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第二部分 中考專題突破
專題二　推導(dǎo)題
類型1　基本公式的推導(dǎo)
◆液體壓強(qiáng)公式p＝ρgh的推導(dǎo)
1.如圖，柱形容器內(nèi)盛有密度為ρ的液體，設(shè)液體內(nèi)有一個(gè)高為h，底面積為S的小液柱。推導(dǎo)液體壓強(qiáng)公式p＝ρgh。
證明：液柱的質(zhì)量m＝ρV＝ρSh
液柱對(duì)底面的壓力F＝G＝mg＝ρShg
液柱對(duì)底面的壓強(qiáng)p＝＝ρgh
因此液面下深度為h處液體的壓強(qiáng)為p＝ρgh
◆功率公式P＝Fv的推導(dǎo)
2.已知F是作用在物體上的力，v是物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度，功率的計(jì)算公式P＝。
(1)推導(dǎo)P＝Fv；
(2)當(dāng)F與v的方向垂直時(shí)，P應(yīng)為多少？
證明：(1)P＝＝Fv
(2)當(dāng)F與v的方向垂直時(shí)，力不做功，功率P＝0
◆串、并聯(lián)電阻公式的推導(dǎo)
3.寫出兩個(gè)電阻串聯(lián)的總電阻公式，并寫出其推導(dǎo)過程。
證明：串聯(lián)電路兩端電壓等于各部分電路兩端電壓之和，即U＝U1＋U2
則IR＝I1R1＋I(xiàn)2R2
串聯(lián)電路中各處電流相等，即I1＝I2＝I
則IR＝IR1＋I(xiàn)R2
R＝R1＋R2
4.寫出兩個(gè)電阻并聯(lián)的總電阻公式，并寫出其推導(dǎo)過程。
證明：并聯(lián)電路中干路電流等于各支路電流之和，即I＝I1＋I(xiàn)2
則
并聯(lián)電路中各支路兩端的電壓相等，即U1＝U2＝U
則
即R＝
類型2　公式延伸的推導(dǎo)
1.一物體的重力為G，浸沒在水中時(shí)，受到的浮力為F浮，水的密度為ρ水，請(qǐng)推導(dǎo)物體的密度ρ＝·ρ水。
證明：物體的質(zhì)量m＝
由F浮＝ρ水gV排可知，V排＝
所以物體的密度ρ＝·ρ水
［另解：物體的重力G＝ρgV　①
物體受到的浮力F浮＝ρ水gV排　②
物體浸沒在水中，V＝V排
由①②可得，
ρ＝·ρ水］
2.如圖所示，電源電壓U不變，電阻R0為定值電阻，請(qǐng)通過推導(dǎo)說明：當(dāng)滑動(dòng)變阻器接入電路的阻值等于R0時(shí)，滑動(dòng)變阻器消耗的電功率最大。
證明：設(shè)R0兩端的電壓為U0，滑動(dòng)變阻器消耗的電功率
P＝(U－U0)I＝(U－U0)·
所以當(dāng)U0＝
［另解：滑動(dòng)變阻器消耗的電功率
P＝URI＝(U－IR0)I＝－R0
所以當(dāng)I＝］
類型3　力學(xué)實(shí)驗(yàn)
方法指導(dǎo)
力與運(yùn)動(dòng)的相關(guān)推導(dǎo)，一般從以下三個(gè)角度進(jìn)行分析：
（1）運(yùn)動(dòng)分析：是否處于平衡狀態(tài)。
（2）受力分析：準(zhǔn)確規(guī)范地作出受力示意圖。
（3）利用平衡力、相互作用力等解題。
◆重力的相關(guān)推導(dǎo)
1.如圖所示，把不規(guī)則的均勻薄板用細(xì)線懸掛起來處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，薄板的重心一定在細(xì)線的延長(zhǎng)線上。請(qǐng)你證明：為什么重心一定在細(xì)線的延長(zhǎng)線上？
證明：因?yàn)榫鶆虮“逄幱陟o止?fàn)顟B(tài)，所以均勻薄板受到平衡力作用
又因?yàn)榫鶆虮“逯皇芗?xì)線拉力和重力作用，所以拉力與重力二力平衡
而拉力沿細(xì)線向上，所以重力一定沿細(xì)線的延長(zhǎng)線向下，則重心一定在細(xì)線的延長(zhǎng)線上
2.物體間力的作用是相互的。實(shí)驗(yàn)表明，兩個(gè)物體間的相互作用力總是大小相等，方向相反。如圖所示，物體所受重力的大小可以用彈簧測(cè)力計(jì)來測(cè)量。將物體掛在豎直放置的彈簧測(cè)力計(jì)的掛鉤上，當(dāng)物體靜止時(shí)，證明彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)就顯示了物體所受重力的大小。
證明：因?yàn)槲矬w處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以物體所受拉力F與重力G是一對(duì)平衡力
所以F＝G
彈簧測(cè)力計(jì)顯示的示數(shù)就是彈簧受到的拉力F'
彈簧受到的拉力F'與彈簧對(duì)物體的拉力F是一對(duì)相互作用力
所以F'＝F
則F'＝G
◆摩擦力的相關(guān)推導(dǎo)
3.斜面是一種常見的簡(jiǎn)單機(jī)械，在生產(chǎn)和生活中利用斜面提升物體可以省力。如圖是傾角為θ的固定斜面，用平行于斜面的拉力F將一物體從粗糙的斜面底端勻速拉到斜面頂端。請(qǐng)證明物體勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力f≠F。
答案：如圖所示
證明：物體勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力示意圖
因?yàn)槲矬w勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以物體受力平衡，合力為0
又因?yàn)镚與支持力F支不在同一直線上，兩個(gè)力的合力不為0
所以物體所受摩擦力f與拉力F的合力也不為0
故物體所受摩擦力f≠F
◆壓力的相關(guān)推導(dǎo)
4.如圖，重為G的物體靜止在水平地面上，用一細(xì)線豎直向上拉物體，若拉力F證明：因拉力F物體受到豎直向上的支持力F支和拉力F，豎直向下的重力G
故有F＋F支＝G，則F支＝G－F
又根據(jù)力的作用是相互的，所以F壓＝F支＝G－F
◆連通器特點(diǎn)的推導(dǎo)
5.教材中告訴我們：“若連通器內(nèi)裝入同種液體，當(dāng)液體靜止時(shí)，各容器中的液面總保持相平”。如圖是一個(gè)最簡(jiǎn)單的連通器，它盛水靜止后，兩管中液面高度相等。現(xiàn)請(qǐng)你以液片AB為研究對(duì)象，從理論上證明上述結(jié)論。
證明：因?yàn)锳B靜止，受力答案：如圖所示
故F1＝F2
則
即p1＝p2
ρ液gh左＝ρ液gh右
h左＝h右
◆浮力的相關(guān)推導(dǎo)
6.從粗細(xì)均勻的蠟燭底部塞入一重力為G的鐵釘(體積忽略不計(jì))，使蠟燭豎直漂浮在水中，蠟燭露出水面的高度為H，如圖所示。點(diǎn)燃蠟燭，直至蠟燭與水面相平，燭焰熄滅(蠟燭油不流下來)，此時(shí)蠟燭燒掉的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。設(shè)蠟燭的密度為ρ蠟，水的密度為ρ水。
(1)“在蠟燭底部塞入一鐵釘”所包含的物理學(xué)原理是什么？
(2)試證明：。
證明：(1)“在蠟燭底部塞入一鐵釘”目的是降低重心，使蠟燭能夠直立在水中。
(2)設(shè)蠟燭原長(zhǎng)為L(zhǎng)0，蠟燭的橫截面積為S，蠟燭未燃燒時(shí)，蠟燭和鐵釘漂浮，F(xiàn)浮＝G總，即ρ水S(L0－H)g＝G＋ρ蠟SL0g　①
點(diǎn)燃蠟燭，直至蠟燭與水面相平，燭焰熄滅，
蠟燭和鐵釘漂浮，F(xiàn)'浮＝G'總，即ρ水S(L0－L)g＝G＋ρ蠟S(L0－L)g　②
①－②可得，ρ水S(L－H)g＝ρ蠟SLg
化簡(jiǎn)得ρ水(L－H)＝ρ蠟L
解得
7.如圖所示，用細(xì)繩將一物體系在裝有水的薄壁柱形容器底部，物體浸沒在水中，細(xì)繩對(duì)物體的拉力為F，容器底面積為S，不計(jì)繩重，若剪斷細(xì)繩，物體漂浮在水面穩(wěn)定后，請(qǐng)推導(dǎo)水對(duì)容器底部壓強(qiáng)的變化量Δp＝。
證明：細(xì)繩拉住物體時(shí)，F(xiàn)浮＝G＋F，剪斷細(xì)繩，物體漂浮在水面時(shí)，F(xiàn)漂浮＝G
所以ΔF浮＝F
由p＝ρgh可知，Δp＝ρ水gΔh＝ρ水g·
◆滑輪的相關(guān)推導(dǎo)
8.研究物理問題時(shí)，常需要突出研究對(duì)象的主要因素，忽略次要因素，將其簡(jiǎn)化為物理模型。如圖甲的動(dòng)滑輪，就可以將其簡(jiǎn)化為一個(gè)杠桿(如圖乙)。證明：圖甲中，當(dāng)不計(jì)滑輪重、繩重及摩擦，豎直勻速提升
重為G的物體時(shí)，F(xiàn)1＝G。
證明：如圖所示，根據(jù)杠桿平衡條件可知，
F1l1＝F2l2
l1＝2l2，F(xiàn)2＝G
則F1＝G
［另解：因?yàn)閯?dòng)滑輪勻速上升，故動(dòng)滑輪受力平衡
不計(jì)動(dòng)滑輪重力、繩重及摩擦，則有
2F1＝G，即F1＝G］
類型4　能量觀點(diǎn)的相關(guān)推導(dǎo)
◆用電器擋位的推導(dǎo)
1.家中的電熱水器具有加熱和保溫功能。某品牌電熱水器內(nèi)部電熱裝置的簡(jiǎn)化電路如圖所示，開關(guān)S可切換加熱和保溫兩種狀態(tài)，R1、R2是發(fā)熱電阻，分析說明：當(dāng)開關(guān)處于斷開狀態(tài)時(shí)，電熱水器處于加熱還是保溫狀態(tài)。
證明：當(dāng)開關(guān)處于閉合狀態(tài)時(shí)，R1、R2并聯(lián)接入電路，總電阻最小；當(dāng)開關(guān)處于斷開狀態(tài)時(shí)，只有R1接入電路，總電阻變大，總電流變小
根據(jù)P＝UI可知，U一定時(shí)，電流越小，功率越小，因此當(dāng)開關(guān)處于斷開狀態(tài)時(shí)，電熱水器處于保溫狀態(tài)
◆歐姆定律的推導(dǎo)
2.我們?cè)趯W(xué)習(xí)初中電學(xué)時(shí)知道：電路工作時(shí)，電能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的電路稱為純電阻電路。請(qǐng)你利用這個(gè)知識(shí)并結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)推導(dǎo)：在純電阻電路中，U＝IR。
證明：因?yàn)殡娐窞榧冸娮桦娐罚蔠＝Q
W＝UIt，Q＝I2Rt
即UIt＝I2Rt
則純電阻電路中，U＝IR
◆高壓輸電的相關(guān)推導(dǎo)
3.酒湖±800 kV的特高壓輸電工程是世界上已建成的送電距離最長(zhǎng)的特高壓直流輸電工程，遠(yuǎn)距離輸電時(shí)要采用高壓輸電，這可以用焦耳定律進(jìn)行解釋。請(qǐng)你通過推導(dǎo)證明：當(dāng)輸電功率P一定時(shí)，輸電電壓U越高，相同時(shí)間內(nèi)輸電線上由于導(dǎo)體發(fā)熱產(chǎn)生的熱損耗越小。
證明：由P＝UI可得，通過輸電線的電流I＝
由焦耳定律可知，輸電線上因發(fā)熱而損失的能量Q＝I2Rt＝()2Rt
因?yàn)檩旊姽β蔖、輸電線的電阻R都是一定的，所以輸電電壓U越高，相同時(shí)間內(nèi)輸電線上發(fā)熱產(chǎn)生的熱損耗越小
方法指導(dǎo)
類型5　光學(xué)的推導(dǎo)
光學(xué)的推導(dǎo)一般考查以下兩點(diǎn)：
（1）準(zhǔn)確規(guī)范地作出相關(guān)光路圖。
（2）利用光學(xué)規(guī)律和幾何知識(shí)證明。
◆透鏡成像的推導(dǎo)
如圖甲所示，物體AB在凸透鏡另一側(cè)能成一個(gè)等大、倒立的實(shí)像，物距u＝OB，像距v＝OD，凸透鏡的焦距為f。其中物距、像距和焦距之間的關(guān)系為。
(1)請(qǐng)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)證明凸透鏡成等大、倒
立的實(shí)像的條件是u＝2f；
(2)小明做凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)，光屏上恰好成清晰的實(shí)像時(shí)，蠟燭、凸透鏡和光屏位置如圖乙所示，求凸透鏡的焦距f。
證明：(1)在題圖甲中∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，AB＝CD，所以△AOB≌△COD，則OB＝OD，即u＝v；因?yàn)椋?jiǎn)得u＝2f
(2)由題意可知，題圖乙中光屏上恰好成清晰的實(shí)像，此時(shí)物距u＝50.0 cm－8.0 cm＝42.0 cm，像距v＝64.0 cm－50.0 cm＝14.0 cm
因?yàn)?br/>解得f＝10.5 cm

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