資源簡介

第5講　小專題:電磁感應中的動量問題
考點一　動量定理在電磁感應中的應用
1.導體棒或金屬框在感應電流所引起的安培力作用下做非勻變速直線運動時,當題目中涉及速度v、電荷量q、運動時間t、運動位移x時常用動量定理求解。
2.“單棒+電阻”模型
(1)水平放置的平行光滑導軌,間距為L,左側接有電阻,阻值為R,導體棒初速度為v0,質量為m,電阻不計,勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于導軌向下,導軌足夠長且電阻不計,從導體棒開始運動至停下來。求:
①此過程中通過導體棒橫截面的電荷量q=。
②此過程導體棒的位移x=。
③若導體棒從獲得初速度v0經一段時間減速至v1,通過導體棒的電荷量為q1,則v1=v0-。
④導體棒從獲得初速度v0經過位移x0,速度減至v2,則v2=v0-。
(2)間距為L的光滑平行導軌傾斜放置,傾角為θ,由靜止釋放質量為m、接入電路的阻值為R的導體棒,勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于導軌所在傾斜平面向下(重力加速度為g,導軌電阻不計)。
①當通過橫截面的電荷量為q時,速度達到v1,此時運動時間Δt1=。
②當導體棒下滑位移為x時,速度達到v2,此時運動時間Δt2=。
[例1]
【單桿模型】 (2024·湖北武漢階段練習)如圖所示,勻強磁場磁感應強度B=1 T,不計電阻的平行金屬導軌固定在磁場中,左側接一阻值為1 Ω的電阻R,一質量為m=0.5 kg,電阻為r=1 Ω,長度為L=1 m的導體棒在恒力F=3 N作用下由靜止開始運動,發生位移為x=3 m后速度剛好達到最大,導體棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.2,g取10 m/s2。則下列說法正確的是(　　)
[A] 導體棒兩端最大電勢差為4.0 V
[B] 加速階段電阻R上產生的熱量為2 J
[C] 導體棒的加速時間t=1.25 s
[D] 加速階段流過電阻R上的電荷量為1.5 C
【答案】 D
【解析】 當導體棒的速度達到最大時,根據受力平衡可得F=BIL+μmg,解得I=2 A,則導體棒兩端最大電勢差為U=IR=2 V,故A錯誤;速度達到最大時,根據I=,解得最大速度為vm=4 m/s,加速階段由功能關系可得Fx-μmgx=m+Q,其中QR=Q,聯立解得QR=1 J,故B錯誤;由動量定理可得Ft-μmgt-BLt=mvm,其中q=t=== C=1.5 C,聯立解得t=1.75 s,故C錯誤,D正確。
[例2] 【雙桿模型】 (2024·江蘇蘇州階段練習)如圖,水平面內固定有兩根平行的光滑長直金屬導軌,導軌間距為l,電阻不計。整個裝置處于兩個磁感應強度大小均為B、方向相反的豎直勻強磁場中,虛線為兩磁場的分界線,質量均為m的兩根相同導體棒MN、PQ靜置于圖示的導軌上(兩棒始終與導軌垂直且接觸良好)。現使MN棒獲得一個大小為v0、方向水平向左的初速度,則在此后的整個運動過程中(　　)
[A] 兩棒受到的安培力沖量大小相等,方向相反
[B] 通過PQ棒某一橫截面的電荷量為
[C] MN棒產生的焦耳熱為
[D] 兩棒最終的速度大小均為
【答案】 B
【解析】 根據右手定則知,回路中產生沿NMPQN方向的感應電流,根據左手定則可知,MN棒受到的安培力水平向右,PQ棒受到的安培力也水平向右,且兩棒受到的安培力大小相等,則兩棒受到的安培力沖量大小相等,方向相同,故A錯誤;當兩棒產生的感應電動勢大小相等,相互抵消,回路中感應電流為零時,兩棒均做勻速運動,達到穩定狀態,穩定時,有Blv1=
Blv2,解得v1=v2,對PQ棒,根據動量定理得I=mv2-0,對MN棒,根據動量定理得-I=mv1-mv0,解得v1=v2=,故D錯誤;對PQ棒,根據動量定理得Blt=mv2-0,通過PQ棒某一橫截面的電荷量為q=t,可得q=,故B正確;根據能量守恒定律得2Q=m-(m+m),解得MN棒產生的焦耳熱為Q=,故C錯誤。
[例3] 【導軌間距不等時的雙桿模型】 如圖所示,電阻不計的光滑金屬導軌由直窄軌AB、CD以及直寬軌EF、GH組合而成,窄軌和寬軌均處于同一水平面內,AB、CD等長且與EF、GH均相互平行,BE、GD等長、共線,且均與AB垂直,窄軌間距為,寬軌間距為L。窄軌和寬軌之間均有豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場。由同種材料制成的相同金屬直棒a、b始終與導軌垂直且接觸良好,棒長為L、質量為m、電阻為R。初始時b棒靜止于導軌EF段某位置,a棒從AB段某位置以初速度v0向右運動,且a棒距窄軌右端足夠遠,寬軌EF、GH足夠長。下列判斷不正確的是(　　)
[A] a棒剛開始運動時,b棒的加速度大小為
[B] 經過足夠長的時間,a棒的速度為v0
[C] 整個過程中通過回路的電荷量為
[D] 整個過程中b棒產生的焦耳熱為m
【答案】 B
【解析】 a棒剛開始運動時,a棒產生的感應電動勢為E=B··v0,由閉合電路歐姆定律得電路中的感應電流為I=,對b棒,根據牛頓第二定律得BIL=ma,解得b棒的加速度大小為a=,故A正確;設經過足夠長的時間,a、b棒的速度分別為va、vb,此時,兩棒產生的感應電動勢大小相等,回路中沒有感應電流,兩棒不受安培力,均做勻速直線運動,則有B··va=BLvb,得va=2vb,對b棒,由動量定理得BILt=mvb-0,對a棒,由動量定理得-BI·t=mva-
mv0,聯立解得va=v0,vb=v0,整個過程中通過回路的電荷量為q=It,聯立可得q=,故B錯誤,C正確;整個過程中b棒產生的焦耳熱為Qb=Q總=[m-(m+m)],解得Qb=m,故D正確。
考點二　動量守恒定律在電磁感應中的應用
1.在雙金屬棒切割磁感線的系統中,雙金屬棒和導軌構成閉合回路,安培力充當系統內力,如果它們不受摩擦力,且受到的安培力的合力為零,則滿足動量守恒,運用動量守恒定律解題比較方便。
2.雙棒模型(不計摩擦力)
項目 雙棒無外力 雙棒有外力
示 意 圖 F為恒力
動 力 學 觀 點 導體棒1受安培力的作用做加速度減小的減速運動,導體棒2受安培力的作用做加速度減小的加速運動,最后兩棒以相同的速度做勻速直線運動 導體棒1做加速度逐漸減小的加速運動,導體棒2做加速度逐漸增大的加速運動,最終兩棒以相同的加速度做勻加速直線運動
動量 觀點 系統動量守恒 系統動量不守恒
能量 觀點 棒1動能的減少量=棒2動能的增加量+焦耳熱 外力做的功=棒1的動能+棒2的動能+焦耳熱
[例4]
【水平面上的動量守恒】 (2024·遼寧葫蘆島二模)(多選)如圖所示,兩足夠長的平行長直金屬導軌固定在水平面上,導軌間距為L。兩根長度均為L的光滑導體棒ab、cd靜置于導軌上,導體棒ab的質量為2m,電阻為R,導體棒cd的質量為m,電阻為2R。導軌間存在豎直向下的勻強磁場,磁感應強度大小為B。初始時兩導體棒之間的間距為L,某時刻給導體棒cd施加垂直于導體棒水平向右的外力,使導體棒cd由靜止開始向右做加速度大小為a0的勻加速直線運動,同時給導體棒ab施加垂直于導體棒水平向左的外力,使導體棒ab始終保持靜止。經過時間t=同時撤去施加在導體棒ab、cd上的外力。導體棒運動過程中始終與導軌垂直并接觸良好,平行長直金屬導軌的電阻忽略不計。下列說法正確的是(　　)
[A] 撤去外力瞬間,導體棒cd的速度v=
[B] 導體棒cd勻加速運動過程中,施加在導體棒cd上外力沖量的大小為
[C] 從撤去外力到導體棒cd運動穩定的過程中,導體棒cd上產生的焦耳熱為
[D] 撤去外力后通過導體棒cd的感應電荷量q=
【答案】 ACD
【解析】 撤去外力瞬間,導體棒cd的速度v=a0t=,故A正確;導體棒cd勻加速運動過程中,導體棒cd受到的平均安培力為=BL==·=2ma0,根據牛頓第二定律,施加在導體棒cd上的平均外力=+ma0,施加在導體棒cd上外力沖量的大小為IF=t=,故B錯誤;從撤去外力到導體棒cd運動穩定的過程中,根據動量守恒定律有mv=(2m+m)v′,根據能量守恒定律有mv2=(2m+m)v′2+Q,導體棒cd上產生的焦耳熱為Qcd=Q=,故C正確;根據-BtL=mv′-mv,即-qBL=mv′-mv,得q=,故D正確。
[例5]
【斜面上的動量守恒】 如圖所示,兩根足夠長的光滑金屬導軌MN、PQ,間距為L,電阻不計,兩導軌構成的平面與水平面成θ角。金屬棒ab、cd用絕緣輕繩連接,其接入電路的電阻均為R,質量分別為2m和m。沿斜面向上的力作用在cd上使兩金屬棒靜止,整個裝置處于垂直于導軌平面向上的勻強磁場中,磁感應強度大小為B,重力加速度大小為g。將輕繩燒斷后,保持F不變,金屬棒始終與導軌垂直且接觸良好,則(　　)
[A] 輕繩燒斷瞬間,金屬棒cd的加速度大小a=gsin θ
[B] 輕繩燒斷后,金屬棒cd做勻加速運動
[C] 輕繩燒斷后,任意時刻兩金屬棒運動的速度大小之比vab∶vcd=1∶2
[D] 金屬棒ab的最大速度vabm=
【答案】 C
【解析】 沿導軌平面向上的力F作用在cd上使兩金屬棒靜止,由平衡條件可得F=3mgsin θ,輕繩燒斷瞬間,金屬棒cd受到沿導軌平面向上的力F和重力、支持力作用,由牛頓第二定律得F-mgsin θ=ma,解得金屬棒cd的加速度大小a=2gsin θ,選項A錯誤;輕繩燒斷后,金屬棒ab和cd均切割磁感線產生感應電動勢,回路中有感應電流,金屬棒受到不斷變化的安培力作用,所以金屬棒cd做變加速運動,選項B錯誤;對兩金屬棒組成的系統,所受合力為零,系統沿導軌方向動量守恒,由動量守恒定律可知,輕繩燒斷后,任意時刻2mvab-mvcd=0,兩金屬棒運動的速度大小之比vab∶vcd=1∶2,選項C正確;當金屬棒ab達到最大速度時,金屬棒ab受力平衡,有2mgsin θ=BIL,I=,E=BL+BL·2=3BL,聯立解得=,選項D錯誤。
對點1.動量定理在電磁感應中的應用
1.(4分)(2024·福建廈門期末)勻質正方形金屬框abcd,邊長為l,質量為m,總電阻為R,初始時線框在豎直平面內,底邊水平且距水平地面高度為H,如圖所示,豎直虛線右側存在垂直于線框平面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B?，F給線框一沿bc方向的初速度v0(未知),線框在圖示虛線位置落地且落地時速度方向豎直向下。不計空氣阻力,則(　　)
[A] 線框落地前一直做平拋運動
[B] 線框運動過程中流過線框的電荷量為
[C] 線框的初速度大小v0=
[D] 線框落地時的速度大小v=
【答案】 D
【解析】 根據題意可知,線框進入磁場過程中,沿初速度方向上做減速運動,則線框落地前不是一直做平拋運動,故A錯誤;由題圖可知,線框落地時已完全進入磁場中,由公式q=Δt,=,=可得q==,故B錯誤;由題意可知,線框落地時速度豎直向下,水平方向上,由動量定理有-Blt=0-mv0,則有Blq=mv0,解得v0=,故C錯誤;根據題意可知,線框豎直方向做自由落體運動,由于線框落地時速度豎直向下,則線框落地時的速度大小等于豎直分速度的大小,則有v=vy=,故D正確。
2.(4分)(2025·湖南長沙模擬)定義“另類加速度”A=,A不變的運動稱為另類勻變速運動。若物體運動的A不變,則稱物體做另類勻變速運動。如圖所示,光滑水平面上一個正方形導線框以垂直于一邊的速度穿過一個勻強磁場區域(磁場寬度大于線框邊長)。導線框電阻不可忽略,但自感可以忽略不計。已知導線框進入磁場前速度為v1,穿出磁場后速度為v2。下列說法正確的是(　　)
[A] 線框在進入磁場的過程中,速度隨時間均勻增加
[B] 線框在進入磁場的過程中,其另類加速度A是變化的
[C] 線框完全進入磁場后,在磁場中運動的速度為
[D] 線框完全進入磁場后,在磁場中運動的速度為
【答案】 C
【解析】 線框在進入磁場的過程中,受到向左的安培力而做減速運動,線框受到的安培力大小為F=BIL=BL·=,可知隨著速度減小,線框受到的安培力減小,加速度減小,所以線框在進入磁場的過程中,做加速度逐漸減小的減速直線運動,故A錯誤;線框在進入磁場的過程中,取向右為正方向,根據動量定理得-BLΔt=mΔv,其中Δt=Δt=,解得=-,所以另類加速度A不變,故B錯誤;設線框完全進入磁場后的速度為v,則有v=v1-,v=
v2+,聯立可得v=,故C正確,D錯誤。
對點2.動量守恒定律在電磁感應中的應用
3.(4分)(2024·廣西桂林模擬)如圖,兩根光滑平行金屬導軌固定在絕緣水平面上,導軌間距為d,處于豎直向上的勻強磁場中,磁感應強度大小為B。已知導體棒MN的電阻為R,質量為m,導體棒PQ的電阻為2R,質量為2m。初始時刻兩棒靜止,兩棒中點之間連接一壓縮量為L的輕質絕緣彈簧。釋放彈簧,兩棒在磁場中運動直至停止,彈簧始終在彈性限度內。整個過程中兩棒保持與導軌垂直并接觸良好,導軌足夠長且電阻不計。下列說法正確的是(　　)
[A] 彈簧伸長過程中,回路中感應電流的方向為PQNMP
[B] 兩導體棒和彈簧組成的系統動量守恒,機械能守恒
[C] 整個運動過程中,MN與PQ的路程之比為1∶2
[D] 整個運動過程中,通過MN的凈電荷量為
【答案】 D
【解析】 在彈簧伸長過程中,導體棒MN與PQ必定分別向右、向左運動,回路的磁通量增加,由楞次定律和安培定則可知回路中產生PMNQP方向的電流,A錯誤;兩導體棒受到的安培力等大反向,兩導體棒和彈簧組成的系統合力為零,動量守恒,機械能不守恒,機械能會轉化為焦耳熱,B錯誤;兩棒的動量始終大小相等,可得mvMN=2mvPQ,得vMN=2vPQ,可知MN與PQ的速率之比始終為 2∶1,則MN與PQ的路程之比為2∶1,C錯誤;設整個運動過程,MN與PQ的位移大小分別為x1、x2,最終彈簧處于原長狀態,MN與PQ之間距離和初始時相比增加了L,因兩棒總是反向運動,可得x1+x2=L,整個運動過程回路的磁通量變化量為ΔΦ=Bd(x1+x2)=BdL,通過MN的凈電荷量為q=·Δt=·Δt==,D正確。
4.(6分)(2025·廣西南寧模擬)(多選)如圖所示,間距L=1 m的粗糙傾斜金屬導軌與水平面間的夾角θ=37°,其頂端與阻值R=1 Ω的定值電阻相連,間距相同的光滑金屬導軌固定在絕緣水平面上,兩導軌都足夠長且在AA′處平滑連接,AA′至DD′均是光滑絕緣帶,保證傾斜導軌與水平導軌間電流不導通。傾斜導軌處有方向垂直傾斜導軌所在平面向上、磁感應強度大小B1=0.2 T的勻強磁場,水平導軌處有方向豎直向上、磁感應強度大小B2=0.5 T 的勻強磁場。兩根導體棒1、2的質量均為m=0.2 kg,兩棒接入電路部分的電阻均為R,初始時刻,導體棒1放置在傾斜導軌上,且距離AA′足夠遠,導體棒2靜置于水平導軌上,已知傾斜導軌與導體棒1間的動摩擦因數μ=0.5?，F將導體棒1由靜止釋放,運動過程中導體棒1未與導體棒2發生碰撞。重力加速度大小g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。兩棒與導軌始終垂直且接觸良好,導軌電阻不計,下列說法正確的是(　　)
[A] 導體棒1在傾斜導軌上下滑時做勻加速直線運動
[B] 導體棒1滑至AA′瞬間的速度大小為20 m/s
[C] 穩定時,導體棒2的速度大小為10 m/s
[D] 整個運動過程中通過導體棒2的電荷量為2 C
【答案】 BC
【解析】 由于導體棒1釋放點離AA′足夠遠,導體棒1滑至AA′時一定達到穩定狀態,則導體棒1在傾斜導軌上下滑時先做加速直線運動,后做勻速直線運動,故A錯誤;當導體棒1勻速運動時受力平衡,即B1IL+μmgcos 37°=mgsin 37°,根據閉合電路歐姆定律及法拉第電磁感應定律有I=,解得v=20 m/s,故B正確;導體棒1、2組成的系統由動量守恒定律可得mv=2mv′,即穩定時,導體棒2的速度大小為v′=10 m/s,故C正確;對導體棒2由動量定理有B2LΔt=mv′,即B2Lq=mv′,電荷量為q==4 C,故D錯誤。
5.(6分)(2025·湖南岳陽模擬)(多選)如圖所示,兩平行光滑長直金屬導軌水平放置,間距為L。abcd區域有勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向豎直向上。初始時刻,磁場外的細金屬桿M以初速度v0向右運動。磁場內的細金屬桿N處于靜止狀態,且到cd的距離為x0。兩桿在磁場內未相撞且N出磁場時的速度為v0,兩金屬桿與導軌接觸良好且運動過程中始終與導軌垂直。金屬桿M質量為2m,金屬桿N質量為m,兩桿在導軌間的電阻均為R,感應電流產生的磁場及導軌的電阻忽略不計。下列說法正確的是(　　)
[A] M剛進入磁場時M兩端的電勢差Uab=-BLv0
[B] N在磁場內運動過程中N上產生的熱量Q=m
[C] N在磁場內運動過程中的最小加速度的大小a=
[D] N在磁場內運動的時間t=+
【答案】 CD
【解析】 根據題意,M剛進入磁場時,感應電動勢為E=BLv0,由右手定則可知φa<φb,則M兩端的電勢差Uab=-·E=-BLv0,故A錯誤;兩金屬桿在磁場中運動過程中,M、N系統動量守恒,則有2mv0=2mv1+m·v0,解得v1=v0,由能量守恒定律可得,此過程整個電路產生的熱量為Q=×2m-×2m-m(v0)2=m,則N上產生的熱量為Q′=Q=m,故B錯誤;N在磁場內運動過程中加速度最小時,所受安培力最小,此時感應電流最小,N出磁場瞬間,感應電動勢最小,則有E′=BL·v0-BL·v0,又有I=,BIL=ma,聯立解得a=,故C正確;對N由動量定理有BL·t=m·v0,又有=,聯立得(xM-xN)=m·v0,又有xN=x0,解得xM=x0+,又有∑2mv0·Δt=∑2mvM·Δt+∑mvN·Δt,可得2mv0t=2mxM+mx0,代入得t=+
,故D正確。
6.(6分)(2024·湖南卷,8)(多選)某電磁緩沖裝置如圖所示,兩足夠長的平行金屬導軌置于同一水平面內,導軌左端與一阻值為R的定值電阻相連,導軌BC段與B1C1段粗糙,其余部分光滑,AA1右側處于豎直向下的勻強磁場中,一質量為m的金屬桿垂直導軌放置?，F讓金屬桿以初速度v0沿導軌向右經過AA1進入磁場,最終恰好停在CC1處。已知金屬桿接入導軌之間的阻值為R,與粗糙導軌間的動摩擦因數為μ,AB=BC=d。導軌電阻不計,重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 金屬桿經過BB1的速度為
[B] 在整個過程中,定值電阻R產生的熱量為m-μmgd
[C] 金屬桿經過AA1B1B與BB1C1C區域,金屬桿所受安培力的沖量相同
[D] 若將金屬桿的初速度加倍,則金屬桿在磁場中運動的距離大于原來的2倍
【答案】 CD
【解析】 設金屬桿在BB1處速度為v,導軌間距為L,金屬桿在AA1B1B區域運動時,水平方向只受安培力,由動量定理有-∑BiLΔt=mv-mv0,其中∑iΔt=∑Δt=,即-=mv-mv0;在BB1C1C區域運動時,水平方向受安培力和滑動摩擦力,由動量定理有-μmgt-=0-mv,聯立可知v>,A錯誤;在整個過程中,由功能關系可得m=2QR+μmgd,解得QR=m-
μmgd,B錯誤;金屬桿經過AA1B1B與BB1C1C區域,安培力的沖量均為-,C正確;對全過程由動量定理有-μmgt-·2d=0-mv0,若將金屬桿的初速度加倍,由動量定理有-μmgt′-·x=0-2mv0,由于金屬桿在BB1C1C區域運動的平均速度比第一次大,則t′4d,D正確。
7.(20分)(2024·湖北卷,15)如圖所示,兩足夠長平行金屬直導軌MN、PQ的間距為L,固定在同一水平面內,直導軌在左端M、P點分別與兩條豎直固定、半徑為L的圓弧導軌相切。MP連線與直導軌垂直,其左側無磁場,右側存在磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場。長為L、質量為m、電阻為R的金屬棒ab跨放在兩圓弧導軌的最高點。質量為2m、電阻為6R的均勻金屬絲制成一個半徑為L的圓環,水平放置在兩直導軌上,其圓心到兩直導軌的距離相等。忽略導軌的電阻、所有摩擦以及金屬環的可能形變,金屬棒、金屬環均與導軌始終接觸良好,重力加速度大小為g?，F將金屬棒ab由靜止釋放,求:
(1)ab剛越過MP時產生的感應電動勢大小;
(2)金屬環剛開始運動時的加速度大小;
(3)為使ab在整個運動過程中不與金屬環接觸,金屬環圓心初始位置到MP的最小距離。
【答案】 (1)BL　(2)　
(3)
【解析】 (1)對金屬棒ab由靜止釋放到剛越過MP過程,根據動能定理有
mgL=m,
解得v0=,
則ab剛越過MP時產生的感應電動勢大小為
E=BLv0=BL。
(2)金屬環在導軌間兩段圓弧并聯接入電路,導軌外側的兩段圓弧被短路,由幾何關系可得,金屬環在導軌間的每段圓弧的電阻
R0=×=R,
可知,整個回路的總電阻為
R總=R+=R,
ab剛越過MP時,通過ab的感應電流為
I==,
對金屬環由牛頓第二定律,有
2BL·=2ma,
解得a=。
(3)金屬棒ab和金屬環在磁場中運動過程系統動量守恒,當金屬棒ab和金屬環速度相等時,金屬棒ab恰好追上金屬環,金屬環圓心初位置到MP有最小距離,設此時速度為v,根據動量守恒定律有mv0=mv+2mv,
解得v=v0,
對金屬棒ab根據動量定理有
-BLt=m·-mv0,
則有BLq=mv0,
設金屬棒運動距離為x1,金屬環運動距離為x2,
則有q=,
聯立解得Δx=x1-x2=,
則金屬環圓心初始位置到MP的最小距離
d=L+Δx=。
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考點一　動量定理在電磁感應中的應用
1.導體棒或金屬框在感應電流所引起的安培力作用下做非勻變速直線運動時,當題目中涉及速度v、電荷量q、運動時間t、運動位移x時常用動量定理求解。
2.“單棒+電阻”模型
(1)水平放置的平行光滑導軌,間距為L,左側接有電阻,阻值為R,導體棒初速度為v0,質量為m,電阻不計,勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于導軌向下,導軌足夠長且電阻不計,從導體棒開始運動至停下來。求:
①此過程中通過導體棒橫截面的電荷量q=。
②此過程導體棒的位移x=。
③若導體棒從獲得初速度v0經一段時間減速至v1,通過導體棒的電荷量為q1,則v1=v0-。
④導體棒從獲得初速度v0經過位移x0,速度減至v2,則v2=v0-。
(2)間距為L的光滑平行導軌傾斜放置,傾角為θ,由靜止釋放質量為m、接入電路的阻值為R的導體棒,勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于導軌所在傾斜平面向下(重力加速度為g,導軌電阻不計)。
①當通過橫截面的電荷量為q時,速度達到v1,此時運動時間Δt1=。
②當導體棒下滑位移為x時,速度達到v2,此時運動時間Δt2=。
[例1]
【單桿模型】 (2024·湖北武漢階段練習)如圖所示,勻強磁場磁感應強度B=1 T,不計電阻的平行金屬導軌固定在磁場中,左側接一阻值為1 Ω的電阻R,一質量為m=0.5 kg,電阻為r=1 Ω,長度為L=1 m的導體棒在恒力F=3 N作用下由靜止開始運動,發生位移為x=3 m后速度剛好達到最大,導體棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.2,g取10 m/s2。則下列說法正確的是(　　)
[A] 導體棒兩端最大電勢差為4.0 V
[B] 加速階段電阻R上產生的熱量為2 J
[C] 導體棒的加速時間t=1.25 s
[D] 加速階段流過電阻R上的電荷量為1.5 C
[例2] 【雙桿模型】 (2024·江蘇蘇州階段練習)如圖,水平面內固定有兩根平行的光滑長直金屬導軌,導軌間距為l,電阻不計。整個裝置處于兩個磁感應強度大小均為B、方向相反的豎直勻強磁場中,虛線為兩磁場的分界線,質量均為m的兩根相同導體棒MN、PQ靜置于圖示的導軌上(兩棒始終與導軌垂直且接觸良好)?，F使MN棒獲得一個大小為v0、方向水平向左的初速度,則在此后的整個運動過程中(　　)
[A] 兩棒受到的安培力沖量大小相等,方向相反
[B] 通過PQ棒某一橫截面的電荷量為
[C] MN棒產生的焦耳熱為
[D] 兩棒最終的速度大小均為
[例3] 【導軌間距不等時的雙桿模型】 如圖所示,電阻不計的光滑金屬導軌由直窄軌AB、CD以及直寬軌EF、GH組合而成,窄軌和寬軌均處于同一水平面內,AB、CD等長且與EF、GH均相互平行,BE、GD等長、共線,且均與AB垂直,窄軌間距為,寬軌間距為L。窄軌和寬軌之間均有豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場。由同種材料制成的相同金屬直棒a、b始終與導軌垂直且接觸良好,棒長為L、質量為m、電阻為R。初始時b棒靜止于導軌EF段某位置,a棒從AB段某位置以初速度v0向右運動,且a棒距窄軌右端足夠遠,寬軌EF、GH足夠長。下列判斷不正確的是(　　)
[A] a棒剛開始運動時,b棒的加速度大小為
[B] 經過足夠長的時間,a棒的速度為v0
[C] 整個過程中通過回路的電荷量為
[D] 整個過程中b棒產生的焦耳熱為m
考點二　動量守恒定律在電磁感應中的應用
1.在雙金屬棒切割磁感線的系統中,雙金屬棒和導軌構成閉合回路,安培力充當系統內力,如果它們不受摩擦力,且受到的安培力的合力為零,則滿足動量守恒,運用動量守恒定律解題比較方便。
2.雙棒模型(不計摩擦力)
項目 雙棒無外力 雙棒有外力
示 意 圖 F為恒力
動 力 學 觀 點 導體棒1受安培力的作用做加速度減小的減速運動,導體棒2受安培力的作用做加速度減小的加速運動,最后兩棒以相同的速度做勻速直線運動 導體棒1做加速度逐漸減小的加速運動,導體棒2做加速度逐漸增大的加速運動,最終兩棒以相同的加速度做勻加速直線運動
動量 觀點 系統動量守恒 系統動量不守恒
能量 觀點 棒1動能的減少量=棒2動能的增加量+焦耳熱 外力做的功=棒1的動能+棒2的動能+焦耳熱
[例4]
【水平面上的動量守恒】 (2024·遼寧葫蘆島二模)(多選)如圖所示,兩足夠長的平行長直金屬導軌固定在水平面上,導軌間距為L。兩根長度均為L的光滑導體棒ab、cd靜置于導軌上,導體棒ab的質量為2m,電阻為R,導體棒cd的質量為m,電阻為2R。導軌間存在豎直向下的勻強磁場,磁感應強度大小為B。初始時兩導體棒之間的間距為L,某時刻給導體棒cd施加垂直于導體棒水平向右的外力,使導體棒cd由靜止開始向右做加速度大小為a0的勻加速直線運動,同時給導體棒ab施加垂直于導體棒水平向左的外力,使導體棒ab始終保持靜止。經過時間t=同時撤去施加在導體棒ab、cd上的外力。導體棒運動過程中始終與導軌垂直并接觸良好,平行長直金屬導軌的電阻忽略不計。下列說法正確的是(　　)
[A] 撤去外力瞬間,導體棒cd的速度v=
[B] 導體棒cd勻加速運動過程中,施加在導體棒cd上外力沖量的大小為
[C] 從撤去外力到導體棒cd運動穩定的過程中,導體棒cd上產生的焦耳熱為
[D] 撤去外力后通過導體棒cd的感應電荷量q=
[例5]
【斜面上的動量守恒】 如圖所示,兩根足夠長的光滑金屬導軌MN、PQ,間距為L,電阻不計,兩導軌構成的平面與水平面成θ角。金屬棒ab、cd用絕緣輕繩連接,其接入電路的電阻均為R,質量分別為2m和m。沿斜面向上的力作用在cd上使兩金屬棒靜止,整個裝置處于垂直于導軌平面向上的勻強磁場中,磁感應強度大小為B,重力加速度大小為g。將輕繩燒斷后,保持F不變,金屬棒始終與導軌垂直且接觸良好,則(　　)
[A] 輕繩燒斷瞬間,金屬棒cd的加速度大小a=gsin θ
[B] 輕繩燒斷后,金屬棒cd做勻加速運動
[C] 輕繩燒斷后,任意時刻兩金屬棒運動的速度大小之比vab∶vcd=1∶2
[D] 金屬棒ab的最大速度vabm=
(滿分:50分)
對點1.動量定理在電磁感應中的應用
1.(4分)(2024·福建廈門期末)勻質正方形金屬框abcd,邊長為l,質量為m,總電阻為R,初始時線框在豎直平面內,底邊水平且距水平地面高度為H,如圖所示,豎直虛線右側存在垂直于線框平面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B?，F給線框一沿bc方向的初速度v0(未知),線框在圖示虛線位置落地且落地時速度方向豎直向下。不計空氣阻力,則(　　)
[A] 線框落地前一直做平拋運動
[B] 線框運動過程中流過線框的電荷量為
[C] 線框的初速度大小v0=
[D] 線框落地時的速度大小v=
2.(4分)(2025·湖南長沙模擬)定義“另類加速度”A=,A不變的運動稱為另類勻變速運動。若物體運動的A不變,則稱物體做另類勻變速運動。如圖所示,光滑水平面上一個正方形導線框以垂直于一邊的速度穿過一個勻強磁場區域(磁場寬度大于線框邊長)。導線框電阻不可忽略,但自感可以忽略不計。已知導線框進入磁場前速度為v1,穿出磁場后速度為v2。下列說法正確的是(　　)
[A] 線框在進入磁場的過程中,速度隨時間均勻增加
[B] 線框在進入磁場的過程中,其另類加速度A是變化的
[C] 線框完全進入磁場后,在磁場中運動的速度為
[D] 線框完全進入磁場后,在磁場中運動的速度為
對點2.動量守恒定律在電磁感應中的應用
3.(4分)(2024·廣西桂林模擬)如圖,兩根光滑平行金屬導軌固定在絕緣水平面上,導軌間距為d,處于豎直向上的勻強磁場中,磁感應強度大小為B。已知導體棒MN的電阻為R,質量為m,導體棒PQ的電阻為2R,質量為2m。初始時刻兩棒靜止,兩棒中點之間連接一壓縮量為L的輕質絕緣彈簧。釋放彈簧,兩棒在磁場中運動直至停止,彈簧始終在彈性限度內。整個過程中兩棒保持與導軌垂直并接觸良好,導軌足夠長且電阻不計。下列說法正確的是(　　)
[A] 彈簧伸長過程中,回路中感應電流的方向為PQNMP
[B] 兩導體棒和彈簧組成的系統動量守恒,機械能守恒
[C] 整個運動過程中,MN與PQ的路程之比為1∶2
[D] 整個運動過程中,通過MN的凈電荷量為
4.(6分)(2025·廣西南寧模擬)(多選)如圖所示,間距L=1 m的粗糙傾斜金屬導軌與水平面間的夾角θ=37°,其頂端與阻值R=1 Ω的定值電阻相連,間距相同的光滑金屬導軌固定在絕緣水平面上,兩導軌都足夠長且在AA′處平滑連接,AA′至DD′均是光滑絕緣帶,保證傾斜導軌與水平導軌間電流不導通。傾斜導軌處有方向垂直傾斜導軌所在平面向上、磁感應強度大小B1=0.2 T的勻強磁場,水平導軌處有方向豎直向上、磁感應強度大小B2=0.5 T 的勻強磁場。兩根導體棒1、2的質量均為m=0.2 kg,兩棒接入電路部分的電阻均為R,初始時刻,導體棒1放置在傾斜導軌上,且距離AA′足夠遠,導體棒2靜置于水平導軌上,已知傾斜導軌與導體棒1間的動摩擦因數μ=0.5?，F將導體棒1由靜止釋放,運動過程中導體棒1未與導體棒2發生碰撞。重力加速度大小g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。兩棒與導軌始終垂直且接觸良好,導軌電阻不計,下列說法正確的是(　　)
[A] 導體棒1在傾斜導軌上下滑時做勻加速直線運動
[B] 導體棒1滑至AA′瞬間的速度大小為20 m/s
[C] 穩定時,導體棒2的速度大小為10 m/s
[D] 整個運動過程中通過導體棒2的電荷量為2 C
5.(6分)(2025·湖南岳陽模擬)(多選)如圖所示,兩平行光滑長直金屬導軌水平放置,間距為L。abcd區域有勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向豎直向上。初始時刻,磁場外的細金屬桿M以初速度v0向右運動。磁場內的細金屬桿N處于靜止狀態,且到cd的距離為x0。兩桿在磁場內未相撞且N出磁場時的速度為v0,兩金屬桿與導軌接觸良好且運動過程中始終與導軌垂直。金屬桿M質量為2m,金屬桿N質量為m,兩桿在導軌間的電阻均為R,感應電流產生的磁場及導軌的電阻忽略不計。下列說法正確的是(　　)
[A] M剛進入磁場時M兩端的電勢差Uab=-BLv0
[B] N在磁場內運動過程中N上產生的熱量Q=m
[C] N在磁場內運動過程中的最小加速度的大小a=
[D] N在磁場內運動的時間t=+
6.(6分)(2024·湖南卷,8)(多選)某電磁緩沖裝置如圖所示,兩足夠長的平行金屬導軌置于同一水平面內,導軌左端與一阻值為R的定值電阻相連,導軌BC段與B1C1段粗糙,其余部分光滑,AA1右側處于豎直向下的勻強磁場中,一質量為m的金屬桿垂直導軌放置?，F讓金屬桿以初速度v0沿導軌向右經過AA1進入磁場,最終恰好停在CC1處。已知金屬桿接入導軌之間的阻值為R,與粗糙導軌間的動摩擦因數為μ,AB=BC=d。導軌電阻不計,重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
[A] 金屬桿經過BB1的速度為
[B] 在整個過程中,定值電阻R產生的熱量為m-μmgd
[C] 金屬桿經過AA1B1B與BB1C1C區域,金屬桿所受安培力的沖量相同
[D] 若將金屬桿的初速度加倍,則金屬桿在磁場中運動的距離大于原來的2倍
7.(20分)(2024·湖北卷,15)如圖所示,兩足夠長平行金屬直導軌MN、PQ的間距為L,固定在同一水平面內,直導軌在左端M、P點分別與兩條豎直固定、半徑為L的圓弧導軌相切。MP連線與直導軌垂直,其左側無磁場,右側存在磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場。長為L、質量為m、電阻為R的金屬棒ab跨放在兩圓弧導軌的最高點。質量為2m、電阻為6R的均勻金屬絲制成一個半徑為L的圓環,水平放置在兩直導軌上,其圓心到兩直導軌的距離相等。忽略導軌的電阻、所有摩擦以及金屬環的可能形變,金屬棒、金屬環均與導軌始終接觸良好,重力加速度大小為g?，F將金屬棒ab由靜止釋放,求:
(1)ab剛越過MP時產生的感應電動勢大小;
(2)金屬環剛開始運動時的加速度大小;
(3)為使ab在整個運動過程中不與金屬環接觸,金屬環圓心初始位置到MP的最小距離。
(
第
12
頁
)(共33張PPT)
高中總復習·物理
第5講　
小專題:電磁感應中的動量問題
1.導體棒或金屬框在感應電流所引起的安培力作用下做非勻變速直線運動時,當題目中涉及速度v、電荷量q、運動時間t、運動位移x時常用動量定理求解。
2.“單棒+電阻”模型
(1)水平放置的平行光滑導軌,間距為L,左側接有電阻,阻值為R,導體棒初速度為v0,質量為m,電阻不計,勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于導軌向下,導軌足夠長且電阻不計,從導體棒開始運動至停下來。求:
(2)間距為L的光滑平行導軌傾斜放置,傾角為θ,由靜止釋放質量為m、接入電路的阻值為R的導體棒,勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于導軌所在傾斜平面向下(重力加速度為g,導軌電阻不計)。
[例1] 【單桿模型】 (2024·湖北武漢階段練習)如圖所示,勻強磁場磁感應強度B=1 T,不計電阻的平行金屬導軌固定在磁場中,左側接一阻值為1 Ω的電阻R,一質量為m=0.5 kg,電阻為r=1 Ω,長度為L=1 m的導體棒在恒力F=3 N作用下由靜止開始運動,發生位移為x=3 m后速度剛好達到最大,導體棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.2,g取10 m/s2。則下列說法正確的是(　　)
[A] 導體棒兩端最大電勢差為4.0 V
[B] 加速階段電阻R上產生的熱量為2 J
[C] 導體棒的加速時間t=1.25 s
[D] 加速階段流過電阻R上的電荷量為1.5 C
D
[例2] 【雙桿模型】 (2024·江蘇蘇州階段練習)如圖,水平面內固定有兩根平行的光滑長直金屬導軌,導軌間距為l,電阻不計。整個裝置處于兩個磁感應強度大小均為B、方向相反的豎直勻強磁場中,虛線為兩磁場的分界線,質量均為m的兩根相同導體棒MN、PQ靜置于圖示的導軌上(兩棒始終與導軌垂直且接觸良好)?，F使MN棒獲得一個大小為v0、方向水平向左的初速度,則在此后的整個運動過程中(　　)
B
B
1.在雙金屬棒切割磁感線的系統中,雙金屬棒和導軌構成閉合回路,安培力充當系統內力,如果它們不受摩擦力,且受到的安培力的合力為零,則滿足動量守恒,運用動量守恒定律解題比較方便。
2.雙棒模型(不計摩擦力)
項目 雙棒無外力 雙棒有外力
示意圖
F為恒力
動力學觀點 導體棒1受安培力的作用做加速度減小的減速運動,導體棒2受安培力的作用做加速度減小的加速運動,最后兩棒以相同的速度做勻速直線運動 導體棒1做加速度逐漸減小的加速運動,導體棒2做加速度逐漸增大的加速運動,最終兩棒以相同的加速度做勻加速直線運動
動量觀點 系統動量守恒 系統動量不守恒
能量觀點 棒1動能的減少量=棒2動能的增加 量+焦耳熱 外力做的功=棒1的動能+棒2的動
能+焦耳熱
ACD
[例5] 【斜面上的動量守恒】 如圖所示,兩根足夠長的光滑金屬導軌MN、PQ,間距為L,電阻不計,兩導軌構成的平面與水平面成θ角。金屬棒ab、cd用絕緣輕繩連接,其接入電路的電阻均為R,質量分別為2m和m。沿斜面向上的力作用在cd上使兩金屬棒靜止,整個裝置處于垂直于導軌平面向上的勻強磁場中,磁感應強度大小為B,重力加速度大小為g。將輕繩燒斷后,保持F不變,金屬棒始終與導軌垂直且接觸良好,則(　　)
C
基礎對點練
對點1.動量定理在電磁感應中的應用
1.(4分)(2024·福建廈門期末)勻質正方形金屬框abcd,邊長為l,質量為m,總電阻為R,初始時線框在豎直平面內,底邊水平且距水平地面高度為H,如圖所示,豎直虛線右側存在垂直于線框平面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B。現給線框一沿bc方向的初速度v0(未知),線框在圖示虛線位置落地且落地時速度方向豎直向下。不計空氣阻力,則(　　)
D
C
D
對點2.動量守恒定律在電磁感應中的應用
3.(4分)(2024·廣西桂林模擬)如圖,兩根光滑平行金屬導軌固定在絕緣水平面上,導軌間距為d,處于豎直向上的勻強磁場中,磁感應強度大小為B。已知導體棒MN的電阻為R,質量為m,導體棒PQ的電阻為2R,質量為2m。初始時刻兩棒靜止,兩棒中點之間連接一壓縮量為L的輕質絕緣彈簧。釋放彈簧,兩棒在磁場中運動直至停止,彈簧始終在彈性限度內。整個過程中兩棒保持與導軌垂直并接觸良好,導軌足夠長且電阻不計。下列說法正確的是(　　)
[A] 彈簧伸長過程中,回路中感應電流的方向為PQNMP
[B] 兩導體棒和彈簧組成的系統動量守恒,機械能守恒
[C] 整個運動過程中,MN與PQ的路程之比為1∶2
4.(6分)(2025·廣西南寧模擬)(多選)如圖所示,間距L=1 m的粗糙傾斜金屬導軌與水平面間的夾角θ=37°,其頂端與阻值R=1 Ω的定值電阻相連,間距相同的光滑金屬導軌固定在絕緣水平面上,兩導軌都足夠長且在AA′處平滑連接,AA′至DD′均是光滑絕緣帶,保證傾斜導軌與水平導軌間電流不導通。傾斜導軌處有方向垂直傾斜導軌所在平面向上、磁感應強度大小B1=0.2 T的勻強磁場,水平導軌處有方向豎直向上、磁感應強度大小B2=0.5 T 的勻強磁場。兩根導體棒1、2的質量均為m=0.2 kg,兩棒接入電路部分的電阻均為R,初始時刻,導體棒1放置在傾斜導軌上,且距離AA′足夠遠,導體棒2靜置于水平導軌上,已知傾斜導軌與導體棒1間的動摩擦因數μ=0.5?，F將導體棒1由靜止釋放,運動過程中導體棒1未與導體棒2發生碰撞。重力加速度大小g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8。兩棒與導軌始終垂直且接觸良好,導軌電阻不計,下列說法正確的是(　　 )
[A] 導體棒1在傾斜導軌上下滑時做勻加速直線運動
[B] 導體棒1滑至AA′瞬間的速度大小為20 m/s
[C] 穩定時,導體棒2的速度大小為10 m/s
[D] 整個運動過程中通過導體棒2的電荷量為2 C
BC
CD
6.(6分)(2024·湖南卷,8)(多選)某電磁緩沖裝置如圖所示,兩足夠長的平行金屬導軌置于同一水平面內,導軌左端與一阻值為R的定值電阻相連,導軌BC段與B1C1段粗糙,其余部分光滑,AA1右側處于豎直向下的勻強磁場中,一質量為m的金屬桿垂直導軌放置?，F讓金屬桿以初速度v0沿導軌向右經過AA1進入磁場,最終恰好停在CC1處。已知金屬桿接入導軌之間的阻值為R,與粗糙導軌間的動摩擦因數為μ,AB=BC=d。導軌電阻不計,重力加速度為g,下列說法正確的是(　　 )
CD
綜合提升練
(1)ab剛越過MP時產生的感應電動勢大小;
(2)金屬環剛開始運動時的加速度大小;
(3)為使ab在整個運動過程中不與金屬環接觸,金屬環圓心初始位置到MP的最小距離。

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