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第3講　小專題:帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)　多解問(wèn)題
考點(diǎn)一　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題
1.解答帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題的方法技巧
找突 破口 許多臨界問(wèn)題,題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給以暗示,審題時(shí),一定要抓住這些特定的詞語(yǔ),挖掘其隱藏的規(guī)律,找出臨界條件
兩種 思路 (1)以定理、定律為依據(jù),首先求出所研究問(wèn)題的一般規(guī)律和一般解的形式,然后分析、討論處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解。 (2)直接分析、討論臨界狀態(tài),找出臨界條件,從而通過(guò)臨界條件求出臨界值
六種 方法 (1)用臨界條件求極值。 (2)用邊界條件求極值。 (3)用三角函數(shù)求極值。 (4)用二次方程的判別式求極值。 (5)用不等式的性質(zhì)求極值。 (6)用圖像法求極值
三個(gè) 結(jié)論 (1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。 (2)當(dāng)速率v一定時(shí),由t=知,弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng),帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng);當(dāng)周期T一定時(shí),由t=T知,圓心角越大,帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。 (3)在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于磁場(chǎng)區(qū)域圓半徑,入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為磁場(chǎng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),軌跡對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大(所有的弦長(zhǎng)中直徑最長(zhǎng))
2.臨界問(wèn)題的一般解題流程
[例1] 【磁感應(yīng)強(qiáng)度的極值問(wèn)題】 (2024·貴州貴陽(yáng)模擬)(多選)如圖所示的直角三角形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(包括邊界,圖中未畫出),∠ACB=30°,一帶正電的粒子由AC中點(diǎn)以速率v0沿垂直于AC方向射入磁場(chǎng),經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從AC邊離開(kāi)磁場(chǎng),已知AB=L,粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q,粒子重力忽略不計(jì)。則下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可能為
[B] 磁感應(yīng)強(qiáng)度最小時(shí),粒子的出射點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為
[C] 從AC邊離開(kāi)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為
[D] 當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度取粒子從AC邊離開(kāi)磁場(chǎng)的最小值時(shí),增大粒子的入射速度,粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間縮短
【答案】 BD
【解析】 根據(jù)題意,由牛頓第二定律有qv0B=m,解得r=,可知,半徑越大,磁感應(yīng)強(qiáng)度越小,粒子能從AC邊離開(kāi)磁場(chǎng)的臨界軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系可得OC=2r,AC=2AB=2L,解得CD=r=L,則有r=≤,解得B≥,故A錯(cuò)誤,B正確;粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期為T==,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=·T=,從AC邊離開(kāi)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t==≤,故C錯(cuò)誤;當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度取粒子從AC邊離開(kāi)磁場(chǎng)的最小值時(shí),增大粒子的入射速度,粒子運(yùn)動(dòng)半徑增大,則粒子從BC邊離開(kāi)磁場(chǎng),速度越大,運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角θ越小,粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短,故D正確。
[例2] 【速度的極值問(wèn)題】 (2024·湖南長(zhǎng)沙一模)來(lái)自太陽(yáng)和其他星體的宇宙射線含有大量高能帶電粒子,若這些粒子都到達(dá)地面,將會(huì)對(duì)地球上的生命帶來(lái)危害。但由于地磁場(chǎng)的存在改變了宇宙射線中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向,使得很多高能帶電粒子不能到達(dá)地面。為研究地磁場(chǎng),某研究小組模擬了一個(gè)地磁場(chǎng),如圖所示,半徑分別為R、2R的兩個(gè)同心圓,圓心為O,大圓和小圓之間有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,一個(gè)不計(jì)重力、比荷為k的帶正電粒子從大圓邊緣的A點(diǎn)沿與AO連線成θ(0°<θ<30°)角、以速度v射入磁場(chǎng),要使粒子不進(jìn)入小圓,則v的最大值為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 作出粒子的臨界圖像,如圖所示,粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),結(jié)合余弦定理有(r+R)2=r2+(2R)2-2r·2Rcos(-θ),整理有r=,粒子在磁場(chǎng)中,洛倫茲力提供向心力有qvB=m,由題意知,其比荷為k,解得v=,所以其最大值為。故A正確。
[例3] 【運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值問(wèn)題】(2024·湖北卷,7)如圖所示,在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。圓形區(qū)域外有大小相等、方向相反、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子沿直徑AC方向從A點(diǎn)射入圓形區(qū)域。不計(jì)重力,下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能經(jīng)過(guò)O點(diǎn)
[B] 粒子射出圓形區(qū)域時(shí)的速度方向不一定沿該區(qū)域的半徑方向
[C] 粒子連續(xù)兩次由A點(diǎn)沿AC方向射入圓形區(qū)域的最小時(shí)間間隔為
[D] 若粒子從A點(diǎn)射入到從C點(diǎn)射出圓形區(qū)域用時(shí)最短,粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為
【答案】 D
【解析】 根據(jù)帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)可知粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡不可能經(jīng)過(guò)O點(diǎn),粒子射出圓形區(qū)域時(shí)的速度方向一定沿該區(qū)域的半徑方向,故A、B錯(cuò)誤;粒子連續(xù)兩次由A點(diǎn)沿AC方向射入圓形區(qū)域,時(shí)間最短,則根據(jù)對(duì)稱性可知軌跡如圖甲所示,
則最短時(shí)間有t=2T=,故C錯(cuò)誤;粒子從A點(diǎn)射入到從C點(diǎn)射出圓形區(qū)域用時(shí)最短,則軌跡如圖乙所示,
設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r,根據(jù)幾何關(guān)系可知r=,根據(jù)洛倫茲力提供向心力,有qvB=m,可得v=,故D正確。
考點(diǎn)二　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題
多解問(wèn)題的幾種情況
多解分類 多解原因 示意圖
帶電粒子電性不確定 帶電粒子可能帶正電,也可能帶負(fù)電,電性不同時(shí),粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡不同
磁場(chǎng)方向不確定 題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向,必須考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向有兩種情況
臨界狀態(tài)不唯一 帶電粒子在飛越有界磁場(chǎng)時(shí),可能直接穿過(guò)去了,也可能從入射界面反向飛出
運(yùn)動(dòng)的周期性 帶電粒子在空間運(yùn)動(dòng)時(shí),往往具有周期性
[例4] 【運(yùn)動(dòng)方向不確定形成多解】 (2024·遼寧大連階段練習(xí))(多選)如圖所示,圓心為O、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。M為磁場(chǎng)邊界上一點(diǎn),有無(wú)數(shù)個(gè)帶電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m的相同粒子(不計(jì)重力及粒子間相互作用)在紙面內(nèi)向各個(gè)方向以相同的速率通過(guò)M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,N為磁場(chǎng)邊界上的另一個(gè)點(diǎn),MN=R。下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v=
[B] 從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
[C] 若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增加到 B,會(huì)有粒子沿ON方向從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)
[D] 若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增加到2B,劣弧MN的每一點(diǎn)都會(huì)有粒子射出
【答案】 BC
【解析】 由題意可知,帶電粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng),在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的圓弧所對(duì)應(yīng)的弦應(yīng)是圓形磁場(chǎng)的直徑,如圖甲所示,
設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速率為v,運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑為r1,由洛倫茲力提供向心力可得qvB=m,解得v=,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T==,因在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,則粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t1=T,可知粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)的圓弧所對(duì)的圓心角為θ1=,可得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r1=R,可得粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v=,A錯(cuò)誤;從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示,
設(shè)運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑為r2,可得qvB=m,解得r2==R,由幾何關(guān)系可知θ2=,則從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2=T=,B正確;若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增加到 B時(shí),粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖丙所示,
由洛倫茲力提供向心力,可得qv·B=m,解得r3==R,由圖可知O3N⊥ON,則粒子沿ON方向從N點(diǎn)射出磁場(chǎng),C正確;若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增加到2B,可知粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為r4==,由C選項(xiàng)的解析可知,當(dāng)粒子的軌跡半徑是時(shí),設(shè)粒子打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)為A,則AM為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的直徑為R,因此劣弧MN上的一部分點(diǎn)會(huì)有粒子射出,D錯(cuò)誤。
[例5] 【運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解】 (2024·山東濟(jì)寧階段練習(xí))(多選)如圖所示,邊長(zhǎng)為3L的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng),三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外,兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。頂點(diǎn)A處有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子,粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為+q,不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力,則發(fā)射速度v0為哪些值時(shí)粒子能通過(guò)B點(diǎn)(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 粒子可能的軌跡如圖所示。
由幾何關(guān)系得n·2Rsin 30°=3L(n=1,2,3,…),由牛頓第二定律得qv0B=m,聯(lián)立解得v0=(n=1,2,3,…)。當(dāng)n=1時(shí),v0=;當(dāng)n=3時(shí),v0=,粒子可以通過(guò)B點(diǎn),故A、C符合題意,B、D不符合題意。
(滿分:50分)
對(duì)點(diǎn)1.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題
1.(4分)宇宙射線中含有大量的質(zhì)子,為防止質(zhì)子對(duì)航天員的危害,某科研團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了如圖甲所示的防護(hù)裝置,圖乙為其截面圖。半徑為R的圓柱形區(qū)域是航天員的防護(hù)區(qū),在半徑分別為R和2R的同心圓柱之間加有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知質(zhì)子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的速率均為v0,電荷量為e,質(zhì)量為m。不計(jì)質(zhì)子間相互作用。若垂直磁場(chǎng)入射的所有質(zhì)子都無(wú)法進(jìn)入防護(hù)區(qū),則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小至少為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】為使所有垂直磁場(chǎng)入射的速率為v0的質(zhì)子都不進(jìn)入防護(hù)區(qū),半徑最大的質(zhì)子軌跡如圖,則質(zhì)子的半徑最大為 r==,由洛倫茲力提供向心力可知ev0Bmin=m,解得磁感應(yīng)強(qiáng)度大小至少為Bmin=,故A正確。
2.(4分)(2025·廣東深圳模擬)如圖所示,半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于圓所在的平面。一速率為v0的帶電粒子從圓周上的A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng),入射點(diǎn)A與出射點(diǎn)B間的圓弧AB為整個(gè)圓周的三分之一。現(xiàn)有一群該粒子從A點(diǎn)沿該平面以任意方向射入磁場(chǎng),已知粒子速率均為v0,忽略粒子間的相互作用,不計(jì)粒子重力,則粒子在磁場(chǎng)中最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),設(shè)速率為v0的帶電粒子的運(yùn)動(dòng)半徑為r1,其軌跡如圖中弧AB所示。由題意可知∠AOB=120°,由幾何關(guān)系可得θ=30°,圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r1==R。由洛倫茲力提供向心力可得qvB=m,可得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=,可知粒子運(yùn)動(dòng)半徑與速率成正比,則速率為v0的粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑為r2=r1=2R,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的弦為磁場(chǎng)區(qū)域圓的直徑,粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中的弧AC,則滿足sin β=,可得β=30°,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T==,粒子在磁場(chǎng)中最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=T=,故C正確。
3.(4分)(2024·安徽馬鞍山三模)如圖所示,勻強(qiáng)磁場(chǎng)范圍足夠大且方向垂直于紙面向里,在紙面內(nèi)有P、M、N三點(diǎn),P、M間的距離為L(zhǎng),PM連線與MN間的夾角為30°。從P點(diǎn)平行于MN向左發(fā)射速率為v0的帶正電粒子,恰好經(jīng)過(guò)M、N,粒子質(zhì)量為m、電荷量為q,不計(jì)粒子重力,則(　　)
[A] 磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為
[B] M、N間距離為
[C] 粒子從P運(yùn)動(dòng)到N的時(shí)間為
[D] 粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,距MN的最大距離為
【答案】 D
【解析】 根據(jù)題意作出運(yùn)動(dòng)軌跡,如圖所示,根據(jù)幾何關(guān)系,可知∠POM=60°,則軌跡半徑R=L,由于洛倫茲力提供向心力,則有qv0B=m,解得B=,故A錯(cuò)誤;根據(jù)幾何關(guān)系,M、N間距離為xMN=2Lcos 30°=L,故B錯(cuò)誤;粒子從P運(yùn)動(dòng)到N對(duì)應(yīng)的圓心角θ=300°,粒子運(yùn)動(dòng)周期T=,則經(jīng)歷時(shí)間為t=T,解得t=,故C錯(cuò)誤;根據(jù)軌跡圖像可知,當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)至與P點(diǎn)關(guān)于圓心對(duì)稱位置時(shí),距MN的距離最大,xm=2R-Lsin 30°=,故D正確。
4.(4分)(2024·河南周口階段練習(xí))一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外,其下邊界如圖中虛線所示,P、M、N、Q四點(diǎn)共線,∠MON為直角,OM=ON=MP。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子,在紙面內(nèi)從P點(diǎn)垂直于PM射入磁場(chǎng),這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用。則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的范圍是(　　)
[A] ≤t≤ [B] ≤t≤
[C] ≤t≤ [D] ≤t≤
【答案】 B
【解析】 粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力有qvB=,粒子做完整的圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=,若粒子打到PM上,運(yùn)動(dòng)軌跡為半圓,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1==,若粒子打到MO上,粒子速率越大,運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧的圓心越接近M點(diǎn),對(duì)應(yīng)圓心角越小,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短,當(dāng)落點(diǎn)為O時(shí),軌跡圓弧圓心角為135°,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2==,若粒子打到ON上,運(yùn)動(dòng)時(shí)間隨粒子速率的增大而增大,從增大到;若粒子打到NQ上,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的范圍是≤t≤,故B正確。
對(duì)點(diǎn)2.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題
5.(6分)(2024·山西晉中三模)(多選)如圖所示,有以O(shè)為圓心,半徑分別為R1、R2的同心圓,R1=2R0,R2=R0,在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子從內(nèi)圓上的A點(diǎn)以速度v0垂直磁場(chǎng)進(jìn)入該區(qū)域,之后從OA的延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C射出,方向與OA延長(zhǎng)線成30°角,不計(jì)粒子重力,下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 環(huán)形區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為
[B] 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
[C] 若粒子從A點(diǎn)垂直磁場(chǎng)進(jìn)入時(shí)的速度大小為v,方向不確定,要使粒子一定能夠從外圓射出,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小需小于
[D] 若粒子從A點(diǎn)垂直磁場(chǎng)進(jìn)入時(shí)的速度大小為v,方向不確定,要使粒子一定能夠從外圓射出,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小需小于
【答案】 AD
【解析】 如圖甲,由幾何關(guān)系可得粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=R0,則由Bqv=m可得B=,A正確;A到C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=,T=可得t=,B錯(cuò)誤;磁感應(yīng)強(qiáng)度越大,軌道半徑越小,如圖乙由臨界關(guān)系可得r1=R0,則B1=,r2=R0,則B2=,則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小需小于,C錯(cuò)誤,D正確。
6.(4分)(2025·湖北黃岡模擬)如圖所示,三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,∠C=30°,∠D=45°,AO垂直于CD,OA長(zhǎng)度為L(zhǎng)。O點(diǎn)有一電子源,在ACD平面向磁場(chǎng)內(nèi)各個(gè)方向均勻發(fā)射速度大小均為v0的電子,速度方向用與OC的夾角θ表示,電子質(zhì)量為m,電荷量為-e,且滿足v0=,下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 從AC邊射出的電子占總電子數(shù)的六分之一
[B] 從AD邊射出的電子占總電子數(shù)的二分之一
[C] 從OD邊射出的電子占總電子數(shù)的三分之一
[D] 所有從AC邊射出的電子中,當(dāng)θ=30°時(shí),所用的時(shí)間最短
【答案】 B
【解析】 由于粒子源發(fā)射的電子速率相同,電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),洛倫茲力提供向心力,有ev0B=m,解得R==L,即所有電子的運(yùn)動(dòng)半徑都相等,由左手定則可知,電子進(jìn)入磁場(chǎng)后順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng),所以其從AC邊射出的一個(gè)臨界位置為從A點(diǎn)射出,此時(shí)θ=60°,如圖所示,
由題意及分析可知,當(dāng)0°≤θ≤60°范圍內(nèi),電子從AC邊上射出,當(dāng)電子從AC邊射出時(shí),由幾何關(guān)系可知從AC邊射出的電子占總電子的=,故A錯(cuò)誤。由題意及分析可知,當(dāng)粒子在60°≤θ≤150°范圍內(nèi),電子從AD邊射出,當(dāng)電子從AD邊射出時(shí),由幾何關(guān)系可知從AD邊射出的電子占總電子的=,故B正確。由題意及分析可知,當(dāng)粒子在150°≤θ≤180°范圍內(nèi),電子從OD邊射出,由幾何關(guān)系可知從OD邊射出的電子占總電子的=,故C錯(cuò)誤。電子運(yùn)動(dòng)的圓心角越小,其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就越短;圓心角所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)越長(zhǎng),其圓心角越大,所以弦長(zhǎng)最小時(shí),所用時(shí)間最短,此時(shí)弦垂直于邊AC,θ≠30°,故D錯(cuò)誤。
7.(6分)(2025·四川南充模擬)(多選)如圖,在以O(shè)O′為軸的范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,從軸上A點(diǎn)與OO′所成的角度不超過(guò)θ(θ<90°)的各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射一束帶電粒子(同一方向只有一個(gè)粒子),粒子的電荷量、質(zhì)量都分別為±q、m,速度大小均為v,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,不計(jì)粒子重力,所有粒子都可看成點(diǎn)電荷且不計(jì)粒子間的相互作用。則(　　)
[A] 這些粒子不會(huì)在OO′軸外的不同地方相碰
[B] 同種電荷不會(huì)在OO′軸外的不同地方相碰
[C] 在圖中紙面內(nèi)向OO′軸上方發(fā)射的帶負(fù)電粒子將在紙面外運(yùn)動(dòng),且都只在OO′軸以上的空間運(yùn)動(dòng)
[D] 如果發(fā)射的粒子均帶同種電荷,當(dāng)θ非常小時(shí),所有粒子都將經(jīng)過(guò)OO′軸上距A點(diǎn)約為處
【答案】 BD
【解析】將粒子的速度沿OO′軸方向和垂直于OO′軸方向分解,可知粒子在沿OO′軸方向上以速度vcos θ做勻速直線運(yùn)動(dòng),而在垂直于OO′軸的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其做圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小為vsin θ,根據(jù)洛倫茲力提供向心力有Bqvsin θ=m,可得粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大小為r=,而粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T==,可知不同的粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同,其軌道半徑大小不同。由于存在大量的兩個(gè)與OO′軸角度相等的帶異種電荷粒子,做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示。由圖可知,異種電荷會(huì)在OO′軸外的不同地方相碰,同理分析可知,同種電荷不會(huì)在OO′軸外的不同地方相碰,故A錯(cuò)誤,B正確;由以上分析及圖可知,故C錯(cuò)誤;如果發(fā)射的粒子帶同種電荷,所有粒子都將經(jīng)過(guò)OO′軸上距A點(diǎn)的距離為s=vcos θ·T=·vcos θ,當(dāng)θ非常小時(shí),cos θ趨近于1,則所有粒子都將經(jīng)過(guò)OO′軸上距A點(diǎn)約為處,故D正確。
8.(18分)(2024·河南南陽(yáng)階段練習(xí))如圖所示,豎直放置的半環(huán)狀A(yù)BCD區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5 T。外環(huán)的半徑R1=16 cm,內(nèi)環(huán)的半徑R2=4 cm,外環(huán)和內(nèi)環(huán)的圓心為O,沿OD放置有照相底片。有一線狀粒子源放在AB正下方(圖中未畫出),不斷放出初速度大小均為v0=1.6×106 m/s、方向垂直于AB和磁場(chǎng)的相同粒子,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),最后打到照相底片上,經(jīng)檢驗(yàn)底片上僅有CD區(qū)域均被粒子打到。不考慮粒子間的相互作用,粒子重力忽略不計(jì),假設(shè)打到磁場(chǎng)邊界的粒子被吸收。
(1)判斷粒子的電性;
(2)求粒子的比荷;
(3)若照相底片沿OP放置,求底片上被粒子打到的區(qū)域的長(zhǎng)度。
【答案】 (1)帶正電　(2)3.2×107 C/kg　(3)2 cm
【解析】 (1)粒子在磁場(chǎng)中向右偏轉(zhuǎn),由左手定則可知,粒子帶正電。
(2)如圖所示,設(shè)粒子的質(zhì)量為m,帶電荷量為q,在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,依題意有
2R=R1+R2,
由牛頓第二定律有qv0B=,
代入數(shù)據(jù)解得=3.2×107 C/kg。
(3)若照相底片沿OP放置,則底片上被粒子打到的區(qū)域長(zhǎng)度為MN的長(zhǎng)度,如圖所示,在△O1OM中,由幾何關(guān)系有
OM2=R2-(R-R2)2,
解得OM=8 cm,
又MN=R-OM,
代入數(shù)據(jù)解得MN=2 cm。
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)第3講　小專題:帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)　多解問(wèn)題
考點(diǎn)一　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題
1.解答帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題的方法技巧
找突 破口 許多臨界問(wèn)題,題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給以暗示,審題時(shí),一定要抓住這些特定的詞語(yǔ),挖掘其隱藏的規(guī)律,找出臨界條件
兩種 思路 (1)以定理、定律為依據(jù),首先求出所研究問(wèn)題的一般規(guī)律和一般解的形式,然后分析、討論處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解。 (2)直接分析、討論臨界狀態(tài),找出臨界條件,從而通過(guò)臨界條件求出臨界值
六種 方法 (1)用臨界條件求極值。 (2)用邊界條件求極值。 (3)用三角函數(shù)求極值。 (4)用二次方程的判別式求極值。 (5)用不等式的性質(zhì)求極值。 (6)用圖像法求極值
三個(gè) 結(jié)論 (1)剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。 (2)當(dāng)速率v一定時(shí),由t=知,弧長(zhǎng)(或弦長(zhǎng))越長(zhǎng),帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng);當(dāng)周期T一定時(shí),由t=T知,圓心角越大,帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)。 (3)在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡圓半徑大于磁場(chǎng)區(qū)域圓半徑,入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為磁場(chǎng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),軌跡對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大(所有的弦長(zhǎng)中直徑最長(zhǎng))
2.臨界問(wèn)題的一般解題流程
[例1] 【磁感應(yīng)強(qiáng)度的極值問(wèn)題】 (2024·貴州貴陽(yáng)模擬)(多選)如圖所示的直角三角形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(包括邊界,圖中未畫出),∠ACB=30°,一帶正電的粒子由AC中點(diǎn)以速率v0沿垂直于AC方向射入磁場(chǎng),經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從AC邊離開(kāi)磁場(chǎng),已知AB=L,粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q,粒子重力忽略不計(jì)。則下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可能為
[B] 磁感應(yīng)強(qiáng)度最小時(shí),粒子的出射點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為
[C] 從AC邊離開(kāi)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間均為
[D] 當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度取粒子從AC邊離開(kāi)磁場(chǎng)的最小值時(shí),增大粒子的入射速度,粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間縮短
[例2] 【速度的極值問(wèn)題】 (2024·湖南長(zhǎng)沙一模)來(lái)自太陽(yáng)和其他星體的宇宙射線含有大量高能帶電粒子,若這些粒子都到達(dá)地面,將會(huì)對(duì)地球上的生命帶來(lái)危害。但由于地磁場(chǎng)的存在改變了宇宙射線中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向,使得很多高能帶電粒子不能到達(dá)地面。為研究地磁場(chǎng),某研究小組模擬了一個(gè)地磁場(chǎng),如圖所示,半徑分別為R、2R的兩個(gè)同心圓,圓心為O,大圓和小圓之間有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,一個(gè)不計(jì)重力、比荷為k的帶正電粒子從大圓邊緣的A點(diǎn)沿與AO連線成θ(0°<θ<30°)角、以速度v射入磁場(chǎng),要使粒子不進(jìn)入小圓,則v的最大值為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
[例3] 【運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值問(wèn)題】(2024·湖北卷,7)如圖所示,在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。圓形區(qū)域外有大小相等、方向相反、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子沿直徑AC方向從A點(diǎn)射入圓形區(qū)域。不計(jì)重力,下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能經(jīng)過(guò)O點(diǎn)
[B] 粒子射出圓形區(qū)域時(shí)的速度方向不一定沿該區(qū)域的半徑方向
[C] 粒子連續(xù)兩次由A點(diǎn)沿AC方向射入圓形區(qū)域的最小時(shí)間間隔為
[D] 若粒子從A點(diǎn)射入到從C點(diǎn)射出圓形區(qū)域用時(shí)最短,粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為
考點(diǎn)二　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題
多解問(wèn)題的幾種情況
多解分類 多解原因 示意圖
帶電粒子電性不確定 帶電粒子可能帶正電,也可能帶負(fù)電,電性不同時(shí),粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡不同
磁場(chǎng)方向不確定 題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向,必須考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向有兩種情況
臨界狀態(tài)不唯一 帶電粒子在飛越有界磁場(chǎng)時(shí),可能直接穿過(guò)去了,也可能從入射界面反向飛出
運(yùn)動(dòng)的周期性 帶電粒子在空間運(yùn)動(dòng)時(shí),往往具有周期性
[例4] 【運(yùn)動(dòng)方向不確定形成多解】 (2024·遼寧大連階段練習(xí))(多選)如圖所示,圓心為O、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。M為磁場(chǎng)邊界上一點(diǎn),有無(wú)數(shù)個(gè)帶電荷量為q(q>0)、質(zhì)量為m的相同粒子(不計(jì)重力及粒子間相互作用)在紙面內(nèi)向各個(gè)方向以相同的速率通過(guò)M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,N為磁場(chǎng)邊界上的另一個(gè)點(diǎn),MN=R。下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率為v=
[B] 從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)的粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
[C] 若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增加到 B,會(huì)有粒子沿ON方向從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)
[D] 若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小增加到2B,劣弧MN的每一點(diǎn)都會(huì)有粒子射出
[例5] 【運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解】 (2024·山東濟(jì)寧階段練習(xí))(多選)如圖所示,邊長(zhǎng)為3L的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng),三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外,兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。頂點(diǎn)A處有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子,粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為+q,不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力,則發(fā)射速度v0為哪些值時(shí)粒子能通過(guò)B點(diǎn)(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(滿分:50分)
對(duì)點(diǎn)1.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題
1.(4分)宇宙射線中含有大量的質(zhì)子,為防止質(zhì)子對(duì)航天員的危害,某科研團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了如圖甲所示的防護(hù)裝置,圖乙為其截面圖。半徑為R的圓柱形區(qū)域是航天員的防護(hù)區(qū),在半徑分別為R和2R的同心圓柱之間加有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知質(zhì)子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的速率均為v0,電荷量為e,質(zhì)量為m。不計(jì)質(zhì)子間相互作用。若垂直磁場(chǎng)入射的所有質(zhì)子都無(wú)法進(jìn)入防護(hù)區(qū),則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小至少為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
2.(4分)(2025·廣東深圳模擬)如圖所示,半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于圓所在的平面。一速率為v0的帶電粒子從圓周上的A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng),入射點(diǎn)A與出射點(diǎn)B間的圓弧AB為整個(gè)圓周的三分之一。現(xiàn)有一群該粒子從A點(diǎn)沿該平面以任意方向射入磁場(chǎng),已知粒子速率均為v0,忽略粒子間的相互作用,不計(jì)粒子重力,則粒子在磁場(chǎng)中最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.(4分)(2024·安徽馬鞍山三模)如圖所示,勻強(qiáng)磁場(chǎng)范圍足夠大且方向垂直于紙面向里,在紙面內(nèi)有P、M、N三點(diǎn),P、M間的距離為L(zhǎng),PM連線與MN間的夾角為30°。從P點(diǎn)平行于MN向左發(fā)射速率為v0的帶正電粒子,恰好經(jīng)過(guò)M、N,粒子質(zhì)量為m、電荷量為q,不計(jì)粒子重力,則(　　)
[A] 磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為
[B] M、N間距離為
[C] 粒子從P運(yùn)動(dòng)到N的時(shí)間為
[D] 粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,距MN的最大距離為
4.(4分)(2024·河南周口階段練習(xí))一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外,其下邊界如圖中虛線所示,P、M、N、Q四點(diǎn)共線,∠MON為直角,OM=ON=MP。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子,在紙面內(nèi)從P點(diǎn)垂直于PM射入磁場(chǎng),這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用。則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的范圍是(　　)
[A] ≤t≤ [B] ≤t≤
[C] ≤t≤ [D] ≤t≤
對(duì)點(diǎn)2.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題
5.(6分)(2024·山西晉中三模)(多選)如圖所示,有以O(shè)為圓心,半徑分別為R1、R2的同心圓,R1=2R0,R2=R0,在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子從內(nèi)圓上的A點(diǎn)以速度v0垂直磁場(chǎng)進(jìn)入該區(qū)域,之后從OA的延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C射出,方向與OA延長(zhǎng)線成30°角,不計(jì)粒子重力,下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 環(huán)形區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為
[B] 粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
[C] 若粒子從A點(diǎn)垂直磁場(chǎng)進(jìn)入時(shí)的速度大小為v,方向不確定,要使粒子一定能夠從外圓射出,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小需小于
[D] 若粒子從A點(diǎn)垂直磁場(chǎng)進(jìn)入時(shí)的速度大小為v,方向不確定,要使粒子一定能夠從外圓射出,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小需小于
6.(4分)(2025·湖北黃岡模擬)如圖所示,三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,∠C=30°,∠D=45°,AO垂直于CD,OA長(zhǎng)度為L(zhǎng)。O點(diǎn)有一電子源,在ACD平面向磁場(chǎng)內(nèi)各個(gè)方向均勻發(fā)射速度大小均為v0的電子,速度方向用與OC的夾角θ表示,電子質(zhì)量為m,電荷量為-e,且滿足v0=,下列說(shuō)法正確的是(　　)
[A] 從AC邊射出的電子占總電子數(shù)的六分之一
[B] 從AD邊射出的電子占總電子數(shù)的二分之一
[C] 從OD邊射出的電子占總電子數(shù)的三分之一
[D] 所有從AC邊射出的電子中,當(dāng)θ=30°時(shí),所用的時(shí)間最短
7.(6分)(2025·四川南充模擬)(多選)如圖,在以O(shè)O′為軸的范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,從軸上A點(diǎn)與OO′所成的角度不超過(guò)θ(θ<90°)的各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射一束帶電粒子(同一方向只有一個(gè)粒子),粒子的電荷量、質(zhì)量都分別為±q、m,速度大小均為v,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,不計(jì)粒子重力,所有粒子都可看成點(diǎn)電荷且不計(jì)粒子間的相互作用。則(　　)
[A] 這些粒子不會(huì)在OO′軸外的不同地方相碰
[B] 同種電荷不會(huì)在OO′軸外的不同地方相碰
[C] 在圖中紙面內(nèi)向OO′軸上方發(fā)射的帶負(fù)電粒子將在紙面外運(yùn)動(dòng),且都只在OO′軸以上的空間運(yùn)動(dòng)
[D] 如果發(fā)射的粒子均帶同種電荷,當(dāng)θ非常小時(shí),所有粒子都將經(jīng)過(guò)OO′軸上距A點(diǎn)約為處
8.(18分)(2024·河南南陽(yáng)階段練習(xí))如圖所示,豎直放置的半環(huán)狀A(yù)BCD區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5 T。外環(huán)的半徑R1=16 cm,內(nèi)環(huán)的半徑R2=4 cm,外環(huán)和內(nèi)環(huán)的圓心為O,沿OD放置有照相底片。有一線狀粒子源放在AB正下方(圖中未畫出),不斷放出初速度大小均為v0=1.6×106 m/s、方向垂直于AB和磁場(chǎng)的相同粒子,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),最后打到照相底片上,經(jīng)檢驗(yàn)底片上僅有CD區(qū)域均被粒子打到。不考慮粒子間的相互作用,粒子重力忽略不計(jì),假設(shè)打到磁場(chǎng)邊界的粒子被吸收。
(1)判斷粒子的電性;
(2)求粒子的比荷;
(3)若照相底片沿OP放置,求底片上被粒子打到的區(qū)域的長(zhǎng)度。
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高中總復(fù)習(xí)·物理
第3講　
小專題:帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)　多解問(wèn)題
1.解答帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題的方法技巧
找突 破口 許多臨界問(wèn)題,題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)給以暗示,審題時(shí),一定要抓住這些特定的詞語(yǔ),挖掘其隱藏的規(guī)律,找出臨界條件
兩種 思路 (1)以定理、定律為依據(jù),首先求出所研究問(wèn)題的一般規(guī)律和一般解的形式,然后分析、討論處于臨界條件時(shí)的特殊規(guī)律和特殊解。
(2)直接分析、討論臨界狀態(tài),找出臨界條件,從而通過(guò)臨界條件求出臨界值
六種 方法 (1)用臨界條件求極值。
(2)用邊界條件求極值。
(3)用三角函數(shù)求極值。
(4)用二次方程的判別式求極值。
(5)用不等式的性質(zhì)求極值。
(6)用圖像法求極值
2.臨界問(wèn)題的一般解題流程
[例1] 【磁感應(yīng)強(qiáng)度的極值問(wèn)題】 (2024·貴州貴陽(yáng)模擬)(多選)如圖所示的直角三角形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(包括邊界,圖中未畫出),∠ACB=30°,一帶正電的粒子由AC中點(diǎn)以速率v0沿垂直于AC方向射入磁場(chǎng),經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從AC邊離開(kāi)磁場(chǎng),已知AB=L,粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q,粒子重力忽略不計(jì)。則下列說(shuō)法正確的是( 　　)
BD
[例2] 【速度的極值問(wèn)題】 (2024·湖南長(zhǎng)沙一模)來(lái)自太陽(yáng)和其他星體的宇宙射線含有大量高能帶電粒子,若這些粒子都到達(dá)地面,將會(huì)對(duì)地球上的生命帶來(lái)危害。但由于地磁場(chǎng)的存在改變了宇宙射線中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向,使得很多高能帶電粒子不能到達(dá)地面。為研究地磁場(chǎng),某研究小組模擬了一個(gè)地磁場(chǎng),如圖所示,半徑分別為R、2R的兩個(gè)同心圓,圓心為O,大圓和小圓之間有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,一個(gè)不計(jì)重力、比荷為k的帶正電粒子從大圓邊緣的A點(diǎn)沿與AO連線成θ(0°<θ<30°)角、以速度v射入磁場(chǎng),要使粒子不進(jìn)入小圓,則v的最大值為(　　)
A
[例3] 【運(yùn)動(dòng)時(shí)間的極值問(wèn)題】(2024·湖北卷,7)如圖所示,在以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。圓形區(qū)域外有大小相等、方向相反、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子沿直徑AC方向從A點(diǎn)射入圓形區(qū)域。不計(jì)重力,下列說(shuō)法正確的是(　　)
D
【解析】 根據(jù)帶電粒子在圓形邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)可知粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡不可能經(jīng)過(guò)O點(diǎn),粒子射出圓形區(qū)域時(shí)的速度方向一定沿該區(qū)域的半徑方向,故A、B錯(cuò)誤;粒子連續(xù)兩次由A點(diǎn)沿AC方向射入圓形區(qū)域,時(shí)間最短,則根據(jù)對(duì)稱性可知軌跡如圖甲所示,
多解問(wèn)題的幾種情況
多解分類 多解原因 示意圖
帶電粒子電性不確定 帶電粒子可能帶正電,也可能帶負(fù)電,電性不同時(shí),粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡不同
磁場(chǎng)方向不確定 題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向,必須考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度方向有兩種情況
臨界狀態(tài)不唯一 帶電粒子在飛越有界磁場(chǎng)時(shí),可能直接穿過(guò)去了,也可能從入射界面反向飛出
運(yùn)動(dòng)的周期性 帶電粒子在空間運(yùn)動(dòng)時(shí),往往具有周期性
BC
【解析】 由題意可知,帶電粒子從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng),在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的圓弧所對(duì)應(yīng)的弦應(yīng)是圓形磁場(chǎng)的直徑,如圖甲所示,
[例5] 【運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解】 (2024·山東濟(jì)寧階段練習(xí))(多選)如圖所示,邊長(zhǎng)為3L的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng),三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外,兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。頂點(diǎn)A處有一粒子源,粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子,粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為+q,不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力,則發(fā)射速度v0為哪些值時(shí)粒子能通過(guò)B點(diǎn)( 　　)
AC
對(duì)點(diǎn)1.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界、極值問(wèn)題
1.(4分)宇宙射線中含有大量的質(zhì)子,為防止質(zhì)子對(duì)航天員的危害,某科研團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了如圖甲所示的防護(hù)裝置,圖乙為其截面圖。半徑為R的圓柱形區(qū)域是航天員的防護(hù)區(qū),在半徑分別為R和2R的同心圓柱之間加有沿軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。已知質(zhì)子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的速率均為v0,電荷量為e,質(zhì)量為m。不計(jì)質(zhì)子間相互作用。若垂直磁場(chǎng)入射的所有質(zhì)子都無(wú)法進(jìn)入防護(hù)區(qū),則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小至少為(　　)
基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練
A
C
3.(4分)(2024·安徽馬鞍山三模)如圖所示,勻強(qiáng)磁場(chǎng)范圍足夠大且方向垂直于紙面向里,在紙面內(nèi)有P、M、N三點(diǎn),P、M間的距離為L(zhǎng),PM連線與MN間的夾角為30°。從P點(diǎn)平行于MN向左發(fā)射速率為v0的帶正電粒子,恰好經(jīng)過(guò)M、N,粒子質(zhì)量為m、電荷量為q,不計(jì)粒子重力,則( 　　)
D
4.(4分)(2024·河南周口階段練習(xí))一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向外,其下邊界如圖中虛線所示,P、M、N、Q四點(diǎn)共線,∠MON為直角,OM=ON=MP。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子,在紙面內(nèi)從P點(diǎn)垂直于PM射入磁場(chǎng),這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用。則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的范圍是(　　)
B
對(duì)點(diǎn)2.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的多解問(wèn)題
5.(6分)(2024·山西晉中三模)(多選)如圖所示,有以O(shè)為圓心,半徑分別為R1、R2的同心圓,R1=2R0,R2=R0,在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子從內(nèi)圓上的A點(diǎn)以速度v0垂直磁場(chǎng)進(jìn)入該區(qū)域,之后從OA的延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C射出,方向與OA延長(zhǎng)線成30°角,不計(jì)粒子重力,下列說(shuō)法正確的是(　　 )
AD
B
[A] 從AC邊射出的電子占總電子數(shù)的六分之一
[B] 從AD邊射出的電子占總電子數(shù)的二分之一
[C] 從OD邊射出的電子占總電子數(shù)的三分之一
[D] 所有從AC邊射出的電子中,當(dāng)θ=30°時(shí),所用的時(shí)間最短
綜合提升練
7.(6分)(2025·四川南充模擬)(多選)如圖,在以O(shè)O′為軸的范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,從軸上A點(diǎn)與OO′所成的角度不超過(guò)θ(θ<90°)的各個(gè)方向同時(shí)發(fā)射一束帶電粒子(同一方向只有一個(gè)粒子),粒子的電荷量、質(zhì)量都分別為±q、m,速度大小均為v,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,不計(jì)粒子重力,所有粒子都可看成點(diǎn)電荷且不計(jì)粒子間的相互作用。則( 　　)
[A] 這些粒子不會(huì)在OO′軸外的不同地方相碰
[B] 同種電荷不會(huì)在OO′軸外的不同地方相碰
[C] 在圖中紙面內(nèi)向OO′軸上方發(fā)射的帶負(fù)電粒子將在紙面外運(yùn)動(dòng),且都只在OO′軸以上的空間運(yùn)動(dòng)
BD
8.(18分)(2024·河南南陽(yáng)階段練習(xí))如圖所示,豎直放置的半環(huán)狀A(yù)BCD區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5 T。外環(huán)的半徑R1=16 cm,內(nèi)環(huán)的半徑R2=4 cm,外環(huán)和內(nèi)環(huán)的圓心為O,沿OD放置有照相底片。有一線狀粒子源放在AB正下方(圖中未畫出),不斷放出初速度大小均為v0=1.6×106 m/s、方向垂直于AB和磁場(chǎng)的相同粒子,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),最后打到照相底片上,經(jīng)檢驗(yàn)底片上僅有CD區(qū)域均被粒子打到。不考慮粒子間的相互作用,粒子重力忽略不計(jì),假設(shè)打到磁場(chǎng)邊界的粒子被吸收。
(1)判斷粒子的電性;
【答案】 (1)帶正電
【解析】 (1)粒子在磁場(chǎng)中向右偏轉(zhuǎn),由左手定則可知,粒子帶正電。
【答案】 (2)3.2×107 C/kg
(3)若照相底片沿OP放置,求底片上被粒子打到的區(qū)域的長(zhǎng)度。
【答案】 (3)2 cm
【解析】 (3)若照相底片沿OP放置,則底片上被粒子打到的區(qū)域長(zhǎng)度為MN的長(zhǎng)度,如圖所示,在△O1OM中,由幾何關(guān)系有
OM2=R2-(R-R2)2,
解得OM=8 cm,
又MN=R-OM,
代入數(shù)據(jù)解得MN=2 cm。

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