資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
【江蘇省各地區(qū)真題匯編】函數(shù)概念與性質(zhì)考前專題特訓(xùn)-2025年高考數(shù)學(xué)
一．選擇題（共8小題）
1．（2024秋 蘇州期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
2．（2025春 金壇區(qū)校級月考）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．[﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2）
3．（2025 江蘇模擬）已知函數(shù)f（x）和g（x）的定義域均為R．若f（x+1）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（x）﹣g（x﹣2）＝2﹣x，則f（g（﹣1））＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（2024秋 蘇州期末）函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖①所示，則如圖②所示的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（　　）
A．y＝f（﹣x）+1 B．y＝f（﹣x+1）
C．y＝﹣f（x+1） D．y＝﹣f（﹣x﹣1）
5．（2024秋 蘇州期末）下列函數(shù)中，定義域?yàn)閇1，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝|x|+1 B．
C．f（x）＝ln（x﹣1） D．
6．（2023春 新沂市校級月考）函數(shù)的部分圖象大致為（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2024秋 泰州月考）已知A＝{x∈N|x＜12}，B＝{x∈N|x＜3}，函數(shù)f1：A→N，f1（x）的值等于x除以6得到的余數(shù)，f2：N→B．設(shè)f（x）＝f2（f1（x）），若存在y∈B，使得對于任意的x∈A，都不滿足y＝f（x），則函數(shù)f（x）的個數(shù)是（　　）
A．729 B．189 C．378 D．540
8．（2023春 常熟市校級月考）如圖所示的“心形”圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”圖形在x軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（　　）
A． B．
C． D．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025 武進(jìn)區(qū)校級一模）下列各組函數(shù)的圖象，通過平移后能重合的是（　　）
A．y＝sinx與y＝﹣sinx B．y＝x3與y＝x3﹣x
C．y＝2x與y＝3 2x D．y＝lgx與y＝lg（3x）
（多選）10．（2025春 如皋市期中）已知f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x﹣3）為奇函數(shù)，f（x﹣2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝e﹣xex，則（　　）
A．f（﹣5）＝0 B．f（6）＝e
C．f（x）為偶函數(shù) D．
（多選）11．（2025 江蘇校級三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且f（1）＞0，則（　　）
A．a(chǎn)＝﹣1
B．a(chǎn)＝1
C．f（x）在R上單調(diào)遞增
D．若對任意實(shí)數(shù)x，不等式f（4sin2x+cosx﹣3）+f（m）＜0恒成立，則
三．填空題（共3小題）
12．（2025 武進(jìn)區(qū)校級一模）若在[﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　 　 ．
13．（2016秋 如東縣校級月考）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為　 　 ．
14．（2025春 姑蘇區(qū)月考）已知奇函數(shù)f（x）的一個周期為2，當(dāng)x∈（0，1）時，，則f（7.5）＝　 　 ．
四．解答題（共5小題）
15．（2025春 常州期中）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣x﹣1，g（x）＝alnx﹣x．
（Ⅰ）若h（x）＝f（x）﹣g（x）在[1，2]單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，若對任意的，總存在，使得f（x1）≤g（x2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
16．（2025 江蘇校級三模）已知函數(shù)f（x）＝ax+ka﹣x（a＞0，且a≠1）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若，不等式f（﹣lnt）+f（ln（t2﹣6））＜0恒成立，求t的取值范圍．
17．（2025春 高郵市期中）已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣xcosx+ax，x∈（0，π）．
（1）若a＝0，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＝﹣1，證明：f（x）在（0，π）上有且只有一個零點(diǎn)．
18．（2025春 如皋市校級月考）對于函數(shù)h（x）＝asinx+bcosx，稱向量為函數(shù)h（x）的相伴特征向量，同時稱函數(shù)h（x）為向量O，的相伴函數(shù)．
（1）設(shè)函數(shù)．試求函數(shù)g（x）的相伴特征向量的坐標(biāo)；
（2）記向數(shù)的相伴函數(shù)為f（x）．
（i）當(dāng)時，求sinx的值；
（ii）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
19．（2025春 蘇州校級月考）已知函數(shù)為奇函數(shù)．且f（x）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為．
（1）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)g（x）的值域．
（2）設(shè)h（x）＝f（x）+sinx+cosx，若h（x）≤c恒成立，求實(shí)數(shù)c的最小值．
【江蘇省各地區(qū)真題匯編】函數(shù)概念與性質(zhì)考前專題特訓(xùn)-2025年高考數(shù)學(xué)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D D D D B A
二．多選題（共3小題）
題號 9 10 11
答案 ACD ACD ACD
一．選擇題（共8小題）
1．（2024秋 蘇州期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【解答】解：對于，根據(jù)x2﹣1≥0，可得x≤﹣1或x≥1，
因此的定義域?yàn)椋ī仭蓿?]∪[1，+∞），
由于內(nèi)層函數(shù)u＝x2﹣1在[1，+∞）上為增函數(shù)，在區(qū)間（﹣∞，﹣1]上為減函數(shù)，
外層函數(shù)在[0，+∞）上為增函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的減區(qū)間為（﹣∞，﹣1]．
故選：A．
2．（2025春 金壇區(qū)校級月考）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．[﹣3，﹣2） B．（﹣3，﹣2] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞減，
又因?yàn)楫?dāng)x≤0時，f（x）＝ax+2cosx，
所以f′（x）＝a﹣2sinx≤0恒成立，
則a≤（2sinx）min＝﹣2；
當(dāng)x＞0時，由f（x）＝ax2﹣x﹣2a﹣4在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
若a＝0，f（x）＝﹣x﹣4，合題意，
若a≠0，則，解得a＜0，
所以a≤0；
又因?yàn)椹?a﹣4≤2，解得a≥﹣3．
綜上所述，a∈[﹣3，﹣2]．
故選：C．
3．（2025 江蘇模擬）已知函數(shù)f（x）和g（x）的定義域均為R．若f（x+1）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且f（x）﹣g（x﹣2）＝2﹣x，則f（g（﹣1））＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：因?yàn)閒（x+1）是奇函數(shù)，所以f（﹣x+1）＝﹣f（x+1），
所以f（1）＝﹣f（1），所以f（1）＝0，
又f（x）﹣g（x﹣2）＝2﹣x，
所以f（1）﹣g（﹣1）＝1，所以g（﹣1）＝﹣1，
又f（3）﹣g（1）＝﹣1，又g（x）是偶函數(shù)，
所以f（3）＝g（1）﹣1＝g（﹣1）﹣1＝﹣2，
所以f（g（﹣1））＝f（﹣1）＝f（﹣2+1）＝﹣f（2+1）＝﹣f（3）＝2．
故選：D．
4．（2024秋 蘇州期末）函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖①所示，則如圖②所示的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（　　）
A．y＝f（﹣x）+1 B．y＝f（﹣x+1）
C．y＝﹣f（x+1） D．y＝﹣f（﹣x﹣1）
【解答】解：先將y＝f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得出y＝﹣f（﹣x）的圖象，如下圖所示：
再將所得圖象向左平移1個單位，可得出圖②，
因此圖②對應(yīng)的函數(shù)為y＝﹣f（﹣（x+1））＝﹣f（﹣x﹣1）．
故選：D．
5．（2024秋 蘇州期末）下列函數(shù)中，定義域?yàn)閇1，+∞）的是（　　）
A．f（x）＝|x|+1 B．
C．f（x）＝ln（x﹣1） D．
【解答】解：對于選項(xiàng)A，f（x）＝|x|+1的定義域?yàn)镽，所以選項(xiàng)A錯誤；
對于選項(xiàng)B，根據(jù)2x﹣1≥0得x≥0，因此函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），所以選項(xiàng)B錯誤；
對于選項(xiàng)C，由x﹣1＞0得x＞1，故f（x）＝ln（x﹣1）的定義域?yàn)椋?，+∞），所以選項(xiàng)C錯誤；
對于選項(xiàng)D，由得x≥1，故的定義域?yàn)閇1，+∞），所以選項(xiàng)D正確．
故選：D．
6．（2023春 新沂市校級月考）函數(shù)的部分圖象大致為（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由題意可得：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
，
所以f（x）為奇函數(shù)．
當(dāng)x＞0時，f（x）＞0，故可排除B、C；
當(dāng)x→+∞，f（x）→0，故可排除A．
故選：D．
7．（2024秋 泰州月考）已知A＝{x∈N|x＜12}，B＝{x∈N|x＜3}，函數(shù)f1：A→N，f1（x）的值等于x除以6得到的余數(shù)，f2：N→B．設(shè)f（x）＝f2（f1（x）），若存在y∈B，使得對于任意的x∈A，都不滿足y＝f（x），則函數(shù)f（x）的個數(shù)是（　　）
A．729 B．189 C．378 D．540
【解答】解：A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11}，B＝{0，1，2，3}，函數(shù)f1與f2的關(guān)系如下圖所示：
可以看出，由于函數(shù)f1（x）的對應(yīng)關(guān)系固定，
函數(shù)f（x）＝f2（f1（x））的個數(shù)只取決于N的0，1，2，3，4，5到B的對應(yīng)關(guān)系．
因?yàn)榇嬖趛∈B，使得對于任意的x∈A，都不滿足y＝f（x），
所以N的0，1，2，3，4，5沒有對應(yīng)滿B中的所有元素．
考慮其反面，即對于任意的y∈B，總存在x∈A，使得y＝f（x），
即N的0，1，2，3，4，5對應(yīng)滿了B中的所有元素．
求滿足反面的f（x）的個數(shù)的問題等價于“6名工人到3間工廠應(yīng)聘，每名工人只去一間工廠，每間工廠至少有一名工人前來應(yīng)聘，求應(yīng)聘情況的總數(shù)”，
一共有種情況，
即滿足反面的f（x）有540個，沒有限制條件的f（x）有36＝729個，
因此滿足題目條件的f（x）有729﹣540＝189個，故B正確．
故選：B．
8．（2023春 常熟市校級月考）如圖所示的“心形”圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構(gòu)成，則“心形”圖形在x軸上方的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式可能為（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A選項(xiàng)：易知為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，
此函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，且f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，故A正確；
B選項(xiàng)：記，則，故B錯誤；
C選項(xiàng)：，故C錯誤；
D選項(xiàng)：記，則，故D錯誤．
故選：A．
二．多選題（共3小題）
（多選）9．（2025 武進(jìn)區(qū)校級一模）下列各組函數(shù)的圖象，通過平移后能重合的是（　　）
A．y＝sinx與y＝﹣sinx B．y＝x3與y＝x3﹣x
C．y＝2x與y＝3 2x D．y＝lgx與y＝lg（3x）
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對于A，y＝sin（x+π）＝﹣sinx，將y＝sinx向左平移π可得y＝﹣sinx的圖象，符合題意；
對于B，假設(shè)y＝（x+a）3+b＝x3﹣x，變形可得x3+3ax2+3a2x+a3+b＝x3﹣x，不存在a、b的值滿足該式，
故y＝x3與y＝x3﹣x不能通過平移重合，不符合題意；
對于C，2x3 2x，則y＝2x與y＝3 2x能通過平移重合，符合題意；
對于D，y＝lg（3x）＝lgx+lg3，將y＝lgx的圖象向上平移lg3個單位，可得y＝lg（3x）的圖象，符合題意．
故選：ACD．
（多選）10．（2025春 如皋市期中）已知f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x﹣3）為奇函數(shù)，f（x﹣2）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝e﹣xex，則（　　）
A．f（﹣5）＝0 B．f（6）＝e
C．f（x）為偶函數(shù) D．
【解答】解：因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，若f（x﹣3）為奇函數(shù)，f（x﹣2）為偶函數(shù)，
所以f（﹣x﹣3）+f（x﹣3）＝0，f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2），所以可得f（﹣3）＝0，
所以f（﹣x）+f（x﹣6）＝0，f（﹣x）＝f（x﹣4），
所以f（x﹣4）+f（x﹣6）＝0，
所以f（x+2）+f（x）＝0，所以f（x+4）+f（x+2）＝0，
所以f（x+4）＝f（x），所以f（x）的周期為4，
所以f（﹣5）+f（﹣3）＝0，所以f（﹣5）＝﹣f（﹣3）＝0，所以A選項(xiàng)正確；
所以f（6）＝f（2）＝﹣f（0）＝﹣e，所以B選項(xiàng)錯誤；
因?yàn)閒（﹣x）＝f（x﹣4），f（x）的周期為4，
所以f（﹣x）＝f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，所以C選項(xiàng)正確；
因?yàn)閒（）＝f（），f（）＝f（），
又x∈[0，1]時，f（x）＝e﹣xex，f′（x）＝﹣ex（x+1）＜0，
所以f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
所以f（）＜f（），即f（）＜f（），所以D選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
（多選）11．（2025 江蘇校級三模）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且f（1）＞0，則（　　）
A．a(chǎn)＝﹣1
B．a(chǎn)＝1
C．f（x）在R上單調(diào)遞增
D．若對任意實(shí)數(shù)x，不等式f（4sin2x+cosx﹣3）+f（m）＜0恒成立，則
【解答】解：對于A、B，函數(shù)是奇函數(shù)，
所以有f（﹣x）+f（x）＝0，
即，
所以有1+x2﹣a2x2＝1，
所以a2＝1，解得a＝±1．
當(dāng)a＝1時，有，此時，不滿足題意；
當(dāng)a＝﹣1時，有，此時，滿足題意，故A正確，B錯誤；
對于C項(xiàng)，，定義域?yàn)镽．
當(dāng)x≥0時，在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
而f（x）為奇函數(shù)，故f（x）在R上單調(diào)遞增．故C正確；
對于D項(xiàng)，結(jié)合C項(xiàng)可知，在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，
由f（4sin2x+cosx﹣3）+f（m）＜0可得，f（4sin2x+cosx﹣3）＜﹣f（m）＝f（﹣m），
有4sin2x+cosx﹣3＜﹣m恒成立，
有在R上恒成立．
易知，當(dāng)時，取得最小值為．
要使在R上恒成立，
所以.故D正確．
故選：ACD．
三．填空題（共3小題）
12．（2025 武進(jìn)區(qū)校級一模）若在[﹣1，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　 ．
【解答】解：題意等價于f′（x）≤0在[﹣1，+∞）上恒成立，
所以在[﹣1，+∞）上恒成立，
所以在[﹣1，+∞）上恒成立，令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝0時等號成立，所以，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故答案為：．
13．（2016秋 如東縣校級月考）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為　　 ．
【解答】解：由kπxkπ，k∈Z，
得kπxkπ，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
故答案為：．
14．（2025春 姑蘇區(qū)月考）已知奇函數(shù)f（x）的一個周期為2，當(dāng)x∈（0，1）時，，則f（7.5）＝　　 ．
【解答】解：根據(jù)題意，奇函數(shù)f（x）的一個周期為2，
則f（7.5）＝f（﹣0.5+8）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5），
又由當(dāng)x∈（0，1）時，，則f（0.5）＝cos，
故f（7.5）；
故答案為：．
四．解答題（共5小題）
15．（2025春 常州期中）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣x﹣1，g（x）＝alnx﹣x．
（Ⅰ）若h（x）＝f（x）﹣g（x）在[1，2]單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，若對任意的，總存在，使得f（x1）≤g（x2），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣x﹣1﹣alnx+x＝ex﹣alnx﹣1，
求導(dǎo)得，
由h（x）在[1，2]單調(diào)遞增，得h'（x）≥0在[1，2]上恒成立，
即xex≥a在[1，2]上恒成立，
因此a≤（xex）min，x∈[1，2]，
設(shè)H（x）＝xex，x∈[1，2]，
則H'（x）＝ex+xex＝（x+1）ex＞0，
所以H（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，
所以H（x）min＝H（1）＝e，
即a≤e，
所以a的取值范圍為（﹣∞，e]．
（Ⅱ）若對任意的，總存在，使得f（x1）≤g（x2），
則當(dāng)時，f（x）max≤g（x）max，
當(dāng)時，f'（x）＝ex﹣1＞0，
即f（x）在上單調(diào)遞增，
所以f（x）max＝f（1）＝e﹣2，
又函數(shù)g（x）＝alnx﹣x，a＜0，，
求導(dǎo)得g'（x），
由于a＜0，所以g'（x）＜0，
所以函數(shù)g（x）在[上單調(diào)遞減，
則g（x）max，
因此，
解得，
所以a的取值范圍為（﹣∞，2﹣e]．
16．（2025 江蘇校級三模）已知函數(shù)f（x）＝ax+ka﹣x（a＞0，且a≠1）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若，不等式f（﹣lnt）+f（ln（t2﹣6））＜0恒成立，求t的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝ax+ka﹣x的定義域?yàn)镽，且f（﹣x）＝a﹣x+kax，
當(dāng)f（﹣x）＝﹣f（x）時，ax+ka﹣x＝﹣（a﹣x+kax），即（1+k）（ax﹣a﹣x）＝0恒成立，
所以1+k＝0，即k＝﹣1，此時f（x）＝ax﹣a﹣x，經(jīng)檢驗(yàn)f（x）是R上的奇函數(shù)；
當(dāng)f（﹣x）＝f（x）時，ax+ka﹣x＝a﹣x+kax，即（1﹣k）（ax﹣a﹣x）＝0恒成立，
所以1﹣k＝0，即k＝1，此時f（x）＝ax+a﹣x，經(jīng)檢驗(yàn)f（x）是R上的偶函數(shù)；
當(dāng)k≠﹣1且k≠1時，f（﹣x）≠±f（x），此時f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
綜上，當(dāng)k＝1時，f（x）是R上的偶函數(shù)；當(dāng)
k＝﹣1時，f（x）是R上的奇函數(shù)；
當(dāng)k≠﹣1且k≠1時，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）＝ax+ka﹣x，由，得，而a＞0，a≠1，
所以a＝2，k＝﹣1，則f（x）＝2x﹣2﹣x是R上的奇函數(shù)且是R上的增函數(shù)，
不等式f（﹣lnt）+f（ln（t2﹣6））＜0 f（ln（t2﹣6））＜﹣f（﹣lnt）＝f（lnt），
即ln（t2﹣6）＜lnt，則0＜t2﹣6＜t，
解t2﹣6＞0，得或；
解t2﹣6＜t，即t2﹣t﹣6＜0，得﹣2＜t＜3．于是，
所以t的取值范圍是{t|}．
17．（2025春 高郵市期中）已知函數(shù)f（x）＝sinx﹣xcosx+ax，x∈（0，π）．
（1）若a＝0，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＝﹣1，證明：f（x）在（0，π）上有且只有一個零點(diǎn)．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝0時，f（x）＝sinx﹣xcosx，f'（x），
所以在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2）因?yàn)閤∈（0，π），且f（0）＝0，由f（x）＝sinx﹣xcosx+ax，
得f'（x）＝xsinx+a，當(dāng)a≥0時，f′（x）＝xsinx+a≥0，在（0，π）上恒成立，
所以f（x）單調(diào)遞增，f（x）＞f（0）＝0恒成立，當(dāng)a＜0時，f'（0）＝a＜0，
又因?yàn)?＜sinx≤1，所以f'（x）＝xsinx+a≤x+a，則在（0，﹣a）上，f'（x）＝xsinx+a≤x+a＜0，
記I＝（0，π）∩（0，﹣a），則x∈I時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
f（x）＜f（0）＝0，與f（x）＞0恒成立不符，
綜上所述，f（x）＞0恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，+∞）．
（3）證明：當(dāng)a＝﹣1時，f（x）＝sinx﹣xcosx﹣x，令F（x）＝sinx﹣x，
則F（0）＝0，F(xiàn)'（x）＝cosx﹣1，當(dāng)時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
所以在上，sinx﹣x＜0，xcosx＞0，易得f（x）＜0，f（x），在上沒有零點(diǎn)，
故只需證明在上有且只有一個零點(diǎn)，令g（x）＝f′（x）＝xsinx﹣1，
h（x）＝g'（x）＝sinx+xcosx，在（，π）上h'（x）＝2cosx﹣xsinx＜0，h（x）單調(diào)遞減，
h，所以存在，
使得h（x1）＝0，在上h（x）＞0，在（x1，π）上，h（x）＜0；
因此g（x）在上單調(diào)遞增，在（x1，π）上單調(diào)遞減，
，g（π）＝﹣1；所以存在x2∈（x1，π），
使得g（x2）＝0，在上，g（x）＞0，在（x2，π）上，g（x）＜0；
故f（x）在上單調(diào)遞增，在（x2，π）上單調(diào)遞減，
且，f（x2）＞f（π）＝0，所以在區(qū)間，
存在唯一的x0，使得f（x0）＝0在（x2，π）上沒有零點(diǎn)，
綜上所述，a＝﹣1時，函數(shù)f（x）在（0，π）上有且只有一個零點(diǎn)．
18．（2025春 如皋市校級月考）對于函數(shù)h（x）＝asinx+bcosx，稱向量為函數(shù)h（x）的相伴特征向量，同時稱函數(shù)h（x）為向量O，的相伴函數(shù)．
（1）設(shè)函數(shù)．試求函數(shù)g（x）的相伴特征向量的坐標(biāo)；
（2）記向數(shù)的相伴函數(shù)為f（x）．
（i）當(dāng)時，求sinx的值；
（ii）當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【解答】解：（1）∵，
∴由題可知：函數(shù)g（x）的相伴特征向量的坐標(biāo)．
（2）由題可知：向量的相伴函數(shù)．
（i）∵，∴，即．
∵，∴，∴．
∴；
（ii）當(dāng)時，不等式可化為，即恒成立．
∵，∴．
∵，∴，∴；
當(dāng)，即時，，，
不等式恒成立；
當(dāng)，即時，，∴恒成立，
∴；
當(dāng)，即時，，
∴恒成立，∴．
∵，∴，∴．
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為．
19．（2025春 蘇州校級月考）已知函數(shù)為奇函數(shù)．且f（x）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為．
（1）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)g（x）的值域．
（2）設(shè)h（x）＝f（x）+sinx+cosx，若h（x）≤c恒成立，求實(shí)數(shù)c的最小值．
【解答】解：（1）因?yàn)?br/>，
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，
所以，
解得，
又0＜φ＜π，所以，
因?yàn)閒（x）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，
即，
所以f（x）的最小正周期為π，
所以，解得ω＝2，
所以f（x）＝2sin2x，
函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度，得y＝2sin2（x）＝2sin（2x），
再將y＝2sin（2x）的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得y＝2sin（4x），
即，
當(dāng)時，，
則，
所以g（x）的值域?yàn)椋?br/>（2）因?yàn)閔（x）＝f（x）+sinx+cosx
＝2sin2x+sinx+cosx
＝2（sinx+cosx）2+（sinx+cosx）﹣2，
令，
則，
所以當(dāng)時，h（x）取得最大值，最大值為，
因?yàn)閔（x）≤c恒成立，所以，
所以c的最小值為．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑