資源簡介

第3講　用單擺測量重力加速度(基礎實驗)
一、實驗知能/系統歸納
一、理清原理與操作
原 理 裝 置 圖 (1)擺角很小時,單擺做簡諧運動,周期T=2π 。 (2)由g=l可知,只要測出l、T即可計算出當地重力加速度的大小
操 作 要 領 (1)做單擺:用約1 m長的細線穿過小球上的小孔,并打一個比孔大的結,把細線另一端固定在鐵架臺上。 (2)測擺長:用毫米刻度尺測擺線長l',用游標卡尺測小球直徑D,則擺長l=l'+。 (3)測周期:讓擺球偏離一個角度(小于5°),釋放后讓單擺自由擺動,測出單擺全振動30~50次的總時間,求出周期,反復測量三次,求出周期的平均值
二、掌握數據處理方法
公式法 將測得的幾組周期T和擺長l代入公式g=中算出重力加速度g的值,再算出g的平均值,即為當地重力加速度的大小
圖像法 由單擺的周期公式T=2π ,可得l=T2,因此以擺長l為縱軸、以T2為橫軸作出的l T2圖像是一條過原點的直線,如圖所示,求出斜率k,即可求出g值。g=4π2k,k==
三、注意實驗細節
1.選擇材料時應選擇細、輕又不易伸長的線,長度一般在1 m左右,小球應選用密度較大的金屬球,直徑應較小,最好不超過2 cm。
2.單擺擺線的上端不可隨意卷在鐵架臺的桿上,應夾緊在鐵夾中,以免擺動時發生擺線下滑、擺長改變的現象。
3.注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的夾角要小于5°。可通過估算振幅的辦法掌握。
4.擺球振動時,要使之保持在同一個豎直平面內,不要形成圓錐擺。
5.計算單擺的振動次數時,應從擺球通過平衡位置時開始計時。為便于計時,可在擺球平衡位置的正下方作一標記,以后擺球每次從同一方向通過平衡位置時進行計數,且在數“0”的同時按下秒表,開始計時計數。
四、做好誤差分析
系統 誤差 主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即:懸點是否固定,擺球是否可視為質點,球、線是否符合要求,振幅是否足夠小,擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內振動,以及測量哪段長度作為擺長等
偶然 誤差 主要來自時間(即單擺周期)的測量。因此,要注意測準時間(周期),要從擺球通過平衡位置開始計時,并采用倒計時計數的方法,即4、3、2、1、0、1、2、…,在數“0”的同時按下秒表開始計時。不能多計或漏計振動次數。為了減小偶然誤差,應多次測量后取平均值
二、應用發展/練中融通　　
1.(2024·廣西高考)單擺可作為研究簡諧運動的理想模型。
(1)制作單擺時,在圖甲、圖乙兩種單擺的懸掛方式中,選擇圖甲方式的目的是要保持擺動中　　　　不變。
(2)用游標卡尺測量擺球直徑,測得讀數如圖丙,則擺球直徑為　　　　cm。
(3)若將一個周期為T的單擺,從平衡位置拉開5°的角度釋放,忽略空氣阻力,擺球的振動可看為簡諧運動。當地重力加速度為g,以釋放時刻作為計時起點,則擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關系為 　。
2.(2025年1月·八省聯考河南卷)學生實驗小組利用單擺測量當地的重力加速度。實驗器材有:鐵架臺、
細線、擺球、秒表、卷尺等。完成下列問題:
(1)實驗時,將細線的一端連接擺球,另一端固定在鐵架臺上O點,如圖1所示。然后將擺球拉離平衡位置,使細線與豎直方向成夾角θ(θ<5°),由靜止釋放擺球,讓單擺開始擺動。為了減小計時誤差,應該在擺球擺至　　　　(填“最低點”或“最高點”)時開始計時。
(2)選取擺線長度為100.0 cm時,測得擺球擺動30個完整周期的時間(t)為60.60 s。若將擺線長度視為擺長,求得重力加速度大小為　　　　m/s2(取π2=9.870,結果保留3位有效數字)。
(3)選取不同的擺線長度重復上述實驗,相關數據匯總在下表中,在坐標紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關系曲線,如圖2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
設直線斜率為k,則重力加速度可表示為g=　　　　　　(用k表示)。由圖2求得當地的重力加速度大小為　　　　　　m/s2(結果保留3位有效數字)。
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確,原因是_________________________________。
3.科技文化節中,某興趣小組做了“利用單擺測量重力加速度”實驗,實驗操作如下:
(1)使用游標卡尺測量實心鋼球的直徑為d;
(2)將器材按甲圖方式連接,用刻度尺測量出懸點與鋼球最上端間細線長度為l;使鋼球按照乙圖方式運動,擺角小于5°,鋼球第1次經過最低點處開始計時,第n次經過最低點時的總時間為t,則重力加速度g=　　　　　　;(用測得的物理量表示)
(3)若鋼球實際按圖丙方式在水平面內做圓周運動,但仍然視作單擺,則測量出的重力加速度值　　　　(填“偏大”或“偏小”)。
(4)另一位同學直接用米尺和三角板測量了單擺的擺長,如圖丁所示,則單擺擺長是　　　　m。
4.(2025·合肥高三調研)如圖(a)所示,某興趣小組用單擺測量重力加速度。選用的實驗器材有:智能手機、小球、細線、鐵架臺、夾子、游標卡尺、刻度尺等。實驗操作如下:
①用夾子將細線上端固定在鐵架臺上,將小球豎直懸掛;
②用刻度尺測出擺線的長度為l,用游標卡尺測出小球直徑為d;
③將智能手機置于小球平衡位置的正下方,啟用手機軟件的“近距秒表”功能;
④將小球由平衡位置拉開一個角度(θ<5°),保持擺線伸直由靜止釋放,軟件同時描繪出小球與手機間距離隨時間變化的圖像,如圖(b)所示。
請回答下列問題:
(1)根據圖(b)可知,單擺的周期T=　　　　s。
(2)重力加速度g的表達式為　　　　(用測得的物理量符號表示);
(3)改變擺線長度l,重復步驟②、③、④的操作,可以得到多組T和l的值,進一步描繪出如圖(c)的圖像,則該圖像以　　　　為橫軸,若圖線的斜率為k,則重力加速度的測量值為　　　　。
5.在“利用單擺測重力加速度”的實驗中。
(1)某同學嘗試用DIS測量周期。如圖,用一個磁性小球代替原先的擺球,在單擺下方放置一個磁傳感器,其軸線恰好位于單擺懸掛點正下方。使單擺做小角度擺動,當磁感應強度測量值最大時,磁性小球位于　　　　(選填“最高點”或“最低點”)。若測得連續50個(開始計時記為第1個)磁感應強度最大值之間的時間間隔為t,則單擺周期的測量值為　　　　(不考慮地磁場影響)。
(2)多次改變擺長,使單擺做小角度擺動,測量擺長L及相應的周期T。此后,甲同學得到的T2 L圖線斜率為k,則當地重力加速度g為　　　　;乙同學分別取L和T的對數,所得到的lg T lg L圖線為　　　　　(選填“直線”“對數曲線”或“指數曲線”)。
6.(2025·岳陽高三檢測)某次實驗課上,為測量重力加速度,小組設計了如下實驗:如圖甲所示,細繩一端連接金屬小球,另一端固定于O點,O點處有力傳感器(圖中未畫出)可測出細繩的拉力大小。將小球拉至圖示位置處,由靜止釋放,發現細繩的拉力大小在小球擺動的過程中做周期性變化,如圖乙所示。由圖乙可讀出拉力大小的變化周期為T,拉力的最大值為F1,最小值為F2。就接下來的實驗,小組內展開了討論。
(1)小王同學認為:若小球擺動的角度較小,則還需測量擺長L,結合拉力大小的變化周期T,算出重力加速度g=　　　　(用L、T表示);
(2)小王同學用刻度尺測量了擺線長,用游標卡尺測量了小球直徑如圖丙所示,小球直徑為　　　　 mm;
(3)小李同學認為:無論小球擺動的角度大小,都只需測量小球的質量m,再結合拉力的最大值F1、最小值F2,算出重力加速度g=　　　　(用m、F1、F2表示);
(4)小李同學測量出數據:m=40.0 g,F1=0.56 N,F2=0.30 N,可計算出重力加速度g=　　　　 m/s2(保留兩位有效數字)。
第3講
1.解析:(1)選擇題圖甲方式的目的是要保持擺動中擺長不變。
(2)擺球直徑為d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
(3)根據單擺的周期公式T=2π,可得單擺的擺長為L=,從平衡位置拉開5°的角度釋放,可得振幅為A=Lsin 5°,以該位置為計時起點,根據簡諧運動規律可得擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關系為x=Acos (ωt)=cos。
答案:(1)擺長　(2)1.06
(3)x=cos
2.解析:(1)擺球經過最低點時速度最大,在相等的距離誤差上引起的時間誤差最小,測得周期的誤差最小,所以為了減小計時誤差,應該在擺球擺至最低點時開始計時。
(2)根據題意可知擺球擺動的周期T==2.02 s,根據單擺周期公式T=2π,其中L=100.0 cm=1.000 m,代入數據解得g≈9.68 m/s2。
(3)根據單擺周期公式T=2π,整理可得l=·T2-r,可知l T2圖線的斜率k=,則重力加速度可表示為g=4π2k;由題圖2求得當地的重力加速度大小為g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確,其原因是用圖像法處理數據時,無論是否考慮擺球的半徑,l T2圖像的斜率均為,對重力加速度g的測量沒有影響。
答案:(1)最低點　(2)9.68　(3)4π2k　9.69
(4)見解析
3.解析:(2)根據題意可知,單擺的擺長為L=l+,鋼球第1次經過最低點處開始計時,第n次經過最低點時的總時間為t,則T=t,由單擺的周期公式T=2π,聯立解得g=。
(3)設細線與中心線的夾角為θ,由牛頓第二定律有mgtan θ=mLsin θ,解得圓錐擺的周期為T1=2π(4)米尺的最小分度為0.1 cm,讀數時需要估讀到下一位,則單擺擺長是90.00 cm=0.900 0 m。
答案:(2)　(3)偏大
(4)0.900 0
4.解析:(1)根據單擺的運動規律,一個周期內應該有兩個小球與手機間距離的最小值,由題圖(b)可得出,單擺的周期為T=2 s。
(2)根據T=2π,解得重力加速度g的表達式為g=。
(3)由重力加速度的表達式可得l=T2-,結合題圖(c)的圖像,可知該圖像以T2為橫軸。若圖線的斜率為k,則k=,可知重力加速度的測量值為g=4π2k。
答案:(1)2　(2)　(3)T2　4π2k
5.解析:(1)單擺做小角度擺動,當磁感應強度測量值最大時,磁性小球距離傳感器最近,磁性小球位于最低點。若測得連續50個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t,則單擺的周期為T==。
(2)根據T=2π,解得T2=L,結合T2 L圖線斜率為k,可得=k,可得g=。由上面分析可得lg T=lg+lg L,即lg T lg L圖線為直線。
答案:(1)最低點　　(2) 　直線
6.解析:(1)依題意,單擺的周期為2T,由2T=2π,解得g=。
(2)小球直徑為21 mm+3×0.1 mm=21.3 mm。
(3)小球在最高點時速度為零,可得F2=mgcos θ,小球在最低點時,由牛頓第二定律可得F1-mg=m,小球從最高點運動到最低點過程,根據機械能守恒定律可得mgL=mv2,聯立解得g=。
(4)根據g=,代入數據可得g≈9.7 m/s2。
答案:(1)　(2)21.3　(3)
(4)9.7
6 / 7(共44張PPT)
用單擺測量重力加速度
(基礎實驗)
第 3 講
1
一、實驗知能/系統歸納
2
二、應用發展/練中融通
CONTENTS
目錄
一、實驗知能/系統歸納
一、理清原理與操作
原理 裝置圖
(1)擺角很小時，單擺做簡諧運動，
周期T=2π 。
(2)由g=l可知，只要測出l、T即可
計算出當地重力加速度的大小
操 作 要 領 (1)做單擺:用約1 m長的細線穿過小球上的小孔，并打一個比孔大的結，把細線另一端固定在鐵架臺上。
(2)測擺長:用毫米刻度尺測擺線長l'，用游標卡尺測小球直徑D，則擺長l=l'+。
(3)測周期:讓擺球偏離一個角度(小于5°)，釋放后讓單擺自由擺動，測出單擺全振動30~50次的總時間，求出周期，反復測量三次，求出周期的平均值
續表
二、掌握數據處理方法
公式法 將測得的幾組周期T和擺長l代入公式g=中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即為當地重力加速度的大小
圖像法 由單擺的周期公式T=2π ，可得l=T2，
因此以擺長l為縱軸、以T2為橫軸作出的l T2
圖像是一條過原點的直線，如圖所示，
求出斜率k，即可求出g值。g=4π2k，k==
三、注意實驗細節
1.選擇材料時應選擇細、輕又不易伸長的線，長度一般在1 m左右，小球應選用密度較大的金屬球，直徑應較小，最好不超過2 cm。
2.單擺擺線的上端不可隨意卷在鐵架臺的桿上，應夾緊在鐵夾中，以免擺動時發生擺線下滑、擺長改變的現象。
3.注意擺動時控制擺線偏離豎直方向的夾角要小于5°。可通過估算振幅的辦法掌握。
4.擺球振動時，要使之保持在同一個豎直平面內，不要形成圓錐擺。
5.計算單擺的振動次數時，應從擺球通過平衡位置時開始計時。為便于計時，可在擺球平衡位置的正下方作一標記，以后擺球每次從同一方向通過平衡位置時進行計數，且在數“0”的同時按下秒表，開始計時計數。
四、做好誤差分析
系統 誤差 主要來源于單擺模型本身是否符合要求。即:懸點是否固定，擺球是否可視為質點，球、線是否符合要求，振幅是否足夠小，擺動是圓錐擺還是在同一豎直平面內振動，以及測量哪段長度作為擺長等
偶然 誤差 主要來自時間(即單擺周期)的測量。因此，要注意測準時間(周期)，要從擺球通過平衡位置開始計時，并采用倒計時計數的方法，即4、3、2、1、0、1、2、…，在數“0”的同時按下秒表開始計時。不能多計或漏計振動次數。為了減小偶然誤差，應多次測量后取平均值
二、應用發展/練中融通
1.(2024·廣西高考)單擺可作為研究簡諧運動的理想模型。
(1)制作單擺時，在圖甲、圖乙兩種單擺的懸掛方式中，選擇圖甲方式的目的是要保持擺動中　　　　不變。
解析:選擇題圖甲方式的目的是要保持擺動中擺長不變。
擺長
(2)用游標卡尺測量擺球直徑，測得讀數如圖丙，則擺球直徑為
　　　　cm。
解析:擺球直徑為d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
1.06
(3)若將一個周期為T的單擺，從平衡位置拉開5°的角度釋放，忽略空氣阻力，擺球的振動可看為簡諧運動。當地重力加速度為g，以釋放時刻作為計時起點，則擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關
系為__________________________。
x=cos
解析:根據單擺的周期公式T=2π，可得單擺的擺長為L=，從平衡位置拉開5°的角度釋放，可得振幅為A=Lsin 5°，以該位置為計時起點，根據簡諧運動規律可得擺球偏離平衡位置的位移x與時間t的關系為x=Acos (ωt)=cos。
2.(2025年1月·八省聯考河南卷)學生實驗小組利用單擺測量當地的重力加速度。實驗器材有:鐵架臺、細線、擺球、秒表、卷尺等。完成下列問題:
(1)實驗時，將細線的一端連接擺球，另一端固定在鐵架臺上O點，如圖1所示。然后將擺球拉離平衡位置，使細線與豎直方向成夾角θ(θ<5°)，由靜止釋放擺球，讓單擺開始擺動。為了減小計時誤差，應該在擺球擺至　　　　(填“最低點”或“最高點”)時開始計時。
最低點
解析:擺球經過最低點時速度最大,在相等的距離誤差上引起的時間誤差最小,測得周期的誤差最小,所以為了減小計時誤差,應該在擺球擺至最低點時開始計時。
(2)選取擺線長度為100.0 cm時，測得擺球擺動30個完整周期的時間(t)為60.60 s。若將擺線長度視為擺長，求得重力加速度大小為　　　m/s2
(取π2=9.870，結果保留3位有效數字)。
解析:根據題意可知擺球擺動的周期T==2.02 s,根據單擺周期公式T=2π,其中L=100.0 cm=1.000 m,代入數據解得g≈9.68 m/s2。
9.68
(3)選取不同的擺線長度重復上述實驗，相關數據匯總在下表中，在坐標紙上作出擺線長度(l)和單擺周期的二次方(T2)的關系曲線，如圖2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
設直線斜率為k，則重力加速度可表示為g=　　　　(用k表示)。由圖2求得當地的重力加速度大小為
　　　　m/s2(結果保留3位有效數字)。

9.69
4π2k
解析:根據單擺周期公式T=2π,整理可得l=·T2-r,可知l T2圖線的斜率k=,則重力加速度可表示為g=4π2k;由題圖2求得當地的重力加速度大小為g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確，原因是______________________。
答案:見解析
解析:用圖像法得到的重力加速度數值要比(2)中得到的結果更精確,其原因是用圖像法處理數據時,無論是否考慮擺球的半徑,l T2圖像的斜率均為,對重力加速度g的測量沒有影響。
3.科技文化節中，某興趣小組做了“利用單擺測量重力加速度”實驗，實驗操作如下:
(1)使用游標卡尺測量實心鋼球的直徑為d;
(2)將器材按甲圖方式連接，用刻度尺測量出懸點與鋼球最上端間細線長度為l;使鋼球按照乙圖方式運動，擺角小于5°，鋼球第1次經過最低點處開始計時，第n次經過最低點時的總時間為t，則重力加速
度g=　　　　　　　;(用測得的物理量表示)
解析:根據題意可知，單擺的擺長為L=l+，鋼球第1次經過最低點處開始計時，第n次經過最低點時的總時間為t，則T=t，由單擺的周期公式T=2π，聯立解得g=。
(3)若鋼球實際按圖丙方式在水平面內做圓周運動，但仍然視作單擺，則測量出的重力加速度值　　　　(填“偏大”或“偏小”)。
偏大
解析:設細線與中心線的夾角為θ，由牛頓第二定律有mgtan θ=mLsin θ，解得圓錐擺的周期為T1=2π(4)另一位同學直接用米尺和三角板測量了單擺的擺長，如圖丁所示，則單擺擺長是　　　　m。
解析:米尺的最小分度為0.1 cm，讀數時需要估讀到下一位，則單擺擺長是90.00 cm=0.900 0 m。
0.900 0
4.(2025·合肥高三調研)如圖(a)所示，某興趣小組用單擺測量重力加速度。選用的實驗器材有:智能手機、小球、細線、鐵架臺、夾子、游標卡尺、刻度尺等。實驗操作如下:
①用夾子將細線上端固定在鐵架臺上，將小
球豎直懸掛;
②用刻度尺測出擺線的長度為l，用游標卡尺
測出小球直徑為d;
③將智能手機置于小球平衡位置的正下方，啟用手機軟件的“近距秒表”功能;
④將小球由平衡位置拉開一個角度(θ<5°)，保持擺線伸直由靜止釋放，軟件同時描繪出小球與手機間距離隨時間變化的圖像，如圖(b)所示。
請回答下列問題:
(1)根據圖(b)可知，單擺的周期T=　　　　s。
解析:根據單擺的運動規律，一個周期內應該有兩個小球與手機間距離的最小值，由題圖(b)可得出，單擺的周期為T=2 s。
2
(2)重力加速度g的表達式為　　　　(用測得的物理量符號表示);
解析:根據T=2π，解得重力加速度g的表達式為g=。
(3)改變擺線長度l，重復步驟②、③、④的操作，可以得到多組T和l的值，進一步描繪出如圖(c)的圖像，則該圖像以　　　　為橫軸，若圖線的斜率為k，則重力加速度的測量值為　　　　。
　
T2
4π2k
解析:由重力加速度的表達式可得l=T2-，結合題圖(c)的圖像，可知該圖像以T2為橫軸。若圖線的斜率為k，則k=，可知重力加速度的測量值為g=4π2k。
5.在“利用單擺測重力加速度”的實驗中。
(1)某同學嘗試用DIS測量周期。如圖，用一個磁性小球代替原先的擺球，在單擺下方放置一個磁傳感器，其軸線恰好位于單擺懸掛點正下方。使單擺做小角度擺動，當磁感應強度測量值最大時，磁性小球位于　　　　(選填“最高點”或“最低點”)。若測得連續50個(開始計時記為第1個)磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺周期的測量值為　　　　(不考慮地磁場影響)。
最低點
解析:單擺做小角度擺動，當磁感應強度測量值最大時，磁性小球距離傳感器最近，磁性小球位于最低點。若測得連續50個磁感應強度最大值之間的時間間隔為t，則單擺的周期為T==。
(2)多次改變擺長，使單擺做小角度擺動，測量擺長L及相應的周期T。此后，甲同學得到的T2 L圖線斜率為k，則當地重力加速度g為　　　　;乙同學分別取L和T的對數，所得到的lg T lg L圖線為
　　　　(選填“直線”“對數曲線”或“指數曲線”)。
直線
解析:根據T=2π，解得T2=L，結合T2 L圖線斜率為k，可得=k，可得g=。由上面分析可得lg T=lg+lg L，即lg T lg L圖線為直線。
6.(2025·岳陽高三檢測)某次實驗課上，為測量重力加速度，小組設計了如下實驗:如圖甲所示，細繩一端連接金屬小球，另一端固定于O點，O點處有力傳感器(圖中未畫出)可測出細繩的拉力大小。將小球拉至圖示位置處，由靜止釋放，發現細繩的拉力大小在小球擺動的過程中做周期性變化，如圖乙所示。由圖乙可讀出拉力大小的變化周期為T，拉力的最大值為F1，最小值為F2。就接下來的實驗，小組內展開了討論。
(1)小王同學認為:若小球擺動的角度較小，則還需測量擺長L，結合拉力大小的變化周期T，算出重力加速度g=　　　　(用L、T表示);
解析:依題意，單擺的周期為2T，由2T=2π，解得g=。
(2)小王同學用刻度尺測量了擺線長，用游標卡尺測量了小球直徑如圖丙所示，小球直徑為　　　　 mm;
解析:小球直徑為21 mm+3×0.1 mm=21.3 mm。
21.3
(3)小李同學認為:無論小球擺動的角度大小，都只需測量小球的質量m，再結合拉力的最大值F1、最小值F2，算出重力加速度g=
　　　　(用m、F1、F2表示);
解析:小球在最高點時速度為零，可得F2=mgcos θ，小球在最低點時，由牛頓第二定律可得F1-mg=m，小球從最高點運動到最低點過程，根據機械能守恒定律可得mgL=mv2，聯立解得g=。
(4)小李同學測量出數據:m=40.0 g，F1=0.56 N，F2=0.30 N，可計算出重力加速度g=　　　　 m/s2(保留兩位有效數字)。
解析:根據g=，代入數據可得g≈9.7 m/s2。
9.7

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