資源簡介

思維進階課十三　帶電粒子在磁場中運動的臨界、極值和多解問題
[學習目標]　1．會分析帶電粒子在勻強磁場中的多解問題。
2．會用平移圓法、旋轉圓法、放縮圓法分析臨界狀態(tài)問題。
帶電粒子在磁場中運動的多解問題
1．常見多解類型
多解分類 多解原因 示意圖
帶電粒子電性不確定 帶電粒子可能帶正電，也可能帶負電，粒子在磁場中的運動軌跡不同
磁場方向不確定 題目只告訴了磁感應強度的大小，而未具體指出磁感應強度的方向，此時由于磁感應強度方向不確定帶來多解
臨界狀態(tài)不唯一或速度大小不確定 帶電粒子在穿過有界磁場時，可能直接穿過去，也可能從入射界面反向射出，于是形成多解
運動的往復性或周期性 帶電粒子在部分是電場、部分是磁場的空間中運動時，運動往往具有往復性，因而形成多解
2．求解帶電粒子在磁場中運動多解問題的技巧
(1)分析題目特點，確定題目多解性形成的原因。
(2)作出粒子運動軌跡示意圖(全面考慮多種可能性)。
(3)若為周期性的多解問題，尋找通項式；若是出現幾種周期性解的可能性，注意每種解出現的條件。
　往復性或周期性形成多解
[典例1]　(多選)(2022·湖北卷)在如圖所示的平面內，分界線SP將寬度為L的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強磁場，另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小均為B，SP與磁場左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直且與SP成30°角。已知離子比荷為k，不計重力。若離子從P點射出，設出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對應θ角的可能組合為(　　)
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　帶電粒子電性不確定形成多解
[典例2]　(多選)如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，MN是它的下邊界。現有質量為m、電荷量為q的帶電粒子與MN成30°角垂直射入磁場，則粒子在磁場中運動的時間可能為(　　)
A．
C．
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　臨界狀態(tài)不確定形成多解
[典例3]　(多選)長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強磁場，如圖所示。磁感應強度為B，板間距離為l，極板不帶電。現有質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力)，從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是(　　)
A．使粒子的速度v<
B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　磁場方向不確定形成多解
[典例4]　(多選)如圖所示，A點的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負離子，離子的重力忽略不計。為把這束負離子約束在OP之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強磁場。已知O、A兩點間的距離為s，負離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強磁場的磁感應強度B的大小和方向可能是(　　)
A．B＞，垂直紙面向里
B．B＞，垂直紙面向里
C．B＞，垂直紙面向外
D．B＞，垂直紙面向外
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 “動態(tài)圓”模型的應用
　“平移圓”模型
模型界定 將半徑為R＝的圓進行平移，從而探索出粒子運動的臨界條件，即為“平移圓”法
模型條件 粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上的同種帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝，如圖所示
模型特點 帶電粒子軌跡圓的圓心在同一直線上且該直線與入射點的連線平行(或共線)
[典例5]　(多選)如圖所示，在直角三角形ABC內充滿垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出)，AB邊長度為d，∠B＝。現垂直AB邊射入一束質量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v(未知)的帶正電粒子。已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運動的時間為t0，而運動時間最長的粒子在磁場中的運動時間為t0(不計重力及粒子間的相互作用)，則下列說法中正確的是(　　)
A．粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為4t0
B．該勻強磁場的磁感應強度大小為
C．粒子在磁場中運動的軌道半徑為d
D．粒子進入磁場時速度大小為
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　“放縮圓”模型
適用條件 粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的同種帶電粒子在同一點進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化
軌跡圓圓 心共線 如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情境)，速度v越大，運動半徑也越大。可以發(fā)現這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂直于初速度方向的直線PP′上
界定方法 以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法
[典例6]　(多選)(2024·重慶高三校聯考期中)如圖所示，垂直紙面向里的勻強磁場分布在邊長為L的等邊三角形ABC內，D是AB邊的中點，一群相同的帶負電的粒子僅在磁場力作用下，從D點沿紙面以方向平行于BC邊、大小不同的速度射入三角形內，不考慮粒子間的相互作用，已知粒子在磁場中運動的周期為T，則下列說法中正確的是(　　)
A．粒子垂直BC邊射出時，半徑R等于L
B．速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁場中運動時間長
C．粒子可能從C點射出，且在磁場中運動的時間為
D．粒子可能從AB邊射出，且在磁場中運動的時間為T
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　“旋轉圓”模型
模型 界定 將一半徑為R＝的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索出粒子運動的臨界條件，即為“旋轉圓”法
模型條件 粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子在同一點進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射初速度大小為v0，則圓周運動軌跡半徑為R＝
模型特點 軌跡圓的圓心共圓：如圖所示，帶正電的粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R＝的圓上
[典例7]　(多選)如圖所示，在直角坐標系xOy第一象限內x軸上方存在磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，在y軸上S處有一粒子源，它可向右側紙面內各個方向射出速率相等的質量大小均為m、電荷量大小均為q的同種帶電粒子，所有粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的P點。已知粒子帶負電，OP＝OS＝d，粒子重力及粒子間的相互作用均不計，則(　　)
A．粒子的速度大小為
B．從O點射出的粒子在磁場中的運動時間為
C．從x軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的最長時間與最短時間之比為9∶2
D．沿平行x軸正方向射入的粒子離開磁場時的位置到O點的距離為
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思維進階課十三　帶電粒子在磁場中運動的臨界、極值和多解問題
進階1
典例1　BC　[若離子最后經過下部分磁場從P點射出，如圖1，則θ＝60°，R＝(n＝1，3，5，…)，又qvB＝m，可得v＝＝(n＝1，3，5，…)；若離子最后經過上部分磁場從P點射出，如圖2，則θ＝0°，R＝(n＝2，4，6，…)，又qvB＝m，可得v＝＝(n＝2，4，6，…)。綜上可知，B、C可能，A、D不可能。
]
典例2　AD　[
設粒子在磁場中運動的軌跡半徑為R，由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期T＝，聯立可得T＝。若帶電粒子所帶電荷為正，則其在磁場中的軌跡為圖中①所示，軌跡對應的圓心角為300°，在磁場中運動的時間為t1＝·T＝；若帶電粒子所帶電荷為負，則其在磁場中的軌跡為圖中②所示，軌跡對應的圓心角為60°，在磁場中運動的時間為t2＝·T＝，故A、D正確。]
典例3　 AB　[如圖所示，若帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有＝＋l2，又因為qv1B＝，解得v1＝；若粒子剛好打在極板左邊緣，有r2＝，又qv2B＝，解得v2＝。欲使粒子不打在極板上，應使v<或v>，故A、B正確，C、D錯誤。]
典例4　BD　[當磁場方向垂直紙面向里時，離子恰好與OP相切的軌跡如圖甲所示，切點為M，設軌跡半徑為r1，由幾何關系可知 sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；當磁場方向垂直紙面向外時，其臨界軌跡即圓弧與OP相切于N點，如圖乙所示，設軌跡半徑為r2，由幾何關系可知s＝＋r2，可得r2＝，又r2＝，所以B2＝，故B、D正確，A、C錯誤。
]
進階2
典例5　ABC　[
根據題意，粒子垂直AB邊射入，垂直AC邊射出時經過四分之一個周期，即T＝t0，解得T＝4t0，A正確；洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，粒子運動的周期T＝＝＝4t0，可解得該勻強磁場的磁感應強度大小為B＝，B正確；當粒子軌跡與BC邊相切時，粒子在磁場中運動的時間最長，為t0＝T，則在磁場中轉過的圓心角為120°，如圖所示，根據幾何關系可知R sin ＋＝d，解得R＝d，C正確；根據T＝可知，v＝＝＝，D錯誤。]
典例6　AD　[根據題意可知，粒子垂直BC邊射出時，運動軌跡如圖甲所示，根據幾何關系知半徑為L，故A正確；
　
若帶電粒子剛好從BC邊射出磁場，運動軌跡與BC邊相切，可知圓心角為180°，粒子在磁場中運動的時間為T，若帶電粒子剛好從AC邊射出磁場，運動軌跡與AC邊相切，作圖可得切點為C點，如圖乙所示，可知圓心角為60°，粒子在磁場中運動的時間為T，若帶電粒子從AB邊射出磁場，可知圓心角為240°，粒子在磁場中運動的時間為T，若粒子在磁場中運動的時間為T，則它一定從AB邊射出磁場，所以速度小的粒子不一 定比速度大的粒子在磁場中運動時間長，故B、C錯誤，D正確。]
典例7　AC　[
粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的P點，可以畫出其軌跡1，可知SP為直徑，由幾何關系得＝(2R)2，解得R＝d，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝，解得v＝，故A正確；運動周期T＝，由幾何知識可得，從O點射出的粒子的運動軌跡如軌跡3，軌跡所對的圓心角為60°，在磁場中的運動時間t＝T＝，故B錯誤；從x軸上射出磁場的粒子運動時間最長時，運動軌跡與x軸相切(軌跡2)，對應的圓心角為270°，得t1＝T，運動時間最短的粒子為從O點射出的粒子(軌跡3)，運動時間為t2＝T，所以＝，故C正確；沿平行x軸正方向射入的粒子，圓心在O點處，運動軌跡為四分之一圓，離開磁場時的位置到O點的距離為d，故D錯誤。]
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第十章　磁　場
思維進階課十三　帶電粒子在磁場中運動的臨界、極值和多解問題
[學習目標]　1．會分析帶電粒子在勻強磁場中的多解問題。
2．會用平移圓法、旋轉圓法、放縮圓法分析臨界狀態(tài)問題。
多解分類 多解原因 示意圖
帶電粒子電性不確定 帶電粒子可能帶正電，也可能帶負電，粒子在磁場中的運動軌跡不同
進階1　帶電粒子在磁場中運動的多解問題
1．常見多解類型
多解分類 多解原因 示意圖
磁場方向不確定 題目只告訴了磁感應強度的大小，而未具體指出磁感應強度的方向，此時由于磁感應強度方向不確定帶來多解
多解分類 多解原因 示意圖
臨界狀態(tài)不唯一或速度大小不確定 帶電粒子在穿過有界磁場時，可能直接穿過去，也可能從入射界面反向射出，于是形成多解
多解分類 多解原因 示意圖
運動的往復性或周期性 帶電粒子在部分是電場、部分是磁場的空間中運動時，運動往往具有往復性，因而形成多解
2．求解帶電粒子在磁場中運動多解問題的技巧
(1)分析題目特點，確定題目多解性形成的原因。
(2)作出粒子運動軌跡示意圖(全面考慮多種可能性)。
(3)若為周期性的多解問題，尋找通項式；若是出現幾種周期性解的可能性，注意每種解出現的條件。
角度1　往復性或周期性形成多解
[典例1]　(多選)(2022·湖北卷)在如圖所示的平面內，分界線SP將寬度為L的矩形區(qū)域分成兩部分，一部分充滿方向垂直于紙面向外的勻強磁場，另一部分充滿方向垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小均為B，SP與磁場左右邊界垂直。離子源從S處射入速度大小不同的正離子，離子入射方向與磁場方向垂直且與SP成30°角。已知離子比荷為k，不計重力。若離子從P點射出，設出射方向與入射方向的夾角為θ，則離子的入射速度和對應θ角的可能組合為(　　)
A．kBL，0° B．kBL，0°
C．kBL，60° D．2kBL，60°
√
√
BC　[若離子最后經過下部分磁場從P點射出，如圖1，則θ＝60°，R＝(n＝1，3，5，…)，又qvB＝m， 可得v＝＝(n＝1，3，5，…)；若離子最后經過上部分磁場從P點射出，如圖2，則θ＝0°，R＝(n＝2，4，6，…)，又qvB＝m，
可得v＝＝(n＝2，4，6，…)。
綜上可知，B、C可能，A、D不可能。]
角度2　帶電粒子電性不確定形成多解
[典例2]　(多選)如圖所示，勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，MN是它的下邊界。現有質量為m、電荷量為q的帶電粒子與MN成30°角垂直射入磁場，則粒子在磁場中運動的時間可能為(　　)
A．
C．
√
√
AD　[設粒子在磁場中運動的軌跡半徑為R，由洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期T＝，聯立可得T＝。若帶電粒子所帶電荷為正，則其在磁場中的軌跡為圖中①所示，軌跡對應的圓心角為300°，在磁場中運動的時間為t1＝·T＝；若帶電粒子所帶電荷為負，則其在磁場中的軌跡為
圖中②所示，軌跡對應的圓心角為60°，在磁場
中運動的時間為t2＝·T＝，故A、D正確。]
角度3　臨界狀態(tài)不確定形成多解
[典例3]　(多選)長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強磁場，如圖所示。磁感應強度為B，板間距離為l，極板不帶電。現有質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力)，從左邊極板間中點處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不
打在極板上，可采用的辦法是(　　)
A．使粒子的速度v<
B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度√
√
AB　[如圖所示，若帶電粒子剛好打在極板右邊緣，有＝＋l2，又因為qv1B＝，解得v1＝；若粒子剛好打在極板左邊緣，有r2＝，又qv2B＝，解得v2＝。欲使粒子不打在極板上，應使v<或v>，故A、B正確，
C、D錯誤。]
角度4　磁場方向不確定形成多解
[典例4]　(多選)如圖所示，A點的離子源沿紙面垂直O(jiān)Q方向向上射出一束負離子，離子的重力忽略不計。為把這束負離子約束在OP之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強磁場。已知O、A兩點間的距離為s，負離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強磁場的磁感應強度B的大小和方向可能是(　　)
A．B＞，垂直紙面向里
B．B＞，垂直紙面向里
C．B＞，垂直紙面向外
D．B＞，垂直紙面向外
√
√
BD　[當磁場方向垂直紙面向里時，離子恰好與OP相切的軌跡如圖甲所示，切點為M，設軌跡半徑為r1，由幾何關系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；當磁場方向垂直紙面向外時，其臨界軌跡即圓弧與OP相切于N點，如圖乙所示，設軌跡半徑為r2，由幾何關系可知s＝＋r2，可得r2＝，又r2＝，所以B2＝，故B、D正確，A、C錯誤。]
進階2　“動態(tài)圓”模型的應用
角度1　“平移圓”模型
模型界定 將半徑為R＝的圓進行平移，從而探索出粒子運動的臨界條件，即為“平移圓”法
模型條件 粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上的同種帶電粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝，如圖所示

模型特點 帶電粒子軌跡圓的圓心在同一直線上且該直線與入射點的連線平行(或共線)
[典例5]　(多選)如圖所示，在直角三角形ABC內充滿垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出)，AB邊長度為d，∠B＝。現垂直AB邊射入一束質量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v(未知)的帶正電粒子。已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運動的時間為t0，而運動時間最長的粒子在磁場中的運動時間為t0(不計重力
及粒子間的相互作用)，則下列說法中正確的是(　　)
A．粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為4t0
B．該勻強磁場的磁感應強度大小為
C．粒子在磁場中運動的軌道半徑為d
D．粒子進入磁場時速度大小為
√
√
√
ABC　[根據題意，粒子垂直AB邊射入，垂直AC邊射出時經過四分之一個周期，即T＝t0，解得T＝4t0，A正確；洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，粒子運動的周期T＝＝＝4t0，可解得該勻強磁場的磁感應強度大小為B＝，B正確；當粒子軌跡與BC邊相切時，粒子在磁場中運動的時間最長，為t0＝T，則在磁
場中轉過的圓心角為120°，如圖所示，根據幾何關系可知R sin ＋＝d，解得R＝d，C正確；根據T＝可知，
v＝＝＝，D錯誤。]
角度2　“放縮圓”模型
適用條件 粒子源發(fā)射速度方向一定、大小不同的同種帶電粒子在同一點進入勻強磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化
軌跡圓圓 心共線 如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電
的情境)，速度v越大，運動半徑也
越大。可以發(fā)現這些帶電粒子射入
磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂
直于初速度方向的直線PP′上
界定方法 以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法
[典例6]　(多選)(2024·重慶高三校聯考期中)如圖所示，垂直紙面向里的勻強磁場分布在邊長為L的等邊三角形ABC內，D是AB邊的中點，一群相同的帶負電的粒子僅在磁場力作用下，從D點沿紙面以方向平行于BC邊、大小不同的速度射入三
角形內，不考慮粒子間的相互作用，已知粒
子在磁場中運動的周期為T，則下列說法中正
確的是(　　)
A．粒子垂直BC邊射出時，半徑R等于L
B．速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁場中運動時間長
C．粒子可能從C點射出，且在磁場中運動的時間為
D．粒子可能從AB邊射出，且在磁場中運動的時間為T
√
√
AD　[根據題意可知，粒子垂直BC邊射出時，運動軌跡如圖甲所示，根據幾何關系知半徑為L，故A正確；
若帶電粒子剛好從BC邊射出磁場，運動軌跡與BC邊相切，可知圓心角為180°，粒子在磁場中運動的時間為T，若帶電粒子剛好從AC邊射出磁場，運動軌跡與AC邊相切，作圖可得切點為C點，如圖乙所示，可知圓心角為60°，粒子在磁場中運動的時間為T，若帶電粒子從AB邊射出磁場，可知圓心角為240°，粒子在磁場中運動的時間為T，若粒子在磁場中運動的時間為T，則它一定從AB邊射出磁場，所以速度小的粒子不一 定比速度大的粒子在磁場中運動時間長，故B、C錯誤，D正確。]
角度3　“旋轉圓”模型
模型 界定 將一半徑為R＝的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索出粒子運動的臨界條件，即為“旋轉圓”法
模型 條件 粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的同種帶電粒子在同一點進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，若入射初速度大小為v0，則圓周運動軌跡半徑為R＝
模型特點
軌跡圓的圓心共圓：如圖所示，帶正電的粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R＝的圓上
[典例7]　(多選)如圖所示，在直角坐標系xOy第一象限內x軸上方存在磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，在y軸上S處有一粒子源，它可向右側紙面內各個方向射出速率相等的質量大小均為m、電荷量大小均為q的同種帶電粒子，所有粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的P點。已知粒子帶負
電，OP＝OS＝d，粒子重力及粒子間的
相互作用均不計，則(　　)
A．粒子的速度大小為
B．從O點射出的粒子在磁場中的運動時間為
C．從x軸上射出磁場的粒子在磁場中運動的最長時間與最短時間之比為9∶2
D．沿平行x軸正方向射入的粒子離開磁場時的位置到O點的距離為
√
√
AC　[粒子射出磁場時離S最遠的位置是x軸上的P點，可以畫出其軌跡1，可知SP為直徑，由幾何關系得d2＋(d)2＝(2R)2，解得R＝d，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝，解得v＝，故A正確；運動周期T＝，由幾何知識可得，從O點射出的粒子的運動軌跡如軌跡3，軌跡所對的圓心角為60°，在磁場中的運動時間t＝T＝，
故B錯誤；從x軸上射出磁場的粒子運動時間最長時，運動軌跡與x軸相切(軌跡2)，對應的圓心角為270°，得t1＝T，運動時間最短的粒子為從O點射出的粒子(軌跡3)，運動時間為t2＝T，所以＝，故C正確；沿平行x軸正方向射入的粒子，
圓心在O點處，運動軌跡為四分之一圓，
離開磁場時的位置到O點的距離為d，故D
錯誤。]
思維進階特訓(十三)
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
1．(多選)(2025·新疆烏魯木齊高三統(tǒng)考)如圖所示，圓心為O、半徑為R的圓形區(qū)域內無磁場，圓形區(qū)域外存在方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為q的粒子從O點以大小為v的速度沿半徑方向射出，射出
后粒子做周期性運動。不計粒子重力，則粒子
運動的周期可能為(　　)
A．＋
＋
C．＋
＋
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
AD　[作出粒子的部分運動軌跡如圖，以后粒子以同樣的形式運動，直到回到開始的速度則完成一個周期性運動，則粒子運動的周期T＝n＝n，其中n＝，當n＝3時，周期T＝＋，當n＝8時，周期
T＝＋，故選AD。]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(多選)(2025·重慶沙坪壩高三聯考)如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內，O為圓心。兩圓形成的圓環(huán)內(含邊界)有垂直圓面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為－q(q>0)的粒子由大圓上的A點以速率v沿大圓切線方向進入磁場，粒子僅在磁場中運動，不計粒子的重力，則粒子運動速率v可能為(　　)
A．
C．
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
√
ACD　[帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動有qvB＝m，可得v＝，粒子僅在磁場中運動，則0<2r≤R或3R≤2r≤4R，如圖所示，代入可得0題號
1
3
5
2
4
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8
7
9
3．(多選)如圖所示，兩方向相反、磁感應強度大小均為B的勻強磁場被邊長為L的等邊三角形ABC邊界分開，三角形內磁場方向垂直紙面向里，三角形頂點A處有一質子源，能沿∠BAC的角平分線發(fā)射速率不同的質子(質子重力不計)，所有質子均能通過C點，質子比荷＝，則質子的速度可能為(　　)
A．
C．
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
√
ABD　[質子帶正電，且經過C點，
其可能的軌跡如圖所示。
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
所有圓弧所對圓心角均為60°，所以質子運
行半徑為r＝(n＝1，2，3，…)，質子在磁場中做圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力可得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，故A、B、D正確，C錯誤。]
4．(多選)平面OM和平面ON之間的夾角為35°，其橫截面(紙面)如圖所示，平面OM上方存在勻強磁場，大小為B，方向垂直于紙面向外。一質量為m，電荷量絕對值為q、電性未知的帶電粒子從OM上的某點向左上方射入磁場，速度與OM成20°角，運動一會兒后從OM上另一點射出磁場。不計重力。則下列幾種情形可能出現的是(　　)
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．粒子在磁場中運動的軌跡與ON只有一個公共點，在磁場中運動的時間是
B．粒子在磁場中運動的軌跡與ON只有一個公共點，在磁場中運動的時間是
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C．粒子在磁場中運動的軌跡與ON共有兩個公共點，在磁場中運動的時間是
D．粒子在磁場中運動的軌跡與ON共有兩個公共點，在磁場中運動的時間是
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ABD　[帶電粒子在磁場中做圓周運動，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，qvB＝mr，得到r＝，T＝＝，若粒子帶負電，將做逆時針方向的勻速圓周運動，粒子回到OM直線時，由圓周運動的對稱性，速度方向必與OM成20°，但由于35°> 20°，則粒子在磁場中的軌跡與ON最多有一個交點，粒子偏轉角只可能為40°，運動時間t＝T＝，A正確，C錯誤；若粒子帶正電，
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
將做順時針方向的勻速圓周運動，無論軌跡與ON有幾個交點，粒子回到OM直線時，由圓周運動的對稱性，速度方向必與OM成20°角，粒子偏轉角為360°－40°＝320°，則粒子運動時間為t＝T＝，B、D正確。]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(多選)如圖所示，空間中有一個底角均為60°的梯形，上底與腰長均為L，梯形處于磁感應強度大小為B、垂直于紙面向外的勻強磁場中。現c點存在一個粒子源，可以源源不斷射出速度方向沿cd、大小可變的電子，電子的比荷為k。為使電子能從ab邊射出，速度大小可能為(　　)
A．
C．
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
BC　[能夠從ab邊射出的電子，半徑最小為從b點射出，如圖甲所示，由幾何關系可知r1＝＝L；
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
半徑最大為從a點射出，如圖乙所示，由幾何關系可知r2＝L，由牛頓第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，則有L≤L，為使粒子從ab邊射出磁場區(qū)域，粒子的速度范圍為≤v≤kBL，故選BC。]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(多選)一勻強磁場垂直于xOy平面，分布在一個圓形區(qū)域內。一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子某時刻經過原點O，速度大小為v，方向沿x軸正方向，后來經過y軸上點P時，速度方向與y軸正方向的夾角為30°，P到O的距離為d，如圖所示。若粒子重力忽略不計，點O在磁場中，則粒子從點O到P的時間t和磁場區(qū)域的最小半徑Rmin分別為(　　)
A．t＝ B．t＝
C．Rmin＝ D．Rmin＝
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
AC　[因粒子的速度方向偏轉了120°，故粒子在磁場中運動軌跡的圓心角為120°，即粒子運動軌跡如圖所示，由幾何關系可知d＝＋r，偏轉角α＝120°，解得粒子運動半徑r＝，粒子從點O到P的時間為t＝×＋＝，A正確，B錯誤；磁
場區(qū)域的直徑等于粒子圓周運動的弦長時，半徑最
小，有Rmin＝＝，C正確，D錯誤。]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
7．(多選)如圖所示，等腰直角三角形區(qū)域分布有垂直紙面向里的勻強磁場，腰長AB＝2 m，O為BC的中點，磁感應強度B＝0.25 T。一群質量m＝1×10-7 kg、電荷量q＝2×10-3 C的帶負電粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，從B、O之間射入磁場區(qū)域，不計粒子重力及粒子間相互作用，則(　　)
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．在AC邊界上有粒子射出的長度為(－1)m
B．C點有粒子射出
C．在AB邊界上有粒子射出的長度為1 m
D．磁場中運動時間最長的粒子從底邊距B點(－1)m處入射
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
√
ACD　[粒子在磁場中偏轉，根據洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，粒子在磁場中運動的軌道半徑為R＝＝ m＝1 m, 作出粒子在磁場中的運動軌跡圖，如圖所示。由圖可知，能從AC邊射出粒子的長度為＝R－R＝(－1)m，故A正確；粒子不可能到達C點，故B錯誤；由圖可知，在AB邊界上有粒子射出的長度為＝R＝1 m, 故C正確；磁場中運動時間最長的粒子運動半個圓周，軌跡與
AB、AC相切，由圖可知從底邊距B點(－1)m處
入射，故D正確。]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(多選)(2025·山西太原市高三檢測)一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓的直徑，ac、bd與直徑ab共線，a、c間的距離等于半圓的半徑R。一束質量均為m、電荷量均為q的帶負電的粒子，在紙面內從c點垂直于ac以不同速率射入磁場，不計粒子重力及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　　)
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A．可以經過半圓形邊界的粒子的速率最小值為
B．可以經過半圓形邊界的粒子的速率最大值為
C．在磁場中運動時間最短的粒子速率為
D．在磁場中運動時間最短的粒子運動時間為
√
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
BD　[由r＝可知，粒子速度越大，運動半徑越大。粒子運動軌跡如圖所示，在能到達半圓形邊界的粒子中，經過a點的粒子運動半徑最小，速度最小，其軌跡如圖中軌跡1所示，由＝，解得vmin＝，故A錯誤；可以經過半圓形邊界的粒子經過b點時運動半徑最大，速度最大，其軌跡如圖中軌跡2所示，由＝，解得
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
vmax＝，故B正確；由分析可知，軌跡圓弧所對應的弦與ab半圓形邊界相切時，圓心角最小，運動時間最短，其軌跡如圖中軌跡3所示，圓心恰好位于a點，由R＝，解得v＝，其圓心角為120°，故運動時間為t＝＝，故C錯誤，D正確。]
題號
1
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6
8
7
9
9．如圖所示，圓形區(qū)域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場區(qū)域圓的半徑為R。質量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子在紙面內從圓周上的M點射入磁場。不計粒子重力。
題號
1
3
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4
6
8
7
9
(1)如果一個帶電粒子沿直徑MON方向射入磁場，速度v1＝，該粒子在磁場中運動的時間為多少？
(2)如果大量相同的帶電粒子以相同的速率v2在紙面內從M點沿不同方向射入磁場，不計粒子間相互作用，v2＝，求粒子在磁場中運動的時間的最大值；
(3)如果大量相同的帶電粒子以相同的速率v3在紙面內從M點沿不同方向射入磁場，v3＝，求這些粒子在磁場邊界上出射點分布的長度。
題號
1
3
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9
[解析]　(1)由v1＝，r1＝，可得r1＝R，
粒子在磁場中運動的軌跡如圖甲所示
圓弧對應的圓心角α1＝90°，由T＝
可得t1＝＝。
題號
1
3
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2
4
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8
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9
(2)由v2＝，可得r2＝2R
粒子從N點射出時在磁場運動的時間最長，如圖乙所示
由幾何關系可知，其軌跡弧對應的圓心角α2＝60°
粒子在磁場中運動的時間的最大值t2＝＝。
題號
1
3
5
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6
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9
(3)由v3＝，可得r3＝
粒子在磁場邊界上出射點距M點最遠時，軌跡弧為一半圓，如圖丙所示
由幾何關系可知，出射點分布的長度為磁場邊界
的，即s＝。
題號
1
3
5
2
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6
8
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9
[答案]　(1)　(2)　(3)
謝 謝 ！思維進階特訓(十三)
1．(多選)(2025·新疆烏魯木齊高三統(tǒng)考)如圖所示，圓心為O、半徑為R的圓形區(qū)域內無磁場，圓形區(qū)域外存在方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為q的粒子從O點以大小為v的速度沿半徑方向射出，射出后粒子做周期性運動。不計粒子重力，則粒子運動的周期可能為(　　)
A．＋ ＋
C．＋ ＋
2．(多選)(2025·重慶沙坪壩高三聯考)如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內，O為圓心。兩圓形成的圓環(huán)內(含邊界)有垂直圓面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B。一質量為m、電荷量為－q(q>0)的粒子由大圓上的A點以速率v沿大圓切線方向進入磁場，粒子僅在磁場中運動，不計粒子的重力，則粒子運動速率v可能為(　　)
A．
C．
3．(多選)如圖所示，兩方向相反、磁感應強度大小均為B的勻強磁場被邊長為L的等邊三角形ABC邊界分開，三角形內磁場方向垂直紙面向里，三角形頂點A處有一質子源，能沿∠BAC的角平分線發(fā)射速率不同的質子(質子重力不計)，所有質子均能通過C點，質子比荷＝，則質子的速度可能為(　　)
A．
C．
4．(多選)平面OM和平面ON之間的夾角為35°，其橫截面(紙面)如圖所示，平面OM上方存在勻強磁場，大小為B，方向垂直于紙面向外。一質量為m，電荷量絕對值為q、電性未知的帶電粒子從OM上的某點向左上方射入磁場，速度與OM成20°角，運動一會兒后從OM上另一點射出磁場。不計重力。則下列幾種情形可能出現的是(　　)
A．粒子在磁場中運動的軌跡與ON只有一個公共點，在磁場中運動的時間是
B．粒子在磁場中運動的軌跡與ON只有一個公共點，在磁場中運動的時間是
C．粒子在磁場中運動的軌跡與ON共有兩個公共點，在磁場中運動的時間是
D．粒子在磁場中運動的軌跡與ON共有兩個公共點，在磁場中運動的時間是
5．(多選)如圖所示，空間中有一個底角均為60°的梯形，上底與腰長均為L，梯形處于磁感應強度大小為B、垂直于紙面向外的勻強磁場中。現c點存在一個粒子源，可以源源不斷射出速度方向沿cd、大小可變的電子，電子的比荷為k。為使電子能從ab邊射出，速度大小可能為(　　)
A．
C．
6．(多選)一勻強磁場垂直于xOy平面，分布在一個圓形區(qū)域內。一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子某時刻經過原點O，速度大小為v，方向沿x軸正方向，后來經過y軸上點P時，速度方向與y軸正方向的夾角為30°，P到O的距離為d，如圖所示。若粒子重力忽略不計，點O在磁場中，則粒子從點O到P的時間t和磁場區(qū)域的最小半徑Rmin分別為(　　)
A．t＝ B．t＝
C．Rmin＝ D．Rmin＝
7．(多選)如圖所示，等腰直角三角形區(qū)域分布有垂直紙面向里的勻強磁場，腰長AB＝2 m，O為BC的中點，磁感應強度B＝0.25 T。一群質量m＝1×10-7 kg、電荷量q＝2×10-3 C的帶負電粒子以速度v＝5×103 m/s垂直于BO，從B、O之間射入磁場區(qū)域，不計粒子重力及粒子間相互作用，則(　　)
A．在AC邊界上有粒子射出的長度為(－1)m
B．C點有粒子射出
C．在AB邊界上有粒子射出的長度為1 m
D．磁場中運動時間最長的粒子從底邊距B點(－1)m處入射
8．(多選)(2025·山西太原市高三檢測)一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓的直徑，ac、bd與直徑ab共線，a、c間的距離等于半圓的半徑R。一束質量均為m、電荷量均為q的帶負電的粒子，在紙面內從c點垂直于ac以不同速率射入磁場，不計粒子重力及粒子間的相互作用。下列說法正確的是(　　)
A．可以經過半圓形邊界的粒子的速率最小值為
B．可以經過半圓形邊界的粒子的速率最大值為
C．在磁場中運動時間最短的粒子速率為
D．在磁場中運動時間最短的粒子運動時間為
9．如圖所示，圓形區(qū)域內有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，磁場區(qū)域圓的半徑為R。質量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子在紙面內從圓周上的M點射入磁場。不計粒子重力。
(1)如果一個帶電粒子沿直徑MON方向射入磁場，速度v1＝，該粒子在磁場中運動的時間為多少？
(2)如果大量相同的帶電粒子以相同的速率v2在紙面內從M點沿不同方向射入磁場，不計粒子間相互作用，v2＝，求粒子在磁場中運動的時間的最大值；
(3)如果大量相同的帶電粒子以相同的速率v3在紙面內從M點沿不同方向射入磁場，v3＝，求這些粒子在磁場邊界上出射點分布的長度。
思維進階特訓(十三)
1．AD　[作出粒子的部分運動軌跡如圖，以后粒子以同樣的形式運動，直到回到開始的速度則完成一個周期性運動，則粒子運動的周期T＝n＝n，其中n＝，當n＝3時，周期T＝＋，當n＝8時，周期T＝＋，故選AD。
]
2．ACD　[帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動有qvB＝m，可得v＝，粒子僅在磁場中運動，則0<2r≤R或3R≤2r≤4R，如圖所示，代入可得0]
3．ABD　[質子帶正電，且經過C點，其可能的軌跡如圖所示。
所有圓弧所對圓心角均為60°，所以質子運行半徑為r＝(n＝1，2，3，…)，質子在磁場中做圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力可得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1，2，3，…)，故A、B、D正確，C錯誤。]
4．ABD　[帶電粒子在磁場中做圓周運動，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝m，qvB＝mr，得到r＝，T＝＝，若粒子帶負電，將做逆時針方向的勻速圓周運動，粒子回到OM直線時，由圓周運動的對稱性，速度方向必與OM成20°，但由于35°> 20°，則粒子在磁場中的軌跡與ON最多有一個交點，粒子偏轉角只可能為40°，運動時間t＝T＝，A正確，C錯誤；若粒子帶正電，將做順時針方向的勻速圓周運動，無論軌跡與ON有幾個交點，粒子回到OM直線時，由圓周運動的對稱性，速度方向必與OM成20°角，粒子偏轉角為360°－40°＝320°，則粒子運動時間為t＝T＝，B、D正確。]
5．BC　[能夠從ab邊射出的電子，半徑最小為從b點射出，如圖甲所示，由幾何關系可知r1＝＝L；
　
半徑最大為從a點射出，如圖乙所示，由幾何關系可知r2＝L，由牛頓第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，則有L≤L，為使粒子從ab邊射出磁場區(qū)域，粒子的速度范圍為≤v≤kBL，故選BC。]
6．AC　[因粒子的速度方向偏轉了120°，故粒子在磁場中運動軌跡的圓心角為120°，即粒子運動軌跡如圖所示，由幾何關系可知d＝＋r，偏轉角α＝120°，解得粒子運動半徑r＝，粒子從點O到P的時間為t＝×＋＝，A正確，B錯誤；磁場區(qū)域的直徑等于粒子圓周運動的弦長時，半徑最小，有Rmin＝＝，C正確，D錯誤。]
7．ACD　[粒子在磁場中偏轉，根據洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m，粒子在磁場中運動的軌道半徑為R＝＝
＝R＝1 m，故C正確；磁場中運動時間最長的
粒子運動半個圓周，軌跡與AB、AC相切，由圖可知從底邊距B點(－1)m
處入射，故D正確。]
8．BD　[由r＝可知，粒子速度越大，運動半徑越大。粒子運動軌跡如圖所示，在能到達半圓形邊界的粒子中，經過a點的粒子運動半徑最小，速度最小，其軌跡如圖中軌跡1所示，由＝，解得vmin＝，故A錯誤；可以經過半圓形邊界的粒子經過b點時運動半徑最大，速度最大，其軌跡如圖中軌跡2所示，由＝，解得vmax＝，故B正確；由分析可知，軌跡圓弧所對應的弦與ab半圓形邊界相切時，圓心角最小，運動時間最短，其軌跡如圖中軌跡3所示，圓心恰好位于a點，由R＝，解得v＝，其圓心角為120°，故運動時間為t＝＝，故C錯誤，D正確。
]
9．解析：(1)由v1＝，r1＝，可得r1＝R，
粒子在磁場中運動的軌跡如圖甲所示
圓弧對應的圓心角α1＝90°，由T＝
可得t1＝＝。
(2)由v2＝，可得r2＝2R
粒子從N點射出時在磁場運動的時間最長，如圖乙所示
由幾何關系可知，其軌跡弧對應的圓心角α2＝60°
粒子在磁場中運動的時間的最大值t2＝＝。
(3)由v3＝，可得r3＝
粒子在磁場邊界上出射點距M點最遠時，軌跡弧為一半圓，如圖丙所示
由幾何關系可知，出射點分布的長度為磁場邊界的，即s＝。
答案：(1)　(2)　(3)
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