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2025年全國中學生數學奧林匹克（廣西賽區）選拔賽試題
一、填空題（每小題10分，共80分.）
1.
1和千2
已知虛數z使得名=，
是實數，則z=▲
2.若1og(x+2y)+10g5(x-2y)=1,則x-y的最小值是
的展開式中x4的系數是
、(用具體數字作答)
4.
已知△ABC的外心為O,且4OA+3OB+2OC=0,則cos∠ABC=▲
5.數列a,滿足a,=行且對一-切自然數n都有a=+a,則
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1
的整數部分
n=0 a +1
是
6.一個球的內接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為
7.直線蘭+上=1與稀圓蘭+上=1相交于小B兩點，點P在該橢圈上，且滿足AP4B的
54
2516
面積等于9，這樣的P點的個數是
8.設Z.為全體正整數集，A={n|n∈Z.,n3且ny4},B={nin∈Z,nlS},C=AUB.
將C中的元素從小到大排列得到數列{an}，則a2o2s=▲
二、解答題(9、10每小題15分，11、12每小題20分，共70分.)
9.在七個數字1,2,3,4,5,6,7的所有排列中，求至少有兩個相鄰數字不互質的概率.
10.已知f()=(x-1)2，g()=4(x-1);數列{a.}滿足(an1-a)g(a)+f(a)=0,其
中a1=2;數列億n}滿足bn=3f(an)-g(an1).求bn的最大值與最小值.
11.在Rt△ABC的斜邊AB上取一點D,使得△ACD和△BCD
的內切圓半徑相等.求證：CD2=SMBc
12.已知a,b,c是正實數，求證：
a+b+c
c之11T之a+b-cb+c-ac+a-
q +-
2+e2
2025年全國中學生數學奧林匹克（廣西賽區）選拔賽
試題參考答案
一、填空題（每小題10分，共80分.）
2
2
提示：
e2+0=;《0+5+1=z,+=0-)小.
1+32=3,
由+2,1-2為實數，：為虛數可知1-2=0.
于是3=(2+101+z)52=(2+101+),1+2+22=0.故1=32=-1.
因此，：=-+5或者：=-15，
2
2
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25
2
提示：由log(x+2y)+log,(x-2y)=1可得1x-4|y2=5,1x>2
令ux,1yl,kx-yl,則2-42=5，k>0.方程(t+k)2-4r2=5,即
3-2+5-k)=0有正實數解.故A=42-125-k)≥0,4k2≥15，k之
2
當=時1=店，42正.圖此時-的最小值為
2
6
3
3.264
4
_x+2少，所以展開式中x的系數是C品·2=264，
6
提示：因為x++4
4.10
提示：不妨設△4BC的外接圓半徑為1.由40A+30B+20元=0得40A=-30B-20元，
1610if=910f+41ocf+120B.0c,故08.0c-}
同理可得01.0C:60麗01=名
.BA.BC=04-0B)OC-OB)=04.0C-04.0B-OB.OC+0B.OB
1

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