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第4講　小專題:“動態(tài)圓”法解決帶電粒子在磁場中運動的臨界、極值問題
考點一　“平移圓”模型
“平移圓”模型的特征
模型 界定 將半徑為R=的圓進行平移,從而探索出粒子運動的臨界條件,即為“平移圓”法
模型 條件 粒子源發(fā)射速度大小、方向一定、入射點不同但在同一直線上的同種帶電粒子,進入勻強磁場時,它們做勻速圓周運動的半徑相同,若入射速度大小為v0,則半徑R=,如圖所示
模型 特點 帶電粒子軌跡圓的圓心在同一直線上,且該直線與入射點的連線平行(或共線)
[例1] 【對“平移圓”模型的應(yīng)用】 (2024·江蘇南通期中)如圖所示,一線狀粒子源垂直于磁場邊界不斷地發(fā)射速度相同的帶負電的同種離子,不考慮離子間的相互作用,則離子經(jīng)過磁場的區(qū)域(陰影部分)可能的是(　　)
　　
[A] [B]
　　
[C]　 [D]
【答案】 C
【解析】 離子在磁場中做勻速圓周運動,如圖所示。
粒子源最左端發(fā)射的粒子落在A點,最右端發(fā)射的粒子落在B點,故選C。
考點二　“放縮圓”模型
“放縮圓”模型的特征
模型 界定 以入射點P為定點,圓心位于PP′直線上,將半徑放縮作軌跡圓,從而探索出粒子運動的臨界條件,即為“放縮圓”法
模型 條件 粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不等的同種帶電粒子,進入勻強磁場時,這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化
模型 特點 軌跡圓的圓心共線:如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情境),速度v越大,運動半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后,它們運動軌跡的圓心在垂直于初速度方向的直線PP′上
[例2] 【“放縮圓”模型】 (2025·河北唐山模擬)(多選)如圖所示,等腰直角三角形ABC區(qū)域中存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B,一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子沿AB方向射入磁場,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子射入速率越大,在磁場中運動時間越長
[B] 粒子射入速率越大,在磁場中運動的加速度越大
[C] 粒子在磁場中運動的最長時間為
[D] 若粒子射入速率不同,則射出磁場時速度的方向一定不同
【答案】 BC
【解析】 如圖所示,粒子射入磁場時不同的速率對應(yīng)不同的半徑,粒子將從不同的位置離開磁場,當粒子從AC邊離開時,速度增大,但運動軌跡對應(yīng)的圓心角相等,在磁場中運動時間始終不變,根據(jù)對稱性特征,軌跡均為圓弧,當粒子從BC邊離開時,隨速度增大,軌跡半徑增大,周期不變,軌跡所對圓心角變小,根據(jù)t=T,則運動時間越來越短,粒子從AC邊離開磁場時在磁場中運動的時間最長,為 =,故A錯誤,C正確;由牛頓第二定律,有Bqv=ma,則粒子射入速率越大,在磁場中運動的加速度a=越大,故B正確;粒子以不同速率從AC邊離開磁場時,根據(jù)對稱性特征,軌跡均為圓弧,沿平行于BC方向離開磁場,故D錯誤。
考點三　“旋轉(zhuǎn)圓”模型
“旋轉(zhuǎn)圓”模型的特征
模型 界定 將一半徑為R=的圓以入射點為圓心進行旋轉(zhuǎn),從而探索出粒子運動的臨界條件,即為“旋轉(zhuǎn)圓”法
模型 條件 粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時,它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同,若入射初速度大小為v0,則圓周運動軌跡半徑為R=,如圖所示
模型 特點 軌跡圓的圓心共圓:如圖所示,帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R=的圓上
[例3] 【“旋轉(zhuǎn)圓”模型】 (2024·江蘇揚州階段練習)如圖所示,水平虛線MN上方有勻強磁場,磁場方向垂直于紙面向里。大量帶正電的相同粒子,以相同的速率沿位于紙面內(nèi)水平向右到豎直向上90°范圍內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,做半徑為R的圓周運動。不計粒子重力和粒子間相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域,其中正確的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由小孔O射入磁場區(qū)域,做半徑為R的圓周運動,因為粒子帶正電,根據(jù)左手定則可知粒子將向左偏轉(zhuǎn),故C錯誤;因為粒子以相同的速率沿位于紙面內(nèi)水平向右到豎直向上90°范圍內(nèi)的各個方向發(fā)射,由O點射入水平向右的粒子恰好應(yīng)為最右端邊界且ON=R;在豎直方向上有最遠點為2R,由O點豎直向上射入的粒子,打在最左端且距離為OM=2R,但是左側(cè)因為沒有粒子射入,所以中間會出現(xiàn)一塊空白區(qū)域,故B正確,A、D錯誤。
(滿分:50分)
對點1.“平移圓”模型
1.(4分)(2025·廣西桂林模擬)如圖所示,在xOy平面的第一、四象限內(nèi)有一圓心為O、半徑為R的半圓形勻強磁場,線狀粒子源從y軸左側(cè)平行于x軸正方向不斷射出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度大小為v0的帶正電粒子。磁場的磁感應(yīng)強度大小為、方向垂直于平面xOy向里。不考慮粒子間的相互作用,不計粒子受到的重力。所有從不同位置進入磁場的粒子中,在磁場中運動的時間最長為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 粒子在磁場中做勻速圓周運動,有qv0B=m,解得r=2R,如圖所示,當粒子在磁場中的運動軌跡對應(yīng)的圓心角最大時,粒子在磁場中運動的時間最長,由于sin α=,要使圓心角α最大,則FE最長,經(jīng)分析可知,當粒子從y軸上的D′點射入、從x軸上的E′點射出磁場時,軌跡對應(yīng)的圓心角最大,為αm,粒子在磁場中運動的時間最長,有sin αm=,解得αm=,且tm=·,解得tm=,故C正確。
2.(6分)(2024·遼寧沈陽階段練習)(多選)如圖所示,等腰直角三角形區(qū)域分布有垂直于紙面向里的勻強磁場,腰長AB=2 m,O為BC的中點,磁感應(yīng)強度大小B=0.25 T,一群質(zhì)量m=
1×10-7 kg,電荷量大小q=2×10-3 C的帶負電粒子以垂直于BO的速度大小v=5×103 m/s從B、O之間射入磁場區(qū)域,帶電粒子不計重力,則(　　)
[A] 在AC邊界上有粒子射出的長度為(-1)m
[B] C點有粒子射出
[C] 在AB邊界上有粒子射出的長度為1 m
[D] 磁場中運動時間最長粒子從底邊距B點(-1)m處入射
【答案】 ACD
【解析】 粒子在磁場中偏轉(zhuǎn),根據(jù)洛倫茲力提供向心力,有qvB=m,粒子在磁場中運動的軌道半徑為R==1 m,作出粒子在磁場中的運動軌跡如圖所示。由圖可知,能從AC邊射出的粒子長度為DE=R-R=(-1)m,粒子不可能到達C點,故A正確,B錯誤;由圖可知,在AB邊界上有粒子射出的長度為BF=1 m,故C正確;磁場中運動時間最長粒子運動半個圓周,軌跡與AB、AC相切,由幾何知識可知從底邊距B點(-1)m處入射,故D正確。
對點2.“放縮圓”模型
3.(4分)(2024·海南海口期末)如圖所示,在矩形GHIJ區(qū)域內(nèi)分布著垂直于紙面向里的勻強磁場,P點是GH邊的中點,四個完全相同的帶電粒子僅在洛倫茲力的作用下,以大小不同的速率從P點沿同一方向射入勻強磁場,它們的軌跡在同一平面(紙面)內(nèi),下列說法正確的是(　　)
[A] ④粒子的速率最大
[B] ③粒子的向心加速度最大
[C] ②粒子在矩形GHIJ磁場區(qū)域運動的時間最長
[D] ①、②、③、④這四個粒子在矩形GHIJ磁場區(qū)域的運動周期不相同
【答案】 A
【解析】 對于完全相同的粒子,其比荷相同,在同一勻強磁場中,運動周期相同,由題圖知③粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角最大,所以③粒子在矩形GHIJ磁場區(qū)域經(jīng)歷的時間最長,故C、D錯誤;根據(jù)洛倫茲力提供向心力有qvB=m可得r=,由于④粒子的運動軌跡半徑最大,則④粒子的速率最大,故A正確;粒子的向心加速度為an==,可知④粒子的向心加速度最大,故B錯誤。
4.(6分)(2024·四川成都三模)(多選)如圖所示,邊長為2L的等邊三角形ABC內(nèi)有垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強度大小為B0的勻強磁場,D是AB邊的中點,一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子從D點以不同的速率平行于BC邊方向射入磁場,不計粒子重力,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子可能從B點射出
[B] 若粒子從C點射出,則粒子做勻速圓周運動的半徑為L
[C] 若粒子從C點射出,則粒子在磁場中運動的時間為
[D] 若粒子從AB邊射出,則粒子在磁場中運動的時間相同,且時間最長
【答案】 CD
【解析】 帶負電的粒子從D點以速度v平行于BC邊方向射入磁場,由左手定則可知,粒子向下偏轉(zhuǎn),但由于BC邊的限制,粒子不能到達B點,故A錯誤;若粒子從C點射出,如圖甲所示。
根據(jù)幾何關(guān)系可得=(R2-Lsin 60°)2+(2L-Lcos 60°)2,解得R2=L,故B錯誤;則粒子軌跡對應(yīng)的圓心角的正弦值為sin∠O==,則∠O=60°,粒子在磁場中運動的時間為t=T=×=,故C正確;由牛頓第二定律可知qvB0=m,解得r=,若粒子從AB邊射出,則粒子的速度越大,軌跡半徑越大,如圖乙所示。
則粒子從AB邊射出時的圓心角θ相等,且為最大,根據(jù)t=T,又T=知粒子在磁場中運動的周期相等,則其在磁場中運動的時間相同,且時間最長,故D正確。
5.(4分)(2024·江蘇泰州階段練習)如圖所示,空間存在四分之一圓形磁場區(qū)域,半徑為R,磁感應(yīng)強度大小為B,磁場方向垂直于紙面向外(圖中未畫出)。電子以初速度v從圓心O沿OC方向射入磁場,恰好由A點射出。弧AD對應(yīng)的圓心角為60°,要使電子從弧AD之間(不包括A、D兩點)射出,電子從O點射入的初速度可能是(不計電子的重力)(　　)
[A] [B]
[C] 2v [D] 3v
【答案】 B
【解析】根據(jù)題意,速度為v時,電子恰好由A點射出,如圖中軌跡Ⅰ,由幾何關(guān)系可得r=,由牛頓第二定律有qvB=m,聯(lián)立可得R=,要使電子恰好從D點射出,如圖中軌跡Ⅱ,根據(jù)幾何關(guān)系可得r′=R,則有R=,解得v′=2v,要使電子從弧AD之間射出,電子從O點射入的初速度應(yīng)大于v,小于2v。故B正確。
對點3.“旋轉(zhuǎn)圓”模型
6.(4分)(2025·江蘇徐州模擬)如圖所示,在x軸的上方(y≥0)存在著垂直于紙面向里的勻強磁場(未畫出),磁感應(yīng)強度大小為B。在原點O有一個離子源向x軸上方的各個方向發(fā)射出質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正離子,速率都為v。對那些在xOy平面內(nèi)運動的離子,在磁場中可能到達的位置中離x軸及y軸最遠距離分別為(　　)
[A] , [B] ,
[C] , [D] ,
【答案】 A
【解析】 由洛倫茲力提供向心力,有qvB=,解得r=,若讓沿x軸正方向射出的離子的軌跡圓繞O點緩慢轉(zhuǎn)動(如圖所示),不難得出離y軸最遠為|x|=2r=,離x軸最遠為|y|=2r=,所以A項正確。
7.(6分)(2025·遼寧葫蘆島模擬)(多選)如圖所示,在直角坐標系xOy第一象限內(nèi)x軸上方存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場,在y軸上S處有一粒子源,它可向右側(cè)紙面內(nèi)各個方向射出速率相等的質(zhì)量大小均為m、電荷量大小均為q的同種帶電粒子,所有粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的P點。已知粒子帶負電,OP=OS=
d,粒子重力及粒子間的相互作用均不計,則(　　)
[A] 粒子的速度大小為
[B] 從O點射出的粒子在磁場中的運動時間為
[C] 從x軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的最長時間與最短時間之比為9∶2
[D] 沿平行x軸正方向射入的粒子離開磁場時的位置到O點的距離為
【答案】 AC
【解析】 粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的P點,可以畫出其軌跡1,可知SP為直徑,由幾何關(guān)系得(2R)2=d2+(d)2,得到R=d,由洛倫茲力提供向心力得qvB=,則v=,故A正確;粒子在磁場中的運動周期T=,由幾何知識可得,從O點射出的粒子的運動軌跡如軌跡3,軌跡所對的圓心角為60°,在磁場中的運動時間t=T=,故B錯誤;從x軸上射出磁場的粒子運動時間最長是運動軌跡與x軸相切的粒子(軌跡2),對應(yīng)的圓心角為270°,得t1=T,運動時間最短的粒子為從原點飛出的粒子(軌跡3),運動時間為 t2=T,所以=,故C正確;沿平行x軸正方向射入的粒子,圓心在原點處,運動軌跡為四分之一圓弧,離開磁場時的位置到O點的距離為d,故D錯誤。
8.(6分)(多選)如圖所示,在圓心為O、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)(不含邊界)有磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場,MN為直徑。大量帶正電荷的同種粒子以不同的速率從O點在紙面內(nèi)沿與ON成30°角的方向射入磁場。粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q,不計粒子受到的重力以及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子在磁場中運動的最長時間為
[B] 若粒子恰好從圓弧邊界離開磁場,則粒子的速度大小為
[C] 若粒子恰好從O點正上方的P點離開磁場,則粒子的速度大小為
[D] 選擇合適的速度,粒子可能從M點離開磁場
【答案】 AC
【解析】當粒子的速度較小時,粒子從MN邊界離開磁場,其軌跡對應(yīng)的圓心角為300°,此時粒子在磁場中運動的時間最長,最長時間t=×=,故A正確;當粒子做圓周運動的軌跡與半圓形磁場邊界相切時(設(shè)切點為Q),粒子恰好從圓弧邊界射出,如圖所示,根據(jù)幾何知識可知,粒子的軌道半徑r1=,設(shè)粒子的速度大小為v1,有qv1B=m,解得v1=,故B錯誤;設(shè)當粒子恰好從P點離開磁場時,粒子的軌道半徑為r2,根據(jù)幾何關(guān)系有r2=,設(shè)粒子的速度大小為v2,有qv2B=m,解得 v2=,故C正確;當粒子的速度大于時,粒子從Q點右側(cè)離開磁場,當粒子的速度小于時,粒子從MN邊界離開磁場,即粒子不可能從M點離開磁場,故D錯誤。
9.(10分)(2024·浙江溫州模擬)如圖所示,豎直平面內(nèi)有一xOy平面直角坐標系,第一、四象限中存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小記為B(B未知)。坐標原點O處有一放射源,放射源可以源源不斷地向第一、四象限180°范圍內(nèi)均勻地輻射出質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子。在y軸上固定一能吸收離子的收集板MN,M點坐標為(0,a),N點坐標為(0,2a),當輻射的離子速率為v0時,離子打在收集板上的位置最遠到N點,最近到M點。不計離子的重力及離子間的相互作用的影響,求:
(1)恰好打到M點的離子在磁場中運動的時間;
(2)能打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例。
【答案】 (1)或　(2)
【解析】 (1)由題意可知,沿x軸正方向射出的離子,經(jīng)半個圓周運動到N點,由此可得r=a,可知通過M點的離子有兩個出射方向,如圖甲,一個軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為60°,即t1=T,另一個軌跡轉(zhuǎn)過的圓心角為300°,即t2=T,離子在磁場中做勻速圓周運動,周期T=,即T=,
解得t1=,t2=。
(2)如圖乙所示,由動態(tài)圓分析結(jié)果可知,能打到收集板上的離子分布在速度方向與x軸正方向成60°角的范圍內(nèi),因為放射源均勻打出離子,因此打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例為 =。
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考點一　“平移圓”模型
“平移圓”模型的特征
模型 界定 將半徑為R=的圓進行平移,從而探索出粒子運動的臨界條件,即為“平移圓”法
模型 條件 粒子源發(fā)射速度大小、方向一定、入射點不同但在同一直線上的同種帶電粒子,進入勻強磁場時,它們做勻速圓周運動的半徑相同,若入射速度大小為v0,則半徑R=,如圖所示
模型 特點 帶電粒子軌跡圓的圓心在同一直線上,且該直線與入射點的連線平行(或共線)
[例1] 【對“平移圓”模型的應(yīng)用】 (2024·江蘇南通期中)如圖所示,一線狀粒子源垂直于磁場邊界不斷地發(fā)射速度相同的帶負電的同種離子,不考慮離子間的相互作用,則離子經(jīng)過磁場的區(qū)域(陰影部分)可能的是(　　)
　　
[A] [B]
　　
[C]　 [D]
考點二　“放縮圓”模型
“放縮圓”模型的特征
模型 界定 以入射點P為定點,圓心位于PP′直線上,將半徑放縮作軌跡圓,從而探索出粒子運動的臨界條件,即為“放縮圓”法
模型 條件 粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不等的同種帶電粒子,進入勻強磁場時,這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化
模型 特點 軌跡圓的圓心共線:如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情境),速度v越大,運動半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后,它們運動軌跡的圓心在垂直于初速度方向的直線PP′上
[例2] 【“放縮圓”模型】 (2025·河北唐山模擬)(多選)如圖所示,等腰直角三角形ABC區(qū)域中存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B,一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子沿AB方向射入磁場,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子射入速率越大,在磁場中運動時間越長
[B] 粒子射入速率越大,在磁場中運動的加速度越大
[C] 粒子在磁場中運動的最長時間為
[D] 若粒子射入速率不同,則射出磁場時速度的方向一定不同
考點三　“旋轉(zhuǎn)圓”模型
“旋轉(zhuǎn)圓”模型的特征
模型 界定 將一半徑為R=的圓以入射點為圓心進行旋轉(zhuǎn),從而探索出粒子運動的臨界條件,即為“旋轉(zhuǎn)圓”法
模型 條件 粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子進入勻強磁場時,它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同,若入射初速度大小為v0,則圓周運動軌跡半徑為R=,如圖所示
模型 特點 軌跡圓的圓心共圓:如圖所示,帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R=的圓上
[例3] 【“旋轉(zhuǎn)圓”模型】 (2024·江蘇揚州階段練習)如圖所示,水平虛線MN上方有勻強磁場,磁場方向垂直于紙面向里。大量帶正電的相同粒子,以相同的速率沿位于紙面內(nèi)水平向右到豎直向上90°范圍內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,做半徑為R的圓周運動。不計粒子重力和粒子間相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域,其中正確的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
(滿分:50分)
對點1.“平移圓”模型
1.(4分)(2025·廣西桂林模擬)如圖所示,在xOy平面的第一、四象限內(nèi)有一圓心為O、半徑為R的半圓形勻強磁場,線狀粒子源從y軸左側(cè)平行于x軸正方向不斷射出質(zhì)量為m、電荷量為q、速度大小為v0的帶正電粒子。磁場的磁感應(yīng)強度大小為、方向垂直于平面xOy向里。不考慮粒子間的相互作用,不計粒子受到的重力。所有從不同位置進入磁場的粒子中,在磁場中運動的時間最長為(　　)
[A] [B]
[C] [D]
2.(6分)(2024·遼寧沈陽階段練習)(多選)如圖所示,等腰直角三角形區(qū)域分布有垂直于紙面向里的勻強磁場,腰長AB=2 m,O為BC的中點,磁感應(yīng)強度大小B=0.25 T,一群質(zhì)量m=
1×10-7 kg,電荷量大小q=2×10-3 C的帶負電粒子以垂直于BO的速度大小v=5×103 m/s從B、O之間射入磁場區(qū)域,帶電粒子不計重力,則(　　)
[A] 在AC邊界上有粒子射出的長度為(-1)m
[B] C點有粒子射出
[C] 在AB邊界上有粒子射出的長度為1 m
[D] 磁場中運動時間最長粒子從底邊距B點(-1)m處入射
對點2.“放縮圓”模型
3.(4分)(2024·海南海口期末)如圖所示,在矩形GHIJ區(qū)域內(nèi)分布著垂直于紙面向里的勻強磁場,P點是GH邊的中點,四個完全相同的帶電粒子僅在洛倫茲力的作用下,以大小不同的速率從P點沿同一方向射入勻強磁場,它們的軌跡在同一平面(紙面)內(nèi),下列說法正確的是(　　)
[A] ④粒子的速率最大
[B] ③粒子的向心加速度最大
[C] ②粒子在矩形GHIJ磁場區(qū)域運動的時間最長
[D] ①、②、③、④這四個粒子在矩形GHIJ磁場區(qū)域的運動周期不相同
4.(6分)(2024·四川成都三模)(多選)如圖所示,邊長為2L的等邊三角形ABC內(nèi)有垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強度大小為B0的勻強磁場,D是AB邊的中點,一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子從D點以不同的速率平行于BC邊方向射入磁場,不計粒子重力,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子可能從B點射出
[B] 若粒子從C點射出,則粒子做勻速圓周運動的半徑為L
[C] 若粒子從C點射出,則粒子在磁場中運動的時間為
[D] 若粒子從AB邊射出,則粒子在磁場中運動的時間相同,且時間最長
5.(4分)(2024·江蘇泰州階段練習)如圖所示,空間存在四分之一圓形磁場區(qū)域,半徑為R,磁感應(yīng)強度大小為B,磁場方向垂直于紙面向外(圖中未畫出)。電子以初速度v從圓心O沿OC方向射入磁場,恰好由A點射出。弧AD對應(yīng)的圓心角為60°,要使電子從弧AD之間(不包括A、D兩點)射出,電子從O點射入的初速度可能是(不計電子的重力)(　　)
[A] [B]
[C] 2v [D] 3v
對點3.“旋轉(zhuǎn)圓”模型
6.(4分)(2025·江蘇徐州模擬)如圖所示,在x軸的上方(y≥0)存在著垂直于紙面向里的勻強磁場(未畫出),磁感應(yīng)強度大小為B。在原點O有一個離子源向x軸上方的各個方向發(fā)射出質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正離子,速率都為v。對那些在xOy平面內(nèi)運動的離子,在磁場中可能到達的位置中離x軸及y軸最遠距離分別為(　　)
[A] , [B] ,
[C] , [D] ,
7.(6分)(2025·遼寧葫蘆島模擬)(多選)如圖所示,在直角坐標系xOy第一象限內(nèi)x軸上方存在磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場,在y軸上S處有一粒子源,它可向右側(cè)紙面內(nèi)各個方向射出速率相等的質(zhì)量大小均為m、電荷量大小均為q的同種帶電粒子,所有粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的P點。已知粒子帶負電,OP=OS=
d,粒子重力及粒子間的相互作用均不計,則(　　)
[A] 粒子的速度大小為
[B] 從O點射出的粒子在磁場中的運動時間為
[C] 從x軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的最長時間與最短時間之比為9∶2
[D] 沿平行x軸正方向射入的粒子離開磁場時的位置到O點的距離為
8.(6分)(多選)如圖所示,在圓心為O、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)(不含邊界)有磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場,MN為直徑。大量帶正電荷的同種粒子以不同的速率從O點在紙面內(nèi)沿與ON成30°角的方向射入磁場。粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q,不計粒子受到的重力以及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子在磁場中運動的最長時間為
[B] 若粒子恰好從圓弧邊界離開磁場,則粒子的速度大小為
[C] 若粒子恰好從O點正上方的P點離開磁場,則粒子的速度大小為
[D] 選擇合適的速度,粒子可能從M點離開磁場
9.(10分)(2024·浙江溫州模擬)如圖所示,豎直平面內(nèi)有一xOy平面直角坐標系,第一、四象限中存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小記為B(B未知)。坐標原點O處有一放射源,放射源可以源源不斷地向第一、四象限180°范圍內(nèi)均勻地輻射出質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子。在y軸上固定一能吸收離子的收集板MN,M點坐標為(0,a),N點坐標為(0,2a),當輻射的離子速率為v0時,離子打在收集板上的位置最遠到N點,最近到M點。不計離子的重力及離子間的相互作用的影響,求:
(1)恰好打到M點的離子在磁場中運動的時間;
(2)能打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例。
(
第
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高中總復習·物理
第4講　
小專題:“動態(tài)圓”法解決帶電粒子在磁場中運動的臨界、極值問題
“平移圓”模型的特征
[例1] 【對“平移圓”模型的應(yīng)用】 (2024·江蘇南通期中)如圖所示,一線狀粒子源垂直于磁場邊界不斷地發(fā)射速度相同的帶負電的同種離子,不考慮離子間的相互作用,則離子經(jīng)過磁場的區(qū)域(陰影部分)可能的是(　　)
C
【解析】 離子在磁場中做勻速圓周運動,如圖所示。
粒子源最左端發(fā)射的粒子落在A點,最右端發(fā)射的粒子落在B點,故選C。
“放縮圓”模型的特征
模型 界定 以入射點P為定點,圓心位于PP′直線上,將半徑放縮作軌跡圓,從而探索出粒子運動的臨界條件,即為“放縮圓”法
模型 條件 粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不等的同種帶電粒子,進入勻強磁場時,這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化
模型 特點 軌跡圓的圓心共線:如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情境),速度v越大,運動半徑也越大。可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后,它們運動軌跡的圓心在垂直于初速度方向的直線PP′上
BC
[例2] 【“放縮圓”模型】 (2025·河北唐山模擬)(多選)如圖所示,等腰直角三角形ABC區(qū)域中存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B,一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子沿AB方向射入磁場,下列說法正確的是(　 　)
“旋轉(zhuǎn)圓”模型的特征
[例3] 【“旋轉(zhuǎn)圓”模型】 (2024·江蘇揚州階段練習)如圖所示,水平虛線MN上方有勻強磁場,磁場方向垂直于紙面向里。大量帶正電的相同粒子,以相同的速率沿位于紙面內(nèi)水平向右到豎直向上90°范圍內(nèi)的各個方向,由小孔O射入磁場區(qū)域,做半徑為R的圓周運動。不計粒子重力和粒子間相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過的區(qū)域,其中正確的是(　　)
[A] [B] [C] [D]
B
【解析】 由小孔O射入磁場區(qū)域,做半徑為R的圓周運動,因為粒子帶正電,根據(jù)左手定則可知粒子將向左偏轉(zhuǎn),故C錯誤;因為粒子以相同的速率沿位于紙面內(nèi)水平向右到豎直向上90°范圍內(nèi)的各個方向發(fā)射,由O點射入水平向右的粒子恰好應(yīng)為最右端邊界且ON=R;在豎直方向上有最遠點為2R,由O點豎直向上射入的粒子,打在最左端且距離為OM=2R,但是左側(cè)因為沒有粒子射入,所以中間會出現(xiàn)一塊空白區(qū)域,故B正確,A、D錯誤。
對點1.“平移圓”模型
基礎(chǔ)對點練
C
ACD
2.(6分)(2024·遼寧沈陽階段練習)(多選)如圖所示,等腰直角三角形區(qū)域分布有垂直于紙面向里的勻強磁場,腰長AB=2 m,O為BC的中點,磁感應(yīng)強度大小B=0.25 T,一群質(zhì)量m=1×10-7 kg,電荷量大小q=2×10-3 C的帶負電粒子以垂直于BO的速度大小v=5×103 m/s從B、O之間射入磁場區(qū)域,帶電粒子不計重力,則(　 　)
對點2.“放縮圓”模型
3.(4分)(2024·海南海口期末)如圖所示,在矩形GHIJ區(qū)域內(nèi)分布著垂直于紙面向里的勻強磁場,P點是GH邊的中點,四個完全相同的帶電粒子僅在洛倫茲力的作用下,以大小不同的速率從P點沿同一方向射入勻強磁場,它們的軌跡在同一平面(紙面)內(nèi),下列說法正確的是(　　)
[A] ④粒子的速率最大
[B] ③粒子的向心加速度最大
[C] ②粒子在矩形GHIJ磁場區(qū)域運動的時間最長
[D] ①、②、③、④這四個粒子在矩形GHIJ磁場區(qū)域的運動周期不相同
A
4.(6分)(2024·四川成都三模)(多選)如圖所示,邊長為2L的等邊三角形ABC內(nèi)有垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強度大小為B0的勻強磁場,D是AB邊的中點,一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子從D點以不同的速率平行于BC邊方向射入磁場,不計粒子重力,下列說法正確的是(　　 )
CD
【解析】 帶負電的粒子從D點以速度v平行于BC邊方向射入磁場,由左手定則可知,粒子向下偏轉(zhuǎn),但由于BC邊的限制,粒子不能到達B點,故A錯誤;若粒子從C點射出,如圖甲所示。
5.(4分)(2024·江蘇泰州階段練習)如圖所示,空間存在四分之一圓形磁場區(qū)域,半徑為R,磁感應(yīng)強度大小為B,磁場方向垂直于紙面向外(圖中未畫出)。電子以初速度v從圓心O沿OC方向射入磁場,恰好由A點射出。弧AD對應(yīng)的圓心角為60°,要使電子從弧AD之間(不包括A、D兩點)射出,電子從O點射入的初速度可能是(不計電子的重力)(　　)
B
對點3.“旋轉(zhuǎn)圓”模型
6.(4分)(2025·江蘇徐州模擬)如圖所示,在x軸的上方(y≥0)存在著垂直于紙面向里的勻強磁場(未畫出),磁感應(yīng)強度大小為B。在原點O有一個離子源向x軸上方的各個方向發(fā)射出質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正離子,速率都為v。對那些在xOy平面內(nèi)運動的離子,在磁場中可能到達的位置中離x軸及y軸最遠距離分別為(　　)
A
AC
8.(6分)(多選)如圖所示,在圓心為O、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)(不含邊界)有磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場,MN為直徑。大量帶正電荷的同種粒子以不同的速率從O點在紙面內(nèi)沿與ON成30°角的方向射入磁場。粒子的質(zhì)量為m,電荷量為q,不計粒子受到的重力以及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　 　)
綜合提升練
AC
9.(10分)(2024·浙江溫州模擬)如圖所示,豎直平面內(nèi)有一xOy平面直角坐標系,第一、四象限中存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小記為B(B未知)。坐標原點O處有一放射源,放射源可以源源不斷地向第一、四象限180°范圍內(nèi)均勻地輻射出質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子。在y軸上固定一能吸收離子的收集板MN,M點坐標為(0,a),N點坐標為(0,2a),當輻射的離子速率為v0時,離子打在收集板上的位置最遠到N點,最近到M點。不計離子的重力及離子間的相互作用的影響,求:
(1)恰好打到M點的離子在磁場中運動的時間;
(2)能打到收集板上的離子數(shù)占輻射總數(shù)的比例。

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