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專題提升八　衛(wèi)星變軌問題　雙星模型
題型1　衛(wèi)星的變軌和對接問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述。
人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道,如圖所示。
(1)為了節(jié)省能量,在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。
(2)在A點(diǎn)點(diǎn)火加速,由于速度變大,萬有引力不足以提供向心力,衛(wèi)星做離心運(yùn)動進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。
(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ。
2.三個(gè)運(yùn)行物理量的大小比較。
(1)速度:設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3,在軌道Ⅱ上過A點(diǎn)和B點(diǎn)速率分別為vA、vB。在A點(diǎn)加速,則vA>v1,在B點(diǎn)加速,則v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度:因?yàn)樵贏點(diǎn),衛(wèi)星只受到萬有引力作用,故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn),衛(wèi)星的加速度都相同,同理,經(jīng)過B點(diǎn)加速度也相同。
(3)周期:設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3,軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3,由開普勒第三定律=k可知T1考向1　衛(wèi)星變軌問題中各物理量的比較
【典例1】　已知月球半徑為R,月球表面的重力加速度為g0,飛船在繞月球的圓形軌道Ⅰ上運(yùn)動,軌道半徑為r,r=5R,到達(dá)軌道Ⅰ的A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ,到達(dá)軌道Ⅱ的近月點(diǎn)B時(shí)再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動。已知引力常量G,求:
(1)第一次點(diǎn)火和第二次點(diǎn)火分別是加速還是減速;
(2)飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速率;
(3)飛船在軌道Ⅱ上繞月運(yùn)行一周所需的時(shí)間。
考向2　衛(wèi)星的對接問題
【典例2】　(多選)
2024年10月30日,神舟十九號載人飛船與天和核心艙進(jìn)行了對接,蔡旭哲、宋令東、王浩澤3名航天員順利進(jìn)駐中國空間站,完成中國航天史上第5次“太空會師”。如圖為神舟十九號的發(fā)射與交會對接過程示意圖,圖中①為飛船的近地圓軌道,其軌道半徑為R1,②為橢圓變軌軌道,③為天和核心艙所在的圓軌道,其軌道半徑為R2,P、Q分別為②軌道與①、③軌道的交會點(diǎn)。關(guān)于神舟十九號載人飛船與天和核心艙交會對接過程,下列說法正確的是(　　)
A.飛船在③軌道上運(yùn)行的速度大于第一宇宙速度
B.飛船從②軌道到變軌到③軌道需要在Q點(diǎn)點(diǎn)火加速
C.飛船在①軌道的動能一定大于天和核心艙在③軌道的動能
D.若核心艙在③軌道運(yùn)行周期為T,則飛船在②軌道從P到Q的時(shí)間為T
題型2　雙星和多星模型
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.雙星模型。
(1)定義:繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng),我們稱之為雙星系統(tǒng),如圖所示。
(2)特點(diǎn)。
①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供,即=m1r1,=m2r2。
②兩顆星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2。
③兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1+r2=L。
④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比,即=。
⑤雙星的運(yùn)動周期T=2π。
⑥雙星的總質(zhì)量m1+m2=。
2.多星模型。
(1)定義:所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動的向心力,除中央星體外,各星體的角速度或周期相同。
(2)三星模型。
①三顆星體位于同一直線上,兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖甲所示)。
②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)。
　　
甲 乙
(3)四星模型。
一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上,沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(如圖丙所示)。
另一種是三顆質(zhì)量相等的星體位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,另一顆位于中心O,外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(如圖丁所示)。
　　
丙 丁
考向1　雙星模型
【典例3】　
科學(xué)家威廉·赫歇爾首次提出了“雙星”這個(gè)名詞。現(xiàn)有由兩顆中子星A、B組成的雙星系統(tǒng)(不考慮其他星球的影響),可抽象為如圖所示繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的模型。已知A的軌道半徑小于B的軌道半徑,若A、B的總質(zhì)量為M,A、B間的距離為L,A、B運(yùn)動周期為T,則下列說法正確的是(　　)
A.A的線速度大于B的線速度
B.A的質(zhì)量小于B的質(zhì)量
C.若M一定,則L越大,T越小
D.若L一定,則M越大,T越小
　　(1)雙星做圓周運(yùn)動的圓心相同。
　　(2)雙星做圓周運(yùn)動的周期(或角速度)相同。
　　(3)雙星做圓周運(yùn)動的向心力大小相同,均等于彼此相互作用的萬有引力。
考向2　多星模型
【典例4】　太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng),通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式(如圖所示):一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行;另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)這三顆星的質(zhì)量均為M,兩種系統(tǒng)的運(yùn)動周期相同,引力常量為G,求三角形三星系統(tǒng)星體間的距離L。
專題提升八　衛(wèi)星變軌問題　雙星模型
題型1
【典例1】　答案　(1)減速、減速　(2)
(3)6π
解析　(1)根據(jù)變軌原理,飛船在軌道Ⅰ的A點(diǎn)減速,做近心運(yùn)動進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ,飛船在軌道Ⅱ的近月點(diǎn)B點(diǎn)減速,做近心運(yùn)動進(jìn)入近月軌道Ⅲ。
(2)根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系
G=mg0,
根據(jù)萬有引力提供向心力G=m,
解得飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速率為
v==。
(3)根據(jù)萬有引力提供向心力
G=mR,
解得飛船在軌道Ⅲ上繞月運(yùn)行一周所需的時(shí)間為T=2π=2π,
根據(jù)開普勒第三定律=,
飛船在軌道Ⅱ上繞月運(yùn)行一周所需的時(shí)間為T1=6π。
【典例2】　BD　解析　第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度,飛船在③軌道上繞地球運(yùn)行的速度小于第一宇宙速度,A項(xiàng)錯誤;飛船從②軌道變軌到③軌道,飛船將由近心運(yùn)動變成圓周運(yùn)動,所以需要在Q點(diǎn)點(diǎn)火加速,B項(xiàng)正確;雖然在①軌道的速度大于③軌道的速度,但由于飛船和核心艙的質(zhì)量未知,故無法判斷它們動能的大小,C項(xiàng)錯誤;根據(jù)開普勒第三定律可知=,可得T'=T,飛船在②軌道從P到Q的時(shí)間為T',故等于T,D項(xiàng)正確。
題型2
【典例3】　D　解析　因?yàn)殡p星的角速度相等,且rAmB,其中rA+rB=L,mA+mB=M,T=,聯(lián)立解得T=2π,由此式可知,若L一定,則M越大,T越小;若M一定,則L越大,T越大,B、C兩項(xiàng)錯誤,D項(xiàng)正確。
【典例4】　答案　R
解析　以左邊的系統(tǒng)中的甲或者丙為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律有
G+G=MR,
得T=4πR,
三星系統(tǒng)中任意星體所受合力為
F=2cos 30°G=G,
根據(jù)牛頓第二定律,有F=Mr,
根據(jù)題意,其周期與左邊系統(tǒng)周期相同
T=4πR,
根據(jù)幾何關(guān)系,軌道半徑r與邊長L的關(guān)系為L=r,
解得L=R。(共25張PPT)
專題提升八
第五章 萬有引力與宇宙航行
衛(wèi)星變軌問題　
雙星模型
題型1　衛(wèi)星的變軌和對接問題
題型2　雙星和多星模型
內(nèi)容
索引
衛(wèi)星的變軌和對接問題
題型1
1.衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述。
人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道，如圖所示。
(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上。
(2)在A點(diǎn)點(diǎn)火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ。
(3)在B點(diǎn)(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ。
2.三個(gè)運(yùn)行物理量的大小比較。
(1)速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點(diǎn)和B點(diǎn)速率分別為vA、vB。在A點(diǎn)加速，則vA>v1，在B點(diǎn)加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點(diǎn)加速度也相同。
(3)周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律=k可知T1考向1
衛(wèi)星變軌問題中各物理量的比較
【典例1】　已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船在繞月球的圓形軌道Ⅰ上運(yùn)動，軌道半徑為r，r=5R，到達(dá)軌道Ⅰ的A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道Ⅱ的近月點(diǎn)B時(shí)再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動。已知引力常量G，求：
(1)第一次點(diǎn)火和第二次點(diǎn)火分別是加速還是減速；
根據(jù)變軌原理，飛船在軌道Ⅰ的A點(diǎn)減速，做近心運(yùn)動進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，飛船在軌道Ⅱ的近月點(diǎn)B點(diǎn)減速，做近心運(yùn)動進(jìn)入近月軌道Ⅲ。
解析
(2)飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速率；
根據(jù)萬有引力與重力的關(guān)系G=mg0，
根據(jù)萬有引力提供向心力G=m，
解得飛船在軌道Ⅰ上的運(yùn)行速率為v==。
解析
(3)飛船在軌道Ⅱ上繞月運(yùn)行一周所需的時(shí)間。
根據(jù)萬有引力提供向心力G=mR，
解得飛船在軌道Ⅲ上繞月運(yùn)行一周所需的時(shí)間為T=2π=2π，
根據(jù)開普勒第三定律 = ，
飛船在軌道Ⅱ上繞月運(yùn)行一周所需的時(shí)間為T1=6π。
解析
考向2
衛(wèi)星的對接問題
【典例2】　(多選)2024年10月30日，神舟十九號載人飛船與天和核心艙進(jìn)行了對接，蔡旭哲、宋令東、王浩澤3名航天員順利進(jìn)駐中國空間站，完成中國航天史上第5次“太空會師”。如圖為神舟十九號的發(fā)射與交會對接過程示意圖，圖中①為飛船的近地圓軌道，其軌道半徑為R1，②為橢圓變軌軌道，③為天和核心艙所在的圓軌道，其軌道半徑為R2，P、Q分別為②軌道與①、③軌道的交會點(diǎn)。關(guān)于神舟十九號載人飛船與天和核心艙交會對接過程，下列說法正確的是
( )
A.飛船在③軌道上運(yùn)行的速度大于第一宇宙速度
B.飛船從②軌道到變軌到③軌道需要在Q點(diǎn)點(diǎn)火加速
C.飛船在①軌道的動能一定大于天和核心艙在③軌道的動能
D.若核心艙在③軌道運(yùn)行周期為T，則飛船在②軌道從P到Q的時(shí)間為T
第一宇宙速度是最大的環(huán)繞速度，飛船在③軌道上繞地球運(yùn)行的速度小于第一宇宙速度，A項(xiàng)錯誤；飛船從②軌道變軌到③軌道，飛船將由近心運(yùn)動變成圓周運(yùn)動，所以需要在Q點(diǎn)點(diǎn)火加速，B項(xiàng)正
確；雖然在①軌道的速度大于③軌道的速度，但由于飛船和核心艙的質(zhì)量未知，故無法判斷它們動能的大小，C項(xiàng)錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知=，可得T'=T，飛船在②軌道從P到Q的時(shí)間為T'，故等于T，D項(xiàng)正確。
解析
雙星和多星模型
題型2
1.雙星模型。
(1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示。
(2)特點(diǎn)。
①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即=m1r1，=m2r2。
②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1=T2，ω1=ω2。
③兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為r1+r2=L。
④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即=。
⑤雙星的運(yùn)動周期T=2π。
⑥雙星的總質(zhì)量m1+m2=。
2.多星模型。
(1)定義：所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動的向心 力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。
(2)三星模型。
①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖甲所示)。
②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所
示)。
(3)四星模型。
一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(如圖丙所示)。
另一種是三顆質(zhì)量相等的星體位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(如圖丁所示)。
考向1
雙星模型
【典例3】　科學(xué)家威廉·赫歇爾首次提出了“雙星”這個(gè)名詞。現(xiàn)有由兩顆中子星A、B組成的雙星系統(tǒng)(不考慮其他星球的影響)，可抽象為如圖所示繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的模型。已知A的軌道半徑小于B的軌道半徑，若A、B的總質(zhì)量為M，A、B間的距離為L，A、B運(yùn)動周期為T，則下列說法正確的是( )
A.A的線速度大于B的線速度
B.A的質(zhì)量小于B的質(zhì)量
C.若M一定，則L越大，T越小
D.若L一定，則M越大，T越小
因?yàn)殡p星的角速度相等，且rAmB，其中rA+rB=L，mA+mB=M，T=，聯(lián)立解得T=2π，由此式可知，若L一定，則M越大，T越小；若M一定，則L越大，T越大，B、C兩項(xiàng)錯誤，D項(xiàng)正確。
解析
　　(1)雙星做圓周運(yùn)動的圓心相同。
　　(2)雙星做圓周運(yùn)動的周期(或角速度)相同。
　　(3)雙星做圓周運(yùn)動的向心力大小相同，均等于彼此相互作用的萬有引力。
考向2
多星模型
【典例4】　太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式(如圖所示)：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外
接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)這三顆星的質(zhì)量均為M，兩種系統(tǒng)的運(yùn)動周期相同，引力常量為G，求三角形三星系統(tǒng)星體間的距離L。
以左邊的系統(tǒng)中的甲或者丙為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律有
G+G=MR，
得T=4πR，
三星系統(tǒng)中任意星體所受合力為F=2cos 30°G=G，
解析
根據(jù)牛頓第二定律，有F=Mr，
根據(jù)題意，其周期與左邊系統(tǒng)周期相同T=4πR，
根據(jù)幾何關(guān)系，軌道半徑r與邊長L的關(guān)系為L=r，
解得L=R。
解析專題提升練8　衛(wèi)星變軌問題　雙星模型
　
梯級Ⅰ基礎(chǔ)練
1.如圖所示，一飛行器圍繞地球沿半徑為r的圓軌道1運(yùn)動。經(jīng)P點(diǎn)時(shí)，啟動推進(jìn)器短時(shí)間向前噴氣使其變軌，2、3是與軌道1相切于P點(diǎn)的可能軌道，則飛行器(　　)
A.相對于變軌前運(yùn)行周期變長
B.變軌后可能沿軌道2運(yùn)動
C.變軌前、后在兩軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的速度大小相等
D.變軌前、后在兩軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度大小相等
2.(多選)(2025·深圳模擬)如圖所示，為一個(gè)較高軌道衛(wèi)星發(fā)射所經(jīng)歷的理想過程，衛(wèi)星在較低的圓軌道上運(yùn)行時(shí)，線速度為v1、加速度大小為a1;加速后在橢圓軌道上運(yùn)行，近地點(diǎn)的速度為v2、加速度大小為a2，遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)速度為v3、加速度大小為a3;在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)再次加速進(jìn)入較高的圓軌道上運(yùn)行，線速度為v4、加速度大小為a4，則(　　)
A.v2>v4 B.v1>v3
C.a1>a2 D.a4>a3
3.(多選)(2025·泉州模擬)中國天眼FAST觀測某脈沖雙星系統(tǒng)如圖所示。該雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的天體組成，并遠(yuǎn)離其他天體，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動。若較大天體質(zhì)量為M、運(yùn)動軌道半徑為R，較小天體質(zhì)量為m、運(yùn)動軌道半徑為r，引力常量為G，則(　　)
A.兩天體質(zhì)量與半徑之間的關(guān)系式為Mr=mR
B.兩天體質(zhì)量與半徑之間的關(guān)系式為MR=mr
C.天體運(yùn)動的角速度為
D.天體運(yùn)動的角速度為
4.(2024·湖北卷)太空碎片會對航天器帶來危害。設(shè)空間站在地球附近沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動，如圖中實(shí)線所示。為了避開碎片，空間站在P點(diǎn)向圖中箭頭所指徑向方向極短時(shí)間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實(shí)現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
A.空間站變軌前、后在P點(diǎn)的加速度相同
B.空間站變軌后的運(yùn)動周期比變軌前的小
C.空間站變軌后在P點(diǎn)的速度比變軌前的小
D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點(diǎn)的大
5.中國計(jì)劃2025年發(fā)射天舟九號貨運(yùn)飛船，此次任務(wù)將上行航天員駐留和消耗物資、維修備件、推進(jìn)劑和應(yīng)用任務(wù)載荷樣品，并下行在軌廢棄物。飛船發(fā)射后會在停泊軌道(Ⅰ)上進(jìn)行數(shù)據(jù)確認(rèn)，后擇機(jī)經(jīng)轉(zhuǎn)移軌道(Ⅱ)完成與中國空間站的交會對接，其變軌過程可簡化如圖所示，已知停泊軌道半徑近似為地球半徑R，中國空間站軌道距地面的平均高度為h，飛船在停泊軌道上的周期為T1，則(　　)
A.飛船在停泊軌道上的速度小于在空間站軌道上運(yùn)行的速度
B.飛船應(yīng)提前時(shí)間于P點(diǎn)點(diǎn)火加速進(jìn)而在Q點(diǎn)完成交會對接
C.因?yàn)轱w船在P點(diǎn)加速進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道，相比于停泊軌道其在轉(zhuǎn)移軌道上的速度越來越大
D.中國空間站的物品或航天員可以漂浮，說明此時(shí)地球?qū)λ麄兊囊οЯ?br/>6.(2025·成都模擬)如圖所示，甲、乙、丙分別為單星、雙星、三星模型圖，軌跡圓半徑都為R，中心天體質(zhì)量為M，環(huán)繞天體質(zhì)量均為m，已知M m，則(　　)
A.乙、丙兩圖中環(huán)繞天體的周期之比為2∶
B.乙圖中環(huán)繞天體的角速度大于丙圖中環(huán)繞天體的角速度
C.甲圖中m的角速度大于丙圖中m的角速度
D.乙、丙兩圖中環(huán)繞天體的線速度之比為2∶
梯級Ⅱ能力練
7.(2025·呂梁模擬)洛希極限是指在雙星系統(tǒng)中，兩個(gè)天體之間的最近距離。如果兩個(gè)天體之間的距離小于洛希極限，則質(zhì)量較小的天體就會在質(zhì)量較大的天體引力下被撕碎。洛希極限的計(jì)算公式為r=2.44R，其中r為洛希極限，M、m分別為質(zhì)量較大和較小的天體質(zhì)量，R為質(zhì)量較大的天體半徑。如圖甲所示，某脈沖雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的天體組成，并遠(yuǎn)離其他天體，它們在彼此間的萬有引力作用下，繞連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動。簡化為如圖乙所示，測得A、B兩恒星間的距離為L，A、B兩恒星的半徑分別為RA、RB，恒星A做圓周運(yùn)動的向心加速度是恒星B的8倍，該雙星系統(tǒng)的洛希極限為(　　)
A.4.88RA B.2.44RA
C.4.88RB D.2.44RB
8.宇宙中存在兩個(gè)質(zhì)量均為m的星球A和星球B，兩星球之間的距離為L，引力常量為G。
(1)如圖甲所示，若將A、B星球視為遠(yuǎn)離其他天體的雙星模型，請用L、G、m等參數(shù)表示兩行星做勻速圓周運(yùn)動的周期T0;
(2)天文觀測發(fā)現(xiàn)A、B星球?qū)嶋H的運(yùn)行周期T1=，某天文學(xué)家認(rèn)為導(dǎo)致該現(xiàn)象的原因可能是在A、B星球連線的中點(diǎn)處存在一顆暗星(由暗物質(zhì)構(gòu)成的天體)C，如圖乙所示，請根據(jù)上述信息計(jì)算暗星C的質(zhì)量M與A星球的質(zhì)量m的比值。
梯級Ⅲ創(chuàng)新練
9.(2025·岳陽模擬)如圖所示，虛線Ⅰ、Ⅱ分別表示地球衛(wèi)星的兩條軌道，其中軌道Ⅰ為近地環(huán)繞圓軌道，軌道Ⅱ?yàn)闄E圓軌道。起初衛(wèi)星在軌道Ⅰ上運(yùn)行，經(jīng)過a點(diǎn)成功變軌進(jìn)入軌道Ⅱ，b點(diǎn)為軌道Ⅱ的遠(yuǎn)地點(diǎn)，b點(diǎn)與地心的距離為軌道Ⅰ半徑的2倍，衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)行時(shí)經(jīng)過a點(diǎn)的速率為va，經(jīng)過b點(diǎn)的速率為vb，則(　　)
A.衛(wèi)星在軌道Ⅰ上經(jīng)過a點(diǎn)變軌進(jìn)入軌道Ⅱ時(shí)應(yīng)減速
B.在軌道Ⅱ上，衛(wèi)星在b點(diǎn)的機(jī)械能小于在a點(diǎn)的機(jī)械能
C.vb=2va
D.衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期平方之比為8∶27
專題提升練8　衛(wèi)星變軌問題雙星模型
1.D　解析　推進(jìn)器短時(shí)間向前噴氣,飛行器減速做近心運(yùn)動,軌道降低,周期變小,A項(xiàng)錯誤;變軌后可能沿軌道3運(yùn)動,不可能沿軌道2運(yùn)動,B項(xiàng)錯誤;變軌前、后在兩軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的速度大小不等,軌道1上P點(diǎn)的速度大于軌道3上P點(diǎn)的速度,C項(xiàng)錯誤;在同一點(diǎn)受力一樣,所以變軌前、后在兩軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度大小相等,D項(xiàng)正確。
2.AB　解析　根據(jù)萬有引力提供向心力G=m可得v=,可知v4v1,綜上可得v2>v4,A項(xiàng)正確;根據(jù)題意可知v3v3,B項(xiàng)正確;根據(jù)牛頓第二定律G=ma可得a=,結(jié)合題圖可知a1=a2,a4=a3,C、D兩項(xiàng)錯誤。
3.BD　解析　兩天體具有相同的角速度,設(shè)兩天體之間的距離為L,根據(jù)萬有引力提供向心力,對較大天體,有G=Mω2R,對較小天體,有G=mω2r,R+r=L,所以MR=mr,ω=,B、D兩項(xiàng)正確。
4.A　解析　在P點(diǎn)變軌前后空間站所受到的萬有引力不變,根據(jù)牛頓第二定律可知空間站變軌前、后在P點(diǎn)的加速度相同,A項(xiàng)正確;因?yàn)樽冘壓笃浒腴L軸大于原軌道半徑,根據(jù)開普勒第三定律可知空間站變軌后的運(yùn)動周期比變軌前的大,B項(xiàng)錯誤;變軌后在P點(diǎn)因反沖運(yùn)動相當(dāng)于瞬間獲得豎直向下的速度,原水平向左的圓周運(yùn)動速度不變,因此合速度變大,C項(xiàng)錯誤;由于空間站變軌后在P點(diǎn)的速度比變軌前大,而比在近地點(diǎn)的速度小,則空間站變軌前的速度比變軌后在近地點(diǎn)的小,D項(xiàng)錯誤。
5.B　解析　飛船在停泊軌道和空間站軌道上根據(jù)G=m得v=,又r停6.C　解析　根據(jù)萬有引力定律,對題圖乙所示的模型有G=mR,解得T乙=4π;對題圖丙所示的模型有G=mR,解得T丙=2π,則有T乙∶T丙=2∶,A項(xiàng)錯誤;根據(jù)ω=得角速度之比ω乙∶ω丙=T丙∶T乙=∶2,題圖乙中環(huán)繞天體的角速度比題圖丙中的小,B項(xiàng)錯誤;乙、丙兩圖半徑相同,線速度之比v乙∶v丙=ω乙∶ω丙=∶2,D項(xiàng)錯誤;根據(jù)萬有引力定律,對題圖甲所示的模型有G=mR,解得ω甲=;題圖丙的角速度ω丙==,由于M m,則ω甲>ω丙,C項(xiàng)正確。
7.C　解析　根據(jù)G=mAaA=mBaB,恒星A做圓周運(yùn)動的向心加速度是恒星B的8倍,即==8,恒星B的質(zhì)量較大,則該雙星系統(tǒng)的洛希極限為r=2.44RB=4.88RB,C項(xiàng)正確。
8.答案　(1)　(2)
解析　(1)以A星球?yàn)檠芯繉ο?其公轉(zhuǎn)半徑r1=,根據(jù)勻速圓周運(yùn)動規(guī)律有
=×,
解得T0=。
(2)以A星球?yàn)檠芯繉ο?做勻速圓周運(yùn)動的向心力來源于B星及C星的引力,即
+=×,
且T1==,
聯(lián)立兩式解得=。
9.D　解析　依題意,衛(wèi)星在軌道Ⅰ上經(jīng)過a點(diǎn)變軌進(jìn)入軌道Ⅱ時(shí)屬于從低軌道向高軌道變軌,做離心運(yùn)動,應(yīng)加速,A項(xiàng)錯誤;在軌道Ⅱ上,衛(wèi)星只受萬有引力作用,其機(jī)械能守恒,所以在b點(diǎn)的機(jī)械能等于在a點(diǎn)的機(jī)械能,B項(xiàng)錯誤;衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)動,a點(diǎn)為近地點(diǎn),b為遠(yuǎn)地點(diǎn),根據(jù)開普勒第二定律可知va>vb,C項(xiàng)錯誤;設(shè)軌道Ⅰ的軌道半徑為r,則軌道Ⅱ的半長軸為,由開普勒第三定律,有=,解得=,D項(xiàng)正確。(共28張PPT)
專題提升練8
衛(wèi)星變軌問題　雙星模型
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1.如圖所示，一飛行器圍繞地球沿半徑為r的圓軌道1運(yùn)動。經(jīng)P點(diǎn) 時(shí)，啟動推進(jìn)器短時(shí)間向前噴氣使其變軌，2、3是與軌道1相切于P點(diǎn)的可能軌道，則飛行器( )
A.相對于變軌前運(yùn)行周期變長
B.變軌后可能沿軌道2運(yùn)動
C.變軌前、后在兩軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的速度大小相等
D.變軌前、后在兩軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度大小相等
梯級Ⅰ 基礎(chǔ)練
推進(jìn)器短時(shí)間向前噴氣，飛行器減速做近心運(yùn)動，軌道降低，周期變小，A項(xiàng)錯誤；變軌后可能沿軌道3運(yùn)動，不可能沿軌道2運(yùn)動，B項(xiàng)錯誤；變軌前、后在兩軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的速度大小不等，軌道1上P點(diǎn)的速度大于軌道3上P點(diǎn)的速度，C項(xiàng)錯誤；在同一點(diǎn)受力一樣，所以變軌前、后在兩軌道上經(jīng)過P點(diǎn)的加速度大小相 等，D項(xiàng)正確。
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2.(多選)(2025·深圳模擬)如圖所示，為一個(gè)較高軌道衛(wèi)星發(fā)射所經(jīng)歷的理想過程，衛(wèi)星在較低的圓軌道上運(yùn)行時(shí)，線速度為v1、加速度大小為a1；加速后在橢圓軌道上運(yùn)行，近地點(diǎn)的速度為v2、加速度大小為a2，遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)速度為v3、加速度大小為a3；在橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)再次加速進(jìn)入較高的圓軌道上運(yùn)行，線速度為v4、加速度大小為a4，則( )
A.v2>v4 B.v1>v3
C.a1>a2 D.a4>a3
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根據(jù)萬有引力提供向心力G=m可得v=，可知v4v1，綜上可得v2>v4，A項(xiàng)正確；根據(jù)題意可知v3v3，B項(xiàng)正確；根據(jù)牛頓第二定律G=ma可得a= ，結(jié)合題圖可知a1=a2，a4=a3，C、D兩項(xiàng)錯誤。
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3.(多選)(2025·泉州模擬)中國天眼FAST觀測某脈沖雙星系統(tǒng)如圖所示。該雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的天體組成，并遠(yuǎn)離其他天體，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動。若較大天體質(zhì)量為M、運(yùn)動軌道半徑為R，較小天體質(zhì)量為m、運(yùn)動軌道半徑為r，引力常量為G，則( )
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A.兩天體質(zhì)量與半徑之間的關(guān)系式為Mr=mR
B.兩天體質(zhì)量與半徑之間的關(guān)系式為MR=mr
C.天體運(yùn)動的角速度為
D.天體運(yùn)動的角速度為
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兩天體具有相同的角速度，設(shè)兩天體之間的距離為L，根據(jù)萬有引力提供向心力，對較大天體，有G=Mω2R，對較小天體，有G=mω2r，R+r=L，所以MR=mr，ω=，B、D兩項(xiàng)正 確。
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4.(2024·湖北卷)太空碎片會對航天器帶來危害。設(shè)空間站在地球附近沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動，如圖中實(shí)線所示。為了避開碎 片，空間站在P點(diǎn)向圖中箭頭所指徑向方向極短時(shí)間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實(shí)現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則( )
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A.空間站變軌前、后在P點(diǎn)的加速度相同
B.空間站變軌后的運(yùn)動周期比變軌前的小
C.空間站變軌后在P點(diǎn)的速度比變軌前的小
D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點(diǎn)的大
在P點(diǎn)變軌前后空間站所受到的萬有引力不變，根據(jù)牛頓第二定律可知空間站變軌前、后在P點(diǎn)的加速度相同，A項(xiàng)正確；因?yàn)樽冘壓笃浒腴L軸大于原軌道半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知空間站變軌后的運(yùn)動周期比變軌前的大，B項(xiàng)錯誤；變軌后在P點(diǎn)因反沖運(yùn)動相當(dāng)于瞬間獲得豎直向下的速度，原水平向左的圓周運(yùn)動速度不變，因此合速度變大，C項(xiàng)錯誤；由于空間站變軌后在P點(diǎn)的速度比變軌前大，而比在近地點(diǎn)的速度小，則空間站變軌前的速度比變軌后在近地點(diǎn)的小，D項(xiàng)錯誤。
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5.中國計(jì)劃2025年發(fā)射天舟九號貨運(yùn)飛船，此次任務(wù)將上行航天員駐留和消耗物資、維修備件、推進(jìn)劑和應(yīng)用任務(wù)載荷樣品，并下行在軌廢棄物。飛船發(fā)射后會在停泊軌道(Ⅰ)上進(jìn)行數(shù)據(jù)確認(rèn)，后擇機(jī)經(jīng)轉(zhuǎn)移軌道(Ⅱ)完成與中國空間站的交會對接，其變軌過程可簡化
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如圖所示，已知停泊軌道半徑近似為地球半徑R，中國空間站軌道距地面的平均高度為h，飛船在停泊軌道上的周期為T1，則( )
A.飛船在停泊軌道上的速度小于在空間站軌道上運(yùn)行的速度
B.飛船應(yīng)提前時(shí)間于P點(diǎn)點(diǎn)火加速進(jìn)而在Q點(diǎn)完成交會對接
C.因?yàn)轱w船在P點(diǎn)加速進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道，相比于停泊軌道其在轉(zhuǎn)移軌道上的速度越來越大
D.中國空間站的物品或航天員可以漂浮，說明此時(shí)地球?qū)λ麄兊囊οЯ?br/>1
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飛船在停泊軌道和空間站軌道上根據(jù)G=m得v=，又r停< r空，所以飛船在停泊軌道上的速度大于在空間站軌道上運(yùn)行的速度，而且飛船在轉(zhuǎn)移軌道上由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動，速度越來越小，A、C兩項(xiàng)錯誤；根據(jù)題意，由幾何關(guān)系可得，飛船在轉(zhuǎn)移軌道上的半長軸為R2=，設(shè)飛船在轉(zhuǎn)移軌道上的周期為T2，由開
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普勒第三定律有=，解得T2=T1，則飛船提前在P點(diǎn)點(diǎn)火，在Q點(diǎn)完成交會對接的時(shí)間t==，B項(xiàng)正確；中國空間站的物品或航天員可以漂浮，是由于處于完全失重狀態(tài)，不是地球?qū)λ麄兊囊οЯ耍珼項(xiàng)錯誤。
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6.(2025·成都模擬)如圖所示，甲、乙、丙分別為單星、雙星、三星模型圖，軌跡圓半徑都為R，中心天體質(zhì)量為M，環(huán)繞天體質(zhì)量均為m，已知M m，則( )
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A.乙、丙兩圖中環(huán)繞天體的周期之比為2∶
B.乙圖中環(huán)繞天體的角速度大于丙圖中環(huán)繞天體的角速度
C.甲圖中m的角速度大于丙圖中m的角速度
D.乙、丙兩圖中環(huán)繞天體的線速度之比為2∶
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根據(jù)萬有引力定律，對題圖乙所示的模型有G=mR，解得T乙=4π；對題圖丙所示的模型有G=mR，解得T丙=2π，則有T乙∶T丙=2∶，A項(xiàng)錯誤；根據(jù)ω=得角速度之比ω乙∶ω丙=T丙∶T乙=∶2，題圖乙中環(huán)繞天體的角速度比題圖
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丙中的小，B項(xiàng)錯誤；乙、丙兩圖半徑相同，線速度之比v乙∶v丙=ω乙∶ω丙=∶2，D項(xiàng)錯誤；根據(jù)萬有引力定律，對題圖甲所示的模型有G=mR，解得ω甲=；題圖丙的角速度ω丙==，由于M m，則ω甲>ω丙，C項(xiàng)正確。
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7.(2025·呂梁模擬)洛希極限是指在雙星系統(tǒng)中，兩個(gè)天體之間的最近距離。如果兩個(gè)天體之間的距離小于洛希極限，則質(zhì)量較小的天體就會在質(zhì)量較大的天體引力下被撕碎。洛希極限的計(jì)算公式為r=2.44R，其中r為洛希極限，M、m分別為質(zhì)量較大和較小的天體質(zhì)量，R為質(zhì)量較大的天體半徑。如圖甲所示，某脈沖雙星系統(tǒng)由兩顆相距較近的天體組成，并遠(yuǎn)離其他天體，它們在彼此間的萬有引
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梯級Ⅱ 能力練
力作用下，繞連線上的一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動。簡化為如圖乙所示，測得A、B兩恒星間的距離為L，A、B兩恒星的半徑分別為RA、RB，恒星A做圓周運(yùn)動的向心加速度是恒星B的8倍，該雙星系統(tǒng)的洛希極限為( )
A.4.88RA B.2.44RA C.4.88RB D.2.44RB
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根據(jù)G=mAaA=mBaB，恒星A做圓周運(yùn)動的向心加速度是恒星B的8倍，即==8，恒星B的質(zhì)量較大，則該雙星系統(tǒng)的洛希極限為r=2.44RB=4.88RB，C項(xiàng)正確。
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8.宇宙中存在兩個(gè)質(zhì)量均為m的星球A和星球B，兩星球之間的距離為L，引力常量為G。
(1)如圖甲所示，若將A、B星球視為遠(yuǎn)離其他天體的雙星模型，請用L、G、m等參數(shù)表示兩行星做勻速圓周運(yùn)動的周期T0；
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以A星球?yàn)檠芯繉ο螅涔D(zhuǎn)半徑r1=，根據(jù)勻速圓周運(yùn)動規(guī)律有
=×，
解得T0=。
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(2)天文觀測發(fā)現(xiàn)A、B星球?qū)嶋H的運(yùn)行周期T1=，某天文學(xué)家認(rèn)為導(dǎo)致該現(xiàn)象的原因可能是在A、B星球連線的中點(diǎn)處存在一顆暗星(由暗物質(zhì)構(gòu)成的天體)C，如圖乙所示，請根據(jù)上述信息計(jì)算暗星C的質(zhì)量M與A星球的質(zhì)量m的比值。
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以A星球?yàn)檠芯繉ο螅鰟蛩賵A周運(yùn)動的向心力來源于B星及C星的引力，即+=×，
且T1==，
聯(lián)立兩式解得=。
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9.(2025·岳陽模擬)如圖所示，虛線Ⅰ、Ⅱ分別表示地球衛(wèi)星的兩條軌道，其中軌道Ⅰ為近地環(huán)繞圓軌道，軌道Ⅱ?yàn)闄E圓軌道。起初衛(wèi)星在軌道Ⅰ上運(yùn)行，經(jīng)過a點(diǎn)成功變軌進(jìn)入軌道Ⅱ，b點(diǎn)為軌道Ⅱ的遠(yuǎn)地點(diǎn)，b點(diǎn)與地心的距離為軌道Ⅰ半徑的2倍，衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)行時(shí)經(jīng)過a點(diǎn)的速率為va，經(jīng)過b點(diǎn)的速率為vb，則( )
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梯級Ⅲ 能力練
A.衛(wèi)星在軌道Ⅰ上經(jīng)過a點(diǎn)變軌進(jìn)入軌道Ⅱ時(shí)應(yīng)減速
B.在軌道Ⅱ上，衛(wèi)星在b點(diǎn)的機(jī)械能小于在a點(diǎn)的機(jī)械能
C.vb=2va
D.衛(wèi)星在軌道Ⅰ和軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期平方之比為8∶27
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依題意，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上經(jīng)過a點(diǎn)變軌進(jìn)入軌道Ⅱ時(shí)屬于從低軌道向高軌道變軌，做離心運(yùn)動，應(yīng)加速，A項(xiàng)錯誤；在軌道Ⅱ上，衛(wèi)星只受萬有引力作用，其機(jī)械能守恒，所以在b點(diǎn)的機(jī)械能等于在a點(diǎn)的機(jī)械能，B項(xiàng)錯誤；衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運(yùn)動，a點(diǎn)為近地點(diǎn)，b為遠(yuǎn)地點(diǎn)，根據(jù)開普勒第二定律可知va>vb，C項(xiàng)錯誤；設(shè)軌道Ⅰ的軌道半徑為r，則軌道Ⅱ的半長軸為，由開普勒第三定律，有=，解得=，D項(xiàng)正確。
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