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2010年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略探索性問題
一、考情分析
探索性問題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或由問題的題干去追溯相應(yīng)的條件，要求在解題之前必須透過問題的表象去尋找、去發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西。問題增加了許多可變的因素，思維指向不明顯，解題時(shí)往往難于下手。
近年來，探索性問題在高考試題中多次出現(xiàn)，主要有以下幾類：
(1)探索條件型問題：從給定的問題結(jié)論出發(fā)，追溯結(jié)論成立的充分條件；
(2)探索結(jié)論型問題：從給定的題設(shè)條件出發(fā)，探求相關(guān)的結(jié)論；
(3)探索存在型問題：從假設(shè)相關(guān)結(jié)論存在出發(fā)，從而肯定或否定這種結(jié)論是否存在；
(4)探索綜合型問題：從變更題設(shè)條件或問題的結(jié)論的某個(gè)部分出發(fā)，探究問題的相應(yīng)變化。
二、高考預(yù)測(cè)
預(yù)測(cè)2010年數(shù)學(xué)試卷中繼續(xù)保持了探索型、開放型、研究型等題型，形式上也會(huì)有所突破，如只猜不證，只算不寫等；填空題中出現(xiàn)了條件、結(jié)論完全開放的設(shè)計(jì)，題型的創(chuàng)新，帶來了新的理念，這必將促進(jìn)教學(xué)的創(chuàng)新。
三、突破策略
問題的條件不完備，結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征，從探索性問題的解題過程來看，沒有確定的模式，可變性多，對(duì)觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括，特別是對(duì)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力要求較高，探索性問題的解題策略有：
1攻略之一——特殊值探路，一般化證明
從最簡單、最特殊的情況出發(fā)，有時(shí)也可借助直覺觀察或判斷，推測(cè)出命題的結(jié)論，必要時(shí)給出嚴(yán)格證明。
【例1】已知試判斷與的大小關(guān)系。
解析：由＜， ＞，＞，＞，，＜，＜……猜想出結(jié)論：當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)、3、4時(shí)＞，當(dāng)或時(shí)＜，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性。
2攻略之二——假設(shè)存在，推理檢驗(yàn)
此類題型需從題目所給出的條件及所探求的結(jié)論兩方面入手，充分挖掘題設(shè)條件的內(nèi)涵與外延，積極向所探究的結(jié)論靠攏。解答這類問題的一般思路是：先假定對(duì)象存在，運(yùn)用條件進(jìn)行推理。若得到相應(yīng)的合理結(jié)論，斷言這個(gè)對(duì)象是存在的；若出現(xiàn)矛盾，則否定先前假設(shè)，斷言對(duì)象是不存在的。
【例2】拋物線過定點(diǎn)A（0，2）且以x軸為準(zhǔn)線。
（1）求拋物線的頂點(diǎn)M的軌跡C。
（2）問過定點(diǎn)B，1是否存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)都與軌跡C有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論。
解析：（1）利用數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)拋物線定義可求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為：
x +4（y－1）= 4（y≠0）
（2）過點(diǎn)B的直線與曲線C有交點(diǎn)需滿足什么條件？兩直線垂直的條件又是什么？這兩者中有何關(guān)系？從而推出合理的結(jié)論。
設(shè)過點(diǎn)B，1的直線L為：y－1=k（x+），L與C有交點(diǎn)的條件為方程組 有解
現(xiàn)假設(shè)存在一對(duì)過B且與軌跡C有公共點(diǎn)的互相垂直的直線L和L，則有,但由上述結(jié)果知這就產(chǎn)生矛盾，故這樣的直線不存在。
【例3】（2008年湖北高考試題）已知數(shù)列和滿足：,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)。
（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；
（Ⅱ）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有
？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。
（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使｛an｝是等比數(shù)列，則有a22=a1a3，即
矛盾。
所以｛an｝不是等比數(shù)列。
(Ⅱ)解：因?yàn)閎n+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·（an-3n+21）=-bn
又b1=-(λ+18),所以
當(dāng)λ＝－18，bn=0(n∈N+),此時(shí)｛bn｝不是等比數(shù)列：
當(dāng)λ≠－18時(shí)，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+).
故當(dāng)λ≠-18時(shí)，數(shù)列｛bn｝是以－（λ＋18）為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列.
(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=-18,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求.
∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得
Sn=-
要使a即a<-(λ+18)·［1－（－）n］〈b(n∈N+)
①
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,
于是，由①式得a<-(λ+18),<
當(dāng)a當(dāng)b>3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認(rèn)證能力。對(duì)于參數(shù)存在型探索性命題，其求解關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行合理全面地分類討論。這類探索性命題結(jié)論的成立與否取決于參數(shù)的范圍的取舍。
3攻略之三——等價(jià)轉(zhuǎn)化,探求條件
使用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，找出命題成立的充要條件。
【例4】（2009年廣東）已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．
（1）若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；
（2）如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．W.w.w.k.s.5.u.c.o.m
分析：本題是探索使結(jié)論成立的條件，可根據(jù)題意步步等價(jià)轉(zhuǎn)化，尋找成立的充要條件。如函數(shù)有零點(diǎn)于方程有根函數(shù)圖像與軸有交點(diǎn)。
解：（1）依題可設(shè) ()，則；
又的圖像與直線平行
， ，
設(shè)，則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值
當(dāng)時(shí)， 解得
當(dāng)時(shí)， 解得
（2）由()，得
當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，方程有二解，
若，，
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；
若，，
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)時(shí)，方程有一解, ,
函數(shù)有一零點(diǎn)
綜上，當(dāng)時(shí), 函數(shù)有一零點(diǎn)；
當(dāng)()，或（）時(shí)，
函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn).
4攻略之四——類比聯(lián)想
類比是根據(jù)兩事物的一些屬性相同或相似推測(cè)另一些屬性也可能相同或相似的認(rèn)識(shí)方法，也是人類認(rèn)識(shí)事物的普遍規(guī)律之一。所謂類比猜想的策略就是由一個(gè)問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個(gè)類似問題的結(jié)論或解決方法，并以嚴(yán)格論證。
【例5】將圖表填完整
平面 空間
三角形兩邊之和大于第三邊 三棱錐任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積
三角形的面積等于任意一邊的長度與這邊上高的乘積的一半 三棱錐的體積等于任意一個(gè)底面的面積與該底面上的高的乘積的三分之一
三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長的乘積的一半
解析：本題是平面與空間的類比，由已知前幾組類比可得到如下信息：①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象；②三角形各邊的邊長與三棱錐的各面的面積是類比對(duì)象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象；⑤三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對(duì)象。
由上分析不難知道空格處應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一。對(duì)于這一結(jié)論的正確性，可以通過等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小的三棱錐去證明。
點(diǎn)評(píng)：平面到空間的類比是常見的類比形式，要掌握這些常見的類比方向，題目也就不難解決了。
四、考點(diǎn)精煉
1.已知直線l⊥平面α，直線m平面β，有下面四個(gè)命題，其中正確命題是( )
①α∥βl⊥m ②α⊥βl∥m ③l∥mα⊥β ④l⊥mα∥β
A.①與② B.①與③ C.②與④ D.③與④
2.某郵局只有0.60元，0.80元，1.10元的三種郵票。現(xiàn)有郵資為7.50元的郵件一件，為使粘貼郵票的張數(shù)最少，且資費(fèi)恰為7.50元，則最少要購買郵票( )
A.7張 B.8張 C.9張 D.10張
3. 如圖，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長別為3a,4a,5a(a>0)。用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是（ ）。

4. （2009安徽卷理）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是
A. B. C. D.
5.觀察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°
·cos45°=，寫出一個(gè)與以上兩式規(guī)律相同的一個(gè)等式 .
6. （2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，成等差數(shù)列。類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則， ， ，成等比數(shù)列。
7. （2009全國卷Ⅱ文）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？
若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由。
8.（2009北京卷理）
如圖，在三棱錐中，底面，
點(diǎn)，分別在棱上，且
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大小；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說明理由.
參考答案
1.解析：①l⊥α且α∥βl⊥β,mβl⊥m.
②α⊥β且l⊥αl∥β,但不能推出l∥m.
③l∥m,l⊥αm⊥α,由mβα⊥β.
④l⊥m,不能推出α∥β.
答案：B
2.解析：選1.1元5張，0.6元2張，0.8元1張.故8張.
答案：B
3. 答案：C
解析：先考查拼成三棱柱(如圖1)全面積：S1=,
再考查拼成四棱柱(如圖2)全面積.
(1)若AC=5a,AB=4a,BC=3a則該四棱柱的全面積為S2=
(2)若AC=4a,AB=3a,BC=5a則該四棱柱的全面積為S2=
(3)若AC=3a,AB=5a,BC=4a則該四棱柱的全面積為S2=
又在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，從而知即a的取值范圍是 。
4. 解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分△ABC
由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴△ABC=，設(shè)與的
交點(diǎn)為D，則由知，∴
∴選A。
5.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°
可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.
答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=
6. 答案：
解析：對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，成等比數(shù)列。
點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力
7. 解：（Ⅰ）設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，其方程為到的距離為
故 ，
由
得 ，=
（Ⅱ）C上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立。
由 （Ⅰ）知C的方程為+=6. 設(shè)
(ⅰ)
　C 成立的充要條件是， 且
整理得
故 ①
將
于是 , =,
代入①解得，，此時(shí)
于是=， 即
因此， 當(dāng)時(shí)，， ；
當(dāng)時(shí)，， 。
（ⅱ）當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，C上不存在點(diǎn)P使成立。
綜上，C上存在點(diǎn)使成立，此時(shí)的方程為
。
點(diǎn)評(píng)：本題考查解析幾何與平面向量知識(shí)綜合運(yùn)用能力，第一問直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算，第二問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，注意特殊情況的處理。
8.解法1（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴與平面所成的角的大小.
（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角的平面角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，這時(shí)，
故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.
解法2：以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，由已知可得
.
（Ⅰ）∵，
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，∴E為PC的中點(diǎn)，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴與平面所成的角的大小.
（Ⅲ）同解法1.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。www.
y=kx+
O
C
y
D
x
A
兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為
已知橢圓C: 的離心率為 ，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B
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2010年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略應(yīng)用性問題
一、考情分析
數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題是指能用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決的社會(huì)生活中有實(shí)際背景的實(shí)際問題。這類題目的立意、實(shí)際背景、創(chuàng)設(shè)的情景、設(shè)問的角度和方式新穎靈活，對(duì)考生的能力和數(shù)學(xué)素質(zhì)要求較高，處于考查能力和素質(zhì)的要求，數(shù)學(xué)應(yīng)用題成為近幾年高考的熱點(diǎn)之一。
近幾年全國各地的高考題中，應(yīng)用性問題的題型有以下幾個(gè)特點(diǎn)：
（1）數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題以概率及其分布列為主流，多以藥物檢驗(yàn)、設(shè)計(jì)、課程考核、數(shù)學(xué)競(jìng)賽、生產(chǎn)經(jīng)營等為背景，圍繞五個(gè)基本概率模型命制，并呈現(xiàn)與函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合的趨勢(shì)。
（2）三角應(yīng)用題異軍突起，成為應(yīng)用性題目的一個(gè)新的命題熱點(diǎn)，主要考查航行、測(cè)量、等實(shí)際生活問題，主要體現(xiàn)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查知識(shí)點(diǎn)主要是正余弦定理、平面幾何與三角函數(shù)等知識(shí)，難度較低，一般出現(xiàn)在前三個(gè)題。
（3）函數(shù)問題老生常談，在解決實(shí)際問題中的優(yōu)化問題息息相關(guān)，解題過程一般體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。
（4）線性規(guī)劃在處理最優(yōu)化問題中的應(yīng)用。
應(yīng)用題目的命制突出解決實(shí)際問題能力的考察，體現(xiàn)“貼近生活、背景公平、控制難度”的命題原則，小題鮮活，大題不難。
二、高考預(yù)測(cè)
隨著新課標(biāo)的實(shí)施和高考改革的不斷深入，對(duì)應(yīng)用型題目的考察越來越重視，預(yù)計(jì)在今后的考察中，不但會(huì)加大題量，而且還會(huì)從廣度和一定的深度上全方位考察，考察學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。
三、攻破策略
1攻略之一——學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模分析的步驟
應(yīng)用型問題解決的關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題來解決，完成整個(gè)解題過程大體可以分為四個(gè)步驟：
（1）讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語言，找出主要關(guān)系；
（2）建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題；
（3）求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；
（4）評(píng)價(jià)：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證或評(píng)估，對(duì)錯(cuò)誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，作出解釋或驗(yàn)證。
【例1】(2009山東卷理)（本小題滿分12分）
兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k，當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065。
（1）將y表示成x的函數(shù)；
（2）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離；若不存在，說明理由。
解析：（1）如圖，由題意知AC⊥BC,，
其中當(dāng)時(shí)，y=0.065，所以k=9
所以y表示成x的函數(shù)為
（2），,令得，所以,即,當(dāng)時(shí), ，即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí)，函數(shù)有最小值。
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的 能力和運(yùn)用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題.
2攻略之二——掌握數(shù)學(xué)建模分析的具體方法
注意總結(jié)解高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的基本模式,以便在解題過程中能盡快找到解題方法，達(dá)到“生中見熟”的效果。如行程、工程、濃度等問題可轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)的求解問題；平均增長率問題可轉(zhuǎn)化為求解數(shù)列和指數(shù)方程(不等式)問題；用料最省、造價(jià)最低、容積(面積)最值問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)、線性規(guī)劃最值問題；應(yīng)用題與平面圖形有關(guān)時(shí)，如拱橋設(shè)計(jì)可轉(zhuǎn)化為二次曲線，航海、測(cè)量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題等；一般可采用關(guān)系分析法、列表分析法、圖像分析法等方法、分析題目的層次、領(lǐng)會(huì)關(guān)鍵詞語，弄清題圖關(guān)系、重視條件轉(zhuǎn)譯，準(zhǔn)確建模。
【例2】（2001年高考試題）（旅游業(yè)的投入產(chǎn)出問題）從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。
（1）設(shè)年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元，寫出它們的表達(dá)式；
（2）至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？
解析：在研究旅游業(yè)的投入產(chǎn)出問題時(shí)，根據(jù)“本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少”和“旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加”，其投入資金數(shù)列和收入（產(chǎn)出）數(shù)列均為等比數(shù)列，注意題目“設(shè)年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為萬元，旅游業(yè)總收入為萬元”中的“年內(nèi)”說明“ ”、“ ”表示等比數(shù)列的前項(xiàng)和。
建立數(shù)學(xué)模型：（1）第n年的投入與收入資金數(shù)列列表如下
第n年 第n年投入資金（萬元） 第n年旅游收入（萬元）
1 800 400
2
3
4
………… ……… ……….
（2）略
【點(diǎn)評(píng)】通過列表分析，數(shù)學(xué)模型一目了然，不同的問題要靈活選用不同的分析方法。
3攻略之二——注重?cái)?shù)形結(jié)合逐步翻譯條件
應(yīng)用性問題往往有大段的文字描述，在解答過程中要真讀題、審題，通過審題領(lǐng)會(huì)其中的數(shù)的本質(zhì)，并且要養(yǎng)成邊讀題邊畫圖的習(xí)慣，樹立數(shù)形結(jié)合意識(shí),把抽象繁瑣的文字?jǐn)⑹觯鸩椒g為具體直觀的圖形關(guān)系。
【例3】（2009遼寧卷）如圖，都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面處測(cè)得點(diǎn)和點(diǎn)的仰角分別為，，于水面處測(cè)得點(diǎn)和點(diǎn)的仰角均為，。試探究圖中間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449）
解析：在中，，＝60°－＝30°，
所以
又＝180°－60°－60°＝60°，
故是底邊的中垂線，所以，
在中，，
即AB＝
因此，
故的距離約為0.33km。
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于這類問題在解題過程中,要明確相關(guān)的術(shù)語概念,如方位角\仰角\俯角等概念,這時(shí)順利解出題目的前提.
4攻略之四——注意語言表達(dá)的完整性
數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解不同于一般的數(shù)學(xué)運(yùn)算題，有人比喻它是數(shù)學(xué)中的小作文，因此解數(shù)學(xué)應(yīng)用題要做到“有頭有尾”，把問題中的普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，引入變量與字母，畫出圖形，將數(shù)學(xué)建模的過程詳細(xì)地寫出來，建立數(shù)學(xué)模型后，要準(zhǔn)確地求解，并注意計(jì)量單位的一致，最后對(duì)于所得數(shù)據(jù)不僅要思考或檢驗(yàn)是否與實(shí)際吻合，而且要給出完整的答案。
四、考點(diǎn)精煉
1.落在平靜湖面上的雨滴,使水面產(chǎn)生一圈一圈的同心圓形水波,在此后的一段時(shí)間內(nèi),若最外一圈水波的半徑(單位:米)與時(shí)間(單位:秒)滿足函數(shù)關(guān)系式,則在2秒末擾動(dòng)水面面積的變化率為 (　　)
A. B. C. D.
2.我國股市中對(duì)股票的股價(jià)實(shí)行漲跌停制度,即每天的股價(jià)最大漲幅或跌幅均為,某股票連續(xù)四個(gè)交易日中的前兩天每天漲停,后兩天每天跌停,則該股票現(xiàn)在的股價(jià)相對(duì)于四天前的漲跌情況是( )
A.下跌1.99% B.上漲1.99% C. 保持不變 D.無法確定
3.(2009山東卷理)某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè)，圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的 產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106]，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是( )
A.90 B.75 C. 60 D.45
4.（2009四川卷文）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是
A. 12萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27萬元
5．(2007年湖北文理)為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：
（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ．
（II）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過 小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．
6.(2009年湖北)如圖，衛(wèi)星和地面之間的電視信號(hào)沿直線傳播，電視信號(hào)能夠傳送到達(dá)的地面區(qū)域,稱為這個(gè)衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域，為了轉(zhuǎn)播2008年北京奧運(yùn)會(huì)，我國發(fā)射了“中星九號(hào)”廣播電視直播衛(wèi)星，它離地球表面的距離約為36000km。已知地球半徑約為6400km,則“中星九號(hào)”覆蓋區(qū)域內(nèi)的任意兩點(diǎn)的球面距離的最大值約為 km。(結(jié)果中保留反余弦的符號(hào))
7.（2007年湖北）（本小題滿分12分）
某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣出432件，如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值（單位：元，）的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件．
（I）將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù)；
（II）如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？
8.（2007年山東）（本小題滿分12分）
如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，當(dāng)甲船航行分鐘到達(dá)處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時(shí)兩船相距海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？
9.（2009安徽卷理）（本小題滿分12分）
某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū).B肯定是受A感染的.對(duì)于C，因?yàn)殡y以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是。在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量，寫出X的分布列(不要求寫出計(jì)算過程)，并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）。
參考答案
1. A
2.A
3. A
【解析】:產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)×2=0.300, 已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,設(shè)樣本容量為，則,所以,凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的概率為(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是120×0.75=90.故選A.
4. D
【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系：高考資源網(wǎng)
A原料 B原料
甲產(chǎn)品噸 3 2
乙產(chǎn)品噸 3
則有：
目標(biāo)函數(shù)
作出可行域后求出可行域邊界上各端點(diǎn)的坐標(biāo)，經(jīng)驗(yàn)證知：
當(dāng)＝3，＝5時(shí)可獲得最大利潤為27萬元，故選D
5. ；0.6
6.【答案】12800arccos
【解析】如圖所示，過做圓的兩條切線,切點(diǎn)為,可得AO=36000+6400=42400，則在
Rt△ABO中可得cos∠AOB=
所以兩點(diǎn)間的球面距離
7.解析：（Ⅰ）設(shè)商品降價(jià)元，則多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個(gè)星期的獲利為，
則依題意有，
又由已知條件，，于是有，
所以．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ），我們有．
2 12
0 0
極小 極大
故時(shí)，達(dá)到極大值．因?yàn)椋远▋r(jià)為元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大。
8. 解析：如圖，連結(jié)，，，
是等邊三角形，，
在中，由余弦定理得
，
因此乙船的速度的大小為
答：乙船每小時(shí)航行海里.
9. 本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算，考查取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實(shí)生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值。本小題滿分12分。
解：隨機(jī)變量X的分布列是
X 1 2 3
P
X的均值為
附：X的分布列的一種求法
共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
A—B—C—D A—B—C└D A—B—C└D A—B—D└C A—C—D└B
在情形①和②之下，A直接感染了一個(gè)人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了兩個(gè)人；在情形⑥之下，A直接感染了三個(gè)人。
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2010年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略函數(shù)
一、考情分析
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高中數(shù)學(xué)的主體知識(shí)。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，函數(shù)的思想方法貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，利用函數(shù)思想可以解決很多數(shù)學(xué)問題，最能體現(xiàn)學(xué)生能力和水平的學(xué)習(xí)內(nèi)容，為歷年高考考查的重點(diǎn)。在高考中函數(shù)問題具有以下幾個(gè)特點(diǎn)：
1.以函數(shù)概念的深化理解與函數(shù)圖象及性質(zhì)的靈活運(yùn)用構(gòu)成命題的核心
近年來，求函數(shù)的值域（或最值）及活用奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性成為高考的熱點(diǎn)問題。重點(diǎn)考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)及抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，并且利用函數(shù)性質(zhì)靈活解題。函數(shù)的單調(diào)性常用來判斷、證明、比較大小，求單調(diào)區(qū)間及有關(guān)參數(shù)的范圍，奇偶性則經(jīng)常擴(kuò)展到圖象的對(duì)稱性，且與單調(diào)性和周期性聯(lián)系在一起，解決較復(fù)雜的問題。尤其值得注意的是，凡涉及到函數(shù)、方程和不等式的問題，必須首先考慮定義域，這也是學(xué)生解決問題時(shí)容易忽略的地方。
2. 創(chuàng)設(shè)新情景，考查學(xué)生閱讀理解領(lǐng)悟新信息的能力
近年來，新信息題成為新課標(biāo)函數(shù)改革的一個(gè)新的亮點(diǎn)，和應(yīng)用題一樣，它考查了學(xué)生閱讀、理解能力，提煉數(shù)學(xué)問題的能力，以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的能力，要求學(xué)生仔細(xì)閱讀，抓住信息，透徹理解，準(zhǔn)確解題。有許多新定義或抽象函數(shù)是建立在一定特殊函數(shù)的基礎(chǔ)上，解決這樣的問題可以將熟知的函數(shù)作為依托去構(gòu)思，但解答時(shí)不能寫特殊函數(shù)，應(yīng)遵循新定義或抽象函數(shù)所滿足的規(guī)律。
3. 在函數(shù)與其他知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，培養(yǎng)解決綜合問題的能力
4．引進(jìn)探索題與開放題，培養(yǎng)學(xué)生研究與創(chuàng)新的能力，拓展考查功能
新課標(biāo)的問世，增添了許多研究性的課題，提供了拓展學(xué)生思維的視野，高考命題體現(xiàn)了在這方面的要求，常見的“猜想規(guī)律”，“是否存在”等等均屬于探索類型的問題。
二、高考預(yù)測(cè)
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)方程思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的始終，利用函數(shù)方程思想可以解決很多數(shù)學(xué)問題，因此歷年的高考試題多貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主線，結(jié)合最新的考試說明及近兩年的高考命題趨勢(shì)，我認(rèn)為2010年將繼續(xù)貫穿這條主線，主要考察為：
（1） 考察重點(diǎn)仍是函數(shù)概念、性質(zhì)及應(yīng)用。
（2） 考察熱點(diǎn)是函數(shù)模型的應(yīng)用，函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
（3） 仍可能以函數(shù)為背景，以導(dǎo)數(shù)為工具，與不等式、解析幾何知識(shí)交匯點(diǎn)命題。
（4） 重視分段函數(shù)和一元二次方程根的分布問題。
三、突破策略
函數(shù)部分是高中的重要知識(shí)內(nèi)容，同時(shí)也是高考的重點(diǎn)，很多同學(xué)提到函數(shù)就感覺心里沒底，其實(shí)，在高考中遇到函數(shù)題時(shí)，想要做到心里踏實(shí)、坦然并不難，只需復(fù)習(xí)時(shí)更有針對(duì)性和時(shí)效性，了解高考命題的常見題型和考查要點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，即可做到心中有數(shù)。
1攻略之一——扎實(shí)打好基礎(chǔ)，突出知識(shí)結(jié)構(gòu)
深刻理解函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的圖象及其性質(zhì)；抓住知識(shí)主干，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。以函數(shù)的三要素、性質(zhì)為主干知識(shí)形成知識(shí)體系，同時(shí)注意各部分知識(shí)的橫向聯(lián)系，尤其與不等式、數(shù)列、解析立幾何的聯(lián)系；養(yǎng)成規(guī)范書寫習(xí)慣，因?yàn)楹玫臅鴮懥?xí)慣，嚴(yán)密的思維推理，認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度對(duì)高考來說至關(guān)重要。
【例1】(2009·遼寧文理9)已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加，則的x取值范圍是
答案： A
分析：此題考察函數(shù)的基本性質(zhì)，沒有解析式，只需要弄清楚偶函數(shù)的作用以及函數(shù)單調(diào)性在解不等式中處理就可以了。
解：由已知有，即，∴。
【例2】( 2009·山東文理16)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則
分析：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,對(duì)稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問題,
運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題．
解：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以, 由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù)．如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱性知所以
答案：-8
2攻略之二——加強(qiáng)思想滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)意識(shí)
函數(shù)這一章重要的數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，分類與整合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、有限與無限的思想等；數(shù)學(xué)方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、二分法、比較法等。
【例3】（2009天津卷文）設(shè)，則
A a答案：B
解析：由已知結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖像和指數(shù)函數(shù)圖像得到，而，因此選B。
點(diǎn)評(píng)：本試題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用，考查了基本的運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想。
【例4】（08北京卷18）已知函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間．
解：
．
令，得．
當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：
0
當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：
0
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．
點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。
3攻略之三——加強(qiáng)閱讀理解，提高表達(dá)能力
高考數(shù)學(xué)試題語言簡潔、科學(xué)性強(qiáng)、信息量大，熟悉數(shù)學(xué)語言，包括文字語言、符號(hào)語言、邏輯語言、圖形語言和數(shù)表語言是閱讀、理解和表達(dá)數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，也是高考審題、解題的關(guān)鍵，應(yīng)用題的出現(xiàn)，尤其是信息題的出現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的閱讀能力有了更高的要求。在復(fù)習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng)和訓(xùn)練，要既能正確理解數(shù)學(xué)的各種語言（文字語言、符號(hào)語言、圖形語言）并能相互轉(zhuǎn)化，又能條理清晰，準(zhǔn)確流暢地表達(dá)解題過程；從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法去解決。
【例5】(2009湖南卷理)設(shè)函數(shù)在（，+）內(nèi)有定義。對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)
取函數(shù)=。若對(duì)任意的，恒有=，則
A．K的最大值為2 B. K的最小值為2
C．K的最大值為1 D. K的最小值為1
答案：D
解析：由知，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，結(jié)合條件分別取不同的值，可得D符合，此時(shí)。故選D項(xiàng)。
【例6】（2009四川卷文）設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對(duì)于映射，記的象為。若映射滿足：對(duì)所有及任意實(shí)數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換。現(xiàn)有下列命題：
①設(shè)是平面上的線性變換，，則
②若是平面上的單位向量，對(duì)，則是平面上的線性變換；
③對(duì)，則是平面上的線性變換；
④設(shè)是平面上的線性變換，，則對(duì)任意實(shí)數(shù)均有。
其中的真命題是 （寫出所有真命題的編號(hào)）
答案：①③④
解析：①：令，則故①是真命題
同理，④：令，則故④是真命題
③：∵，則有
是線性變換，故③是真命題
②：由，則有
∵是單位向量，≠0，故②是假命題
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)，對(duì)應(yīng)及高等數(shù)學(xué)線性變換的相關(guān)知識(shí)，試題立意新穎，突出創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)閱讀能力，具有選拔性質(zhì)。
4攻略之四——注意平時(shí)積累和儲(chǔ)存問題模型
復(fù)雜的問題往往是一些簡單問題的演變和拼接組合，而我們解題的過程則是一個(gè)不斷分解、轉(zhuǎn)化的過程，注重平時(shí)基本題型的積累，就可以敏感地抓住解題過程的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想起頭腦中積累的解題方法,如恒成立問題是高考中的熱點(diǎn)題型,這就要求我們能熟練掌握其解題規(guī)律,真正弄懂其解法：
一般轉(zhuǎn)化類型有：
（1）恒成立或恒成立；
（2）恒成立或恒成立；
（3）恒成立；
常用的解題技巧有分離參數(shù),分類討論,整體代換等
【例7】（08天津卷21）已知函數(shù)（），其中．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．
（Ⅰ）解：．
當(dāng)時(shí)，．
令，解得，，．
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：
0 2
－ 0 ＋ 0 － 0 ＋
↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．
（Ⅱ）解：，顯然不是方程的根．
為使僅在處有極值，必須成立，即有．
解些不等式，得．這時(shí)，是唯一極值．
因此滿足條件的的取值范圍是．
（Ⅲ）解：由條件，可知，從而恒成立．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．
為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，在上恒成立．
所以，因此滿足條件的的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：解題能力的提升不是一蹴而就的,這需要一個(gè)過程,從某種程度上可以說是一個(gè)由量變到質(zhì)變的過程,這就要求同學(xué)們平時(shí)要注意練習(xí)和積累,重點(diǎn)題型,基本解法要搞懂練熟,這樣才能在解題能力上有大的提升.
四、考點(diǎn)精煉
1.（08全國一1）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
2. （2009全國卷Ⅰ理）函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則( )
(A) 是偶函數(shù) (B) 是奇函數(shù)
(C) (D) 是奇函數(shù)
3. （08全國二3）函數(shù)的圖像關(guān)于（ ）
A．軸對(duì)稱 B． 直線對(duì)稱
C． 坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱 D． 直線對(duì)稱
4. （2009北京理）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn) （ ）
A．向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度
B．向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度
C．向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度
D．向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度
5. (2009山東卷理)函數(shù)的圖像大致為( ).
6. （07全國Ⅰ）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則（ ）
A． B．2 C． D．4
7. （2009重慶卷理）若是奇函數(shù)，則 ．
8.若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
9. （2009北京文）已知函數(shù)若，則 .
10. （2009江蘇卷）已知，函數(shù)，若實(shí)數(shù)、滿足，則、的大小關(guān)系為 .
11. （2009四川卷文）已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是。
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值.
12.(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）
某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬元。
（Ⅰ）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最小？
參考答案
1. C
2.D。
解: 與都是奇函數(shù)，，
函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)。故選D
3. C
4. 【答案】C
【解析】本題主要考查函數(shù)圖象的平移變換. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．，
B．，
C．，
D．.
故應(yīng)選C.
5. 【解析】:函數(shù)有意義,需使,其定義域?yàn)?排除C,D,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù),故選A.
答案:A.
6. A
7. 【答案】
【解析】解法1
8.解析：由題意該函數(shù)的定義域，由。因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，故此時(shí)斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)。
解法1 （圖像法）再將之轉(zhuǎn)化為與存在交點(diǎn)。當(dāng)不符合題意，當(dāng)時(shí)，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點(diǎn)，當(dāng)如圖2，此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn)，故有應(yīng)填
或是。
9. 【答案】
【解析】本題主要考查分段函數(shù)和簡單的已知函數(shù)值求的值. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查.
由，無解，故應(yīng)填.
10. 【解析】考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。
，函數(shù)在R上遞減。由得：m11. 【解析】（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即……①
又，由已知得……②
聯(lián)立①②，解得.
所以函數(shù)的解析式為
（II）因?yàn)?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
令
當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解，
由，得.
①當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值
②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根情況如下表：
+ 0 - 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以在時(shí)，函數(shù)有極值；
當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值；
12. 解 （Ⅰ）設(shè)需要新建個(gè)橋墩，
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令，得，所以=64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
當(dāng)0<<64時(shí)<0， 在區(qū)間（0，64）內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，>0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，
所以在=64處取得最小值，此時(shí)，
故需新建9個(gè)橋墩才能使最小。
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2010年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略三角函數(shù)
一、考情分析
三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，三角函數(shù)與三角恒等變換結(jié)合是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)之一。在高考中，客觀題、主觀題均有所體現(xiàn)，近幾年高考試題中，與三角函數(shù)有關(guān)的題目占到25分左右。有考查基礎(chǔ)知識(shí)的選擇、填空題，也有考查基本能力的解答題。由于高考考查時(shí)，主要以容易題和中檔題為主，所以對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)很重要的得分點(diǎn)，我們?cè)趶?fù)習(xí)中應(yīng)該予以足夠的重視。
從近幾年全國各地的高考試題來看,三角函數(shù)這部分的試題有以下特點(diǎn):
1.考小題，重在基礎(chǔ)運(yùn)用
考查的重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式、圖象及圖象變換、兩域（定義域、值域）、四性（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）、反函數(shù)以及簡單的三角變換（求值、化簡及比較大小）。
2.考大題，難度明顯降低
有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過三角公式變形、轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)沒有了，而是考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法。
3.考應(yīng)用，融入三角圖形之中
這種題型既能考查解三角形的知識(shí)與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，故近年來倍受命題者的青睞，主要解法是充分利用三角形的內(nèi)角和定理、正（余）弦定理、面積公式等，并結(jié)合三角公式進(jìn)行三角變換，從而獲解。
4.考綜合，體現(xiàn)三角函數(shù)的工具性
由于近年高考命題突出以能力立意，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)綜合性和應(yīng)用性的考查，故常常在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題。因而對(duì)三角知識(shí)的考查總是與平面向量、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等綜合在一起來考查，突出三角的工具性作用。
二、高考預(yù)測(cè)
預(yù)計(jì)2010年的高考對(duì)本單元內(nèi)容及題型的考查上會(huì)保持穩(wěn)定，還是以低中檔題為考查重點(diǎn)。
1. 一般有2至3個(gè)選擇、填空題主要考查三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)的問題，有一個(gè)解答題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角變換，或者是以平面向量為背景考查三角，或者是三角形中正余弦定理及其應(yīng)用；
2.三角函數(shù)的定義以及直接考查三角函數(shù)圖象的問題（做出一個(gè)周期的圖像、根據(jù)圖像特征寫出解析式）雖然近三年沒出現(xiàn)，估計(jì)在2010年的高考中就會(huì)成為考點(diǎn)。
三、突破策略
1攻略之一——抓牢三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)
三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是處理三角函數(shù)問題的基礎(chǔ),也是高考試題命制的重要來源, 高考加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的考查，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是本單元復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖像與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓上三角函數(shù)線來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既能有利于掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，又能熟練的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想、方法。會(huì)用“五點(diǎn)法”作給定周期內(nèi)的函數(shù)的圖像。
例1（2009全國卷Ⅰ理）如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（ ）
A. B. C. D.
解: 函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱
由此易得.故選C
例2(2009山東卷理)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位, 再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式是( ).
A. B. C. D.
【解析】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)即的圖象,再向上平移1個(gè)單位,所得圖象的函數(shù)解析式為,故選B.
答案:B
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式進(jìn)行化簡解析式的基本知識(shí)和基本技能,學(xué)會(huì)公式的變形。
2.攻略之二---熟練掌握三角函數(shù)的基本變換方法
近幾年的高考試題,降低了對(duì)三角變換的要求,但基本的三角變換應(yīng)是處理三角函數(shù)問題,研究三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ),所以在復(fù)習(xí)中要熟練掌握三角變換的基本公式，弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系和互相聯(lián)系，把基本公式記準(zhǔn)用熟。在三角變換中經(jīng)常出現(xiàn)公式的逆用或變形，尤其是二倍角余弦公式、兩角和差的正切的變形應(yīng)用較為廣泛。另外，輔助角公式應(yīng)用也較多，也是考生常出錯(cuò)的地方，應(yīng)引起注意。
例3（2009北京文）（本小題共12分）已知函數(shù).
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值.
解:（Ⅰ）∵，
∴函數(shù)的最小正周期為.
（Ⅱ）由，∴，
∴在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦、三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查基本運(yùn)算能力．
例4(2009山東卷文)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=2在處取最小值.
(1) 求的值；
(2) 在ABC中,分別是角A,B,C的對(duì)邊,已知,求角C.
解: （1）
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在處取最小值，所以,由誘導(dǎo)公式知,因?yàn)?所以.所以
（2）因?yàn)?所以,因?yàn)榻茿為ABC的內(nèi)角,所以.又因?yàn)樗杂烧叶ɡ?得,也就是,
因?yàn)?所以或.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì),并利用正弦定理解得三角形中的邊角.注意本題中的兩種情況都符合.
3.攻略之三---注重培養(yǎng)三角函數(shù)的應(yīng)用意識(shí)
最近幾年,隨著新課標(biāo)的普及及高考改革的不斷深入,高考試題注重考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,在這個(gè)背景下,三角應(yīng)用題異軍突起,成為高考中的一個(gè)熱點(diǎn),一些航海,測(cè)量等問題頻繁出現(xiàn)在高考題中. 所以在復(fù)習(xí)中既要注意在有些實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型，利用三角函數(shù)知識(shí)來解決問題；更要注意在代數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等問題中建立三角函數(shù)模型，使問題獲得簡捷的解法.
例5（2009遼寧卷文）如圖，A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為，，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為，AC＝0.1km。試探究圖中B，D間距離與另外哪兩點(diǎn)距離相等，然后求B，D的距離（計(jì)算結(jié)果精確到0.01km，1.414，2.449）
解：在中，＝30°，＝60°－＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是底邊AD的中垂線，所以BD＝BA
在中，，
即AB＝
因此，
故B、D的距離約為0.33km。
四、考點(diǎn)精煉
1. (2009年廣東卷文)函數(shù)是
A．最小正周期為的奇函數(shù) B. 最小正周期為的偶函數(shù)
C. 最小正周期為的奇函數(shù) D. 最小正周期為的偶函數(shù)
2. （2009浙江理）已知是實(shí)數(shù)，則函數(shù)的圖象不可能是 ( )
3. （2008湖南卷6）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是( )
A.1 B. C. D.1+
4. （2009全國卷Ⅱ文）已知△ABC中，，則
A. B. C. D.
5. （2008浙江卷5）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是
A.0 B.1 C.2 D.4
6. （2007海南、寧夏理3）函數(shù)在區(qū)間的簡圖是（　　）
7. （2009北京文）若，則 .
8. （2009湖南卷文）在銳角中，則的值等于 ，
的取值范圍為 。
9. （2007江西理18）如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且在該點(diǎn)處切線的斜率為。
（1）求和的值；
（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值．
10. （2009寧夏海南卷理）為了測(cè)量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖），飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟。
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參考答案
1.【答案】A
【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),,所以選A.
2. 答案：D
【解析】對(duì)于振幅大于1時(shí)，三角函數(shù)的周期為，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了．
3. C
4. 答案：D
解析：本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用能力，先由cotA=知A為鈍角，cosA<0排除A和B，再由選D
5. C
6. A
7. 【答案】
【解析】本題主要考查簡單的三角函數(shù)的運(yùn)算. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查。
由已知，在第三象限，∴，∴應(yīng)填.
8. 解析: 設(shè)由正弦定理得
由銳角得，
又，故，
9. 解析:（1）將，代入函數(shù)得，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>因此．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)，是的中點(diǎn)，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以．
因?yàn)椋裕?br/>從而得或．
即或．
10. 解析:
方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角；B點(diǎn)到M，N的俯角；A，B的距離 d （如圖所示）
②第一步：計(jì)算AM，由正弦定理
第二步：計(jì)算AN，由正弦定理
第三步：計(jì)算MN，由余弦定理 .
方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角，；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角，；A，B的距離 d （如圖所示）。
②第一步：計(jì)算BM，由正弦定理　；
第二步：計(jì)算BN，由正弦定理　；
第三步：計(jì)算MN，由余弦定理
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