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第5講　微專題——追及、相遇問題(綜合融通課)
(一) 解決追及、相遇問題的一般方法
　　追及、相遇問題的實質是研究兩個物體的時空關系,只要滿足兩個物體在同時到達同一地點,即說明兩個物體相遇。
1.分析思路
可概括為“一個臨界條件”和“兩個等量關系”。
(1)一個臨界條件:速度相等。它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件,也是分析、判斷問題的切入點。
(2)兩個等量關系:時間等量關系和位移等量關系。通過畫草圖找出兩物體的位移關系是解題的突破口。
2.常用分析方法
情境 分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間同一位置”這一關鍵,認真審題,挖掘題目中的隱含條件,建立物體運動關系的情境圖
二次 函數法 設運動時間為t,根據條件列方程,得到關于二者之間的距離Δx與時間t的二次函數關系,Δx=0時,表示兩者相遇。 ①若Δ>0,即有兩個解,說明可以相遇兩次; ②若Δ=0,即有一個解,說明剛好追上或相遇; ③若Δ<0,無解,說明追不上或不能相遇。 當t=-時,函數有極值,代表兩者距離的最大或最小值
變換 參考 系法 一般情況下,我們習慣于選地面為參考系,但有時在研究兩個或以上相對運動物體間的運動時,如果能巧妙選取合適的參考系,會簡化解題過程,起到化繁為簡的效果
　　[典例]　在同一水平直軌道上有A和B兩列無人駕駛貨運車廂相距x,A車廂在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動,而B車廂同時做初速度為0、加速度為a的勻加速直線運動,兩車廂運動方向相同。要使兩車廂不相撞,求A車廂的初速度v0應滿足的條件。
答題區(面答面評,拍照上傳,現場糾錯品優)
[應用體驗]
1.(多選)某學校田徑運動會上正進行接力比賽。如圖所示,靜止在O處等待接棒的運動員甲,觀察到運動員乙以大小為v的速度運動到P處時,甲從靜止開始以大小為a的加速度做勻加速直線運動,當甲速度達到v時,運動員乙恰好追上甲。在此過程中運動員乙做勻速直線運動,則 (　 )
A.運動員甲的運動時間為
B.運動員甲的運動時間為
C.OP距離為
D.OP距離為
2.汽車A以vA=4 m/s的速度向右做勻速直線運動,發現前方相距x0=7 m處、以vB=10 m/s的速度同向運動的汽車B正開始勻減速剎車直到靜止后保持不動,其剎車的加速度大小a=2 m/s2。從此刻開始計時。求:
(1)A追上B前,A、B間的最遠距離是多少;
(2)經過多長時間A恰好追上B。
|升|維|訓|練|
(1)在上述第2題第(2)問中,若某同學應用關系式vBt-at2+x0=vAt,解得經過t=7 s(另解舍去)時A恰好追上B。這個結果合理嗎 為什么
(2)若汽車A以vA=4 m/s的速度向左勻速運動,其后方在同一車道相距x0=7 m處、以vB=10 m/s的初速度同方向運動的汽車B正向左開始勻減速剎車直到靜止后保持不動,B剎車的加速度大小為a=2 m/s2,則B車能否追上A車
(二) 圖像法在追及、相遇問題中的綜合應用
　　兩種常見的追及情境
(1)速度小者追速度大者
情境 圖像 說明
勻加速 追勻速 ①t=t0以前,后面物體與前面物體間距離增大 ②t=t0時,兩物體相距最遠,為x0+Δx(x0為兩物體初始距離) ③t=t0以后,后面物體與前面物體間距離減小 ④能追上且只能相遇一次
勻速追 勻減速
勻加速 追勻 減速
特別提醒:若被追趕的物體做勻減速直線運動,一定要注意判斷被追上前該物體是否已經停止運動。
(2)速度大者追速度小者
情境 圖像 說明
勻減速 追勻速 開始追趕時,兩物體間距離為x0,之后兩物體間的距離減小,當兩物體速度相等時,即t=t0時刻: ①若Δx=x0,則恰能追上,兩物體只能相遇一次,這也是避免相撞的臨界條件 ②若Δxx0,則相遇兩次,設t1時刻Δx=x0,兩物體第一次相遇,則t2時刻兩物體第二次相遇(t2-t0=t0-t1)
勻速追 勻加速
勻減速追 勻加速
　　[典例]　(2025·景德鎮模擬)(多選)甲、乙兩車在一平直公路上從同一地點沿同一方向運動,它們的v t圖像如圖所示。下列判斷正確的是 (　　)
A.乙車啟動時,甲車在其前方25 m處
B.乙車超過甲車后,兩車有可能第二次相遇
C.乙車啟動15 s后正好追上甲車
D.運動過程中,乙車落后甲車的最大距離為75 m
聽課記錄:
[應用體驗]
1.(2025·陜西銅川模擬)為了測試某品牌新能源汽車的性能,現有甲、乙兩輛汽車沿平直的公路運動,t=0時刻甲車在乙車前方x0=60 m處,該時刻兩車開始剎車,此后過程中兩輛汽車的速度隨時間的變化規律如圖所示。則下列說法正確的是 (　　)
A.甲、乙兩車的加速度大小之比為4∶3
B.t=10 s時兩車之間的距離最小
C.兩車可能發生碰撞
D.t=30 s時兩車相距10 m
2.(2025·廣東廣州模擬)(多選)甲、乙兩車并排在同一平直公路上從同一起點同向運動,甲車由靜止開始做勻加速直線運動,乙車做勻速直線運動。甲、乙兩車的位置x隨時間t的變化關系如圖所示。下列說法正確的是 (　　)
A.t0~2t0時間內,甲、乙兩車行駛的路程相等
B.在t0時刻,甲圖線的切線必定與乙圖線相交于某一點
C.在t0時刻,甲、乙兩車之間的距離為
D.在2t0時刻,甲圖線的切線必定經過坐標原點
第5講
(一)　[典例]　解析:兩車廂不相撞的臨界條件是A車廂追上B車廂時其速度與B車廂速度相等。設從A、B兩車廂相距x到A車廂追上B車廂時,A車廂的位移為xA、末速度為vA、所用時間
為t,B車廂的位移為xB、末速度為vB,運動過程如圖所示。現用三種方法解答如下:
解法一　分析法
根據位移公式和速度公式
對A車廂有xA=v0t+(-2a)t2,
vA=v0+(-2a)t
對B車廂有xB=at2,vB=at
兩車廂位移關系有x=xA-xB
追上時,兩車廂不相撞的臨界條件是vA=vB
聯立以上各式解得v0=
故要使兩車廂不相撞,A車廂的初速度應滿足的條件是v0≤。
解法二　函數法
兩車廂相遇時有xA=x+xB
即v0t+(-2a)t2=x+at2
整理得3at2-2v0t+2x=0
這是一個關于時間t的一元二次方程,當根的判別式Δ=(-2v0)2-4×3a×2x=0時,兩車廂剛好不相撞,所以要使兩車廂不相撞,A車廂的初速度應滿足的條件是v0≤。
解法三　變換參考系法
以B為參考系,A、B相對初速度為vAB=v0-0,A、B相對加速度為aAB=-2a-a=-3a,A相對B做勻變速直線運動,恰好不相撞的條件為相遇時vAB'=0,代入2aABx=vAB'2-,得v0=,所以要使兩車廂不相撞,A車廂的初速度應滿足的條件是v0≤。
答案:v0≤
[應用體驗]
1.選AD　設從甲出發到乙追上甲所用時間為t,甲做勻加速直線運動,則有v=at,v2-0=2ax甲,解得t=,x甲=,故A正確,B錯誤;設P、O兩點之間的距離為x,則有vt=x+x甲,解得x=,故C錯誤,D正確。
2.解析:(1)當A、B兩汽車速度相等時,兩車間的距離最遠,即v=vB-at=vA,解得t=3 s
此時汽車A的位移xA=vAt=12 m
汽車B的位移xB=vBt-at2=21 m
故最遠距離Δxmax=xB+x0-xA=16 m。
(2)汽車B從開始減速直到靜止經歷的時間t1==5 s,運動的位移xB'==25 m
汽車A在t1時間內運動的位移xA'=vAt1=20 m
此時相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽車A需再運動的時間t2==3 s
故A追上B所用時間t總=t1+t2=8 s。
答案:(1)16 m　(2)8 s
[升維訓練]
提示:(1)這個結果不合理。因為汽車B運動的時間最長為t==5 s<7 s,說明汽車A追上汽車B時汽車B已停止運動。
(2)可由位移關系式:vBt-at2=x0+vAt,解得t1=(3-)s,t2=(3+)s(舍去),t1時兩車已相遇。
(二)　[典例]　選CD　由題圖可知,乙在t=10 s時啟動,根據v t圖像與時間軸包圍的面積表示位移,可知此時甲的位移為x=×10×10 m=50 m,即乙車啟動時,甲車在乙車前方50 m處,故A錯誤;乙車超過甲車后,由于乙車的速度大,所以兩車不可能再次相遇,故B錯誤;由于兩車從同一地點沿同一方向運動,設甲車啟動t'時間兩車才相遇,有×20=×10,解得t'=25 s,即乙車啟動15 s后正好追上甲車,故C正確;當兩車的速度相等時,兩車相距最遠,則乙車落后甲車的最大距離為Δx=×(5+15)×10 m-×10×5 m=75 m,故D正確。
[應用體驗]
1.選D　v t圖像的斜率表示加速度,則a甲=- m/s2=-2 m/s2、a乙=- m/s2=-1 m/s2,則甲、乙兩車的加速度大小之比為2∶1,故A錯誤;因為甲車在前、乙車在后,且在10 s之前甲車的速度大于乙車的速度,在10 s之后甲車的速度小于乙車的速度,所以在10 s時兩車相距最遠,故B錯誤;根據題圖可知,甲車運動的總位移為x甲=×40×20 m=400 m,乙車運動的總位移為x乙=×30×30 m=450 m,則兩車之間的最小距離為Δx=x0+x甲-x乙=10 m,則兩車不可能發生碰撞,故C錯誤,D正確。
2.選CD　做單向直線運動的物體的位移等于位置坐標之差,且位移大小等于路程,所以t0~2t0時間內,甲車行駛的路程較大,故A錯誤;x t圖像上某點切線的斜率表示瞬時速度,因此乙車的速度v乙=,t0時刻甲車的速度等于0~2t0的平均速度,即=,則此時甲圖線的切線與乙圖線平行,故B錯誤;在t0時刻,乙車的位移x1=v乙t0=,甲車的位移x2=t0=,甲、乙兩車的間距Δx=x1-x2=,故C正確;因為=,所以甲車在2t0時刻的速度=2=,在2t0時刻,甲圖線的切線必定經過坐標原點,故D正確。
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微專題——追及、相遇問題(綜合融通課)
第 5 講
1
(一) 解決追及、相遇問題的一般方法
2
(二) 圖像法在追及、相遇問題中的綜合應用
CONTENTS
目錄
3
課時跟蹤檢測
(一) 解決追及、相遇問題
的一般方法
追及、相遇問題的實質是研究兩個物體的時空關系,只要滿足兩個物體在同時到達同一地點,即說明兩個物體相遇。
1.分析思路
可概括為“一個臨界條件”和“兩個等量關系”。
(1)一個臨界條件:速度相等。它往往是物體間能否追上或兩者距離最大、最小的臨界條件,也是分析、判斷問題的切入點。
(2)兩個等量關系:時間等量關系和位移等量關系。通過畫草圖找出兩物體的位移關系是解題的突破口。
2.常用分析方法
情境 分析法 抓住“兩物體能否同時到達空間同一位置”這一關鍵,認真審題,挖掘題目中的隱含條件,建立物體運動關系的情境圖
二次 函數法 設運動時間為t,根據條件列方程,得到關于二者之間的距離Δx與時間t的二次函數關系,Δx=0時,表示兩者相遇。
①若Δ>0,即有兩個解,說明可以相遇兩次;
②若Δ=0,即有一個解,說明剛好追上或相遇;
③若Δ<0,無解,說明追不上或不能相遇。
當t=-時,函數有極值,代表兩者距離的最大或最小值
變換 參考 系法 一般情況下,我們習慣于選地面為參考系,但有時在研究兩個或以上相對運動物體間的運動時,如果能巧妙選取合適的參考系,會簡化解題過程,起到化繁為簡的效果
續表
[典例]　在同一水平直軌道上有A和B兩列無人駕駛貨運車廂相距x,A車廂在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運動,而B車廂同時做初速度為0、加速度為a的勻加速直線運動,兩車廂運動方向相同。要使兩車廂不相撞,求A車廂的初速度v0應滿足的條件。
[答案]　 v0≤
[解析]　兩車廂不相撞的臨界條件是A車廂追上B車廂時其速度與B車廂速度相等。設從A、B兩車廂相距x到A車廂追上B車廂時,A車廂的位移為xA、末速度為vA、所用時間為t,B車廂的位移為xB、末速度為vB,運動過程如圖所示。現用三種方法解答如下:
解法一　分析法
根據位移公式和速度公式
對A車廂有xA=v0t+(-2a)t2,vA=v0+(-2a)t
對B車廂有xB=at2,vB=at
兩車廂位移關系有x=xA-xB
追上時,兩車廂不相撞的臨界條件是vA=vB
聯立以上各式解得v0=
故要使兩車廂不相撞,A車廂的初速度應滿足的條件是v0≤。
解法二　函數法
兩車廂相遇時有xA=x+xB
即v0t+(-2a)t2=x+at2
整理得3at2-2v0t+2x=0
這是一個關于時間t的一元二次方程,當根的判別式Δ=(-2v0)2-4×3a×2x=0時,兩車廂剛好不相撞,所以要使兩車廂不相撞,A車廂的初速度應滿足的條件是v0≤。
解法三　變換參考系法
以B為參考系,A、B相對初速度為vAB=v0-0,A、B相對加速度為aAB=-2a-a=-3a,A相對B做勻變速直線運動,恰好不相撞的條件為相遇時vAB'=0,代入2aABx=vAB'2-,得v0=,所以要使兩車廂不相撞,A車廂的初速度應滿足的條件是v0≤。
1.(多選)某學校田徑運動會上正進行接力比賽。如圖所示,靜止在O處等待接棒的運動員甲,觀察到運動員乙以大小為v的速度運動到P處時,甲從靜止開始以大小為a的加速度做勻加速直線運動,當甲速度達到v時,運動員乙恰好追上甲。在此過程中運動員乙做勻速直線運動,則 (　　)
應用體驗
A.運動員甲的運動時間為
B.運動員甲的運動時間為
C.OP距離為
D.OP距離為
√
√
解析:設從甲出發到乙追上甲所用時間為t,甲做勻加速直線運動,則有v=at,v2-0=2ax甲,解得t=,x甲=,故A正確,B錯誤;設P、O兩點之間的距離為x,則有vt=x+x甲,解得x=,故C錯誤,D正確。
2.汽車A以vA=4 m/s的速度向右做勻速直線運動,發現前方相距x0=7 m處、以vB=10 m/s的速度同向運動的汽車B正開始勻減速剎車直到靜止后保持不動,其剎車的加速度大小a=2 m/s2。從此刻開始計時。求:
(1)A追上B前,A、B間的最遠距離是多少;
答案:16 m　
解析:當A、B兩汽車速度相等時,兩車間的距離最遠,即v=vB-at=vA,解得t=3 s
此時汽車A的位移xA=vAt=12 m
汽車B的位移xB=vBt-at2=21 m
故最遠距離Δxmax=xB+x0-xA=16 m。
(2)經過多長時間A恰好追上B。
答案:8 s
解析:汽車B從開始減速直到靜止經歷的時間t1==5 s,運動的位移xB'==25 m
汽車A在t1時間內運動的位移
xA'=vAt1=20 m
此時相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽車A需再運動的時間t2==3 s
故A追上B所用時間t總=t1+t2=8 s。
(1)在上述第2題第(2)問中,若某同學應用關系式vBt-at2+x0=vAt,解得經過t=7 s(另解舍去)時A恰好追上B。這個結果合理嗎 為什么
提示:這個結果不合理。因為汽車B運動的時間最長為t==5 s< 7 s,說明汽車A追上汽車B時汽車B已停止運動。
升維訓練
(2)若汽車A以vA=4 m/s的速度向左勻速運動,其后方在同一車道相距x0=7 m處、以vB=10 m/s的初速度同方向運動的汽車B正向左開始勻減速剎車直到靜止后保持不動,B剎車的加速度大小為a=2 m/s2,則B車能否追上A車
提示:可由位移關系式:vBt-at2=x0+vAt,解得t1=(3-)s,t2=(3+)s(舍去),t1時兩車已相遇。
(二) 圖像法在追及、相遇問題中的綜合應用
課
堂
兩種常見的追及情境
(1)速度小者追速度大者
考法全訓
情境 勻加速追勻速 勻速追勻減速 勻加速追勻減速
圖像
說明
①t=t0以前,后面物體與前面物體間距離增大
②t=t0時,兩物體相距最遠,為x0+Δx(x0為兩物體初始距離)
③t=t0以后,后面物體與前面物體間距離減小
④能追上且只能相遇一次
續表
特別提醒:若被追趕的物體做勻減速直線運動,一定要注意判斷被追上前該物體是否已經停止運動。
(2)速度大者追速度小者
情境 勻加速追勻速 勻速追勻減速 勻加速追勻減速
圖像
說明
開始追趕時,兩物體間距離為x0,之后兩物體間的距離減小,當兩物體速度相等時,即t=t0時刻:
①若Δx=x0,則恰能追上,兩物體只能相遇一次,這也是避免相撞的臨界條件
②若Δx③若Δx>x0,則相遇兩次,設t1時刻Δx=x0,兩物體第一次相遇,則t2時刻兩物體第二次相遇(t2-t0=t0-t1)
續表
[典例]　(2025·景德鎮模擬)(多選)甲、乙兩車在一平直公路上從同一地點沿同一方向運動,它們的v t圖像如圖所示。下列判斷正確的是 (　　)
A.乙車啟動時,甲車在其前方25 m處
B.乙車超過甲車后,兩車有可能第二次相遇
C.乙車啟動15 s后正好追上甲車
D.運動過程中,乙車落后甲車的最大距離為75 m
√
√
[解析]　由題圖可知,乙在t=10 s時啟動,根據v t圖像與時間軸包圍的面積表示位移,可知此時甲的位移為x=×10×10 m=50 m,即乙車啟動時,甲車在乙車前方50 m處,故A錯誤;乙車超過甲車后,由于乙車的速度大,所以兩車不可能再次相遇,故B錯誤;由于兩車從同一地點沿同一方向運動,設甲車啟動t'時間兩車才相遇,有×20=×10,解得t'=25 s,即乙車啟動15 s后正好追上甲車,故C正確;當兩車的速度相等時,兩車相距最遠,則乙車落后甲車的最大距離為Δx=×(5+15)×10 m-×10×5 m= 75 m,故D正確。
1.(2025·陜西銅川模擬)為了測試某品牌新能源汽車的性能,現有甲、乙兩輛汽車沿平直的公路運動,t=0時刻甲車在乙車前方x0=60 m處,該時刻兩車開始剎車,此后過程中兩輛汽車的速度隨時間的變化規律如圖所示。則下列說法正確的是 (　　)
A.甲、乙兩車的加速度大小之比為4∶3
B.t=10 s時兩車之間的距離最小
C.兩車可能發生碰撞
D.t=30 s時兩車相距10 m
應用體驗
√
解析:v t圖像的斜率表示加速度,則a甲=- m/s2=-2 m/s2、a乙= - m/s2=-1 m/s2,則甲、乙兩車的加速度大小之比為2∶1,故A錯誤;因為甲車在前、乙車在后,且在10 s之前甲車的速度大于乙車的速度,在10 s之后甲車的速度小于乙車的速度,所以在10 s時兩車相距最遠,故B錯誤;根據題圖可知,甲車運動的總位移為x甲=×40×20 m=400 m,乙車運動的總位移為x乙=×30×30 m=450 m,則兩車之間的最小距離為Δx=x0+x甲-x乙=10 m,則兩車不可能發生碰撞,故C錯誤,D正確。
2.(2025·廣東廣州模擬)(多選)甲、乙兩車并排在同一平直公路上從同一起點同向運動,甲車由靜止開始做勻加速直線運動,乙車做勻速直線運動。甲、乙兩車的位置x隨時間t的變化關系如圖所示。下列說法正確的是 (　　)
A.t0~2t0時間內,甲、乙兩車行駛的路程相等
B.在t0時刻,甲圖線的切線必定與乙圖線相交于某一點
C.在t0時刻,甲、乙兩車之間的距離為
D.在2t0時刻,甲圖線的切線必定經過坐標原點
√
√
解析:做單向直線運動的物體的位移等于位置坐標之差,且位移大小等于路程,所以t0~2t0時間內,甲車行駛的路程較大,故A錯誤;x t圖像上某點切線的斜率表示瞬時速度,因此乙車的速度v乙=,t0時刻甲車的速度等于0~2t0的平均速度,即=,則此時甲圖線的切線與乙圖線平行,故B錯誤;在t0時刻,乙車的位移x1=v乙t0=,甲車的位移x2=t0=,甲、乙兩車的間距Δx=x1-x2=,故C正確;因為=,所以甲車在2t0時刻的速度=2=,在2t0時刻,甲圖線的切線必定經過坐標原點,故D正確。
課時跟蹤檢測
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(說明:標★的為推薦講評題目)
一、單項選擇題
1.甲、乙兩輛汽車沿同一平直公路行駛,兩汽車
的速度隨時間變化的關系圖像如圖所示,t=9 s時兩車
第二次相遇,則兩車第一次相遇的時刻為(　　)
A.2.25 s B.3 s
C.4.5 s D.6 s
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解析:由數學知識可知,兩圖線的交點的橫坐標為t=6 s,因為v t圖線與時間軸圍成的面積表示位移,故兩汽車在t=3 s到t=9 s時間內的位移相同,t=9 s時兩車第二次相遇,則兩車第一次相遇的時刻為t=3 s。
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2.兩輛完全相同的汽車,沿平直道路一前一后勻速行駛,速度均為v0。若前車突然以恒定的加速度a剎車,在它剛停住時,后車以恒定的加速度2a開始剎車。已知前車在剎車過程中所行駛的路程為s,若要保證兩輛車在上述情況中不發生碰撞,則兩車在勻速行駛時保持的距離至少應為 (　　)
A.s B.s
C.2s D.s
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解析:畫出從前車開始剎車到兩車都停下過程兩車運動的v t圖像,如圖所示,因后車以加速度2a開始剎車,剎車過程行駛的距離為s;在前車剎車過程的時間內,后車勻速運動的距離為2s,所以,兩車在勻速行駛時保持的距離至少應為2s+s-s=s。
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3.(2025·遼寧盤錦期中)中國高鐵向世界展示了中國速度。和諧號與復興號相繼從沈陽站點由靜止出發,沿同一方向做勻加速直線運動,兩車運動的速度—時間圖像如圖所示,下列說法正確的是 (　　)
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A.復興號追上和諧號前,t=70 s時兩車相距最遠
B.復興號經過95 s加速達到最大速度
C.t=140 s時,復興號追上和諧號
D.復興號追上和諧號前,兩車最遠相距4 900 m
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解析:由v t圖像可知,0140 s時,和諧號速度小于復興號,故復興號追上和諧號前,t=140 s時兩車相距最遠,根據v t圖像與坐標軸圍成的面積表示位移,可知復興號追上和諧號前,兩車最遠相距Δx=×140×70 m-×(140-70)×70 m=2 450 m,故A、C、D錯誤;復興號的加速度為a== m/s2=1 m/s2,復興號加速達到最大速度所需的時間為t1== s=95 s,故B正確。
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4.如圖所示,甲、乙兩輛玩具小汽車(可
視為質點)并排沿平直的相鄰軌道向前行駛,
兩車都裝有藍牙設備,這兩個藍牙設備可以在6 m以內實現通信。t=0時刻,甲、乙兩車剛好位于圖示位置,此時甲車的速度為6 m/s,乙車的速度為2 m/s,從該時刻起甲車以1 m/s2的加速度做勻減速運動直至停下,乙車保持原有速度做勻速直線運動。忽略軌道間距和信號傳遞時間,則從t=0時刻起,兩車能利用藍牙通信的時間為 (　　)
A.2 s B.6 s
C.8 s D.10 s
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解析:根據題意可知,當甲車在乙車前方x甲-x乙=6 m時,根據運動學公式有x甲=v甲t-at2,x乙=v乙t,解得t1=2 s,t2=6 s。由公式v=v0+at,解得t=6 s時甲車停止行駛,此時甲車在乙車前方6 m處,乙車繼續行駛至甲車前方6 m的過程中,所用時間為t'=(6 m+6 m)÷2 m/s=6 s,所以兩車能利用藍牙通信的總時間為t總=2 s+6 s=8 s,故選C。
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5.在同一平直路面上,從同一地點沿相同方向做勻
變速直線運動的兩輛汽車A、B,A車的運動圖像如圖線
a所示,B車的運動圖像如圖線b所示,則 (　　)
A.0~2 s內A車的速度大,2 s后B車速度大
B.t=2 s時,兩車相遇
C.t=4 s時,兩車相遇
D.A車的初速度大小為2 m/s,加速度大小為1 m/s2
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√
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解析:根據公式=,可知表示平均速度,即t=2 s時兩車平均速度相同,因從同一地點沿相同方向同時出發,所以此時兩車相遇,故B正確,C錯誤;根據位移與時間關系式x=v0t+at2,變形得=v0+at,結合圖像可知A車的初速度大小為2 m/s,斜率為ka==aA,解得加速度大小為aA= 2 m/s2,同理可得B車初速度為零,加速度大小為aB=4 m/s2,由此可知t= 1 s時,A車與B車速度大小相等,1 s后B車速度大,故A、D錯誤。
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6.(2025·重慶沙坪壩模擬)甲、乙兩汽車在同一直線上運動,經過同一位置時開始計時,它們的 圖像如圖所示,則(　　)
A.甲做加速度增大的運動
B.甲的加速度大小為1 m/s2
C.乙的初速度大小為4 m/s
D.t=2 s時兩車再次相遇
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解析:由運動學公式v=v0+at,變形可得=v0·+a,對比題圖可知v甲0= m/s=4 m/s,a甲=1 m/s2,v乙0= m/s=2 m/s,a乙=2 m/s2,所以甲做勻加速直線運動,故B正確,A、C錯誤;設兩車經過時間t再次相遇,則v甲0t+a甲t2=v乙0t+a乙t2,代入數據解得t=4 s,故D錯誤。
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二、多項選擇題
7.(2025·河南鄭州模擬)甲、乙兩輛汽車在同一平直公路上沿相同方向運動,甲車在前。初始時刻兩車間距離為10 m,此后兩車速率的平方與位移的關系圖像如圖所示。當兩車間距離不超過4 m時可以實現藍牙配對。下列說法正確的是(　　)
A.4 s時兩車間距離最小
B.兩車間的最小距離為4 m
C.兩車均停止運動時,它們之間的距離為4 m
D.兩車能夠實現藍牙配對的時長為4 s
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解析:根據勻變速直線運動的速度位移關系v2=+2ax,可知v2 x圖像的斜率等于2a,由題圖可知甲、乙兩車的加速度大小分別為a甲= m/s2
=1 m/s2,a乙= m/s2=2 m/s2,甲、乙兩車的初速度大小分別為v甲= m/s=8 m/s,v乙= m/s=12 m/s,設兩車速度大小相等時所經歷的時間為t1,則v甲-a甲t1=v乙-a乙t1,解得t1=4 s,0~4 s內甲車的位移x甲=8×4 m-×1×42 m=24 m,乙車的位移x乙=12×4 m-×2×42 m=32 m,因為x甲+10 m>x乙,故4 s前兩車不會相遇,即4 s時兩車間距離最小,故A正確;
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兩車間的最小距離d=10 m+v甲t1-a甲-=2 m,故B錯誤;甲、乙兩車停止運動時的位移分別為32 m和36 m,故兩車均停止運動時,它們之間的距離為10 m+32 m-36 m=6 m,故C錯誤;設兩車間距離為 4 m時所經歷的時間為t2,則10 m+v甲t2-a甲-= 4 m,解得t2=2 s或t2=6 s,故兩車能夠實現藍牙配對的時長為4 s,故D正確。
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8.小明到汽車站時,汽車正以8 m/s的速度沿平直道路勻速駛離車站,司機聽到呼喊聲,反應0.5 s后立即以2 m/s2的加速度勻減速剎車。設司機聽到呼喊聲時,小明距離汽車8 m,正以4 m/s的速度勻速追趕汽車。則從司機聽到呼喊聲到小明追上汽車,下列說法正確的是 (　　)
A.經過2 s小明和汽車間距離最大
B.經過6 s小明追上汽車
C.小明和汽車間的最大距離為14 m
D.汽車的位移為20 m
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解析:當汽車與小明速度相等時,小明和汽車間距離最大,則v1-at1=v2,解得t1=2 s,從司機聽到呼喊聲到小明和汽車間距離最大經過的時間t=t0+t1=0.5 s+2 s=2.5 s,故A錯誤;2.5 s內汽車通過的位移x1=v1t0+v1t1-a=8×0.5 m+8×2 m-×2×4 m=16 m,2.5 s內小明通過的位移x2=v2t=4×2.5 m=10 m,小明和汽車間的最大距離為Δx=x1+x0-x2=16 m+8 m-10 m=14 m,故C正確;
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從汽車開始剎車到停止運動經過的時間t3== s=4 s,汽車剎車通過的位移x3=t3=×4 m=16 m,從司機聽到呼喊聲到汽車停止運動汽車通過的位移x=v1t0+x3=8×0.5 m+16 m=20 m,汽車停止運動時,小明通過的位移x4=v2(t0+t3)=4×(0.5+4)m=18 m,由于x0+x>x4,則汽車停止運動時小明沒追上汽車,從汽車停止運動到小明追上汽車經過的時間t4== s=2.5 s,則從司機聽到呼喊聲到小明追上汽車經過的時間t'=t0+t3+t4=0.5 s+4 s+2.5 s=7 s,故B錯誤,D正確。
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9.(2025·河北保定模擬)A、B兩輛汽車從同一地點同時出發,沿同一方向做直線運動,它們的速度平方(v2)隨位移(x)的變化圖像如圖所示,下列說法正確的是 (　　)
A.汽車A的初速度大小為24 m/s,加速度大小為4 m/s2
B.汽車B的初速度大小為0,加速度大小為1 m/s2
C.汽車A、B經4 s在x=4 m處相遇
D.汽車A、B經2 s相遇,相遇時在x=6 m處
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解析:由勻變速直線運動位移與速度關系式v2-=2ax,整理有v2=2ax+,結合題圖可知=24 m2/s2,=0,2aA= m/s2,
2aB= m/s2,解得v0A=2 m/s,v0B=0,aA=-2 m/s2,aB=1 m/s2,故A錯誤,B正確;汽車A的速度與時間關系式為v=v0A+aAt,可得A車停止運動所需時間為t= s,此時汽車B的位移為xB=aBt2=3 m<6 m,即汽車A停在 6 m處時,汽車B還未追上A,則兩車在x=6 m處相遇,相遇時間滿足x=aBt'2,解得t'=2 s,故C錯誤,D正確。
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三、計算題
10.(12分)如圖所示為某城市十字路口道路示意圖,道路為雙向四車道,每個車道寬度為2.4 m。一自行車從道路左側車道線沿停車線向右勻速行駛,速率為14.4 km/h,同時一輛汽車在最右側車道正中間行駛,速率為54 km/h,汽車前端距離停車線20 m。已知汽車的寬度與自行車的長度均為1.8 m,汽車的車身長4.8 m。汽車司機為避免與自行車相撞馬上采取剎車制動,最大制動加速度大小為5 m/s2。
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(1)求汽車的最短剎車距離xm;(4分)
答案:22.5 m　
解析:已知v1=14.4 km/h=4 m/s,v2=54 km/h=15 m/s。設汽車以最大加速度剎車,則-2axm=0-,代入數據解得xm=22.5 m。
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(2)請通過計算判斷當汽車以最大加速度剎車時,是否能夠避免相撞。(8分)
答案:見解析
解析:汽車以最大加速度剎車,設汽車車頭到達停車線所用時間為t,則x=v2t-at2,
解得t=2 s或者t=4 s,
又因為汽車停下的時間為t'== s=3 s,故t=4 s不符合實際,舍去;
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以最左側車道線為起點,車頭左側距起點x1=2.4×3 m+ m= 7.5 m,車頭右側距起點x2=2.4×4 m-m=9.3 m,車頭所占位置到最左側車道線范圍為7.5 m~9.3 m,
設自行車在t=2 s的時間內行駛的位移為x自,則有x自=v1t=4×2 m= 8 m,自行車此時所占位置到最左側車道線范圍為6.2 m~8 m。
由此可知,它們的位置范圍有重疊,不能避免相撞。
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11.(13分)強行超車是道路交通安全的極大隱患之一。如圖是汽車超車過程的示意圖,汽車甲和貨車分別以36 km/h和57.6 km/h的速度在限速90 km/h的路面上勻速行駛,其中甲車車身長L1=5 m、貨車車身長L2=8 m,某時刻貨車在甲車前s=3 m處,若此時甲車司機開始迅速加速從貨車左側超車,加速度大小為2 m/s2,假定貨車速度保持不變,不計車輛變道和轉向的時間及車輛的寬度,求:
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(1)甲車在不超速的前提下完成超車的最短時間(結果保留2位小數);(5分)
答案:8.03 s　
解析:甲車初速度為v1=36 km/h=10 m/s
貨車速度為v2=57.6 km/h=16 m/s
公路限速為vm=90 km/h=25 m/s
甲車從v1加速至vm所用時間為
t1==7.5 s
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該段時間內甲車和貨車的位移分別為
x1=t1=131.25 m
x2=v2t1=120 m
因為x1所以甲車加速至vm后還需要勻速行駛一段時間才能完成超車,
該時間為t2=≈0.53 s
則甲車在不超速的前提下完成超車的最短時間為tmin= t1+t2=8.03 s。
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(2)一般情況下,汽車時速超過限速不到10%的,僅給予警告,不予扣分和罰款。若甲車開始超車時,看到道路正前方的乙車迎面駛來,此時二者車頭相距208 m,乙車速度為43.2 km/h,甲車超車的整個過程中,乙車速度始終保持不變,請通過計算分析,甲車在不被扣分和罰款的前提下,能否安全超車 若甲車不能安全超車,則乙車至少以多大的加速度減速才能使甲車安全超車 (8分)
答案:見解析　1 m/s2
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解析:假設甲車在超車過程中一直加速,設超車時間為t3,
根據位移關系有v1t3+a1-v2t3=L1+L2+s,解得t3=8 s
超車完畢時甲車速度為
v1'=v1+a1t3=26 m/s<1.1vm
乙車初速度為v3=43.2 km/h=12 m/s
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t3時間內甲、乙兩車行駛的路程之和為
l=v1t3+a1+v3t3=240 m>208 m
所以甲車在不被扣分和罰款的前提下不能安全超車
若要甲車能夠安全超車,乙車在t3時間內行駛的路程最大值為
smax=208 m-=64 m
此時對應乙車剎車的加速度最小,則
smax=v3t3-amin
解得amin=1 m/s2。
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4課時跟蹤檢測(五)　微專題——追及、相遇問題
一、單項選擇題
1.甲、乙兩輛汽車沿同一平直公路行駛,兩汽車的速度隨時間變化的關系圖像如圖所示,t=9 s時兩車第二次相遇,則兩車第一次相遇的時刻為 (　　)
A.2.25 s B.3 s
C.4.5 s D.6 s
2.兩輛完全相同的汽車,沿平直道路一前一后勻速行駛,速度均為v0。若前車突然以恒定的加速度a剎車,在它剛停住時,后車以恒定的加速度2a開始剎車。已知前車在剎車過程中所行駛的路程為s,若要保證兩輛車在上述情況中不發生碰撞,則兩車在勻速行駛時保持的距離至少應為 (　　)
A.s B.s
C.2s D.s
3.(2025·遼寧盤錦期中)中國高鐵向世界展示了中國速度。和諧號與復興號相繼從沈陽站點由靜止出發,沿同一方向做勻加速直線運動,兩車運動的速度—時間圖像如圖所示,下列說法正確的是 (　　)
A.復興號追上和諧號前,t=70 s時兩車相距最遠
B.復興號經過95 s加速達到最大速度
C.t=140 s時,復興號追上和諧號
D.復興號追上和諧號前,兩車最遠相距4 900 m
4.如圖所示,甲、乙兩輛玩具小汽車(可視為質點)并排沿平直的相鄰軌道向前行駛,兩車都裝有藍牙設備,這兩個藍牙設備可以在6 m以內實現通信。t=0時刻,甲、乙兩車剛好位于圖示位置,此時甲車的速度為6 m/s,乙車的速度為2 m/s,從該時刻起甲車以1 m/s2的加速度做勻減速運動直至停下,乙車保持原有速度做勻速直線運動。忽略軌道間距和信號傳遞時間,則從t=0時刻起,兩車能利用藍牙通信的時間為 (　　)
A.2 s B.6 s
C.8 s D.10 s
5.在同一平直路面上,從同一地點沿相同方向做勻變速直線運動的兩輛汽車A、B,A車的運動圖像如圖線a所示,B車的運動圖像如圖線b所示,則 (　　)
A.0~2 s內A車的速度大,2 s后B車速度大
B.t=2 s時,兩車相遇
C.t=4 s時,兩車相遇
D.A車的初速度大小為2 m/s,加速度大小為1 m/s2
6.(2025·重慶沙坪壩模擬)甲、乙兩汽車在同一直線上運動,經過同一位置時開始計時,它們的 圖像如圖所示,則 (　　)
A.甲做加速度增大的運動
B.甲的加速度大小為1 m/s2
C.乙的初速度大小為4 m/s
D.t=2 s時兩車再次相遇
二、多項選擇題
7.(2025·河南鄭州模擬)甲、乙兩輛汽車在同一平直公路上沿相同方向運動,甲車在前。初始時刻兩車間距離為10 m,此后兩車速率的平方與位移的關系圖像如圖所示。當兩車間距離不超過4 m時可以實現藍牙配對。下列說法正確的是 (　　)
A.4 s時兩車間距離最小
B.兩車間的最小距離為4 m
C.兩車均停止運動時,它們之間的距離為4 m
D.兩車能夠實現藍牙配對的時長為4 s
8.小明到汽車站時,汽車正以8 m/s的速度沿平直道路勻速駛離車站,司機聽到呼喊聲,反應0.5 s后立即以2 m/s2的加速度勻減速剎車。設司機聽到呼喊聲時,小明距離汽車8 m,正以4 m/s的速度勻速追趕汽車。則從司機聽到呼喊聲到小明追上汽車,下列說法正確的是 (　　)
A.經過2 s小明和汽車間距離最大
B.經過6 s小明追上汽車
C.小明和汽車間的最大距離為14 m
D.汽車的位移為20 m
9.(2025·河北保定模擬)A、B兩輛汽車從同一地點同時出發,沿同一方向做直線運動,它們的速度平方(v2)隨位移(x)的變化圖像如圖所示,下列說法正確的是 (　　)
A.汽車A的初速度大小為24 m/s,加速度大小為4 m/s2
B.汽車B的初速度大小為0,加速度大小為1 m/s2
C.汽車A、B經4 s在x=4 m處相遇
D.汽車A、B經2 s相遇,相遇時在x=6 m處
三、計算題
10.(12分)如圖所示為某城市十字路口道路示意圖,道路為雙向四車道,每個車道寬度為2.4 m。一自行車從道路左側車道線沿停車線向右勻速行駛,速率為14.4 km/h,同時一輛汽車在最右側車道正中間行駛,速率為54 km/h,汽車前端距離停車線20 m。已知汽車的寬度與自行車的長度均為1.8 m,汽車的車身長4.8 m。汽車司機為避免與自行車相撞馬上采取剎車制動,最大制動加速度大小為5 m/s2。
(1)求汽車的最短剎車距離xm;(4分)
(2)請通過計算判斷當汽車以最大加速度剎車時,是否能夠避免相撞。(8分)
11.(13分)強行超車是道路交通安全的極大隱患之一。如圖是汽車超車過程的示意圖,汽車甲和貨車分別以36 km/h和57.6 km/h的速度在限速90 km/h的路面上勻速行駛,其中甲車車身長L1=5 m、貨車車身長L2=8 m,某時刻貨車在甲車前s=3 m處,若此時甲車司機開始迅速加速從貨車左側超車,加速度大小為2 m/s2,假定貨車速度保持不變,不計車輛變道和轉向的時間及車輛的寬度,求:
(1)甲車在不超速的前提下完成超車的最短時間(結果保留2位小數);(5分)
(2)一般情況下,汽車時速超過限速不到10%的,僅給予警告,不予扣分和罰款。若甲車開始超車時,看到道路正前方的乙車迎面駛來,此時二者車頭相距208 m,乙車速度為43.2 km/h,甲車超車的整個過程中,乙車速度始終保持不變,請通過計算分析,甲車在不被扣分和罰款的前提下,能否安全超車 若甲車不能安全超車,則乙車至少以多大的加速度減速才能使甲車安全超車 (8分)
課時跟蹤檢測(五)
1.選B　由數學知識可知,兩圖線的交點的橫坐標為t=6 s,因為v t圖線與時間軸圍成的面積表示位移,故兩汽車在t=3 s到t=9 s時間內的位移相同,t=9 s時兩車第二次相遇,則兩車第一次相遇的時刻為t=3 s。
2.選B　畫出從前車開始剎車到兩車都停下過程兩車運動的v t圖像,如圖所示,
因后車以加速度2a開始剎車,剎車過程行駛的距離為s;在前車剎車過程的時間內,后車勻速運動的距離為2s,所以,兩車在勻速行駛時保持的距離至少應為2s+s-s=s。
3.選B　由v t圖像可知,0140 s時,和諧號速度小于復興號,故復興號追上和諧號前,t=140 s時兩車相距最遠,根據v t圖像與坐標軸圍成的面積表示位移,可知復興號追上和諧號前,兩車最遠相距Δx=×140×70 m-×(140-70)×70 m=2 450 m,故A、C、D錯誤;復興號的加速度為a== m/s2=1 m/s2,復興號加速達到最大速度所需的時間為t1== s=95 s,故B正確。
4.選C　根據題意可知,當甲車在乙車前方x甲-x乙=6 m時,根據運動學公式有x甲=v甲t-at2,x乙=v乙t,解得t1=2 s,t2=6 s。由公式v=v0+at,解得t=6 s時甲車停止行駛,此時甲車在乙車前方6 m處,乙車繼續行駛至甲車前方6 m的過程中,所用時間為t'=(6 m+6 m)÷2 m/s=6 s,所以兩車能利用藍牙通信的總時間為t總=2 s+6 s=8 s,故選C。
5.選B　根據公式=,可知表示平均速度,即t=2 s時兩車平均速度相同,因從同一地點沿相同方向同時出發,所以此時兩車相遇,故B正確,C錯誤;根據位移與時間關系式x=v0t+at2,變形得=v0+at,結合圖像可知A車的初速度大小為2 m/s,斜率為ka==aA,解得加速度大小為aA=2 m/s2,同理可得B車初速度為零,加速度大小為aB=4 m/s2,由此可知t=1 s時,A車與B車速度大小相等,1 s后B車速度大,故A、D錯誤。
6.選B　由運動學公式v=v0+at,變形可得=v0·+a,對比題圖可知v甲0= m/s=4 m/s,a甲=1 m/s2,v乙0= m/s=2 m/s,a乙=2 m/s2,所以甲做勻加速直線運動,故B正確,A、C錯誤;設兩車經過時間t再次相遇,則v甲0t+a甲t2=v乙0t+a乙t2,代入數據解得t=4 s,故D錯誤。
7.選AD　根據勻變速直線運動的速度位移關系v2=+2ax,可知v2 x圖像的斜率等于2a,由題圖可知甲、乙兩車的加速度大小分別為a甲= m/s2=1 m/s2,a乙= m/s2=2 m/s2,甲、乙兩車的初速度大小分別為v甲= m/s=8 m/s,v乙= m/s=12 m/s,設兩車速度大小相等時所經歷的時間為t1,則v甲-a甲t1=v乙-a乙t1,解得t1=4 s,0~4 s內甲車的位移x甲=8×4 m-×1×42 m=24 m,乙車的位移x乙=12×4 m-×2×42 m=32 m,因為x甲+10 m>x乙,故4 s前兩車不會相遇,即4 s時兩車間距離最小,故A正確;兩車間的最小距離d=10 m+v甲t1-a甲-=2 m,故B錯誤;甲、乙兩車停止運動時的位移分別為32 m和36 m,故兩車均停止運動時,它們之間的距離為10 m+32 m-36 m=6 m,故C錯誤;設兩車間距離為4 m時所經歷的時間為t2,則10 m+v甲t2-a甲-=4 m,解得t2=2 s或t2=6 s,故兩車能夠實現藍牙配對的時長為4 s,故D正確。
8.選CD　當汽車與小明速度相等時,小明和汽車間距離最大,則v1-at1=v2,解得t1=2 s,從司機聽到呼喊聲到小明和汽車間距離最大經過的時間t=t0+t1=0.5 s+2 s=2.5 s,故A錯誤;2.5 s內汽車通過的位移x1=v1t0+v1t1-a=8×0.5 m+8×2 m-×2×4 m=16 m,2.5 s內小明通過的位移x2=v2t=4×2.5 m=10 m,小明和汽車間的最大距離為Δx=x1+x0-x2=16 m+8 m-10 m=14 m,故C正確;從汽車開始剎車到停止運動經過的時間t3== s=4 s,汽車剎車通過的位移x3=t3=×4 m=16 m,從司機聽到呼喊聲到汽車停止運動汽車通過的位移x=v1t0+x3=8×0.5 m+16 m=20 m,汽車停止運動時,小明通過的位移x4=v2(t0+t3)=4×(0.5+4)m=18 m,由于x0+x>x4,則汽車停止運動時小明沒追上汽車,從汽車停止運動到小明追上汽車經過的時間t4== s=2.5 s,則從司機聽到呼喊聲到小明追上汽車經過的時間t'=t0+t3+t4=0.5 s+4 s+2.5 s=7 s,故B錯誤,D正確。
9.選BD　由勻變速直線運動位移與速度關系式v2-=2ax,整理有v2=2ax+,結合題圖可知=24 m2/s2,=0,2aA= m/s2,2aB= m/s2,解得v0A=2 m/s,v0B=0,aA=-2 m/s2,aB=1 m/s2,故A錯誤,B正確;汽車A的速度與時間關系式為v=v0A+aAt,可得A車停止運動所需時間為t= s,此時汽車B的位移為xB=aBt2=3 m<6 m,即汽車A停在6 m處時,汽車B還未追上A,則兩車在x=6 m處相遇,相遇時間滿足x=aBt'2,解得t'=2 s,故C錯誤,D正確。
10.解析:(1)已知v1=14.4 km/h=4 m/s,v2=54 km/h=15 m/s。設汽車以最大加速度剎車,則-2axm=0-,代入數據解得xm=22.5 m。
(2)汽車以最大加速度剎車,設汽車車頭到達停車線所用時間為t,則x=v2t-at2,
解得t=2 s或者t=4 s,
又因為汽車停下的時間為t'== s=3 s,故t=4 s不符合實際,舍去;
以最左側車道線為起點,車頭左側距起點x1=2.4×3 m+ m=7.5 m,車頭右側距起點x2=2.4×4 m-m=9.3 m,車頭所占位置到最左側車道線范圍為7.5 m~9.3 m,
設自行車在t=2 s的時間內行駛的位移為x自,則有x自=v1t=4×2 m=8 m,自行車此時所占位置到最左側車道線范圍為6.2 m~8 m。
由此可知,它們的位置范圍有重疊,不能避免相撞。
答案:(1)22.5 m　(2)見解析
11.解析:(1)甲車初速度為v1=36 km/h=10 m/s
貨車速度為v2=57.6 km/h=16 m/s
公路限速為vm=90 km/h=25 m/s
甲車從v1加速至vm所用時間為
t1==7.5 s
該段時間內甲車和貨車的位移分別為
x1=t1=131.25 m
x2=v2t1=120 m
因為x1所以甲車加速至vm后還需要勻速行駛一段時間才能完成超車,
該時間為t2=≈0.53 s
則甲車在不超速的前提下完成超車的最短時間為tmin= t1+t2=8.03 s。
(2)假設甲車在超車過程中一直加速,設超車時間為t3,
根據位移關系有v1t3+a1-v2t3=L1+L2+s,解得t3=8 s
超車完畢時甲車速度為
v1'=v1+a1t3=26 m/s<1.1vm
乙車初速度為v3=43.2 km/h=12 m/s
t3時間內甲、乙兩車行駛的路程之和為
l=v1t3+a1+v3t3=240 m>208 m
所以甲車在不被扣分和罰款的前提下不能安全超車
若要甲車能夠安全超車,乙車在t3時間內行駛的路程最大值為
smax=208 m-=64 m
此時對應乙車剎車的加速度最小,則
smax=v3t3-amin
解得amin=1 m/s2。
答案:(1)8.03 s　(2)見解析　1 m/s2
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