資源簡介

專題提升練4　動力學中的連接體問題和臨界、極值問題
　梯級Ⅰ基礎練
1.如圖所示，質量不等的木塊A和B的質量分別為 m1和m2，置于光滑的水平面上。當水平力F作用于左端A上，兩物體一起做勻加速運動時，A、B間作用力大小為F1;當水平力F作用于右端B上，兩物體一起做勻加速運動時，A、B間作用力大小為 F2，則在兩次作用過程中(　　)
A.F1+F2=F B.F1+F2C.< D.>
2.(多選)(2025·菏澤模擬)如圖所示，質量分別為m1、m2的兩個物體A、B通過輕彈簧連接。在力F的作用下一起沿水平方向做勻速直線運動。A在空中，B在地面上。力F與水平方向成θ角，則B受到的支持力FN和摩擦力Ff正確的是(　　)
A.FN=m1g+m2g-Fsin θ
B.FN=m1g+m2g+Fcos θ
C.Ff=Fsin θ
D.Ff=Fcos θ
3.(2025·南京模擬)如圖，質量為M的斜面體置于水平面上，將一個質量為m的小物塊放在斜面上，若向右對小物塊施加恒力F1或向左對斜面體施加恒力F2，都能恰好使得兩者不相對滑動，不計一切摩擦，F1和F2的大小之比為(　　)
甲乙
A.m∶M B.M∶m
C.(M+m)∶M D.(M+m)∶m
4.如圖所示，長度為L的繩靜止在粗糙水平地面上，繩的質量分布均勻，并且與地面間的動摩擦因數處處相等。若對繩的右端施加水平向右的恒力F，使其向右運動，則繩上與其右端距離為x處的拉力大小為(　　)
A.F B.F
C.F D.0
5.(多選)(2025·德州模擬)AB是固定在空中的光滑水平橫桿，一質量為M的物塊穿在桿AB上，物塊通過細線懸吊著一質量為m的小球，重力加速度為g?，F用沿桿的恒力F拉物塊使物塊、小球一起(保持相對靜止)向右運動，細線與豎直方向夾角為θ，下列說法正確的是(　　)
A.桿對物塊的支持力為(M+m)g
B.細線上的拉力為
C.F=(M+m)gtan θ
D.物塊和小球的加速度為gtan θ
6.(多選)(2025·鄭州模擬)如圖所示，物塊A放在物體B上，物體B放在光滑的水平面上。
已知mA=2 kg，mB=4 kg，A、B間動摩擦因數μ=0.3。對物塊A施加一水平向右的拉力F，g取10 m/s2。下列判斷正確的是(　　)
A.當拉力0B.當拉力F>6 N時，物塊A相對物體B滑動
C.當拉力F=7.5 N時，物體B受到物塊A的摩擦力等于6 N
D.當拉力F=12 N時，物體B受到物塊A的摩擦力等于6 N
7.(多選)(2025·西安模擬)如圖所示，彈簧下端懸掛一滑輪，跨過滑輪的細線兩端系有A、B兩重物，mB=2 kg，不計線、滑輪質量及摩擦，則A、B兩重物在靜止或運動過程中，彈簧的拉力可能為(g取10 m/s2)(　　)
A.40 N B.60 N
C.80 N D.100 N
梯級Ⅱ能力練
8.(多選)如圖所示， A、B物塊間的接觸面與斜面平行，從斜面上靜止釋放后，保持相對靜止一起沿斜面加速下滑。已知A的質量為m，A、B之間動摩擦因數為μ1，B與斜面之間動摩擦因數為μ2， 重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
A.A、B間摩擦力為μ1mgcos θ
B.A、B間摩擦力為μ2mgcos θ
C.若斜面光滑，則A、B間摩擦力為0
D.μ1可能小于μ2
9.(2024·全國甲卷)如圖，一輕繩跨過光滑定滑輪，繩的一端系物塊P，P置于水平桌面上，與桌面間存在摩擦;繩的另一端懸掛一輕盤(質量可忽略)，盤中放置砝碼。改變盤中砝碼總質量m，并測量P的加速度大小a，得到a-m圖像。重力加速度大小為g。在下列a-m圖像中，可能正確的是(　　)
10.(2025·保定模擬)如圖所示，三個物塊A、B、C擠壓一根輕質彈簧，恰好處于靜止狀態，已知三個物塊的質量分別是mA=1 kg、mB=2 kg、mC=3 kg，三個物塊與水平面的動摩擦因數都是μ=0.2，重力加速度取g=10 m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，突然把C拿走后的瞬間，則A對B的彈力是(　　)
A.2 N B.4 N
C.6 N D.8 N
11.(多選)(2025·莆田模擬)如圖所示，一質量為m的物塊A與直立彈簧的上端連接，彈簧的下端固定在地面上，一質量也為m的物塊B疊放在A的上面，A、B處于靜止狀態，為使A、B能分離，某學習小組研究了以下兩種方案:
方案一:用力緩慢向下壓B，當力增加到F1時，撤去力F1，B開始向上運動，最終A、B分離。
方案二:對B施加一個向上的恒力F2，A、B開始向上運動，最終A、B分離。
下列判斷正確的是(　　)
A.兩個方案中A、B分離時，兩物塊之間的彈力為零
B.兩個方案中A、B分離時，一定是B的加速度大于A的加速度
C.兩個方案中A、B分離時，彈簧均處于原長
D.只有方案一A、B分離時，彈簧處于原長
12.如圖所示，靜止在光滑水平面上的斜面體，質量為M=7 kg，傾角為α=30°，其斜面上有一靜止的滑塊，質量為m=2 kg，兩者之間的動摩擦因數為μ=，滑塊受到的最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力?，F給斜面體施加水平向右的力使斜面體加速運動，g取10 m/s2。求:
(1)若要使滑塊與斜面體一起加速運動，圖中水平向右的力F的最大值;
(2)若要使滑塊做自由落體運動，圖中水平向右的力F的最小值。
梯級Ⅲ創新練
13.(多選)如圖所示，質量分別為m1、m2的A、B兩個物體放在斜面上，中間用一個輕桿相連，A、B與斜面間的動摩擦因數分別為μ1、μ2，它們在斜面上加速下滑，關于桿的受力情況，下列分析正確的是(　　)
A.μ1>μ2，m1=m2，則桿受到壓力
B.μ1=μ2，m1>m2，則桿受到拉力
C.μ1<μ2，m1D.μ1=μ2，m1≠m2，則桿無作用力
專題提升練4　動力學中的連接體問題和臨界、極值問題
1.A　解析　對整體分析,由牛頓第二定律知,兩次整體的加速度大小相等,都為a=,當水平力F作用于左端A上,對B受力分析,由牛頓第二定律可得F1=m2a=,當水平力F作用于右端B上,對A受力分析,由牛頓第二定律可得F2=m1a=,因此有F1+F2=F,=,A項正確,B、C、D三項錯誤。
2.AD　解析　對兩個物體構成的整體進行分析,根據平衡條件有Fcos θ=Ff,Fsin θ+FN=(m1+m2)g,解得Ff=Fcos θ,FN=m1g+m2g-Fsin θ,A、D兩項正確。
3.A　解析　由于不計一切摩擦,分析題圖甲,對整體受力分析,豎直方向FN地1=(m+M)g,水平方向,列牛頓第二定律F1=(m+M)a1,再對斜面體受力分析,設斜面體傾角為θ,豎直方向FN地1=Mg+FN1cos θ,水平方向,列牛頓第二定律FN1sin θ=Ma1,解得F1=(m+M)。同理,分析題圖乙,對整體受力分析,豎直方向FN地2=(m+M)g,水平方向,列牛頓第二定律F2=(m+M)a2,再對小物塊受力分析,豎直方向FN2cos θ=mg,水平方向,列牛頓第二定律FN2sin θ=ma2,解得F2=(m+M)gtan θ,所以F1∶F2=m∶M,A項正確。
4.C　解析　設繩的質量為m,對整條繩由牛頓第二定律有F-μmg=ma,左側長度為(L-x)的部分繩的質量為m,以它為研究對象,則有F'-μmg=ma,聯立解得繩上與其右端相距x處的拉力大小F'=F,C項正確。
5.ACD　解析　對小球和物塊組成的整體受力分析,如圖甲所示,豎直方向上受重力和支持力處于平衡狀態,因此桿對物塊的支持力為FN=(M+m)g,A項正確;對小球受力分析,如圖乙所示,則FT=,由牛頓第二定律得mgtan θ=ma,兩物體保持相對靜止即加速度相同為a=gtan θ,B項錯誤,D項正確;對整體,在水平方向上有F=(M+m)a=(M+m)gtan θ,C項正確。
甲　乙
6.AD　解析　當A、B間的摩擦力達到最大靜摩擦力時,A、B開始產生滑動,則對A、B整體F0=(mA+mB)a0,對B有μmAg=mBa0=6 N,解得F0=9 N,則當拉力09 N時,物塊A相對物體B滑動,A項正確,B項錯誤;當拉力F=7.5 NF0時,物塊A相對物體B滑動,物體B受到物塊A的摩擦力等于f=μmAg=6 N,D項正確。
7.AB　解析　當mB>mA時,B向下做加速運動,處于失重狀態,細線的拉力TmBg,兩物體的加速度大小a8.BC　解析　設B物塊的質量為mB,對A、B整體由牛頓第二定律得(m+mB)gsin θ-μ2(m+mB)gcos θ=(m+mB)a,解得a=gsin θ-μ2gcos θ,設A、B間靜摩擦力大小為f,B對A的靜摩擦力方向沿斜面向上,規定沿斜面向下為正方向,對A由牛頓第二定律得mgsin θ-f=ma得f=μ2mgcos θ,若斜面光滑,則μ2=0,A、B間摩擦力為0,A項錯誤,B、C兩項正確;因A、B間最大靜摩擦力Fm=μ1mgcos θ>f,即μ1mgcos θ≥μ2mgcos θ,所以μ1≥μ2,μ1不可能小于μ2,D項錯誤。
9.D　解析　設P的質量為M,P與桌面的滑動摩擦力為f;以P為研究對象,根據牛頓第二定律得T-f=Ma,以盤和砝碼為研究對象,根據牛頓第二定律得mg-T=ma,聯立解得a==,當砝碼的重力大于f時,才有一定的加速度,當m趨于無窮大時,加速度趨近于g,D項正確。
10.D　解析　根據題意可知,彈簧彈力大小為F彈=μ(mA+mB+mC)g=12 N,突然把C拿走后的瞬間,彈簧彈力保持不變,以A、B為整體,根據牛頓第二定律可得F彈-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a,解得a=2 m/s2,以B為對象,根據牛頓第二定律可得FNAB-μmBg=mBa,解得A對B的彈力為FNAB=8 N,D項正確。
11.AD　解析　方案一:撤去力F1,A、B開始向上運動,當彈簧處于原長時,兩物塊的加速度相同,均為重力加速度g,此時兩物塊之間的彈力為零,之后由于彈簧拉伸,A的加速度大于B的加速度,A、B分離;方案二:當兩物塊之間的彈力為零時,A、B分離,加速度相同。由于存在恒力F2,此時有F2-mg=ma,該加速度不是重力加速度,A的加速度與之相同,所以彈簧要提供向上的彈力,彈簧仍處于壓縮狀態,A、D兩項正確。
12.答案　(1)10 N　(2)70 N
解析　(1)當滑塊與斜面體一起向右加速時,力F越大,加速度越大,當F最大時,斜面體對滑塊的靜摩擦力達到最大值Ffm,滑塊受力如圖甲所示,
甲
設一起加速的最大加速度為a,對滑塊受力正交分解,豎直方向由平衡條件可得
FNcos α+Ffmsin α=mg,
水平方向由牛頓第二定律可得
Ffmcos α-FNsin α=ma,
由題意知Ffm=μFN,
聯立解得a=g,
對整體受力分析可得F=(M+m)a,
解得F=10 N。
(2)如圖乙所示,要使滑塊做自由落體運動,滑塊與斜面體之間應沒有力的作用,滑塊的加速度為g,設此時斜面體的加速度為aM,則對斜面體有F=MaM,當水平向右的力F最小時,二者沒有相互作用但仍接觸,則有
乙
tan α=,
即tan α=,
聯立解得F=70 N。
13.AD　解析　設斜面傾角為θ,A、B一起下滑,以物體A、B整體為研究對象,由牛頓第二定律得m1gsin θ+m2gsin θ-μ1m1gcos θ-μ2m2gcos θ=(m1+m2)a,假設桿受拉力,則以物體A為研究對象有m1gsin θ-F-μ1m1gcos θ=m1a,聯立可得F=。若μ1>μ2,則F為負值,桿受壓力,A項正確;若μ1<μ2,則F為正值,桿受拉力,C項錯誤;若μ1=μ2,F為零,則桿無作用力,B項錯誤,D項正確。(共30張PPT)
專題提升練4
描述運動的基本概念
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1.如圖所示，質量不等的木塊A和B的質量分別為 m1和m2，置于光滑的水平面上。當水平力F作用于左端A上，兩物體一起做勻加速運動時，A、B間作用力大小為F1；當水平力F作用于右端B上，兩物體一起做勻加速運動時，A、B間作用力大小為 F2，則在兩次作用過程中
( )
A.F1+F2=F B.F1+F2C.< D.>
梯級Ⅰ 基礎練
對整體分析，由牛頓第二定律知，兩次整體的加速度大小相等，都為a=，當水平力F作用于左端A上，對B受力分析，由牛頓第二定律可得F1=m2a=，當水平力F作用于右端B上，對A受力分析，由牛頓第二定律可得F2=m1a=，因此有F1+F2= F，=，A項正確，B、C、D三項錯誤。
解析
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2.(多選)(2025·菏澤模擬)如圖所示，質量分別為m1、m2的兩個物體A、B通過輕彈簧連接。在力F的作用下一起沿水平方向做勻速直線運動。A在空中，B在地面上。力F與水平方向成θ角，則B受到的支持力FN和摩擦力Ff正確的是( )
A.FN=m1g+m2g-Fsin θ
B.FN=m1g+m2g+Fcos θ
C.Ff=Fsin θ
D.Ff=Fcos θ
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對兩個物體構成的整體進行分析，根據平衡條件有Fcos θ=Ff，Fsin θ+FN=(m1+m2)g，解得Ff=Fcos θ，FN=m1g+m2g-Fsin θ，A、D兩項正確。
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3.(2025·南京模擬)如圖，質量為M的斜面體置于水平面上，將一個質量為m的小物塊放在斜面上，若向右對小物塊施加恒力F1或向左對斜面體施加恒力F2，都能恰好使得兩者不相對滑動，不計一切摩 擦，F1和F2的大小之比為( )
A.m∶M B.M∶m
C.(M+m)∶M D.(M+m)∶m
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由于不計一切摩擦，分析題圖甲，對整體受力分析，豎直方向 FN地1=(m+M)g，水平方向，列牛頓第二定律F1=(m+M)a1，再對斜面體受力分析，設斜面體傾角為θ，豎直方向FN地1=Mg+FN1cos θ，水平方向，列牛頓第二定律FN1sin θ=Ma1，解得F1=(m+M)。同理，分析題圖乙，對整體受力分析，豎直方向FN地2=(m+M)g，水平方向，列牛頓第二定律F2=(m+M)a2，再對小物塊受力分析，豎直方向FN2cos θ=mg，水平方向，列牛頓第二定律FN2sin θ=ma2，解得F2=(m+M)gtan θ，所以F1∶F2=m∶M，A項正確。
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4.如圖所示，長度為L的繩靜止在粗糙水平地面上，繩的質量分布均勻，并且與地面間的動摩擦因數處處相等。若對繩的右端施加水平向右的恒力F，使其向右運動，則繩上與其右端距離為x處的拉力大小為( )
A.F B.F
C.F D.0
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設繩的質量為m，對整條繩由牛頓第二定律有F-μmg=ma，左側長度為(L-x)的部分繩的質量為m，以它為研究對象，則有F'-μmg=ma，聯立解得繩上與其右端相距x處的拉力大小F'=F，C項正確。
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5.(多選)(2025·德州模擬)AB是固定在空中的光滑水平橫桿，一質量為M的物塊穿在桿AB上，物塊通過細線懸吊著一質量為m的小球，重力加速度為g?，F用沿桿的恒力F拉物塊使物塊、小球一起(保持相對靜止)向右運動，細線與豎直方向夾角為θ，下列說法正確的是( )
A.桿對物塊的支持力為(M+m)g
B.細線上的拉力為
C.F=(M+m)gtan θ
D.物塊和小球的加速度為gtan θ
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對小球和物塊組成的整體受力分析，如圖甲所示，豎直方向上受重力和支持力處于平衡狀態，因此桿對物塊的支持力為FN=(M+
m)g，A項正確；對小球受力分析，如圖乙所示，則FT=，由牛頓第二定律得mgtan θ
=ma，兩物體保持相對靜止即加速度相同為a=gtan θ，B項錯 誤，D項正確；對整體，在水平方向上有F=(M+m)a=(M+m)gtan θ，C項正確。
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6.(多選)(2025·鄭州模擬)如圖所示，物塊A放在物體B上，物體B放在光滑的水平面上。已知mA=2 kg，mB=4 kg，A、B間動摩擦因數μ=0.3。對物塊A施加一水平向右的拉力F，g取10 m/s2。下列判斷正確的是( )
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A.當拉力0B.當拉力F>6 N時，物塊A相對物體B滑動
C.當拉力F=7.5 N時，物體B受到物塊A的摩擦力等于6 N
D.當拉力F=12 N時，物體B受到物塊A的摩擦力等于6 N
當A、B間的摩擦力達到最大靜摩擦力時，A、B開始產生滑動，則對A、B整體F0=(mA+mB)a0，對B有μmAg=mBa0=6 N，解得F0= 9 N，則當拉力0 9 N時，物塊A相對物體B滑動，A項正確，B項錯誤；當拉力F=7.5 NF0時，物塊A相對物體B滑動，物體B受到物塊A的摩擦力等于f=μmAg=6 N，D項正確。
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7.(多選)(2025·西安模擬)如圖所示，彈簧下端懸掛一滑輪，跨過滑輪的細線兩端系有A、B兩重物，mB=2 kg，不計線、滑輪質量及摩 擦，則A、B兩重物在靜止或運動過程中，彈簧的拉力可能為(g取 10 m/s2)( )
A.40 N B.60 N
C.80 N D.100 N
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當mB>mA時，B向下做加速運動，處于失重狀態，細線的拉力TmBg，兩物體的加速度大小a解析
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8.(多選)如圖所示， A、B物塊間的接觸面與斜面平行，從斜面上靜止釋放后，保持相對靜止一起沿斜面加速下滑。已知A的質量為m，A、B之間動摩擦因數為μ1，B與斜面之間動摩擦因數為μ2， 重力加速度為g。下列說法正確的是( )
A.A、B間摩擦力為μ1mgcos θ
B.A、B間摩擦力為μ2mgcos θ
C.若斜面光滑，則A、B間摩擦力為0
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梯級Ⅱ 能力練
設B物塊的質量為mB，對A、B整體由牛頓第二定律得(m+ mB)gsin θ-μ2(m+mB)gcos θ=(m+mB)a，解得a=gsin θ-μ2gcos θ，設A、B間靜摩擦力大小為f，B對A的靜摩擦力方向沿斜面向上，規定沿斜面向下為正方向，對A由牛頓第二定律得mgsin θ-f=ma得f=μ2mgcos θ，若斜面光滑，則μ2=0，A、B間摩擦力為0，A項錯誤，B、C兩項正確；因A、B間最大靜摩擦力Fm=μ1mgcos θ>f，即μ1mgcos θ≥μ2mgcos θ，所以μ1≥μ2，μ1不可能小于μ2，D項錯誤。
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9.(2024·全國甲卷)如圖，一輕繩跨過光滑定滑輪，繩的一端系物塊P，P置于水平桌面上，與桌面間存在摩擦；繩的另一端懸掛一輕盤 (質量可忽略)，盤中放置砝碼。改變盤中砝碼總質量m，并測量P的加
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速度大小a，得到a-m圖像。重力加速度大小為g。在下列a-m圖像中，可能正確的是( )
設P的質量為M，P與桌面的滑動摩擦力為f；以P為研究對象，根據牛頓第二定律得T-f=Ma，以盤和砝碼為研究對象，根據牛頓第二定律得mg-T=ma，聯立解得a==，當砝碼的重力大于f 時，才有一定的加速度，當m趨于無窮大時，加速度趨近于g，D項正確。
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10.(2025·保定模擬)如圖所示，三個物塊A、B、C擠壓一根輕質彈簧，恰好處于靜止狀態，已知三個物塊的質量分別是mA=1 kg、mB= 2 kg、mC=3 kg，三個物塊與水平面的動摩擦因數都是μ=0.2，重力加速度取g=10 m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，突然把C拿走后的瞬間，則A對B的彈力是( )

A.2 N B.4 N
C.6 N D.8 N
根據題意可知，彈簧彈力大小為F彈=μ(mA+mB+mC)g=12 N，突然把C拿走后的瞬間，彈簧彈力保持不變，以A、B為整體，根據牛頓第二定律可得F彈-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a，解得a=2 m/s2，以B為對象，根據牛頓第二定律可得FNAB-μmBg=mBa，解得A對B的彈力為FNAB=8 N，D項正確。
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11.(多選)(2025·莆田模擬)如圖所示，一質量為m的物塊A與直立彈簧的上端連接，彈簧的下端固定在地面上，一質量也為m的物塊B疊放在A的上面，A、B處于靜止狀態，為使A、B能分離，某學習小組研究了以下兩種方案：
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方案一：用力緩慢向下壓B，當力增加到F1時，撤去力F1，B開始向上運動，最終A、B分離。
方案二：對B施加一個向上的恒力F2，A、B開始向上運動，最終A、B分離。
下列判斷正確的是( )
A.兩個方案中A、B分離時，兩物塊之間的彈力為零
B.兩個方案中A、B分離時，一定是B的加速度大于A的加速度
C.兩個方案中A、B分離時，彈簧均處于原長
D.只有方案一A、B分離時，彈簧處于原長
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4
方案一：撤去力F1，A、B開始向上運動，當彈簧處于原長時，兩物塊的加速度相同，均為重力加速度g，此時兩物塊之間的彈力為零，之后由于彈簧拉伸，A的加速度大于B的加速度，A、B分 離；方案二：當兩物塊之間的彈力為零時，A、B分離，加速度相同。由于存在恒力F2，此時有F2-mg=ma，該加速度不是重力加速度，A的加速度與之相同，所以彈簧要提供向上的彈力，彈簧仍處于壓縮狀態，A、D兩項正確。
解析
1
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7
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4
12.如圖所示，靜止在光滑水平面上的斜面體，質量為M=7 kg，傾角為α=30°，其斜面上有一靜止的滑塊，質量為m=2 kg，兩者之間的動摩擦因數為μ=，滑塊受到的最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力?，F給斜面體施加水平向右的力使斜面體加速運動，g取10 m/s2。求：
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4
(1)若要使滑塊與斜面體一起加速運動，圖中水平向右的力F的最大值；
當滑塊與斜面體一起向右加速時，力F越大，加速度越大，當F最大時，斜面體對滑塊的靜摩擦力達到最大值Ffm，滑塊受力如圖甲所示，
解析
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設一起加速的最大加速度為a，對滑塊受力正交分解，豎直方向由平衡條件可得FNcos α+Ffmsin α=mg，
水平方向由牛頓第二定律可得Ffmcos α-FNsin α=ma，
由題意知Ffm=μFN，
聯立解得a=g，
對整體受力分析可得F=(M+m)a，
解得F=10 N。
解析
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(2)若要使滑塊做自由落體運動，圖中水平向右的力F的最小值。
如圖乙所示，要使滑塊做自由落體運動，滑塊與斜面體之間應沒有力的作用，滑塊的加速度為g，設此時斜面體的加速度為aM，則對斜面體有F=MaM，當水平向右的力F最小時，二者沒有相互作用但仍接觸，則有tan α=，即tan α=，
聯立解得F=70 N。
解析
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4
13.(多選)如圖所示，質量分別為m1、m2的A、B兩個物體放在斜面 上，中間用一個輕桿相連，A、B與斜面間的動摩擦因數分別為μ1、μ2，它們在斜面上加速下滑，關于桿的受力情況，下列分析正確的是( )
A.μ1>μ2，m1=m2，則桿受到壓力
B.μ1=μ2，m1>m2，則桿受到拉力
C.μ1<μ2，m1D.μ1=μ2，m1≠m2，則桿無作用力
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梯級Ⅲ 創新練
設斜面傾角為θ，A、B一起下滑，以物體A、B整體為研究對象，由牛頓第二定律得m1gsin θ+m2gsin θ-μ1m1gcos θ-μ2m2gcos θ =(m1+m2)a，假設桿受拉力，則以物體A為研究對象有m1gsin θ-F-μ1m1gcos θ=m1a，聯立可得F=。若μ1>μ2，則F為負值，桿受壓力，A項正確；若μ1<μ2，則F為正值，桿受拉力，C項錯誤；若μ1=μ2，F為零，則桿無作用力，B項錯誤，D項正確。
解析
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2
3
4專題提升四　動力學中的連接體問題和臨界、極值問題
題型1　動力學中連接體問題
1.連接體。
多個相互關聯的物體通過細繩、細桿、彈簧等連接或通過疊放、并排放置等構成的物體系統稱為連接體。系統穩定時連接體一般有相同的速度、加速度或有相等的速度、加速度大小。
2.解決連接體問題的兩種方法。
考向1　輕繩、輕桿、輕彈簧連接類
兩個物體通過輕繩、輕桿、輕彈簧連接或并排放置,物體間作用力為彈力,沿著兩物體連線方向運動,具有相同的加速度和速度,常見的情形有:
【典例1】　如圖甲所示,水平面上有兩個質量分別為m1和m2的木塊1和2,中間用一條輕繩連接,兩木塊的材料相同,用恒力F向右拉木塊2,使兩木塊一起向右做勻加速直線運動,已知重力加速度為g。
(1)若水平面光滑,求輕繩的拉力。
(2)若兩木塊與水平面間的動摩擦因數為μ,求輕繩的拉力。
(3)如圖乙所示,若兩木塊在平行斜面向上的恒定拉力F作用下一起沿光滑斜面向上勻加速運動,求輕繩的拉力。
(4)若兩木塊與斜面間的動摩擦因數均為μ,其他條件與第(3)問相同,求輕繩的拉力。
甲　　乙
　　1.整體法和隔離法分析動力學中的輕繩、輕桿、輕彈簧連接類問題。
(1)整體法:若連接體內的物體具有共同的加速度,可以把它們看成一個整體,對整體應用牛頓第二定律。
(2)隔離法:求系統內物體之間的作用力時,需要把物體從系統中隔離出來,應用牛頓第二定律列方程。
(3)整體法和隔離法并用:若連接體內各物體具有共同的加速度,可根據已知條件和求解的問題選擇整體法和隔離法并用的方法求解。
①已知系統受力,可先對整體應用牛頓第二定律求系統的加速度,再對其中一個物體(一般選擇受力個數少或已知力多的物體)應用牛頓第二定律求相互作用力。
②已知系統內物體間的作用力,可先對其中一個物體應用牛頓第二定律求加速度,再對整體應用牛頓第二定律求系統的合外力或某一個力。
2.輕繩、輕桿、輕彈簧連接類問題中物體間相互作用力的特征。
從典例1的推理計算中不難看出,兩物體間輕繩的拉力與有無摩擦力無關,與系統處于平面、斜面還是豎直方向無關。分析考向2中疊放物體類問題,看是否也有相同的結論。
考向2　疊放物體類
兩物體疊放在一起有共同的加速度、速度,一般與彈力、摩擦力有關。常見的情形有:
【典例2】　
(多選)如圖,質量均為m的粗糙木塊A、B疊放在一起,靜止于水平面上。現對木塊B施加一個水平方向的拉力F,使木塊A、B一起向右做勻加速直線運動,A與B、B與地面之間動摩擦因數相同均為μ,重力加速度為g,則(　　)
A.木塊A與木塊B之間無摩擦力
B.木塊A對木塊B的摩擦力為μmg
C.木塊B受到的地面的摩擦力為2μmg
D.加速度大小為-μg
考向3　跨過滑輪的繩子關聯類
跨過滑輪的繩子關聯類連接體問題指輕繩在伸直狀態下,兩端的連接體沿繩方向的速度總是相等。下面所示的三種情形中A、B兩物體的速度和加速度大小相等,方向不同。
【典例3】　
(多選)如圖所示,質量分別為m=2 kg和M=3 kg的兩個物塊A、B通過一根跨過定滑輪的輕繩連接,其中A放置在光滑水平面上,B豎直懸掛?，F將兩個物塊同時由靜止釋放。已知輕繩不可伸長且始終處于繃緊狀態,不計一切摩擦及阻力,重力加速度g取10 m/s2,則下列說法正確的是(　　)
A.輕繩的拉力大小為12 N
B.物塊A、B的加速度大小均為10 m/s2
C.若僅將物塊A、B互換位置,則輕繩的拉力大小為20 N
D.若僅將物塊A、B互換位置,則兩物塊的加速度大小為4 m/s2
　　跨過滑輪的繩子關聯類連接體問題中的兩物體的加速度方向不同,一般采用隔離法分析,對兩物體分別列牛頓第二定律的方程,聯立解得物體的加速度大小和繩子的拉力大小。
題型2　動力學中的臨界和極值問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.“四種”典型臨界條件。
(1)接觸與脫離的臨界條件:彈力FN=0。
(2)相對滑動的臨界條件:靜摩擦力達到最大值。
(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件:繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力,繩子松弛與拉緊的臨界條件是FT=0。
(4)加速度變化時,速度達到最值的臨界條件:加速度變為0。
2.求解臨界極值問題的三種常用方法。
(1)極限法:把物理問題(或過程)推向極端,從而使臨界現象(或狀態)暴露出來,以達到正確解決問題的目的。
(2)假設法:臨界問題存在多種可能,特別是非此即彼兩種可能時,或變化過程中可能出現臨界條件,也可能不出現臨界條件時,往往用假設法解決問題。
(3)數學方法:將物理過程轉化為數學公式,根據數學表達式解出臨界條件。
考向1　相對滑動的臨界問題
【典例4】　(多選)如圖所示,質量m=1 kg的滑塊和質量M=2 kg的木板疊放在一起,滑塊與木板之間的動摩擦因數μ1=0.1,木板與地面之間的動摩擦因數μ2=0.2,g取10 m/s2。某時刻木板與滑塊恰好以相同的速度向右運動,此時給木板施加向右的恒力F,若要求木板與滑塊在以后的運動中不產生相對滑動,F的值可能為(　　)
A.0 N B.4 N
C.6 N D.10 N
【典例5】　
如圖所示,物體A疊放在物體B上,B置于光滑水平面上,A、B質量分別為mA=6 kg、mB=2 kg,A、B之間的動摩擦因數μ=0.2,g取10 m/s2。開始時F=10 N,此后逐漸增大,在增大到45 N的過程中,下列說法正確的是(　　)
A.當拉力F<12 N時,物體均保持靜止狀態
B.兩物體開始沒有相對運動,當拉力超過12 N時,開始相對滑動
C.兩物體從受力開始就有相對運動
D.兩物體始終沒有相對運動
　　從典例4和典例5中可以看出,臨界加速度均是通過受力個數少且已知力多的物體求得的。
考向2　接觸、脫離的臨界和極值問題
【典例6】　(多選)如圖所示,傾角θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上,質量均為m的物塊A和物塊B并排放在斜面上,與斜面垂直的擋板P固定在斜面底端,輕彈簧一端固定在擋板上,另一端與物塊A連接,物塊A、B(物塊A、B不相連)處于靜止狀態?，F用一沿斜面向上的外力F拉物塊B,使物塊A、B一起沿斜面向上以加速度a做勻加速直線運動。已知重力加速度為g,彈簧的勁度系數為k,不計空氣阻力,下列說法正確的是(　　)
A.物塊A、B分離時彈簧恰好為原長
B.物塊A、B分離前外力F為變力,分離后為恒力
C.從外力F作用在物塊B上到物塊A、B分離的時間為
D.外力F的最大值為mg+ma
專題提升四　動力學中的連接體問題和臨界、極值問題
題型1
【典例1】　答案　(1)F　(2)F
(3)F　(4)F
解析　(1)若水平面光滑,對兩木塊構成的整體應用牛頓第二定律得
F=(m1+m2)a,
對木塊1應用牛頓第二定律得
FT1=m1a,
兩式聯立解得輕繩的拉力FT1=F。
(2)若兩木塊與水平面間的動摩擦因數均為μ,對兩木塊構成的整體應用牛頓第二定律得F-μ(m1+m2)g=(m1+m2)a,
對木塊1應用牛頓第二定律得
FT2-μm1g=m1a,
兩式聯立解得輕繩的拉力FT2=F。
(3)若斜面光滑,對兩木塊構成的整體應用牛頓第二定律得
F-(m1+m2)gsin θ=(m1+m2)a,
對木塊1應用牛頓第二定律得
FT3-m1gsin θ=m1a,
兩式聯立解得輕繩的拉力FT3=F。
(4)若兩木塊與斜面間的動摩擦因數均為μ,對兩木塊構成的整體應用牛頓第二定律得
F-(m1+m2)gsin θ-μ(m1+m2)gcos θ=(m1+m2)a,
對木塊1應用牛頓第二定律得
FT4-m1gsin θ-μm1gcos θ=m1a,
兩式聯立解得輕繩的拉力FT4=F。
【典例2】　CD　解析　根據題意,對整體受力分析,豎直方向上有FN=2mg,水平方向上有Ff=μFN=μ·2mg,由牛頓第二定律有F-Ff=2ma,解得a=-μg,C、D兩項正確;根據題意,對A受力分析,水平方向上,由牛頓第二定律有Ff1=ma=-μmg,A、B兩項錯誤。
【典例3】　AD　解析　以A為研究對象,根據牛頓第二定律可得T=ma,以B為研究對象,根據牛頓第二定律可得Mg-T=Ma,聯立解得T=12 N,a=6 m/s2,A項正確,B項錯誤;若僅將物塊A、B互換位置,根據牛頓第二定律可得T'=Ma',mg-T'=ma',聯立解得T'=12 N,a'=4 m/s2,C項錯誤,D項正確。
題型2
【典例4】　BC　解析　滑塊相對木板靜止時,滑塊的最大加速度a=μ1g=1 m/s2,木板、滑塊一起向右以加速度a做勻減速運動時,拉力最小為F1,對整體有μ2(M+m)g-F1=(M+m)a,解得F1=3 N;木板、滑塊一起向右以加速度a做勻加速運動時,拉力最大為F2,對整體有F2-μ2(M+m)g=(M+m)a,解得F2=9 N,所以3 N≤F≤9 N,B、C兩項正確。
【典例5】　D　解析　當A、B間達到最大靜摩擦力時兩者開始相對滑動,以B為研究對象,設臨界加速度為a,由牛頓第二定律得μmAg=mBa,得a=6 m/s2。由整體法得F=(mA+mB)a=48 N,所以F增大到45 N的過程中,兩物體始終沒相對運動,B、C兩項錯誤,D項正確;由于地面光滑,故一開始物體就加速運動,A項錯誤。
【典例6】　BC　解析　物塊A、B在外力的作用下沿斜面向上做勻加速直線運動,加速度不變,當物塊A、B分離時,物塊A、B的加速度相等且沿斜面向上,物塊A、B間的彈力FN=0,此時對物塊A分析kx-mgsin θ=ma,可知彈簧彈力沿斜面向上,彈簧處于壓縮狀態,A項錯誤;物塊A、B分離后,對B分析F-mgsin θ=ma,故物塊A、B分離后,外力F為恒力,B項正確;對物塊A、B整體進行分析,外力F未作用在物塊B上時,彈簧的壓縮量x1=,物塊A、B分離時,對物塊A有kx-mgsin 30°=ma,解得x=,由運動學知識有x1-x=at2,解得t=,C項正確;物塊A、B分離時外力F達到最大,此后不變,由牛頓第二定律得Fmax-mgsin 30°=ma,解得Fmax=mg+ma,D項錯誤。(共34張PPT)
專題提升四
第三章　運動與力的關系
動力學中的連接體問題和臨界、極值問題
題型1　動力學中連接體問題
題型2　動力學中的臨界和極值問題
內容
索引
動力學中連接體問題
題型1
1.連接體。
多個相互關聯的物體通過細繩、細桿、彈簧等連接或通過疊放、并排放置等構成的物體系統稱為連接體。系統穩定時連接體一般有相同的速度、加速度或有相等的速度、加速度大小。
2.解決連接體問題的兩種方法。
考向1
輕繩、輕桿、輕彈簧連接類
兩個物體通過輕繩、輕桿、輕彈簧連接或并排放置，物體間作用力為彈力，沿著兩物體連線方向運動，具有相同的加速度和速度，常見的情形有：
【典例1】　如圖甲所示，水平面上有兩個質量分別為m1和m2的木塊1和2，中間用一條輕繩連接，兩木塊的材料相同，用恒力F向右拉木塊 2，使兩木塊一起向右做勻加速直線運動，已知重力加速度為g。
(1)若水平面光滑，求輕繩的拉力。
若水平面光滑，對兩木塊構成的整體應用牛頓第二定律得
F=(m1+m2)a，
對木塊1應用牛頓第二定律得FT1=m1a，
兩式聯立解得輕繩的拉力FT1=F。
解析
(2)若兩木塊與水平面間的動摩擦因數為μ，求輕繩的拉力。
若兩木塊與水平面間的動摩擦因數均為μ，對兩木塊構成的整體應用牛頓第二定律得F-μ(m1+m2)g=(m1+m2)a，
對木塊1應用牛頓第二定律得
FT2-μm1g=m1a，
兩式聯立解得輕繩的拉力FT2=F。
解析
(3)如圖乙所示，若兩木塊在平行斜面向上的恒定拉力F作用下一起沿光滑斜面向上勻加速運動，求輕繩的拉力。
若斜面光滑，對兩木塊構成的整體應用牛頓第二定律得
F-(m1+m2)gsin θ=(m1+m2)a，
對木塊1應用牛頓第二定律得
FT3-m1gsin θ=m1a，
兩式聯立解得輕繩的拉力FT3=F。
解析
(4)若兩木塊與斜面間的動摩擦因數均為μ，其他條件與第(3)問相同，求輕繩的拉力。
若兩木塊與斜面間的動摩擦因數均為μ，對兩木塊構成的整體應用牛頓第二定律得
F-(m1+m2)gsin θ-μ(m1+m2)gcos θ=(m1+m2)a，
對木塊1應用牛頓第二定律得
FT4-m1gsin θ-μm1gcos θ=m1a，
兩式聯立解得輕繩的拉力FT4=F。
解析
　　1.整體法和隔離法分析動力學中的輕繩、輕桿、輕彈簧連接類問題。
(1)整體法：若連接體內的物體具有共同的加速度，可以把它們看成一個整體，對整體應用牛頓第二定律。
(2)隔離法：求系統內物體之間的作用力時，需要把物體從系統中隔離出來，應用牛頓第二定律列方程。
(3)整體法和隔離法并用：若連接體內各物體具有共同的加速度，可根據已知條件和求解的問題選擇整體法和隔離法并用的方法求解。
①已知系統受力，可先對整體應用牛頓第二定律求系統的加速度，再對其中一個物體(一般選擇受力個數少或已知力多的物體)應用牛頓第二定律求相互作用力。
②已知系統內物體間的作用力，可先對其中一個物體應用牛頓第二定律求加速度，再對整體應用牛頓第二定律求系統的合外力或某一個 力。
2.輕繩、輕桿、輕彈簧連接類問題中物體間相互作用力的特 征。
從典例1的推理計算中不難看出，兩物體間輕繩的拉力與有無摩擦力無關，與系統處于平面、斜面還是豎直方向無關。分析考向2中疊放物體類問題，看是否也有相同的結論。
考向2
疊放物體類
兩物體疊放在一起有共同的加速度、速度，一般與彈力、摩擦力有關。常見的情形有：
【典例2】　(多選)如圖，質量均為m的粗糙木塊A、B疊放在一起，靜止于水平面上。現對木塊B施加一個水平方向的拉力F，使木塊 A、B一起向右做勻加速直線運動，A與B、B與地面之間動摩擦因數相同均為μ，重力加速度為g，則( )
A.木塊A與木塊B之間無摩擦力
B.木塊A對木塊B的摩擦力為μmg
C.木塊B受到的地面的摩擦力為2μmg
D.加速度大小為-μg
根據題意，對整體受力分析，豎直方向上有FN=2mg，水平方向上有Ff=μFN=μ·2mg，由牛頓第二定律有F-Ff=2ma，解得a=-μg，C、D兩項正確；根據題意，對A受力分析，水平方向上，由牛頓第二定律有Ff1=ma=-μmg，A、B兩項錯誤。
解析
考向3
跨過滑輪的繩子關聯類
跨過滑輪的繩子關聯類連接體問題指輕繩在伸直狀態下，兩端的連接體沿繩方向的速度總是相等。下面所示的三種情形中A、B兩物體的速度和加速度大小相等，方向不同。
【典例3】　(多選)如圖所示，質量分別為m=2 kg和M=3 kg的兩個物塊A、B通過一根跨過定滑輪的輕繩連接，其中A放置在光滑水平面上，B豎直懸掛?，F將兩個物塊同時由靜止釋放。已知輕繩不可伸 長且始終處于繃緊狀態，不計一切摩擦及阻力，重力加速度g取 10 m/s2，則下列說法正確的是( )
A.輕繩的拉力大小為12 N
B.物塊A、B的加速度大小均為10 m/s2
C.若僅將物塊A、B互換位置，則輕繩的拉力大小為20 N
D.若僅將物塊A、B互換位置，則兩物塊的加速度大小為4 m/s2
以A為研究對象，根據牛頓第二定律可得T=ma，以B為研究對 象，根據牛頓第二定律可得Mg-T=Ma，聯立解得T=12 N，a= 6 m/s2，A項正確，B項錯誤；若僅將物塊A、B互換位置，根據 牛頓第二定律可得T'=Ma'，mg-T'=ma'，聯立解得T'=12 N，a'= 4 m/s2，C項錯誤，D項正確。
解析
　　跨過滑輪的繩子關聯類連接體問題中的兩物體的加速度方向不 同，一般采用隔離法分析，對兩物體分別列牛頓第二定律的方程，聯立解得物體的加速度大小和繩子的拉力大小。
動力學中的臨界和極值問題
題型2
1.“四種”典型臨界條件。
(1)接觸與脫離的臨界條件：彈力FN=0。
(2)相對滑動的臨界條件：靜摩擦力達到最大值。
(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件：繩子斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力，繩子松弛與拉緊的臨界條件是FT= 0。
(4)加速度變化時，速度達到最值的臨界條件：加速度變為0。
2.求解臨界極值問題的三種常用方法。
(1)極限法：把物理問題(或過程)推向極端，從而使臨界現象(或狀態)暴露出來，以達到正確解決問題的目的。
(2)假設法：臨界問題存在多種可能，特別是非此即彼兩種可能時，或變化過程中可能出現臨界條件，也可能不出現臨界條件時，往往用假設法解決問題。
(3)數學方法：將物理過程轉化為數學公式，根據數學表達式解出臨界條件。
考向1
相對滑動的臨界問題
【典例4】　(多選)如圖所示，質量m=1 kg的滑塊和質量M=2 kg的木板疊放在一起，滑塊與木板之間的動摩擦因數μ1=0.1，木板與地面之間的動摩擦因數μ2=0.2，g取10 m/s2。某時刻木板與滑塊恰好以相同的速度向右運動，此時給木板施加向右的恒力F，若要求木板與滑塊在以后的運動中不產生相對滑動，F的值可能為( )
A.0 N B.4 N C.6 N D.10 N
滑塊相對木板靜止時，滑塊的最大加速度a=μ1g=1 m/s2，木板、滑塊一起向右以加速度a做勻減速運動時，拉力最小為F1，對整體有μ2(M+m)g-F1=(M+m)a，解得F1=3 N；木板、滑塊一起向右以加速度a做勻加速運動時，拉力最大為F2，對整體有F2-μ2(M+m)g= (M+m)a，解得F2=9 N，所以3 N≤F≤9 N，B、C兩項正確。
解析
【典例5】　如圖所示，物體A疊放在物體B上，B置于光滑水平面 上，A、B質量分別為mA=6 kg、mB=2 kg，A、B之間的動摩擦因數μ=0.2，g取10 m/s2。開始時F=10 N，此后逐漸增大，在增大到45 N的過程中，下列說法正確的是( )
A.當拉力F<12 N時，物體均保持靜止狀態
B.兩物體開始沒有相對運動，當拉力超過12 N時，開始相對滑動
C.兩物體從受力開始就有相對運動
D.兩物體始終沒有相對運動
當A、B間達到最大靜摩擦力時兩者開始相對滑動，以B為研究對象，設臨界加速度為a，由牛頓第二定律得μmAg=mBa，得a= 6 m/s2。由整體法得F=(mA+mB)a=48 N，所以F增大到45 N的過程中，兩物體始終沒相對運動，B、C兩項錯誤，D項正確；由于地面光滑，故一開始物體就加速運動，A項錯誤。
解析
　　從典例4和典例5中可以看出，臨界加速度均是通過受力個數少且已知力多的物體求得的。
考向2
接觸、脫離的臨界和極值問題
【典例6】　(多選)如圖所示，傾角θ=30°的光滑斜面固定在水平地面上，質量均為m的物塊A和物塊B并排放在斜面上，與斜面垂直的擋板P固定在斜面底端，輕彈簧一端固定在擋板上，另一端與物塊A連接，物塊A、B(物塊A、B不相連)處于靜止狀態。現用一沿斜面向上的外力F拉物塊B，使物塊A、B一起沿斜面向上以加速度a做勻加速直線運動。已知重力加速度為g，彈簧的勁度系數為k，不計空氣阻力，下列說法正確的是( )
A.物塊A、B分離時彈簧恰好為原長
B.物塊A、B分離前外力F為變力，分離后為恒力
C.從外力F作用在物塊B上到物塊A、B分離的時間為
D.外力F的最大值為mg+ma
物塊A、B在外力的作用下沿斜面向上做勻加速直線運動，加速度不變，當物塊A、B分離時，物塊A、B的加速度相等且沿斜面向上，物塊A、B間的彈力FN=0，此時對物塊A分析kx-mgsin θ=ma，可知彈簧彈力沿斜面向上，彈簧處于壓縮狀態，A項錯誤；物塊 A、B分離后，對B分析F-mgsin θ=ma，故物塊A、B分離后，外力F為恒力，B項正確；對物塊A、B整體進行分析，外力F未作用在物塊B上時，彈簧的壓縮量x1=，物塊A、B分離時，對物塊A有
解析
kx-mgsin 30°=ma，解得x=，由運動學知識有x1-x=at2，解得t=，C項正確；物塊A、B分離時外力F達到最大，此后不變，由牛頓第二定律得Fmax-mgsin 30°=ma，解得Fmax=mg+ ma，D項錯誤。
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