向夾角為60°,其右端最低點處與長木板B上表面相切。距離木板B右端d=2.5 m處有一與木板等高的固定平臺,平臺上表面光滑,其上放置有質量m=1.0 kg的滑塊D。
平臺上方有一固定水平光滑細桿,其上穿有一質量M=3.0 kg的滑塊C,滑塊C與D通過一輕彈簧連接,開始時彈簧處于豎直方向(彈簧伸縮狀態未知)。一質量m=1.0 kg的滑塊A自M點以某一初速度水平拋出下落高度H=3 m后恰好能從P點沿切線方向滑入圓弧軌道。A下滑至圓弧軌道最低點并滑上木板B,帶動B向右運動,B與平臺碰撞后即粘在一起不再運動。A隨后繼續向右運
動,滑上平臺,與滑塊D碰撞并粘在一起向右運動。A、D組合體在隨后運動過程中一直沒有離開平臺,且C沒有滑離細桿。A與木板B間動摩擦因數為μ=0.75。忽略所有滑塊大小及空氣阻力對問題的影響。重力加速度g取
10 m/s2。
(1)求滑塊A到達P點的速度大小;
(2)求滑塊A滑上平臺時速度的大小;
【答案】 (2)2 m/s
(3)若彈簧第一次恢復原長時,C的速度大小為 0.5 m/s,則隨后運動過程中彈簧的最大彈性勢能是多大

展開更多......

收起↑