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第5講　小專題:“磁發散”和“磁聚焦”
1.在圓形邊界的勻強磁場中,如果帶電粒子做勻速圓周運動的半徑恰好等于磁場區域圓的半徑,則有如下兩個重要結論:
磁發散 磁聚焦
如圖甲所示,當粒子從磁場邊界上同一點沿不同方向進入磁場區域時,粒子離開磁場時的速度方向一定平行,而且與入射點的切線方向平行。此情境稱為“磁發散” 如圖乙所示,當粒子以相互平行的速度從磁場邊界上任意位置進入磁場區域時,粒子一定會從同一點離開磁場區域,而且該點切線與入射方向平行。此情境稱為“磁聚焦”
2.磁聚焦(發散)模型的應用
(1)帶電粒子的會聚。
如圖甲所示,大量同種帶正電的粒子(不計重力),速度大小相等,平行入射到圓形磁場區域,如果軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等,則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點B點射出。
證明:四邊形OAO′B為菱形,必是平行四邊形,則有OB必平行于AO′,可知從A點發出的帶電粒子必然經過B點。
(2)帶電粒子的發散。
如圖乙所示,有界圓形磁場的磁感應強度為B,圓心為O,從P點有大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子,以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場,不計粒子受到的重力,如果帶正電粒子的軌跡圓半徑與有界圓形磁場半徑相等,則所有粒子射出磁場的方向平行。
證明:所有粒子運動軌跡的圓心與邊界圓圓心O、入射點、出射點的連線為菱形,也是平行四邊形,O1A、O2B、O3C均平行于PO,即出射速度方向相同。
[例1] 【磁發散模型】 (2025·湖北荊州模擬)(多選)在邊長為L的正方形abcd的部分區域內存在著方向垂直于紙面向外的勻強磁場,a點處有離子源,可以向正方形abcd所在區域的任意方向發射速率均為v的相同的正離子,且所有離子均垂直bc邊射出,下列說法正確的是(　　)
[A] 離子在磁場中做圓周運動的半徑為2L
[B] 離子在磁場中運動的最長時間為
[C] 磁場區域的最小面積為L2
[D] 離子入射速度方向與ab邊夾角為60°時,將從bc邊中點射出
【答案】 CD
【解析】帶電離子在圓形磁場中運動時存在著這樣的規律,如果離子的軌跡半徑與圓形磁場的半徑相等,離子從同一點以相同的速率沿不同的方向射入圓形磁場,則離子會平行于某一方向射出磁場。根據幾何關系可知,離子在磁場中做圓周運動的半徑為L,故A錯誤;離子的速率一定,軌跡最長的離子運動的時間最長,則最長時間為,則tmax==,故B錯誤;磁場區域的最小面積為如圖中陰影部分的面積,則有Smin=2·(πL2-L2)=L2,故C正確;離子入射速度方向與ab邊夾角為60°時,設出射點與b點之間的距離為x,則cos 60°=,解得x=L,即離子入射速度方向與ab邊夾角為60°時,將從bc邊中點射出,故D正確。
[例2] 【磁聚焦模型】 (2025·重慶巴中聯盟模擬)磁聚焦法測量電子比荷的裝置如圖所示。在抽成真空的玻璃管中裝有熱陰極K和有小孔的陽極A。在A、K之間加大小為U0的電壓,對電子進行加速(初速度視為零),電子由陽極小孔高速射出;在尺寸很小的電容器C的兩極板間加一不大的周期性交變電場,使不同時刻通過這里的電子速度方向發生不同程度的微小偏轉,在電容器右端和熒光屏之間加一沿軸線方向(圖中水平虛線)的勻強磁場,進入磁場的電子會沿不同的螺旋線運動,每繞行一周后都會到達同一位置聚焦,電容器到熒光屏的水平距離為l,調節磁感應強度的大小為B時,可使電子流的第一個焦點落在熒光屏S上。不計電子所受的重力和電子間的相互作用,當θ非常小時滿足cos θ≈1,sin θ≈θ,下列說法正確的是(　　)
[A] 帶電粒子所受洛倫茲力的方向與軸線不垂直
[B] 不同時刻進入電容器的電子運動軌跡一定不同
[C] 利用該設備測出電子的比荷=
[D] 若電子經過電容器后偏離軸線方向的最大角度為θ,該裝置中帶電粒子螺旋運動段的玻璃管內徑(直徑)應滿足D≥
【答案】 C
【解析】 洛倫茲力方向垂直于磁場方向即軸線方向,故A錯誤;不同時刻進入電容器中的電子,若進入電容器的時刻相隔整數個電場周期,則離開電容器進入磁場時的速度相同,則電子運動軌跡相同,故B錯誤;電子的螺旋運動可分解為沿磁場方向的勻速運動和垂直于磁場方向上的勻速圓周運動。電子在A、K之間加速,根據動能定理有eU0=mv2,設進入磁場時電子的速度大小為v′,與水平方向夾角為θ,設其垂直磁場的分速度為v1,平行磁場方向的分速度為v2,由題意可知速度分量v2=v′cos θ=v,電子在垂直磁場方向做圓周運動的周期為T==,故電子在磁場中做螺旋運動的螺距為l=v2T=v,可得=,故C正確;垂直磁場的速度分量為v1=v′sin θ≈vθ,根據洛倫茲力提供向心力,有ev1B=m,可知r==,所以管內直徑D≥,故D錯誤。
(滿分:60分)
1.(4分)(2024·河北張家口開學考試)如圖所示,圓形區域半徑為r,區域內存在磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向內的勻強磁場,一束不計重力的帶正電粒子,質量均為m,電荷量均為q,以垂直于區域圓直徑MN的相同速度飛入圓形勻強磁場區域后發生偏轉,都恰好能在區域邊緣的同一點射出磁場區域,不計粒子間相互作用力,則下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子將于M點射出磁場
[B] 所有粒子在磁場中的運動時間相同
[C] 射出粒子的速度方向均相同
[D] 粒子速度大小為v=
【答案】 D
【解析】 由題意可知,粒子的軌跡圓半徑等于磁場圓半徑,根據qvB=m,此時粒子速度大小為v=,選項D正確;由左手定則可得,粒子應于N點射出磁場,選項A錯誤;最上層粒子在磁場中的運動時間最長,最下層粒子在磁場中運動時間最短,選項B錯誤;由粒子運動軌跡可知,射出粒子的速度方向不相同,選項C錯誤。
2.(4分)(2025·河北衡水模擬)如圖所示,紙面內有寬為L、水平向右飛行的帶電粒子流,粒子質量為m,電荷量為-q,速率為v0,不考慮粒子的重力及相互間的作用,要使粒子都匯聚到一點,可以在粒子流的右側虛線框內設計一勻強磁場區域,則磁場區域的形狀及對應的磁感應強度可以是下圖中的(其中B0=,A、C、D選項中的曲線均是半徑為L的圓弧,B選項中曲線是半徑為的圓)(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 帶電粒子在磁場中做圓周運動,圓周運動的半徑R=,A、B、C對應的半徑R=L,D對應的半徑為。粒子的初速度都相同,相當于以初速度的方向為切線,以粒子進入磁場的點為切點來畫半徑已知的圓,圓弧和磁場邊界的交點為出射點,由數學知識可以證明A中粒子的出射點恒為兩個圓弧右下方的交點,故A正確;B、C、D對應的粒子的出射點都不相同,故B、C、D錯誤。
3.(4分)(2025·廣東梅州模擬)如圖所示,扇形區域AOB內存在垂直于平面向里的勻強磁場,OA和OB互相垂直,是扇形的兩條半徑,一個帶電粒子(不計重力)從A點沿AO方向進入磁場,從B點離開,若該粒子以同樣的速度從C點平行于AO方向進入磁場,則(　　)
[A] 粒子帶負電
[B] C點越靠近B點,粒子偏轉角度越大
[C] C點越遠離B點,粒子運動時間越短
[D] 只要C點在A、B之間,粒子仍然從B點離開磁場
【答案】 D
【解析】由題意,粒子從A點進入磁場,從B點離開,由左手定則可以確定粒子帶正電,故A錯誤;由題意知,粒子做圓周運動的半徑等于磁場圓弧區域的半徑,根據磁聚焦的原理,當入射方向平行時,這些粒子將從同一點射出,如圖所示,從點A、C、C1、C2以相同的方向進入磁場,則這些粒子從同一點B射出,由圖可知,C點越靠近B點,偏轉角越小,運動時間越短,越遠離B點,偏轉角越大,運動時間越長,故D正確,B、C錯誤。
4.(6分)(多選)如圖所示為一圓形區域,O為圓心,半徑為R,P為邊界上的一點,區域內有垂直于紙面的勻強磁場(圖中未畫出),磁感應強度大小為B。電荷量為q、質量為m的相同帶電粒子a、b(不計重力)從P點先后以大小相等的速率v=射入磁場,粒子a正對圓心射入,粒子b射入磁場時的速度方向與粒子a射入時的速度方向成θ角,已知粒子a與粒子b在磁場中運動的時間之比為3∶4,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑r=R
[B] θ=60°
[C] θ=30°
[D] a、b粒子離開磁場時的速度方向也成θ角
【答案】 AC
【解析】 粒子在磁場中做勻速圓周運動,洛倫茲力提供向心力,有qvB=m,而速度v=,解得運動半徑r=R,故A正確;因粒子a正對圓心射入,又r=R,故粒子a在磁場中的運動時間為T,運動圓弧的圓心角為90°,兩粒子在磁場中運動的周期相等,為T=,運動時間之比為3∶4,故粒子b在磁場中的運動時間為T,即運動圓弧的圓心角為120°,運動軌跡的圓弧對應的圓心與O、P三點的連線構成等邊三角形,故θ=30°,故B錯誤,C正確;由題意可知,a、b粒子離開磁場時平行,故D錯誤。
5.(4分)(2024·新疆喀什階段練習)在電子技術中,科研人員經常通過在適當的區域施加磁場控制帶電粒子的運動。如圖所示,圓心為O、半徑為R的圓形區域內存在垂直于紙面的勻強磁場(圖中未畫出),PQ、EF是兩條相互垂直的直徑,圓形區域左側有一平行EF、關于PQ對稱放置的線狀粒子源,可以沿平行于PQ的方向發射質量為m、電荷量為q、速率均為v0的帶正電的粒子,粒子源的長度為R,從粒子源上邊緣發射的粒子經磁場偏轉后從F點射出磁場。不計粒子重力及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　　)
[A] 勻強磁場的方向垂直于紙面向里
[B] 粒子源發射的粒子均從E點射出磁場
[C] 勻強磁場的磁感應強度大小為
[D] 粒子在磁場中運動的最短時間為
【答案】 D
【解析】 帶正電的粒子在磁場中向下偏轉,根據左手定則可知勻強磁場的方向垂直于紙面向外,故A錯誤;如圖甲所示,
設粒子的運動半徑為r,根據幾何關系可得CF=,[R-(r-R)]2+()2=r2,解得r=R,根據洛倫茲力提供向心力,有qv0B=m,解得B=,故C錯誤;任意一點射入磁場,粒子的運動半徑都等于R,如圖乙所示,由幾何關系可知四邊形OIJF恒為一個菱形,OF∥IJ,所以所有的粒子都從F點射出,故B錯誤;
所有粒子在磁場中運動半徑都相等,運動軌跡的圓弧越短,在磁場中運動的時間越短,如圖丙所示,由幾何關系可得sin ∠HO2F=,解得∠HO2F=30°,粒子在磁場中運動的周期T=,則粒子在磁場中運動的最短時間tmin=T=,故D正確。
6.(6分)(多選)如圖所示,磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的圓形勻強磁場,磁場半徑為R,MN是一豎直放置的足夠長的感光板。大量相同的帶正電粒子從圓形磁場最高點P以速率v沿不同方向垂直磁場方向射入,不考慮速度沿圓形磁場切線方向入射的粒子。粒子質量為m,電荷量為q,不考慮粒子間的相互作用和粒子的重力。關于這些粒子的運動,以下說法正確的是(　　)
[A] 對著圓心入射的粒子,速度越大在磁場中通過的時間越短
[B] 對著圓心入射的粒子,速度越大在磁場中通過的時間越長
[C] 若粒子速度大小均為v=,出射后均可垂直打在MN上
[D] 若粒子速度大小均為v=,則粒子在磁場中的運動時間一定小于
【答案】 ACD
【解析】 對著圓心入射的粒子,速度越大在磁場中做圓周運動的軌跡半徑越大,弧長越長,軌跡對應的圓心角越小,由t=T=可知,運動時間越短,故A正確,B錯誤。粒子速度大小均為v=時,根據洛倫茲力提供向心力可得粒子的軌跡半徑為r==R,根據幾何關系可知,入射點P、O、出射點與軌跡圓的圓心的連線構成菱形,射出磁場時的軌跡半徑與PO平行,故粒子射出磁場時的速度方向與MN垂直,出射后均可垂直打在MN上;根據幾何關系可知,軌跡對應的圓心角小于180°,粒子在磁場中的運動時間t7.(6分)(2024·安徽滁州階段練習)(多選)如圖所示,在豎直面內半徑為R、圓心為O′的圓形區域內有垂直于紙面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場(圖中未畫出),圓形區域與y軸相切于原點。在坐標系的第二、三象限有沿x軸正方向的勻強電場,一比荷為的帶正電粒子(不計重力),從坐標為(-R,)的P點無初速度釋放,經電場加速后從圓形磁場邊界上的A點以一定的速度沿x軸正方向水平射入磁場,恰好能從坐標為(R,-R)的N點射出,則下列說法正確的是(　　)
[A] 勻強電場的電場強度為
[B] 粒子在磁場中運動的時間為
[C] 若粒子從點(-R,0)釋放,則粒子從N點射出磁場
[D] 若粒子從點(-R,-)釋放,則粒子從N點左側射出磁場
【答案】 ABC
【解析】 進入磁場中的軌跡如圖所示。粒子恰好從N點射出,根據幾何關系可知,粒子在磁場中轉過的圓心角為∠AO″N=∠AO′N=∠AO′O+∠OO′N=120°,運動時間為t=·=,粒子在磁場中運動的半徑為r=AO′=R,根據Bqv=m,在電場中,根據動能定理可得EqR=mv2,解得E=,故A、B正確;若粒子從點(-R,0)釋放,根據幾何關系可得粒子從N點射出磁場,若粒子從點(-R,-)釋放,由于運動半徑為R,則根據圓的數學知識結合幾何關系可知,粒子從N點射出磁場,故C正確,D錯誤。
8.(26分)(2024·四川南充三模)如圖,真空中半徑r=0.5 m的圓形磁場與坐標原點相切,磁場的磁感應強度大小B=1.0×10-3 T,方向垂直于紙面向外,在x=1 m和x=2 m之間的區域內有一沿y軸正方向的勻強電場區域,電場強度E=7.5×102 N/C,在x=3 m處有一垂直于x軸方向的足夠長的熒光屏,一群比荷=2.0×109 C/kg帶正電的粒子,從O點以v=1.0×106 m/s在xOy平面內沿著與x軸正方向成θ(0°≤θ≤120°)角的方向同時射出,不計粒子重力及其相互作用,求:
(1)粒子在磁場中運動的半徑大小R;
(2)最先到達熒光屏的粒子所用時間t以及其到達熒光屏前速度與x軸正方向夾角的正
切值;
(3)熒光屏上有粒子擊中的范圍。
【答案】 (1)0.5 m　(2)3×10-6 s　1.5　(3)2.25 m≤Y≤3 m
【解析】 (1)根據洛倫茲力提供向心力,有
qvB=,
代入數據解得R=0.5 m。
(2)沿x軸正方向射出的粒子最先到達熒光屏,沿x軸正方向一直做勻速直線運動,則
t=,
代入數據解得t=3×10-6 s,
粒子在電場中做類平拋運動,有
qE=may,t2=,vy=ayt2,tan θ=,
聯立以上各式,代入數據解得tan θ=1.5。
(3)根據磁發散原理知,所有粒子離開磁場邊界時速度都平行于x軸正方向,如圖所示,
與x軸正方向夾角為120°射出的粒子出磁場時與x軸的距離為y1,則y1=R+Rsin 30°,
代入數據解得y1=0.75 m,
設粒子在電場中沿y軸方向的位移大小為y2,
y2=ay,
代入數據解得y2=0.75 m,
在無場區根據三角形相似得=,x3=1 m,
解得y3=1.5 m,
沿x軸正方向射出的粒子擊中熒光屏時到x軸的距離為Y1=y2+y3=2.25 m,
與x軸正方向夾角為120°射出的粒子擊中熒光屏時到x軸的距離為Y2=y1+y2+y3=3 m,
綜上可得,光屏上有粒子擊中的范圍為2.25 m≤Y≤3 m。
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)第5講　小專題:“磁發散”和“磁聚焦”
1.在圓形邊界的勻強磁場中,如果帶電粒子做勻速圓周運動的半徑恰好等于磁場區域圓的半徑,則有如下兩個重要結論:
磁發散 磁聚焦
如圖甲所示,當粒子從磁場邊界上同一點沿不同方向進入磁場區域時,粒子離開磁場時的速度方向一定平行,而且與入射點的切線方向平行。此情境稱為“磁發散” 如圖乙所示,當粒子以相互平行的速度從磁場邊界上任意位置進入磁場區域時,粒子一定會從同一點離開磁場區域,而且該點切線與入射方向平行。此情境稱為“磁聚焦”
2.磁聚焦(發散)模型的應用
(1)帶電粒子的會聚。
如圖甲所示,大量同種帶正電的粒子(不計重力),速度大小相等,平行入射到圓形磁場區域,如果軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等,則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點B點射出。
證明:四邊形OAO′B為菱形,必是平行四邊形,則有OB必平行于AO′,可知從A點發出的帶電粒子必然經過B點。
(2)帶電粒子的發散。
如圖乙所示,有界圓形磁場的磁感應強度為B,圓心為O,從P點有大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子,以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場,不計粒子受到的重力,如果帶正電粒子的軌跡圓半徑與有界圓形磁場半徑相等,則所有粒子射出磁場的方向平行。
證明:所有粒子運動軌跡的圓心與邊界圓圓心O、入射點、出射點的連線為菱形,也是平行四邊形,O1A、O2B、O3C均平行于PO,即出射速度方向相同。
[例1] 【磁發散模型】 (2025·湖北荊州模擬)(多選)在邊長為L的正方形abcd的部分區域內存在著方向垂直于紙面向外的勻強磁場,a點處有離子源,可以向正方形abcd所在區域的任意方向發射速率均為v的相同的正離子,且所有離子均垂直bc邊射出,下列說法正確的是(　　)
[A] 離子在磁場中做圓周運動的半徑為2L
[B] 離子在磁場中運動的最長時間為
[C] 磁場區域的最小面積為L2
[D] 離子入射速度方向與ab邊夾角為60°時,將從bc邊中點射出
[例2] 【磁聚焦模型】 (2025·重慶巴中聯盟模擬)磁聚焦法測量電子比荷的裝置如圖所示。在抽成真空的玻璃管中裝有熱陰極K和有小孔的陽極A。在A、K之間加大小為U0的電壓,對電子進行加速(初速度視為零),電子由陽極小孔高速射出;在尺寸很小的電容器C的兩極板間加一不大的周期性交變電場,使不同時刻通過這里的電子速度方向發生不同程度的微小偏轉,在電容器右端和熒光屏之間加一沿軸線方向(圖中水平虛線)的勻強磁場,進入磁場的電子會沿不同的螺旋線運動,每繞行一周后都會到達同一位置聚焦,電容器到熒光屏的水平距離為l,調節磁感應強度的大小為B時,可使電子流的第一個焦點落在熒光屏S上。不計電子所受的重力和電子間的相互作用,當θ非常小時滿足cos θ≈1,sin θ≈θ,下列說法正確的是(　　)
[A] 帶電粒子所受洛倫茲力的方向與軸線不垂直
[B] 不同時刻進入電容器的電子運動軌跡一定不同
[C] 利用該設備測出電子的比荷=
[D] 若電子經過電容器后偏離軸線方向的最大角度為θ,該裝置中帶電粒子螺旋運動段的玻璃管內徑(直徑)應滿足D≥
(滿分:60分)
1.(4分)(2024·河北張家口開學考試)如圖所示,圓形區域半徑為r,區域內存在磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向內的勻強磁場,一束不計重力的帶正電粒子,質量均為m,電荷量均為q,以垂直于區域圓直徑MN的相同速度飛入圓形勻強磁場區域后發生偏轉,都恰好能在區域邊緣的同一點射出磁場區域,不計粒子間相互作用力,則下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子將于M點射出磁場
[B] 所有粒子在磁場中的運動時間相同
[C] 射出粒子的速度方向均相同
[D] 粒子速度大小為v=
2.(4分)(2025·河北衡水模擬)如圖所示,紙面內有寬為L、水平向右飛行的帶電粒子流,粒子質量為m,電荷量為-q,速率為v0,不考慮粒子的重力及相互間的作用,要使粒子都匯聚到一點,可以在粒子流的右側虛線框內設計一勻強磁場區域,則磁場區域的形狀及對應的磁感應強度可以是下圖中的(其中B0=,A、C、D選項中的曲線均是半徑為L的圓弧,B選項中曲線是半徑為的圓)(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.(4分)(2025·廣東梅州模擬)如圖所示,扇形區域AOB內存在垂直于平面向里的勻強磁場,OA和OB互相垂直,是扇形的兩條半徑,一個帶電粒子(不計重力)從A點沿AO方向進入磁場,從B點離開,若該粒子以同樣的速度從C點平行于AO方向進入磁場,則(　　)
[A] 粒子帶負電
[B] C點越靠近B點,粒子偏轉角度越大
[C] C點越遠離B點,粒子運動時間越短
[D] 只要C點在A、B之間,粒子仍然從B點離開磁場
4.(6分)(多選)如圖所示為一圓形區域,O為圓心,半徑為R,P為邊界上的一點,區域內有垂直于紙面的勻強磁場(圖中未畫出),磁感應強度大小為B。電荷量為q、質量為m的相同帶電粒子a、b(不計重力)從P點先后以大小相等的速率v=射入磁場,粒子a正對圓心射入,粒子b射入磁場時的速度方向與粒子a射入時的速度方向成θ角,已知粒子a與粒子b在磁場中運動的時間之比為3∶4,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑r=R
[B] θ=60°
[C] θ=30°
[D] a、b粒子離開磁場時的速度方向也成θ角
5.(4分)(2024·新疆喀什階段練習)在電子技術中,科研人員經常通過在適當的區域施加磁場控制帶電粒子的運動。如圖所示,圓心為O、半徑為R的圓形區域內存在垂直于紙面的勻強磁場(圖中未畫出),PQ、EF是兩條相互垂直的直徑,圓形區域左側有一平行EF、關于PQ對稱放置的線狀粒子源,可以沿平行于PQ的方向發射質量為m、電荷量為q、速率均為v0的帶正電的粒子,粒子源的長度為R,從粒子源上邊緣發射的粒子經磁場偏轉后從F點射出磁場。不計粒子重力及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　　)
[A] 勻強磁場的方向垂直于紙面向里
[B] 粒子源發射的粒子均從E點射出磁場
[C] 勻強磁場的磁感應強度大小為
[D] 粒子在磁場中運動的最短時間為
6.(6分)(多選)如圖所示,磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的圓形勻強磁場,磁場半徑為R,MN是一豎直放置的足夠長的感光板。大量相同的帶正電粒子從圓形磁場最高點P以速率v沿不同方向垂直磁場方向射入,不考慮速度沿圓形磁場切線方向入射的粒子。粒子質量為m,電荷量為q,不考慮粒子間的相互作用和粒子的重力。關于這些粒子的運動,以下說法正確的是(　　)
[A] 對著圓心入射的粒子,速度越大在磁場中通過的時間越短
[B] 對著圓心入射的粒子,速度越大在磁場中通過的時間越長
[C] 若粒子速度大小均為v=,出射后均可垂直打在MN上
[D] 若粒子速度大小均為v=,則粒子在磁場中的運動時間一定小于
7.(6分)(2024·安徽滁州階段練習)(多選)如圖所示,在豎直面內半徑為R、圓心為O′的圓形區域內有垂直于紙面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場(圖中未畫出),圓形區域與y軸相切于原點。在坐標系的第二、三象限有沿x軸正方向的勻強電場,一比荷為的帶正電粒子(不計重力),從坐標為(-R,)的P點無初速度釋放,經電場加速后從圓形磁場邊界上的A點以一定的速度沿x軸正方向水平射入磁場,恰好能從坐標為(R,-R)的N點射出,則下列說法正確的是(　　)
[A] 勻強電場的電場強度為
[B] 粒子在磁場中運動的時間為
[C] 若粒子從點(-R,0)釋放,則粒子從N點射出磁場
[D] 若粒子從點(-R,-)釋放,則粒子從N點左側射出磁場
8.(26分)(2024·四川南充三模)如圖,真空中半徑r=0.5 m的圓形磁場與坐標原點相切,磁場的磁感應強度大小B=1.0×10-3 T,方向垂直于紙面向外,在x=1 m和x=2 m之間的區域內有一沿y軸正方向的勻強電場區域,電場強度E=7.5×102 N/C,在x=3 m處有一垂直于x軸方向的足夠長的熒光屏,一群比荷=2.0×109 C/kg帶正電的粒子,從O點以v=1.0×106 m/s在xOy平面內沿著與x軸正方向成θ(0°≤θ≤120°)角的方向同時射出,不計粒子重力及其相互作用,求:
(1)粒子在磁場中運動的半徑大小R;
(2)最先到達熒光屏的粒子所用時間t以及其到達熒光屏前速度與x軸正方向夾角的正
切值;
(3)熒光屏上有粒子擊中的范圍。
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高中總復習·物理
第5講　
小專題:“磁發散”和“磁聚焦”
1.在圓形邊界的勻強磁場中,如果帶電粒子做勻速圓周運動的半徑恰好等于磁場區域圓的半徑,則有如下兩個重要結論:
磁發散 磁聚焦
如圖甲所示,當粒子從磁場邊界上同一點沿不同方向進入磁場區域時,粒子離開磁場時的速度方向一定平行,而且與入射點的切線方向平行。此情境稱為“磁發散” 如圖乙所示,當粒子以相互平行的速度從磁場邊界上任意位置進入磁場區域時,粒子一定會從同一點離開磁場區域,而且該點切線與入射方向平行。此情境稱為“磁聚焦”
2.磁聚焦(發散)模型的應用
(1)帶電粒子的會聚。
如圖甲所示,大量同種帶正電的粒子(不計重力),速度大小相等,平行入射到圓形磁場區域,如果軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等,則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點B點射出。
證明:四邊形OAO′B為菱形,必是平行四邊形,則有OB必平行于AO′,可知從A點發出的帶電粒子必然經過B點。
(2)帶電粒子的發散。
如圖乙所示,有界圓形磁場的磁感應強度為B,圓心為O,從P點有大量質量為m、電荷量為q的帶正電粒子,以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場,不計粒子受到的重力,如果帶正電粒子的軌跡圓半徑與有界圓形磁場半徑相等,則所有粒子射出磁場的方向平行。
證明:所有粒子運動軌跡的圓心與邊界圓圓心O、入射點、出射點的連線為菱形,也是平行四邊形,O1A、O2B、O3C均平行于PO,即出射速度方向相同。
[例1] 【磁發散模型】 (2025·湖北荊州模擬)(多選)在邊長為L的正方形abcd的部分區域內存在著方向垂直于紙面向外的勻強磁場,a點處有離子源,可以向正方形abcd所在區域的任意方向發射速率均為v的相同的正離子,且所有離子均垂直bc邊射出,下列說法正確的是(　　 )
CD
[例2] 【磁聚焦模型】 (2025·重慶巴中聯盟模擬)磁聚焦法測量電子比荷的裝置如圖所示。在抽成真空的玻璃管中裝有熱陰極K和有小孔的陽極A。在A、K之間加大小為U0的電壓,對電子進行加速(初速度視為零),電子由陽極小孔高速射出;在尺寸很小的電容器C的兩極板間加一不大的周期性交變電場,使不同時刻通過這里的電子速度方向發生不同程度的微小偏轉,在電容器右端和熒光屏之間加一沿軸線方向(圖中水平虛線)的勻強磁場,進入磁場的電子會沿不同的螺旋線運動,每繞行一周后都會到達同一位置聚焦,電容器到熒光屏的水平距離為l,調節磁感應強度的大小為B時,可使電子流的第一個焦點落在熒光屏S上。
不計電子所受的重力和電子間的相互作用,當θ非常小時滿足cos θ≈1,sin θ≈θ,下列說法正確的是(　　)
[A] 帶電粒子所受洛倫茲力的方向與軸線不垂直
[B] 不同時刻進入電容器的電子運動軌跡一定不同
C
1.(4分)(2024·河北張家口開學考試)如圖所示,圓形區域半徑為r,區域內存在磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向內的勻強磁場,一束不計重力的帶正電粒子,質量均為m,電荷量均為q,以垂直于區域圓直徑MN的相同速度飛入圓形勻強磁場區域后發生偏轉,都恰好能在區域邊緣的同一點射出磁場區域,不計粒子間相互作用力,則下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子將于M點射出磁場
[B] 所有粒子在磁場中的運動時間相同
[C] 射出粒子的速度方向均相同
基礎對點練
D
A
[A] [B] [C] [D]
3.(4分)(2025·廣東梅州模擬)如圖所示,扇形區域AOB內存在垂直于平面向里的勻強磁場,OA和OB互相垂直,是扇形的兩條半徑,一個帶電粒子(不計重力)從A點沿AO方向進入磁場,從B點離開,若該粒子以同樣的速度從C點平行于AO方向進入磁場,則(　　)
[A] 粒子帶負電
[B] C點越靠近B點,粒子偏轉角度越大
[C] C點越遠離B點,粒子運動時間越短
[D] 只要C點在A、B之間,粒子仍然從B點離開磁場
D
【解析】由題意,粒子從A點進入磁場,從B點離開,由左手定則可以確定粒子帶正電,故A錯誤;由題意知,粒子做圓周運動的半徑等于磁場圓弧區域的半徑,根據磁聚焦的原理,當入射方向平行時,這些粒子將從同一點射出,如圖所示,從點A、C、C1、C2以相同的方向進入磁場,則這些粒子從同一點B射出,由圖可知,C點越靠近B點,偏轉角越小,運動時間越短,越遠離B點,偏轉角越大,運動時間越長,故D正確,B、C錯誤。
[A] 粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑r=R
[B] θ=60°
[C] θ=30°
[D] a、b粒子離開磁場時的速度方向也成θ角
AC
5.(4分)(2024·新疆喀什階段練習)在電子技術中,科研人員經常通過在適當的區域施加磁場控制帶電粒子的運動。如圖所示,圓心為O、半徑為R的圓形區域內存在垂直于紙面的勻強磁場(圖中未畫出),PQ、EF是兩條相互垂直的直徑,圓形區域左側有一平行EF、關于PQ對稱放置的線狀粒子源,可以沿平行于PQ的方向發射質量為m、電荷量為q、速率均為v0的帶正電的粒子,粒子源的長度為R,從粒子源上邊緣發射的粒子經磁場偏轉后從F點射出磁場。不計粒子重力及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　　)
D
【解析】 帶正電的粒子在磁場中向下偏轉,根據左手定則可知勻強磁場的方向垂直于紙面向外,故A錯誤;如圖甲所示,
6.(6分)(多選)如圖所示,磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的圓形勻強磁場,磁場半徑為R,MN是一豎直放置的足夠長的感光板。大量相同的帶正電粒子從圓形磁場最高點P以速率v沿不同方向垂直磁場方向射入,不考慮速度沿圓形磁場切線方向入射的粒子。粒子質量為m,電荷量為q,不考慮粒子間的相互作用和粒子的重力。關于這些粒子的運動,以下說法正確的是(　 　)
ACD
ABC
綜合提升練
8.(26分)(2024·四川南充三模)如圖,真空中半徑r=0.5 m的圓形磁場與坐標原點相切,磁場的磁感應強度大小B=1.0×10-3 T,方向垂直于紙面向外,在x=1 m和x=2 m之間的區域內有一沿y軸正方向的勻強電場區域,電場強度E=7.5×102 N/C,在x=3 m處有一垂直于x軸方向的足夠長的熒光屏,一群比荷=2.0×109 C/kg帶正電的粒子,從O點以v=1.0×106 m/s在xOy平面內沿著與x軸正方向成θ(0°≤θ≤120°)角的方向同時射出,不計粒子重力及其相互作用,求:
(1)粒子在磁場中運動的半徑大小R;
【答案】 (1)0.5 m
(2)最先到達熒光屏的粒子所用時間t以及其到達熒光屏前速度與x軸正方向夾角的正切值;
【答案】 (2)3×10-6 s　1.5　
(3)熒光屏上有粒子擊中的范圍。
【解析】(3)根據磁發散原理知,所有粒子離開磁場邊界時速度都平行于x軸正方向,如圖所示,
與x軸正方向夾角為120°射出的粒子出磁場時與x軸的距離為y1,
則y1=R+Rsin 30°,
代入數據解得y1=0.75 m,
【答案】 (3)2.25 m≤Y≤3 m
沿x軸正方向射出的粒子擊中熒光屏時到x軸的距離為Y1=y2+y3=2.25 m,
與x軸正方向夾角為120°射出的粒子擊中熒光屏時到x軸的距離為Y2=y1+y2+y3=3 m,
綜上可得,光屏上有粒子擊中的范圍為2.25 m≤Y≤3 m。

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