資源簡介

第1講　交變電流的產生和描述
有一種自行車,它有能向自行車車頭燈泡供電的小型發電機,其原理示意圖如圖甲所示;圖中N、S是一對固定的磁極,磁極間有一固定在絕緣轉軸上的矩形線圈,轉軸的一端有一個與自行車后輪邊緣接觸的摩擦輪。如圖乙所示,當車輪轉動時,因摩擦而帶動摩擦輪轉動,從而使線圈在磁場中轉動而產生電流給車頭燈泡供電。 (1)自行車勻速行駛時線圈中產生的是什么形式的電流 (2)線圈中交變電流的周期與自行車的速度有什么關系 小燈泡亮度與自行車的行駛速度有什么關系 (3)如何求解后輪轉一周的時間里電流方向變化的次數 (4)線圈的匝數與穿過線圈的磁通量的變化率有什么關系
(2024·安徽宿州階段練習)風力發電將成為福建沿海實現“雙碳”目標的重要途徑之一。如圖甲,風力發電裝置呈現風車外形,風吹向葉片驅動風輪機轉動,風輪機帶動內部匝數為N的矩形銅質線圈在水平勻強磁場中,以角速度ω繞垂直于磁場的水平轉軸OO′順時針勻速轉動產生交變電流,發電模型簡化為如圖乙所示。已知N匝線圈產生的感應電動勢的最大值為Em。則(　　)
[A] 當線圈轉到圖示位置時產生的感應電流方向為DCBA
[B] 當線圈轉到豎直位置時電流表的示數為零
[C] 當線圈轉到圖示位置時磁通量的變化率最大
[D] 穿過線圈的最大磁通量為
【答案】 C
考點一　交變電流的產生及變化規律
如圖所示,N匝矩形線圈abcd繞中軸在磁感應強度為B的勻強磁場中以角速度ω勻速轉動,線圈的面積為S,從如圖所示(磁場與線圈垂直)的位置開始計時。
(1)試借助導體切割磁感線產生感應電動勢的表達式,推導出線圈產生的感應電動勢隨時間變化的函數表達式。
提示:從中性面開始計時,ab邊切割磁感線產生的瞬時電動勢e1=BL1vsin θ=BL1·ωsin ωt,其中L1、L2分別為ab與ad的長度,ω為線圈勻速轉動的角速度;cd邊產生的電動勢與ab邊的大小相等、方向相同,且兩者串聯,線圈有N匝,故有e=2NBL1·ωsin ωt=NBSωsin ωt。
(2)試借助法拉第電磁感應定律和求導的方法,推導出線圈產生的感應電動勢隨時間變化的函數表達式。
提示:根據法拉第電磁感應定律E=N,可知感應電動勢的大小為磁通量Φ關于時間的一階導數與線圈匝數乘積的絕對值,即e=|NΦ′|。從中性面開始計時,則磁通量關于時間的變化關系式為Φ=BScos ωt,Φ的一階導數Φ′=-BSωsin ωt,對于N匝線圈有e=|NΦ′|=NBSωsin ωt。
1.兩個特殊位置及其特點
中性面位置 與中性面垂直的位置
B⊥S B∥S
Φ=BS最大 Φ=0最小
e=N=0, 最小 e=N=NBSω, 最大
感應電流為零, 方向改變 感應電流最大, 方向不變
2.正弦式交變電流的變化規律(線圈在中性面位置開始計時)
物理量 函數表達式 圖像
磁通量 Φ=Φmcos ωt =BScos ωt
電動勢 e=Emsin ωt =NBSωsin ωt
電壓 u=Umsin ωt =sin ωt
電流 i=Imsin ωt =sin ωt
3.電流方向的改變
線圈通過中性面時,電流方向發生改變,一個周期內線圈通過中性面兩次,電流的方向改變兩次。
[例1]
【交變電流的產生及表達式的書寫】 (2024·湖南長沙階段練習)如圖為交流發電機的示意圖,矩形線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場的軸OO′勻速轉動,發電機的電動勢隨時間的變化規律為e=20sin(100πt)V。下列說法正確的是(　　)
[A] 此交流的頻率為100 Hz
[B] 此交流電動勢的有效值為20 V
[C] 當線圈平面轉到圖示位置時產生的電動勢最大
[D] 當線圈平面轉到平行于磁場的位置時磁通量的變化率最大
【答案】 D
【解析】 此交流的頻率為f== Hz=50 Hz,故A錯誤;此交流電動勢的有效值為E==10 V,故B錯誤;當線圈平面轉到題圖所示位置時處于中性面,產生的感應電動勢為零,故C錯誤;當線圈轉到垂直于中性面時,磁通量的變化率最大,此時產生的電動勢最大,故D正確。
[例2] 【交變電流的圖像】 (2024·山東卷,8)如圖甲所示,在-d≤x≤d,-d ≤y≤d的區域中存在垂直于xOy平面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場(用陰影表示磁場的區域),邊長為2d的正方形線圈與磁場邊界重合。線圈以y軸為轉軸勻速轉動時,線圈中產生的交變電動勢如圖乙所示。若僅磁場的區域發生了變化,線圈中產生的電動勢變為圖丙所示實線部分,則變化后磁場的區域可能為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 根據題意可知,磁場區域變化前線圈產生的感應電動勢為e=Esin ωt,由題圖丙可知,磁場區域變化后,當Esin ωt=時,線圈的側邊開始切割磁感線,即當線圈旋轉時開始切割磁感線,由幾何關系可知磁場區域平行于x軸的邊長變為d′=2dcos =d,C正確。
考點二　交變電流有效值的求解
1.交變電流有效值的計算
(1)計算有效值時要根據電流的熱效應,抓住“三同”:“相同時間”內“相同電阻”上產生“相同熱量”。先分段計算熱量,求和得出一個周期內產生的總熱量,然后根據Q總=I2RT或Q總=T列式求解。
(2)若圖像部分是正弦(或余弦)式交變電流,其中的周期(必須是從零至最大值或從最大值至零)和周期部分可直接應用正弦式交變電流的有效值與最大值之間的關系I=,U=求解。
2.幾種典型的電流(電壓)圖像及其有效值
電流名稱 圖像 有效值
正弦式 交變電流 I=
正弦半 波電流 I=
正弦單向 脈沖電流 I=
矩形脈 沖電流 I=
非對稱性 交變電流 I=
[例3] 【有效值的理解】 (2024·陜西渭南一模)(多選)某同學自制了一個手搖交流發電機,如圖所示。大輪與小輪通過皮帶傳動(皮帶不打滑),半徑之比為4∶1,小輪與線圈固定在同一轉軸上。線圈是由漆包線繞制而成的邊長為L的正方形,共n匝,總阻值為R。磁體間磁場可視為磁感應強度大小為B的勻強磁場。大輪以角速度ω勻速轉動,帶動小輪及線圈繞轉軸轉動,轉軸與磁場方向垂直。線圈通過導線、滑環和電刷連接一個阻值恒為R的燈泡。假設發電時燈泡能發光且工作在額定電壓U0以內,下列說法正確的是(　　)
[A] 大輪轉動的角速度ω不能超過
[B] 燈泡兩端電壓有效值為 nBL2ω
[C] 若用總長為原來2倍的漆包線重新繞制邊長仍為L的多匝正方形線圈,則燈泡變得
更亮
[D] 若僅將小輪半徑變為原來的2倍,則燈泡變得更亮
【答案】 BC
【解析】 依題意,大輪和小輪通過皮帶傳動,線速度的大小相等,根據v=ωr,由大輪和小輪的半徑之比為4∶1,可知小輪轉動的角速度為大輪轉動角速度的4倍,即線圈轉動的角速度為4ω。根據法拉第電磁感應定律可知,線圈產生的感應電動勢的最大值為Em=nBL2×4ω,根據正弦式交變電流峰值和有效值的關系可知,產生的電動勢的有效值為E=,根據歐姆定律可得燈泡兩端電壓的有效值為U=E,聯立解得U=nBL2ω,發電時燈泡能發光且工作在額定電壓U0以內,可得U0>U,解得ω<,故A錯誤,B正確;若用總長為原來2倍的相同漆包線重新繞制成邊長仍為L的多匝正方形線圈,則線圈的匝數會變為原來的2倍,線圈產生感應電動勢的最大值為Em′=8nBL2ω,此時線圈產生感應電動勢的有效值為E′=,根據電阻定律可得R=ρ,可知線圈的電阻也會變為原先的2倍,根據電路構造的分析和歐姆定律可得U′=E′,聯立解得 U′=,可知燈泡變得更亮,故C正確;若將小輪半徑變為原來的2倍,則根據線速度的計算公式可知線圈和小輪的角速度都會變小,根據前面選項分析可知燈泡兩端電壓有效值會隨之減小,因此燈泡會變暗,故D錯誤。
[例4] 【有效值的計算】 (2024·河北卷,4)R1、R2為兩個完全相同的定值電阻,R1兩端的電壓隨時間周期性變化的規律如圖甲所示(三角形脈沖交流電壓的峰值是有效值的倍),R2兩端的電壓隨時間按正弦規律變化如圖乙所示,則兩電阻在一個周期T內產生的熱量之比Q1∶Q2為(　　)
[A] 2∶3 [B] 4∶3
[C] 2∶ [D] 5∶4
【答案】 B
【解析】 設R1兩端電壓的有效值為U1,R2兩端電壓的有效值為U2,則根據有效值的定義有 T=×+×,解得U1=U0,U2=;則根據Q=t可知,Q1∶Q2=∶=4∶3。故選B。
考點三　交變電流“四值”的比較和應用
交變電流“四值”的比較和應用
項目 物理含義 重要關系 應用情況 及說明
瞬時 值 交變電流某一時刻的值 e=Emsin ωt i=Imsin ωt 計算線圈某時刻的受力情況
峰值 最大的瞬時值 Em=NBSω Im= 討論電容器的擊穿電壓
有效 值 跟交變電流的熱效應等效的恒定電流的值 E= U= I= 適用于正弦式交變電流 (1)交流電流表、交流電壓表的示數。 (2)電氣設備“銘牌”上所標的值(如額定電壓、額定電流等)。 (3)計算與電流的熱效應有關的量(如電功、電功率、電熱、保險絲的熔斷電流等)。 (4)沒有特別加以說明的指有效值
平均 值 交變電流圖像中圖線與時間軸所圍的面積與時間的比值 =n = 計算通過導線橫截面的電荷量
[例5]
【交變電流“四值”的簡單應用】 (2024·安徽合肥期末)某種風力發電機的原理如圖所示。發電機的線圈固定,磁體在葉片驅動下繞線圈對稱軸勻速轉動的角速度為ω。已知磁體間的磁場近似為勻強磁場,磁感應強度的大小為B,線圈的匝數為N、面積為S。下列說法正確的是(　　)
[A] 線圈中感應電動勢的有效值E=
[B] 1 s內線圈中感應電流的方向改變次
[C] 當線圈處在圖中所示的位置時,線圈中的感應電動勢達到最大值
[D] 以圖中線圈所處位置開始計時,線圈中感應電動勢的瞬時值表達式為e=NBSωcos ωt
【答案】 A
【解析】 線圈中感應電動勢的最大值為Em=NBSω,則線圈中感應電動勢的有效值為E=
=,故A正確;轉動周期為T=,可知1 s內線圈轉動的圈數為n==,每經過1個周期,電流方向改變2次,則1 s內線圈中感應電流的方向改變次,故B錯誤;當線圈處在題圖中所示的位置時,穿過線圈的磁通量最大,磁通量變化率為零,線圈中的感應電動勢為零,以題圖中線圈所處位置開始計時,線圈中感應電動勢的瞬時值表達式為e=Emsin ωt=
NBSωsin ωt,故C、D錯誤。
[例6]
【交變電流“四值”的計算】 (2024·湖南衡陽期末)用長度為L,橫截面面積為S、電阻率為ρ的金屬絲制成正方形線框abcd,然后置于磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場中,如圖所示,繞與ab邊重合的固定軸從中性面開始沿圖示方向逆時針勻速轉動,轉動的角速度為ω,下列說法正確的是(　　)
[A] 線框從圖示位置轉過的過程中,線框中電流的方向為a→d→c→b→a
[B] 線框中感應電流的有效值為
[C] 線框轉過一周的過程中,產生的焦耳熱為
[D] 線框從圖示位置轉過半圈的過程中,通過線框某一橫截面的電荷量為0
【答案】 C
【解析】 由楞次定律和安培定則可知,線框轉過的過程中,線框中電流的方向為a→b→c→d→a,A錯誤;線框的電阻R=ρ,電動勢的峰值Em=B()2ω,有效值E=,故電流的有效值I==,B錯誤;線框轉過一周的過程中產生的焦耳熱Q=I2R·=,C正確;線框從圖示位置轉過半圈的過程中,通過線框某一橫截面的電荷量q==,D錯誤。
交變電流“四值”應用的注意事項
(1)在解答有關交變電流的問題時,要注意電路結構。
(2)注意區分交變電流的峰值、瞬時值、有效值和平均值,峰值是瞬時值中的最大值,有效值是以電流的熱效應來等效定義的。
(3)求解與電能、電熱相關的問題時,一定要用有效值;而求解通過導體某橫截面的電荷量時,一定要用平均值。
(滿分:50分)
對點1.交變電流的產生及變化規律
1.(4分)(2024·江蘇揚州二模)某興趣小組利用地磁場探究交變電流的規律如圖甲所示,線圈在地磁場中勻速轉動,轉軸OO′沿東西方向水平放置,產生的交變電流i隨時間t變化關系圖像如圖乙所示。已知地磁場方向斜向下,則(　　)
[A] 0時刻,線圈在豎直面內
[B] 時刻,線圈在水平面內
[C] 若僅增加轉速,Im變小
[D] 若僅將轉軸沿南北方向水平放置,Im變小
【答案】 D
【解析】 0時刻,由題圖乙可知,感應電流為零,此時穿過線圈的磁通量最大,線圈處于與地磁場方向垂直的平面,故A錯誤;時刻,由題圖乙可知,感應電流最大,此時穿過線圈的磁通量最小,線圈處于與地磁場方向平行的平面,故B錯誤;若僅增加轉速,線圈產生的感應電動勢最大值增大,則Im變大,故C錯誤;若僅將轉軸沿南北方向水平放置,則地磁場水平分量一直與線圈平面平行,只有地磁場的豎直分量穿過線圈,所以線圈產生的感應電動勢最大值變小,則Im變小,故D正確。
2.(6分)(2024·安徽六安期末)(多選)如圖甲所示,矩形線圈abcd在勻強磁場中勻速轉動可以產生交變電流,其電動勢e隨時間t變化的圖像如圖乙所示,線圈電阻 r=1 Ω,電阻R=9 Ω。則(　　)
[A] t=0.01 s時,線圈平面處于中性面
[B] 線圈轉動一周,電流的方向改變一次
[C] 電阻R兩端電壓為10 V
[D] 電阻R在10 s內產生的熱量為90 J
【答案】 AD
【解析】 t=0.01 s時,電動勢為零,線圈平面處于中性面,故A正確;線圈轉動一周的時間為一個周期,由題圖可知一個周期內電流的方向改變兩次,故B錯誤;交流電動勢的有效值E==10 V,根據串聯電路分壓原理可知電阻R兩端電壓U==9 V,故C錯誤;電阻R在10 s內產生的熱量Q=t=90 J,故D正確。
對點2.交變電流有效值的求解
3.
(6分)(2024·安徽黃山階段練習)(多選)如圖所示,在磁感應強度為B的勻強磁場中,單匝小型發電機線框面積為S,以角速度ω繞垂直于磁感線的軸轉動,下列關于理想交流電壓表V的示數U的描述正確的是(　　)
[A] 若開關與觸點1相接,U=BSω
[B] 若開關與觸點1相接,U=
[C] 若開關與觸點2相接,U=BSω
[D] 若開關與觸點2相接,U=BSω
【答案】 BD
【解析】 感應電動勢最大值為Em=BSω,若開關與觸點1相接,有效值為U=E==,可知理想交流電壓表V的示數為,故A錯誤,B正確;若開關與觸點2相接,二極管具有單向導電性,電路中一個周期只有一半時間有電流,可得·=·T,解得U=BSω,可知理想交流電壓表V的示數為BSω,故C錯誤,D正確。
4.(4分)(2024·安徽安慶模擬)如圖甲所示,虛線MN左側空間存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B0,與MN共面、邊長為L的單匝金屬線框abcd以MN為對稱軸放置在紙面內,以角速度ω1繞軸勻速轉動,再將線框在紙面內向右平移L,使線框繞MN以角速度ω2勻速轉動,如圖乙所示,若甲、乙兩圖中線框的熱功率相等,則ω1∶ω2等于(　　)
[A] ∶2 [B] 2∶
[C] ∶2 [D] 2∶
【答案】 A
【解析】 題圖甲中,電動勢的有效值E1=B0×L2ω1=B0L2ω1,題圖乙中,設電動勢有效值為E2,則·T=·+·,解得E2=B0L2ω2,由于兩圖中線框的熱功率相等,則E1=E2,解得ω1∶ω2=∶2,選項A正確。
對點3.交變電流“四值”的比較和應用
5.(6分)(2024·河北張家口模擬)(多選)電容器的額定電壓為電容器兩端所允許施加的最大電壓,如果施加的電壓大于額定電壓值,電容器有可能會被損壞。如圖所示,交流發電機的矩形線圈ABCD在磁感應強度B=0.2 T的勻強磁場中繞垂直于磁場方向的固定軸OO′以角速度ω=50 rad/s勻速轉動,線圈的匝數 n=100,矩形線圈ABCD面積S=0.1 m2,線圈電阻忽略不計。標有“100 V　40 W”的燈泡和額定電壓為100 V的電容器并聯接到線圈兩端,電壓表V和電流表A均為理想電表。下列說法正確的是(　　)
[A] 電容器不可能被擊穿
[B] 燈泡恰好正常發光
[C] 電壓表V的示數約為71 V
[D] 電流表A的示數為零
【答案】 AC
【解析】 電動勢的最大值Em=nBSω,代入數據可得Em=100 V,則電動勢的有效值E== V=50 V≈71 V,電容器的額定電壓為100 V,電容器不會被擊穿,電壓的有效值小于燈泡的額定電壓,燈泡不能正常發光,A正確,B錯誤;電壓表示數為電壓有效值,約為71 V,電容器的充、放電過程使電流表示數不為零,C正確,D錯誤。
6.
(4分)(2024·安徽蕪湖階段練習)如圖所示,磁感應強度大小為B的勻強磁場中,匝數為n、邊長為L的正方形線圈繞垂直于磁場的軸OO′勻速轉動,其角速度為ω,線圈總電阻為r,則(　　)
[A] 理想電流表的示數為
[B] 線圈轉動一周產生的熱量為
[C] 線圈從圖示位置轉動30°過程中,通過導體橫截面的電荷量為
[D] 當線圈與中性面的夾角為45°時,線圈產生的瞬時電動勢為nBL2ω
【答案】 C
【解析】 感應電動勢的有效值為E===,理想電流表的示數為I==,故A錯誤;線圈轉動一周產生的熱量為Q=I2rT=I2r·=,故B錯誤;線圈從題圖所示位置轉動30°過程中,通過導體橫截面的電荷量為q=Δt=Δt===,故C正確;當線圈與中性面的夾角為45°時,線圈產生的瞬時電動勢為E′=nBSωcos 45°=
nBL2ω,故D錯誤。
7.(4分)(2024·安徽合肥期中)如圖,足夠長的兩平行光滑金屬導軌MN、PQ水平放置,間距l=1 m,導軌中間分布有磁感應強度為1 T的勻強磁場,磁場邊界為正弦曲線。一粗細均勻的導體棒以 10 m/s 的速度向右勻速滑動,定值電阻R的阻值為1 Ω,導體棒接入電路的電阻也為1 Ω,二極管D正向電阻為零,反向電阻無窮大,導軌電阻不計,下列說法正確的是(　　)
[A] 理想電壓表示數為25 V
[B] 導體棒運動到圖示位置時,有電流流過電阻R
[C] 導體棒上熱功率為6.25 W
[D] 流經電阻R的最大電流為10 A
【答案】 C
【解析】 導體棒切割磁感線時,產生的最大感應電動勢Em=Blv=1×1×10 V=10 V,由閉合電路歐姆定律可知,流經電阻R的電流最大值為Im== A=5 A,設電流的有效值為I,由二極管的單向導電性和有效值的定義可得()2R·=I2RT,可得流經電阻R的電流有效值為I=2.5 A,可得理想電壓表示數為U=IR=2.5×1 V=2.5 V,A、D錯誤;導體棒運動到題圖所示位置時,由右手定則判定,導體棒上的感應電動勢方向由a到b,二極管反向截止,沒有電流流過電阻R,B錯誤;導體棒中的電流有效值為2.5 A,由焦耳定律可得導體棒上熱功率為P=I2R=2.52×1 W=6.25 W,C正確。
8.(16分)(2024·安徽淮南開學考試)動能回收系統是新能源汽車時代一項重要的技術,其主要原理是利用電磁制動回收動能以替代傳統的剎車制動模式,其能源節省率高達37%。其原理為,當放開油門進行輕制動時,汽車由于慣性會繼續前行,此時回收系統會讓機械組拖拽發電機線圈,切割磁場并產生電流對電池進行供電。設汽車的質量為M,若把動能回收系統的發電機看成理想模型:線圈匝數為N,面積為S,總電阻為r,且近似置于一磁感應強度為B的勻強磁場中。若把整個電池組等效成一外部電阻R,則:
(1)若汽車系統顯示發電機組此時的轉速為n,則此時能向外提供多少有效充電電壓
(2)某廠家研發部為了把能量利用達到最大化,想通過設計“磁回收”懸掛裝置對汽車行駛過程中的微小震動能量回收,實現行駛更平穩、更節能的目的。其裝置設計視圖如圖甲、乙所示,其中,避震筒的直徑為D,震筒內有輻向磁場且匝數為n1的線圈,所處位置磁感應強度均為B0,線圈內阻及充電電路總電阻為R0,外力驅動線圈,使得線圈沿著軸線方向往復運動,其縱向震動速度圖像如圖丙所示,忽略所有的摩擦。試寫出此避震裝置提供的電磁阻力隨時間的表達式。
【答案】 (1)　
(2)F=sin t
【解析】 (1)由線圈轉動產生的交變電流電動勢最大值為Em=NBSω,
由題意得,電動勢的有效值為E=,
由閉合電路歐姆定律可知,電池組獲得的實際充電電壓為U=,
又因ω=2πn,
聯立解得U=。
(2)電磁避震筒通過切割輻向磁場磁感線產生感應電流,其電動勢表達式為e=n1B0πDvy,
由題圖可知,線圈的切割速度函數表達式為
vy=v0sin t,
線圈中的總電流i=,
感應電流產生的安培力與運動方向相反且其大小為F=n1B0iπD,
聯立解得F=sin t。
(
第
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頁
)第1講　交變電流的產生和描述
有一種自行車,它有能向自行車車頭燈泡供電的小型發電機,其原理示意圖如圖甲所示;圖中N、S是一對固定的磁極,磁極間有一固定在絕緣轉軸上的矩形線圈,轉軸的一端有一個與自行車后輪邊緣接觸的摩擦輪。如圖乙所示,當車輪轉動時,因摩擦而帶動摩擦輪轉動,從而使線圈在磁場中轉動而產生電流給車頭燈泡供電。 (1)自行車勻速行駛時線圈中產生的是什么形式的電流 (2)線圈中交變電流的周期與自行車的速度有什么關系 小燈泡亮度與自行車的行駛速度有什么關系 (3)如何求解后輪轉一周的時間里電流方向變化的次數 (4)線圈的匝數與穿過線圈的磁通量的變化率有什么關系
(2024·安徽宿州階段練習)風力發電將成為福建沿海實現“雙碳”目標的重要途徑之一。如圖甲,風力發電裝置呈現風車外形,風吹向葉片驅動風輪機轉動,風輪機帶動內部匝數為N的矩形銅質線圈在水平勻強磁場中,以角速度ω繞垂直于磁場的水平轉軸OO′順時針勻速轉動產生交變電流,發電模型簡化為如圖乙所示。已知N匝線圈產生的感應電動勢的最大值為Em。則(　　)
[A] 當線圈轉到圖示位置時產生的感應電流方向為DCBA
[B] 當線圈轉到豎直位置時電流表的示數為零
[C] 當線圈轉到圖示位置時磁通量的變化率最大
[D] 穿過線圈的最大磁通量為
考點一　交變電流的產生及變化規律
如圖所示,N匝矩形線圈abcd繞中軸在磁感應強度為B的勻強磁場中以角速度ω勻速轉動,線圈的面積為S,從如圖所示(磁場與線圈垂直)的位置開始計時。
(1)試借助導體切割磁感線產生感應電動勢的表達式,推導出線圈產生的感應電動勢隨時間變化的函數表達式。
提示:從中性面開始計時,ab邊切割磁感線產生的瞬時電動勢e1=BL1vsin θ=BL1·ωsin ωt,其中L1、L2分別為ab與ad的長度,ω為線圈勻速轉動的角速度;cd邊產生的電動勢與ab邊的大小相等、方向相同,且兩者串聯,線圈有N匝,故有e=2NBL1·ωsin ωt=NBSωsin ωt。
(2)試借助法拉第電磁感應定律和求導的方法,推導出線圈產生的感應電動勢隨時間變化的函數表達式。
提示:根據法拉第電磁感應定律E=N,可知感應電動勢的大小為磁通量Φ關于時間的一階導數與線圈匝數乘積的絕對值,即e=|NΦ′|。從中性面開始計時,則磁通量關于時間的變化關系式為Φ=BScos ωt,Φ的一階導數Φ′=-BSωsin ωt,對于N匝線圈有e=|NΦ′|=NBSωsin ωt。
1.兩個特殊位置及其特點
中性面位置 與中性面垂直的位置
B⊥S B∥S
Φ=BS最大 Φ=0最小
e=N=0, 最小 e=N=NBSω, 最大
感應電流為零, 方向改變 感應電流最大, 方向不變
2.正弦式交變電流的變化規律(線圈在中性面位置開始計時)
物理量 函數表達式 圖像
磁通量 Φ=Φmcos ωt =BScos ωt
電動勢 e=Emsin ωt =NBSωsin ωt
電壓 u=Umsin ωt =sin ωt
電流 i=Imsin ωt =sin ωt
3.電流方向的改變
線圈通過中性面時,電流方向發生改變,一個周期內線圈通過中性面兩次,電流的方向改變兩次。
[例1]
【交變電流的產生及表達式的書寫】 (2024·湖南長沙階段練習)如圖為交流發電機的示意圖,矩形線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場的軸OO′勻速轉動,發電機的電動勢隨時間的變化規律為e=20sin(100πt)V。下列說法正確的是(　　)
[A] 此交流的頻率為100 Hz
[B] 此交流電動勢的有效值為20 V
[C] 當線圈平面轉到圖示位置時產生的電動勢最大
[D] 當線圈平面轉到平行于磁場的位置時磁通量的變化率最大
[例2] 【交變電流的圖像】 (2024·山東卷,8)如圖甲所示,在-d≤x≤d,-d ≤y≤d的區域中存在垂直于xOy平面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場(用陰影表示磁場的區域),邊長為2d的正方形線圈與磁場邊界重合。線圈以y軸為轉軸勻速轉動時,線圈中產生的交變電動勢如圖乙所示。若僅磁場的區域發生了變化,線圈中產生的電動勢變為圖丙所示實線部分,則變化后磁場的區域可能為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
考點二　交變電流有效值的求解
1.交變電流有效值的計算
(1)計算有效值時要根據電流的熱效應,抓住“三同”:“相同時間”內“相同電阻”上產生“相同熱量”。先分段計算熱量,求和得出一個周期內產生的總熱量,然后根據Q總=I2RT或Q總=T列式求解。
(2)若圖像部分是正弦(或余弦)式交變電流,其中的周期(必須是從零至最大值或從最大值至零)和周期部分可直接應用正弦式交變電流的有效值與最大值之間的關系I=,U=求解。
2.幾種典型的電流(電壓)圖像及其有效值
電流名稱 圖像 有效值
正弦式 交變電流 I=
正弦半 波電流 I=
正弦單向 脈沖電流 I=
矩形脈 沖電流 I=
非對稱性 交變電流 I=
[例3] 【有效值的理解】 (2024·陜西渭南一模)(多選)某同學自制了一個手搖交流發電機,如圖所示。大輪與小輪通過皮帶傳動(皮帶不打滑),半徑之比為4∶1,小輪與線圈固定在同一轉軸上。線圈是由漆包線繞制而成的邊長為L的正方形,共n匝,總阻值為R。磁體間磁場可視為磁感應強度大小為B的勻強磁場。大輪以角速度ω勻速轉動,帶動小輪及線圈繞轉軸轉動,轉軸與磁場方向垂直。線圈通過導線、滑環和電刷連接一個阻值恒為R的燈泡。假設發電時燈泡能發光且工作在額定電壓U0以內,下列說法正確的是(　　)
[A] 大輪轉動的角速度ω不能超過
[B] 燈泡兩端電壓有效值為 nBL2ω
[C] 若用總長為原來2倍的漆包線重新繞制邊長仍為L的多匝正方形線圈,則燈泡變得
更亮
[D] 若僅將小輪半徑變為原來的2倍,則燈泡變得更亮
[例4] 【有效值的計算】 (2024·河北卷,4)R1、R2為兩個完全相同的定值電阻,R1兩端的電壓隨時間周期性變化的規律如圖甲所示(三角形脈沖交流電壓的峰值是有效值的倍),R2兩端的電壓隨時間按正弦規律變化如圖乙所示,則兩電阻在一個周期T內產生的熱量之比Q1∶Q2為(　　)
[A] 2∶3 [B] 4∶3
[C] 2∶ [D] 5∶4
考點三　交變電流“四值”的比較和應用
交變電流“四值”的比較和應用
項目 物理含義 重要關系 應用情況 及說明
瞬時 值 交變電流某一時刻的值 e=Emsin ωt i=Imsin ωt 計算線圈某時刻的受力情況
峰值 最大的瞬時值 Em=NBSω Im= 討論電容器的擊穿電壓
有效 值 跟交變電流的熱效應等效的恒定電流的值 E= U= I= 適用于正弦式交變電流 (1)交流電流表、交流電壓表的示數。 (2)電氣設備“銘牌”上所標的值(如額定電壓、額定電流等)。 (3)計算與電流的熱效應有關的量(如電功、電功率、電熱、保險絲的熔斷電流等)。 (4)沒有特別加以說明的指有效值
平均 值 交變電流圖像中圖線與時間軸所圍的面積與時間的比值 =n = 計算通過導線橫截面的電荷量
[例5]
【交變電流“四值”的簡單應用】 (2024·安徽合肥期末)某種風力發電機的原理如圖所示。發電機的線圈固定,磁體在葉片驅動下繞線圈對稱軸勻速轉動的角速度為ω。已知磁體間的磁場近似為勻強磁場,磁感應強度的大小為B,線圈的匝數為N、面積為S。下列說法正確的是(　　)
[A] 線圈中感應電動勢的有效值E=
[B] 1 s內線圈中感應電流的方向改變次
[C] 當線圈處在圖中所示的位置時,線圈中的感應電動勢達到最大值
[D] 以圖中線圈所處位置開始計時,線圈中感應電動勢的瞬時值表達式為e=NBSωcos ωt
[例6]
【交變電流“四值”的計算】 (2024·湖南衡陽期末)用長度為L,橫截面面積為S、電阻率為ρ的金屬絲制成正方形線框abcd,然后置于磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場中,如圖所示,繞與ab邊重合的固定軸從中性面開始沿圖示方向逆時針勻速轉動,轉動的角速度為ω,下列說法正確的是(　　)
[A] 線框從圖示位置轉過的過程中,線框中電流的方向為a→d→c→b→a
[B] 線框中感應電流的有效值為
[C] 線框轉過一周的過程中,產生的焦耳熱為
[D] 線框從圖示位置轉過半圈的過程中,通過線框某一橫截面的電荷量為0
交變電流“四值”應用的注意事項
(1)在解答有關交變電流的問題時,要注意電路結構。
(2)注意區分交變電流的峰值、瞬時值、有效值和平均值,峰值是瞬時值中的最大值,有效值是以電流的熱效應來等效定義的。
(3)求解與電能、電熱相關的問題時,一定要用有效值;而求解通過導體某橫截面的電荷量時,一定要用平均值。
(滿分:50分)
對點1.交變電流的產生及變化規律
1.(4分)(2024·江蘇揚州二模)某興趣小組利用地磁場探究交變電流的規律如圖甲所示,線圈在地磁場中勻速轉動,轉軸OO′沿東西方向水平放置,產生的交變電流i隨時間t變化關系圖像如圖乙所示。已知地磁場方向斜向下,則(　　)
[A] 0時刻,線圈在豎直面內
[B] 時刻,線圈在水平面內
[C] 若僅增加轉速,Im變小
[D] 若僅將轉軸沿南北方向水平放置,Im變小
2.(6分)(2024·安徽六安期末)(多選)如圖甲所示,矩形線圈abcd在勻強磁場中勻速轉動可以產生交變電流,其電動勢e隨時間t變化的圖像如圖乙所示,線圈電阻 r=1 Ω,電阻R=9 Ω。則(　　)
[A] t=0.01 s時,線圈平面處于中性面
[B] 線圈轉動一周,電流的方向改變一次
[C] 電阻R兩端電壓為10 V
[D] 電阻R在10 s內產生的熱量為90 J
對點2.交變電流有效值的求解
3.
(6分)(2024·安徽黃山階段練習)(多選)如圖所示,在磁感應強度為B的勻強磁場中,單匝小型發電機線框面積為S,以角速度ω繞垂直于磁感線的軸轉動,下列關于理想交流電壓表V的示數U的描述正確的是(　　)
[A] 若開關與觸點1相接,U=BSω
[B] 若開關與觸點1相接,U=
[C] 若開關與觸點2相接,U=BSω
[D] 若開關與觸點2相接,U=BSω
4.(4分)(2024·安徽安慶模擬)如圖甲所示,虛線MN左側空間存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應強度大小為B0,與MN共面、邊長為L的單匝金屬線框abcd以MN為對稱軸放置在紙面內,以角速度ω1繞軸勻速轉動,再將線框在紙面內向右平移L,使線框繞MN以角速度ω2勻速轉動,如圖乙所示,若甲、乙兩圖中線框的熱功率相等,則ω1∶ω2等于(　　)
[A] ∶2 [B] 2∶
[C] ∶2 [D] 2∶
對點3.交變電流“四值”的比較和應用
5.(6分)(2024·河北張家口模擬)(多選)電容器的額定電壓為電容器兩端所允許施加的最大電壓,如果施加的電壓大于額定電壓值,電容器有可能會被損壞。如圖所示,交流發電機的矩形線圈ABCD在磁感應強度B=0.2 T的勻強磁場中繞垂直于磁場方向的固定軸OO′以角速度ω=50 rad/s勻速轉動,線圈的匝數 n=100,矩形線圈ABCD面積S=0.1 m2,線圈電阻忽略不計。標有“100 V　40 W”的燈泡和額定電壓為100 V的電容器并聯接到線圈兩端,電壓表V和電流表A均為理想電表。下列說法正確的是(　　)
[A] 電容器不可能被擊穿
[B] 燈泡恰好正常發光
[C] 電壓表V的示數約為71 V
[D] 電流表A的示數為零
6.
(4分)(2024·安徽蕪湖階段練習)如圖所示,磁感應強度大小為B的勻強磁場中,匝數為n、邊長為L的正方形線圈繞垂直于磁場的軸OO′勻速轉動,其角速度為ω,線圈總電阻為r,則(　　)
[A] 理想電流表的示數為
[B] 線圈轉動一周產生的熱量為
[C] 線圈從圖示位置轉動30°過程中,通過導體橫截面的電荷量為
[D] 當線圈與中性面的夾角為45°時,線圈產生的瞬時電動勢為nBL2ω
7.(4分)(2024·安徽合肥期中)如圖,足夠長的兩平行光滑金屬導軌MN、PQ水平放置,間距l=1 m,導軌中間分布有磁感應強度為1 T的勻強磁場,磁場邊界為正弦曲線。一粗細均勻的導體棒以 10 m/s 的速度向右勻速滑動,定值電阻R的阻值為1 Ω,導體棒接入電路的電阻也為1 Ω,二極管D正向電阻為零,反向電阻無窮大,導軌電阻不計,下列說法正確的是(　　)
[A] 理想電壓表示數為25 V
[B] 導體棒運動到圖示位置時,有電流流過電阻R
[C] 導體棒上熱功率為6.25 W
[D] 流經電阻R的最大電流為10 A
8.(16分)(2024·安徽淮南開學考試)動能回收系統是新能源汽車時代一項重要的技術,其主要原理是利用電磁制動回收動能以替代傳統的剎車制動模式,其能源節省率高達37%。其原理為,當放開油門進行輕制動時,汽車由于慣性會繼續前行,此時回收系統會讓機械組拖拽發電機線圈,切割磁場并產生電流對電池進行供電。設汽車的質量為M,若把動能回收系統的發電機看成理想模型:線圈匝數為N,面積為S,總電阻為r,且近似置于一磁感應強度為B的勻強磁場中。若把整個電池組等效成一外部電阻R,則:
(1)若汽車系統顯示發電機組此時的轉速為n,則此時能向外提供多少有效充電電壓
(2)某廠家研發部為了把能量利用達到最大化,想通過設計“磁回收”懸掛裝置對汽車行駛過程中的微小震動能量回收,實現行駛更平穩、更節能的目的。其裝置設計視圖如圖甲、乙所示,其中,避震筒的直徑為D,震筒內有輻向磁場且匝數為n1的線圈,所處位置磁感應強度均為B0,線圈內阻及充電電路總電阻為R0,外力驅動線圈,使得線圈沿著軸線方向往復運動,其縱向震動速度圖像如圖丙所示,忽略所有的摩擦。試寫出此避震裝置提供的電磁阻力隨時間的表達式。
(
第
18
頁
)(共46張PPT)
高中總復習·物理
第1講　
交變電流的產生和描述
情境導思
有一種自行車,它有能向自行車車頭燈泡供電的小型發電機,其原理示意圖如圖甲所示;圖中N、S是一對固定的磁極,磁極間有一固定在絕緣轉軸上的矩形線圈,轉軸的一端有一個與自行車后輪邊緣接觸的摩擦輪。如圖乙所示,當車輪轉動時,因摩擦而帶動摩擦輪轉動,從而使線圈在磁場中轉動而產生電流給車頭燈泡供電。
(1)自行車勻速行駛時線圈中產生的是什么形式的電流
(2)線圈中交變電流的周期與自行車的速度有什么關系 小燈泡亮度與自行車的行駛速度有什么關系
(3)如何求解后輪轉一周的時間里電流方向變化的次數
(4)線圈的匝數與穿過線圈的磁通量的變化率有什么關系
知識構建
小題試做
(2024·安徽宿州階段練習)風力發電將成為福建沿海實現“雙碳”目標的重要途徑之一。如圖甲,風力發電裝置呈現風車外形,風吹向葉片驅動風輪機轉動,風輪機帶動內部匝數為N的矩形銅質線圈在水平勻強磁場中,以角速度ω繞垂直于磁場的水平轉軸OO′順時針勻速轉動產生交變電流,發電模型簡化為如圖乙所示。已知N匝線圈產生的感應電動勢的最大值為Em。則(　　)
[A] 當線圈轉到圖示位置時產生的感應電流方向為DCBA
[B] 當線圈轉到豎直位置時電流表的示數為零
[C] 當線圈轉到圖示位置時磁通量的變化率最大
C
如圖所示,N匝矩形線圈abcd繞中軸在磁感應強度為B的勻強磁場中以角速度ω勻速轉動,線圈的面積為S,從如圖所示(磁場與線圈垂直)的位置開始計時。
(1)試借助導體切割磁感線產生感應電動勢的表達式,推導出線圈產生的
感應電動勢隨時間變化的函數表達式。
(2)試借助法拉第電磁感應定律和求導的方法,推導出線圈產生的感應電動勢隨時間變化的函數表達式。
1.兩個特殊位置及其特點
2.正弦式交變電流的變化規律(線圈在中性面位置開始計時)
3.電流方向的改變
線圈通過中性面時,電流方向發生改變,一個周期內線圈通過中性面兩次,電流的方向改變兩次。
[例1] 【交變電流的產生及表達式的書寫】 (2024·湖南長沙階段練習)如圖為交流發電機的示意圖,矩形線圈在勻強磁場中繞垂直于磁場的軸OO′勻速轉動,發電機的電動勢隨時間的變化規律為e=20sin(100πt)V。下列說法正確的是(　　)
[A] 此交流的頻率為100 Hz
[B] 此交流電動勢的有效值為20 V
[C] 當線圈平面轉到圖示位置時產生的電動勢最大
[D] 當線圈平面轉到平行于磁場的位置時磁通量的變化率最大
D
[例2] 【交變電流的圖像】 (2024·山東卷,8)如圖甲所示,在-d≤x≤d,-d ≤y≤d的區域中存在垂直于xOy平面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場(用陰影表示磁場的區域),邊長為2d的正方形線圈與磁場邊界重合。線圈以y軸為轉軸勻速轉動時,線圈中產生的交變電動勢如圖乙所示。若僅磁場的區域發生了變化,線圈中產生的電動勢變為圖丙所示實線部分,則變化后磁場的區域可能為(　　)
C
[A] [B] [C] [D]
1.交變電流有效值的計算
2.幾種典型的電流(電壓)圖像及其有效值
電流名稱 圖像 有效值
正弦式 交變電流
正弦半 波電流
正弦單向 脈沖電流
矩形脈 沖電流
非對稱性 交變電流
[例3] 【有效值的理解】 (2024·陜西渭南一模)(多選)某同學自制了一個手搖交流發電機,如圖所示。大輪與小輪通過皮帶傳動(皮帶不打滑),半徑之比為4∶1,小輪與線圈固定在同一轉軸上。線圈是由漆包線繞制而成的邊長為L的正方形,共n匝,總阻值為R。磁體間磁場可視為磁感應強度大小為B的勻強磁場。大輪以角速度ω勻速轉動,帶動小輪及線圈繞轉軸轉動,轉軸與磁場方向垂直。線圈通過導線、滑環和電刷連接一個阻值恒為R的燈泡。假設發電時燈泡能發光且工作在額定電壓U0以內,下列說法正確的是(　 　)
BC
B
交變電流“四值”的比較和應用
[例5] 【交變電流“四值”的簡單應用】 (2024·安徽合肥期末)某種風力發電機的原理如圖所示。發電機的線圈固定,磁體在葉片驅動下繞線圈對稱軸勻速轉動的角速度為ω。已知磁體間的磁場近似為勻強磁場,磁感應強度的大小為B,線圈的匝數為N、面積為S。下列說法正確的是(　　)
A
[例6] 【交變電流“四值”的計算】 (2024·湖南衡陽期末)用長度為L,橫截面面積為S、電阻率為ρ的金屬絲制成正方形線框abcd,然后置于磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場中,如圖所示,繞與ab邊重合的固定軸從中性面開始沿圖示方向逆時針勻速轉動,轉動的角速度為ω,下列說法正確的是(　　 )
C
方法點撥
交變電流“四值”應用的注意事項
(1)在解答有關交變電流的問題時,要注意電路結構。
(2)注意區分交變電流的峰值、瞬時值、有效值和平均值,峰值是瞬時值中的最大值,有效值是以電流的熱效應來等效定義的。
(3)求解與電能、電熱相關的問題時,一定要用有效值;而求解通過導體某橫截面的電荷量時,一定要用平均值。
基礎對點練
對點1.交變電流的產生及變化規律
1.(4分)(2024·江蘇揚州二模)某興趣小組利用地磁場探究交變電流的規律如圖甲所示,線圈在地磁場中勻速轉動,轉軸OO′沿東西方向水平放置,產生的交變電流i隨時間t變化關系圖像如圖乙所示。已知地磁場方向斜向下,則(　　)
D
2.(6分)(2024·安徽六安期末)(多選)如圖甲所示,矩形線圈abcd在勻強磁場中勻速轉動可以產生交變電流,其電動勢e隨時間t變化的圖像如圖乙所示,線圈電阻 r=1 Ω,電阻R=9 Ω。則(　 　)
[A] t=0.01 s時,線圈平面處于中性面
[B] 線圈轉動一周,電流的方向改變一次
[C] 電阻R兩端電壓為10 V
[D] 電阻R在10 s內產生的熱量為90 J
AD
對點2.交變電流有效值的求解
3.(6分)(2024·安徽黃山階段練習)(多選)如圖所示,在磁感應強度為B的勻強磁場中,單匝小型發電機線框面積為S,以角速度ω繞垂直于磁感線的軸轉動,下列關于理想交流電壓表V的示數U的描述正確的是(　 　)
BD
A
對點3.交變電流“四值”的比較和應用
5.(6分)(2024·河北張家口模擬)(多選)電容器的額定電壓為電容器兩端所允許施加的最大電壓,如果施加的電壓大于額定電壓值,電容器有可能會被損壞。如圖所示,交流發電機的矩形線圈ABCD在磁感應強度B=0.2 T的勻強磁場中繞垂直于磁場方向的固定軸OO′以角速度ω=50 rad/s勻速轉動,線圈的匝數 n=100,矩形線圈ABCD面積S=0.1 m2,線圈電阻忽略不計。標有“100 V　40 W”的燈泡和額定電壓為100 V的電容器并聯接到線圈兩端,電壓表V和電流表A均為理想電表。下列說法正確的是(　 　)
[A] 電容器不可能被擊穿
[B] 燈泡恰好正常發光
[C] 電壓表V的示數約為71 V
[D] 電流表A的示數為零
AC
C
7.(4分)(2024·安徽合肥期中)如圖,足夠長的兩平行光滑金屬導軌MN、PQ水平放置,間距l=1 m,導軌中間分布有磁感應強度為1 T的勻強磁場,磁場邊界為正弦曲線。一粗細均勻的導體棒以 10 m/s 的速度向右勻速滑動,定值電阻R的阻值為1 Ω,導體棒接入電路的電阻也為1 Ω,二極管D正向電阻為零,反向電阻無窮大,導軌電阻不計,下列說法正確的是(　　)
[A] 理想電壓表示數為25 V
[B] 導體棒運動到圖示位置時,有電流流過電阻R
[C] 導體棒上熱功率為6.25 W
[D] 流經電阻R的最大電流為10 A
C
綜合提升練
8.(16分)(2024·安徽淮南開學考試)動能回收系統是新能源汽車時代一項重要的技術,其主要原理是利用電磁制動回收動能以替代傳統的剎車制動模式,其能源節省率高達37%。其原理為,當放開油門進行輕制動時,汽車由于慣性會繼續前行,此時回收系統會讓機械組拖拽發電機線圈,切割磁場并產生電流對電池進行供電。設汽車的質量為M,若把動能回收系統的發電機看成理想模型:線圈匝數為N,面積為S,總電阻為r,且近似置于一磁感應強度為B的勻強磁場中。若把整個電池組等效成一外部電阻
R,則:
(1)若汽車系統顯示發電機組此時的轉速為n,則此時能向外提供多少有效充電電壓
(2)某廠家研發部為了把能量利用達到最大化,想通過設計“磁回收”懸掛裝置對汽車行駛過程中的微小震動能量回收,實現行駛更平穩、更節能的目的。其裝置設計視圖如圖甲、乙所示,其中,避震筒的直徑為D,震筒內有輻向磁場且匝數為n1的線圈,所處位置磁感應強度均為B0,線圈內阻及充電電路總電阻為R0,外力驅動線圈,使得線圈沿著軸線方向往復運動,其縱向震動速度圖像如圖丙所示,忽略所有的摩擦。試寫出此避震裝置提供的電磁阻力隨時間的表達式。

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