資源簡(jiǎn)介

第1講　萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用
■目標(biāo)要求
1.理解開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律,并能用來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。2.掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法。
考點(diǎn)1　開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律
　　　　　 　　　　　　　　　　
必|備|知|識(shí)
1.開普勒第一定律:所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓,太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)　　　　上。
2.開普勒第二定律:對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō),它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的　　　　相等。
3.開普勒第三定律:所有行星軌道的　　　　的三次方跟它的　　　　　　的二次方的比都相等。
(1)圍繞同一天體運(yùn)動(dòng)的不同行星橢圓軌道不一樣,但都有一個(gè)共同的焦點(diǎn)()
(2)不同軌道上的行星與太陽(yáng)的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等()
(3)根據(jù)開普勒第三定律,地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)與月球圍繞地球運(yùn)動(dòng)相比較,有=()
關(guān)|鍵|能|力
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理。
2.應(yīng)用微元法,結(jié)合開普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在兩個(gè)位置的速度之比與到太陽(yáng)的距離成反比,近日點(diǎn)的速度最大,遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度最小。
3.開普勒第三定律=k中,k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān),不同的中心天體k值不同,但該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。
【典例1】　(多選)對(duì)于開普勒定律的理解,下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.開普勒根據(jù)第谷對(duì)行星的觀測(cè)數(shù)據(jù),總結(jié)得出了開普勒三大定律
B.行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓,太陽(yáng)處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上
C.行星距離太陽(yáng)越近,其運(yùn)動(dòng)速率越小
D.行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑跟它公轉(zhuǎn)周期成正比
【典例2】　(2025·張家口模擬)如圖所示是地球繞太陽(yáng)運(yùn)行情況的示意圖,A點(diǎn)是遠(yuǎn)日點(diǎn),B點(diǎn)是近日點(diǎn),CD是橢圓軌道的短軸,運(yùn)行的周期為T。則地球從A經(jīng)C、B到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中(　　)
A.地球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度最大
B.地球從A點(diǎn)到C點(diǎn)所用的時(shí)間等于
C.地球從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程中先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)
D.地球從A點(diǎn)到B點(diǎn)所用時(shí)間等于
考點(diǎn)2　萬(wàn)有引力定律
　　　　　 　　　　　　　　　　
必|備|知|識(shí)
1.內(nèi)容:自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引,引力的方向在它們的連線上,引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積　　　　,與它們之間距離r的二次方　　　　。
2.表達(dá)式:F=　　　　　,G為引力常量:G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
3.適用條件。
(1)公式適用于　　　　間的相互作用。當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí),物體可視為質(zhì)點(diǎn)。
(2)公式適用于質(zhì)量分布均勻的球體之間的相互作用,r是　　　　　　　的距離。
(1)只有質(zhì)量較大的天體之間才存在萬(wàn)有引力()
(2)兩物體間的距離趨近于零時(shí),萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大()
(3)地面上的物體所受地球的萬(wàn)有引力方向一定指向地心 ()
關(guān)|鍵|能|力
1.萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系。
地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果:一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向。
(1)在赤道上:G=mg1+mω2R。
(2)在兩極上:G=mg0。
(3)在一般位置:萬(wàn)有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和。
越靠近南、北兩極,g值越大,由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小,常認(rèn)為萬(wàn)有引力近似等于重力,即=mg。
2.星球上空的重力加速度g'。
星球上空距離星體中心r=R+h處的重力加速度為g',mg'=,得g'=,所以=。
考向1　萬(wàn)有引力定律的理解
【典例3】　
(2024·廣西卷)潮汐現(xiàn)象出現(xiàn)的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。圖中a、b和c處單位質(zhì)量的海水受月球引力大小在(　　)
A.a處最大 B.b處最大
C.c處最大 D.a、c處相等,b處最小
審題指導(dǎo)
序號(hào) 信息讀取 信息加工
1 潮汐現(xiàn)象出現(xiàn)的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同 潮汐現(xiàn)象是由月球引力變化引起的,應(yīng)用萬(wàn)有引力定律分析海水潮汐現(xiàn)象
2 a、b和c處單位質(zhì)量的海水受月球引力大小 由萬(wàn)有引力定律知,圖中a處與月球距離最小,單位質(zhì)量的海水受月球引力最大;c處與月球距離最大,單位質(zhì)量的海水受月球引力最小
失分 剖析 不能從題中信息獲取潮汐現(xiàn)象形成的原因
考向2　重力和萬(wàn)有引力的關(guān)系
【典例4】　設(shè)宇宙中有一自轉(zhuǎn)角速度為ω,半徑為R、質(zhì)量分布均勻的小行星。在小行星上用彈簧測(cè)力計(jì)稱量某一質(zhì)量為m的物塊,在極點(diǎn)處彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F,此處重力加速度大小為g1;在赤道處彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F,此處重力加速度大小為g2,則下列關(guān)系式正確的是(　　)
A.g2=g1 B.F=mω2R
C.F=mω2R D.F=mω2R
考向3　補(bǔ)償法求萬(wàn)有引力
【典例5】　
如圖所示,一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球,半徑為R,現(xiàn)從球中挖去一個(gè)直徑為R的小球放在相距為d=2R的A處,位置關(guān)系如圖所示。引力常量為G,則放置于A處的小球與大球剩余部分間的萬(wàn)有引力為(　　)
A. B.
C. D.
補(bǔ)償法求非對(duì)稱物體間的萬(wàn)有引力
球內(nèi)挖去一部分后則變成非對(duì)稱球,無(wú)法直接使用萬(wàn)有引力定律求解,此時(shí)可用“先補(bǔ)后減”的方法。這是一種解決問(wèn)題的科學(xué)思維,即先把挖去的部分用同密度的物質(zhì)“填補(bǔ)”上,使其成為規(guī)則的球體,再根據(jù)萬(wàn)有引力定律,分別計(jì)算出大球和“填補(bǔ)”上的小球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力,最后兩引力相減即可得到結(jié)果。
考向4　地球表面下萬(wàn)有引力的計(jì)算
【典例6】　假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體,已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零,對(duì)殼外物體的引力等于將所有質(zhì)量全部集中在球心的質(zhì)點(diǎn)對(duì)球外物體的引力。現(xiàn)以地心為原點(diǎn)O建立坐標(biāo)軸,用r表示坐標(biāo)軸上某點(diǎn)到地心的距離,地表處重力加速度為g0,則該直線上各點(diǎn)的重力加速度g隨r變化的圖像正確的是(　　)
A　B
C　D
星體內(nèi)部萬(wàn)有引力的兩個(gè)推論
(1)推論1:在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處,質(zhì)點(diǎn)受到球殼的各部分萬(wàn)有引力的合力為零。
(2)推論2:在半徑為R的勻質(zhì)球體內(nèi)部,距離球心r(r考點(diǎn)3　天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
　　　　　 　　　　　　　　　　
關(guān)|鍵|能|力
天體質(zhì)量和密度的估算方法。
1.重力加速度法:利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
(1)由G=mg得天體質(zhì)量M=。
(2)天體密度ρ===。
2.天體環(huán)繞法:測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。
(1)由G=m得天體的質(zhì)量M=。
(2)若已知天體的半徑R,則天體的密度ρ===。
(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí),可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R,則天體密度ρ=,可見,只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T,就可估算出中心天體的密度。
考向1　“重力加速度法”計(jì)算天體質(zhì)量和密度
【典例7】　航天員在月球表面將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放,二者幾乎同時(shí)落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落,經(jīng)時(shí)間t落到月球表面。已知引力常量為G,月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)。求:
(1)月球表面的自由落體加速度大小g月;
(2)月球的質(zhì)量M;
(3)月球的密度ρ。
考向2　“環(huán)繞法”計(jì)算天體質(zhì)量和密度
【典例8】　(2024·新課標(biāo)卷)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn),在太陽(yáng)系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運(yùn)行,其中行星GJ1002c的軌道近似為圓,軌道半徑約為日地距離的0.07倍,周期約為0.06年,則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽(yáng)質(zhì)量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
命題特點(diǎn):以天文學(xué)上的發(fā)現(xiàn)——紅矮星的兩顆行星繞其運(yùn)動(dòng)為載體考查天體質(zhì)量的計(jì)算,且計(jì)算中需要與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)相比較。
復(fù)習(xí)建議:重視行星繞中心天體運(yùn)行的規(guī)律,了解各種典型問(wèn)題的求解思路,能夠更快地找到解題的思路。
第1講　萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用
考點(diǎn)1
必備知識(shí) 　
1.焦點(diǎn)　2.面積　3.半長(zhǎng)軸　公轉(zhuǎn)周期
微點(diǎn)辨析　(1)√　(2)×　(3)×
關(guān)鍵能力 　
【典例1】　AB　解析　開普勒通過(guò)觀察和分析第谷對(duì)行星的觀測(cè)數(shù)據(jù),總結(jié)得出了開普勒三大定律,A項(xiàng)正確;由開普勒第一定律知,行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓,太陽(yáng)處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,B項(xiàng)正確;由開普勒第二定律知,行星距離太陽(yáng)越近,其運(yùn)動(dòng)速率越大,C項(xiàng)錯(cuò)誤;由開普勒第三定律知,行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的三次方跟它公轉(zhuǎn)周期的平方成正比,D項(xiàng)錯(cuò)誤。
【典例2】　D　解析　根據(jù)開普勒第二定律,在相同時(shí)間內(nèi)某一行星與恒星的連線所掃過(guò)的面積相等,可知在近日點(diǎn)B速度最大,在遠(yuǎn)日點(diǎn)A速度最小,A項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)對(duì)稱性可知,A→C→B與B→D→A的時(shí)間相等,均為,根據(jù)上述可知,A→C→B階段,速率逐漸變大,即A到C的平均速率小于C到B的平均速率,所以從A點(diǎn)到C點(diǎn)所用的時(shí)間大于,B項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確;地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),即向近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng),速度逐漸增大,做加速運(yùn)動(dòng),C項(xiàng)錯(cuò)誤。
考點(diǎn)2
必備知識(shí) 　
1.成正比　成反比　2.G
3.(1)質(zhì)點(diǎn)　(2)兩球心間
微點(diǎn)辨析　(1)×　(2)×　(3)√
關(guān)鍵能力 　
【典例3】　A　解析　根據(jù)萬(wàn)有引力公式F=G,圖中a處單位質(zhì)量的海水受到月球的引力最大,A項(xiàng)正確,B、C、D三項(xiàng)錯(cuò)誤。
【典例4】　B　解析　在極點(diǎn)處有F=mg1,在赤道處有F=mg2,根據(jù)萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系有F-F=mω2R,解得g2=g1,F=mω2R,B項(xiàng)正確,A、C、D三項(xiàng)錯(cuò)誤。
【典例5】　D　解析　根據(jù)公式m=ρπr3可知,挖去小球質(zhì)量等于原大球的,則有m=M,設(shè)沒(méi)挖去前,對(duì)小球的引力為F1===,挖去部分對(duì)小球的引力F2=G=,則放置于A處的小球與大球剩余部分的萬(wàn)有引力為F=F1-F2,聯(lián)立解得F=,D項(xiàng)正確。
【典例6】　A　解析　在地球內(nèi)部,根據(jù)題意有G=mg,地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體,則M'=ρV=ρπr3,聯(lián)立解得g=πρGr∝r,地表重力加速度為g0;在地球外部,滿足G=mg,即g=∝,A項(xiàng)正確。
考點(diǎn)3
關(guān)鍵能力 　
【典例7】　答案　(1)　(2)
(3)
解析　(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng),有h=g月t2,
解得月球表面的自由落體加速度大小
g月=。
(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響,有
G=mg月,
解得月球的質(zhì)量M=。
(3)月球的密度ρ=,
將M=和V=πR3代入解得
ρ=。
【典例8】　B　解析　設(shè)紅矮星質(zhì)量為M1,行星質(zhì)量為m1,半徑為r1,周期為T1;太陽(yáng)的質(zhì)量為M2,地球質(zhì)量為m2,到太陽(yáng)距離為r2,周期為T2;根據(jù)萬(wàn)有引力定律有G=m1r1,G=m2r2,聯(lián)立解得=3·2,由于軌道半徑約為日地距離的0.07倍,周期約為0.06年,解得≈0.1,B項(xiàng)正確。(共38張PPT)
第1講
第五章 萬(wàn)有引力與宇宙航行
萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用
目
標(biāo)
要
求
1.理解開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，并能用來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。2.掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法。
考點(diǎn)1　開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律
考點(diǎn)2　萬(wàn)有引力定律
內(nèi)容
索引
考點(diǎn)3　天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律
考點(diǎn)1
必|備|知|識(shí)
1.開普勒第一定律：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)_______上。
2.開普勒第二定律：對(duì)任意一個(gè)行星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的_______相等。
3.開普勒第三定律：所有行星軌道的_____________的三次方跟它的____________的二次方的比都相等。
焦點(diǎn)
面積
半長(zhǎng)軸
公轉(zhuǎn)周期
(1)圍繞同一天體運(yùn)動(dòng)的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個(gè)共同的焦點(diǎn)( )
(2)不同軌道上的行星與太陽(yáng)的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等
( )
(3)根據(jù)開普勒第三定律，地球圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)與月球圍繞地球運(yùn)動(dòng)相比較，有=( )
關(guān)|鍵|能|力
1.行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理。
2.應(yīng)用微元法，結(jié)合開普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2，解得=，即行星在兩個(gè)位置的速度之比與到太陽(yáng)的距離成反比，近日點(diǎn)的速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)的速度最小。
3.開普勒第三定律=k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同，但該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間。
【典例1】　(多選)對(duì)于開普勒定律的理解，下列說(shuō)法正確的是( )
A.開普勒根據(jù)第谷對(duì)行星的觀測(cè)數(shù)據(jù)，總結(jié)得出了開普勒三大定律
B.行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓，太陽(yáng)處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上
C.行星距離太陽(yáng)越近，其運(yùn)動(dòng)速率越小
D.行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑跟它公轉(zhuǎn)周期成正比
開普勒通過(guò)觀察和分析第谷對(duì)行星的觀測(cè)數(shù)據(jù)，總結(jié)得出了開普勒三大定律，A項(xiàng)正確；由開普勒第一定律知，行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是橢圓，太陽(yáng)處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，B項(xiàng)正確；由開普勒第二定律知，行星距離太陽(yáng)越近，其運(yùn)動(dòng)速率越大，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由開普勒第三定律知，行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑的三次方跟它公轉(zhuǎn)周期的平方成正比，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析
【典例2】　(2025·張家口模擬)如圖所示是地球繞太陽(yáng)運(yùn)行情況的示意圖，A點(diǎn)是遠(yuǎn)日點(diǎn)，B點(diǎn)是近日點(diǎn)，CD是橢圓軌道的短軸，運(yùn)行的周期為T。則地球從A經(jīng)C、B到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中( )
A.地球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)速度最大
B.地球從A點(diǎn)到C點(diǎn)所用的時(shí)間等于
C.地球從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過(guò)程中先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)
D.地球從A點(diǎn)到B點(diǎn)所用時(shí)間等于
根據(jù)開普勒第二定律，在相同時(shí)間內(nèi)某一行星與恒星的連線所掃過(guò)的面積相等，可知在近日點(diǎn)B速度最大，在遠(yuǎn)日點(diǎn)A速度最小，A項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性可知，A→C→B與B→D→A的時(shí)間相等，均為，根據(jù)上述可知，A→C→B階段，速率逐漸變大，即A到C的平均速率小于C到B的平均速率，所以從A點(diǎn)到C點(diǎn)所用的時(shí)間大于，B項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；地球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，即向近日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度逐漸增大，做加速運(yùn)動(dòng)，C項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析
萬(wàn)有引力定律
考點(diǎn)2
必|備|知|識(shí)
1.內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積________，與它們之間距離r的二次方________。
2.表達(dá)式：F=_________，G為引力常量：G=6.67×10-11 N·m2/kg2。
成正比
成反比
G
3.適用條件。
(1)公式適用于_______間的相互作用。當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)。
(2)公式適用于質(zhì)量分布均勻的球體之間的相互作用，r是_________的距離。
質(zhì)點(diǎn)
兩球心間
(1)只有質(zhì)量較大的天體之間才存在萬(wàn)有引力( )
(2)兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大( )
(3)地面上的物體所受地球的萬(wàn)有引力方向一定指向地心 ( )
關(guān)|鍵|能|力
1.萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系。
地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向。
(1)在赤道上：G=mg1+mω2R。
(2)在兩極上：G=mg0。
(3)在一般位置：萬(wàn)有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和。
越靠近南、北兩極，g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬(wàn)有引力近似等于重力，即=mg。
2.星球上空的重力加速度g'。
星球上空距離星體中心r=R+h處的重力加速度為g'，mg'=，得g'=，所以=。
考向1
萬(wàn)有引力定律的理解
【典例3】　(2024·廣西卷)潮汐現(xiàn)象出現(xiàn)的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。圖中a、b和c處單位質(zhì)量的海水受月球引力大小在( )
A.a處最大 B.b處最大
C.c處最大 D.a、c處相等，b處最小
審題指導(dǎo)
序號(hào) 信息讀取 信息加工
1 潮汐現(xiàn)象出現(xiàn)的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同 潮汐現(xiàn)象是由月球引力變化引起的，應(yīng)用萬(wàn)有引力定律分析海水潮汐現(xiàn)象
2 a、b和c處單位質(zhì)量的海水受月球引力大小 由萬(wàn)有引力定律知，圖中a處與月球距離最小，單位質(zhì)量的海水受月球引力最大；c處與月球距離最大，單位質(zhì)量的海水受月球引力最小
失分 剖析 不能從題中信息獲取潮汐現(xiàn)象形成的原因
根據(jù)萬(wàn)有引力公式F=G，圖中a處單位質(zhì)量的海水受到月球的引力最大，A項(xiàng)正確，B、C、D三項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析
考向2
重力和萬(wàn)有引力的關(guān)系
【典例4】　設(shè)宇宙中有一自轉(zhuǎn)角速度為ω，半徑為R、質(zhì)量分布均勻的小行星。在小行星上用彈簧測(cè)力計(jì)稱量某一質(zhì)量為m的物塊，在極點(diǎn)處彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F，此處重力加速度大小為g1；在赤道處彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F，此處重力加速度大小為g2，則下列關(guān)系式正確的是( )
A.g2=g1 B.F=mω2R C.F=mω2R D.F=mω2R
在極點(diǎn)處有F=mg1，在赤道處有F=mg2，根據(jù)萬(wàn)有引力和重力的關(guān)系有F-F=mω2R，解得g2=g1，F(xiàn)=mω2R，B項(xiàng)正確，A、C、D三項(xiàng)錯(cuò)誤。
解析
考向3
補(bǔ)償法求萬(wàn)有引力
【典例5】　如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為M的勻質(zhì)實(shí)心球，半徑為R，現(xiàn)從球中挖去一個(gè)直徑為R的小球放在相距為d=2R的A處，位置關(guān)系如圖所示。引力常量為G，則放置于A處的小球與大球剩余部分間的萬(wàn)有引力為( )

A. B. C. D.
根據(jù)公式m=ρπr3可知，挖去小球質(zhì)量等于原大球的，則有m=
M，設(shè)沒(méi)挖去前，對(duì)小球的引力為F1===，挖去部分對(duì)小球的引力F2=G=，則放置于A處的小球與大球剩余部分的萬(wàn)有引力為F=F1-F2，聯(lián)立解得F=，D項(xiàng)正確。
解析
補(bǔ)償法求非對(duì)稱物體間的萬(wàn)有引力
球內(nèi)挖去一部分后則變成非對(duì)稱球，無(wú)法直接使用萬(wàn)有引力定律求解，此時(shí)可用“先補(bǔ)后減”的方法。這是一種解決問(wèn)題的科學(xué)思維，即先把挖去的部分用同密度的物質(zhì)“填補(bǔ)”上，使其成為規(guī)則的球 體，再根據(jù)萬(wàn)有引力定律，分別計(jì)算出大球和“填補(bǔ)”上的小球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，最后兩引力相減即可得到結(jié)果。
考向4
地球表面下萬(wàn)有引力的計(jì)算
【典例6】　假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，對(duì)殼外物體的引力等于將所有質(zhì)量全部集中在球心的質(zhì)點(diǎn)對(duì)球外物體的引力。現(xiàn)以地心為原點(diǎn)O建立坐標(biāo)軸，用r表示坐標(biāo)軸上某點(diǎn)到地心的距離，地表處重力加速度為g0，則該直線上各點(diǎn)的重力加速度g隨r變化的圖像正確的是( )
在地球內(nèi)部，根據(jù)題意有G=mg，地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，則M'=ρV=ρπr3，聯(lián)立解得g=πρGr∝r，地表重力加速度為g0；在地球外部，滿足G=mg，即g=∝，A項(xiàng)正確。
解析
星體內(nèi)部萬(wàn)有引力的兩個(gè)推論
(1)推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的各部分萬(wàn)有引力的合力為零。
(2)推論2：在半徑為R的勻質(zhì)球體內(nèi)部，距離球心r(r天體質(zhì)量和密度的計(jì)算
考點(diǎn)3
關(guān)|鍵|能|力
天體質(zhì)量和密度的估算方法。
1.重力加速度法：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。
(1)由G=mg得天體質(zhì)量M=。
(2)天體密度ρ===。
2.天體環(huán)繞法：測(cè)出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T。
(1)由G=m得天體的質(zhì)量M=。
(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ===。
(3)若衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)行時(shí)，可認(rèn)為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ=，可見，只要測(cè)出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)的周期T，就可估算出中心天體的密度。
考向1
“重力加速度法”計(jì)算天體質(zhì)量和密度
【典例7】　航天員在月球表面將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)。求：
(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；
月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，有h=g月t2，
解得月球表面的自由落體加速度大小g月=。
解析
(2)月球的質(zhì)量M；
不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有G=mg月，
解得月球的質(zhì)量M=。
解析
(3)月球的密度ρ。
月球的密度ρ=，
將M=和V=πR3代入解得ρ=。
解析
考向2
“環(huán)繞法”計(jì)算天體質(zhì)量和密度
【典例8】　(2024·新課標(biāo)卷)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在太陽(yáng)系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運(yùn)行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽(yáng)質(zhì)量的( )
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
設(shè)紅矮星質(zhì)量為M1，行星質(zhì)量為m1，半徑為r1，周期為T1；太陽(yáng)的質(zhì)量為M2，地球質(zhì)量為m2，到太陽(yáng)距離為r2，周期為T2；根據(jù)萬(wàn)有引力定律有G=m1r1，G=m2r2，聯(lián)立解得=，由于軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，解得≈0.1，B項(xiàng)正確。
解析
命題特點(diǎn)：以天文學(xué)上的發(fā)現(xiàn)——紅矮星的兩顆行星繞其運(yùn)動(dòng)為載體考查天體質(zhì)量的計(jì)算，且計(jì)算中需要與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)相比較。
復(fù)習(xí)建議：重視行星繞中心天體運(yùn)行的規(guī)律，了解各種典型問(wèn)題的求解思路，能夠更快地找到解題的思路。微練17　萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用
　
梯級(jí)Ⅰ基礎(chǔ)練
1.(2024·甘肅卷)小杰想在離地表一定高度的天宮實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，通過(guò)測(cè)量以下物理量得到天宮實(shí)驗(yàn)室軌道處的重力加速度，可行的是(　　)
A.用彈簧秤測(cè)出已知質(zhì)量的砝碼所受的重力
B.測(cè)量單擺擺線長(zhǎng)度、擺球半徑以及擺動(dòng)周期
C.從高處釋放一個(gè)重物、測(cè)量其下落高度和時(shí)間
D.測(cè)量天宮實(shí)驗(yàn)室繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和軌道半徑
2.(多選)(2025·武漢模擬)節(jié)氣是指二十四個(gè)時(shí)節(jié)和氣候，是中國(guó)古代訂立的一種用來(lái)指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，早在《淮南子》中就有記載。現(xiàn)行二十四節(jié)氣劃分是以地球和太陽(yáng)的連線每掃過(guò)15°定為一個(gè)節(jié)氣，如圖所示為北半球二十四個(gè)節(jié)氣時(shí)地球在公轉(zhuǎn)軌道上位置的示意圖，其中冬至?xí)r地球在近日點(diǎn)附近。根據(jù)如圖，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.芒種時(shí)地球公轉(zhuǎn)速度比小滿時(shí)小
B.芒種到小暑的時(shí)間間隔比大雪到小寒的長(zhǎng)
C.立春時(shí)地球公轉(zhuǎn)的加速度與立秋時(shí)大小相等
D.春分、夏至、秋分、冬至四個(gè)節(jié)氣剛好將一年的時(shí)間分為四等份
3.(2025·哈爾濱模擬)電影《流浪地球》講述的是由于太陽(yáng)快速老化膨脹，人類制定了“流浪地球”計(jì)劃，這首先需要使地球停止自轉(zhuǎn)，再將地球推移出太陽(yáng)系到達(dá)距離太陽(yáng)最近的恒星(比鄰星)。為了使地球停止自轉(zhuǎn)，設(shè)想的方案就是在地球赤道上均勻地安裝N臺(tái)“噴氣”發(fā)動(dòng)機(jī)，如圖所示(N較大，圖中只畫出了4個(gè))。假設(shè)每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)均能沿赤道的切線方向提供推力，該推力可阻礙地球的自轉(zhuǎn)。將地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.地球自轉(zhuǎn)剎車過(guò)程中，赤道附近的重力加速度逐漸變大
B.地球自轉(zhuǎn)剎車過(guò)程中，兩極附近的重力加速度逐漸變大
C.地球停止自轉(zhuǎn)后，赤道附近比兩極附近的重力加速度大
D.地球停止自轉(zhuǎn)后，赤道附近比兩極附近的重力加速度小
4.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r=，則原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力大小變?yōu)?　　)
A.F　 　B.F　 　C.F　 　D.F
5.(2024·全國(guó)甲卷)2024年5月，嫦娥六號(hào)探測(cè)器發(fā)射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經(jīng)過(guò)月面起飛、環(huán)月飛行、月地轉(zhuǎn)移等過(guò)程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.在環(huán)月飛行時(shí)，樣品所受合力為零
B.若將樣品放置在月球正面，它對(duì)月球表面壓力等于零
C.樣品在不同過(guò)程中受到的引力不同，所以質(zhì)量也不同
D.樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力，比放置在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小
6.(2024·山東卷)鵲橋二號(hào)中繼星環(huán)繞月球運(yùn)行，其24小時(shí)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則月球與地球質(zhì)量之比可表示為(　　)
A. B. C. D.
7.2024年5月8日，嫦娥六號(hào)探測(cè)器成功實(shí)施近月制動(dòng)，順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行。若嫦娥六號(hào)繞月球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出月球質(zhì)量的是(　　)
A.嫦娥六號(hào)的質(zhì)量和繞月半徑
B.嫦娥六號(hào)的質(zhì)量和繞月周期
C.嫦娥六號(hào)的繞月角速度和繞月周期
D.嫦娥六號(hào)的繞月線速度和繞月半徑
梯級(jí)Ⅱ能力練
8.太陽(yáng)系一顆質(zhì)量均勻、可看作球體的小行星自轉(zhuǎn)角速度為ω，在該星球表面“赤道”處的重力加速度大小為“兩極”處的重力加速度大小的，已知引力常量G，則該星球密度ρ為(　　)
A. B. C. D.
9.(2024·安徽卷)2024年3月20日，我國(guó)探月工程四期鵲橋二號(hào)中繼星成功發(fā)射升空。當(dāng)?shù)诌_(dá)距離月球表面某高度時(shí)，鵲橋二號(hào)開始進(jìn)行近月制動(dòng)，并順利進(jìn)入捕獲軌道運(yùn)行，如圖所示，軌道的半長(zhǎng)軸約為51 900 km。后經(jīng)多次軌道調(diào)整，進(jìn)入凍結(jié)軌道運(yùn)行，軌道的半長(zhǎng)軸約為9 900 km，周期約為24 h。則鵲橋二號(hào)在捕獲軌道運(yùn)行時(shí)(　　)
A.周期約為144 h
B.近月點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度
C.近月點(diǎn)的速度小于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度
D.近月點(diǎn)的加速度大于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的加速度
10.如圖所示，某時(shí)刻質(zhì)量分別為m1、m2、m3的地球、中國(guó)空間站和月球在同一直線上，以地球球心為原點(diǎn)O，以地心和月心連線為x軸，x軸與地球表面交于A點(diǎn)，空間站和月心分別在B點(diǎn)和C點(diǎn)，A、B、C坐標(biāo)分別為x1、x2、x3。假設(shè)空間站和月球皆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，空間站可視為質(zhì)點(diǎn)，已知引力常量為G。求:
(1)分別求出地球和月球?qū)臻g站的萬(wàn)有引力F1、F2的大小;
(2)若將空間站在x1(3)僅考慮地球引力，空間站的環(huán)繞速度v大小。
梯級(jí)Ⅲ創(chuàng)新練
11.(2025·常州模擬)質(zhì)量均勻分布、半徑為R的球體，在與球心O距離x(x>R)處有一質(zhì)點(diǎn)A。現(xiàn)從球體中挖去兩個(gè)半徑為的球體，三個(gè)球體相切且球心與切點(diǎn)共線，如圖所示。則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)A萬(wàn)有引力的方向(　　)
A.可能沿F1
B.可能沿F2
C.可能沿F3
D.沿F1、F2、F3方向均有可能
微練17　萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用
1.D　解析　在天宮實(shí)驗(yàn)室內(nèi),物體處于完全失重狀態(tài),重力提供了物體繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,故A、B、C中的實(shí)驗(yàn)均無(wú)法得到天宮實(shí)驗(yàn)室軌道處的重力加速度。由重力提供繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力得mg=G=mr,整理得軌道重力加速度為g=r,通過(guò)測(cè)量天宮實(shí)驗(yàn)室繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和軌道半徑可行,D項(xiàng)正確。
2.AB　解析　從題圖中我們可以看到,冬至?xí)r地球位于近日點(diǎn)附近,公轉(zhuǎn)速度最快。隨著地球向遠(yuǎn)日點(diǎn)移動(dòng),公轉(zhuǎn)速度逐漸減慢。因此,芒種 (位于遠(yuǎn)日點(diǎn)附近)時(shí)的公轉(zhuǎn)速度應(yīng)該比小滿 (位于近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)之間)時(shí)慢,A項(xiàng)正確;由于公轉(zhuǎn)速度的變化,芒種到小暑的時(shí)間間隔與大雪到小寒的時(shí)間間隔并不相等,芒種到小暑的時(shí)間間隔要大于大雪到小寒的時(shí)間間隔,B項(xiàng)正確;地球公轉(zhuǎn)的加速度與地球到太陽(yáng)的距離有關(guān),立春時(shí)和立秋時(shí),地球到太陽(yáng)的距離并不相等(立春時(shí)離太陽(yáng)較近,立秋時(shí)離太陽(yáng)較遠(yuǎn)),因此公轉(zhuǎn)加速度也不相等,C項(xiàng)錯(cuò)誤;春分、夏至、秋分、冬至四個(gè)節(jié)氣雖然分別代表了春、夏、秋、冬四季的開始,但它們并不剛好將一年的時(shí)間分為四等份。實(shí)際上,由于地球公轉(zhuǎn)軌道是橢圓形的,各季節(jié)的長(zhǎng)度并不相等,D項(xiàng)錯(cuò)誤。
3.A　解析　設(shè)地球質(zhì)量為M,地球半徑為R,地球自轉(zhuǎn)角速度為ω,兩極附近的重力加速度為g0,赤道附近的重力加速度為g;則物體在兩極處有=mg0,物體在赤道處有=mg+mω2R,地球自轉(zhuǎn)剎車過(guò)程中,地球自轉(zhuǎn)角速度逐漸減小,赤道附近的重力加速度逐漸變大,兩極附近的重力加速度保持不變;地球停止自轉(zhuǎn)后,則有=mg0,=mg,赤道附近重力加速度與兩極附近的重力加速度大小相等,A項(xiàng)正確。
4.A　解析　設(shè)原球體的質(zhì)量為M,質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m0,球心與質(zhì)點(diǎn)P的距離為L(zhǎng)。根據(jù)m=ρπr3知,挖去部分的小球的質(zhì)量m=M,沒(méi)挖去前,原球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力F=G,挖去的部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力F'==F,則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力F″=F-F'=F,A項(xiàng)正確。
5.D　解析　在環(huán)月飛行時(shí),樣品所受合力提供所需的向心力,不為零,A項(xiàng)錯(cuò)誤;若將樣品放置在月球正面,它對(duì)月球表面壓力大小等于它在月球表面的重力大小;由于月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的,則樣品在地球表面的重力大于在月球表面的重力,所以樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力比放置在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小,B項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確;樣品在不同過(guò)程中受到的引力不同,但樣品的質(zhì)量相同,C項(xiàng)錯(cuò)誤。
6.D　解析　衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動(dòng)時(shí),由萬(wàn)有引力定律有G=mr,可得M=,則=,D項(xiàng)正確。
7.D　解析　根據(jù)G=mr,可得M=,已知嫦娥六號(hào)繞月半徑和周期可求解月球的質(zhì)量;由以上分析,已知嫦娥六號(hào)的質(zhì)量和繞月半徑,或者已知嫦娥六號(hào)的質(zhì)量和繞月周期,都不能求解月球質(zhì)量,A、B兩項(xiàng)錯(cuò)誤;由以上分析,已知嫦娥六號(hào)的繞月角速度和繞月周期,因ω=,無(wú)法求解繞月軌道半徑,則無(wú)法求解月球質(zhì)量,C項(xiàng)錯(cuò)誤;由以上分析,嫦娥六號(hào)的繞月線速度和繞月半徑可求解周期T=,可求解月球質(zhì)量,D項(xiàng)正確。
8.B　解析　該星球“兩極”處G=mg,該星球表面“赤道”處G=mg+mω2R,則該星球密度ρ為ρ==,解得ρ=,B項(xiàng)正確。
9.B　解析　凍結(jié)軌道和捕獲軌道的中心天體是月球,根據(jù)開普勒第三定律得=,整理得T2=T1≈288 h,A項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)開普勒第二定律得,鵲橋二號(hào)在捕獲軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度,B項(xiàng)正確;從捕獲軌道到凍結(jié)軌道鵲橋二號(hào)進(jìn)行近月制動(dòng),在捕獲軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度大于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度,C項(xiàng)錯(cuò)誤;鵲橋二號(hào)在兩軌道的近月點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力相同,根據(jù)牛頓第二定律可知,近月點(diǎn)的加速度等于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的加速度,D項(xiàng)錯(cuò)誤。
10.答案　(1)　
(2)x3　(3)
解析　(1)根據(jù)萬(wàn)有引力定律,地球?qū)臻g站的引力F1=,
月球?qū)臻g站的引力F2=。
(2)在x1=,
解得位置坐標(biāo)x=x3。
(3)空間站繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)
=m2,
解得v2=。
11.A　解析　在挖去的地方補(bǔ)上相同材料,根據(jù)萬(wàn)有引力公式F=G,被挖去的上面球?qū)|(zhì)點(diǎn)A的萬(wàn)有引力小于被挖去的下面球?qū)|(zhì)點(diǎn)A的萬(wàn)有引力,兩球?qū)|(zhì)點(diǎn)A的合力方向應(yīng)為斜向下,題圖中剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)A萬(wàn)有引力的方向應(yīng)為斜向上,合成后沿F1方向,所以剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)A萬(wàn)有引力的方向可能沿F1,A項(xiàng)正確。(共27張PPT)
微練17
萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用
1
5
6
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8
9
10
11
2
3
4
1.(2024·甘肅卷)小杰想在離地表一定高度的天宮實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，通過(guò)測(cè)量以下物理量得到天宮實(shí)驗(yàn)室軌道處的重力加速度，可行的是( )
A.用彈簧秤測(cè)出已知質(zhì)量的砝碼所受的重力
B.測(cè)量單擺擺線長(zhǎng)度、擺球半徑以及擺動(dòng)周期
C.從高處釋放一個(gè)重物、測(cè)量其下落高度和時(shí)間
D.測(cè)量天宮實(shí)驗(yàn)室繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和軌道半徑
梯級(jí)Ⅰ 基礎(chǔ)練
在天宮實(shí)驗(yàn)室內(nèi)，物體處于完全失重狀態(tài)，重力提供了物體繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，故A、B、C中的實(shí)驗(yàn)均無(wú)法得到天宮實(shí)驗(yàn)室軌道處的重力加速度。由重力提供繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力得mg=G=mr，整理得軌道重力加速度為g=r， 通過(guò)測(cè)量天宮實(shí)驗(yàn)室繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和軌道半徑可行，D項(xiàng)正確。
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2.(多選)(2025·武漢模擬)節(jié)氣是指二十四個(gè)時(shí)節(jié)和氣候，是中國(guó)古代訂立的一種用來(lái)指導(dǎo)農(nóng)事的補(bǔ)充歷法，早在《淮南子》中就有記載。現(xiàn)行二十四節(jié)氣劃分是以地球和太陽(yáng)的連線每掃過(guò)15°定為一個(gè)節(jié)氣，如圖所示為北半球二十四個(gè)節(jié)氣時(shí)地球在公轉(zhuǎn)軌道上位置的示意圖，其中冬至?xí)r地球在近日點(diǎn)附近。根據(jù)如圖，下列說(shuō)法正確的是( )
A.芒種時(shí)地球公轉(zhuǎn)速度比小滿時(shí)小
B.芒種到小暑的時(shí)間間隔比大雪到小寒的長(zhǎng)
C.立春時(shí)地球公轉(zhuǎn)的加速度與立秋時(shí)大小相等
D.春分、夏至、秋分、冬至四個(gè)節(jié)氣剛好將一年的時(shí)間分為四等份
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從題圖中我們可以看到，冬至?xí)r地球位于近日點(diǎn)附近，公轉(zhuǎn)速度最快。隨著地球向遠(yuǎn)日點(diǎn)移動(dòng)，公轉(zhuǎn)速度逐漸減慢。因此，芒種 (位于遠(yuǎn)日點(diǎn)附近)時(shí)的公轉(zhuǎn)速度應(yīng)該比小滿 (位于近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)之間)時(shí)慢，A項(xiàng)正確；由于公轉(zhuǎn)速度的變化，芒種到小暑的時(shí)間間隔與大雪到小寒的時(shí)間間隔并不相等，芒種到小暑的時(shí)間間隔要大于大雪到小寒的時(shí)間間隔，B項(xiàng)正確；地球公轉(zhuǎn)的加速度與地球到太陽(yáng)的距離有關(guān)，立春時(shí)和立秋時(shí)，地球到太陽(yáng)的距離
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并不相等(立春時(shí)離太陽(yáng)較近，立秋時(shí)離太陽(yáng)較遠(yuǎn))，因此公轉(zhuǎn)加速度也不相等，C項(xiàng)錯(cuò)誤；春分、夏至、秋分、冬至四個(gè)節(jié)氣雖然分別代表了春、夏、秋、冬四季的開始，但它們并不剛好將一年的時(shí)間分為四等份。實(shí)際上，由于地球公轉(zhuǎn)軌道是橢圓形的，各季節(jié)的長(zhǎng)度并不相等，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
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3.(2025·哈爾濱模擬)電影《流浪地球》講述的是由于太陽(yáng)快速老化膨脹，人類制定了“流浪地球”計(jì)劃，這首先需要使地球停止自轉(zhuǎn)，再將地球推移出太陽(yáng)系到達(dá)距離太陽(yáng)最近的恒星(比鄰星)。為了使地球停止自轉(zhuǎn)，設(shè)想的方案就是在地球赤道上均勻地安裝N臺(tái)“噴氣”發(fā)動(dòng)機(jī)，如圖所示(N較大，圖中只畫出了4個(gè))。假設(shè)每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)均能沿赤道的切線方向提供推力，該推力可阻礙地球的自轉(zhuǎn)。將地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，下列說(shuō)法正確的是( )
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A.地球自轉(zhuǎn)剎車過(guò)程中，赤道附近的重力加速度逐漸變大
B.地球自轉(zhuǎn)剎車過(guò)程中，兩極附近的重力加速度逐漸變大
C.地球停止自轉(zhuǎn)后，赤道附近比兩極附近的重力加速度大
D.地球停止自轉(zhuǎn)后，赤道附近比兩極附近的重力加速度小
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設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，兩極附近的重力加速度為g0，赤道附近的重力加速度為g；則物體在兩極處有=mg0，物體在赤道處有=mg+mω2R，地球自轉(zhuǎn)剎車過(guò)程中，地球自轉(zhuǎn)角速度逐漸減小，赤道附近的重力加速度逐漸變 大，兩極附近的重力加速度保持不變；地球停止自轉(zhuǎn)后，則有=mg0，=mg，赤道附近重力加速度與兩極附近的重力加速度大小相等，A項(xiàng)正確。
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4.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力為F。如果在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r=，則原球體剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的萬(wàn)有引力大小變?yōu)? )
A.F　 　B.F　 　C.F　 　D.F
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設(shè)原球體的質(zhì)量為M，質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m0，球心與質(zhì)點(diǎn)P的距離為L(zhǎng)。根據(jù)m=ρπr3知，挖去部分的小球的質(zhì)量m=M，沒(méi)挖去前，原球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力F=G，挖去的部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力F'==F，則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力F″=F-F'=F，A項(xiàng)正確。
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5.(2024·全國(guó)甲卷)2024年5月，嫦娥六號(hào)探測(cè)器發(fā)射成功，開啟了人類首次從月球背面采樣返回之旅。將采得的樣品帶回地球，飛行器需經(jīng)過(guò)月面起飛、環(huán)月飛行、月地轉(zhuǎn)移等過(guò)程。月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的。下列說(shuō)法正確的是( )
A.在環(huán)月飛行時(shí)，樣品所受合力為零
B.若將樣品放置在月球正面，它對(duì)月球表面壓力等于零
C.樣品在不同過(guò)程中受到的引力不同，所以質(zhì)量也不同
D.樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力，比放置在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小
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在環(huán)月飛行時(shí)，樣品所受合力提供所需的向心力，不為零，A項(xiàng)錯(cuò)誤；若將樣品放置在月球正面，它對(duì)月球表面壓力大小等于它在月球表面的重力大小；由于月球表面自由落體加速度約為地球表面自由落體加速度的，則樣品在地球表面的重力大于在月球表面的重力，所以樣品放置在月球背面時(shí)對(duì)月球的壓力比放置在地球表面時(shí)對(duì)地球的壓力小，B項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；樣品在不同過(guò)程中受到的引力不同，但樣品的質(zhì)量相同，C項(xiàng)錯(cuò)誤。
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6.(2024·山東卷)鵲橋二號(hào)中繼星環(huán)繞月球運(yùn)行，其24小時(shí)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a。已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，則月球與地球質(zhì)量之比可表示為( )
A. B. C. D.
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衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力定律有G=mr，可得M=，則=，D項(xiàng)正確。
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7.2024年5月8日，嫦娥六號(hào)探測(cè)器成功實(shí)施近月制動(dòng)，順利進(jìn)入環(huán)月軌道飛行。若嫦娥六號(hào)繞月球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出月球質(zhì)量的是( )
A.嫦娥六號(hào)的質(zhì)量和繞月半徑
B.嫦娥六號(hào)的質(zhì)量和繞月周期
C.嫦娥六號(hào)的繞月角速度和繞月周期
D.嫦娥六號(hào)的繞月線速度和繞月半徑
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根據(jù)G=mr，可得M=，已知嫦娥六號(hào)繞月半徑和周期可求解月球的質(zhì)量；由以上分析，已知嫦娥六號(hào)的質(zhì)量和繞月半 徑，或者已知嫦娥六號(hào)的質(zhì)量和繞月周期，都不能求解月球質(zhì) 量，A、B兩項(xiàng)錯(cuò)誤；由以上分析，已知嫦娥六號(hào)的繞月角速度和繞月周期，因ω=，無(wú)法求解繞月軌道半徑，則無(wú)法求解月球質(zhì)量，C項(xiàng)錯(cuò)誤；由以上分析，嫦娥六號(hào)的繞月線速度和繞月半徑可求解周期T=，可求解月球質(zhì)量，D項(xiàng)正確。
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8.太陽(yáng)系一顆質(zhì)量均勻、可看作球體的小行星自轉(zhuǎn)角速度為ω，在該星球表面“赤道”處的重力加速度大小為“兩極”處的重力加速度大小的，已知引力常量G，則該星球密度ρ為( )
A.　　 B. C.　　 D.
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梯級(jí)Ⅱ 能力練
該星球“兩極”處G=mg，該星球表面“赤道”處G=mg+
mω2R，則該星球密度ρ為ρ==，解得ρ=，B項(xiàng)正確。
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9.(2024·安徽卷)2024年3月20日，我國(guó)探月工程四期鵲橋二號(hào)中繼星成功發(fā)射升空。當(dāng)?shù)诌_(dá)距離月球表面某高度時(shí)，鵲橋二號(hào)開始進(jìn)行近月制動(dòng)，并順利進(jìn)入捕獲軌道運(yùn)行，如圖所示，軌道的半長(zhǎng)軸約為51 900 km。后經(jīng)多次軌道調(diào)整，進(jìn)入凍結(jié)軌道運(yùn)行，軌道的半長(zhǎng)軸約為9 900 km，周期約為24 h。則鵲橋二號(hào)在捕獲軌道運(yùn)行時(shí) ( )
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A.周期約為144 h
B.近月點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度
C.近月點(diǎn)的速度小于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度
D.近月點(diǎn)的加速度大于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的加速度
凍結(jié)軌道和捕獲軌道的中心天體是月球，根據(jù)開普勒第三定律得=，整理得T2=T1≈288 h，A項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第二定律得，鵲橋二號(hào)在捕獲軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度大于遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度，B項(xiàng)正確；從捕獲軌道到凍結(jié)軌道鵲橋二號(hào)進(jìn)行近月制動(dòng)，在捕獲軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度大于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的速度，C項(xiàng)錯(cuò)誤；鵲橋二號(hào)在兩軌道的近月點(diǎn)所受的萬(wàn)有引力相同，根據(jù)牛頓第二定律可知，近月點(diǎn)的加速度等于在凍結(jié)軌道運(yùn)行時(shí)近月點(diǎn)的加速度，D項(xiàng)錯(cuò)誤。
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10.如圖所示，某時(shí)刻質(zhì)量分別為m1、m2、m3的地球、中國(guó)空間站和月球在同一直線上，以地球球心為原點(diǎn)O，以地心和月心連線為x 軸，x軸與地球表面交于A點(diǎn)，空間站和月心分別在B點(diǎn)和C點(diǎn)，A、 B、C坐標(biāo)分別為x1、x2、x3。假設(shè)空間站和月球皆繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，空間站可視為質(zhì)點(diǎn)，已知引力常量為G。求：
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(1)分別求出地球和月球?qū)臻g站的萬(wàn)有引力F1、F2的大小；
根據(jù)萬(wàn)有引力定律，地球?qū)臻g站的引力F1=，
月球?qū)臻g站的引力F2=。
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(2)若將空間站在x1在x1=，
解得位置坐標(biāo)x=x3。
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(3)僅考慮地球引力，空間站的環(huán)繞速度v的大小。
空間站繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)
=m2，
解得v=。
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11.(2025·常州模擬)質(zhì)量均勻分布、半徑為R的球體，在與球心O距離x(x>R)處有一質(zhì)點(diǎn)A。現(xiàn)從球體中挖去兩個(gè)半徑為的球體，三個(gè)球體相切且球心與切點(diǎn)共線，如圖所示。則剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)A萬(wàn)有引力的方向( )
A.可能沿F1
B.可能沿F2
C.可能沿F3
D.沿F1、F2、F3方向均有可能
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梯級(jí)Ⅲ 創(chuàng)新練
在挖去的地方補(bǔ)上相同材料，根據(jù)萬(wàn)有引力公式F=G，被挖去的上面球?qū)|(zhì)點(diǎn)A的萬(wàn)有引力小于被挖去的下面球?qū)|(zhì)點(diǎn)A的萬(wàn)有引力，兩球?qū)|(zhì)點(diǎn)A的合力方向應(yīng)為斜向下，題圖中剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)A萬(wàn)有引力的方向應(yīng)為斜向上，合成后沿F1方向，所以剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)A萬(wàn)有引力的方向可能沿F1，A項(xiàng)正確。
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