資源簡介

專題提升練3　動態平衡問題　平衡中的臨界和極值問題
　梯級Ⅰ基礎練
1.L形支架AOB表面光滑，輕彈簧一端固定在支架OA上，另一端連接物塊C，現將支架平放在桌面上，讓其繞O點逆時針方向緩慢旋轉至OB豎直，如圖所示，在轉動過程中(　　)
A.物塊C對OB的壓力逐漸減小
B.物塊C對OB的壓力先增大后減小
C.彈簧的彈力逐漸減小
D.彈簧的長度先減小后增大
2.(2025·南陽模擬)如圖所示，在豎直光滑墻壁和光滑擋板之間放置一個光滑的球，擋板可繞O點在豎直平面內轉動。開始時該系統處于靜止狀態，現將擋板沿順時針方向緩慢轉動，在擋板轉到水平的過程中，下列說法正確的是(　　)
A.球受到墻壁的彈力逐漸增大
B.球受到墻壁的彈力逐漸減小
C.球受到的合外力逐漸增大
D.球受到的合外力逐漸減小
3.如圖所示，質量M=1 kg的斜劈放置在水平地面上，將質量m=1 kg的物塊放置在斜劈上，并在物塊上施加垂直于斜劈斜面的力F，使物塊和斜劈均處于靜止狀態。已知斜劈的傾角為37°，斜劈與木塊、地面間的動摩擦因數均為0.5，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。則力F的大小范圍為(　　)
A.4 N≤F≤50 N B.4 N≤F≤25 N
C.2 N≤F≤50 N D.2 N≤F≤25 N
4.(2025·保定模擬)筷子是中華飲食文化的標志之一，我國著名物理學家李政道曾夸贊說:“筷子如此簡單的兩根木頭，卻精妙絕倫地應用了物理學杠桿原理。”如圖所示，用筷子夾住質量為m的小球，兩根筷子均在豎直平面內，且小球靜止，筷子和豎直方向的夾角均為θ。已知小球與筷子之間的動摩擦因數為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
A.小球受到3個力作用
B.當θ增大時，筷子對小球的作用力增大
C.當θ減小時，筷子對小球的作用力增大
D.筷子對小球的最小壓力是
5.(2025·濟南模擬)如圖所示，傾角為θ的斜面體c置于水平地面上，小物塊b置于斜面上，通過細繩跨過光滑的定滑輪與沙漏a連接，連接b的一段細繩與斜面平行。在a中的沙子緩慢流出的過程中，a、b、c都處于靜止狀態，則(　　)
A.b對c的壓力可能減小
B.b對c的摩擦力可能增大
C.地面對c的摩擦力可能增大
D.地面對c的支持力可能減小
6.(2025·宜春模擬)如圖所示，截面為四分之一圓的柱體放在墻腳，一個小球用細線拉著靜止在光滑圓弧面上，細線的懸點在豎直墻面上A點，保持細線伸直長度不變，小球大小不計，將懸點沿豎直墻面緩慢向上移，在小球沿圓弧面向上緩慢移動過程中，下列說法正確的是(　　)
A.細線的拉力大小不變
B.細線的拉力減小
C.圓弧面對小球的支持力大小不變
D.圓弧面對小球的支持力增大
7.(2025·成都模擬)如圖所示，垂直墻角有一個截面為半圓的光滑柱體，用細線拉住的小球靜止靠在接近半圓底端的M點。通過細線將小球從M點緩慢向上拉至半圓最高點的過程中，細線始終保持在小球處與半圓相切。小球的質量為m，當地重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A.細線對小球的拉力先增大后減小
B.小球對柱體的壓力先減小后增大
C.柱體對豎直墻面的壓力最大值為0.5mg
D.柱體對豎直墻面的壓力最大值為mg
8.(多選)如圖所示，物體的質量為2 kg，兩根輕細繩AB和AC的一端固定于豎直墻上，另一端系于物體上(∠BAC=θ=60°)，在物體上另施加一個方向與水平線也成θ角的拉力F，若要使繩都能伸直，下列F中不可能的是(取g=10 m/s2)(　　)
A.4 N B.8 N
C.12 N D.16 N
梯級Ⅱ能力練
9.(多選)(2025·廣州模擬)圖甲是工人把貨物運送到房屋頂端的場景，簡化圖如圖乙所示，繩子跨過定滑輪拉動貨物，沿傾角為θ的玻璃棚緩慢向上移動，忽略貨物所受摩擦阻力，下列說法正確的是(　　)
A.貨物對玻璃棚的壓力越來越小
B.貨物對玻璃棚的壓力越來越大
C.繩子的拉力越來越大
D.繩子的拉力先減小后增大
10.(多選)(2025·陽江模擬)如圖所示，粗糙斜面體C上有一個物塊A通過輕繩跨過固定在斜面頂端的光滑定滑輪與質量為m的物塊B相連，且均處于靜止狀態，現給物塊B施加一個與O、B間輕繩夾角始終為θ=120°的拉力F，讓O、B間輕繩緩慢從豎直變成水平，此過程中物塊A和斜面體C始終靜止，則在此過程中，下列說法正確的是(　　)
A.繩子中的拉力T一直變大
B.拉力F的最大值為mg
C.斜面體C受地面的摩擦力一直減小
D.物塊A受到的摩擦力可能先增大后減小
11.如圖所示，左右兩根豎直桿之間有一段光滑的輕繩，輕繩兩端分別固定在桿的A點和B點，輕繩上有一個光滑掛鉤，掛鉤下面掛了一物塊。保持左側桿和A點的位置不變，下列說法正確的是(　　)
A.右側桿不動，B點移到B2位置時，繩子張力變小
B.右側桿不動，B點移到B1位置時，繩子張力變大
C.B點不動，將右側桿移到虛線位置C時，繩子張力不變
D.B點不動，將右側桿移到虛線位置D時，繩子張力變大
梯級Ⅲ創新練
12.消毒碗柜的金屬碗架可以將碗豎直放置于兩條金屬桿之間，如圖甲所示。取某個碗的正視圖如圖乙所示，其中a、b分別為兩光滑水平金屬桿，下列說法正確的是(　　)
A.若減小a、b間距，碗仍保持豎直靜止，碗的合力減小
B.若減小a、b間距，碗仍保持豎直靜止，a桿受到的彈力不變
C.若將質量相同、半徑更大的碗豎直放置于a、b桿之間，碗受到桿的作用力變小
D.若將質量相同、半徑更大的碗豎直放置于a、b桿之間，碗受到桿的作用力不變
專題提升練3　動態平衡問題平衡中的臨界和極值問題
1.A　解析　物塊隨OB緩慢轉過一個小角度,其受力分析如圖所示,支持力FN=mgcos θ,θ增大,支持力FN減小,根據牛頓第三定律可得,物塊C對OB的壓力逐漸減小,A項正確,B項錯誤;彈簧彈力F=mgsin θ,由于緩慢移動,則物體處于靜止狀態,θ增大,則彈力增大,彈簧處于壓縮狀態,則彈簧長度減小,C、D兩項錯誤。
2.B　解析　對球受力分析,受重力mg、墻壁的彈力F1、擋板的支持力F2,如圖所示,擋板沿順時針方向緩慢轉動,在擋板轉到水平的過程中,球受力平衡,由力的平衡條件可知球受到墻壁的彈力逐漸減小,球受到的合外力不變,始終為零,B項正確。
3.A　解析　對物塊受力分析如圖甲所示,則有μ(F+mgcos 37°)≥mgsin 37°,解得F≥4 N;將物塊與斜劈視為整體,其受力分析如圖乙所示,則有Fsin 37°≤μ[Fcos 37°+(M+m)g],解得F≤50 N,A項正確。
甲　　乙
4.D　解析　小球受到重力,兩根筷子的壓力,兩根筷子的摩擦力,共5個力作用,A項錯誤;無論θ增大還是減小,只要小球不掉下來,筷子對小球的作用力,一定與重力等大反向,B、C兩項錯誤;小球的受力如圖所示,筷子對小球的壓力最小時,小球受到的摩擦力等于最大靜摩擦力,由平衡條件得,mg+2Fminsin θ=2Ffcos θ,Ff=μFmin,由兩式解得Fmin=,D項正確。
5.B　解析　對a與沙子受力分析,受重力、繩的拉力兩個力的作用,兩個力的合力一直為零,沙子緩慢流出的過程中,a與沙子的總重力減小,可知繩的拉力T減小,對b進行受力分析,c對b的支持力為FN=mbgcos θ,由牛頓第三定律可知b對c的壓力保持不變,A項錯誤;若開始時繩子拉力小于物塊b的重力沿斜面向下的分力,則c對b的摩擦力方向平行斜面向上,根據受力平衡可得mbgsin θ=f+T,當拉力T減小時,c對b的摩擦力增大,根據牛頓第三定律可知b對c的摩擦力也增大,B項正確;以b、c為整體作為研究對象,受力分析如圖所示,根據受力平衡可得f地=Tcos θ,FN地=(mb+mc)g-Tsin θ,在a中的沙子緩慢流出的過程中,繩子拉力T減小,所以地面對c的摩擦力減小,地面對c的支持力增大,C、D兩項錯誤。
6.B　解析　設懸點到水平面的距離為h,圓的半徑為R,細線長為L,小球重力為mg,支持力為FN,細線拉力為F,如圖,根據相似三角形法有==,隨著h增大,F減小,FN減小,B項正確。
7.C　解析　設小球與柱體圓心連線跟水平方向的夾角為θ,以小球為對象,小球受到重力、支持力和拉力,如圖所示,根據平衡條件可得F=mgcos θ,FN=mgsin θ,細線將小球從M點緩慢向上拉至半圓最高點的過程中θ增大,所以細線對小球的拉力減小,柱體對小球的支持力增大,根據牛頓第三定律可得小球對柱體的壓力增大,A、B兩項錯誤;以柱體為對象,根據平衡條件可得豎直墻面對柱體的壓力F墻=FNcos θ=mgsin θ·cos θ=mgsin 2θ,當θ=45°時,墻面對柱體的壓力最大,為F墻=0.5mg,根據牛頓第三定律可得柱體對豎直墻面的壓力最大值為0.5mg,C項正確,D項錯誤。
8.AD　解析　對物體進行受力分析,如圖,根據平衡條件有FBsin θ+Fsin θ=mg,FBcos θ+FC=Fcos θ,解得FB=-F,FC=2Fcos θ-,要使繩都能伸直,則FB和FC均大于零,則求得9.AC　解析　對貨物受力分析,如圖所示,貨物緩慢向上移動,則拉力方向與豎直方向上的夾角減小,由圖可知,繩子的拉力越來越大,同時,玻璃棚對貨物的支持力變小,則貨物對玻璃棚的壓力越來越小,A、C兩項正確。
10.BD　解析　讓O、B間輕繩緩慢從豎直變成水平,且保持拉力F與O、B間輕繩夾角始終為θ=120°,以物體B為對象,根據受力平衡,結合三角形定則,畫出如圖所示的輔助圓,由圖可知,繩子中的拉力T先增大后減小;拉力F一直增大,當O、B間輕繩變成水平時,拉力最大,則有Fmax==mg,A項錯誤,B項正確;以A、B、C為整體,根據受力平衡可知,斜面體C受地面的摩擦力大小等于拉力F的水平分力,則有f地=Fx,由輔助圓可以看出拉力F的水平分力先增大后減小,則斜面體C受地面的摩擦力先增大后減小,C項錯誤;由于不清楚斜面體C傾角β的具體值,所以可能存在繩子拉力一直大于物塊A的重力沿斜面向下的分力,則對于物塊A,沿斜面方向有T=mAgsin β+fA,由于繩子中的拉力T先增大后減小,則物塊A受到的摩擦力先增大后減小,D項正確。
11.D　解析　對掛鉤O處受力分析,設物塊的質量為m,如圖所示,設繩子總長為L,兩桿的距離為d,繩B端不動時,設AO、OB兩段繩子張力的合力與繩子的夾角為θ,繩B端從B移到B2,AO'、O'B2兩段繩子張力的合力與繩子的夾角為α,則有AOsin θ+OBsin θ=AO'sin α+O'B2sin α=d,又有AO+OB=AO'+O'B2=L,可得θ=α,即B端從B移到B2或B1,繩子與桿的夾角不變,由力的平衡條件可得2Tcos θ=mg,T=,繩子的張力不變,A、B兩項錯誤;B點不動,將右側桿移到虛線位置C時,繩子的夾角θ變小,則繩子的張力T變小,反之將右側桿移到虛線位置D時,繩子的夾角θ變大,繩子張力T變大,C項錯誤,D項正確。
12.D　解析　若減小a、b間距,碗仍保持豎直靜止,碗的合力仍為零,合力不變,A項錯誤;對碗受力分析如圖所示,設b點對碗的彈力F2與豎直方向的夾角為θ,則F1=Gtan θ,F2=,若減小a、b間距,則θ減小,F1減小,由牛頓第三定律知,a桿受到的彈力減小,B項錯誤;桿對碗的作用力與碗的重力等大反向,則將質量相同、半徑更大的碗豎直放置于a、b桿之間,則碗受到桿的作用力不變,總等于重力,C項錯誤,D項正確。(共33張PPT)
專題提升練3
動態平衡問題　平衡中的臨界
和極值問題
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1.L形支架AOB表面光滑，輕彈簧一端固定在支架OA上，另一端連接物塊C，現將支架平放在桌面上，讓其繞O點逆時針方向緩慢旋轉至OB豎直，如圖所示，在轉動過程中( )
A.物塊C對OB的壓力逐漸減小
B.物塊C對OB的壓力先增大后減小
C.彈簧的彈力逐漸減小
D.彈簧的長度先減小后增大
梯級Ⅰ 基礎練
物塊隨OB緩慢轉過一個小角度，其受力分析如圖所示，支持力FN=mgcos θ，θ增大，支持力FN減小，根據牛頓第三定律可得，物塊C對OB的壓力逐漸減小，A項正確，B項錯誤；彈簧彈力F=mgsin θ，由于緩慢移動，則物體處于靜止狀態，θ增大，則彈力增大，彈簧處于壓縮狀態，則彈簧長度減小，C、D兩項錯誤。
解析
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2.(2025·南陽模擬)如圖所示，在豎直光滑墻壁和光滑擋板之間放置一個光滑的球，擋板可繞O點在豎直平面內轉動。開始時該系統處于靜止狀態，現將擋板沿順時針方向緩慢轉動，在擋板轉到水平的過程中，下列說法正確的是( )
A.球受到墻壁的彈力逐漸增大
B.球受到墻壁的彈力逐漸減小
C.球受到的合外力逐漸增大
D.球受到的合外力逐漸減小
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對球受力分析，受重力mg、墻壁的彈力F1、擋板的支持力F2，如圖所示，擋板沿順時針方向緩慢轉動，在擋板轉到水平的過程中，球受力平衡，由力的平衡條件可知球受到墻壁的彈力逐漸減小，球受到的合外力不變，始終為零，B項正確。
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3.如圖所示，質量M=1 kg的斜劈放置在水平地面上，將質量m=1 kg的物塊放置在斜劈上，并在物塊上施加垂直于斜劈斜面的力F，使物塊和斜劈均處于靜止狀態。已知斜劈的傾角為37°，斜劈與木塊、地面間的動摩擦因數均為0.5，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。則力F的大小范圍為( )
A.4 N≤F≤50 N B.4 N≤F≤25 N
C.2 N≤F≤50 N D.2 N≤F≤25 N
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對物塊受力分析如圖甲所示，則有μ(F+mgcos 37°)≥mgsin 37°，解得F≥4 N；將物塊與斜劈視為整體，其受力分析如圖乙所示，則有Fsin 37° ≤μ[Fcos 37°+(M+m)g]，解得F≤ 50 N，A項正確。
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4.(2025·保定模擬)筷子是中華飲食文化的標志之一，我國著名物理學家李政道曾夸贊說：“筷子如此簡單的兩根木頭，卻精妙絕倫地應用了物理學杠桿原理。”如圖所示，用筷子夾住質量為m的小球，兩根筷子均在豎直平面內，且小球靜止，筷子和豎直方向的夾角均為 θ。已知小球與筷子之間的動摩擦因數為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g。下列說法正確的是( )
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A.小球受到3個力作用
B.當θ增大時，筷子對小球的作用力增大
C.當θ減小時，筷子對小球的作用力增大
D.筷子對小球的最小壓力是
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小球受到重力，兩根筷子的壓力，兩根筷子的摩擦力，共5個力作用，A項錯誤；無論θ增大還是減小，只要小球不掉下來，筷子對小球的作用 力，一定與重力等大反向，B、C兩項錯誤；小球的受力如圖所示，筷子對小球的壓力最小時，小球受到的摩擦力
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等于最大靜摩擦力，由平衡條件得，mg+2Fminsin θ=2Ffcos θ，Ff=
μFmin，由兩式解得Fmin=，D項正確。
5.(2025·濟南模擬)如圖所示，傾角為θ的斜面體c置于水平地面上，小物塊b置于斜面上，通過細繩跨過光滑的定滑輪與沙漏a連接，連接b的一段細繩與斜面平行。在a中的沙子緩慢流出的過程中，a、b、c都處于靜止狀態，則( )
A.b對c的壓力可能減小
B.b對c的摩擦力可能增大
C.地面對c的摩擦力可能增大
D.地面對c的支持力可能減小
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對a與沙子受力分析，受重力、繩的拉力兩個力的作用，兩個力的合力一直為零，沙子緩慢流出的過程中，a與沙子的總重力減小，可知繩的拉力T減小，對b進行受力分析，c對b的支持力為FN=mbgcos θ，由牛頓第三定律可知b對c的壓力保持不變，A項錯誤；若開始時繩子拉力小于物塊b的重力沿斜面向下的分力，則c對b的摩擦力方向平行斜面向上，根據受力平衡可得mbgsin θ=f+ T，當拉力T減小時，c對b的摩擦力增大，根據牛頓第三定律可知b
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對c的摩擦力也增大，B項正確；以b、c為整體作為研究對象，受力分析如圖所示，根據受力平衡可得f地=Tcos θ，FN地=(mb+ mc)g-Tsin θ，在a中的沙子緩慢流出的過程中，繩子拉力T減小，所以地面對c的摩擦力減小，地面對c的支持力增大，C、D兩項錯誤。
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6.(2025·宜春模擬)如圖所示，截面為四分之一圓的柱體放在墻腳，一個小球用細線拉著靜止在光滑圓弧面上，細線的懸點在豎直墻面上A點，保持細線伸直長度不變，小球大小不計，將懸點沿豎直墻面緩慢向上移，在小球沿圓弧面向上緩慢移動過程中，下列說法正確的是( )
A.細線的拉力大小不變
B.細線的拉力減小
C.圓弧面對小球的支持力大小不變
D.圓弧面對小球的支持力增大
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設懸點到水平面的距離為h，圓的半徑為R，細線長為L，小球重力為mg，支持力為FN，細線拉力為F，如圖，根據相似三角形法有==，隨著h增大，F減小，FN減小，B項正確。
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7.(2025·成都模擬)如圖所示，垂直墻角有一個截面為半圓的光滑柱體，用細線拉住的小球靜止靠在接近半圓底端的M點。通過細線將小球從M點緩慢向上拉至半圓最高點的過程中，細線始終保持在小球處與半圓相切。小球的質量為m，當地重力加速度為g，下列說法正確的是( )
A.細線對小球的拉力先增大后減小
B.小球對柱體的壓力先減小后增大
C.柱體對豎直墻面的壓力最大值為0.5mg
D.柱體對豎直墻面的壓力最大值為mg
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設小球與柱體圓心連線跟水平方向的夾角為θ，以小球為對象，小球受到重力、支持力和拉力，如圖所示，根據平衡條件可得F=mgcos θ，FN=mgsin θ，細線將小球從M點緩慢向上拉至半圓最高點的過程中θ增大，所以細線對小球的拉力減小，柱體對小球的支持力增大，根據牛頓第三定律可得小球對柱體的壓力增大， A、B兩項錯誤；以柱體為對象，根據平衡條件可得豎直墻面對柱
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體的壓力F墻=FNcos θ=mgsin θ·cos θ=mgsin 2θ，當θ=45°時，墻面對柱體的壓力最大，為F墻=0.5mg，根據牛頓第三定律可得柱體對豎直墻面的壓力最大值為0.5mg，C項正確，D項錯誤。
解析
8.(多選)如圖所示，物體的質量為2 kg，兩根輕細繩AB和AC的一端固定于豎直墻上，另一端系于物體上(∠BAC=θ=60°)，在物體上另施加一個方向與水平線也成θ角的拉力F，若要使繩都能伸直，下列F中不可能的是(取g= 10 m/s2)( )
A.4 N B.8 N
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對物體進行受力分析，如圖，根據平衡條件有FBsin θ+Fsin θ=mg，FBcos θ+FC=Fcos θ，解得FB=-F，FC=2Fcos θ-，要使繩都能伸直，則FB和FC均大于零，則求得解析
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A.貨物對玻璃棚的壓力越來越小
B.貨物對玻璃棚的壓力越來越大
C.繩子的拉力越來越大
D.繩子的拉力先減小后增大
對貨物受力分析，如圖所示，貨物緩慢向上移動，則拉力方向與豎直方向上的夾角減小，由圖可知，繩子的拉力越來越大，同時，玻璃棚對貨物的支持力變小，則貨物對玻璃棚的壓力越來越小，A、C兩項正確。
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10.(多選)(2025·陽江模擬)如圖所示，粗糙斜面體C上有一個物塊A通過輕繩跨過固定在斜面頂端的光滑定滑輪與質量為m的物塊B相連，且均處于靜止狀態，現給物塊B施加一個與O、B間輕繩夾角始終為θ=120°的拉力F，讓O、B間輕繩緩慢從豎直變成水平，此過程中物塊A和斜面體C始終靜止，則在此過程中，下列說法正確的是( )
A.繩子中的拉力T一直變大
B.拉力F的最大值為mg
C.斜面體C受地面的摩擦力一直減小
D.物塊A受到的摩擦力可能先增大后減小
讓O、B間輕繩緩慢從豎直變成水平，且保持拉力F與O、B間輕繩夾角始終為θ=120°，以物體B為對象，根據受力平衡，結合三角形定則，畫出如圖所示的輔助圓，由圖可知，繩子中的拉力T先增大后減小；拉力F一直增大，當O、B間輕繩變成水平時，拉力最大，則有Fmax==mg，A項錯誤，B項正確；以A、B、C為整體，根據受力平衡可知，斜面體C受地面的摩擦力大小等于拉力F的水平分力，則有f地=Fx，由輔助圓可以看出拉力F的水平分
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力先增大后減小，則斜面體C受地面的摩擦力先增大后減小，C項錯誤；由于不清楚斜面體C傾角β的具體值，所以可能存在繩子拉力一直大于物塊A的重力沿斜面向下的分力，則對于物塊A，沿斜面方向有T=mAgsin β+fA，由于繩子中的拉力T先增大后減小，則物塊A受到的摩擦力先增大后減小，D項正確。
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11.如圖所示，左右兩根豎直桿之間有一段光滑的輕繩，輕繩兩端分別固定在桿的A點和B點，輕繩上有一個光滑掛鉤，掛鉤下面掛了一物塊。保持左側桿和A點的位置不變，下列說法正確的是( )
A.右側桿不動，B點移到B2位置時，繩子張力變小
B.右側桿不動，B點移到B1位置時，繩子張力變大
C.B點不動，將右側桿移到虛線位置C時，繩子張力不變
D.B點不動，將右側桿移到虛線位置D時，繩子張力變大
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對掛鉤O處受力分析，設物塊的質量為m，如圖所示，設繩子總長為L，兩桿的距離為d，繩B端不動時，設AO、OB兩段繩子張力的合力與繩子的夾角為θ，繩B端從B移到B2，AO'、O'B2兩段繩子張力的合力與繩子的夾角為α，則有AOsin θ+OBsin θ=AO'sin α +O'B2sin α=d，又有AO+OB=AO'+O'B2=L，可得θ=α，即B端從B移到B2或B1，繩子與桿的夾角不變，由力的平衡條件可得2Tcos θ =mg，T=，繩子的張力不變，A、B兩項錯誤；B點不動，將
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右側桿移到虛線位置C時，繩子的夾角θ變小，則繩子的張力T變小，反之將右側桿移到虛線位置D時，繩子的夾角θ變大，繩子張力T變大，C項錯誤，D項正確。
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12.消毒碗柜的金屬碗架可以將碗豎直放置于兩條金屬桿之間，如圖甲所示。取某個碗的正視圖如圖乙所示，其中a、b分別為兩光滑水平金屬桿，下列說法正確的是( )
梯級Ⅲ 創新練
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A.若減小a、b間距，碗仍保持豎直靜止，碗的合力減小
B.若減小a、b間距，碗仍保持豎直靜止，a桿受到的彈力不變
C.若將質量相同、半徑更大的碗豎直放置于a、b桿之間，碗受到桿的作用力變小
D.若將質量相同、半徑更大的碗豎直放置于a、b桿之間，碗受到桿的作用力不變
若減小a、b間距，碗仍保持豎直靜止，碗的合力仍為零，合力不變，A項錯誤；對碗受力分析如圖所示，設b點對碗的彈力F2與豎直方向的夾角為θ，則F1=Gtan θ，F2=，若減小a、b間距，則θ減小，F1減小，由牛頓第三定律知，a桿受到的彈力減小，B項錯誤；桿對碗的作用力與碗的重力等大反向，則將質量相同、半徑
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更大的碗豎直放置于a、b桿之間，則碗受到桿的作用力不變，總等于重力，C項錯誤，D項正確。
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4專題提升三　動態平衡問題　平衡中的臨界和極值問題
題型1　動態平衡問題
1.動態平衡:通過控制某些物理量,使物體的狀態發生緩慢的變化,在變化過程中每一個狀態可視為平衡狀態,在問題的描述中常用“緩慢”等語言敘述。
2.基本思路:化“動”為“靜”,“靜”中求“動”。
考向1　解析法
對研究對象進行受力分析,先畫出受力示意圖,再根據物體的平衡條件,應用正交分解法列方程,得到因變量與自變量的關系表達式(通常要用到三角函數),最后根據自變量的變化確定因變量的變化。
【典例1】　
(多選)如圖所示,木塊甲在光滑的水平面上,質量為m的球乙置于木塊與光滑豎直墻壁之間,在水平向左的推力F作用下,系統處于靜止狀態。其中O點為乙的球心,A點為甲、乙之間的接觸點,OA與豎直方向的夾角為30°,取重力加速度大小為g。則(　　)
A.推力F的大小為mg
B.木塊甲對球乙的支持力大小為mg
C.若木塊甲左移少許,系統仍靜止,墻壁對球乙的支持力變小
D.若木塊甲左移少許,系統仍靜止,地面對木塊甲的支持力變大
考向2　圖解法
　此法常用于求解三力平衡且有一個力是恒力、另有一個力方向不變的問題。一般按照以下流程解題。
【典例2】　
(多選)如圖所示, 不可伸長的懸線MO繩下端掛一質量為m的物體, 在拉力F作用下物體靜止, 此時懸線與豎直方向的夾角為α。現保持夾角α不變, 拉力F緩慢地由水平位置逆時針轉到豎直位置的過程中 (重力加速度為g)(　　)
A.F逐漸減小, OM繩拉力逐漸減小
B.F先減小后增大, OM繩拉力逐漸減小
C.若F的方向水平向右,則F=mgtan α
D.F的最小值為mgsin α
考向3　相似三角形法
　在三力平衡問題中,如果有一個力是恒力,另外兩個力方向都變化,且題目給出了空間幾何關系,多數情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似,可利用相似三角形對應邊成比例進行計算。
【典例3】　
如圖所示是一個簡易起吊設施的示意圖,AC是質量不計的撐桿,A端與豎直墻之間用鉸鏈連接,一滑輪固定在A點正上方,C端吊一重物。現施加一拉力F將重物P緩慢向上拉,在AC桿達到豎直狀態前(　　)
A.BC繩中的拉力FT越來越大
B.BC繩中的拉力FT越來越小
C.AC桿中的支持力FN越來越大
D.AC桿中的支持力FN越來越小
考向4　正弦定理或外接圓法
物體在三個力作用下處于平衡狀態,且其中一個力是恒力,另外兩個力方向均發生變化,但兩者的夾角不變。可用兩種方法分析,一是正弦定理法,作出力的合成圖,在力的矢量三角形中使用正弦定理列方程,根據角度的變化判斷力的變化情況;二是外接圓法,作出力的合成圖后,發現力的矢量三角形中有一條邊和所對的角度是不變的,畫出三角形的外接圓,由線段的長度變化分析力的大小變化。
【典例4】　
如圖所示,內壁光滑的V形容器AOB放在豎直平面內,∠AOB為銳角,貼著內壁放置一個鐵球,現將容器以O點為軸在豎直平面內順時針緩慢旋轉90°,在轉動過程中,∠AOB保持不變,則(　　)
A.球對OA的壓力逐漸增大
B.球對OA的壓力先增大后減小
C.球對OB的壓力先增大后減小
D.球對OB的壓力逐漸增大
題型2　平衡中的臨界和極值問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
臨界、極值問題的特征。
(1)臨界問題:當某物理量變化時,會引起其他幾個物理量的變化,從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”,在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。常見的情形如:①“物體剛好滑動”,指摩擦力達到最大靜摩擦力的臨界狀態;②“繩子恰好繃緊”,指繩子伸直,但拉力F=0的臨界狀態;③“物體剛好離開接觸面”,指兩物體接觸,但彈力FN=0的臨界狀態。
(2)極值問題:平衡中的極值問題,一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。
考向1　數學分析法
通過對問題的分析,依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系(畫出函數圖像),用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值等)。
【典例5】　一個質量為1 kg的物體放在粗糙的水平地面上,今用最小的拉力拉它,使之做勻速運動,已知這個最小拉力為6 N,g=10 m/s2,則下列關于物體與地面間的動摩擦因數μ,最小拉力與水平方向的夾角θ的取值正確的是(　　)
A.μ=,θ=0 B.μ=,tan θ=
C.μ=,tan θ= D.μ=,tan θ=
考向2　物理分析法
根據物體的平衡條件,作出力的矢量圖,通過對物理過程的分析,利用平行四邊形定則進行動態分析,確定最大值與最小值。
【典例6】　
將兩個質量均為m的小球a、b用細線相連后,再用細線懸掛于O點,如圖所示。用力F拉小球b,使兩個小球都處于靜止狀態,且O、a間細線與豎直方向的夾角保持θ=30°,重力加速度為g。則F達到最小值時O、a間細線上的拉力為　(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
考向3　極限分析法
首先要正確地進行受力分析和變化過程分析,找出平衡的臨界點和極值點;臨界條件必須在變化中去尋找,不能停留在一個狀態來研究臨界問題,而要把某個物理量推向極端,即極大和極小。
【典例7】　在吊運表面平整的重型板材(混凝土預制板、厚鋼板)時,如因吊繩無處鉤掛而遇到困難,可用一根鋼絲繩將板攔腰捆起(不必捆的很緊),用兩個吊鉤勾住繩圈長邊的中點起吊(如圖所示),若鋼絲繩與板材之間的動摩擦因數為μ,為了滿足安全起吊(不考慮鋼絲繩斷裂),需要滿足的條件是(已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)(　　)
A.tan α>μ B.tan α<μ
C.sin α>μ D.sin α<μ
專題提升三　動態平衡問題平衡中的臨界和極值問題
題型1
【典例1】　AC　解析　以球乙為研究對象,受力分析如圖(a),根據受力平衡,可得FN1sin 30°=FN2,FN1cos 30°=mg,解得FN1=mg,FN2=mg,對甲受力分析,如圖(b),由牛頓第三定律可知,球乙對木塊甲的壓力大小為FN1'=FN1=mg,由平衡條件得F=FN1'sin 30°=mg,A項正確,B項錯誤;若木塊甲左移少許,OA與豎直方向的夾角會變小,系統仍靜止,有FN2=mgtan θ,墻壁對球乙的支持力變小,C項正確;若木塊甲左移少許,系統仍靜止,整個系統豎直方向受力平衡,地面對木塊甲的支持力仍然等于系統的重力大小,D項錯誤。
圖(a)　圖(b)
【典例2】　BCD　解析　根據題意,以結點O為受力分析點,作出受力分析的矢量三角形,如圖甲所示,可知,保持夾角α不變, 拉力F緩慢地由水平位置逆時針轉到豎直位置的過程中,拉力F先減小后增大,OM繩拉力T逐漸減小,A項錯誤,B項正確;當力F的方向水平向右時,受力分析如圖乙所示,根據幾何關系可得tan α=,解得F=mgtan α,C項正確;當力F垂直于OM繩上的拉力T時,力F有最小值,根據幾何關系可得sin α=,解得Fmin=mgsin α,D項正確。
甲　　乙
【典例3】　B　解析　對C點進行受力分析,如圖甲所示,由平衡條件可知,將三個力按順序首尾相接,可形成如圖乙所示的閉合三角形。三個力組成的三角形與△ABC相似,則==,其中G、AC、AB均不變,BC逐漸減小,則由上式可知,FN不變,FT變小,B項正確。
甲　乙
【典例4】　C　解析　方法一:正弦定理。以球為研究對象,畫出轉動過程任一位置球的受力分析圖,球受重力G、OA面的彈力F1、OB面的彈力F2,F1、F2的合力大小等于重力,方向豎直向上,如圖甲所示,由正弦定理可得==,轉動過程中,α角不變,β角由小于90°增大到大于90°,θ角由90°減小到0,結合上式可判斷,F1逐漸變小, F2先增大后減小,C項正確,A、B、D三項錯誤。
甲　乙
方法二:外接圓法。畫出球的受力分析圖,F1、F2的合力大小等于重力,方向豎直向上,如圖乙所示。作矢量三角形的外接圓,重力G不變,α角不變,由示意圖知,容器順時針緩慢旋轉90°的過程中,F1逐漸變小, F2先增加后減小,C項正確,A、B、D三項錯誤。
題型2
【典例5】　B　解析　受力分析如圖所示,因為物體處于平衡狀態,水平方向有Fcos α=μFN,豎直方向有Fsin α+FN=mg,聯立可解得F==,tan φ=,當α+φ=90°時,sin(α+φ)=1,F有最小值Fmin=,代入數值得μ=,此時α=θ,tan θ=tan α=,B項正確。
【典例6】　A　解析　以兩個小球組成的整體為研究對象,分析受力,作出F在三個方向時整體的受力圖,根據平衡條件知,F與FT的合力與重力2mg總是大小相等、方向相反,由力的合成圖可知,當F與O、a間細繩垂直時,F有最小值,即圖中2位置,根據平衡條件得F=2mgsin 30°=mg,FT=2mgcos 30°=mg,A項正確。
【典例7】　B　解析　要起吊重物,只需滿足繩子張力T的豎直分量小于鋼絲繩與板材之間的最大靜摩擦力,如圖所示,已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,則有μTcos α>Tsin α,化簡可得tan α<μ,B項正確,A、C、D三項錯誤。(共30張PPT)
專題提升三
第二章 相互作用——力
動態平衡問題　平衡中的臨界和極值問題
題型1　動態平衡問題
題型2　平衡中的臨界和極值問題
內容
索引
動態平衡問題
題型1
1.動態平衡：通過控制某些物理量，使物體的狀態發生緩慢的變化，在變化過程中每一個狀態可視為平衡狀態，在問題的描述中常用“緩慢”等語言敘述。
2.基本思路：化“動”為“靜”，“靜”中求“動”。
考向1
解析法
對研究對象進行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據物體的平衡條件，應用正交分解法列方程，得到因變量與自變量的關系表達式 (通常要用到三角函數)，最后根據自變量的變化確定因變量的變化。
【典例1】　(多選)如圖所示，木塊甲在光滑的水平面上，質量為m的球乙置于木塊與光滑豎直墻壁之間，在水平向左的推力F作用下，系統處于靜止狀態。其中O點為乙的球心，A點為甲、乙之間的接觸 點，OA與豎直方向的夾角為30°，取重力加速度大小為g。則( )
A.推力F的大小為mg
B.木塊甲對球乙的支持力大小為mg
C.若木塊甲左移少許，系統仍靜止，墻壁對球乙的支持力變小
D.若木塊甲左移少許，系統仍靜止，地面對木塊甲的支持力變大
以球乙為研究對象，受力分析如圖(a)，根據受力平衡，可得FN1sin 30°=FN2，FN1cos 30°=mg，解得FN1=mg，FN2=mg，對甲受力分析，如圖(b)，由牛頓第三定律可知，球乙對木塊甲的壓力大小為FN1'=FN1=mg，由平衡條件得F=FN1'sin 30°= mg，A項正確，B項錯誤；若木塊甲左移少許，OA與豎直方向的夾角會變小，系統仍靜止，有FN2=mgtan θ，墻壁對球乙的支持
解析
力變小，C項正確；若木塊甲左移少許，系統仍靜止，整個系統豎直方向受力平衡，地面對木塊甲的支持力仍然等于系統的重力大小，D項錯誤。
解析
考向2
圖解法
此法常用于求解三力平衡且有一個力是恒力、另有一個力方向不變的問題。一般按照以下流程解題。
【典例2】　(多選)如圖所示， 不可伸長的懸線MO繩下端掛一質量為m的物體， 在拉力F作用下物體靜止， 此時懸線與豎直方向的夾角為α。現保持夾角α不變， 拉力F緩慢地由水平位置逆時針轉到豎直位置的過程中 (重力加速度為g)( )
A.F逐漸減小， OM繩拉力逐漸減小
B.F先減小后增大， OM繩拉力逐漸減小
C.若F的方向水平向右，則F=mgtan α
D.F的最小值為mgsin α
根據題意，以結點O為受力分析點，作出受力分析的矢量三角 形，如圖甲所示，可知，保持夾角α不變， 拉力F緩慢地由水平位置逆時針轉到豎直位置的過程中，拉力F先減小后增大，OM繩拉力T逐漸減小，A項錯誤，B項正確；當力F的方向水平向右時， 受力分析如圖乙所示，根據幾何關系可得tan α=，解得F= mgtan α，C項正確；當力F垂直于OM繩上的拉力T時，力F有最小
解析
值，根據幾何關系可得sin α=，解得Fmin=mgsin α，D項正確。
解析
考向3
相似三角形法
在三力平衡問題中，如果有一個力是恒力，另外兩個力方向都變 化，且題目給出了空間幾何關系，多數情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似三角形對應邊成比例進行計算。
【典例3】　如圖所示是一個簡易起吊設施的示意圖，AC是質量不計的撐桿，A端與豎直墻之間用鉸鏈連接，一滑輪固定在A點正上方，C端吊一重物。現施加一拉力F將重物P緩慢向上拉，在AC桿達到豎直狀態前( )
A.BC繩中的拉力FT越來越大
B.BC繩中的拉力FT越來越小
C.AC桿中的支持力FN越來越大
D.AC桿中的支持力FN越來越小
對C點進行受力分析，如圖甲所示，由平衡條件可知，將三個力按順序首尾相接，可形成如圖乙所示的閉合三角形。三個力組成的三角形與△ABC相似，則==，其中G、AC、AB均不變，BC逐漸減小，則由上式可知，FN不變，FT變小，B項正確。
解析
考向4
正弦定理或外接圓法
物體在三個力作用下處于平衡狀態，且其中一個力是恒力，另外兩個力方向均發生變化，但兩者的夾角不變。可用兩種方法分析，一是正弦定理法，作出力的合成圖，在力的矢量三角形中使用正弦定理列方程，根據角度的變化判斷力的變化情況；二是外接圓法，作出力的合成圖后，發現力的矢量三角形中有一條邊和所對的角度是不變的，畫出三角形的外接圓，由線段的長度變化分析力的大小變化。
【典例4】　如圖所示，內壁光滑的V形容器AOB放在豎直平面內，∠AOB為銳角，貼著內壁放置一個鐵球，現將容器以O點為軸在豎直平面內順時針緩慢旋轉90°，在轉動過程中，∠AOB保持不變，則 ( )
A.球對OA的壓力逐漸增大
B.球對OA的壓力先增大后減小
C.球對OB的壓力先增大后減小
D.球對OB的壓力逐漸增大
方法一：正弦定理。以球為研究對象，畫出轉動過程任一位置球的受力分析圖，球受重力G、OA面的彈力F1、OB面的彈力F2， F1、F2的合力大小等于重力，方向豎直向上，如圖甲所示，由正弦定理可得==，轉動過程中，α角不變，β角由小于90°增大到大于90°，θ角由90°減小到0，結合上式可判斷，F1逐漸變小， F2先增大后減小，C項正確，A、B、D三項錯誤。
解析
方法二：外接圓法。畫出球的受力分析圖，F1、F2的合力大小等于重力，方向豎直向上，如圖乙所示。作矢量三角形的外接圓，重力G不變，α角不變，由示意圖知，容器順時針緩慢旋轉90°的過程中，F1逐漸變小， F2先增加后減小，C項正確，A、B、D三項錯誤。
解析
平衡中的臨界和極值問題
題型2
臨界、極值問題的特征。
(1)臨界問題：當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態“恰好出現”或“恰好不出現”，在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。常見的情形如：①“物體剛好滑動”，指摩擦力達到最大靜摩擦力的臨界狀態；②“繩子恰好繃緊”，指繩子伸直，但拉力F=0的臨界狀態；③“物體剛好離開接觸 面”，指兩物體接觸，但彈力FN=0的臨界狀態。
(2)極值問題：平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。
考向1
數學分析法
通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系(畫出函數圖像)，用數學方法求極值(如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值等)。
【典例5】　一個質量為1 kg的物體放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做勻速運動，已知這個最小拉力為6 N，g= 10 m/s2，則下列關于物體與地面間的動摩擦因數μ，最小拉力與水平方向的夾角θ的取值正確的是( )
A.μ=，θ=0 B.μ=，tan θ=
C.μ=，tan θ= D.μ=，tan θ=
受力分析如圖所示，因為物體處于平衡狀態，水平方向有Fcos α=μFN，豎直方向有 Fsin α+FN= mg，聯立可解得F==，tan φ=，當α+φ=90°時，sin(α+φ)=1，F有最小值Fmin=，代入數值得μ=，此時α=θ， tan θ=tan α=，B項正確。
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考向2
物理分析法
根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態分析，確定最大值與最小值。
【典例6】　將兩個質量均為m的小球a、b用細線相連后，再用細線懸掛于O點，如圖所示。用力F拉小球b，使兩個小球都處于靜止狀態，且O、a間細線與豎直方向的夾角保持θ=30°，重力加速度為g。則F達到最小值時O、a間細線上的拉力為( )
A.mg B.mg C.mg D.mg
以兩個小球組成的整體為研究對象，分析受力，作出F在三個方向時整體的受力圖，根據平衡條件知，F與FT的合力與重力2mg總是大小相等、方向相反，由力的合成圖可知，當F與O、a間細繩垂直時，F有最小值，即圖中2位置，根據平衡條件得F=2mgsin 30°=mg，FT=2mgcos 30°=mg，A項正確。
解析
考向3
極限分析法
首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中去尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和極小。
【典例7】　在吊運表面平整的重型板材(混凝土預制板、厚鋼板)時，如因吊繩無處鉤掛而遇到困難，可用一根鋼絲繩將板攔腰捆起(不必捆的很緊)，用兩個吊鉤勾住繩圈長邊的中點起吊(如圖所示)，若鋼絲繩與板材之間的動摩擦因數為μ，為了滿足安
全起吊(不考慮鋼絲繩斷裂)，需要滿足的條件是(已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)( )
A.tan α>μ B.tan α<μ C.sin α>μ D.sin α<μ
要起吊重物，只需滿足繩子張力T的豎直分量小于鋼絲繩與板材之間的最大靜摩擦力，如圖所示，已知最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則有μTcos α>Tsin α，化簡可得tan α< μ，B項正確，A、C、D三項錯誤。
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