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第7講　小專題:帶電粒子在組合場中的運動
考點一　磁場與磁場的組合
磁場與磁場的組合問題實質就是兩個有界磁場中的圓周運動問題,帶電粒子在兩個磁場中的速度大小相等,但軌跡半徑和運動周期往往不同。解題時要充分利用兩段圓弧軌跡的銜接點與兩圓心共線的特點,進一步尋找邊角關系。
[例1]
【磁場與磁場的組合】 (2024·陜西西安階段練習)(多選)如圖所示,邊長為L的正方形abcd內以對角線ac為界,在△abc區域內存在垂直于紙面向外的勻強磁場,磁場的磁感應強度大小為B1;在△adc區域內存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁場的磁感應強度大小為B2。一質量為m、帶電荷量為q(q>0)的帶電粒子在b點以速度大小v=沿bc方向射入磁場,粒子最后垂直于cd方向射出磁場,不計粒子重力,以下說法正確的是(　　)
[A] =
[B] =-1
[C] 粒子先后在兩個磁場中的運動時間之比為 =1
[D] 粒子先后在兩個磁場中的運動時間之比為 =+1
【答案】 BD
【解析】 根據帶電粒子在磁場中運動半徑公式 r=,代入得粒子在第一個磁場中運動的半徑為r1=L,以a為圓心畫出軌跡圖可知粒子垂直對角線ac進入第二個磁場,可知在第二個磁場中的軌跡的圓心肯定在直線ac上,由題可知粒子垂直cd邊射出,所以圓心肯定在dc邊上,所以在第二個磁場中軌跡的圓心一定在c點,由幾何關系可知,運動半徑 r2=(-1)L,聯立解得==-1,選項A錯誤,B正確;粒子在兩個磁場中運動的圓心角之比為1∶1,根據T=,所以運動時間t=T=∝,運動時間之比==+1,選項C錯誤,D正確。
考點二　電場與磁場的組合
1.先電場后磁場
先電場后磁場的幾種常見情形:
(1)帶電粒子先在勻強電場中做勻變速直線運動,然后垂直磁場方向進入勻強磁場做勻速圓周運動,如圖甲。
(2)帶電粒子先在勻強電場中做類平拋運動,然后垂直磁場方向進入磁場做勻速圓周運動,如圖乙。
2.先磁場后電場
常見 情境 進入電場時粒子速度方向與電場方向平行 進入電場時粒子速度方向與電場方向垂直 進入電場時粒子速度方向與電場方向成一定角度(非直角)
運動 示意圖
在電場 中的運 動性質 勻變速直線運動 類平拋運動 類斜拋運動
分析 方法 動能定理或牛頓運動定律結合運動學公式 平拋運動知識,運動的合成與分解 斜拋運動知識,運動的合成與分解
[例2] 【從電場進入磁場】 (2024·廣東卷,15)如圖甲所示,兩塊平行正對的金屬板水平放置,板間加上如圖乙所示幅值為U0、周期為t0的交流電壓。金屬板左側存在一水平向右的恒定勻強電場,右側分布著垂直紙面向外的勻強磁場,磁感應強度大小為B。一帶電粒子在t=0時刻從左側電場某處由靜止釋放,在 t=t0時刻從下板左端邊緣位置水平向右進入金屬板間的電場內,在t=2t0時刻第一次離開金屬板間的電場、水平向右進入磁場,并在t=3t0時刻從下板右端邊緣位置再次水平進入金屬板間的電場。已知金屬板的板長是板間距離的倍,粒子質量為m。忽略粒子所受的重力和場的邊緣效應。
(1)判斷帶電粒子的電性并求其所帶的電荷量q;
(2)求金屬板的板間距離D和帶電粒子在t=t0時刻的速度大小v;
(3)求從t=0時刻開始到帶電粒子最終碰到上金屬板的過程中,電場力對粒子做的功W。
【答案】 (1)正電　　(2)　π
(3)(16+π2)
【解析】 (1)粒子在左側電場中由靜止做加速運動,可知粒子帶正電,粒子在磁場中做勻速圓周運動,根據牛頓第二定律有qvB=m,T=,
得T=,
根據粒子在磁場中的運動軌跡可知T=2t0,
解得q=。
(2)設金屬板的板間距離為D,則板長為,粒子在板間運動時,=vt0,
粒子在板間運動時,由牛頓第二定律可知
a==,
出電場時豎直方向速度為零有
y=2×a()2,
在磁場中有qvB=m,
其中y=2R,
聯立解得D=,v=π。
(3)由(1)(2)結果可知金屬板的板間距離
D=3R,
可知粒子運動情況如圖所示,
即全過程電場力做功為左側加速電場做功W1和交變偏轉電場做功W2,
W1=mv2,W2=U0q,
聯立解得W=W1+W2=(16+π2)。
[例3]
【從磁場進入電場】 (2024·湖南卷,14)如圖,有一內半徑為2r、長為L的圓筒,左右端面圓心O′、O處各開有一小孔。以O為坐標原點,取O′O方向為x軸正方向建立xyz坐標系。在筒內x≤0區域有一勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向沿x軸正方向;筒外x≥0區域有一勻強電場,場強大小為E,方向沿y軸正方向。一電子槍在O′處向圓筒內多個方向發射電子,電子初速度方向均在xOy平面內,且在x軸正方向的分速度大小均為v0。已知電子的質量為m、電量為e,設電子始終未與筒壁碰撞,不計電子之間的相互作用及電子的重力。
(1)若所有電子均能經過O進入電場,求磁感應強度B的最小值;
(2)取(1)問中最小的磁感應強度B,若進入磁場中電子的速度方向與x軸正方向最大夾角為θ,求tan θ的絕對值;
(3)取(1)問中最小的磁感應強度B,求電子在電場中運動時y軸正方向的最大位移。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)電子在勻強磁場中運動時,將其分解為沿x軸的勻速直線運動和在yOz平面內的勻速圓周運動,設電子入射時沿y軸的分速度大小為vy,由電子在x軸方向做勻速直線運動得 L=v0t,
在yOz平面內,設電子做勻速圓周運動的半徑為R,周期為T,由牛頓第二定律知
Bevy=m,
可得R=,
T==,
由題意可知所有電子均能經過O進入電場,則有
t=nT(n=1,2,3,…),
且R≤r,
聯立得B=,
當n=1時,B有最小值,可得Bmin=。
(2)
如圖所示,tan θ=,
當tan θ有最大值時,vy最大,
R最大,此時R=r,
又B=,R=,
聯立可得vym=,
tan θ=。
(3)當vy最大時,電子在電場中運動時沿y軸正方向有最大位移ym,根據勻變速直線運動規律有ym=,
由牛頓第二定律知a=,
又vym=,
聯立得ym=。
考點三　多個電場和磁場的組合
帶電粒子在多個組合場的運動
(1)多個組合場:電場與磁場各位于一定的區域內,并不重疊,或在同一區域,電場、磁場交替出現。
(2)分析思路。
①畫運動軌跡:根據受力分析和運動學分析,大致畫出帶電粒子的運動軌跡圖。
②找關鍵點:確定帶電粒子在場區邊界的速度(包括大小和方向)是解決該類問題的關鍵。
③劃分過程:將帶電粒子運動的過程劃分為幾個不同的階段,對不同的階段選取不同的規律處理。
[例4] 【多個電場和磁場的組合】 (2024·黑吉遼卷,15)現代粒子加速器常用電磁場控制粒子團的運動及尺度。簡化模型如圖:Ⅰ、Ⅱ區寬度均為L,存在垂直于紙面的勻強磁場,磁感應強度等大反向;Ⅲ、Ⅳ區為電場區,Ⅳ區電場足夠寬,各區邊界均垂直于x軸,O為坐標原點。甲、乙為粒子團中的兩個電荷量均為+q,質量均為m的粒子。如圖,甲、乙平行于x軸向右運動,先后射入Ⅰ區時速度大小分別為v0和v0。甲到P點時,乙剛好射入Ⅰ區。乙經過Ⅰ區的速度偏轉角為30°,甲到O點時,乙恰好到P點。已知Ⅲ區存在沿+x方向的勻強電場,電場強度大小E0=。不計粒子重力及粒子間相互作用,忽略邊界效應及變化的電場產生的磁場。
(1)求磁感應強度的大小B;
(2)求Ⅲ區寬度d;
(3)Ⅳ區x軸上的電場方向沿x軸,電場強度E隨時間t、位置坐標x的變化關系為E=ωt-kx,其中常系數ω>0,ω已知、k未知,取甲經過O點時t=0。已知甲在Ⅳ區始終做勻速直線運動,設乙在Ⅳ區受到的電場力大小為F,甲、乙間距為Δx,求乙追上甲前F與Δx間的關系式(不要求寫出Δx的取值范圍)。
【答案】 (1)　(2)πL　(3)F=·Δx
【解析】 (1)乙粒子在Ⅰ區的運動軌跡如圖所示。
由洛倫茲力提供向心力有qv0B=m,
由幾何關系有sin 30°=,
聯立解得B=。
(2)由題意可知,根據對稱性,乙粒子在磁場中運動的時間為t1=2××=,
對甲粒子,由對稱性可知,甲粒子沿著直線從P點到O點,由運動學公式有d=v0t1+a,
由牛頓第二定律有a==,
聯立可得Ⅲ區寬度為d=πL。
(3)甲粒子經過O點時的速度為
v甲=v0+at1=3v0,
因為甲在Ⅳ區始終做勻速直線運動,則
ωt=kx=k×3v0t,
可得k=,
設乙粒子經過Ⅲ區的時間為t2,乙粒子在Ⅳ區運動時間為t0,則上式中t=t0+t2,
對乙可得=ω(t0+t2)-kx2,
整理可得x2=3v0(t0+t2)-,
對甲可得x1=3v0(t0+t2),
則Δx=x1-x2=,
可得乙追上甲前F與Δx間的關系式為
F=·Δx。
常見帶電粒子的運動及解題方法
(滿分:50分)
對點1.磁場與磁場的組合
1.
(4分)(2024·湖北武漢期中)如圖所示,豎直放置的PQ板左側為垂直于紙面向里的勻強磁場,右側為垂直于紙面向外的勻強磁場,磁感應強度大小均為B=0.332 T,一質量m=6.64×10-27 kg,帶電荷量q=3.2×10-19 C的粒子(不計重力)從小孔1位置以垂直板方向、大小為v=3.2×106 m/s的速度開始運動,依次通過小孔2、3、4,已知相鄰兩孔間的距離相等。則(　　)
[A] 粒子帶負電
[B] 相鄰兩孔間的距離為0.2 m
[C] 帶電粒子從小孔1運動到小孔4所需時間約為5.89×10-7 s
[D] 帶電粒子在PQ板右側勻強磁場中運動的時間約為1.95×10-7 s
【答案】 C
【解析】
由左手定則可判斷出粒子帶正電,故A錯誤;畫出粒子的運動軌跡如圖所示,由洛倫茲力提供向心力得qvB=m,可得R==0.2 m,則相鄰兩孔間的距離d=2R=0.4 m,故B錯誤;圓周運動周期為T=,帶電粒子從小孔1運動到小孔4所需時間等于1.5T,即t=≈5.89×10-7 s,故C正確;帶電粒子在PQ板右側勻強磁場中運動的時間等于T,T=≈3.93×10-7 s,故D錯誤。
2.
(4分)(2024·遼寧沈陽一模)如圖,xOy平面內有兩個相鄰的矩形勻強磁場Ⅰ和勻強磁場Ⅱ,方向垂直于xOy平面向下,磁感應強度大小分別為B和2B,磁場區域寬度分別為L1和L2,一電荷量為+q、質量為m的帶電粒子從y軸P點以與y軸夾角θ1的方向進入磁場Ⅰ,經過磁場Ⅰ和磁場Ⅱ后從磁場Ⅱ右邊界以與邊界夾角θ2的方向離開磁場Ⅱ,若不計重力,則下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子在勻強磁場Ⅰ運動的軌跡半徑是在勻強磁場Ⅱ運動軌跡半徑的3倍
[B] 粒子在勻強磁場Ⅱ運動的軌跡半徑是在勻強磁場Ⅰ運動軌跡半徑的2倍
[C] 粒子的入射速度為
[D] 粒子的入射速度為
【答案】 C
【解析】 粒子在磁場中運動時,洛倫茲力提供向心力,則有qvB=m,解得r=,所以粒子在勻強磁場Ⅰ運動的軌跡半徑是在勻強磁場Ⅱ運動軌跡半徑的2倍,故A、B錯誤;設帶電粒子在磁場Ⅰ中做勻速圓周運動的半徑為r1,在磁場Ⅱ中做勻速圓周運動的半徑為r2,過P點作入射速度的垂線,設圓心為O1,以O1為圓心、r1為半徑作圓弧交于兩磁場分界線的M點,連接MO1,設MO1與磁場分界線的夾角為α,過Q點作出射速度的垂線交MO1于O2點,如圖,
由幾何關系可知L1=r1cos θ1-r1sin α,L2=r2cos θ2+r2sin α,由于r1=2r2,聯立解得L1+2L2=2r2(cos θ1+cos θ2),根據洛倫茲力提供向心力有qv×2B=m,解得v=,故C正確,D錯誤。
對點2.電場與磁場的組合
3.
(4分)(2025·貴州安順模擬)如圖,在平面直角坐標系xOy的第一、四象限存在方向沿x軸正方向的勻強電場,在第二、三象限的區域存在方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場,磁感應強度大小為B。一個帶負電的粒子(重力不計)從x軸上的A點以大小為v0的初速度沿y軸正方向射出,粒子在電場和磁場中運動后回到A點。則電場強度E的大小為(　　)
[A] Bv0 [B] Bv0 [C] 2Bv0 [D] 4Bv0
【答案】 B
【解析】
依題意,粒子的運動軌跡如圖,設粒子從y軸進入磁場時速度方向與y軸夾角為θ,則進入磁場時的速度大小v=,沿x軸方向的速度大小vx=v0tan θ=t,其中y=v0t,粒子在磁場中運動的半徑r==,聯立解得E=Bv0,故B 正確。
4.
(6分)(2024·山東煙臺開學考試)(多選)如圖所示,紙面內存在上下寬度均為L的勻強電場與勻強磁場,勻強電場方向豎直向下,勻強磁場方向垂直于紙面向里,現有一比荷為k的帶正電粒子(不計重力)從電場的上邊界的a點由靜止釋放,運動到磁場的下邊界的b點時正好與下邊界相切,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子離開電場時的速度為BkL
[B] 勻強電場的電場強度為B2kL
[C] a、b兩點之間的距離為2L
[D] 粒子從a到b的運動時間為
【答案】 AD
【解析】 設粒子的質量為m,帶電荷量為q,則有k=,設粒子離開電場時的速度即粒子進入磁場的速度為v,粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R,由幾何關系可得R=L,由洛倫茲力提供向心力可得Bqv=,解得v=BkL,故A正確;由牛頓第二定律可得EqL=mv2,解得E=,故B錯誤;由幾何關系可得a、b兩點之間的距離為s==L,故C錯誤;粒子從a到b的運動時間為t=+,結合v=,可得t=,故D正確。
對點3.多個電場和磁場的組合
5.
(6分)(2024·河南商丘階段練習)(多選)如圖為一種質譜儀的示意圖,由加速電場、靜電分析器和磁分析器組成。若靜電分析器通道中心線的半徑為R,通道內為均勻輻射電場,在中心線處的電場強度大小為E,磁分析器有范圍足夠大的有界勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向外。一質量為m、電荷量為q的粒子從靜止開始經加速電場加速后沿中心線通過靜電分析器,由P點垂直邊界進入磁分析器,最終打到膠片上的Q點。不計粒子重力。下列說法正確的是(　　)
[A] 極板M比極板N的電勢高
[B] 加速電場的電壓U=ER
[C] 直徑PQ=2B
[D] 若一群粒子從靜止開始經過題述過程都落在膠片上的同一點,則該群粒子具有相同的比荷
【答案】 AD
【解析】 粒子在磁分析器內由P點打到Q點,由左手定則可知,粒子帶正電荷,則極板M比極板N的電勢高,故A正確;由qU=mv2和qE=可得,加速電場的電壓U=,故B錯誤;在磁場中,由牛頓第二定律得qvB=m,即r=,直徑PQ=2r==,可見只有比荷相同的粒子才能打在膠片上的同一點,故C錯誤,D正確。
6.(4分)(2024·遼寧大連模擬)利用電場和磁場可以控制微觀粒子的運動。如圖所示,金屬板AB和CD水平放置,中間開有小孔O1、O2,兩板之間加有加速電壓U0。金屬板EF和GH均是以O點為圓心,半徑分別為3R和R的同心圓弧板,O3O4也是以O點為圓心的圓弧,且到兩金屬板距離相等。長為2R的金屬板MN、PQ水平放置,點M、P分別和點F、H對齊,兩板之間加有偏轉電壓。質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從粒子源中飄進加速電場,初速度忽略不計。經電場加速,粒子恰好能沿圖示O1→O2→O3→O4→O5虛線軌跡運動,最后到達PQ板的中點K。不計場的邊界效應,不計粒子重力。下列說法正確的是(　　)
[A] 若EF、GH板之間加電壓,兩板間圓弧O3O4處的電場強度大小為
[B] 若EF、GH板之間加電壓,粒子打在K點的速度大小為
[C] 若EF、GH兩板之間加磁場,磁場一定不是勻強磁場
[D] 若MN、PQ兩板之間加垂直于紙面向外的勻強磁場,粒子到達PQ板時將打在K點左側
【答案】 B
【解析】 帶電粒子在電場中加速,有qU0=m,帶電粒子從O3到O4做勻速圓周運動,有qE=m,聯立可得E=,故A錯誤。粒子進入MN、PQ間做類平拋運動,根據平拋運動的推論可知,粒子速度方向和水平方向夾角的正切值等于位移與水平方向夾角正切值的2倍,則tan α===2,所以粒子打在K點的速度大小為v==,故B正確。若EF、GH兩板之間加磁場,且粒子仍能做勻速圓周運動,則磁場一定是勻強磁場,故C錯誤。若MN、PQ兩板之間加垂直于紙面向外的勻強磁場,則qv0B=m,解得B=,當磁感應強度等于B時,粒子到達PQ時打在K點;當磁感應強度小于B時,粒子到達PQ時可能打在K點右側,也可能打不到PQ板上;當磁感應強度大于B時,粒子到達PQ時可能打在K點左側,也可能打不到PQ板上,故D錯誤。
7.
(6分)(2025·湖北荊州模擬)(多選)如圖所示的xOy坐標系中,y軸的左側存在垂直于紙面向外、磁感應強度大小未知的勻強磁場,y軸右側的勻強磁場方向垂直于紙面,大小未知,一帶正電的粒子由y軸上(0,-L)處沿與y軸正方向成30°角的方向以速度v射入磁場,已知粒子的比荷為k,粒子在y軸右側的軌道半徑為L,最終粒子經過O點,粒子重力不計。下列說法正確的是(　　)
[A] 若y軸右側的磁場垂直于紙面向里,則y軸右側的磁感應強度大小為
[B] 若y軸右側的磁場垂直于紙面向里,則粒子從射入到運動至O點的時間為
[C] 若y軸右側的磁場垂直于紙面向外,則粒子從射入到運動至O點的時間可能為
[D] 若y軸右側的磁場垂直于紙面向外,則粒子從射入到運動至O點的時間可能為
【答案】 AD
【解析】 若y軸右側的磁場垂直于紙面向里,由題意作出粒子的運動軌跡,如圖甲所示,
根據qvB=m,解得B=,又有R=L,則有B=,A正確。由幾何關系可知粒子在y軸右側偏轉的角度為60°,則粒子從射入到運動至O點的時間t=,由于T=,解得t=,B錯誤。若y軸右側的磁場垂直于紙面向外,粒子可能在y軸左右兩側各偏轉一次經過O點,如圖乙所示,由幾何關系可知粒子在y軸左側的軌道半徑R1=2L,則y軸左側磁場的磁感應強度大小B1==,粒子運動的時間t1=T+,由于T1=,解得t1=;若y軸右側的磁場垂直于紙面向外,粒子可能在y軸的左側偏轉一次、在y軸的右側偏轉兩次后經過O點,如圖丙所示,
由幾何關系可知粒子在y軸左側的軌道半徑 R2=3L,則y軸左側磁場的磁感應強度大小B2==,粒子運動的時間t2=T+,由于T2=,解得t2=,C錯誤,D正確。
8.(16分)(2025·河南高考適應性考試)如圖,在水平虛線上方區域有豎直向下的勻強電場,電場強度大小為E,在虛線下方區域有垂直于紙面向外的勻強磁場。質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從距虛線高度為h的a點向右水平發射,當粒子進入磁場時其速度方向與水平虛線的夾角為45°。不計重力。
(1)求粒子進入磁場時的速度大小。
(2)若粒子第一次回到電場中高度為h時,粒子與a點的距離為x=2h,求磁場的磁感應強度大小的可能值。
(3)若粒子第一次回到電場中高度為h時,粒子在電場中運動的時間與在磁場中運動的時間相等,求粒子此時與a點的距離。
【答案】 (1)2　(2)或
(3)4h-
【解析】 (1)豎直方向上
qE=ma,=2ah,vy=v·sin 45°,
聯立得v=2。
(2)若粒子第一次回到電場中高度為h時,在a點右側,由平拋運動規律得x=2h,此時R1=h,
由洛倫茲力提供向心力有qvB=,
得B1=;
若粒子第一次回到電場中高度為h時,在a點左側,由幾何關系得R2=3h,
得B2=。
(3)在電場中,h=a,t=2t0=2,
在磁場中,t′=T=·,t′=t,
得B′=,
此時半徑r==,
粒子與a點的距離x′=4h-r=4h-。
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)第7講　小專題:帶電粒子在組合場中的運動
考點一　磁場與磁場的組合
磁場與磁場的組合問題實質就是兩個有界磁場中的圓周運動問題,帶電粒子在兩個磁場中的速度大小相等,但軌跡半徑和運動周期往往不同。解題時要充分利用兩段圓弧軌跡的銜接點與兩圓心共線的特點,進一步尋找邊角關系。
[例1]
【磁場與磁場的組合】 (2024·陜西西安階段練習)(多選)如圖所示,邊長為L的正方形abcd內以對角線ac為界,在△abc區域內存在垂直于紙面向外的勻強磁場,磁場的磁感應強度大小為B1;在△adc區域內存在垂直于紙面向里的勻強磁場,磁場的磁感應強度大小為B2。一質量為m、帶電荷量為q(q>0)的帶電粒子在b點以速度大小v=沿bc方向射入磁場,粒子最后垂直于cd方向射出磁場,不計粒子重力,以下說法正確的是(　　)
[A] =
[B] =-1
[C] 粒子先后在兩個磁場中的運動時間之比為 =1
[D] 粒子先后在兩個磁場中的運動時間之比為 =+1
考點二　電場與磁場的組合
1.先電場后磁場
先電場后磁場的幾種常見情形:
(1)帶電粒子先在勻強電場中做勻變速直線運動,然后垂直磁場方向進入勻強磁場做勻速圓周運動,如圖甲。
(2)帶電粒子先在勻強電場中做類平拋運動,然后垂直磁場方向進入磁場做勻速圓周運動,如圖乙。
2.先磁場后電場
常見 情境 進入電場時粒子速度方向與電場方向平行 進入電場時粒子速度方向與電場方向垂直 進入電場時粒子速度方向與電場方向成一定角度(非直角)
運動 示意圖
在電場 中的運 動性質 勻變速直線運動 類平拋運動 類斜拋運動
分析 方法 動能定理或牛頓運動定律結合運動學公式 平拋運動知識,運動的合成與分解 斜拋運動知識,運動的合成與分解
[例2] 【從電場進入磁場】 (2024·廣東卷,15)如圖甲所示,兩塊平行正對的金屬板水平放置,板間加上如圖乙所示幅值為U0、周期為t0的交流電壓。金屬板左側存在一水平向右的恒定勻強電場,右側分布著垂直紙面向外的勻強磁場,磁感應強度大小為B。一帶電粒子在t=0時刻從左側電場某處由靜止釋放,在 t=t0時刻從下板左端邊緣位置水平向右進入金屬板間的電場內,在t=2t0時刻第一次離開金屬板間的電場、水平向右進入磁場,并在t=3t0時刻從下板右端邊緣位置再次水平進入金屬板間的電場。已知金屬板的板長是板間距離的倍,粒子質量為m。忽略粒子所受的重力和場的邊緣效應。
(1)判斷帶電粒子的電性并求其所帶的電荷量q;
(2)求金屬板的板間距離D和帶電粒子在t=t0時刻的速度大小v;
(3)求從t=0時刻開始到帶電粒子最終碰到上金屬板的過程中,電場力對粒子做的功W。
[例3]
【從磁場進入電場】 (2024·湖南卷,14)如圖,有一內半徑為2r、長為L的圓筒,左右端面圓心O′、O處各開有一小孔。以O為坐標原點,取O′O方向為x軸正方向建立xyz坐標系。在筒內x≤0區域有一勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向沿x軸正方向;筒外x≥0區域有一勻強電場,場強大小為E,方向沿y軸正方向。一電子槍在O′處向圓筒內多個方向發射電子,電子初速度方向均在xOy平面內,且在x軸正方向的分速度大小均為v0。已知電子的質量為m、電量為e,設電子始終未與筒壁碰撞,不計電子之間的相互作用及電子的重力。
(1)若所有電子均能經過O進入電場,求磁感應強度B的最小值;
(2)取(1)問中最小的磁感應強度B,若進入磁場中電子的速度方向與x軸正方向最大夾角為θ,求tan θ的絕對值;
(3)取(1)問中最小的磁感應強度B,求電子在電場中運動時y軸正方向的最大位移。
考點三　多個電場和磁場的組合
帶電粒子在多個組合場的運動
(1)多個組合場:電場與磁場各位于一定的區域內,并不重疊,或在同一區域,電場、磁場交替出現。
(2)分析思路。
①畫運動軌跡:根據受力分析和運動學分析,大致畫出帶電粒子的運動軌跡圖。
②找關鍵點:確定帶電粒子在場區邊界的速度(包括大小和方向)是解決該類問題的關鍵。
③劃分過程:將帶電粒子運動的過程劃分為幾個不同的階段,對不同的階段選取不同的規律處理。
[例4] 【多個電場和磁場的組合】 (2024·黑吉遼卷,15)現代粒子加速器常用電磁場控制粒子團的運動及尺度。簡化模型如圖:Ⅰ、Ⅱ區寬度均為L,存在垂直于紙面的勻強磁場,磁感應強度等大反向;Ⅲ、Ⅳ區為電場區,Ⅳ區電場足夠寬,各區邊界均垂直于x軸,O為坐標原點。甲、乙為粒子團中的兩個電荷量均為+q,質量均為m的粒子。如圖,甲、乙平行于x軸向右運動,先后射入Ⅰ區時速度大小分別為v0和v0。甲到P點時,乙剛好射入Ⅰ區。乙經過Ⅰ區的速度偏轉角為30°,甲到O點時,乙恰好到P點。已知Ⅲ區存在沿+x方向的勻強電場,電場強度大小E0=。不計粒子重力及粒子間相互作用,忽略邊界效應及變化的電場產生的磁場。
(1)求磁感應強度的大小B;
(2)求Ⅲ區寬度d;
(3)Ⅳ區x軸上的電場方向沿x軸,電場強度E隨時間t、位置坐標x的變化關系為E=ωt-kx,其中常系數ω>0,ω已知、k未知,取甲經過O點時t=0。已知甲在Ⅳ區始終做勻速直線運動,設乙在Ⅳ區受到的電場力大小為F,甲、乙間距為Δx,求乙追上甲前F與Δx間的關系式(不要求寫出Δx的取值范圍)。
常見帶電粒子的運動及解題方法
(滿分:50分)
對點1.磁場與磁場的組合
1.
(4分)(2024·湖北武漢期中)如圖所示,豎直放置的PQ板左側為垂直于紙面向里的勻強磁場,右側為垂直于紙面向外的勻強磁場,磁感應強度大小均為B=0.332 T,一質量m=6.64×10-27 kg,帶電荷量q=3.2×10-19 C的粒子(不計重力)從小孔1位置以垂直板方向、大小為v=3.2×106 m/s的速度開始運動,依次通過小孔2、3、4,已知相鄰兩孔間的距離相等。則(　　)
[A] 粒子帶負電
[B] 相鄰兩孔間的距離為0.2 m
[C] 帶電粒子從小孔1運動到小孔4所需時間約為5.89×10-7 s
[D] 帶電粒子在PQ板右側勻強磁場中運動的時間約為1.95×10-7 s
2.
(4分)(2024·遼寧沈陽一模)如圖,xOy平面內有兩個相鄰的矩形勻強磁場Ⅰ和勻強磁場Ⅱ,方向垂直于xOy平面向下,磁感應強度大小分別為B和2B,磁場區域寬度分別為L1和L2,一電荷量為+q、質量為m的帶電粒子從y軸P點以與y軸夾角θ1的方向進入磁場Ⅰ,經過磁場Ⅰ和磁場Ⅱ后從磁場Ⅱ右邊界以與邊界夾角θ2的方向離開磁場Ⅱ,若不計重力,則下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子在勻強磁場Ⅰ運動的軌跡半徑是在勻強磁場Ⅱ運動軌跡半徑的3倍
[B] 粒子在勻強磁場Ⅱ運動的軌跡半徑是在勻強磁場Ⅰ運動軌跡半徑的2倍
[C] 粒子的入射速度為
[D] 粒子的入射速度為
對點2.電場與磁場的組合
3.
(4分)(2025·貴州安順模擬)如圖,在平面直角坐標系xOy的第一、四象限存在方向沿x軸正方向的勻強電場,在第二、三象限的區域存在方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場,磁感應強度大小為B。一個帶負電的粒子(重力不計)從x軸上的A點以大小為v0的初速度沿y軸正方向射出,粒子在電場和磁場中運動后回到A點。則電場強度E的大小為(　　)
[A] Bv0 [B] Bv0 [C] 2Bv0 [D] 4Bv0
4.
(6分)(2024·山東煙臺開學考試)(多選)如圖所示,紙面內存在上下寬度均為L的勻強電場與勻強磁場,勻強電場方向豎直向下,勻強磁場方向垂直于紙面向里,現有一比荷為k的帶正電粒子(不計重力)從電場的上邊界的a點由靜止釋放,運動到磁場的下邊界的b點時正好與下邊界相切,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子離開電場時的速度為BkL
[B] 勻強電場的電場強度為B2kL
[C] a、b兩點之間的距離為2L
[D] 粒子從a到b的運動時間為
對點3.多個電場和磁場的組合
5.
(6分)(2024·河南商丘階段練習)(多選)如圖為一種質譜儀的示意圖,由加速電場、靜電分析器和磁分析器組成。若靜電分析器通道中心線的半徑為R,通道內為均勻輻射電場,在中心線處的電場強度大小為E,磁分析器有范圍足夠大的有界勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向外。一質量為m、電荷量為q的粒子從靜止開始經加速電場加速后沿中心線通過靜電分析器,由P點垂直邊界進入磁分析器,最終打到膠片上的Q點。不計粒子重力。下列說法正確的是(　　)
[A] 極板M比極板N的電勢高
[B] 加速電場的電壓U=ER
[C] 直徑PQ=2B
[D] 若一群粒子從靜止開始經過題述過程都落在膠片上的同一點,則該群粒子具有相同的比荷
6.(4分)(2024·遼寧大連模擬)利用電場和磁場可以控制微觀粒子的運動。如圖所示,金屬板AB和CD水平放置,中間開有小孔O1、O2,兩板之間加有加速電壓U0。金屬板EF和GH均是以O點為圓心,半徑分別為3R和R的同心圓弧板,O3O4也是以O點為圓心的圓弧,且到兩金屬板距離相等。長為2R的金屬板MN、PQ水平放置,點M、P分別和點F、H對齊,兩板之間加有偏轉電壓。質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從粒子源中飄進加速電場,初速度忽略不計。經電場加速,粒子恰好能沿圖示O1→O2→O3→O4→O5虛線軌跡運動,最后到達PQ板的中點K。不計場的邊界效應,不計粒子重力。下列說法正確的是(　　)
[A] 若EF、GH板之間加電壓,兩板間圓弧O3O4處的電場強度大小為
[B] 若EF、GH板之間加電壓,粒子打在K點的速度大小為
[C] 若EF、GH兩板之間加磁場,磁場一定不是勻強磁場
[D] 若MN、PQ兩板之間加垂直于紙面向外的勻強磁場,粒子到達PQ板時將打在K點左側
7.
(6分)(2025·湖北荊州模擬)(多選)如圖所示的xOy坐標系中,y軸的左側存在垂直于紙面向外、磁感應強度大小未知的勻強磁場,y軸右側的勻強磁場方向垂直于紙面,大小未知,一帶正電的粒子由y軸上(0,-L)處沿與y軸正方向成30°角的方向以速度v射入磁場,已知粒子的比荷為k,粒子在y軸右側的軌道半徑為L,最終粒子經過O點,粒子重力不計。下列說法正確的是(　　)
[A] 若y軸右側的磁場垂直于紙面向里,則y軸右側的磁感應強度大小為
[B] 若y軸右側的磁場垂直于紙面向里,則粒子從射入到運動至O點的時間為
[C] 若y軸右側的磁場垂直于紙面向外,則粒子從射入到運動至O點的時間可能為
[D] 若y軸右側的磁場垂直于紙面向外,則粒子從射入到運動至O點的時間可能為
8.(16分)(2025·河南高考適應性考試)如圖,在水平虛線上方區域有豎直向下的勻強電場,電場強度大小為E,在虛線下方區域有垂直于紙面向外的勻強磁場。質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從距虛線高度為h的a點向右水平發射,當粒子進入磁場時其速度方向與水平虛線的夾角為45°。不計重力。
(1)求粒子進入磁場時的速度大小。
(2)若粒子第一次回到電場中高度為h時,粒子與a點的距離為x=2h,求磁場的磁感應強度大小的可能值。
(3)若粒子第一次回到電場中高度為h時,粒子在電場中運動的時間與在磁場中運動的時間相等,求粒子此時與a點的距離。
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高中總復習·物理
第7講　
小專題:帶電粒子在組合場中的運動
磁場與磁場的組合問題實質就是兩個有界磁場中的圓周運動問題,帶電粒子在兩個磁場中的速度大小相等,但軌跡半徑和運動周期往往不同。解題時要充分利用兩段圓弧軌跡的銜接點與兩圓心共線的特點,進一步尋找邊角關系。
BD
考點二
電場與磁場的組合
1.先電場后磁場
先電場后磁場的幾種常見情形:
(1)帶電粒子先在勻強電場中做勻變速直線運動,然后垂直磁場方向進入勻強磁場做勻速圓周運動,如圖甲。
(2)帶電粒子先在勻強電場中做類平拋運動,然后垂直磁場方向進入磁場做勻速圓周運動,如圖乙。
2.先磁場后電場
常見 情境 進入電場時粒子速度方向與電場方向平行 進入電場時粒子速度方向與電場方向垂直 進入電場時粒子速度方向與電場方向成一定角度
(非直角)
運動 示意圖
在電場中的運動性質 勻變速直線運動 類平拋運動 類斜拋運動
分析 方法 動能定理或牛頓運動定律結合運動學公式 平拋運動知識,運動的合成與分解 斜拋運動知識,運動的合成與分解
(1)判斷帶電粒子的電性并求其所帶的電荷量q;
(2)求金屬板的板間距離D和帶電粒子在t=t0時刻的速度大小v;
(3)求從t=0時刻開始到帶電粒子最終碰到上金屬板的過程中,電場力對粒子做的功W。
[例3] 【從磁場進入電場】 (2024·湖南卷,14)如圖,有一內半徑為2r、長為L的圓筒,左右端面圓心O′、O處各開有一小孔。以O為坐標原點,取O′O方向為x軸正方向建立xyz坐標系。在筒內x≤0區域有一勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向沿x軸正方向;筒外x≥0區域有一勻強電場,場強大小為E,方向沿y軸正方向。一電子槍在O′處向圓筒內多個方向發射電子,電子初速度方向均在xOy平面內,且在x軸正方向的分速度大小均為v0。已知電子的質量為m、電量為e,設電子始終未與筒壁碰撞,不計電子之間的相互作用及電子的
重力。
(1)若所有電子均能經過O進入電場,求磁感應強度B的最小值;
(2)取(1)問中最小的磁感應強度B,若進入磁場中電子的速度方向與x軸正方向最大夾角為θ,求tan θ的絕對值;
(3)取(1)問中最小的磁感應強度B,求電子在電場中運動時y軸正方向的最大位移。
帶電粒子在多個組合場的運動
(1)多個組合場:電場與磁場各位于一定的區域內,并不重疊,或在同一區域,電場、磁場交替出現。
(2)分析思路。
①畫運動軌跡:根據受力分析和運動學分析,大致畫出帶電粒子的運動軌跡圖。
②找關鍵點:確定帶電粒子在場區邊界的速度(包括大小和方向)是解決該類問題的
關鍵。
③劃分過程:將帶電粒子運動的過程劃分為幾個不同的階段,對不同的階段選取不同的規律處理。
(1)求磁感應強度的大小B;
(2)求Ⅲ區寬度d;
(3)Ⅳ區x軸上的電場方向沿x軸,電場強度E隨時間t、位置坐標x的變化關系為E=ωt-kx,其中常系數ω>0,ω已知、k未知,取甲經過O點時t=0。已知甲在Ⅳ區始終做勻速直線運動,設乙在Ⅳ區受到的電場力大小為F,甲、乙間距為Δx,求乙追上甲前F與Δx間的關系式(不要求寫出Δx的取值范圍)。
方法總結
常見帶電粒子的運動及解題方法
基礎對點練
C
對點1.磁場與磁場的組合
1.(4分)(2024·湖北武漢期中)如圖所示,豎直放置的PQ板左側為垂直于紙面向里的勻強磁場,右側為垂直于紙面向外的勻強磁場,磁感應強度大小均為B=0.332 T,一質量m=6.64×
10-27 kg,帶電荷量q=3.2×10-19 C的粒子(不計重力)從小孔1位置以垂直板方向、大小為v=3.2×106 m/s的速度開始運動,依次通過小孔2、3、4,已知相鄰兩孔間的距離相等。則
(　　)
[A] 粒子帶負電
[B] 相鄰兩孔間的距離為0.2 m
[C] 帶電粒子從小孔1運動到小孔4所需時間約為5.89×10-7 s
[D] 帶電粒子在PQ板右側勻強磁場中運動的時間約為1.95×10-7 s
C
2.(4分)(2024·遼寧沈陽一模)如圖,xOy平面內有兩個相鄰的矩形勻強磁場Ⅰ和勻強磁場Ⅱ,方向垂直于xOy平面向下,磁感應強度大小分別為B和2B,磁場區域寬度分別為L1和L2,一電荷量為+q、質量為m的帶電粒子從y軸P點以與y軸夾角θ1的方向進入磁場Ⅰ,經過磁場Ⅰ和磁場Ⅱ后從磁場Ⅱ右邊界以與邊界夾角θ2的方向離開磁場Ⅱ,若不計重力,則下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子在勻強磁場Ⅰ運動的軌跡半徑是在勻強磁場Ⅱ運動軌跡半徑的3倍
[B] 粒子在勻強磁場Ⅱ運動的軌跡半徑是在勻強磁場Ⅰ運動軌跡半徑的2倍
對點2.電場與磁場的組合
3.(4分)(2025·貴州安順模擬)如圖,在平面直角坐標系xOy的第一、四象限存在方向沿x軸正方向的勻強電場,在第二、三象限的區域存在方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場,磁感應強度大小為B。一個帶負電的粒子(重力不計)從x軸上的A點以大小為v0的初速度沿y軸正方向射出,粒子在電場和磁場中運動后回到A點。則電場強度E的大小為(　　)
B
4.(6分)(2024·山東煙臺開學考試)(多選)如圖所示,紙面內存在上下寬度均為L的勻強電場與勻強磁場,勻強電場方向豎直向下,勻強磁場方向垂直于紙面向里,現有一比荷為k的帶正電粒子(不計重力)從電場的上邊界的a點由靜止釋放,運動到磁場的下邊界的b點時正好與下邊界相切,下列說法正確的是
(　 　)
[A] 粒子離開電場時的速度為BkL
[B] 勻強電場的電場強度為B2kL
[C] a、b兩點之間的距離為2L
AD
對點3.多個電場和磁場的組合
5.(6分)(2024·河南商丘階段練習)(多選)如圖為一種質譜儀的示意圖,由加速電場、靜電分析器和磁分析器組成。若靜電分析器通道中心線的半徑為R,通道內為均勻輻射電場,在中心線處的電場強度大小為E,磁分析器有范圍足夠大的有界勻強磁場,磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向外。一質量為m、電荷量為q的粒子從靜止開始經加速電場加速后沿中心線通過靜電分析器,由P點垂直邊界進入磁分析器,最終打到膠片上的Q點。不計粒子重力。下列說法正確的是(　 　)
[A] 極板M比極板N的電勢高
[B] 加速電場的電壓U=ER
[D] 若一群粒子從靜止開始經過題述過程都落在膠片上的同一點,則該群粒子具有相同的比荷
AD
B
綜合提升練
7.(6分)(2025·湖北荊州模擬)(多選)如圖所示的xOy坐標系中,y軸的左側存在垂直于紙面向外、磁感應強度大小未知的勻強磁場,y軸右側的勻強磁場方向垂直于紙面,大小未知,一帶正電的粒子由y軸上(0,-L)處沿與y軸正方向成30°角的方向以速度v射入磁場,已知粒子的比荷為k,粒子在y軸右側的軌道半徑為L,最終粒子經過O點,粒子重力不計。下列說法正確的是(　　 )
AD
8.(16分)(2025·河南高考適應性考試)如圖,在水平虛線上方區域有豎直向下的勻強電場,電場強度大小為E,在虛線下方區域有垂直于紙面向外的勻強磁場。質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從距虛線高度為h的a點向右水平發射,當粒子進入磁場時其速度方向與水平虛線的夾角為45°。不計重力。
(1)求粒子進入磁場時的速度大小。
(2)若粒子第一次回到電場中高度為h時,粒子與a點的距離為x=2h,求磁場的磁感應強度大小的可能值。
(3)若粒子第一次回到電場中高度為h時,粒子在電場中運動的時間與在磁場中運動的時間相等,求粒子此時與a點的距離。

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