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第1講　曲線運動　運動的合成與分解
■目標要求
1.理解物體做曲線運動的條件及運動性質。2.會用運動的合成與分解處理小船渡河、關聯速度等實際問題。3.理解運動的合成與分解是處理曲線運動的重要思想方法。
考點1　曲線運動的條件和特征
　　　　　 　　　　　　　　　　
必|備|知|識
1.速度的方向:質點在某一點的速度方向,沿曲線上該點的　　　　方向。
2.運動性質:做曲線運動的物體,速度的　　　時刻改變,故曲線運動一定是　　　　運動,即必然具有加速度。
3.物體做曲線運動的條件。
(1)運動學角度:物體的　　　　　　方向跟速度方向不在同一條直線上。
(2)動力學角度:物體所受合外力的方向跟速度方向　　　　同一條直線上。
(1)速度發生變化的運動一定是曲線運動()
(2)做曲線運動的物體受到的合外力一定是變力()
(3)做曲線運動的物體所受合外力的方向一定指向軌跡的凹側()
關|鍵|能|力
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.合外力與軌跡、速度間關系的分析思路。
2.速率變化的判斷。
【典例1】　(2023·全國乙卷)小車在水平地面上沿軌道從左向右運動,動能一直增加。如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力,下列四幅圖可能正確的是(　　)
　 　 　
A B C D
考點2　運動的合成與分解
　　　　　 　　　　　　　　　　
必|備|知|識
1.合運動與分運動:一個物體同時參與的幾個運動是　 　　　,物體的實際運動是　 　　　。
2.遵循的規律:位移、速度、加速度都是矢量,故它們的合成或分解都遵循　　　　　　　定則。
3.合運動與分運動的關系。
(1)等時性:合運動和分運動經歷的時間　　　,即同時開始、同時進行、同時停止。
(2)獨立性:一個物體同時參與幾個分運動,各分運動相互獨立,不受其他運動的影響。
(3)等效性:各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有　　　　　　的效果。
(1)合運動的速度一定比分運動的速度大()
(2)兩個直線運動的合運動一定是直線運動()
(3)曲線運動一定不是勻變速運動()
關|鍵|能|力
　　　　　 　　　　　　　　　　
　合運動軌跡和運動性質的判斷方法。
(1)若合外力方向與合初速度的方向在同一直線上,則合運動為直線運動,否則為曲線運動。
(2)若合外力不變,則為勻變速運動;若合外力變化,則為變加速運動。
考向1　合運動與分運動的關系
【典例2】　(多選)(2025·昆明模擬)某架飛機在進行一定距離的航空測量時,需要嚴格按照從南到北的航線飛行。在無風時飛機相對地面的速度大小恒為100 m/s,飛行過程中航路上有持續東風(風向從東向西),要確保完成航空測量。下列說法正確的是(　　)
A.飛機的飛行朝向為北偏東方向
B.飛機的飛行朝向為北偏西方向
C.風速越大,飛機完成航空測量的時間越短
D.風速越大,飛機完成航空測量的時間越長
考向2　兩個互成角度的合運動性質的判斷
【典例3】　一小球在水平面內運動,在x方向上的x-t圖像和y方向上的v-t圖像如圖所示,x、y方向相互垂直,則(　　)
A.小球做直線運動
B.小球做變加速運動
C.小球在2 s內的位移為4 m
D.小球2 s末的速度為4 m/s
兩個直線運動的合運動
兩個互成角度的分運動 合運動的性質
兩個勻速直線運動 勻速直線運動
一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動 勻變速曲線運動
兩個初速度為零的勻加速直線運動 勻加速直線運動
兩個初速度不為零的勻變速直線運動 如果v合與a合共線,勻變速直線運動
如果v合與a合不共線,勻變速曲線運動
考點3　小船渡河問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
關|鍵|能|力
　　　　　 　　　　　　　　　　
　兩類問題、三種情景。
渡河時 間最短 當船頭方向垂直河岸時,渡河時間最短,最短時間tmin=
渡河位 移最短 如果v船>v水,當船頭方向與上游河岸夾角θ滿足v船cos θ=v水時,合速度垂直河岸,渡河位移最短,等于河寬d
如果v船考向1　渡河時間問題
【典例4】　
如圖所示,一條小船從A處碼頭過河,小船在靜水中的速度為v,船頭指向始終與河岸垂直(沿AA'方向)。當水流速度為v1時,小船運動到河對岸B處的碼頭靠岸,AB與河岸的夾角為
α=60°。當水流速度為v2時,小船運動到河對岸C處的碼頭靠岸,AC與河岸的夾角為β=30°。下列說法正確的是(　　)
A.小船沿AB、AC過河的時間相等
B.小船沿AC過河的時間更長
C.v1∶v2=1∶2
D.當水流速度為v1時,要使小船到達A'處碼頭,船頭應指向河的上游且與河岸夾角為60°
考向2　渡河位移問題
【典例5】　
(多選)如圖,某條河寬為600 m,河水流速恒為v1=3 m/s,小船在靜水中的運動速度大小為v2=4 m/s,小船可視為質點。則(　　)
A.船的最短渡河時間為120 s
B.若船以最短時間渡河,渡河位移大小為600 m
C.船渡河的速度大小可能大于5 m/s
D.若水流速度為v3=5 m/s,小船的最短渡河位移大小為750 m
　　(1)渡河時間與船垂直河岸方向的分速度和河的寬度有關,與水流速度無關。
　　(2)當船速大于水流速度時渡河最短的位移為河的寬度,當船速小于水流速度時不能垂直渡河,但也有最短位移,可用三角形定則解決。
考點4　關聯速度問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
關|鍵|能|力
1.速度特點。
兩物體通過繩或桿相牽連,當兩物體都發生運動時,兩物體的速度往往不相等,但因繩或桿的長度是不變的,因此兩物體的速度沿繩或桿方向的分速度是大小相等的。
2.“關聯速度”常見情景示例。
　　　
v=v物cos θ　 vAcos β=vBcos α
甲 乙
　　　
v物sin θ=v物'cos θ vAcos θ=vB
丙 丁
考向1　繩端速度的分解
【典例6】　
如圖所示,重物沿豎直桿下滑,并通過一根不可伸長的細繩帶動小車沿水平面向右運動,當滑輪右側的繩與豎直方向成β角,且重物下滑的速率為v時,滑輪左側的繩與水平方向成α角,則小車的速度為(　　)
A. B.
C. D.
考向2　桿端速度的分解
【典例7】　如圖所示,一個固定汽缸的活塞通過兩端有轉軸的桿AB與圓盤邊緣連接,半徑為R的圓盤繞固定轉動軸O點以角速度ω逆時針勻速轉動,從而使活塞水平左右振動,在圖示位置,桿與水平線AO的夾角為θ,AO與BO垂直,則此時活塞的速度為(　　)
A.ωR B.ωRcos θ
C. D.ωRtan θ
解決繩(或桿)端速度分解問題的技巧
(1)明確誰為合速度:以地面為參考系,繩(或桿)端點的速度為合速度。
(2)明確兩個效果方向:沿繩(或桿)方向和垂直繩(或桿)的方向。
(3)兩端點的關聯:因為繩(或桿)不可伸長,所以沿繩(或桿)方向的速度分量大小相等。
第1講　曲線運動　運動的合成與分解
考點1
必備知識 　
1.切線　2.方向　變速　3.(1)加速度
(2)不在
微點辨析　(1)×　(2)×　(3)√
關鍵能力 　
【典例1】　D　解析　小車做曲線運動,所受合外力指向軌跡的凹側,A、B兩項錯誤;小車沿軌道從左向右運動,動能一直增加,故合外力與運動方向夾角為銳角,C項錯誤,D項正確。
考點2
必備知識 　
1.分運動　合運動　2.平行四邊形
3.(1)相等　(3)完全相同
微點辨析　(1)×　(2)×　(3)×
關鍵能力 　
【典例2】　AD　解析　要確保完成航空測量,根據速度合成的平行四邊形定則,如圖所示,合速度的方向是從南向北的,所以飛機的飛行朝向為北偏東方向,A項正確,B項錯誤;根據v合=可知風速越大,飛機的合速度越小,飛機完成航空測量的時間越長,C項錯誤,D項正確。
【典例3】　C　解析　根據題圖可知,小球在x方向做勻速直線運動,速度大小為vx= m/s=2 m/s,小球在y方向做勻變速直線運動,所以小球的合運動為勻變速曲線運動,A、B兩項錯誤;根據v-t圖像的面積表示位移大小,可知小球在2 s內沿y方向的位移為0,則小球在2 s內的位移等于x方向的位移,即大小為4 m,C項正確;小球2 s末的速度為v== m/s= m/s,D項錯誤。
考點3
關鍵能力 　
【典例4】　A　解析　因船頭始終垂直于河岸,可知船過河的時間為t=,即小船沿AB、AC過河的時間相等,A項正確,B項錯誤;由題意可知tan 60°=,tan 30°=,解得v1∶v2=1∶3,C項錯誤;當水流速度為v1時,要使小船到達A'處碼頭,則合速度應該垂直河對岸,船頭應指向河的上游且與河岸夾角為θ,且有cos θ==,則θ≠60°,D項錯誤。
【典例5】　CD　解析　船速度v2垂直河岸方向時,渡河所用的時間最短,最短時間t== s=150 s,A項錯誤;船以最短時間渡河時,合速度大小v==5 m/s,合位移大小s=vt=750 m,B項錯誤;船與下游河岸的夾角小于90°時,合速度大小大于5 m/s,C項正確;若水流速度大于小船在靜水中速度,小船不能垂直河岸渡河。如圖所示,以水流速度v3矢量的末端為圓心,以船速大小v2為半徑作圓,過A點(v3矢量的始端)作圓的切線AC,合速度方向沿AC方向。由圖得合速度v合與v3的夾角為θ,且有sin θ=,合位移AC為最短位移,由幾何知識得AC=,聯立解得最短位移AC=750 m,D項正確。
考點4
關鍵能力 　
【典例6】　D　解析　將速度v按運動效果分解如圖所示,則沿繩方向v1=vcos β,同理分解小車速度,v3=v車cos α,因為繩不可伸長,故沿繩方向速度大小相等,v1=v3,所以v車cos α=vcos β,所以v車=,D項正確。
【典例7】　A　解析　在圖示位置時,B點的速度vB=ωR,沿切線方向;活塞速度沿水平方向,A、B兩點速度沿桿方向的分量相等,即vBcos θ=vAcos θ,故vA=vB=ωR,A項正確。(共38張PPT)
第1講
第四章 拋體運動　圓周運動
曲線運動　運動的合成與分解
目
標
要
求
1.理解物體做曲線運動的條件及運動性質。2.會用運動的合成與分解處理小船渡河、關聯速度等實際問題。3.理解運動的合成與分解是處理曲線運動的重要思想方法。
考點1　曲線運動的條件和特征
考點2　運動的合成與分解
內容
索引
考點3　小船渡河問題
考點4　關聯速度問題
曲線運動的條件和特征
考點1
必|備|知|識
1.速度的方向：質點在某一點的速度方向，沿曲線上該點的_______方向。
2.運動性質：做曲線運動的物體，速度的_______時刻改變，故曲線運動一定是______運動，即必然具有加速度。
3.物體做曲線運動的條件。
(1)運動學角度：物體的_______方向跟速度方向不在同一條直線上。
(2)動力學角度：物體所受合外力的方向跟速度方向_______同一條直線上。
切線
方向
變速
加速度
不在
(1)速度發生變化的運動一定是曲線運動( )
(2)做曲線運動的物體受到的合外力一定是變力( )
(3)做曲線運動的物體所受合外力的方向一定指向軌跡的凹側( )
關|鍵|能|力
1.合外力與軌跡、速度間關系的分析思路。
2.速率變化的判斷。
【典例1】　(2023·全國乙卷)小車在水平地面上沿軌道從左向右運動，動能一直增加。如果用帶箭頭的線段表示小車在軌道上相應位置處所受合力，下列四幅圖可能正確的是( )
小車做曲線運動，所受合外力指向軌跡的凹側，A、B兩項錯誤；小車沿軌道從左向右運動，動能一直增加，故合外力與運動方向夾角為銳角，C項錯誤，D項正確。
解析
運動的合成與分解
考點2
必|備|知|識
1.合運動與分運動：一個物體同時參與的幾個運動是_________，物體的實際運動是________。
2.遵循的規律：位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成或分解都遵循_____________定則。
分運動
合運動
平行四邊形
3.合運動與分運動的關系。
(1)等時性：合運動和分運動經歷的時間_______，即同時開始、同時進行、同時停止。
(2)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動相互獨立，不受其他運動的影響。
(3)等效性：各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有__________的效果。
相等
完全相同
(1)合運動的速度一定比分運動的速度大( )
(2)兩個直線運動的合運動一定是直線運動( )
(3)曲線運動一定不是勻變速運動( )
關|鍵|能|力
合運動軌跡和運動性質的判斷方法。
(1)若合外力方向與合初速度的方向在同一直線上，則合運動為直線運動，否則為曲線運動。
(2)若合外力不變，則為勻變速運動；若合外力變化，則為變加速運動。
考向1
合運動與分運動的關系
【典例2】　(多選)(2025·昆明模擬)某架飛機在進行一定距離的航空測量時，需要嚴格按照從南到北的航線飛行。在無風時飛機相對地面的速度大小恒為100 m/s，飛行過程中航路上有持續東風(風向從東向西)，要確保完成航空測量。下列說法正確的是( )
A.飛機的飛行朝向為北偏東方向
B.飛機的飛行朝向為北偏西方向
C.風速越大，飛機完成航空測量的時間越短
D.風速越大，飛機完成航空測量的時間越長
要確保完成航空測量，根據速度合成的平行四邊形定則，如圖所示，合速度的方向是從南向北的，所以飛機的飛行朝向為北偏東方向，A項正確，B項錯誤；根據v合=可知風速越大，飛機的合速度越小，飛機完成航空測量的時間越長，C項錯誤，D項正確。
解析
考向2
兩個互成角度的合運動性質的判斷
【典例3】　一小球在水平面內運動，在x方向上的x-t圖像和y方向上的v-t圖像如圖所示，x、y方向相互垂直，則( )

A.小球做直線運動 B.小球做變加速運動
C.小球在2 s內的位移為4 m D.小球2 s末的速度為4 m/s
根據題圖可知，小球在x方向做勻速直線運動，速度大小為vx= m/s=2 m/s，小球在y方向做勻變速直線運動，所以小球的合運動為勻變速曲線運動，A、B兩項錯誤；根據v-t圖像的面積表示位移大小，可知小球在2 s內沿y方向的位移為0，則小球在2 s內的位移等于x方向的位移，即大小為4 m，C項正確；小球2 s末的速度為v== m/s= m/s，D項錯誤。
解析
兩個直線運動的合運動
兩個互成角度的分運動 合運動的性質
兩個勻速直線運動 勻速直線運動
一個勻速直線運動、 一個勻變速直線運動 勻變速曲線運動
兩個初速度為零的 勻加速直線運動 勻加速直線運動
兩個初速度不為零的 勻變速直線運動 如果v合與a合共線，
勻變速直線運動
如果v合與a合不共線，
勻變速曲線運動
小船渡河問題
考點3
關|鍵|能|力
兩類問題、三種情景。
渡河時 間最短
渡河位 移最短 如果v船>v水，當船頭方向與上游河岸夾角θ滿足v船cos θ=v水時，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河寬d

考向1
渡河時間問題
【典例4】　如圖所示，一條小船從A處碼頭過河，小船在靜水中的速度為v，船頭指向始終與河岸垂直(沿AA'方向)。當水流速度為v1時，小船運動到河對岸B處的碼頭靠岸，AB與河岸的夾角為α=60°。當水流速度為v2時，小船運動到河對岸C處的碼頭靠岸，AC與河岸的夾角為β=30°。下列說法正確的是( )
A.小船沿AB、AC過河的時間相等
B.小船沿AC過河的時間更長
C.v1∶v2=1∶2
D.當水流速度為v1時，要使小船到達A'處碼頭，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為60°
因船頭始終垂直于河岸，可知船過河的時間為t=，即小船沿AB、AC過河的時間相等，A項正確，B項錯誤；由題意可知tan 60°= ，tan 30°=，解得v1∶v2=1∶3，C項錯誤；當水流速度為v1 時，要使小船到達A'處碼頭，則合速度應該垂直河對岸，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為θ，且有cos θ==，則θ≠60°，D項錯誤。
解析
考向2
渡河位移問題
【典例5】　(多選)如圖，某條河寬為600 m，河水流速恒為v1= 3 m/s，小船在靜水中的運動速度大小為v2=4 m/s，小船可視為質點。則( )
A.船的最短渡河時間為120 s
B.若船以最短時間渡河，渡河位移大小為600 m
C.船渡河的速度大小可能大于5 m/s
D.若水流速度為v3=5 m/s，小船的最短渡河位移大小為750 m
船速度v2垂直河岸方向時，渡河所用的時間最短，最短時間t== s=150 s，A項錯誤；船以最短時間渡河時，合速度大小v==5 m/s，合位移大小s=vt=750 m，B項錯誤；船與下游河岸的夾角小于90°時，合速度大小大于5 m/s，C項正確；若水流速度大于小船在靜水中速度，小船不能垂直河岸渡河。如圖所示，以水流速度v3矢量的末端為圓心，以船速大小v2為半徑作
解析
圓，過A點(v3矢量的始端)作圓的切線AC，合速度方向沿AC方向。由圖得合速度v合與v3的夾角為θ，且有 sin θ=，合位移AC為最短位移，由幾何知識得AC=，聯立解得最短位移AC=750 m，D項正確。
解析
　　(1)渡河時間與船垂直河岸方向的分速度和河的寬度有關，與水流速度無關。
　　(2)當船速大于水流速度時渡河最短的位移為河的寬度，當船速小于水流速度時不能垂直渡河，但也有最短位移，可用三角形定則解決。
關聯速度問題
考點4
關|鍵|能|力
1.速度特點。
兩物體通過繩或桿相牽連，當兩物體都發生運動時，兩物體的速度往往不相等，但因繩或桿的長度是不變的，因此兩物體的速度沿繩或桿方向的分速度是大小相等的。
2.“關聯速度”常見情景示例。
考向1
繩端速度的分解
【典例6】　如圖所示，重物沿豎直桿下滑，并通過一根不可伸長的細繩帶動小車沿水平面向右運動，當滑輪右側的繩與豎直方向成β 角，且重物下滑的速率為v時，滑輪左側的繩與水平方向成α角，則小車的速度為( )
A. B. C. D.
將速度v按運動效果分解如圖所示，則沿繩方向v1=vcos β，同理分解小車速度，v3=v車cos α，因為繩不可伸長，故沿繩方向速度大小相等，v1=v3，所以v車cos α=vcos β，所以v車=，D項正確。
解析
考向2
桿端速度的分解
【典例7】　如圖所示，一個固定汽缸的活塞通過兩端有轉軸的桿AB與圓盤邊緣連接，半徑為R的圓盤繞固定轉動軸O點以角速度ω逆時針勻速轉動，從而使活塞水平左右振動，在圖示位置，桿與水平線AO的夾角為θ，AO與BO垂直，則此時活塞的速度為( )
A.ωR B.ωRcos θ C. D.ωRtan θ
在圖示位置時，B點的速度vB=ωR，沿切線方向；活塞速度沿水平方向，A、B兩點速度沿桿方向的分量相等，即vBcos θ=vAcos θ，故vA=vB=ωR，A項正確。
解析
解決繩(或桿)端速度分解問題的技巧
(1)明確誰為合速度：以地面為參考系，繩(或桿)端點的速度為合速度。
(2)明確兩個效果方向：沿繩(或桿)方向和垂直繩(或桿)的方向。
(3)兩端點的關聯：因為繩(或桿)不可伸長，所以沿繩(或桿)方向的速度分量大小相等。微練12　曲線運動　運動的合成與分解
　梯級Ⅰ基礎練
1.如圖所示的曲線MN是某一質點的運動軌跡，AA'為曲線上A點處的切線。質點從B點運動到A點所發生的位移為x，所用時間為t。下列說法不正確的是(　　)
A.表示質點從B點運動到A點過程的平均速度
B.質點從B點運動到A點的過程，平均速度的方向由B點指向A點
C.若B點越接近A點，則越接近質點在A點時的瞬時速度
D.質點經過A點時所受合力可能沿著AA'的方向
2.(2025·黃山模擬)黃河，中國古代稱大河，是中國第二長河，黃河上游河道呈“S”形，河源段400公里內河道曲折。黃河某段河道俯視簡化圖如圖所示，圖中曲線上A、B兩點的切線平行，下列說法正確的是(　　)
A.河水在圖中A、B兩點速度方向相同
B.河水在圖中A、B兩點加速度可能相同
C.河水流經該段河道A點時對河岸的力向右
D.河水流經該段河道B點時對河岸的力向左
3.(2025·泰州模擬)如圖所示，跳傘員著地瞬間速度大小是5 m/s。把這個速度沿水平和豎直方向分解，水平分速度為3 m/s，則豎直分速度為(　　)
A.0　　　B.2 m/s C.4 m/s　　D.5 m/s
4.一迷你熱氣球以速度vy=5 m/s從水平地面上勻速豎直上升，假設從該時刻起，熱氣球在水平方向上受風力作用做勻加速運動，當熱氣球上升到h=8 m時，其水平速度為8 m/s，則熱氣球離出發點的距離約為(　　)
A.3.2 m B.6.4 m
C.8.0 m D.10.2 m
5.(2025·昆明模擬)有一條兩岸平直、河水均勻流動、流速恒定的大河。小明駕著小船渡河，去程時船頭指向始終與河岸垂直，回程時行駛路線與河岸垂直。去程與回程所用時間的比值為k，已知船在靜水中的速度大小為v，下列說法正確的是(　　)
A.去程是所有渡河方式中路程最小的
B.回程是所有渡河方式中時間最短的
C.河水流動的速度為v
D.河水流動的速度為v
6.某同學用輕繩拉動木箱進行力量訓練。如圖所示，該同學與木箱通過一根跨過定滑輪的輕繩連接，若該同學以大小為v的速度水平向右移動，則當輕繩與水平方向的夾角分別為θ1和θ2時，木箱的速度大小為(　　)
A.v B.v
C.v D.v
7.(2025·晉城模擬)如圖甲所示，課堂上老師把黑板寫得滿滿當當，值日生需在課間擦黑板，若以黑板下邊沿為x軸、左邊沿為y軸建立平面直角坐標系，黑板擦在黑板上留下的痕跡如圖乙所示，關于黑板擦的運動和受力情況，下列說法正確的是(　　)
A.若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，則可能沿y軸正方向做勻加速直線運動
B.若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，則可能沿x軸正方向做勻速直線運動
C.若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，則可能沿x軸正方向做勻加速直線運動
D.若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，則受到黑板的摩擦力指向軌跡凹側
梯級Ⅱ能力練
8.(2025·福州模擬)如圖所示，一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B(均可視為質點)。將其放在一個光滑球形容器中從位置1開始下滑，當輕桿到達位置2時球A與球形容器球心等高，其速度大小為v1，已知此時輕桿與水平方向成θ=30°角，球B的速度大小為v2，則v1與v2的關系為(　　)
A.v2=v1 B.v1=v2
C.v2=2v1 D.v1=v2
9.雨滴垂直落在傘面上時人淋雨最少。一個無風的下雨天，某同學打著雨傘勻速行走，若雨速和他行走的速度大小相等，則淋到的雨最少時(圖中虛線為豎直方向)，傘柄的方向是(　　)
10.(多選)(2025·岳陽模擬)如圖所示，某段河面寬120 m，小船從A點開始渡河，A點下游160 m的B處是一片左側邊界與河岸垂直的險灘，已知水流速度大小恒為5 m/s。小船不進入險灘處可視為安全渡河，下列說法正確的是(　　)
A.若小船相對靜水的速度大小恒為10 m/s，則小船最短渡河時間為10 s
B.若小船相對靜水的速度大小恒為8 m/s，則小船最短渡河位移大小為120 m
C.若小船相對靜水的速度大小恒為4 m/s，則小船最短渡河位移大小為120 m
D.若要使小船能安全渡河，則小船相對靜水的最小速度為3 m/s
11.如圖所示，風洞實驗室中可以產生豎直向上、大小恒定的風力，一個質量為m的小球在O點以水平初速度v0拋出，恰好能沿水平方向運動到P點，O、P間的距離為L，將風力調大，小球仍由O點以水平初速度v0拋出，結果恰好經過P點正上方的Q點，P，Q間的距離為L，重力加速度為g，求:
(1)調節后的風力大小;
(2)小球運動到Q點時的速度大小和方向。
梯級Ⅲ創新練
12.(2025·天津模擬)一個物體在光滑水平面上運動，速度v的方向如圖所示，從A點開始，它受到向前偏右(觀察者沿著物體前進的方向看)的合力F作用。一段時間后，物體可能經過(　　)
A.Q點　 B.B點 C.P點　 D.D點
微練12　曲線運動　運動的合成與分解
1.D　解析　因x為由B到A的位移,則表示質點從B點運動到A點過程的平均速度,A項正確;質點從B點運動到A點的過程,平均速度方向與位移方向相同,則平均速度的方向由B點指向A點,B項正確;若B點越接近A點,則t越短,則越接近質點在A點時的瞬時速度,C項正確;AA'的方向是質點在A點的瞬時速度方向,質點做曲線運動,則速度方向與合力方向不共線,則質點經過A點時所受合力不可能沿著AA'的方向,D項錯誤。綜上所述,應選擇D。
2.A　解析　速度沿軌跡的切線方向,故河水在題圖中A、B兩點速度方向相同,加速度與力的方向一致,合力指向軌跡的凹側,則題圖中A、B兩點加速度不相同,A項正確,B項錯誤;曲線運動的物體受合力指向軌跡的凹側,根據牛頓第三定律可知,河水流經該段河道A點時對河岸的力向左,河水流經該段河道B點時對河岸的力向右,C、D兩項錯誤。
3.C　解析　根據題意可得vy== m/s=4 m/s,C項正確。
4.D　解析　根據運動的合成和分解可知,氣球在豎直方向上運動的時間t== s=1.6 s,水平方向上運動時間與豎直方向上運動的時間相等,故水平方向的位移x=t=6.4 m,所以熱氣球距出發點的距離s=≈10.2 m,D項正確。
5.C　解析　根據題意可知去程是所有渡河方式中時間最短的,回程是所有渡河方式中路程最小的,A、B兩項錯誤;設河寬為d,小河水流動的速度為vs,去程時過河的時間為t1=,回程的時間t2=,由題意知=k,解得vs=v,C項正確,D項錯誤。
6.C　解析　設木箱的速度大小為v1,輕繩收縮的速度大小為v繩,對木箱,根據運動的分解有v繩=v1cos θ1,同理,對人,根據運動的分解有v繩=vcos θ2,解得v1=v,C項正確。
7.C　解析　若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動,沿y軸正方向做勻加速直線運動,則受到的合外力沿y軸正方向,運動軌跡向上彎曲,A項錯誤;若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動,沿x軸正方向做勻速直線運動,則受到的合外力為零,運動軌跡為直線,B項錯誤;若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動,沿x軸正方向做勻加速直線運動,則受到的合外力沿x軸正方向,運動軌跡向右彎曲,C項正確;黑板擦受到黑板的摩擦力與運動方向相反,D項錯誤。
8.D　解析　如圖所示,將球A速度分解成沿著桿與垂直于桿兩方向,同時球B速度也是分解成沿著桿與垂直于桿兩方向,由于A、B兩球在同一桿上,沿桿的分速度相等,則有v1sin θ=v2sin θ,所以v1=v2,D項正確。
9.D　解析　由已知雨滴落在傘上時,相對于傘的速度垂直時人淋雨最少,如圖所示,當雨速和人走的速度相等時,相對速度和豎直方向的夾角是45°。傘柄和傘垂直,即與雨此時的相對速度方向相同,故傘柄和豎直方向夾角是45°時淋雨最少,D項正確。
10.BD　解析　若小船相對靜水的速度大小恒為10 m/s,小船船頭垂直河岸渡河時,時間最短,則有tmin== s=12 s,A項錯誤;若小船相對靜水的速度大小恒為8 m/s,由于小船相對靜水的速度大于水流速度,則小船可以到達正對岸,所以小船最短渡河位移大小為120 m,B項正確;若小船相對靜水的速度大小恒為4 m/s,由于小船相對靜水的速度小于水流速度,則小船不可以到達正對岸,所以小船最短渡河位移一定大于120 m,C項錯誤;若要使小船能安全渡河,小船渡河的臨界軌跡如圖所示,根據幾何關系可得sin θ====,解得小船相對靜水的最小速度為v船=3 m/s,D項正確。
11.答案　(1)mg+　(2)v0,方向斜向右上方,與水平方向的夾角為45°
解析　(1)開始時小球從O點運動到P點所用時間t=,增大后的風力設為F,則
F-mg=ma,
L=at2,
解得F=mg+。
(2)設小球到Q點時速度大小為v,沿豎直方向的分速度vy=at=v0,
因此v==v0,
方向斜向右上方,與水平方向的夾角為45°。
12.D　解析　物體做曲線運動時,軌跡夾在速度方向和合力方向之間,合力大致指向軌跡凹的一向,軌跡不可能與力的方向相交,或與合外力的方向平行,則一段時間后,物體可能經過D點,D項正確。(共30張PPT)
微練12
曲線運動　運動的合成與分解
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1.如圖所示的曲線MN是某一質點的運動軌跡，AA'為曲線上A點處的切線。質點從B點運動到A點所發生的位移為x，所用時間為t。下列說法不正確的是( )
梯級Ⅰ 基礎練
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A.表示質點從B點運動到A點過程的平均速度
B.質點從B點運動到A點的過程，平均速度的方向由B點指向A點
C.若B點越接近A點，則越接近質點在A點時的瞬時速度
D.質點經過A點時所受合力可能沿著AA'的方向
因x為由B到A的位移，則表示質點從B點運動到A點過程的平均速度，A項正確；質點從B點運動到A點的過程，平均速度方向與位移方向相同，則平均速度的方向由B點指向A點，B項正確；若B點越接近A點，則t越短，則越接近質點在A點時的瞬時速度，C項正確；AA'的方向是質點在A點的瞬時速度方向，質點做曲線運動，則速度方向與合力方向不共線，則質點經過A點時所受合力不可能沿著AA'的方向，D項錯誤。綜上所述，應選擇D。
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2.(2025·黃山模擬)黃河，中國古代稱大河，是中國第二長河，黃河上游河道呈“S”形，河源段400公里內河道曲折。黃河某段河道俯視簡化圖如圖所示，圖中曲線上A、B兩點的切線平行，下列說法正確的是( )
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A.河水在圖中A、B兩點速度方向相同
B.河水在圖中A、B兩點加速度可能相同
C.河水流經該段河道A點時對河岸的力向右
D.河水流經該段河道B點時對河岸的力向左
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速度沿軌跡的切線方向，故河水在題圖中A、B兩點速度方向相 同，加速度與力的方向一致，合力指向軌跡的凹側，則題圖中A、B兩點加速度不相同，A項正確，B項錯誤；曲線運動的物體受合力指向軌跡的凹側，根據牛頓第三定律可知，河水流經該段河道A點時對河岸的力向左，河水流經該段河道B點時對河岸的力向右，C、D兩項錯誤。
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3.(2025·泰州模擬)如圖所示，跳傘員著地瞬間速度大小是5 m/s。把這個速度沿水平和豎直方向分解，水平分速度為3 m/s，則豎直分速度為( )
A.0 B.2 m/s
C.4 m/s D.5 m/s
根據題意可得vy== m/s=4 m/s，C項正確。
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4.一迷你熱氣球以速度vy=5 m/s從水平地面上勻速豎直上升，假設從該時刻起，熱氣球在水平方向上受風力作用做勻加速運動，當熱氣球上升到h=8 m時，其水平速度為8 m/s，則熱氣球離出發點的距離約為( )
A.3.2 m B.6.4 m
C.8.0 m D.10.2 m
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根據運動的合成和分解可知，氣球在豎直方向上運動的時間t== s=1.6 s，水平方向上運動時間與豎直方向上運動的時間相等，故水平方向的位移x=t=6.4 m，所以熱氣球距出發點的距離s=≈10.2 m，D項正確。
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5.(2025·昆明模擬)有一條兩岸平直、河水均勻流動、流速恒定的大河。小明駕著小船渡河，去程時船頭指向始終與河岸垂直，回程時行駛路線與河岸垂直。去程與回程所用時間的比值為k，已知船在靜水中的速度大小為v，下列說法正確的是( )
A.去程是所有渡河方式中路程最小的
B.回程是所有渡河方式中時間最短的
C.河水流動的速度為v
D.河水流動的速度為v
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根據題意可知去程是所有渡河方式中時間最短的，回程是所有渡河方式中路程最小的，A、B兩項錯誤；設河寬為d，小河水流動的速度為vs，去程時過河的時間為t1=，回程的時間t2=，由題意知=k，解得vs=v，C項正確，D項錯誤。
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6.某同學用輕繩拉動木箱進行力量訓練。如圖所示，該同學與木箱通過一根跨過定滑輪的輕繩連接，若該同學以大小為v的速度水平向右移動，則當輕繩與水平方向的夾角分別為θ1和θ2時，木箱的速度大小為( )
A.v B.v
C.v D.v
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設木箱的速度大小為v1，輕繩收縮的速度大小為v繩，對木箱，根據運動的分解有v繩=v1cos θ1，同理，對人，根據運動的分解有v繩=vcos θ2，解得v1=v，C項正確。
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7.(2025·晉城模擬)如圖甲所示，課堂上老師把黑板寫得滿滿當當，值日生需在課間擦黑板，若以黑板下邊沿為x軸、左邊沿為y軸建立平面直角坐標系，黑板擦在黑板上留下的痕跡如圖乙所示，關于黑板擦的運動和受力情況，下列說法正確的是( )
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A.若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，則可能沿y軸正方向做勻加速直線運動
B.若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，則可能沿x軸正方向做勻速直線運動
C.若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，則可能沿x軸正方向做勻加速直線運動
D.若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，則受到黑板的摩擦力指向軌跡凹側
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若黑板擦沿x軸正方向做勻速直線運動，沿y軸正方向做勻加速直線運動，則受到的合外力沿y軸正方向，運動軌跡向上彎曲，A項錯誤；若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，沿x軸正方向做勻速直線運動，則受到的合外力為零，運動軌跡為直線，B項錯 誤；若黑板擦沿y軸正方向做勻速直線運動，沿x軸正方向做勻加速直線運動，則受到的合外力沿x軸正方向，運動軌跡向右彎曲，C項正確；黑板擦受到黑板的摩擦力與運動方向相反，D項錯誤。
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8.(2025·福州模擬)如圖所示，一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B(均可視為質點)。將其放在一個光滑球形容器中從位置1開始下滑，當輕桿到達位置2時球A與球形容器球心等高，其速度大小為v1，已知此時輕桿與水平方向成θ=30°角，球B的速度大小為v2，則v1與v2的關系為( )
A.v2=v1 B.v1=v2
C.v2=2v1 D.v1=v2
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梯級Ⅱ 能力練
如圖所示，將球A速度分解成沿著桿與垂直于桿兩方向，同時球B速度也是分解成沿著桿與垂直于桿兩方向，由于A、B兩球在同一桿上，沿桿的分速度相等，則有v1sin θ=v2sin θ，所以v1=v2，D項正確。
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9.雨滴垂直落在傘面上時人淋雨最少。一個無風的下雨天，某同學打著雨傘勻速行走，若雨速和他行走的速度大小相等，則淋到的雨最少時(圖中虛線為豎直方向)，傘柄的方向是( )
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由已知雨滴落在傘上時，相對于傘的速度垂直時人淋雨最少，如圖所示，當雨速和人走的速度相等時，相對速度和豎直方向的夾角是45°。傘柄和傘垂直，即與雨此時的相對速度方向相同，故傘柄和豎直方向夾角是45°時淋雨最少，D項正確。
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10.(多選)(2025·岳陽模擬)如圖所示，某段河面寬120 m，小船從A點開始渡河，A點下游160 m的B處是一片左側邊界與河岸垂直的險 灘，已知水流速度大小恒為5 m/s。小船不進入險灘處可視為安全渡河，下列說法正確的是( )
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A.若小船相對靜水的速度大小恒為10 m/s，則小船最短渡河時間為 10 s
B.若小船相對靜水的速度大小恒為8 m/s，則小船最短渡河位移大小為120 m
C.若小船相對靜水的速度大小恒為4 m/s，則小船最短渡河位移大小為120 m
D.若要使小船能安全渡河，則小船相對靜水的最小速度為3 m/s
若小船相對靜水的速度大小恒為10 m/s，小船船頭垂直河岸渡河時，時間最短，則有tmin== s=12 s，A項錯誤；若小船相對靜水的速度大小恒為8 m/s，由于小船相對靜水的速度大于水流速度，則小船可以到達正對岸，所以小船最短渡河位移大小為 120 m，B項正確；若小船相對靜水的速度大小恒為4 m/s，由于小船相對靜水的速度小于水流速度，則小船不可以到達正對岸，
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所以小船最短渡河位移一定大于120 m，C項錯誤；若要使小船能安全渡河，小船渡河的臨界軌跡如圖所示，根據幾何關系可得 sin θ====，解得小船相對靜水的最小速度為v船=3 m/s，D項正確。
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11.如圖所示，風洞實驗室中可以產生豎直向上、大小恒定的風力，一個質量為m的小球在O點以水平初速度v0拋出，恰好能沿水平方向運動到P點，O、P間的距離為L，將風力調大，小球仍由O點以水平初速度v0拋出，結果恰好經過P點正上方的Q點，P，Q間的距離為 L，重力加速度為g，求：
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(1)調節后的風力大??；
開始時小球從O點運動到P點所用時間t=，增大后的風力設為F，則F-mg=ma，L=at2，
解得F=mg+。
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(2)小球運動到Q點時的速度大小和方向。
設小球到Q點時速度大小為v，沿豎直方向的分速度vy=at=v0，
因此v==v0，
方向斜向右上方，與水平方向的夾角為45°。
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12.(2025·天津模擬)一個物體在光滑水平面上運動，速度v的方向如圖所示，從A點開始，它受到向前偏右(觀察者沿著物體前進的方向看)的合力F作用。一段時間后，物體可能經過( )
A.Q點　　 B.B點 C.P點 　　 D.D點
梯級Ⅲ 創新練
物體做曲線運動時，軌跡夾在速度方向和合力方向之間，合力大致指向軌跡凹的一向，軌跡不可能與力的方向相交，或與合外力的方向平行，則一段時間后，物體可能經過D點，D項正確。
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