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第2講　拋體運動
■目標要求
1.掌握平拋運動的規律,學會運用運動的合成與分解處理類平拋、斜拋運動。2.學會處理斜面或圓弧面約束下的平拋運動問題。3.會處理平拋運動中的臨界、極值問題。
考點1　平拋運動的規律
　　　　　 　　　　　　　　　　
必|備|知|識
1.平拋運動:將物體以一定初速度沿　　　　方向拋出,物體只在　　　　作用下的運動。
2.平拋運動的性質:平拋運動是加速度為g的　　　　　曲線運動,運動軌跡為　　　　　。
3.研究方法:化曲為直,可分解為水平方向的　　　　　運動和豎直方向的　　 　　運動。
4.平拋運動的規律。
(1)速度關系。
(2)位移關系。
(1)平拋運動的加速度方向與速度方向總是垂直的()
(2)平拋運動的初速度越大,在空中飛行的時間越長()
(3)相等時間內做平拋運動的物體速度變化總是相同的,且方向一定豎直向下()
關|鍵|能|力
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.速度改變量:因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g,所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv=gΔt是相同的,方向恒為豎直向下。
2.兩個重要的推論。
(1)做平拋運動的物體,在任一位置P(x,y)的瞬時速度的反向延長線與x軸交點A的橫坐標為,如圖所示。
(2)做平拋運動的物體,在任一位置速度偏向角θ與位移偏向角α的關系為tan θ=2tan α。
考向1　平拋運動的基本規律
【典例1】　(2024·海南卷)在跨越河流表演中,一人騎車以25 m/s的速度水平沖出平臺,恰好跨越長x=25 m的河流落在河對岸平臺上,已知河流寬度25 m,不計空氣阻力,取g=10 m/s2,則兩平臺的高度差h為(　　)
A.0.5 m B.5 m
C.10 m D.20 m
考向2　多個物體的平拋運動
【典例2】　
(2025·東莞模擬)在同一水平直線上的兩位置分別沿同方向拋出兩小球A和B,其運動軌跡如圖所示,不計空氣阻力,兩球在空中P點相遇,則(　　)
A.應先拋出A球
B.應先拋出B球
C.相遇時A球速率小于B球速率
D.拋出時A球的初速度大于B球的初速度
考向3　流體的平拋運動
【典例3】　(2024·北京卷)如圖所示,水平放置的排水管滿口排水,管口的橫截面積為S,管口離水池水面的高度為h,水在水池中的落點與管口的水平距離為d。假定水在空中做平拋運動,已知重力加速度為g,h遠大于管口內徑。求:
(1)水從管口到水面的運動時間t;
(2)水從管口排出時的速度大小v0;
(3)管口單位時間內流出水的體積Q。
命題特點:本題以排水管(水平放置)排水為背景考查流體的平拋運動,這里對流量(單位時間內流過的水的體積)的概念要有正確的理解,流量Q=Sv。
復習建議:用平拋運動的規律解決實際問題時,要能夠從復雜的情境中提煉出解題需要的物理模型。
考點2　落點有約束的平拋運動
　　　　　 　　　　　　　　　　
關|鍵|能|力
與斜面或圓弧有關的平拋運動。
已知條件 情景示例 解題策略
已知速 度方向 物體做平拋運動,垂直落到斜面上,如圖所示,已知某時刻的速度方向垂直于斜面 分解速度,有 tan θ==
物體做平拋運動,恰好無碰撞地進入圓弧形軌道,如圖所示,即已知某時刻的速度方向沿該點圓弧的切線方向 分解速度,有 tan θ==
已知位 移方向 物體從斜面上平拋又落回到斜面上,如圖所示,已知位移的方向沿斜面向下 分解位移,有 tan θ==
物體從斜面外平拋,落在斜面上有最小的位移,如圖所示,即已知位移方向垂直于斜面 分解位移,有 tan θ==
利用位 移關系 物體從圓心處平拋,落到半徑為R的圓弧上,如圖所示,位移大小等于半徑R 運用幾何關系 x2+y2=R2, 且x=v0t, y=gt2
物體從與圓心等高的圓弧上拋出落到半徑為R的圓弧上,如圖所示,水平位移x與R的差的平方與豎直位移的平方之和等于半徑的平方 運用幾何關系 x=R+Rcos θ, y=Rsin θ, (x-R)2+y2=R2, 且x=v0t, y=gt2
考向1　已知某時刻速度方向類
【典例4】　
如圖所示,以10 m/s的水平初速度拋出的物體,飛行一段時間后,垂直地撞在傾角θ=30°的斜面上,g取10 m/s2,這段飛行所用的時間為(　　)
A. s　　B. s　　C. s　　D.2 s
考向2　已知位移方向類
【典例5】　
如圖所示,從傾角為θ且足夠長的斜面的頂點A,先后將同一小球以不同的初速度水平向右拋出,第一次初速度為v1,小球落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為φ1,第二次初速度為v2,小球落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為φ2,若v2>v1,則φ1和φ2的大小關系是(　　)
A.φ1>φ2 B.φ1<φ2
C.φ1=φ2 D.無法確定
考向3　利用位移關系類
【典例6】　
如圖所示,在豎直平面內有一半圓形軌道,圓心為O。一小球(可視為質點)從與圓心等高的圓形軌道上的A點以速度v0水平向右拋出,落于圓軌道上的C點。已知OC的連線與OA的夾角為θ,重力加速度為g,則小球從A運動到C的時間為(　　)
A. B.
C. D.
考點3　平拋運動的臨界、極值問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
關|鍵|能|力
常見的“三種”臨界特征。
(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼,明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語,表明題述的過程中存在著“起止點”,而這些起止點往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明題述的過程中存在著極值,這個極值點往往是臨界點。
考向1　平拋運動的臨界問題
【典例7】　
如圖所示,窗口上、下沿間的高度H=1.6 m,墻的厚度d=0.4 m,某人在離墻壁距離L=1.4 m、距窗口上沿高h=0.2 m處的P點,將可視為質點的小物塊以速度v垂直于墻壁水平拋出,小物塊直接穿過窗口并落在水平地面上,取g=10 m/s2,則v的取值范圍是(　　)
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s考向2　平拋運動的極值問題
【典例8】　某科技比賽中,參賽者設計了一個軌道模型,如圖所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上,最高點距離水平地面2 m,右端出口水平。現讓小球由最高點靜止釋放,忽略阻力作用,為使小球飛得最遠,右端出口距離桌面的高度應設計為(　　)
A.0 B.1 m
C.0.2 m D.0.3 m
考點4　斜拋運動
　　　　　 　　　　　　　　　　
必|備|知|識
1.定義:將物體以初速度v0　　　　　　或斜向下方拋出,物體只在　　　　作用下的運動。
2.性質:斜拋運動是加速度為　　　　　的　　　　曲線運動,運動軌跡是　　　　　。
3.研究方法:運動的合成與分解。
(1)水平方向:　　　　　直線運動。
(2)豎直方向:　　　　　直線運動。
(1)初速度方向斜向上拋出的輕塑料球的運動可以看成斜上拋運動()
(2)做斜上拋運動的物體到達最高點時的速度為零()
(3)斜上拋運動是勻變速曲線運動()
關|鍵|能|力
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.基本規律和極值。
以斜拋運動的拋出點為坐標原點O,水平向右為x軸的正方向,豎直向上為y軸的正方向,建立如圖所示的平面直角坐標系xOy。
初速度可分解為v0x=v0cos θ,v0y=v0sin θ。
在水平方向,物體的位移和速度分別為
x=v0xt=(v0cos θ)t,　①
vx=v0x=v0cos θ,　②
在豎直方向,物體的位移和速度分別為
y=v0yt-gt2=(v0sin θ)t-gt2,　③
vy=v0y-gt=v0sin θ-gt。　④
在最高點,vy=0,由④式得到t=,⑤
將⑤式代入③式得物體的射高ym=,⑥
物體落回與拋出點同一高度時,有y=0,
由③式得總時間t總=,　⑦
將⑦式代入①式得物體的射程xm=,
當θ=45°時,sin 2θ最大,射程最大。
所以對于給定大小的初速度v0,沿θ=45°方向斜向上拋出時,射程最大。
2.逆向思維法處理斜拋問題。
對斜上拋運動從拋出點到最高點的運動,可逆過程分析,看成平拋運動,分析完整的斜上拋運動,還可根據對稱性求解某些問題。
【典例9】　(2023·湖南卷)如圖甲,我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖乙所示,其軌跡在同一豎直平面內,拋出點均為O,且軌跡交于P點,拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上。忽略空氣阻力,關于兩谷粒在空中的運動,下列說法正確的是(　　)
甲　乙
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高點的速度小于v1
C.兩谷粒從O到P的運動時間相等
D.兩谷粒從O到P的平均速度相等
命題特點:本題以拋撒谷粒為背景考查平拋運動和斜上拋運動的規律,解題中易出現錯誤的理解是兩谷粒的軌跡相交,不是兩谷粒相遇。
復習建議:物理試題離不開情境,解答實際問題時,從真實情境中提煉出平拋運動和斜上拋運動模型是解題的關鍵一步。大多數物理問題三步完成解題,第一步,審題,分析物理問題的情境和已知條件;第二步,從復雜的情境中提煉出有用信息,建立物理模型;第三步,列方程求解。
第2講　拋體運動
考點1
必備知識 　
1.水平　重力　2.勻變速　拋物線　3.勻速直線　自由落體　4.(1)gt　=　　(2)v0t　gt2　　
微點辨析　(1)×　(2)×　(3)√
關鍵能力 　
【典例1】　B　解析　車做平拋運動,設運動時間為t,豎直方向h=gt2,水平方向d=v0t,其中d=25 m,v0=25 m/s,解得h=5 m,B項正確。
【典例2】　D　解析　由于相遇時A、B做平拋運動的豎直位移h相同,由h=gt2可知兩球下落時間相同,兩球應同時拋出,A、B兩項錯誤;根據以上分析A、B做平拋運動的時間相同,但xA>xB,由于水平方向做勻速直線運動,則vAx > vBx,相遇時v=,則相遇時A球速率大于B球速率,C項錯誤,D項正確。
【典例3】　答案　(1)　(2)d　(3)Sd
解析　(1)水在空中做平拋運動,由平拋運動規律得,豎直方向h=gt2,
解得水從管口到水面的運動時間t=。
(2)由平拋運動規律得,水平方向d=v0t,
解得水從管口排出時的速度大小
v0=d。
(3)管口單位時間內流出水的體積
Q=Sv0=Sd。
考點2
關鍵能力 　
【典例4】　C　解析　物體做平拋運動,當垂直地撞在傾角為θ的斜面上時,把物體的速度分解如圖所示,tan θ=,代入數據解得t= s,C項正確。
【典例5】　C　解析　根據平拋運動的推論,做平拋(或類平拋)運動的物體在任一時刻或任一位置時,設其速度方向與水平方向的夾角為α,位移與水平方向的夾角為β,則tan α=2tan β,由上述關系式結合題圖中的幾何關系可得tan(φ+θ)=2tan θ,此式表明小球的速度方向與斜面間的夾角φ僅與θ有關,而與初速度無關,因此φ1=φ2,即以不同初速度平拋的物體,落在斜面上各點的速度方向是互相平行的,C項正確。
【典例6】　B　解析　根據題意得小球做平拋運動,設半圓形軌道半徑為R,水平方向小球做勻速直線運動,豎直方向為自由落體運動,即R-Rcos θ=v0t,Rsin θ=gt2,整理得t=,B項正確。
考點3
關鍵能力 　
【典例7】　C　解析　若小物塊恰好碰到窗口上沿,由平拋運動規律,L=v1t1,h=g,聯立解得小物塊的速度v1=7 m/s;若小物塊恰好碰到窗口下沿,由平拋運動規律,L+d=v2t2,h+H=g,聯立解得小物塊的速度v2=3 m/s。所以小物塊速度v的取值范圍是3 m/s【典例8】　C　解析　小球從最高點到右端出口,滿足機械能守恒定律,有mg(H-h)=mv2,從右端出口飛出后小球做平拋運動,有x=vt,h=gt2,聯立解得x=2,根據數學知識知,當H-h=h時,x最大,即h=1 m時,小球飛得最遠,此時右端出口距離桌面高度為Δh=1 m-0.8 m=0.2 m,C項正確。
考點4
必備知識 　
1.斜向上方　重力　2.g　勻變速　拋物線
3.(1)勻速　(2)勻變速
微點辨析　(1)×　(2)×　(3)√
關鍵能力 　
【典例9】　B　解析　拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用,加速度均為重力加速度,故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度,A項錯誤;在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運動,谷粒1做自由落體運動,豎直方向上位移相同,谷粒2運動時間較長,C項錯誤;兩谷粒水平方向的分運動均為勻速直線運動,水平位移相同,但谷粒2運動時間較長,故谷粒2水平方向上的速度小于v1,B項正確;兩谷粒從O點運動到P點的位移相同,運動時間不同,故平均速度不相等,谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度,D項錯誤。(共46張PPT)
第2講
第四章 拋體運動　圓周運動
拋體運動
目
標
要
求
1.掌握平拋運動的規律，學會運用運動的合成與分解處理類平拋、斜拋運動。2.學會處理斜面或圓弧面約束下的平拋運動問題。3.會處理平拋運動中的臨界、極值問題。
考點1　平拋運動的規律
考點2　落點有約束的平拋運動
內容
索引
考點3　平拋運動的臨界、極值問題
考點4　斜拋運動
平拋運動的規律
考點1
必|備|知|識
1.平拋運動：將物體以一定初速度沿_________方向拋出，物體只在_______作用下的運動。
2.平拋運動的性質：平拋運動是加速度為g的________曲線運動，運動軌跡為________。
3.研究方法：化曲為直，可分解為水平方向的____________運動和豎直方向的___________運動。
水平
重力
勻變速
拋物線
勻速直線
自由落體
4.平拋運動的規律。
(1)速度關系。

(2)位移關系。
(1)平拋運動的加速度方向與速度方向總是垂直的( )
(2)平拋運動的初速度越大，在空中飛行的時間越長( )
(3)相等時間內做平拋運動的物體速度變化總是相同的，且方向一定豎直向下( )
關|鍵|能|力
1.速度改變量：因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內的速度改變量Δv=gΔt是相同的，方向恒為豎直向下。
2.兩個重要的推論。
(1)做平拋運動的物體，在任一位置P(x，y)的瞬時速度的反向延長線與x軸交點A的橫坐標為，如圖所示。

(2)做平拋運動的物體，在任一位置速度偏向角θ與位移偏向角α的關系為tan θ=2tan α。
考向1
平拋運動的基本規律
【典例1】　(2024·海南卷)在跨越河流表演中，一人騎車以25 m/s的速度水平沖出平臺，恰好跨越長x=25 m的河流落在河對岸平臺上，已知河流寬度25 m，不計空氣阻力，取g=10 m/s2，則兩平臺的高度差h為( )
A.0.5 m B.5 m C.10 m D.20 m
車做平拋運動，設運動時間為t，豎直方向h=gt2，水平方向d= v0t，其中d=25 m，v0=25 m/s，解得h=5 m，B項正確。
解析
考向2
多個物體的平拋運動
【典例2】　(2025·東莞模擬)在同一水平直線上的兩位置分別沿同方向拋出兩小球A和B，其運動軌跡如圖所示，不計空氣阻力，兩球在空中P點相遇，則( )
A.應先拋出A球
B.應先拋出B球
C.相遇時A球速率小于B球速率
D.拋出時A球的初速度大于B球的初速度
由于相遇時A、B做平拋運動的豎直位移h相同，由h=gt2可知兩球下落時間相同，兩球應同時拋出，A、B兩項錯誤；根據以上分析A、B做平拋運動的時間相同，但xA>xB，由于水平方向做勻速直線運動，則vAx > vBx，相遇時v=，則相遇時A球速率大于B球速率，C項錯誤，D項正確。
解析
考向3
流體的平拋運動
【典例3】　(2024·北京卷)如圖所示，水平放置的排水管滿口排 水，管口的橫截面積為S，管口離水池水面的高度為h，水在水池中的落點與管口的水平距離為d。假定水在空中做平拋運動，已知重力加速度為g，h遠大于管口內徑。求：
(1)水從管口到水面的運動時間t；
水在空中做平拋運動，由平拋運動規律得，豎直方向h=gt2，
解得水從管口到水面的運動時間t=。
解析
(2)水從管口排出時的速度大小v0；
由平拋運動規律得，水平方向d=v0t，
解得水從管口排出時的速度大小v0=d。
解析
(3)管口單位時間內流出水的體積Q。
管口單位時間內流出水的體積
Q=Sv0=Sd。
解析
命題特點：本題以排水管(水平放置)排水為背景考查流體的平拋運動，這里對流量(單位時間內流過的水的體積)的概念要有正確的理解，流量Q=Sv。
復習建議：用平拋運動的規律解決實際問題時，要能夠從復雜的情境中提煉出解題需要的物理模型。
落點有約束的平拋運動
考點2
關|鍵|能|力
與斜面或圓弧有關的平拋運動。
已知條件 情景示例 解題策略
已知速 度方向 物體做平拋運動，垂直落到斜面上，如圖所示，已知某時刻的速度方向垂直于斜面 分解速度，有
tan θ==
已知速 度方向 物體做平拋運動，恰好無碰撞地進入 圓弧形軌道，如圖所示，即已知某時 刻的速度方向沿該點圓弧的切線方向 分解速度，有
tan θ==
已知位 移方向 物體從斜面上平拋又落回到斜面上， 如圖所示，已知位移的方向沿斜面 向下 分解位移，有
tan θ==
物體從斜面外平拋，落在斜面上有 最小的位移，如圖所示，即已知位 移方向垂直于斜面 分解位移，有
tan θ==
利用 位移 關系 物體從圓心處平拋，落到半 徑為R的圓弧上，如圖所示， 位移大小等于半徑R 運用幾何關系x2+y2=R2，
且x=v0t，y=gt2
物體從與圓心等高的圓弧上 拋出落到半徑為R的圓弧上， 如圖所示，水平位移x與R的 差的平方與豎直位移的平方 之和等于半徑的平方 運用幾何關系x=R+Rcos θ，
y=Rsin θ，(x-R)2+y2=R2，
且x=v0t，y=gt2
考向1
已知某時刻速度方向類
【典例4】　如圖所示，以10 m/s的水平初速度拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角θ=30°的斜面上，g取10 m/s2，這段飛行所用的時間為( )
A. s B. s C. s D.2 s
物體做平拋運動，當垂直地撞在傾角為θ的斜面上時，把物體的速度分解如圖所示，tan θ=，代入數據解得t= s，C項正確。
解析
考向2
已知位移方向類
【典例5】　如圖所示，從傾角為θ且足夠長的斜面的頂點A，先后將同一小球以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為v1，小球落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為φ1，第二次初速度為 v2，小球落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為φ2，若v2>v1，則φ1和φ2的大小關系是( )
A.φ1>φ2 B.φ1<φ2
C.φ1=φ2 D.無法確定
根據平拋運動的推論，做平拋(或類平拋)運動的物體在任一時刻或任一位置時，設其速度方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為β，則tan α=2tan β，由上述關系式結合題圖中的幾何關系可得tan(φ+θ)=2tan θ，此式表明小球的速度方向與斜面間的夾角φ僅與θ有關，而與初速度無關，因此φ1=φ2，即以不同初速度平拋的物體，落在斜面上各點的速度方向是互相平行的，C項正 確。
解析
考向3
利用位移關系類
【典例6】　如圖所示，在豎直平面內有一半圓形軌道，圓心為O。一小球(可視為質點)從與圓心等高的圓形軌道上的A點以速度v0水平向右拋出，落于圓軌道上的C點。已知OC的連線與OA的夾角為θ，重力加速度為g，則小球從A運動到C的時間為( )
A. B. C. D.
根據題意得小球做平拋運動，設半圓形軌道半徑為R，水平方向小球做勻速直線運動，豎直方向為自由落體運動，即R-Rcos θ=v0t，Rsin θ=gt2，整理得t=，B項正確。
解析
平拋運動的臨界、極值問題
考點3
關|鍵|能|力
常見的“三種”臨界特征。
(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。
考向1
平拋運動的臨界問題
【典例7】　如圖所示，窗口上、下沿間的高度H=1.6 m，墻的厚度d=0.4 m，某人在離墻壁距離L=1.4 m、距窗口上沿高h=0.2 m處的P點，將可視為質點的小物塊以速度v垂直于墻壁水平拋出，小物塊直接穿過窗口并落在水平地面上，取g=10 m/s2，則v的取值范圍是( )
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s若小物塊恰好碰到窗口上沿，由平拋運動規律，L=v1t1，h= g，聯立解得小物塊的速度v1=7 m/s；若小物塊恰好碰到窗口下沿，由平拋運動規律，L+d=v2t2，h+H=g，聯立解得小物塊的速度v2=3 m/s。所以小物塊速度v的取值范圍是3 m/s解析
考向2
平拋運動的極值問題
【典例8】　某科技比賽中，參賽者設計了一個軌道模型，如圖所示。模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高點距離水平地面2 m，右端出口水平。現讓小球由最高點靜止釋放，忽略阻力作 用，為使小球飛得最遠，右端出口距離桌面的高度應設計為( )
A.0 B.1 m C.0.2 m D.0.3 m
小球從最高點到右端出口，滿足機械能守恒定律，有mg(H-h)=mv2，從右端出口飛出后小球做平拋運動，有x=vt，h=gt2，聯立解得x=2，根據數學知識知，當H-h=h時，x最大，即h=1 m時，小球飛得最遠，此時右端出口距離桌面高度為Δh= 1 m-0.8 m=0.2 m，C項正確。
解析
斜拋運動
考點4
必|備|知|識
1.定義：將物體以初速度v0_________________或斜向下方拋出，物體只在_______作用下的運動。
2.性質：斜拋運動是加速度為g的___________曲線運動，運動軌跡是________。
3.研究方法：運動的合成與分解。
(1)水平方向：______直線運動。
(2)豎直方向：________直線運動。
斜向上方
重力
勻變速
拋物線
勻速
勻變速
(1)初速度方向斜向上拋出的輕塑料球的運動可以看成斜上拋運動
( )
(2)做斜上拋運動的物體到達最高點時的速度為零( )
(3)斜上拋運動是勻變速曲線運動( )
關|鍵|能|力
1.基本規律和極值。
以斜拋運動的拋出點為坐標原點O，水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy。
初速度可分解為v0x=v0cos θ，v0y=v0sin θ。
在水平方向，物體的位移和速度分別為
x=v0xt=(v0cos θ)t，　①
vx=v0x=v0cos θ，　②
在豎直方向，物體的位移和速度分別為
y=v0yt-gt2=(v0sin θ)t-gt2，　③
vy=v0y-gt=v0sin θ-gt。　④
在最高點，vy=0，由④式得到t=，⑤
將⑤式代入③式得物體的射高ym=，⑥
物體落回與拋出點同一高度時，有y=0，
由③式得總時間t總=，　⑦
將⑦式代入①式得物體的射程xm=，
當θ=45°時，sin 2θ最大，射程最大。
所以對于給定大小的初速度v0，沿θ=45°方向斜向上拋出時，射程最大。
2.逆向思維法處理斜拋問題。
對斜上拋運動從拋出點到最高點的運動，可逆過程分析，看成平拋運動，分析完整的斜上拋運動，還可根據對稱性求解某些問題。
【典例9】　(2023·湖南卷)如圖甲，我國某些農村地區人們用手拋撒谷粒進行水稻播種。某次拋出的谷粒中有兩顆的運動軌跡如圖乙所示，其軌跡在同一豎直平面內，拋出點均為O，且軌跡交于P點，拋出時谷粒1和谷粒2的初速度分別為v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空氣阻力，關于兩谷粒在空中的運動，下列說法正確的是( )
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高點的速度小于v1
C.兩谷粒從O到P的運動時間相等
D.兩谷粒從O到P的平均速度相等
拋出的兩谷粒在空中均僅受重力作用，加速度均為重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度，A項錯誤；在豎直方向上谷粒2做豎直上拋運動，谷粒1做自由落體運動，豎直方向上位移相同，谷粒2運動時間較長，C項錯誤；兩谷粒水平方向的分運動均為勻速直線運動，水平位移相同，但谷粒2運動時間較長，故谷粒2水平方向上的速度小于v1，B項正確；兩谷粒從O點運動到P點的位移相同，運動時間不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D項錯誤。
解析
命題特點：本題以拋撒谷粒為背景考查平拋運動和斜上拋運動的規律，解題中易出現錯誤的理解是兩谷粒的軌跡相交，不是兩谷粒相遇。
復習建議：物理試題離不開情境，解答實際問題時，從真實情境中提煉出平拋運動和斜上拋運動模型是解題的關鍵一步。大多數物理問題三步完成解題，第一步，審題，分析物理問題的情境和已知條件；第二步，從復雜的情境中提煉出有用信息，建立物理模型；第三步，列方程求解。微練13　拋體運動
　梯級Ⅰ基礎練
1.(2024·新課標卷)福建艦是我國自主設計建造的首艘彈射型航空母艦。借助配重小車可以進行彈射測試，測試時配重小車被彈射器從甲板上水平彈出后，落到海面上。調整彈射裝置，使小車水平離開甲板時的動能變為調整前的4倍。忽略空氣阻力，則小車在海面上的落點與其離開甲板處的水平距離為調整前的(　　)
A.0.25倍　 B.0.5倍　 C.2倍　　 D.4倍
2.(多選)(2024·廣西卷)如圖，在光滑平臺上有兩個相同的彈性小球M和N。M水平向右運動，速度大小為v。M與靜置于平臺邊緣的N發生正碰，碰撞過程中總機械能守恒。若不計空氣阻力，則碰撞后，N在(　　)
A.豎直墻面上的垂直投影的運動是勻速運動
B.豎直墻面上的垂直投影的運動是勻加速運動
C.水平地面上的垂直投影的運動速度大小等于v
D.水平地面上的垂直投影的運動速度大小大于v
3.(2025·巴彥淖爾模擬)乒乓球運動是我國喜聞樂見的體育運動，所有人都可以通過乒乓球運動來鍛煉身體。某同學在一次乒乓球練習中，以大小為 m/s的初速度將乒乓球水平擊出，乒乓球在空中形成一段拋物線，乒乓球在A點的速度方向與水平方向成30°角，運動到B點時速度方向與水平方向成60°角，取重力加速度大小g=10 m/s2，不計空氣阻力，則乒乓球從A點運動到B點的豎直位移大小為(　　)
A.0.1 m B.0.4 m C.0.45 m D.0.9 m
4.(2025·蚌埠模擬)如圖P點為某次演習中轟炸機需要轟炸的山坡上的目標，山坡的傾角θ=37°，演習要求飛機沿水平方向飛行并在距目標h高度時投彈，且炸彈垂直擊中山坡上的P點，不計空氣阻力，重力加速度為g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8 ，則炸彈投出時的速度大小為(　　)
A. B.
C. D.
5.(2024·浙江卷)如圖所示，小明取山泉水時發現水平細水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A點。已知桶高為h，直徑為D，則水離開出水口的速度大小為(　　)
A. B.
C. D.(+1)D
6.(多選)(2024·江西卷)一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖所示，以小魚躍出水面處為坐標原點，x軸沿水平方向，建立坐標系，小魚的初速度為v0，末速度v沿x軸正方向。在此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置x、豎直位置y、水平方向分速度vx和豎直方向分速度vy與時間t的關系，下列圖像可能正確的是(　　)
7.(2025·茂名模擬)如圖，在同一豎直面內，小球a、b從高度不同的兩點，分別以初速度va和vb沿水平方向拋出，經過時間ta和tb后落到與兩拋出點水平距離相等的P點。若不計空氣阻力，下列關系式正確的是(　　)
A.ta>tb，va>vb B.taC.ta>tb，vatb，va=vb
梯級Ⅱ能力練
8.如圖所示，在水平地面上M點的正上方h高度處，將小球S1以速度大小為v水平向右拋出，同時在地面上N點處將小球S2以速度大小為v豎直向上拋出。在S2球上升到最高點時恰與S1球相遇，不計空氣阻力。關于這段過程，下列說法正確的是(　　)
A.兩球的速度變化不同
B.相遇時小球S1的速度方向與水平方向夾角為45°
C.兩球的相遇點在N點上方處
D.M、N間的距離為2h
9.(多選)(2025·西安模擬)如圖所示為抽水機抽水灌溉農田的情景，已知抽水機出水流量為Q(單位時間從管口流出水的體積)，水平出水口處的水柱橫截面積為S，出水口與水的落點間高度差為h，重力加速度為g。則(　　)
A.空中水的體積為Q
B.空中水的體積為Q
C.水的落點離出水口的水平距離為
D.水的落點離出水口的水平距離為QS
10.(多選)(2024·山東卷)如圖所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，初速度v0大小為20 m/s，與水平方向的夾角為30°，拋出點P和落點Q的連線與水平方向夾角為30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空氣阻力。重物在此運動過程中，下列說法正確的是(　　)
A.運動時間為2 s
B.落地速度與水平方向夾角為60°
C.重物離PQ連線的最遠距離為10 m
D.軌跡最高點與落點的高度差為45 m
11.(2025·通化模擬)某連隊舉行匍匐投彈比賽，即人匍匐在傾角θ=37°的山坡腳下向山坡上投擲手榴彈。某戰士投擲后，手榴彈落在山坡上的D點，到達D點時速度恰好沿水平方向，測得AD長為L，重力加速度大小為g，忽略戰士的投彈高度(可認為手榴彈從斜面底端投出)，不計空氣阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求:
(1)手榴彈在空中運動的時間t1;
(2)手榴彈到達D點時的速度大小v1;
(3)手榴彈出手時的速度大小v及出手速度與水平方向夾角的正切值。
梯級Ⅲ創新練
12.(多選)(2025·南充模擬)如圖所示，某同學在進行投籃訓練時，將籃球從距水平地面高度為1.95 m、距籃板水平距離為4 m處投向籃板，籃球恰好沿水平方向擊中籃板上離地高度為3.2 m處，籃球反向彈回后又恰好落在該同學腳下，取重力加速度大小g=10 m/s2，不計空氣阻力，下列說法正確的是(　　)
A.籃球剛離開手時的速度大小為13 m/s
B.籃球擊中籃板前瞬間的速度大小為8 m/s
C.籃球反向彈回時的速度大小為6 m/s
D.籃球落地時的速度方向與水平方向夾角的正切值為1.6
微練13　拋體運動
1.C　解析　動能表達式為Ek=mv2,若小車水平離開甲板時的動能變為調整前的4倍,則離開甲板時速度變為調整前的2倍;小車離開甲板后做平拋運動,從離開甲板到到達海面所用時間不變,根據x=vt,小車在海面上的落點與其離開甲板處的水平距離為調整前的2倍,C項正確。
2.BC　解析　由于兩小球碰撞過程中機械能守恒,可知兩小球碰撞過程是彈性碰撞,由于兩小球質量相等,故碰撞后兩小球交換速度,即vM=0,vN=v,碰后小球N做平拋運動,在水平方向做勻速直線運動,即水平地面上的垂直投影的運動速度大小等于v;在豎直方向上做自由落體運動,即豎直墻面上的垂直投影的運動是自由落體運動,B、C兩項正確。
3.B　解析　分解乒乓球在A、B兩點的速度,可得vyA=v0tan 30°,vyB=v0tan 60°,根據v2=2gh可得Δh=hB-hA=0.4 m,B項正確。
4.C　解析　設炸彈的運動時間為t,h=gt2,tan 53°=,解得v0=,C項正確。
5.C　解析　設出水口到水桶中心距離為x,則x=v0,落到桶底A點時,有x+=v0,解得v0=,C項正確。
6.AD　解析　小魚在運動過程中只受重力作用,則小魚在水平方向上做勻速直線運動,即vx為定值,則有水平位移x=vxt,A項正確,C項錯誤;小魚在豎直方向上做豎直上拋運動,則y=vy0t-gt2,vy=vy0-gt,且最高點時豎直方向的速度為0,B項錯誤,D項正確。
7.C　解析　根據h=gt2,可得t=,因為ha>hb,可知ta>tb,根據v=,兩球水平位移相等,則va8.B　解析　兩球加速度均為重力加速度,則相同時間內速度變化量相同,A項錯誤;S2球上升到最高點時恰與S1球相遇,則兩球相遇時間t=,小球S1的速度方向與水平方向夾角tan θ==1,即相遇時小球S1的速度方向與水平方向夾角為45°,B項正確;兩球在豎直方向的運動是互逆的,則相遇點在N點上方處,C項錯誤;M、N間的距離為x=vt=,又h=2×,則x=h,D項錯誤。
9.AC　解析　水在空中運動時間t=,則空中水的體積為V=Qt=Q,A項正確,B項錯誤;由Q=Sv得到v=,水的落點離出水口水平距離為x=v=,C項正確,D項錯誤。
10.BD　解析　將初速度分解為沿PQ方向分速度v1和垂直PQ分速度v2,則有v1=v0cos 60°=10 m/s,v2=v0sin 60°=10 m/s,將重力加速度分解為沿PQ方向分加速度a1和垂直PQ分加速度a2,則有a1=gsin 30°=5 m/s2,a2=gcos 30°=5 m/s2,垂直PQ方向根據對稱性可得重物運動時間為t=2=4 s,重物離PQ連線的最遠距離為dmax==10 m,A、C兩項錯誤;重物落地時豎直分速度大小為vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s,落地速度與水平方向夾角正切值為tan θ===,解得θ=60°,B項正確;從拋出到最高點所用時間為t1==1 s,從最高點到落地所用時間為t2=t-t1=3 s,軌跡最高點與落點的高度差為h=g=45 m,D項正確。
11.答案　(1)　 (2)
(3)　
解析　(1)手榴彈在空中的逆運動為平拋運動,根據題意有
y=g,
根據幾何關系y=Lsin θ=0.6L,
解得t1=。
(2)到D點時手榴彈的速度大小為v1,則Lcos θ=v1t1,
解得v1=。
(3)手榴彈剛出手時豎直方向的初速度
vy=gt1=,
手榴彈出手時的速度
v==,
設手榴彈出手時的速度與水平方向的夾角為α,則tan α==。
12.BD　解析　籃球上升過程中,上升的高度h1=3.2 m-1.95 m=1.25 m,上升時間t1==0.5 s,出手時的水平速度v1x==8 m/s,豎直速度v1y=gt1=5 m/s,籃球剛離開手時的速度大小為v1== m/s,A項錯誤,B項正確;反彈后下落的時間t2== s=0.8 s,反彈后的水平速度v2x==5 m/s,C項錯誤;落地時的豎直速度v2y=gt2=8 m/s,落地時的速度方向與水平方向的夾角的正切值tan θ==1.6,D項正確。(共32張PPT)
微練13
拋體運動
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1.(2024·新課標卷)福建艦是我國自主設計建造的首艘彈射型航空母艦。借助配重小車可以進行彈射測試，測試時配重小車被彈射器從甲板上水平彈出后，落到海面上。調整彈射裝置，使小車水平離開甲板時的動能變為調整前的4倍。忽略空氣阻力，則小車在海面上的落點與其離開甲板處的水平距離為調整前的( )
A.0.25倍 B.0.5倍
C.2倍 D.4倍
梯級Ⅰ 基礎練
動能表達式為Ek=mv2，若小車水平離開甲板時的動能變為調整前的4倍，則離開甲板時速度變為調整前的2倍；小車離開甲板后做平拋運動，從離開甲板到到達海面所用時間不變，根據x=vt，小車在海面上的落點與其離開甲板處的水平距離為調整前的2倍，C項正確。
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2.(多選)(2024·廣西卷)如圖，在光滑平臺上有兩個相同的彈性小球M和N。M水平向右運動，速度大小為v。M與靜置于平臺邊緣的N發生正碰，碰撞過程中總機械能守恒。若不計空氣阻力，則碰撞后，N在( )
A.豎直墻面上的垂直投影的運動是勻速運動
B.豎直墻面上的垂直投影的運動是勻加速運動
C.水平地面上的垂直投影的運動速度大小等于v
D.水平地面上的垂直投影的運動速度大小大于v
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由于兩小球碰撞過程中機械能守恒，可知兩小球碰撞過程是彈性碰撞，由于兩小球質量相等，故碰撞后兩小球交換速度，即vM= 0，vN=v，碰后小球N做平拋運動，在水平方向做勻速直線運動，即水平地面上的垂直投影的運動速度大小等于v；在豎直方向上做自由落體運動，即豎直墻面上的垂直投影的運動是自由落體運 動，B、C兩項正確。
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3.(2025·巴彥淖爾模擬)乒乓球運動是我國喜聞樂見的體育運動，所有人都可以通過乒乓球運動來鍛煉身體。某同學在一次乒乓球練習中，以大小為 m/s的初速度將乒乓球水平擊出，乒乓球在空中形成一段拋物線，乒乓球在A點的速度方向與水平方向成30°角，運動到B點時速度方向與水平方向成60°角，取重力加速度大小g=10 m/s2，不計空氣阻力，則乒乓球從A點運動到B點的豎直位移大小為( )
A.0.1 m B.0.4 m
C.0.45 m D.0.9 m
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分解乒乓球在A、B兩點的速度，可得vyA=v0tan 30°，vyB= v0tan 60°，根據v2=2gh可得Δh=hB-hA=0.4 m，B項正確。
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4.(2025·蚌埠模擬)如圖P點為某次演習中轟炸機需要轟炸的山坡上的目標，山坡的傾角θ=37°，演習要求飛機沿水平方向飛行并在距目標h高度時投彈，且炸彈垂直擊中山坡上的P點，不計空氣阻力，重力加速度為g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8 ，則炸彈投出時的速度大小為( )
A. B.
C. D.
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設炸彈的運動時間為t，h=gt2，tan 53°=，解得v0=，C項正確。
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5.(2024·浙江卷)如圖所示，小明取山泉水時發現水平細水管到水平地面的距離為水桶高的兩倍，在地面上平移水桶，水恰好從桶口中心無阻擋地落到桶底邊沿A點。已知桶高為h，直徑為D，則水離開出水口的速度大小為( )
A. B.
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設出水口到水桶中心距離為x，則x=v0，落到桶底A點時，有x+=v0，解得v0=，C項正確。
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6.(多選)(2024·江西卷)一條河流某處存在高度差，小魚從低處向上躍出水面，沖到高處。如圖所示，以小魚躍出水面處為坐標原點，x軸沿水平方向，建立坐標系，小魚的初速度為v0，末速度v沿x軸正方向。在此過程中，小魚可視為質點且只受重力作用。關于小魚的水平位置x、豎直位置y、水平方向分速度vx和豎直方向分速度vy與時間t的關系，下列圖像可能正確的是( )
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小魚在運動過程中只受重力作用，則小魚在水平方向上做勻速直線運動，即vx為定值，則有水平位移x=vxt，A項正確，C項錯誤；小魚在豎直方向上做豎直上拋運動，則y=vy0t-gt2，vy=vy0-gt，且最高點時豎直方向的速度為0，B項錯誤，D項正確。
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7.(2025·茂名模擬)如圖，在同一豎直面內，小球a、b從高度不同的兩點，分別以初速度va和vb沿水平方向拋出，經過時間ta和tb后落到與兩拋出點水平距離相等的P點。若不計空氣阻力，下列關系式正確的是( )
A.ta>tb，va>vb B.taC.ta>tb，vatb，va=vb
根據h=gt2，可得t=，因為ha>hb，可知ta>tb，根據v=，兩球水平位移相等，則va解析
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8.如圖所示，在水平地面上M點的正上方h高度處，將小球S1以速度大小為v水平向右拋出，同時在地面上N點處將小球S2以速度大小為v豎直向上拋出。在S2球上升到最高點時恰與S1球相遇，不計空氣阻 力。關于這段過程，下列說法正確的是( )
A.兩球的速度變化不同
B.相遇時小球S1的速度方向與水平方向夾角為45°
C.兩球的相遇點在N點上方處
D.M、N間的距離為2h
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梯級Ⅱ 能力練
兩球加速度均為重力加速度，則相同時間內速度變化量相同，A項錯誤；S2球上升到最高點時恰與S1球相遇，則兩球相遇時間t= ，小球S1的速度方向與水平方向夾角tan θ==1，即相遇時小球S1的速度方向與水平方向夾角為45°，B項正確；兩球在豎直方向的運動是互逆的，則相遇點在N點上方處，C項錯誤；M、N間的距離為x=vt=，又h=2×，則x=h，D項錯誤。
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9.(多選)(2025·西安模擬)如圖所示為抽水機抽水灌溉農田的情景，已知抽水機出水流量為Q(單位時間從管口流出水的體積)，水平出水口處的水柱橫截面積為S，出水口與水的落點間高度差為h，重力加速度為g。則( )
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A.空中水的體積為Q
B.空中水的體積為Q
C.水的落點離出水口的水平距離為
D.水的落點離出水口的水平距離為QS
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水在空中運動時間t=，則空中水的體積為V=Qt=Q，A項正確，B項錯誤；由Q=Sv得到v=，水的落點離出水口水平距離為x=v=，C項正確，D項錯誤。
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10.(多選)(2024·山東卷)如圖所示，工程隊向峽谷對岸平臺拋射重物，初速度v0大小為20 m/s，與水平方向的夾角為30°，拋出點P和落點Q的連線與水平方向夾角為30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空氣阻力。重物在此運動過程中，下列說法正確的是( )
A.運動時間為2 s
B.落地速度與水平方向夾角為60°
C.重物離PQ連線的最遠距離為10 m
D.軌跡最高點與落點的高度差為45 m
將初速度分解為沿PQ方向分速度v1和垂直PQ分速度v2，則有v1=v0cos 60°=10 m/s，v2=v0sin 60°=10 m/s，將重力加速度分解為沿PQ方向分加速度a1和垂直PQ分加速度a2，則有a1= gsin 30°=5 m/s2，a2=gcos 30°=5 m/s2，垂直PQ方向根據對稱性可得重物運動時間為t=2=4 s，重物離PQ連線的最遠距離為dmax==10 m，A、C兩項錯誤；重物落地時豎直分速度大小
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為vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s，落地速度與水平方向夾角正切值為tan θ===，解得θ=60°，B項正確；從拋出到最高點所用時間為t1==1 s，從最高點到落地所用時間為t2=t-t1= 3 s，軌跡最高點與落點的高度差為h=g=45 m，D項正確。
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11.(2025·通化模擬)某連隊舉行匍匐投彈比賽，即人匍匐在傾角θ=37°的山坡腳下向山坡上投擲手榴彈。某戰士投擲后，手榴彈落在山坡上的D點，到達D點時速度恰好沿水平方向，測得AD長為L，重力加速度大小為g，忽略戰士的投彈高度(可認為手榴彈從斜面底端投出)，不計空氣阻力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
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(1)手榴彈在空中運動的時間t1；
手榴彈在空中的逆運動為平拋運動，根據題意有y=g，
根據幾何關系y=Lsin θ=0.6L，
解得t1=。
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(2)手榴彈到達D點時的速度大小v1；
到D點時手榴彈的速度大小為v1，則
Lcos θ=v1t1，
解得v1=。
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(3)手榴彈出手時的速度大小v及出手速度與水平方向夾角的正切 值。
手榴彈剛出手時豎直方向的初速度vy=gt1=，
手榴彈出手時的速度v==，
設手榴彈出手時的速度與水平方向的夾角為α，則tan α==。
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12.(多選)(2025·南充模擬)如圖所示，某同學在進行投籃訓練時，將籃球從距水平地面高度為1.95 m、距籃板水平距離為4 m處投向籃板，籃球恰好沿水平方向擊中籃板上離地高度為3.2 m處，籃球反向彈回后又恰好落在該同學腳下，取重力加速度大小g=10 m/s2，不計空氣阻力，下列說法正確的是( )
梯級Ⅲ 創新練
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A.籃球剛離開手時的速度大小為13 m/s
B.籃球擊中籃板前瞬間的速度大小為8 m/s
C.籃球反向彈回時的速度大小為6 m/s
D.籃球落地時的速度方向與水平方向夾角的正切值為1.6
籃球上升過程中，上升的高度h1=3.2 m-1.95 m=1.25 m，上升時間t1==0.5 s，出手時的水平速度v1x==8 m/s，豎直速度v1y=gt1=5 m/s，籃球剛離開手時的速度大小為v1==
解析
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m/s，A項錯誤，B項正確；反彈后下落的時間t2== s=0.8 s，反彈后的水平速度v2x==5 m/s，C項錯誤；落地時的豎直速度v2y=gt2=8 m/s，落地時的速度方向與水平方向的夾角的正切值tan θ==1.6，D項正確。
解析
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