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第9講　小專題:帶電粒子在立體空間電、磁場中的運動
考點一　帶電粒子在勻強磁場中的“旋進”運動
空間中勻強磁場的分布是三維的,帶電粒子在磁場中的運動情況可以是三維的。現在主要討論兩種情況:
(1)空間中只存在勻強磁場,當帶電粒子的速度方向與磁場的方向不平行也不垂直時,帶電粒子在磁場中做螺旋線運動。這種運動可分解為平行于磁場方向的勻速直線運動和垂直于磁場平面的勻速圓周運動。
(2)空間中的勻強磁場和勻強電場(或重力場)平行時,帶電粒子在一定的條件下就可以做“旋進”運動,這種運動可分解為平行于磁場方向的勻變速直線運動和垂直于磁場平面的勻速圓周運動。
[例1] 【帶電粒子的“旋進”運動】 (2024·陜西西安模擬)(多選)如圖所示,勻強電場和勻強磁場的方向均水平向右。一個正離子在某時刻速度的大小為v,方向與電場、磁場方向夾角為θ。當速度方向與磁場不垂直時,可以將速度分解為平行于磁場方向的分量v1和垂直于磁場方向的分量v2來進行研究。不計離子重力,此后一段時間內,下列說法正確的是(　　)
[A] 離子受到的洛倫茲力大小不變
[B] 離子加速度的大小不變
[C] 靜電力的瞬時功率不變
[D] 速度與電場方向的夾角θ變大
【答案】 AB
【解析】 根據運動的分解可知離子水平方向的分速度v1變大,垂直于磁場方向的分量v2不變,則洛倫茲力F洛=qv2B不變,靜電力F=qE也不變,離子所受合力大小不變,根據牛頓第二定律可知加速度大小不變,故A、B正確;根據功率的計算公式P=qEv1可知,靜電力的瞬時功率變大,故C錯誤;由于v1變大,根據速度的合成可知速度與電場方向的夾角θ變小,故D錯誤。
[例2] 【帶電粒子的螺旋線運動】 (2024·山西晉中期中)如圖所示,在Oxyz空間直角坐標系中,在x軸負半軸區域內有沿z軸負方向的勻強電場;在x軸正半軸0≤x≤3.5d范圍內,以x軸為中心軸、半徑為d的圓柱區域內有沿x軸正方向、磁感應強度大小B1=的勻強磁場Ⅰ,x>3.5d區域內有沿z軸負方向、磁感應強度大小B2=的勻強磁場Ⅱ。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子,從點A(-2d,0,d)以速度v0沿x軸正方向開始運動,恰好從O點進入圓柱區域,不計粒子的重力,求:
(1)勻強電場的電場強度大小E;
(2)粒子在圓柱區域內的運動時間t;
(3)粒子離開圓柱區域右側磁場Ⅱ時的位置坐標。
【答案】 (1)　(2)　
(3)(3.5d,2d-,)
【解析】 (1)粒子從A點到O點,在電場中做類平拋運動,設運動時間為t1,沿x軸方向有
2d=v0t1,
沿z軸方向有d=a,
由牛頓第二定律得Eq=ma,
聯立解得E=。
(2)粒子進入圓柱區域后在垂直于磁場Ⅰ方向的分速度vz=at1=v0,
由牛頓第二定律得qB1vz=,
解得r1=<,
又粒子沿平行于磁場Ⅰ方向(x軸方向)以速度v0做勻速直線運動,故粒子在圓柱區域內螺旋前進,則有3.5d=v0t,
解得t=。
(3)粒子在圓柱區域內做勻速圓周運動的周期
T==,
所以,有t=T,
故粒子在離開圓柱區域時,到xOy平面的距離為r1,到xOz平面的距離為r1,到yOz平面的距離為3.5d,即粒子離開圓柱區域時的坐標為(3.5d,-,),
粒子離開圓柱區域后,進入磁場Ⅱ,沿z軸負方向看,其軌跡如圖所示,
設粒子在磁場Ⅱ中的運動半徑為r2,則粒子進入磁場Ⅱ時速度大小為v==v0,
方向與x軸正方向成45°角,由牛頓第二定律得
qB2v=,
聯立解得r2=d。
故粒子離開磁場區域Ⅱ時的坐標是(3.5d,2d-,)。
考點二　帶電粒子在立體空間中的運動
　分析帶電粒子在立體空間中的運動時,要發揮空間想象力,確定粒子在空間的位置關系。帶電粒子依次通過不同的空間,運動過程分為不同的階段,只要分析出每個階段上的運動規律,再利用兩個空間交界處粒子的運動狀態和關聯條件即可解決問題。
[例3] 【空間的圓周運動】
(多選)如圖所示,直角坐標系xOy在水平面內,z軸豎直向上,坐標原點O處固定一帶正電的點電荷,空間中存在豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場,質量為m、帶電荷量為q(q>0)的小球A,繞z軸做勻速圓周運動。小球A的速度大小為v0,小球與坐標原點的距離為r,O點和小球A的連線與z軸的夾角θ=37°。重力加速度g、m、q、r均已知,取cos 37°=0.8,sin 37°=0.6。則下列說法正確的是(　　)
[A] 從上往下看,小球A沿逆時針方向轉動
[B] O處的點電荷在A運動的圓周上各處產生的電勢和電場強度都相同
[C] 小球A與點電荷之間的庫侖力大小為mg
[D] v0=時,所需磁場的磁感應強度B最小
【答案】 ACD
【解析】
空間中存在豎直向下的勻強磁場B,小球的向心力由庫侖力在運動軌跡半徑方向的分力和洛倫茲力提供,根據左手定則可知,從上往下看小球只能沿逆時針方向做勻速圓周運動,故A正確;O處的點電荷在A運動的圓周上各處產生的電勢都相同,電場強度大小相等,方向不同,故B錯誤;對小球A受力分析如圖所示,洛倫茲力F2沿水平方向,庫侖力F1沿著O→A方向,在豎直方向,根據平衡條件得F1cos 37°=mg,解得F1=mg,所以小球A與點電荷之間的庫侖力大小為mg,故C正確;水平方向根據牛頓第二定律得qv0B-F1sin 37°=m,其中 F1sin 37°=mg,解得B=+,當 =,即v0=時,B取最小值,故D正確。
[例4] 【帶電粒子在空間的偏轉】 (2024·天津和平期中)在芯片制造過程中,離子注入是其中一道重要的工序。為了準確地注入離子,需要在一個有限空間中用電、磁場對離子的運動軌跡進行調控。在空間內存在邊長L=0.64 m的立方體OACD-O′A′C′D′,以O為坐標原點,沿OA、OO′和OD方向分別建立x、y、z軸。在OACD面的中心M處存在一粒子發射源,可在底面內平行于底面沿任意方向發射初速度v0=8.0×104 m/s,比荷=1.0×108 C/kg的帶正電粒子。在區域內施加一定的勻強電場或者勻強磁場,使粒子可以達到相應的空間位置。不計粒子重力,則:
(1)在立方體內施加沿y軸正方向的勻強電場,使粒子只能從O′A′C′D′面飛出,求施加電場的電場強度E的最小值;
(2)在立方體內施加沿y軸正方向的勻強磁場,若磁感應強度大小為B=4.0×10-3 T,求粒子在磁場中運動時間的最小值tmin。(取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,結果可保留π和分式)
【答案】 (1)8.0×102 N/C　(2)π×10-6 s
【解析】 (1)施加沿y軸正方向的勻強電場,粒子做類平拋運動,沿y軸方向做勻加速直線運動,若粒子只能從O′A′C′D′面飛出,根據運動學公式可得L=at2,
根據牛頓第二定律可得qE=ma,
粒子沿初速度方向做勻速直線運動s=v0t,
s≤,
聯立解得E≥,
代入數據得Emin=8.0×102 N/C。
(2)在立方體內施加沿y軸正方向的勻強磁場,當磁感應強度大小為B=4.0×10-3 T時,根據牛頓第二定律可得qv0B=m,
解得r=,
根據周期的公式可得T=,
代入數據得r=0.2 m,T=5π×10-6 s,
粒子在xOz平面內運動時間最短的軌跡如圖,
則由幾何關系得sin =,
解得θ1=106°,
故有tmin=·T,
解得tmin=π×10-6 s。
(滿分:50分)
對點1.帶電粒子在勻強磁場中的“旋進”運動
1.
(4分)(2024·廣東深圳階段練習)2021年中國全超導托卡馬克核聚變實驗裝置創造了新的紀錄。為粗略了解等離子體在托卡馬克環形真空室內的運動狀況,某同學將一小段真空室內的電場和磁場理想化為方向均水平向右的勻強電場和勻強磁場(如圖),電場強度大小為E,磁感應強度大小為B。若某電荷量為q的正離子在此電場和磁場中運動,其速度平行于磁場方向的分量大小為v1,垂直于磁場方向的分量大小為v2,不計離子重力,則(　　)
[A] 靜電力的瞬時功率為qE
[B] 該離子受到的洛倫茲力大小不變
[C] v2與v1的比值不斷變大
[D] 該離子做勻變速直線運動
【答案】 B
【解析】 根據功率的計算公式P=Fvcos θ可知靜電力的瞬時功率為P=qEv1,故A錯誤。由于v1與磁場B平行,v2與磁場B垂直,則根據洛倫茲力的計算公式有F洛=qv2B,根據運動的疊加原理可知,離子在垂直于紙面內做勻速圓周運動,沿水平方向做加速運動,則v1增大,v2不變,所以離子受到的洛倫茲力大小不變,的值不斷變大;該離子受到的靜電力不變,洛倫茲力大小不變,方向總是與電場方向垂直,所以該離子做曲線運動,故B正確,C、D錯誤。
2.
(4分)(2025·廣東清遠模擬)我國最北的城市漠河地處高緯度地區,在晴朗的夜空偶爾會出現美麗的彩色“極光”。極光是宇宙中高速運動的帶電粒子受地球磁場影響,與空氣分子作用的發光現象,若宇宙粒子帶正電,因入射速度與地磁場方向不垂直,故其軌跡偶成螺旋狀如圖(相鄰兩個旋轉圓之間的距離稱為螺距Δx)。下列說法正確的是(　　)
[A] 帶電粒子進入大氣層后與空氣發生相互作用,在地磁場作用下的旋轉半徑會越來越大
[B] 若越靠近兩極地磁場越強,則隨著緯度的增加,以相同速度入射的宇宙粒子的旋轉半徑越大
[C] 漠河地區看到的“極光”將以逆時針方向(從下往上看)向前旋進
[D] 當不計空氣阻力時,若入射粒子的速率不變,僅減小與地磁場的夾角,則旋轉半徑減小,而螺距Δx增大
【答案】 D
【解析】 帶電粒子進入大氣層后,由于與空氣相互作用,粒子的運動速度會變小,在洛倫茲力作用下的偏轉半徑r=會變小,A錯誤;若越靠近兩極地磁場越強,則隨著緯度的增加,地磁場變強,以相同速度入射的粒子的旋轉半徑變小,B錯誤;漠河地區的地磁場豎直分量是豎直向下的,宇宙粒子入射后,由左手定則可知,從下往上看將以順時針的方向向前旋進,C錯誤;當不計空氣阻力時,將帶電粒子的運動沿磁場方向和垂直于磁場方向進行分解,沿磁場方向將做勻速直線運動,垂直于磁場方向做勻速圓周運動,若帶電粒子運動速率不變,與磁場的夾角變小,則垂直于磁場的速度分量變小,故粒子在垂直于磁場方向的運動半徑會減小,即直徑D減小,而沿磁場方向的速度分量變大,故沿磁場方向的勻速直線運動將變快,則螺距Δx將增大,D正確。
3.(6分)(2024·廣東佛山二模)(多選)某興趣小組在利用洛倫茲力演示儀(圖甲)探究帶電粒子在勻強磁場中運動的規律時,發現有時玻璃泡中的電子束在勻強磁場中的運動軌跡呈“螺旋”狀。現將這一現象簡化成如圖乙所示的情境來討論:在空間存在平行于y軸的勻強磁場,由坐標原點在xOy平面內以初速度v0以沿與x軸正方向成θ角的方向射入磁場的電子運動軌跡為螺旋線,其軸線平行于y軸,螺旋半徑為R,螺距為Δy,螺旋周期為T,則下列說法正確的是(　　)
[A] 勻強磁場的方向為沿y軸負方向
[B] 若僅增大勵磁線圈中的電流,則螺旋半徑R減小
[C] 若僅增大電子的加速電壓,則螺距Δy將增大
[D] 若僅增大θ角(θ<90°),則螺旋周期T將減小
【答案】 ABC
【解析】
將電子的速度沿x軸和y軸分解,如圖所示,vy=v0sin θ,vx=v0cos θ,電子沿y軸正方向做勻速直線運動,在xOz平面內做勻速圓周運動,根據題圖乙可知電子從O點開始向上偏轉,電子在O點受到的洛倫茲力沿z軸正方向,且電子帶負電,利用左手定則可知勻強磁場的方向為沿y軸負方向,故A正確;由洛倫茲力提供向心力,有q(v0cos θ)B=,得R=,若僅增大勵磁線圈中的電流,則磁感應強度增大,可知電子做圓周運動的半徑變小,故B正確;電子在電場中加速,根據動能定理有qU=m,解得v0=,根據運動學公式,螺距為Δy=v0sin θ·T,電子做勻速圓周運動的周期為 T=,可知周期與θ角無關,若僅增大θ角(θ<90°),T不變,若僅增大電子的加速電壓,可知螺距會增大,故C正確,D錯誤。
對點2.帶電粒子在立體空間中的運動
4.
(4分)(2024·山西太原模擬)如圖所示,長方體空間被平面MNPO分成兩個區域,兩區域分布有磁感應強度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強磁場。一電子以某一速度從長方體左側垂直Oyz平面進入并穿過兩磁場區域,關于電子運動軌跡在下列坐標平面內的投影,可能正確的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由左手定則可以判斷出電子在兩磁場中的洛倫茲力方向,沿z軸負方向看,電子在洛倫茲力的作用下,在平面MNPO的左側區域,電子沿逆時針做圓周運動,在平面MNPO的右側區域,電子沿順時針做圓周運動,所以電子運動軌跡在xOy坐標平面內的投影如選項A所示,在xOz平面內的投影應該是一條平行于x軸的直線。故選A。
5.
(4分)(2024·海南海口階段練習)如圖所示,以豎直向上為z軸正方向建立O-xyz坐標系,空間中存在勻強電場和勻強磁場。勻強電場的電場強度方向沿z軸正方向,大小為E,勻強磁場的磁感應強度為B,方向未知。現有一個質量為m、電荷量為 q=的帶正電的小球恰好從O點沿y軸正方向以速度v做勻速直線運動,g為重力加速度,下列說法不正確的是(　　)
[A] 勻強磁場的方向一定沿y軸正方向
[B] 若E的方向改為沿x軸正方向,則改變磁場方向,可使小球仍做勻速直線運動,磁感應強度大小可能為
[C] 若撤去電場,小球運動的最低點z坐標可能為z=-
[D] 若撤去電場,小球第一次返回到xOy平面的可能坐標為(,)
【答案】 A
【解析】 小球受向下的重力mg和沿z軸向上的靜電力,且Eq=mg,因小球恰好從O點沿y軸正方向以速度v做勻速直線運動,則勻強磁場的方向與y軸平行,可能沿y軸正方向,也可能沿y軸負方向,選項A錯誤,符合題意;若E的方向改為沿x軸正方向,則改變磁場方向,可使小球仍做勻速直線運動,則小球受靜電力、重力mg和洛倫茲力qvB三力平衡,由平衡條件可知(mg)2+(qE)2=(qvB)2,且Eq=mg,解得磁感應強度大小可能為B=,選項B正確,不符合題意;若磁場方向沿y軸正方向,撤去電場,把小球的速度分解成沿x軸正方向的v1和負方向的v1還有沿y軸正方向的v,沿x軸正方向的v1產生的洛倫茲力與mg平衡,即qv1B=mg,粒子在負方向的v1產生的洛倫茲力作用下做圓周運動,并沿y軸做勻速運動,經過半個周期到達最低點,則z=-2r=-=-,回到xOy平面時,則x=v1T=×=,
y=vT==,選項C、D正確,不符合題意。
6.(6分)(2024·廣東惠州一模)(多選)如圖所示,長方體OMPQ-O1M1P1Q1所在空間存在與MO1方向平行的勻強磁場,一粒子源無初速度釋放一質量為m、帶電荷量為+q的帶電粒子,經電壓U加速后,從O點沿OQ方向射入磁場區域,并從P1點離開長方體區域。已知長方體OM、OO1邊的長度均為d,OQ的長度為d,不計粒子的重力及其相互作用,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子進入磁場區域的初速度大小為
[B] 磁感應強度的大小為
[C] 若減小加速電壓U,粒子可能從M1射出
[D] 若增大加速電壓U,粒子可能從M1P1中點射出
【答案】 ABC
【解析】 粒子在電場中加速,則Uq=mv2,解得進入磁場區域的初速度大小為v=,選項A正確;進入磁場后粒子在平面OM1P1Q內做勻速圓周運動,則r2=(d)2+(r-d)2,qBv=m,解得磁感應強度的大小為B=,選項B正確;若減小加速電壓U,則粒子射入磁場時的速度減小,運動半徑減小,則粒子可能從M1射出,選項C正確;若增大加速電壓U,則粒子射入磁場時的速度變大,運動半徑變大,則粒子從QP1連線上某點射出,不可能從M1P1中點射出,選項D錯誤。
7.
(6分)(2025·安徽合肥模擬)(多選)局部空間的地磁場對宇宙射線的作用原理可以用如下的簡化模型來研究。如圖所示,正圓柱體形狀的空間內存在沿軸線方向、大小為B的勻強磁場。一個帶電荷量為e、質量為m的電子以初速度v0從圓柱體的上底面圓心O點射入磁場,速度方向與軸線成30°夾角,一段時間后恰好經過該圓柱體空間的另一底面圓心O′點。已知粒子在此過程中不會與圓柱體壁發生碰撞,不考慮洛倫茲力以外的其他力,下列說法正確的是(　　)
[A] 圓柱體空間的底面半徑可能等于
[B] 電子在圓柱體空間內運動的時間可能為
[C] 圓柱體空間的高可能為
[D] 電子在圓柱體空間內運動的某段時間里動量變化量的大小可能為mv0
【答案】 BD
【解析】 將速度分解為沿磁場方向和垂直于磁場方向,則電子在沿磁場方向做勻速直線運動,在垂直于磁場方向做勻速圓周運動,其圓周運動的半徑 r=,其在圓柱體中心一側運動范圍為直徑,故圓柱體半徑R≥2r=,故A錯誤;一段時間后恰好經過該圓柱體空間的另一底面圓心O′點,則運動時間與圓周運動周期關系為t=nT,T=,則t=nT=,當n=1時,電子在圓柱體空間內運動的時間為t=,故B正確;電子沿磁場方向位移大小h=t=
nT=,當n=1時 h=,故C錯誤;電子運動時間為半個周期時動量變化量大小為mv0,故D正確。
8.(16分)(2025·廣東珠海模擬)如圖所示,以長方體 abcd-a′b′c′d′ 的ad邊中點O為坐標原點、ad方向為x軸正方向、a′a方向為y軸正方向、ab方向為z軸正方向建立Oxyz坐標系,已知Oa=ab=aa′=L。長方體中存在沿y軸負方向的勻強磁場,現有質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力),從O點沿z軸正方向以初速度v射入磁場中,恰好從a點射出磁場。
(1)求磁場的磁感應強度B的大小;
(2)若在長方體中加上沿y軸負方向的勻強電場,讓粒子仍從O點沿z軸正方向以初速度v射入磁場中,為使粒子能從a′點射出磁場,求電場強度E1的大小;
(3)若在長方體中加上電場強度大小為E2=、方向沿z軸負方向的勻強電場,該粒子仍從O點沿z軸正方向以初速度v射入磁場中,求粒子射出磁場時與O點的距離s。
【答案】 (1)　(2)　(3)(1-π)L
【解析】 (1)粒子在aOzb平面內做勻速圓周運動,如圖中軌跡1所示,
由洛倫茲力提供向心力可得
qvB=m,
由幾何關系可得r1=L,
解得B=。
(2)粒子在長方體中運動的時間為t=,
在y軸方向上做初速度為零的勻加速直線運動,則有L=at2,
又qE1=ma,
解得E1=。
(3)將初速度v分解為v1、v2,使v1對應的洛倫茲力恰好與靜電力平衡,即qv1B=qE2,
其中E2=,
解得v1=v,v2==2v,
易知v2與z軸正方向的夾角為θ=60°,
若僅在v2對應的洛倫茲力作用下做勻速圓周運動,即qv2B=m,
則軌道半徑r2=,
解得r2=L,
該分運動的情況如圖中軌跡2所示。粒子在磁場中運動的時間為t2=,
由于粒子也參與速度大小為v1、方向沿x軸正方向的勻速運動,粒子射出磁場時與O點的距離為s=L-v1t2,
聯立解得s=(1-π)L。
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考點一　帶電粒子在勻強磁場中的“旋進”運動
空間中勻強磁場的分布是三維的,帶電粒子在磁場中的運動情況可以是三維的。現在主要討論兩種情況:
(1)空間中只存在勻強磁場,當帶電粒子的速度方向與磁場的方向不平行也不垂直時,帶電粒子在磁場中做螺旋線運動。這種運動可分解為平行于磁場方向的勻速直線運動和垂直于磁場平面的勻速圓周運動。
(2)空間中的勻強磁場和勻強電場(或重力場)平行時,帶電粒子在一定的條件下就可以做“旋進”運動,這種運動可分解為平行于磁場方向的勻變速直線運動和垂直于磁場平面的勻速圓周運動。
[例1] 【帶電粒子的“旋進”運動】 (2024·陜西西安模擬)(多選)如圖所示,勻強電場和勻強磁場的方向均水平向右。一個正離子在某時刻速度的大小為v,方向與電場、磁場方向夾角為θ。當速度方向與磁場不垂直時,可以將速度分解為平行于磁場方向的分量v1和垂直于磁場方向的分量v2來進行研究。不計離子重力,此后一段時間內,下列說法正確的是(　　)
[A] 離子受到的洛倫茲力大小不變
[B] 離子加速度的大小不變
[C] 靜電力的瞬時功率不變
[D] 速度與電場方向的夾角θ變大
[例2] 【帶電粒子的螺旋線運動】 (2024·山西晉中期中)如圖所示,在Oxyz空間直角坐標系中,在x軸負半軸區域內有沿z軸負方向的勻強電場;在x軸正半軸0≤x≤3.5d范圍內,以x軸為中心軸、半徑為d的圓柱區域內有沿x軸正方向、磁感應強度大小B1=的勻強磁場Ⅰ,x>3.5d區域內有沿z軸負方向、磁感應強度大小B2=的勻強磁場Ⅱ。一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子,從點A(-2d,0,d)以速度v0沿x軸正方向開始運動,恰好從O點進入圓柱區域,不計粒子的重力,求:
(1)勻強電場的電場強度大小E;
(2)粒子在圓柱區域內的運動時間t;
(3)粒子離開圓柱區域右側磁場Ⅱ時的位置坐標。
考點二　帶電粒子在立體空間中的運動
　分析帶電粒子在立體空間中的運動時,要發揮空間想象力,確定粒子在空間的位置關系。帶電粒子依次通過不同的空間,運動過程分為不同的階段,只要分析出每個階段上的運動規律,再利用兩個空間交界處粒子的運動狀態和關聯條件即可解決問題。
[例3] 【空間的圓周運動】
(多選)如圖所示,直角坐標系xOy在水平面內,z軸豎直向上,坐標原點O處固定一帶正電的點電荷,空間中存在豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場,質量為m、帶電荷量為q(q>0)的小球A,繞z軸做勻速圓周運動。小球A的速度大小為v0,小球與坐標原點的距離為r,O點和小球A的連線與z軸的夾角θ=37°。重力加速度g、m、q、r均已知,取cos 37°=0.8,sin 37°=0.6。則下列說法正確的是(　　)
[A] 從上往下看,小球A沿逆時針方向轉動
[B] O處的點電荷在A運動的圓周上各處產生的電勢和電場強度都相同
[C] 小球A與點電荷之間的庫侖力大小為mg
[D] v0=時,所需磁場的磁感應強度B最小
[例4] 【帶電粒子在空間的偏轉】 (2024·天津和平期中)在芯片制造過程中,離子注入是其中一道重要的工序。為了準確地注入離子,需要在一個有限空間中用電、磁場對離子的運動軌跡進行調控。在空間內存在邊長L=0.64 m的立方體OACD-O′A′C′D′,以O為坐標原點,沿OA、OO′和OD方向分別建立x、y、z軸。在OACD面的中心M處存在一粒子發射源,可在底面內平行于底面沿任意方向發射初速度v0=8.0×104 m/s,比荷=1.0×108 C/kg的帶正電粒子。在區域內施加一定的勻強電場或者勻強磁場,使粒子可以達到相應的空間位置。不計粒子重力,則:
(1)在立方體內施加沿y軸正方向的勻強電場,使粒子只能從O′A′C′D′面飛出,求施加電場的電場強度E的最小值;
(2)在立方體內施加沿y軸正方向的勻強磁場,若磁感應強度大小為B=4.0×10-3 T,求粒子在磁場中運動時間的最小值tmin。(取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,結果可保留π和分式)
(滿分:50分)
對點1.帶電粒子在勻強磁場中的“旋進”運動
1.
(4分)(2024·廣東深圳階段練習)2021年中國全超導托卡馬克核聚變實驗裝置創造了新的紀錄。為粗略了解等離子體在托卡馬克環形真空室內的運動狀況,某同學將一小段真空室內的電場和磁場理想化為方向均水平向右的勻強電場和勻強磁場(如圖),電場強度大小為E,磁感應強度大小為B。若某電荷量為q的正離子在此電場和磁場中運動,其速度平行于磁場方向的分量大小為v1,垂直于磁場方向的分量大小為v2,不計離子重力,則(　　)
[A] 靜電力的瞬時功率為qE
[B] 該離子受到的洛倫茲力大小不變
[C] v2與v1的比值不斷變大
[D] 該離子做勻變速直線運動
2.
(4分)(2025·廣東清遠模擬)我國最北的城市漠河地處高緯度地區,在晴朗的夜空偶爾會出現美麗的彩色“極光”。極光是宇宙中高速運動的帶電粒子受地球磁場影響,與空氣分子作用的發光現象,若宇宙粒子帶正電,因入射速度與地磁場方向不垂直,故其軌跡偶成螺旋狀如圖(相鄰兩個旋轉圓之間的距離稱為螺距Δx)。下列說法正確的是(　　)
[A] 帶電粒子進入大氣層后與空氣發生相互作用,在地磁場作用下的旋轉半徑會越來越大
[B] 若越靠近兩極地磁場越強,則隨著緯度的增加,以相同速度入射的宇宙粒子的旋轉半徑越大
[C] 漠河地區看到的“極光”將以逆時針方向(從下往上看)向前旋進
[D] 當不計空氣阻力時,若入射粒子的速率不變,僅減小與地磁場的夾角,則旋轉半徑減小,而螺距Δx增大
3.(6分)(2024·廣東佛山二模)(多選)某興趣小組在利用洛倫茲力演示儀(圖甲)探究帶電粒子在勻強磁場中運動的規律時,發現有時玻璃泡中的電子束在勻強磁場中的運動軌跡呈“螺旋”狀。現將這一現象簡化成如圖乙所示的情境來討論:在空間存在平行于y軸的勻強磁場,由坐標原點在xOy平面內以初速度v0以沿與x軸正方向成θ角的方向射入磁場的電子運動軌跡為螺旋線,其軸線平行于y軸,螺旋半徑為R,螺距為Δy,螺旋周期為T,則下列說法正確的是(　　)
[A] 勻強磁場的方向為沿y軸負方向
[B] 若僅增大勵磁線圈中的電流,則螺旋半徑R減小
[C] 若僅增大電子的加速電壓,則螺距Δy將增大
[D] 若僅增大θ角(θ<90°),則螺旋周期T將減小
對點2.帶電粒子在立體空間中的運動
4.
(4分)(2024·山西太原模擬)如圖所示,長方體空間被平面MNPO分成兩個區域,兩區域分布有磁感應強度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強磁場。一電子以某一速度從長方體左側垂直Oyz平面進入并穿過兩磁場區域,關于電子運動軌跡在下列坐標平面內的投影,可能正確的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
5.
(4分)(2024·海南海口階段練習)如圖所示,以豎直向上為z軸正方向建立O-xyz坐標系,空間中存在勻強電場和勻強磁場。勻強電場的電場強度方向沿z軸正方向,大小為E,勻強磁場的磁感應強度為B,方向未知。現有一個質量為m、電荷量為 q=的帶正電的小球恰好從O點沿y軸正方向以速度v做勻速直線運動,g為重力加速度,下列說法不正確的是(　　)
[A] 勻強磁場的方向一定沿y軸正方向
[B] 若E的方向改為沿x軸正方向,則改變磁場方向,可使小球仍做勻速直線運動,磁感應強度大小可能為
[C] 若撤去電場,小球運動的最低點z坐標可能為z=-
[D] 若撤去電場,小球第一次返回到xOy平面的可能坐標為(,)
6.(6分)(2024·廣東惠州一模)(多選)如圖所示,長方體OMPQ-O1M1P1Q1所在空間存在與MO1方向平行的勻強磁場,一粒子源無初速度釋放一質量為m、帶電荷量為+q的帶電粒子,經電壓U加速后,從O點沿OQ方向射入磁場區域,并從P1點離開長方體區域。已知長方體OM、OO1邊的長度均為d,OQ的長度為d,不計粒子的重力及其相互作用,下列說法正確的是(　　)
[A] 粒子進入磁場區域的初速度大小為
[B] 磁感應強度的大小為
[C] 若減小加速電壓U,粒子可能從M1射出
[D] 若增大加速電壓U,粒子可能從M1P1中點射出
7.
(6分)(2025·安徽合肥模擬)(多選)局部空間的地磁場對宇宙射線的作用原理可以用如下的簡化模型來研究。如圖所示,正圓柱體形狀的空間內存在沿軸線方向、大小為B的勻強磁場。一個帶電荷量為e、質量為m的電子以初速度v0從圓柱體的上底面圓心O點射入磁場,速度方向與軸線成30°夾角,一段時間后恰好經過該圓柱體空間的另一底面圓心O′點。已知粒子在此過程中不會與圓柱體壁發生碰撞,不考慮洛倫茲力以外的其他力,下列說法正確的是(　　)
[A] 圓柱體空間的底面半徑可能等于
[B] 電子在圓柱體空間內運動的時間可能為
[C] 圓柱體空間的高可能為
[D] 電子在圓柱體空間內運動的某段時間里動量變化量的大小可能為mv0
8.(16分)(2025·廣東珠海模擬)如圖所示,以長方體 abcd-a′b′c′d′ 的ad邊中點O為坐標原點、ad方向為x軸正方向、a′a方向為y軸正方向、ab方向為z軸正方向建立Oxyz坐標系,已知Oa=ab=aa′=L。長方體中存在沿y軸負方向的勻強磁場,現有質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力),從O點沿z軸正方向以初速度v射入磁場中,恰好從a點射出磁場。
(1)求磁場的磁感應強度B的大小;
(2)若在長方體中加上沿y軸負方向的勻強電場,讓粒子仍從O點沿z軸正方向以初速度v射入磁場中,為使粒子能從a′點射出磁場,求電場強度E1的大小;
(3)若在長方體中加上電場強度大小為E2=、方向沿z軸負方向的勻強電場,該粒子仍從O點沿z軸正方向以初速度v射入磁場中,求粒子射出磁場時與O點的距離s。
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高中總復習·物理
第9講　
小專題:帶電粒子在立體空間電、磁場中的運動
空間中勻強磁場的分布是三維的,帶電粒子在磁場中的運動情況可以是三維的。現在主要討論兩種情況:
(1)空間中只存在勻強磁場,當帶電粒子的速度方向與磁場的方向不平行也不垂直時,帶電粒子在磁場中做螺旋線運動。這種運動可分解為平行于磁場方向的勻速直線運動和垂直于磁場平面的勻速圓周運動。
(2)空間中的勻強磁場和勻強電場(或重力場)平行時,帶電粒子在一定的條件下就可以做“旋進”運動,這種運動可分解為平行于磁場方向的勻變速直線運動和垂直于磁場平面的勻速圓周運動。
[例1] 【帶電粒子的“旋進”運動】 (2024·陜西西安模擬)(多選)如圖所示,勻強電場和勻強磁場的方向均水平向右。一個正離子在某時刻速度的大小為v,方向與電場、磁場方向夾角為θ。當速度方向與磁場不垂直時,可以將速度分解為平行于磁場方向的分量v1和垂直于磁場方向的分量v2來進行研究。不計離子重力,此后一段時間內,下列說法正確的是(　　 )
[A] 離子受到的洛倫茲力大小不變
[B] 離子加速度的大小不變
[C] 靜電力的瞬時功率不變
[D] 速度與電場方向的夾角θ變大
AB
【解析】 根據運動的分解可知離子水平方向的分速度v1變大,垂直于磁場方向的分量v2不變,則洛倫茲力F洛=qv2B不變,靜電力F=qE也不變,離子所受合力大小不變,根據牛頓第二定律可知加速度大小不變,故A、B正確;根據功率的計算公式P=qEv1可知,靜電力的瞬時功率變大,故C錯誤;由于v1變大,根據速度的合成可知速度與電場方向的夾角θ變小,故D錯誤。
(1)勻強電場的電場強度大小E;
(2)粒子在圓柱區域內的運動時間t;
(3)粒子離開圓柱區域右側磁場Ⅱ時的位置坐標。
分析帶電粒子在立體空間中的運動時,要發揮空間想象力,確定粒子在空間的位置關系。帶電粒子依次通過不同的空間,運動過程分為不同的階段,只要分析出每個階段上的運動規律,再利用兩個空間交界處粒子的運動狀態和關聯條件即可解決問題。
[例3] 【空間的圓周運動】 (多選)如圖所示,直角坐標系xOy在水平面內,z軸豎直向上,坐標原點O處固定一帶正電的點電荷,空間中存在豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場,質量為m、帶電荷量為q(q>0)的小球A,繞z軸做勻速圓周運動。小球A的速度大小為v0,小球與坐標原點的距離為r,O點和小球A的連線與z軸的夾角θ=37°。重力加速度g、m、q、r均已知,取cos 37°=0.8,sin 37°=0.6。則下列說法正確的是( 　　)
[A] 從上往下看,小球A沿逆時針方向轉動
[B] O處的點電荷在A運動的圓周上各處產生的電勢和電場強度都相同
ACD
(1)在立方體內施加沿y軸正方向的勻強電場,使粒子只能從O′A′C′D′
面飛出,求施加電場的電場強度E的最小值;
【答案】 (1)8.0×102 N/C
(2)在立方體內施加沿y軸正方向的勻強磁場,若磁感應強度大小為B=4.0×10-3 T,求粒子在磁場中運動時間的最小值tmin。(取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,結果可保留π和分式)
基礎對點練
B
對點1.帶電粒子在勻強磁場中的“旋進”運動
1.(4分)(2024·廣東深圳階段練習)2021年中國全超導托卡馬克核聚變實驗裝置創造了新的紀錄。為粗略了解等離子體在托卡馬克環形真空室內的運動狀況,某同學將一小段真空室內的電場和磁場理想化為方向均水平向右的勻強電場和勻強磁場(如圖),電場強度大小為E,磁感應強度大小為B。若某電荷量為q的正離子在此電場和磁場中運動,其速度平行于磁場方向的分量大小為v1,垂直于磁場方向的分量大小為v2,不計離子重力,則(　　)
2.(4分)(2025·廣東清遠模擬)我國最北的城市漠河地處高緯度地區,在晴朗的夜空偶爾會出現美麗的彩色“極光”。極光是宇宙中高速運動的帶電粒子受地球磁場影響,與空氣分子作用的發光現象,若宇宙粒子帶正電,因入射速度與地磁場方向不垂直,故其軌跡偶成螺旋狀如圖(相鄰兩個旋轉圓之間的距離稱為螺距Δx)。下列說法正確的是(　　)
[A] 帶電粒子進入大氣層后與空氣發生相互作用,在地磁場作用下的旋轉半徑會越來越大
[B] 若越靠近兩極地磁場越強,則隨著緯度的增加,以相同速度入射的宇宙粒子的旋轉半徑越大
[C] 漠河地區看到的“極光”將以逆時針方向(從下往上看)向前旋進
[D] 當不計空氣阻力時,若入射粒子的速率不變,僅減小與地磁場的
夾角,則旋轉半徑減小,而螺距Δx增大
D
3.(6分)(2024·廣東佛山二模)(多選)某興趣小組在利用洛倫茲力演示儀(圖甲)探究帶電粒子在勻強磁場中運動的規律時,發現有時玻璃泡中的電子束在勻強磁場中的運動軌跡呈
“螺旋”狀。現將這一現象簡化成如圖乙所示的情境來討論:在空間存在平行于y軸的勻強磁場,由坐標原點在xOy平面內以初速度v0以沿與x軸正方向成θ角的方向射入磁場的電子運動軌跡為螺旋線,其軸線平行于y軸,螺旋半徑為R,螺距為Δy,螺旋周期為T,則下列說法正確的是(　　 )
[A] 勻強磁場的方向為沿y軸負方向
[B] 若僅增大勵磁線圈中的電流,則螺旋半徑R減小
[C] 若僅增大電子的加速電壓,則螺距Δy將增大
[D] 若僅增大θ角(θ<90°),則螺旋周期T將減小
ABC
對點2.帶電粒子在立體空間中的運動
4.(4分)(2024·山西太原模擬)如圖所示,長方體空間被平面MNPO分成兩個區域,兩區域分布有磁感應強度大小相等、方向相反且與z軸平行的勻強磁場。一電子以某一速度從長方體左側垂直Oyz平面進入并穿過兩磁場區域,關于電子運動軌跡在下列坐標平面內的投影,可能正確的是(　　)
A
[A] [B] [C] [D]
【解析】 由左手定則可以判斷出電子在兩磁場中的洛倫茲力方向,沿z軸負方向看,電子在洛倫茲力的作用下,在平面MNPO的左側區域,電子沿逆時針做圓周運動,在平面MNPO的右側區域,電子沿順時針做圓周運動,所以電子運動軌跡在xOy坐標平面內的投影如選項A所示,在xOz平面內的投影應該是一條平行于x軸的直線。故選A。
A
ABC
綜合提升練
7.(6分)(2025·安徽合肥模擬)(多選)局部空間的地磁場對宇宙射線的作用原理可以用如下的簡化模型來研究。如圖所示,正圓柱體形狀的空間內存在沿軸線方向、大小為B的勻強磁場。一個帶電荷量為e、質量為m的電子以初速度v0從圓柱體的上底面圓心O點射入磁場,速度方向與軸線成30°夾角,一段時間后恰好經過該圓柱體空間的另一底面圓心O′點。已知粒子在此過程中不會與圓柱體壁發生碰撞,不考慮洛倫茲力以外的其他力,下列說法正確的是(　　 )
BD
8.(16分)(2025·廣東珠海模擬)如圖所示,以長方體 abcd-a′b′c′d′ 的ad邊中點O為坐標原點、ad方向為x軸正方向、a′a方向為y軸正方向、ab方向為z軸正方向建立Oxyz坐標系,已知Oa=ab=aa′=L。長方體中存在沿y軸負方向的勻強磁場,現有質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力),從O點沿z軸正方向以初速度v射入磁場中,恰好從a點射出磁場。
(1)求磁場的磁感應強度B的大小;
(2)若在長方體中加上沿y軸負方向的勻強電場,讓粒子仍從O點沿z軸正方向以初速度v射入磁場中,為使粒子能從a′點射出磁場,求電場強度E1的大小;

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