資源簡(jiǎn)介

專題提升練7　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
　
梯級(jí)Ⅰ基礎(chǔ)練
1.(2024·江蘇卷)陶瓷是以粘土為主要原料以及各種天然礦物經(jīng)過粉碎混煉、成型和煅燒制得的材料以及各種制品。如圖所示是生產(chǎn)陶瓷的簡(jiǎn)化工作臺(tái)，當(dāng)陶瓷勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，臺(tái)面面上掉有陶屑，陶屑與桌面間的動(dòng)摩因數(shù)處處相同(臺(tái)面夠大)，則(　　)
A.離軸OO'越遠(yuǎn)的陶屑質(zhì)量越大
B.離軸OO'越近的陶屑質(zhì)量越小
C.只有平臺(tái)邊緣有陶屑
D.離軸最遠(yuǎn)的陶屑距離不會(huì)超過某一值
2.如圖所示，一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，水平輕繩連接兩個(gè)物體A和B，物體A的質(zhì)量為M，物體B的質(zhì)量為m，物體A在轉(zhuǎn)軸位置上，繩剛好被拉直且無拉力。兩物體均看作質(zhì)點(diǎn)，兩物體與圓盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)相等。在圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度從零慢慢增大的過程中(　　)
A.繩中一直有拉力，且逐漸最大
B.物體B一直受到圓盤的摩擦力
C.物體A一直受到圓盤的摩擦力
D.物體B和A受到圓盤的摩擦力大小相等
3.(多選)如圖所示，A是用輕繩連接的小球，B是用輕桿連接的小球，兩球都在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且繩、桿長(zhǎng)度L相等，重力加速度大小為g。忽略空氣阻力，下面說法正確的是(　　)
A.A球通過圓周最高點(diǎn)的最小速度是
B.B球通過圓周最高點(diǎn)的最小速度為零
C.A球到最低點(diǎn)時(shí)處于超重狀態(tài)，B球到最低點(diǎn)時(shí)可能處于超重狀態(tài)，也可能處于失重狀態(tài)
D.B球通過最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定豎直向下
4.(多選)如圖所示，粗糙水平圓盤上，質(zhì)量均為m的A、B兩物塊(均可視為質(zhì)點(diǎn))疊放在一起，距軸心距離為L(zhǎng)，隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知圓盤與B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，B與A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5μ，假如最大靜摩擦力大小等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是(　　)
A.物塊A、B一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中加速度恒定
B.物塊A、B一起轉(zhuǎn)動(dòng)過程中所需向心力大小相等
C.A、B一起轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為
D.當(dāng)圓盤越轉(zhuǎn)越快，A相對(duì)B最先滑動(dòng)
5.(2025·淮北模擬)某特技演員曾飛車挑戰(zhàn)世界最大環(huán)形車道。如圖所示，環(huán)形車道豎直放置，半徑為6 m，若汽車在車道上以12 m/s恒定的速率運(yùn)動(dòng)，特技演員與汽車的總質(zhì)量為1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，則(　　)
A.汽車通過最低點(diǎn)時(shí)，特技演員處于失重狀態(tài)
B.汽車通過最高點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)形車道的壓力為1.4×104 N
C.汽車在環(huán)形車道上的角速度為1 rad/s
D.若要挑戰(zhàn)成功，汽車在最高點(diǎn)的速率至少為10 m/s
6.(2025·亳州模擬)如圖所示，平臺(tái)固定在轉(zhuǎn)軸的頂端，可隨轉(zhuǎn)軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B兩個(gè)小朋友坐在平臺(tái)兩側(cè)，A的質(zhì)量為m，B的質(zhì)量為2m。A到轉(zhuǎn)軸的距離是3l，B到轉(zhuǎn)軸的距離是l。兩小朋友腰間系一輕繩，輕繩通過轉(zhuǎn)軸中心，處于剛好伸直且無張力的狀態(tài)，小朋友與平臺(tái)接觸面間的最大靜摩擦力均為其重力的k倍，重力加速度大小為g。若使小朋友與平臺(tái)保持相對(duì)靜止，則平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不能超過(　　)
A.　 B. C.　 D.
7.如圖所示，某同學(xué)利用輕繩和小球制作“拉線飛輪”，他將質(zhì)量為m的小球系于輕繩的中間，兩手水平握住繩的兩端，使兩手之間的距離與手到小球的距離相等，現(xiàn)在使小球在豎直面內(nèi)以兩手連線為軸做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速率為v時(shí)，輕繩上拉力為零。則小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速率為2v時(shí)，輕繩中的拉力為小球重力的(　　)
A. 倍 B.2倍 C.2 倍 　D.3倍
梯級(jí)Ⅱ能力練
8.(多選)(2025·榆林模擬)如圖所示，裝置BO'O可繞豎直軸O'O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩輕細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)A、B間細(xì)線水平，A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角θ=37°。已知小球的質(zhì)量m=1 kg，A、C間細(xì)線長(zhǎng)L=1 m，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等。重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，該裝置以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，下列說法正確的是(　　)
A.若A、B間細(xì)線水平且張力恰為0時(shí)，該裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω= rad/s
B.若A、B間細(xì)線水平且張力恰為0時(shí)，該裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω=5 rad/s
C.若該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增加，A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角一定會(huì)增加
D.若該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增加，A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角不一定會(huì)增加
9.(多選)(2025·西安模擬)如圖所示，一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上面放置一勁度系數(shù)k=54 N/m的輕彈簧。輕彈簧的一端固定于中心軸上O點(diǎn)且輕彈簧始終保持水平，另一端連接質(zhì)量為1 kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))。圓盤未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)彈簧未發(fā)生形變，此時(shí)物塊到中心軸的距離為0.5 m。已知物塊與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，且接觸面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2。現(xiàn)讓圓盤以不同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，穩(wěn)定后物塊隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，彈簧始終在彈性限度內(nèi)且物塊未脫離圓盤。下列說法正確的是(　　)
A.無論圓盤的角速度(不為零)多大，物塊受到的摩擦力方向均指向中心軸
B.當(dāng)圓盤的角速度大小為1 rad/s時(shí)，物塊受到的摩擦力大小為1 N
C.當(dāng)圓盤的角速度大小為2 rad/s時(shí)，物塊受到的摩擦力大小為2 N
D.當(dāng)圓盤的角速度大小為2 rad/s時(shí)，彈簧上的彈力大小為1.08 N
10.如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.1 m的繩子(質(zhì)量不計(jì))下端連著質(zhì)量為m=1 kg的小球，上端懸于天花板上，當(dāng)把繩子恰好拉直時(shí)，繩子與豎直線的夾角θ=37°，此時(shí)小球靜止于光滑的水平桌面上，g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)若小球轉(zhuǎn)動(dòng)起來對(duì)平臺(tái)無壓力，求ω的取值范圍;
(2)當(dāng)球以ω1=5 rad/s做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力T1為多大;桌面受到的壓力FN為多大。
梯級(jí)Ⅲ創(chuàng)新練
11.(多選)(2025·綿陽模擬)如圖所示，水平盤繞垂直于圓心O的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，沿半徑方向放置兩個(gè)物體A和B，A的質(zhì)量為2m，B的質(zhì)量為m，A與圓心距離為r，B與圓心距離為3r，兩物體用繞過光滑豎直軸(軸過圓心)的輕繩相連，且剛好伸直。兩物體與盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ相同，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。在圓盤從靜止開始緩慢加速到兩物體恰要與圓盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過程中(　　)
A.轉(zhuǎn)盤對(duì)物體A摩擦力大小逐漸增大
B.物體B的靜摩擦力比物體A的靜摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力
C.圓盤角速度小于，輕繩無拉力
D.兩物體恰要與圓盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，圓盤角速度為
專題提升練7　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
1.D　解析　與臺(tái)面相對(duì)靜止的陶屑做勻速圓周運(yùn)動(dòng),靜摩擦力提供向心力,當(dāng)靜摩擦力為最大靜摩擦力時(shí),根據(jù)牛頓第二定律可得μmg=mω2r,解得r=,因與臺(tái)面相對(duì)靜止的這些陶屑的角速度相同,由此可知能與臺(tái)面相對(duì)靜止的陶屑離軸OO'的距離與陶屑質(zhì)量無關(guān),只要在臺(tái)面上不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的位置都有陶屑,A、B、C三項(xiàng)錯(cuò)誤;離軸最遠(yuǎn)的陶屑其受到的靜摩擦力為最大靜摩擦力,由前述分析可知最大的運(yùn)動(dòng)半徑為R=,μ與ω均一定,故R為定值,即離軸最遠(yuǎn)的陶屑距離不超過某一值R,D項(xiàng)正確。
2.B　解析　B的向心力F向=mrω2,當(dāng)角速度從0開始增大,B由靜摩擦力提供向心力,且所受的靜摩擦力開始增大;當(dāng)B達(dá)到最大靜摩擦力,角速度繼續(xù)增大,此時(shí)B靠拉力和靜摩擦力的合力提供向心力,此時(shí)A開始受到圓盤的靜摩擦力作用,且隨著角速度繼續(xù)增大,拉力和A受到的圓盤的靜摩擦力都逐漸增大;隨著角速度繼續(xù)增大,拉力越大,當(dāng)拉力和A的最大靜摩擦力相等時(shí),角速度達(dá)到最大值,B項(xiàng)正確。
3.AB　解析　A球通過圓周最高點(diǎn),繩子拉力為0時(shí),速度最小,則有mg=m,解得vmin=,A項(xiàng)正確;B球通過圓周最高點(diǎn),當(dāng)受到桿的支持力向上,且大小等于重力mg時(shí),最小速度為零,B項(xiàng)正確;A、B球到最低點(diǎn)時(shí),加速度方向均向上,均處于超重狀態(tài),C項(xiàng)錯(cuò)誤;B球通過最高點(diǎn)時(shí),若速度v<,桿對(duì)球?yàn)橹С至?若速度v>,桿對(duì)球?yàn)槔?若速度v=,桿對(duì)球無作用力,D項(xiàng)錯(cuò)誤。
4.BD　解析　兩物體做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度大小恒定,但向心加速度方向始終指向圓心,一直在變化,加速度不恒定,A項(xiàng)錯(cuò)誤;A、B兩物塊質(zhì)量相同,根據(jù)向心力公式Fn=mω2L,物塊A、B一起轉(zhuǎn)動(dòng)過程中所需向心力大小相等,B項(xiàng)正確;對(duì)A、B整體分析,當(dāng)最大靜摩擦力提供向心力,有μ·2mg=2mL,解得ωB=,對(duì)A進(jìn)行分析,當(dāng)最大靜摩擦力提供向心力,有0.5μ·mg=mL,解得ωA=<ωB,故A、B一起轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為,C項(xiàng)錯(cuò)誤;由C項(xiàng)分析可知,當(dāng)圓盤越轉(zhuǎn)越快,最先達(dá)到A的臨界角速度,A最先產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng),D項(xiàng)正確。
5.B　解析　汽車通過最低點(diǎn)時(shí),加速度方向豎直向上,特技演員處于超重狀態(tài),A項(xiàng)錯(cuò)誤;汽車在最高點(diǎn),根據(jù)牛頓第二定律得FN+mg=m,解得FN=m-mg=1.4×104 N,B項(xiàng)正確;汽車在環(huán)形車道上的角速度ω== rad/s=2 rad/s,C項(xiàng)錯(cuò)誤;要想通過最高點(diǎn),臨界情況是軌道對(duì)汽車的壓力為零,根據(jù)牛頓第二定律得mg=m,解得v'== m/s=2 m/s,即汽車在最高點(diǎn)的速率至少為2 m/s,D項(xiàng)錯(cuò)誤。
6.A　解析　兩小朋友與平臺(tái)相對(duì)靜止,具有共同角速度,剛開始由摩擦力提供向心力,根據(jù)mrω2=kmg,分析可得,小朋友A先達(dá)到臨界態(tài),隨著角速度的增大,輕繩上開始產(chǎn)生張力。小朋友A轉(zhuǎn)動(dòng)過程中需要的向心力FnA=3mlω2,小朋友B轉(zhuǎn)動(dòng)過程中需要的向心力FnB=2mlω2,A需要的向心力由摩擦力和輕繩張力共同提供,設(shè)即將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)對(duì)應(yīng)的最大角速度為ωm,對(duì)A,有kmg+T=3ml,對(duì)B,有T-2kmg=2ml,聯(lián)立解得ωm=,A項(xiàng)正確。
7.A　解析　當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速率為v時(shí),輕繩上拉力為零,根據(jù)牛頓第二定律有mg=m,小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速率為2v時(shí),根據(jù)牛頓第二定律有mg+2Tcos 30°=m,解得輕繩中的拉力T=mg,輕繩中的拉力為小球重力的倍,A項(xiàng)正確。
8.AD　解析　若A、B間細(xì)線水平且張力恰為0時(shí),對(duì)小球分析有mgtan 37°=mLsin 37°,解得ω0= rad/s,A項(xiàng)正確,B項(xiàng)錯(cuò)誤;結(jié)合上述可知,當(dāng)角速度小于 rad/s時(shí),若該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增加,A、B間細(xì)線繃緊有彈力,此時(shí)A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角不變,當(dāng)角速度大于 rad/s時(shí),若該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增加一點(diǎn)點(diǎn),A、B間細(xì)線將松弛沒有彈力,此時(shí)A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角增大,當(dāng)A、B間細(xì)線再次繃緊有彈力時(shí),該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增加,A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角不變,C項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確。
9.AD　解析　物塊隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng),靜摩擦力和彈簧的彈力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,則無論圓盤的角速度(不為零)多大,物塊受到的摩擦力方向均指向中心軸,A項(xiàng)正確;若物塊將要產(chǎn)生滑動(dòng)時(shí)圓盤的角速度為ω0,則μmg=mr,解得ω0= rad/s,此時(shí)物塊受到圓盤的摩擦力為1 N,則當(dāng)圓盤的角速度大小為1 rad/s時(shí),物塊受到的摩擦力大小小于1 N,B項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)圓盤的角速度大小為2 rad/s時(shí),物塊相對(duì)圓盤已經(jīng)產(chǎn)生了相對(duì)滑動(dòng),則此時(shí)物塊受到的摩擦力大小為f=1 N,根據(jù)f+kx=mω2(r+x),解得x=0.02 m,此時(shí)彈簧上的彈力大小為F彈=kx=1.08 N,C項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確。
10.答案　(1)ω≥5 rad/s　(2)2.5 N　8 N
解析　(1)若小球轉(zhuǎn)動(dòng)起來且恰好對(duì)平臺(tái)無壓力時(shí),小球的角速度為ω0,則有
Tcos 37°=mg,
Tsin 37°=mLsin 37°,
解得ω0=5 rad/s,且角速度越大時(shí),θ越大,則若小球轉(zhuǎn)動(dòng)起來對(duì)平臺(tái)無壓力,角速度應(yīng)滿足ω≥5 rad/s。
(2)因?yàn)棣?=5 rad/s<5 rad/s,
可知該狀態(tài)下小球尚未離開桌面,繩子與豎直線的夾角仍為θ=37°,則有
T1sin 37°=mLsin 37°,
T1cos 37°+FN'=mg,
解得T1=2.5 N,FN'=8 N,
根據(jù)牛頓第三定律可知,桌面受到的壓力FN=FN'=8 N。
11.BC　解析　當(dāng)圓盤角速度較小時(shí),連接兩物體的繩中沒有張力,根據(jù)牛頓第二定律有fA=2mω2r,fB=mω2·3r由此可知,角速度不斷增大,則A、B所受的摩擦力逐漸增大,且物體B所受的摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力,即fB=μmg=mω2·3r,解得ω=,隨著角速度繼續(xù)增大,則fA+T=2mω2r,T+μmg=mω2·3r,由此可知,角速度增大,繩的拉力增大,fA減小,當(dāng)A所受的摩擦力沿半徑向外達(dá)到最大時(shí),A物塊開始滑動(dòng),此時(shí)有T-μ·2mg=2mω2r,T+μmg=mω2·3r,聯(lián)立解得ω=,綜上分析可知,A所受的摩擦力先增大后減小,再反向增大,物體B的靜摩擦力比物體A的靜摩擦力先達(dá)到最大,圓盤角速度小于,輕繩無拉力,兩物體恰要與圓盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí),圓盤角速度為,B、C兩項(xiàng)正確。(共31張PPT)
專題提升練7
圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
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1.(2024·江蘇卷)陶瓷是以粘土為主要原料以及各種天然礦物經(jīng)過粉碎混煉、成型和煅燒制得的材料以及各種制品。如圖所示是生產(chǎn)陶瓷的簡(jiǎn)化工作臺(tái)，當(dāng)陶瓷勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，臺(tái)面面上掉有陶屑，陶屑與桌面間的動(dòng)摩因數(shù)處處相同(臺(tái)面夠大)，則( )
A.離軸OO'越遠(yuǎn)的陶屑質(zhì)量越大
B.離軸OO'越近的陶屑質(zhì)量越小
C.只有平臺(tái)邊緣有陶屑
D.離軸最遠(yuǎn)的陶屑距離不會(huì)超過某一值
梯級(jí)Ⅰ 基礎(chǔ)練
與臺(tái)面相對(duì)靜止的陶屑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力為最大靜摩擦力時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得μmg=mω2r，解得r=，因與臺(tái)面相對(duì)靜止的這些陶屑的角速度相同，由此可知能與臺(tái)面相對(duì)靜止的陶屑離軸OO'的距離與陶屑質(zhì)量無關(guān)，只要在臺(tái)面上不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的位置都有陶屑，A、B、C三項(xiàng)錯(cuò)誤；離軸最遠(yuǎn)的陶屑其受到的靜摩擦力為最大靜摩擦力，由前述分析可知最大的運(yùn)動(dòng)半徑為R=，μ與ω均一定，故R為定值，即離軸最遠(yuǎn)的陶屑距離不超過某一值R，D項(xiàng)正確。
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2.如圖所示，一圓盤可以繞其豎直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，水平輕繩連接兩個(gè)物體A和B，物體A的質(zhì)量為M，物體B的質(zhì)量為m，物體A在轉(zhuǎn)軸位置上，繩剛好被拉直且無拉力。兩物體均看作質(zhì)點(diǎn)，兩物體與圓盤之間的動(dòng)摩擦因數(shù)相等。在圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度從零慢慢增大的過程中( )
A.繩中一直有拉力，且逐漸最大
B.物體B一直受到圓盤的摩擦力
C.物體A一直受到圓盤的摩擦力
D.物體B和A受到圓盤的摩擦力大小相等
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B的向心力F向=mrω2，當(dāng)角速度從0開始增大，B由靜摩擦力提供向心力，且所受的靜摩擦力開始增大；當(dāng)B達(dá)到最大靜摩擦力，角速度繼續(xù)增大，此時(shí)B靠拉力和靜摩擦力的合力提供向心力，此時(shí)A開始受到圓盤的靜摩擦力作用，且隨著角速度繼續(xù)增大，拉力和A受到的圓盤的靜摩擦力都逐漸增大；隨著角速度繼續(xù)增大，拉力越大，當(dāng)拉力和A的最大靜摩擦力相等時(shí)，角速度達(dá)到最大值，B項(xiàng)正確。
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3.(多選)如圖所示，A是用輕繩連接的小球，B是用輕桿連接的小 球，兩球都在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且繩、桿長(zhǎng)度L相等，重力加速度大小為g。忽略空氣阻力，下面說法正確的是( )
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A.A球通過圓周最高點(diǎn)的最小速度是
B.B球通過圓周最高點(diǎn)的最小速度為零
C.A球到最低點(diǎn)時(shí)處于超重狀態(tài)，B球到最低點(diǎn)時(shí)可能處于超重狀 態(tài)，也可能處于失重狀態(tài)
D.B球通過最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定豎直向下
A球通過圓周最高點(diǎn)，繩子拉力為0時(shí)，速度最小，則有mg= m，解得vmin=，A項(xiàng)正確；B球通過圓周最高點(diǎn)，當(dāng)受到桿的支持力向上，且大小等于重力mg時(shí)，最小速度為零，B項(xiàng)正確；A、B球到最低點(diǎn)時(shí)，加速度方向均向上，均處于超重狀態(tài)，C項(xiàng)錯(cuò)誤；B球通過最高點(diǎn)時(shí)，若速度v<，桿對(duì)球?yàn)橹С至Γ蝗羲俣葀>，桿對(duì)球?yàn)槔Γ蝗羲俣葀=，桿對(duì)球無作用 力，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
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4.(多選)如圖所示，粗糙水平圓盤上，質(zhì)量均為m的A、B兩物塊(均可視為質(zhì)點(diǎn))疊放在一起，距軸心距離為L(zhǎng)，隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知圓盤與B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，B與A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5μ，假如最大靜摩擦力大小等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是( )
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A.物塊A、B一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過程中加速度恒定
B.物塊A、B一起轉(zhuǎn)動(dòng)過程中所需向心力大小相等
C.A、B一起轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為
D.當(dāng)圓盤越轉(zhuǎn)越快，A相對(duì)B最先滑動(dòng)
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兩物體做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的向心加速度大小恒定，但向心加速度方向始終指向圓心，一直在變化，加速度不恒定，A項(xiàng)錯(cuò)誤；A、B兩物塊質(zhì)量相同，根據(jù)向心力公式Fn=mω2L，物塊A、B一起轉(zhuǎn)動(dòng)過程中所需向心力大小相等，B項(xiàng)正確；對(duì)A、B整體分析，當(dāng)最大靜摩擦力提供向心力，有μ·2mg=2mL，解得ωB=，對(duì)A進(jìn)行
解析
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分析，當(dāng)最大靜摩擦力提供向心力，有0.5μ·mg=mL，解得ωA=<ωB，故A、B一起轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由C項(xiàng)分析可知，當(dāng)圓盤越轉(zhuǎn)越快，最先達(dá)到A的臨界角速度，A最先產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，D項(xiàng)正確。
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5.(2025·淮北模擬)某特技演員曾飛車挑戰(zhàn)世界最大環(huán)形車道。如圖所示，環(huán)形車道豎直放置，半徑為6 m，若汽車在車道上以12 m/s恒定的速率運(yùn)動(dòng)，特技演員與汽車的總質(zhì)量為1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，則( )
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A.汽車通過最低點(diǎn)時(shí)，特技演員處于失重狀態(tài)
B.汽車通過最高點(diǎn)時(shí)對(duì)環(huán)形車道的壓力為1.4×104 N
C.汽車在環(huán)形車道上的角速度為1 rad/s
D.若要挑戰(zhàn)成功，汽車在最高點(diǎn)的速率至少為10 m/s
汽車通過最低點(diǎn)時(shí)，加速度方向豎直向上，特技演員處于超重狀 態(tài)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；汽車在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得FN+mg=m，解得FN=m-mg=1.4×104 N，B項(xiàng)正確；汽車在環(huán)形車道上的角速度ω== rad/s=2 rad/s，C項(xiàng)錯(cuò)誤；要想通過最高點(diǎn)，臨界情況是軌道對(duì)汽車的壓力為零，根據(jù)牛頓第二定律得mg=m，解得v'== m/s=2 m/s，即汽車在最高點(diǎn)的速率至少為2 m/s，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
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6.(2025·亳州模擬)如圖所示，平臺(tái)固定在轉(zhuǎn)軸的頂端，可隨轉(zhuǎn)軸一起轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B兩個(gè)小朋友坐在平臺(tái)兩側(cè)，A的質(zhì)量為m，B的質(zhì)量為2m。A到轉(zhuǎn)軸的距離是3l，B到轉(zhuǎn)軸的距離是l。兩小朋友腰間系一輕繩，輕繩通過轉(zhuǎn)軸中心，處于剛好伸直且無張力的狀態(tài)，小朋友與平臺(tái)接觸面間的最大靜摩擦力均為其重力的k倍，重力加速度大小為g。若使小朋友與平臺(tái)保持相對(duì)靜止，則平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度不能超過( )
A.　 B.
C.　 D.
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兩小朋友與平臺(tái)相對(duì)靜止，具有共同角速度，剛開始由摩擦力提供向心力，根據(jù)mrω2=kmg，分析可得，小朋友A先達(dá)到臨界態(tài)，隨著角速度的增大，輕繩上開始產(chǎn)生張力。小朋友A轉(zhuǎn)動(dòng)過程中需要的向心力FnA=3mlω2，小朋友B轉(zhuǎn)動(dòng)過程中需要的向心力FnB=2mlω2，A需要的向心力由摩擦力和輕繩張力共同提供，設(shè)即將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)對(duì)應(yīng)的最大角速度為ωm，對(duì)A，有kmg+T=3ml，對(duì)B，有T-2kmg=2ml，聯(lián)立解得ωm=，A項(xiàng)正確。
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7.如圖所示，某同學(xué)利用輕繩和小球制作“拉線飛輪”，他將質(zhì)量為m的小球系于輕繩的中間，兩手水平握住繩的兩端，使兩手之間的距離與手到小球的距離相等，現(xiàn)在使小球在豎直面內(nèi)以兩手連線為軸做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速率為v時(shí)，輕繩上拉力為零。則小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速率為2v時(shí)，輕繩中的拉力為小球重力的( )
A. 倍 B.2倍 C.2 倍 　D.3倍
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當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速率為v時(shí)，輕繩上拉力為零，根據(jù)牛頓第二定律有mg=m，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速率為2v時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有mg+2Tcos 30°=m，解得輕繩中的拉力T=mg，輕繩中的拉力為小球重力的倍，A項(xiàng)正確。
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8.(多選)(2025·榆林模擬)如圖所示，裝置BO'O可繞豎直軸O'O轉(zhuǎn) 動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩輕細(xì)線連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)A、B間細(xì)線水平，A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角θ=37°。已知小球的質(zhì)量m=1 kg，A、C間細(xì)線長(zhǎng)L=1 m，B點(diǎn)距C點(diǎn)的水平和豎直距離相等。重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，該裝置以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，下列說法正確的是( )
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梯級(jí)Ⅱ 能力練
A.若A、B間細(xì)線水平且張力恰為0時(shí)，該裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω= rad/s
B.若A、B間細(xì)線水平且張力恰為0時(shí)，該裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω=5 rad/s
C.若該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增加，A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角一定會(huì)增加
D.若該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增加，A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角不一定會(huì)增加
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若A、B間細(xì)線水平且張力恰為0時(shí)，對(duì)小球分析有mgtan 37°= mLsin 37°，解得ω0= rad/s，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；結(jié)合上述可知，當(dāng)角速度小于 rad/s時(shí)，若該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增 加，A、B間細(xì)線繃緊有彈力，此時(shí)A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角不變，當(dāng)角速度大于 rad/s時(shí)，若該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增加
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一點(diǎn)點(diǎn)，A、B間細(xì)線將松弛沒有彈力，此時(shí)A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角增大，當(dāng)A、B間細(xì)線再次繃緊有彈力時(shí)，該裝置轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度增加，A、C間細(xì)線與豎直方向的夾角不變，C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確。
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9.(多選)(2025·西安模擬)如圖所示，一可繞豎直中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上面放置一勁度系數(shù)k=54 N/m的輕彈簧。輕彈簧的一端固定于中心軸上O點(diǎn)且輕彈簧始終保持水平，另一端連接質(zhì)量為1 kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))。圓盤未轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)彈簧未發(fā)生形變，此時(shí)物塊到中心軸的距離為0.5 m。已知物塊與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.1，且接觸面間的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2。現(xiàn)讓圓盤以不同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，穩(wěn)定后物塊隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，彈簧始終在彈性限度內(nèi)且物塊未脫離圓盤。下列說法正確的是 ( )
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A.無論圓盤的角速度(不為零)多大，物塊受到的摩擦力方向均指向中心軸
B.當(dāng)圓盤的角速度大小為1 rad/s時(shí)，物塊受到的摩擦力大小為1 N
C.當(dāng)圓盤的角速度大小為2 rad/s時(shí)，物塊受到的摩擦力大小為2 N
D.當(dāng)圓盤的角速度大小為2 rad/s時(shí)，彈簧上的彈力大小為1.08 N
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物塊隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力和彈簧的彈力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則無論圓盤的角速度(不為零)多大，物塊受到的摩擦力方向均指向中心軸，A項(xiàng)正確；若物塊將要產(chǎn)生滑動(dòng)時(shí)圓盤的角速度為ω0，則μmg=mr，解得ω0= rad/s，此時(shí)物塊受到圓盤的摩擦力為1 N，則當(dāng)圓盤的角速度大小為1 rad/s時(shí)，物塊受到的摩擦力大小小于1 N，B項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)圓盤的角速度大小為2 rad/s時(shí)，物塊相對(duì)圓盤已經(jīng)產(chǎn)生了相對(duì)滑動(dòng)，則此時(shí)物塊受到的摩擦力大小為f=1 N，根據(jù)f+kx=mω2(r+x)，解得x=0.02 m，此時(shí)彈簧上的彈力大小為F彈=kx=1.08 N，C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確。
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10.如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.1 m的繩子(質(zhì)量不計(jì))下端連著質(zhì)量為m=1 kg的小球，上端懸于天花板上，當(dāng)把繩子恰好拉直時(shí)，繩子與豎直線的夾角θ=37°，此時(shí)小球靜止于光滑的水平桌面上，g=10 m/s2， sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
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(1)若小球轉(zhuǎn)動(dòng)起來對(duì)平臺(tái)無壓力，求ω的取值范圍；
若小球轉(zhuǎn)動(dòng)起來且恰好對(duì)平臺(tái)無壓力時(shí)，小球的角速度為ω0，則有Tcos 37°=mg，
Tsin 37°=mLsin 37°，
解得ω0=5 rad/s，且角速度越大時(shí)，θ越大，則若小球轉(zhuǎn)動(dòng)起來對(duì)平臺(tái)無壓力，角速度應(yīng)滿足ω≥5 rad/s。
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(2)當(dāng)球以ω1=5 rad/s做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力T1為多大；桌面受到的壓力FN為多大。
因?yàn)棣?=5 rad/s<5 rad/s，
可知該狀態(tài)下小球尚未離開桌面，繩子與豎直線的夾角仍為θ=37°，則有T1sin 37°=mLsin 37°，T1cos 37°+FN'=mg，
解得T1=2.5 N，F(xiàn)N'=8 N，
根據(jù)牛頓第三定律可知，桌面受到的壓力FN=FN'=8 N。
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11.(多選)(2025·綿陽模擬)如圖所示，水平盤繞垂直于圓心O的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，沿半徑方向放置兩個(gè)物體A和B，A的質(zhì)量為2m，B的質(zhì)量為m，A與圓心距離為r，B與圓心距離為3r，兩物體用繞過光滑豎直軸(軸過圓心)的輕繩相連，且剛好伸直。兩物體與盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ相同，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度為g。在圓盤從靜止開始緩慢加速到兩物體恰要與圓盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過程中 ( )
梯級(jí)Ⅲ 創(chuàng)新練
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A.轉(zhuǎn)盤對(duì)物體A摩擦力大小逐漸增大
B.物體B的靜摩擦力比物體A的靜摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力
C.圓盤角速度小于，輕繩無拉力
D.兩物體恰要與圓盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，圓盤角速度為
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當(dāng)圓盤角速度較小時(shí)，連接兩物體的繩中沒有張力，根據(jù)牛頓第二定律有fA=2mω2r，fB=mω2·3r由此可知，角速度不斷增大，則A、B所受的摩擦力逐漸增大，且物體B所受的摩擦力先達(dá)到最大靜摩擦力，即fB=μmg=mω2·3r，解得ω=，隨著角速度繼續(xù)增大，則fA+T=2mω2r，T+μmg=mω2·3r，由此可知，角速度增大，繩的拉力增大，fA減小，當(dāng)A所受的摩擦力沿半徑向外達(dá)到最大
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時(shí)，A物塊開始滑動(dòng)，此時(shí)有T-μ·2mg=2mω2r，T+μmg=mω2· 3r，聯(lián)立解得ω=，綜上分析可知，A所受的摩擦力先增大后減小，再反向增大，物體B的靜摩擦力比物體A的靜摩擦力先達(dá)到最大，圓盤角速度小于，輕繩無拉力，兩物體恰要與圓盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，圓盤角速度為，B、C兩項(xiàng)正確。
解析專題提升七　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
題型1　水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
　水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的三種臨界情況。
(1)接觸與脫離的臨界條件。
兩物體相接觸或脫離的臨界條件是:彈力FN=0。
(2)相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件。
兩物體相接觸且處于相對(duì)靜止時(shí),常存在著靜摩擦力,則相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是:靜摩擦力達(dá)到最大值。
(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件。
繩子所能承受的張力是有限度的,繩子斷與不斷的臨界條件是:繩中張力等于它所能承受的最大張力;繩子松弛的臨界條件是:FT=0。
考向1　與摩擦力有關(guān)的臨界問題
【典例1】　(2025·三明模擬)如圖,兩瓷罐P、Q(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓桌轉(zhuǎn)盤上,質(zhì)量分別為m、2m,離轉(zhuǎn)軸OO'的距離分別為R、2R,與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ。若轉(zhuǎn)盤從靜止開始緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),P、Q與轉(zhuǎn)盤均保持相對(duì)靜止,用ω表示轉(zhuǎn)盤的角速度,則(　　)
A.當(dāng)ω增大時(shí),P比Q先開始滑動(dòng)
B.P、Q未滑動(dòng)前所受的摩擦力大小相等
C.P開始滑動(dòng)時(shí),臨界角速度為ω=
D.Q開始滑動(dòng)時(shí),臨界角速度為ω=
【典例2】　(多選)如圖所示,在水平圓盤上,沿半徑方向放置物體A和B,mA=4 kg,mB=1 kg它們分居在圓盤的圓心兩側(cè),與圓心距離為rA=0.1 m,rB=0.2 m,中間用細(xì)線相連。A、B與盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,若圓盤從靜止開始繞中心轉(zhuǎn)軸非常緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),直到A、B剛要與圓盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。g=10 m/s2,下列說法正確的是(　　)
A.B的摩擦力先達(dá)到最大
B.A物體所受摩擦力的方向一直指向圓心
C.當(dāng)ω=50 rad/s時(shí),A、B兩物體出現(xiàn)滑動(dòng)
D.當(dāng)ω= rad/s時(shí),繩子出現(xiàn)張力
　　解答與摩擦力有關(guān)的臨界問題的關(guān)鍵是臨界狀態(tài)的確定,當(dāng)不能確定其臨界狀態(tài)時(shí),可采用下面的方法:讓角速度或線速度從小逐漸增大,分析各物理量的變化,找出臨界狀態(tài),臨界狀態(tài)常出現(xiàn)在靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力、繩子出現(xiàn)拉力等情形時(shí)。確定了物體運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)和臨界條件后,選擇研究對(duì)象進(jìn)行受力分析,利用牛頓第二定律列方程求解。
考向2　與彈力有關(guān)的臨界問題
【典例3】　如圖所示,用一根長(zhǎng)為l=1 m的細(xì)線,一端系一質(zhì)量為m=1 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),另一端固定在一光滑錐體頂端,錐面與豎直方向的夾角θ=37°。(g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)求:
(1)當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω1= rad/s時(shí),求小球?qū)?xì)線的張力T1的大小;
(2)當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω2=2 rad/s時(shí),求小球?qū)?xì)線的張力T2的大小。
　　錐面對(duì)小球的彈力剛好為零時(shí)的角速度為臨界角速度,即小球離開錐面的臨界狀態(tài)。當(dāng)角速度超過此臨界角速度后,小球離開錐面,由重力和繩子拉力的合力提供向心力,且隨著角速度的增大,繩子與豎直方向的夾角增大。
題型2　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型及臨界問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是一種典型的變速曲線運(yùn)動(dòng),主要有兩種模型:輕繩模型和輕桿模型,分析比較如下:
類別 輕繩模型 輕桿模型
常見 類型 最高點(diǎn)均是沒有物體支撐的小球(小球可視為質(zhì)點(diǎn)) 最高點(diǎn)均是有物體支撐的小球(小球可視為質(zhì)點(diǎn))
過最高 點(diǎn)的臨 界條件 由mg=m, 得v臨= v臨=0
討論 分析 (1)過最高點(diǎn)時(shí)v≥,FN+mg=m,繩、軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN≥0,方向指向圓心; (2)v<時(shí),不能過最高點(diǎn),在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道 (1)當(dāng)v=0時(shí),FN=mg,FN為支持力,沿半徑背離圓心; (2)當(dāng)0時(shí),FN+mg=m,FN指向圓心并隨v的增大而增大
考向1　“輕繩”模型
【典例4】　
(2025·惠州模擬)如圖所示,用長(zhǎng)為l的細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),重力加速度為g,下列說法正確的是(　　)
A.小球在圓周最高點(diǎn)時(shí)的向心力一定只由重力提供
B.小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力不可能為零
C.小球通過圓周最高點(diǎn)時(shí)的速率可能為
D.小球通過最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力一定大于小球重力
【典例5】　
(多選)如圖所示,豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上,半徑r=0.4 m,最低點(diǎn)處有一小球(半徑比r小很多),現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0,則要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動(dòng),v0應(yīng)當(dāng)滿足(g取10 m/s2)(　　)
A.v0≥0 B.v0≥4 m/s
C.v0≥2 m/s D.v0≤2 m/s
　　物體在豎直放置的圓形軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)與“輕繩”模型類似,在最高點(diǎn)時(shí)均由重力和指向圓心的彈力的合力提供向心力,通過最高點(diǎn)的臨界條件也相同,所以把它歸納入“輕繩”模型中。
考向2　“輕桿”模型
【典例6】　
一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球,以另一端O為圓心,使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),如圖所示,則下列說法正確的是(重力加速度為g)(　　)
A.小球過最高點(diǎn)時(shí),桿所受到的彈力可以等于零
B.小球過最高點(diǎn)的最小速度是
C.小球過最高點(diǎn)時(shí),桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而增大
D.小球過最高點(diǎn)時(shí),桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而減小
【典例7】　
(多選)如圖所示,一個(gè)內(nèi)壁光滑的彎管處于豎直平面內(nèi),其中管道半徑為R。現(xiàn)有一個(gè)半徑略小于彎管橫截面半徑的光滑小球在彎管里運(yùn)動(dòng),小球半徑比R小很多,當(dāng)小球通過最高點(diǎn)時(shí)速率為v0,重力加速度為g,則下列說法正確的是(　　)
A.若v0=,則小球?qū)軆?nèi)壁無壓力
B.若v0>,則小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力
C.若0D.不論v0多大,小球?qū)軆?nèi)下壁都有壓力
　　物體在豎直放置的圓管軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)與“輕桿”模型類似,物體通過最高點(diǎn)時(shí),均由重力和軌道沿半徑向里或向外的彈力的合力提供向心力,v0=為彈力向里或向外的臨界速度。
題型3　斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
　斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)——類比法的應(yīng)用。
與豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類似,斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)也是集中分析物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況,列牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程來解題。只是在受力分析時(shí),一般需要進(jìn)行立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化,這是解斜面上圓周運(yùn)動(dòng)問題的難點(diǎn)。
在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,根據(jù)受力情況的不同,可分為以下三類:
(1)物體在靜摩擦力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。
(2)物體在繩的拉力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。
(3)物體在桿的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。
這類問題的特點(diǎn)是重力的分力和其他力的合力提供向心力,運(yùn)動(dòng)和受力情況比較復(fù)雜。
【典例8】　
如圖所示,在傾角為α=30°的光滑斜面上,有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.8 m的輕桿,一端固定在O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m=0.2 kg的小球(小球可視為質(zhì)點(diǎn)),沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng),取g=10 m/s2,若要小球能通過最高點(diǎn)A,則小球在最低點(diǎn)B的最小速度是(　　)
A.4 m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
專題提升七　圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
題型1
【典例1】　C　解析　P、Q未滑動(dòng)前所受的摩擦力分別為fP=mω2R,fQ=2m·ω2·2R=4mω2R,P、Q未滑動(dòng)前所受的摩擦力大小不相等,B項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)牛頓第二定律得μmg=mω2R,解得ω=,P、Q開始滑動(dòng)時(shí)的角速度分別為ωP=,ωQ=,當(dāng)ω增大到時(shí),Q先開始滑動(dòng),C項(xiàng)正確,A、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤。
【典例2】　AB　解析　A達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度滿足μmAg=mArA,代入數(shù)據(jù)解得ω0A=2 rad/s,同理可得B達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度滿足μmBg=mBrB,代入數(shù)據(jù)解得ω0B= rad/s,則當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的速度逐漸變大時(shí),B先達(dá)到臨界角速度值,則B的摩擦力先達(dá)到最大,A項(xiàng)正確;當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大時(shí),轉(zhuǎn)速再增加時(shí),繩子出現(xiàn)張力,即當(dāng)ω= rad/s時(shí),繩子出現(xiàn)張力,D項(xiàng)錯(cuò)誤;達(dá)到A的最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度前,A的向心力由靜摩擦力提供,則靜摩擦力指向圓心,A與B的角速度相等,A的質(zhì)量是B的4倍,而A做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是B的一半,根據(jù)F=mω2r可知A需要的向心力大,所以當(dāng)A、B兩物體開始滑動(dòng)時(shí)A背離圓心運(yùn)動(dòng),B向著圓心運(yùn)動(dòng),則在滑動(dòng)之前一小段時(shí)間內(nèi)(達(dá)到A的最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度后),A受的靜摩擦力也指向圓心,故A物體所受摩擦力的方向一直指向圓心,B項(xiàng)正確;A、B兩物體恰好出現(xiàn)滑動(dòng)時(shí),對(duì)A有T+μmAg=mArA,對(duì)B有T-μmBg=mBrB,解得ω1= rad/s,C項(xiàng)錯(cuò)誤。
【典例3】　答案　(1)10 N　(2)20 N
解析　(1)假設(shè)小球剛好與錐面間沒有彈力作用時(shí)的角速度為ω0,根據(jù)牛頓第二定律以及力的合成與分解有
mgtan θ=mlsin θ,
解得ω0= rad/s>ω1,
所以當(dāng)小球角速度為ω1時(shí),小球與錐面間存在彈力作用,設(shè)為FN,
在豎直方向上,對(duì)小球根據(jù)平衡條件有
T1cos θ+FNsin θ=mg,
在水平方向上,對(duì)小球根據(jù)牛頓第二定律有
T1sin θ-FNcos θ=mlsin θ,
解得T1=10 N。
(2)因?yàn)棣?=2 rad/s>ω0,
所以此時(shí)小球?qū)⒚撾x錐面,設(shè)此時(shí)細(xì)線與豎直方向的夾角為α,則根據(jù)牛頓第二定律以及力的合成與分解有mgtan α=mlsin α,
解得α=60°,
所以T2==20 N。
題型2
【典例4】　D　解析　小球在圓周最高點(diǎn)時(shí)的向心力可能等于重力,也可能等于重力與繩子拉力之和,取決于小球的瞬時(shí)速度的大小,A項(xiàng)錯(cuò)誤;小球在最高點(diǎn)時(shí),受到的最小的合外力為重力,要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)需滿足mg=m,解得vmin=,當(dāng)在最高點(diǎn)速度為時(shí),繩子拉力為零,小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng),故小球通過圓周最高點(diǎn)時(shí)的速率不可能為,B、C兩項(xiàng)錯(cuò)誤;小球在最低點(diǎn)時(shí),具有豎直向上的向心加速度,處于超重狀態(tài),拉力大于重力,D項(xiàng)正確。
【典例5】　CD　解析　當(dāng)v0較大時(shí),小球能夠通過最高點(diǎn),這時(shí)小球在最高點(diǎn)處需要滿足的條件是mg≤,又根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mv2+2mgr=m,得v0≥2 m/s,C項(xiàng)正確;當(dāng)v0較小時(shí),小球不能通過最高點(diǎn),這時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處時(shí)速度恰好減為零,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgr≥m,得v0≤2 m/s,D項(xiàng)正確。
【典例6】　A　解析　輕桿可對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力,小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度可以為零,當(dāng)小球過最高點(diǎn)的速度v=時(shí),桿所受的彈力等于零,A項(xiàng)正確,B項(xiàng)錯(cuò)誤;若v<,則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向上,mg-F=m,隨v增大,F減小;若v>,則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向下,mg+F=m,隨v增大,F增大,C、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤。
【典例7】　ABC　解析　在最高點(diǎn),若恰好重力提供向心力,則由牛頓第二定律有mg=m,解得v0=,即此種情況下小球?qū)軆?nèi)壁無壓力,A項(xiàng)正確;若小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力,即管內(nèi)壁對(duì)小球有向下的彈力,由牛頓第二定律有mg+FN=m,解得v0=>,B項(xiàng)正確;若小球?qū)軆?nèi)下壁有壓力,即管內(nèi)下壁對(duì)小球有向上的彈力,由牛頓第二定律有mg-FN=m,解得v0=<,若0題型3
【典例8】　A　解析　小球受輕桿控制,在A點(diǎn)的最小速度為零,由動(dòng)能定理可得mg×2Lsin α=m-0,可得vB=4 m/s,A項(xiàng)正確。(共35張PPT)
專題提升七
第四章 拋物運(yùn)動(dòng) 圓周運(yùn)動(dòng)
圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
題型1　水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
題型2　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型及臨界問題
內(nèi)容
索引
題型3　斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
題型1
水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的三種臨界情況。
(1)接觸與脫離的臨界條件。
兩物體相接觸或脫離的臨界條件是：彈力FN=0。
(2)相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件。
兩物體相接觸且處于相對(duì)靜止時(shí)，常存在著靜摩擦力，則相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是：靜摩擦力達(dá)到最大值。
(3)繩子斷裂與松弛的臨界條件。
繩子所能承受的張力是有限度的，繩子斷與不斷的臨界條件是：繩中張力等于它所能承受的最大張力；繩子松弛的臨界條件是：FT=0。
考向1
與摩擦力有關(guān)的臨界問題
【典例1】　(2025·三明模擬)如圖，兩瓷罐P、Q(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓桌轉(zhuǎn)盤上，質(zhì)量分別為m、2m，離轉(zhuǎn)軸OO'的距離分別為R、2R，與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ。若轉(zhuǎn)盤從靜止開始緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，P、Q與轉(zhuǎn)盤均保持相對(duì)靜止，用ω表示轉(zhuǎn)盤的角速度，則( )
A.當(dāng)ω增大時(shí)，P比Q先開始滑動(dòng)
B.P、Q未滑動(dòng)前所受的摩擦力大小相等
C.P開始滑動(dòng)時(shí)，臨界角速度為ω=
D.Q開始滑動(dòng)時(shí)，臨界角速度為ω=
P、Q未滑動(dòng)前所受的摩擦力分別為fP=mω2R，fQ=2m·ω2· 2R=4mω2R，P、Q未滑動(dòng)前所受的摩擦力大小不相等，B項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律得μmg=mω2R，解得ω=，P、Q開始滑動(dòng)時(shí)的角速度分別為ωP=，ωQ=，當(dāng)ω增大到時(shí)，Q先開始滑動(dòng)，C項(xiàng)正確，A、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析
【典例2】　(多選)如圖所示，在水平圓盤上，沿半徑方向放置物體A和B，mA=4 kg，mB=1 kg它們分居在圓盤的圓心兩側(cè)，與圓心距離為rA=0.1 m，rB=0.2 m，中間用細(xì)線相連。A、B與盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，若圓盤從靜止開始繞中心轉(zhuǎn)軸非常緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng)，直到A、B剛要與圓盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。g=10 m/s2，下列說法正確的是( )
A.B的摩擦力先達(dá)到最大
B.A物體所受摩擦力的方向一直指向圓心
C.當(dāng)ω=50 rad/s時(shí)，A、B兩物體出現(xiàn)滑動(dòng)
D.當(dāng)ω= rad/s時(shí)，繩子出現(xiàn)張力
A達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度滿足μmAg=mArA，代入數(shù)據(jù)解得ω0A=2 rad/s，同理可得B達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度滿足μmBg=mBrB，代入數(shù)據(jù)解得ω0B= rad/s，則當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的速度逐漸變大時(shí)，B先達(dá)到臨界角速度值，則B的摩擦力先達(dá)到最大，A項(xiàng)正確；當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大時(shí)，轉(zhuǎn)速再增加時(shí)，繩子出現(xiàn)張力，即當(dāng)ω= rad/s時(shí)，繩子出現(xiàn)張力，D項(xiàng)錯(cuò)誤；達(dá)到A的最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度前，A的向心力由靜摩
解析
擦力提供，則靜摩擦力指向圓心，A與B的角速度相等，A的質(zhì)量是B的4倍，而A做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是B的一半，根據(jù)F=mω2r可知A需要的向心力大，所以當(dāng)A、B兩物體開始滑動(dòng)時(shí)A背離圓心運(yùn) 動(dòng)，B向著圓心運(yùn)動(dòng)，則在滑動(dòng)之前一小段時(shí)間內(nèi)(達(dá)到A的最大靜摩擦力時(shí)的臨界角速度后)，A受的靜摩擦力也指向圓心，故A物體所受摩擦力的方向一直指向圓心，B項(xiàng)正確；A、B兩物體恰好出現(xiàn)滑動(dòng)時(shí)，對(duì)A有T+μmAg=mArA，對(duì)B有T-μmBg=
mBrB，解得ω1= rad/s，C項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析
　　解答與摩擦力有關(guān)的臨界問題的關(guān)鍵是臨界狀態(tài)的確定，當(dāng)不能確定其臨界狀態(tài)時(shí)，可采用下面的方法：讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各物理量的變化，找出臨界狀態(tài)，臨界狀態(tài)常出現(xiàn)在靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力、繩子出現(xiàn)拉力等情形時(shí)。確定了物體運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)和臨界條件后，選擇研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，利用牛頓第二定律列方程求解。
考向2
與彈力有關(guān)的臨界問題
【典例3】　如圖所示，用一根長(zhǎng)為l=1 m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m=1 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ=37°。(g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8)求：
(1)當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω1=
rad/s時(shí)，求小球?qū)?xì)線的張力T1的大小；
假設(shè)小球剛好與錐面間沒有彈力作用時(shí)的角速度為ω0，根據(jù)牛頓第二定律以及力的合成與分解有mgtan θ=mlsin θ，
解得ω0= rad/s>ω1，
所以當(dāng)小球角速度為ω1時(shí)，小球與錐面間存在彈力作用，設(shè)為FN，在豎直方向上，對(duì)小球根據(jù)平衡條件有T1cos θ+FNsin θ=mg，
在水平方向上，對(duì)小球根據(jù)牛頓第二定律有
T1sin θ-FNcos θ=mlsin θ，
解得T1=10 N。
解析
(2)當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω2=
2 rad/s時(shí)，求小球?qū)?xì)線的張力T2的大小。
因?yàn)棣?=2 rad/s>ω0，
所以此時(shí)小球?qū)⒚撾x錐面，設(shè)此時(shí)細(xì)線與豎直方向的夾角為α，則根據(jù)牛頓第二定律以及力的合成與分解有mgtan α=mlsin α，
解得α=60°，
所以T2==20 N。
解析
　　錐面對(duì)小球的彈力剛好為零時(shí)的角速度為臨界角速度，即小球離開錐面的臨界狀態(tài)。當(dāng)角速度超過此臨界角速度后，小球離開錐 面，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，且隨著角速度的增大，繩子與豎直方向的夾角增大。
豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型及臨界問題
題型2
　豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是一種典型的變速曲線運(yùn)動(dòng)，主要有兩種模型：輕繩模型和輕桿模型，分析比較如下：
類別 輕繩模型 輕桿模型
常見 類型 最高點(diǎn)均是沒有物體支撐的小球(小球可視為質(zhì)點(diǎn))
最高點(diǎn)均是有物體支撐的小球(小球可視為質(zhì)點(diǎn))
過最高點(diǎn)的臨界條件 由mg=m，得v臨= v臨=0
討論 分析 (1)過最高點(diǎn)時(shí)v≥，F(xiàn)N+mg=m，繩、軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN≥0，方向指向圓心； (2)v<時(shí)，不能過最高點(diǎn)，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道 (1)當(dāng)v=0時(shí)，F(xiàn)N=mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心；
(2)當(dāng)0(3)當(dāng)v=時(shí)，F(xiàn)N=0；
(4)當(dāng)v >時(shí)，F(xiàn)N+mg=m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大
考向1
“輕繩”模型
【典例4】　(2025·惠州模擬)如圖所示，用長(zhǎng)為l的細(xì)繩拴著質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，下列說法正確的是( )
A.小球在圓周最高點(diǎn)時(shí)的向心力一定只由重力提供
B.小球在最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力不可能為零
C.小球通過圓周最高點(diǎn)時(shí)的速率可能為
D.小球通過最低點(diǎn)時(shí)繩子的拉力一定大于小球重力
小球在圓周最高點(diǎn)時(shí)的向心力可能等于重力，也可能等于重力與繩子拉力之和，取決于小球的瞬時(shí)速度的大小，A項(xiàng)錯(cuò)誤；小球在最高點(diǎn)時(shí)，受到的最小的合外力為重力，要做完整的圓周運(yùn)動(dòng)需滿足mg=m，解得vmin=，當(dāng)在最高點(diǎn)速度為時(shí)，繩子拉力為零，小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，故小球通過圓周最高點(diǎn)時(shí)的速率不可能為，B、C兩項(xiàng)錯(cuò)誤；小球在最低點(diǎn)時(shí)，具有豎直向上的向心加速度，處于超重狀態(tài)，拉力大于重力，D項(xiàng)正確。
解析
【典例5】　(多選)如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r=0.4 m，最低點(diǎn)處有一小球(半徑比r小很多)，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動(dòng)，v0應(yīng)當(dāng)滿足(g取10 m/s2)( )

A.v0≥0 B.v0≥4 m/s C.v0≥2 m/s D.v0≤2 m/s
當(dāng)v0較大時(shí)，小球能夠通過最高點(diǎn)，這時(shí)小球在最高點(diǎn)處需要滿足的條件是mg≤，又根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mv2+2mgr=
m，得v0≥2 m/s，C項(xiàng)正確；當(dāng)v0較小時(shí)，小球不能通過最高點(diǎn)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處時(shí)速度恰好減為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgr≥m，得v0≤
2 m/s，D項(xiàng)正確。
解析
　　物體在豎直放置的圓形軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)與“輕繩”模型類 似，在最高點(diǎn)時(shí)均由重力和指向圓心的彈力的合力提供向心力，通過最高點(diǎn)的臨界條件也相同，所以把它歸納入“輕繩”模型中。
考向2
“輕桿”模型
【典例6】　一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，則下列說法正確的是(重力加速度為g)( )
A.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿所受到的彈力可以等于零
B.小球過最高點(diǎn)的最小速度是
C.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而增大
D.小球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對(duì)球的作用力一定隨速度增大而減小
輕桿可對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力，小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度可以為零，當(dāng)小球過最高點(diǎn)的速度v=時(shí)，桿所受的彈力等于零，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；若v<，則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向上，mg-F=m，隨v增大，F(xiàn)減小；若v>，則桿在最高點(diǎn)對(duì)小球的彈力豎直向下，mg+F=m，隨v增大，F(xiàn)增大，C、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析
【典例7】　(多選)如圖所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的彎管處于豎直平面 內(nèi)，其中管道半徑為R。現(xiàn)有一個(gè)半徑略小于彎管橫截面半徑的光滑小球在彎管里運(yùn)動(dòng)，小球半徑比R小很多，當(dāng)小球通過最高點(diǎn)時(shí)速率為v0，重力加速度為g，則下列說法正確的是( )
A.若v0=，則小球?qū)軆?nèi)壁無壓力
B.若v0>，則小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力
C.若0D.不論v0多大，小球?qū)軆?nèi)下壁都有壓力
在最高點(diǎn)，若恰好重力提供向心力，則由牛頓第二定律有mg=m，解得v0=，即此種情況下小球?qū)軆?nèi)壁無壓力，A項(xiàng)正確；若小球?qū)軆?nèi)上壁有壓力，即管內(nèi)壁對(duì)小球有向下的彈力，由牛頓第二定律有mg+FN=m，解得v0=>，B項(xiàng)正確；若小球?qū)軆?nèi)下壁有壓力，即管內(nèi)下壁對(duì)小球有向上
解析
的彈力，由牛頓第二定律有mg-FN=m，解得v0=<
，若0解析
　　物體在豎直放置的圓管軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)與“輕桿”模型類似，物體通過最高點(diǎn)時(shí)，均由重力和軌道沿半徑向里或向外的彈力的合力提供向心力，v0=為彈力向里或向外的臨界速度。
斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
題型3
斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)——類比法的應(yīng)用。
與豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類似，斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)也是集中分析物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況，列牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程來解題。只是在受力分析時(shí)，一般需要進(jìn)行立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化，這是解斜面上圓周運(yùn)動(dòng)問題的難點(diǎn)。
在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，根據(jù)受力情況的不同，可分為以下三類：
(1)物體在靜摩擦力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。
(2)物體在繩的拉力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。
(3)物體在桿的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。
這類問題的特點(diǎn)是重力的分力和其他力的合力提供向心力，運(yùn)動(dòng)和受力情況比較復(fù)雜。
【典例8】　如圖所示，在傾角為α=30°的光滑斜面上，有一根長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.8 m的輕桿，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m=0.2 kg的小球(小球可視為質(zhì)點(diǎn))，沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng)，取g=10 m/s2，若要小球能通過最高點(diǎn)A，則小球在最低點(diǎn)B的最小速度是( )
A.4 m/s B.2 m/s C.2 m/s D.2 m/s
小球受輕桿控制，在A點(diǎn)的最小速度為零，由動(dòng)能定理可得mg×2Lsin α=m-0，可得vB=4 m/s，A項(xiàng)正確。
解析

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