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專題提升二十五　電磁感應中的電路、圖像問題
題型1　電磁感應中的電路問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.電磁感應中的電源。
(1)做切割磁感線運動的導體或磁通量發生變化的回路相當于電源。
電動勢:E=Blv或E=n,這部分電路的阻值為電源內阻。
(2)用右手定則或楞次定律與安培定則結合判斷,感應電流流出的一端為電源正極。
2.分析電磁感應電路問題的基本思路。
3.閉合回路中磁通量發生變化時,電荷發生定向移動而形成感應電流,在Δt內遷移的電荷量(感應電荷量)q=I·Δt=·Δt=n··Δt=。
(1)從上式可知,線圈匝數一定時,感應電荷量僅由回路電阻和磁通量的變化量決定,與時間無關。
(2)求解電路中通過的電荷量時,I、E均為平均值。
考向1　動生電動勢的電路問題
【典例1】　
如圖所示,半徑為L的導電圓環(電阻不計)繞垂直于圓環平面、通過圓心O的金屬軸以角速度ω逆時針勻速轉動。圓環上接有電阻均為r的三根金屬輻條OA、OB、OC,輻條互成120°角。在圓環圓心角∠MON=120°的范圍內(兩條虛線之間)分布著垂直圓環平面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場,圓環的邊緣通過電刷P和導線與一個阻值也為r的定值電阻R0相連,定值電阻R0的另一端通過導線接在圓環的中心軸上,在圓環勻速轉動過程中,下列說法正確的是(　　)
A.金屬輻條OA、OB、OC進出磁場前后,輻條中電流的大小不變,方向改變
B.定值電阻R0兩端的電壓為BL2ω
C.通過定值電阻R0的電流為
D.圓環轉動一周,定值電阻R0產生的熱量為
考向2　感生電動勢的電路問題
【典例2】　
如圖所示,一個半徑為l的金屬圓盤在磁感應強度為B的勻強磁場中以角速度ω勻速轉動(從左向右觀察為順時針方向)。這樣構成一個法拉第圓盤發電機。假設其電動勢為E,等效內阻為r。下列說法正確的是(　　)
A.圓盤發電機產生的是交流電
B.法拉第圓盤發電機的電動勢為E=Bω2l
C.電源的輸出功率為
D.流過電阻R的電流方向為C→R→D
考向3　電磁感應中電荷量的計算問題
【典例3】　
(多選)如圖所示,“∠”形金屬導軌POQ固定在絕緣水平桌面上,∠POQ=30°,OP的長度為L,整個空間中有垂直于導軌平面向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場。一根足夠長的金屬棒MN放在導軌上并與導軌接觸良好,金屬棒初始時緊靠O點。給金屬棒一個水平向右的拉力,使金屬棒以速度v向右勻速運動,金屬棒MN始終與OP垂直。已知金屬棒單位長度的電阻為r,其余部分電阻不計,不計一切摩擦。金屬棒在導軌上從O點運動到P點過程中,下列說法正確的是(　　)
A.整個過程通過O點的電荷量為
B.拉力的最大功率為
C.整個過程安培力的沖量大小為
D.整個過程拉力做的功為
題型2　電磁感應中的圖像問題
　　　　　 　　　　　　　　　　
1.圖像類型。
(1)電磁感應中常涉及磁感應強度B、磁通量Φ、感應電動勢E和感應電流I等隨時間變化的圖像,即B-t圖像、Φ-t圖像、E-t圖像和I-t圖像。
(2)對于切割磁感線產生感應電動勢和感應電流的情況,有時還常涉及感應電動勢E和感應電流I等隨位移變化的圖像,即E-x圖像和I-x圖像等。
2.解題關鍵。
弄清初始條件、正負方向的對應變化范圍、所研究物理量的函數表達式、進出磁場的轉折點等是解決此類問題的關鍵。
3.常用方法。
(1)排除法:定性地分析電磁感應過程中物理量的變化趨勢(增大還是減小)、變化快慢(均勻變化還是非均勻變化),特別是分析物理量的正負,以排除錯誤的選項。
(2)函數法:根據題目所給條件定量地寫出兩個物理量之間的函數關系,然后由函數關系對圖像進行分析和判斷。
考向1　由給定的電磁感應過程選擇有關圖像
【典例4】　
(多選)(2024·全國甲卷)如圖,一絕緣細繩跨過兩個在同一豎直面(紙面)內的光滑定滑輪,繩的一端連接一矩形金屬線框,另一端連接一物塊。線框與左側滑輪之間的虛線區域內有方向垂直紙面的勻強磁場,磁場上下邊界水平,在t=0時刻線框的上邊框以不同的初速度從磁場下方進入磁場。運動過程中,線框始終在紙面內且上下邊框保持水平。以向上為速度的正方向,下列線框的速度v隨時間t變化的圖像中可能正確的是(　　)
A　　B
C　　D
命題特點:本題考查電磁感應中的圖像問題,屬于根據給定的電磁感應過程選擇圖像的問題,試題要求學生對線框運動過程中的電流、安培力、合力、加速度、速度等的變化能夠正確分析才能判斷圖像的正確與否。
復習建議:圖像問題的難點在動態的物理過程中分析各物理量的變化規律,分析過程中還需要進行推理,考查分析推理能力。
考向2　由給定的圖像分析電磁感應過程
【典例5】　(多選)如圖甲所示,粗糙絕緣的水平桌面上,虛線左、右兩側空間均存在與桌面垂直的勻強磁場,右側勻強磁場的方向垂直桌面向下,磁感應強度大小恒為2B0;左側勻強磁場的磁感應強度B隨時間t變化的規律如圖乙所示,規定垂直桌面向上為磁場的正方向。由硬質細導線繞成的邊長為L的正方形線框放在桌面上,對角線MN正好與虛線重合,導線材料的電阻率為ρ、橫截面積為S0,左側磁場變化時線框始終處于靜止狀態。在0~3T0的時間內,下列說法正確的是(　　)
甲　　乙
A.在0~2T0線框受到的摩擦力一直向右
B.在T0時刻,線框受到的安培力大小為F=
C.在T0時刻,線框受到的摩擦力為0
D.在0~3T0內,通過線框的電荷量q=
考向3　電磁感應中圖像的轉化
【典例6】　在豎直向上的勻強磁場中,水平放置一個不變形的單匝金屬圓線圈,規定線圈中感應電流的正方向如圖甲所示,當磁場的磁感應強度B隨時間t按圖乙變化時,圖中能正確表示線圈中感應電動勢E變化的是(　　)
甲　　乙
A　　B
C　　D
專題提升二十五　電磁感應中的電路、圖像問題
題型1
【典例1】　C　解析　金屬輻條OA、OB、OC進出磁場前后,輻條中電動勢的大小為E=BLω·=BωL2,當一根輻條切割磁感線時,另外兩根輻條與定值電阻并聯,則切割磁感線的輻條中感應電流的大小I=,解得I=,可知電流大小不變,根據右手定則,電流方向始終由圓心指向圓環,即電流方向不變,A項錯誤;根據閉合電路歐姆定律,定值電阻兩端電壓U=E-Ir,結合上述解得U=BL2ω,B項錯誤;根據歐姆定律,通過定值電阻的電流I0=,結合上述解得I0=,C項正確;圓環轉動一周,經歷的時間T=,根據上述可知,在圓環轉動一周的過程中,通過定值電阻的電流大小始終不變,則定值電阻產生的熱量為Q=rT,解得Q=,D項錯誤。
【典例2】　C　解析　圓盤發出的是直流電,A項錯誤;由法拉第電磁感應定律可得,法拉第圓盤發電機的電動勢為E=Bl2ω,電源的輸出功率為P=I2R=2R=,B項錯誤,C項正確;根據右手定則,流過電阻R的電流方向為D→R→C,D項錯誤。
【典例3】　CD　解析　設金屬棒運動的有效長度為x,則有E=Bxv,電流為I==,整個過程通過O點的電荷量為Q=It=×=,A項錯誤;導體棒勻速運動,則拉力等于安培力,電流恒定,則運動到P點時拉力的功率最大,有P=Fv=BI×v=,B項錯誤;安培力大小為F'=BI×L==,則F'-t成線性關系,沖量為I=F't==,C項正確;拉力做功等于金屬棒生熱為W=Q=I2Rt=2=,D項正確。
題型2
【典例4】　AC　解析　設線框的上邊框進入磁場時的速度為v,線框的質量M,物塊的質量m,圖中線框進入磁場時線框的加速度向下,對線框應用牛頓第二定律得Mg+F安-T=Ma;對物塊T-mg=ma,其中F安=,即+(M-m)g=(M+m)a,線框向上做減速運動,隨著速度的減小,向下的加速度減小;當加速度為零時,即線框勻速運動的速度為v0=。若線框進入磁場時的速度較小,則線框進入磁場時做加速度減小的減速運動,線框的速度和加速度都趨近于零,則圖像A可能正確;因t=0時刻線框就進入磁場,則進入磁場時線框向上不可能做勻減速運動,則圖像B不可能;若線框的質量等于物塊的質量,且當線框進入磁場時速度大于v0,線框進入磁場做加速度減小的減速運動,完全進入磁場后線框做勻速運動;當線框出離磁場時,受向下的安培力又做加速度減小的減速運動,最終離開磁場后做勻速運動,則圖像C有可能,D不可能。
【典例5】　BD　解析　根據楞次定律線框內電流方向為順時針方向,在0~內左側磁場垂直桌面向下,磁感應強度大于右側磁場,線框受到安培力向左,受到的摩擦力向右,在~2T0內線框受到安培力向右,受到的摩擦力向左,A項錯誤;感應電動勢E====,電流I===,T0時刻,MPN受到的安培力F1=B0I·L=,方向向左,MQN受到的安培力F2=2B0I·L=,方向向右,所以線框受到的安培力大小為F=F2-F1=,B項正確;在T0時刻,MPN受到的安培力為0,MQN受到的安培力不為0,則線框受到的摩擦力不為0,C項錯誤;在0~3T0內,通過線框的電荷量q====,D項正確。
【典例6】　A　解析　由題圖乙知,0~1 s內磁通量向上均勻增加,根據楞次定律知,電流方向為正且保持不變;1~3 s內磁通量不變,故感應電動勢為0;3~5 s內磁通量向上均勻減少,由楞次定律知,電流方向為負且保持不變。由法拉第電磁感應定律知,感應電動勢的大小與磁通量的變化率成正比,所以3~5 s內的感應電動勢是0~1 s內的感應電動勢的,A項正確。(共31張PPT)
專題提升二十五
電磁感應中的電路、圖像問題
第十二章　電磁感應
題型1　電磁感應中的電路問題
題型2　電磁感應中的圖像問題
內容
索引
電磁感應中的電路問題
題型1
1.電磁感應中的電源。
(1)做切割磁感線運動的導體或磁通量發生變化的回路相當于電源。
電動勢：E=Blv或E=n，這部分電路的阻值為電源內阻。
(2)用右手定則或楞次定律與安培定則結合判斷，感應電流流出的一端為電源正極。
2.分析電磁感應電路問題的基本思路。
3.閉合回路中磁通量發生變化時，電荷發生定向移動而形成感應電流，在Δt內遷移的電荷量(感應電荷量)q=I·Δt=·Δt=n·Δt=。
(1)從上式可知，線圈匝數一定時，感應電荷量僅由回路電阻和磁通量的變化量決定，與時間無關。
(2)求解電路中通過的電荷量時，I、E均為平均值。
考向1
動生電動勢的電路問題
【典例1】　如圖所示，半徑為L的導電圓環(電阻不
計)繞垂直于圓環平面、通過圓心O的金屬軸以角速
度ω逆時針勻速轉動。圓環上接有電阻均為r的三根
金屬輻條OA、OB、OC，輻條互成120°角。在圓
環圓心角∠MON=120°的范圍內(兩條虛線之間)分
布著垂直圓環平面向外、磁感應強度大小為B的勻強磁場，圓環的邊緣通過電刷P和導線與一個阻值也為r的定值電阻R0相連，定值電阻R0的另一端通過導線接在圓環的中心軸上，在圓環勻速轉動過程中，下列說法正確的是( )
A.金屬輻條OA、OB、OC進出磁場前后，輻條中電流的大小不變，方向改變
B.定值電阻R0兩端的電壓為BL2ω
C.通過定值電阻R0的電流為
D.圓環轉動一周，定值電阻R0產生的熱量為
金屬輻條OA、OB、OC進出磁場前后，輻條中電動勢的大小為E=BLω·=BωL2，當一根輻條切割磁感線時，另外兩根輻條與定值電阻并聯，則切割磁感線的輻條中感應電流的大小I=，解得I=，可知電流大小不變，根據右手定則，電流方向始終由圓心指向圓環，即電流方向不變，A項錯誤；根據閉合電路歐姆
解析
定律，定值電阻兩端電壓U=E-Ir，結合上述解得U=BL2ω，B項錯誤；根據歐姆定律，通過定值電阻的電流I0=，結合上述解得I0=
，C項正確；圓環轉動一周，經歷的時間T=，根據上述可知,在圓環轉動一周的過程中，通過定值電阻的電流大小始終不變，則定值電阻產生的熱量為Q=rT，解得Q=，D項錯誤。
解析
考向2
感生電動勢的電路問題
【典例2】　如圖所示，一個半徑為l的金屬圓盤在磁感應強度為B的勻強磁場中以角速度ω勻速轉動(從左向右觀察為順時針方向)。這樣構成一個法拉第圓盤發電機。假設其電動勢為E，等效內阻為r。下列說法正確的是( )
A.圓盤發電機產生的是交流電
B.法拉第圓盤發電機的電動勢為E=Bω2l
C.電源的輸出功率為
D.流過電阻R的電流方向為C→R→D
圓盤發出的是直流電，A項錯誤；由法拉第電磁感應定律可得，法拉第圓盤發電機的電動勢為E=Bl2ω，電源的輸出功率為P=I2R=R=，B項錯誤，C項正確；根據右手定則，流過電阻R的電流方向為D→R→C，D項錯誤。
解析
考向3
電磁感應中電荷量的計算問題
【典例3】　(多選)如圖所示，“∠”形金屬導軌POQ
固定在絕緣水平桌面上，∠POQ=30°，OP的長度
為L，整個空間中有垂直于導軌平面向上、磁感應
強度大小為B的勻強磁場。一根足夠長的金屬棒MN放在導軌上并與導軌接觸良好，金屬棒初始時緊靠O點。給金屬棒一個水平向右的拉力，使金屬棒以速度v向右勻速運動，金屬棒MN始終與OP垂直。已知金屬棒單位長度的電阻為r，其余部分電阻不計，不計一切摩擦。金屬棒在導軌上從O點運動到P點過程中，下列說法正確的是( )
A.整個過程通過O點的電荷量為
B.拉力的最大功率為
C.整個過程安培力的沖量大小為
D.整個過程拉力做的功為
設金屬棒運動的有效長度為x，則有E=Bxv，電流為I==，整個過程通過O點的電荷量為Q=It=×=，A項錯誤；導體棒勻速運動，則拉力等于安培力，電流恒定，則運動到P點時拉力的功率最大，有P=Fv=BI×v=，B項錯誤；安培力大小為F'=BI
解析
×L==，則F'-t成線性關系，沖量為I=F't=
=，C項正確；拉力做功等于金屬棒生熱為W=Q=I2Rt==，D項正確。
解析
電磁感應中的圖像問題
題型2
1.圖像類型。
(1)電磁感應中常涉及磁感應強度B、磁通量Φ、感應電動勢E和感應電流I等隨時間變化的圖像，即B-t圖像、Φ-t圖像、E-t圖像和I-t圖像。
(2)對于切割磁感線產生感應電動勢和感應電流的情況，有時還常涉及感應電動勢E和感應電流I等隨位移變化的圖像，即E-x圖像和I-x圖像等。
2.解題關鍵。
弄清初始條件、正負方向的對應變化范圍、所研究物理量的函數表達式、進出磁場的轉折點等是解決此類問題的關鍵。
3.常用方法。
(1)排除法：定性地分析電磁感應過程中物理量的變化趨勢(增大還是減小)、變化快慢(均勻變化還是非均勻變化)，特別是分析物理量的正負，以排除錯誤的選項。
(2)函數法：根據題目所給條件定量地寫出兩個物理量之間的函數關系，然后由函數關系對圖像進行分析和判斷。
考向1
由給定的電磁感應過程選擇有關圖像
【典例4】　(多選)(2024·全國甲卷)如圖，一絕緣細繩跨過兩個在同一豎直面(紙面)內的光滑定滑輪，繩的一端連接一矩形金屬線框，另一端連接一物塊。線框與左側滑輪之間的虛線區域內有方向垂直紙面的勻強磁場，磁場上下邊界水平，在t=0時刻線框的上邊框以不同的初速度從磁場下方進入磁場。運動過程中，線框始終在紙面內且上下邊框保持水平。以向上為速度
的正方向，下列線框的速度v隨時間t變化的圖像中可能正確的是
( )
設線框的上邊框進入磁場時的速度為v，線框的質量M，物塊的質量m，圖中線框進入磁場時線框的加速度向下，對線框應用牛頓第二定律得Mg+F安-T=Ma；對物塊T-mg=ma，其中F安=，即+(M-m)g=(M+m)a，線框向上做減速運動，隨著速度的減小,向下的加速度減小；當加速度為零時，即線框勻速運動的速度為v0=。若線框進入磁場時的速度較小，則線框進入磁場時做
解析
加速度減小的減速運動，線框的速度和加速度都趨近于零，則圖像A可能正確；因t=0時刻線框就進入磁場，則進入磁場時線框向上不可能做勻減速運動，則圖像B不可能；若線框的質量等于物塊的質量，且當線框進入磁場時速度大于v0，線框進入磁場做加速度減小的減速運動，完全進入磁場后線框做勻速運動；當線框出離磁場時，受向下的安培力又做加速度減小的減速運動，最終離開磁場后做勻速運動，則圖像C有可能，D不可能。
解析
命題特點：本題考查電磁感應中的圖像問題，屬于根據給定的電磁感應過程選擇圖像的問題，試題要求學生對線框運動過程中的電流、安培力、合力、加速度、速度等的變化能夠正確分析才能判斷圖像的正確與否。
復習建議：圖像問題的難點在動態的物理過程中分析各物理量的變化規律，分析過程中還需要進行推理，考查分析推理能力。
考向2
由給定的圖像分析電磁感應過程
【典例5】　(多選)如圖甲所示，粗糙絕緣的水平桌面上，虛線左、右兩側空間均存在與桌面垂直的勻強磁場，右側勻強磁場的方向垂直桌面向下，磁感應強度大小恒為2B0；左側勻強磁場的磁感應強度B隨時間t變化的規律如圖乙所示，規定垂直桌面向上為磁場的正方向。由硬質細導線繞成的邊長為L的正方形線框放在桌面上，對角線MN正好與虛線重合，導線材料的電阻率為ρ、橫截面積為S0，左側磁場變化時線框始終處于靜止狀態。在0~3T0的時間內，下列說法正確的是( )
A.在0~2T0線框受到的摩擦力一直向右
B.在T0時刻，線框受到的安培力大小為F=
C.在T0時刻，線框受到的摩擦力為0
D.在0~3T0內，通過線框的電荷量q=
根據楞次定律線框內電流方向為順時針方向，在0~內左側磁場垂直桌面向下，磁感應強度大于右側磁場，線框受到安培力向左,受到的摩擦力向右，在~2T0內線框受到安培力向右，受到的摩擦力向左，A項錯誤；感應電動勢E====，電流I=
==，T0時刻，MPN受到的安培力F1=B0I·L=,
解析
方向向左，MQN受到的安培力F2=2B0I·L=，方向向右，所以線框受到的安培力大小為F=F2-F1=，B項正確；在T0時刻，MPN受到的安培力為0，MQN受到的安培力不為0，則線框受到的摩擦力不為0，C項錯誤；在0~3T0內，通過線框的電荷量q====，D項正確。
解析
【典例6】　在豎直向上的勻強磁場中，水平放置一個不變形的單匝金屬圓線圈，規定線圈中感應電流的正方向如圖甲所示，當磁場的磁感應強度B隨時間t按圖乙變化時，圖中能正確表示線圈中感應電動勢E變化的是( )
考向3
電磁感應中圖像的轉化
由題圖乙知，0~1 s內磁通量向上均勻增加，根據楞次定律知，電流方向為正且保持不變；1~3 s內磁通量不變，故感應電動勢為0;
3~5 s內磁通量向上均勻減少，由楞次定律知，電流方向為負且保持不變。由法拉第電磁感應定律知，感應電動勢的大小與磁通量的變化率成正比，所以3~5 s內的感應電動勢是0~1 s內的感應電動勢的，A項正確。
解析專題提升練25　電磁感應中的電路、圖像問題
　梯級Ⅰ基礎練
1.(2022·全國甲卷)三個用同樣的細導線做成的剛性閉合線框，正方形線框的邊長與圓線框的直徑相等，圓線框的半徑與正六邊形線框的邊長相等，如圖所示。把它們放入磁感應強度隨時間線性變化的同一勻強磁場中，線框所在平面均與磁場方向垂直，正方形、圓形和正六邊形線框中感應電流的大小分別為I1、I2和I3。則(　　)
A.I1I3>I2
C.I1=I2>I3 D.I1=I2=I3
2.如圖所示，由均勻導線制成的半徑為R的圓環，以速度v勻速進入一磁感應強度大小為B的勻強磁場。當圓環運動到圖示位置(∠aOb=90°)時，a、b兩點的電勢差Uab為(　　)
A.BRv B.BRv
C.-BRv D.-BRv
3.(多選)如圖所示，相同材料、橫截面積相等的導線制成的單匝正方形線框A和線框B，邊長之比為2∶1，在外力作用下以相同速度勻速進入勻強磁場，在線框A和線框B進入磁場的過程中，下列說法正確的是(　　)
A.線框A和線框B中感應電流之比為1∶1
B.線框A和線框B所受外力做功的功率之比為2∶1
C.線框A和線框B產生的熱量之比為2∶1
D.通過線框A和線框B導線橫截面的電荷量之比為1∶1
4.(2025·開封模擬)將一均勻導線圍成一圓心角為90°的扇形導線框OMN，其中OM=ON=R，圓弧MN的圓心為O點，將導線框的O點置于如圖所示的直角坐標系的原點，其中第二和第四象限存在垂直紙面向里的勻強磁場，其磁感應強度大小為B，第三象限存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為2B。從t=0時刻開始讓導線框以O點為圓心，以恒定的角速度ω沿逆時針方向做勻速轉動，假定沿OMN方向的電流為正，則線框中的電流隨時間的變化規律描繪正確的是(　　)
5.(多選)有界勻強磁場磁感應強度為B，有一半徑為R的線圈，其單位長度上的電阻為r，線圈直徑MN垂直磁場邊界于M點，現以M點為軸，在紙面內沿順時針方向勻速旋轉90°，角速度為ω，則(　　)
A.感應電流方向為順時針方向
B.感應電動勢的最大值為BR2ω
C.感應電流的最大值為
D.通過導體任意橫截面的電荷量為
梯級Ⅱ能力練
6.(多選)如圖所示，邊長為L的正方形區域存在垂直紙面向外的勻強磁場，等腰直角三角形線框ABC以速度v勻速進入磁場區域，且AB=L，若從C點進入磁場開始計時，單位長度線框的電阻相同，則B、C兩點電勢差UBC和BC邊所受安培力FBC(規定FBC向上為正)隨時間變化的圖像正確的是(　　)
7.(多選)如圖所示，電阻不計的光滑金屬導軌MN、PQ水平放置，間距為d，兩側接有電阻R1、R2，阻值均為R，O1O2右側有磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場。質量為m、長度也為d的金屬桿置于O1O2左側，在水平向右、大小為F的恒定拉力作用下由靜止開始運動，經時間t到達O1O2時撤去恒力F，金屬桿在到達NQ之前減速為零，已知金屬桿電阻也為R，與導軌始終保持垂直且接觸良好，下列說法正確的是(　　)
A.桿剛進入磁場時速度大小為
B.桿剛進入磁場時電阻R1兩端的電勢差大小為
C.整個過程中，流過金屬桿的電荷量為
D.整個過程中，電阻R1上產生的焦耳熱為
8.(2023·廣東卷)光滑絕緣的水平面上有垂直平面的勻強磁場，磁場被分成區域Ⅰ和Ⅱ，寬度均為h，其俯視圖如圖甲所示，兩磁場磁感應強度隨時間t的變化如圖乙所示，0~τ時間內，兩區域磁場恒定，方向相反，磁感應強度大小分別為2B0和B0，一電阻為R，邊長為h的剛性正方形金屬框abcd，平放在水平面上，ab、cd邊與磁場邊界平行。t=0時，線框ab邊剛好跨過區域Ⅰ的左邊界以速度v向右運動。在τ時刻，ab邊運動到距區域Ⅰ的左邊界處，線框的速度近似為零，此時線框被固定，如圖甲中的虛線框所示。隨后在τ~2τ時間內，Ⅰ區磁感應強度線性減小到0，Ⅱ區磁場保持不變;2τ~3τ時間內，Ⅱ區磁感應強度也線性減小到0。求:
(1)t=0時線框所受的安培力F;
(2)t=1.2τ時穿過線框的磁通量Φ;
(3)2τ~3τ時間內，線框中產生的熱量Q。
梯級Ⅲ創新練
9.如圖所示，圓心為O、半徑為r=0.5 m的金屬圓形軌道固定在水平面內，長度為r=0.5 m的直導體棒OA置于圓導軌上面，金屬圓形軌道內存在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度的大小B=1.6 T，直導體棒O端和圓軌道引出導線分別與電阻R1、R2和電容器相連。導體棒在外力作用下繞O點以角速度ω=20 rad/s順時針勻速轉動。已知導體棒的電阻R0=0.5 Ω，R1=1.5 Ω，R2=2 Ω，電容器的電容C=2×103 μF，不計金屬圓形導軌電阻，下列說法正確的是(　　)
A.通過導體棒的電流為2.0 A
B.M板帶負電
C.外力做功的功率為3.5 W
D.電容器極板的帶電荷量q=4.0×10-3 C
專題提升練25　電磁感應中的電路、圖像問題
1.C　解析　設圓線框的半徑為r,則由題意可知正方形線框的邊長為2r,正六邊形線框的邊長為r;所以圓線框的周長為C2=2πr,面積為S2=πr2。同理可知正方形線框的周長和面積分別為C1=8r,S1=4r2,正六邊形線框的周長和面積分別為C3=6r,S3=2×(r+2r)×r=r2,三線框材料粗細相同,根據電阻定律R=ρ可知三個線框電阻之比為R1∶R2∶R3=C1∶C2∶C3=8∶2π∶6,根據法拉第電磁感應定律有I==·,可得電流之比為I1∶I2∶I3=2∶2∶,即I1=I2>I3,C項正確。
2.D　解析　有效切割長度即a、b連線的長度,如圖所示,由幾何關系知有效切割長度為ab==R,所以產生的電動勢為E=BLv= B·Rv,電流的方向為a→b,所以Uab<0,由于在磁場部分的阻值為整個圓的,所以Uab=-E=-BRv,D項正確。
3.AB　解析　設正方形的邊長為L,導線的橫截面積為S0、電阻率為ρ,磁場的磁感應強度為B,線框勻速運動的速度大小為v。兩正方形的邊長之比為2∶1,由電阻定律可知線框的電阻R=ρ,線框A和線框B的電阻之比為2∶1,感應電流大小為I=,線框A和線框B中感應電流之比為1∶1,A項正確;線框勻速進入勻強磁場,則外力做功的功率為P=P電=I2R,線框A和線框B所受外力做功的功率之比為2∶1,B項正確;線框產生的熱量為Q=P電t=P電·,線框A和線框B產生的熱量之比為4∶1,C項錯誤;通過線框導線橫截面的電荷量為q=It==,通過線框A和線框B導線橫截面的電荷量之比為2∶1,D項錯誤。
4.C　解析　在0~t0時間內,線框從圖示位置開始(t=0)轉過90°的過程中,產生的感應電動勢為E1=BωR2,由閉合電路歐姆定律得,回路中的電流為I1==,根據楞次定律判斷可知,線框中感應電流方向為逆時針方向(沿ONM方向);在t0~2t0時間內,線框進入第三象限的過程中,回路中的電流方向為順時針方向(沿OMN方向)。回路中產生的感應電動勢為E2=BωR2+·2BωR2=BωR2=3E1,感應電流大小為I2=3I1;在2t0~3t0時間內,線框進入第四象限的過程中,回路中的電流方向為逆時針方向(沿ONM方向),回路中產生的感應電動勢為E3=BωR2+·2BωR2=BωR2=3E1,感應電流為I3=3I1;在3t0~4t0時間內,線框出第四象限的過程中,回路中的電流方向為順時針方向(沿OMN方向),回路中產生的感應電動勢為E4=BωR2,由閉合電路歐姆定律得,回路電流大小I4=I1,C項正確。
5.AD　解析　根據楞次定律,感應電流產生的磁場總要阻礙原磁通量的變化,可知在線圈轉動的過程中通過線圈的磁通量減小,由此可知感應電流應為順時針方向,A項正確;當轉過90°時的瞬間切割磁感線的有效長度最大,為圓形線圈的直徑,此時感應電動勢最大,由此可得感應電動勢的最大值為Em=B(2R)2ω=2BR2ω,根據閉合電路的歐姆定律可知感應電流的最大值為Im===,B、C兩項錯誤;通過導體任意橫截面的電荷量為q===,D項正確。
6.BD　解析　在0~過程,由右手定則可知感應電流方向由C指向B,即C的電勢高,則UBC<0,A項錯誤,B項正確;由對稱性可知,0~和~是對稱的過程,題中圖像也對稱,故C項錯誤,D項正確。
7.BCD　解析　桿由靜止運動到O1O2處過程,由動量定理有Ft=mv,則桿進入磁場時速度大小為v=,A項錯誤;桿剛進入磁場時產生的感應電動勢為E=Bdv,則電阻R1兩端的電勢差大小為UR1=×=E=,B項正確;金屬棒進入磁場后,由動量定理Δt=mv,即BdΔt= mv,Δt=q,解得q==,C項正確;整個過程中,產生的總焦耳熱為Q=mv2=,則電阻R1上產生的焦耳熱為QR1=Q=,D項正確。
8.答案　(1),方向水平向左
(2),方向垂直紙面向里
(3)
解析　(1)由題圖可知t=0時線框切割磁感線產生的感應電動勢為
E=2B0hv+B0hv=3B0hv,
則感應電流大小為I==,
所受的安培力為F=2B0h+B0h=,方向水平向左。
(2)在τ時刻,ab邊運動到距區域Ⅰ的左邊界處,線框的速度近似為零,此時線框被固定,則t=1.2τ時穿過線框的磁通量為Φ=1.6B0h·h-B0h·h=,方向垂直紙面向里。
(3)2τ~3τ時間內,Ⅱ區磁感應強度也線性減小到0,則有
E'===,
感應電流大小為I'==,
則2τ~3τ時間內,線框中產生的熱量為
Q=I'2Rt=。
9.D　解析　由導體切割磁感線產生電動勢可知E==4 V,由閉合電路歐姆定律有I==1.0 A,A項錯誤;由右手定則可以判斷,導體棒中的電流方向為O到A,所以電容器M板帶正電,B項錯誤;回路消耗的總電功率P=EI=4.0 W,由能量轉化與守恒可知外力做功的功率等于回路消耗的總功率,即P外=P=4.0 W,C項錯誤;由歐姆定律可知電容器兩端的電壓U=IR2=2.0 V,所以電容器的帶電荷量q=CU=4.0×10-3 C,D項正確。(共29張PPT)
專題提升練25
電磁感應中的電路、圖像問題
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1.(2022·全國甲卷)三個用同樣的細導線做成的剛性閉合線框，正方形線框的邊長與圓線框的直徑相等，圓線框的半徑與正六邊形線框的邊長相等，如圖所示。把它們放入磁感應強度隨時間線性變化的同一勻強磁場中，線框所在平面均與磁場方向垂直，正方形、圓形和正六邊形線框中感應電流的大小分別為I1、I2和I3。則(　　)
A.I1I3>I2
C.I1=I2>I3 D.I1=I2=I3
梯級Ⅰ 基礎練
設圓線框的半徑為r，則由題意可知正方形線框的邊長為2r，正六邊形線框的邊長為r；所以圓線框的周長為C2=2πr，面積為S2=πr2。同理可知正方形線框的周長和面積分別為C1=8r，S1=4r2，正六邊形線框的周長和面積分別為C3=6r，S3=2×(r+2r)×r=r2，三線框材料粗細相同，根據電阻定律R=ρ可知三個線框電阻之比為R1∶R2∶R3=
C1∶C2∶C3=8∶2π∶6，根據法拉第電磁感應定律有I==，可得電流之比為I1∶I2∶I3=2∶2∶，即I1=I2>I3，C項正確。
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2.如圖所示，由均勻導線制成的半徑為R的圓環，以速度v勻速進入一磁感應強度大小為B的勻強磁場。當圓環運動到圖示位置(∠aOb=
90°)時，a、b兩點的電勢差Uab為(　　)
A.BRv B.BRv
C.-BRv D.-BRv
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有效切割長度即a、b連線的長度，如圖所示，由幾何關系知有效切割長度為ab==R，所以產生的電動勢為E=BLv=B·
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Rv，電流的方向為a→b，所以Uab<0，由于在磁場部分的阻值為整個圓的，所以Uab=-E
=-BRv，D項正確。
3.(多選)如圖所示，相同材料、橫截面積相等的導線制成的單匝正方形線框A和線框B，邊長之比為2∶1，在外力作用下以相同速度勻速進入勻強磁場，在線框A和線框B進入磁場的過程中，下列說法正確的是(　　)
A.線框A和線框B中感應電流之比為1∶1
B.線框A和線框B所受外力做功的功率之比為2∶1
C.線框A和線框B產生的熱量之比為2∶1
D.通過線框A和線框B導線橫截面的電荷量之比為1∶1
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設正方形的邊長為L，導線的橫截面積為S0、電阻率為ρ，磁場的磁感應強度為B，線框勻速運動的速度大小為v。兩正方形的邊長之比為2∶1，由電阻定律可知線框的電阻R=ρ，線框A和線框B的電阻之比為2∶1，感應電流大小為I=，線框A和線框B中感應電流之比為1∶1，A項正確；線框勻速進入勻強磁場，則外力做功的功率為P=P電=I2R，線框A和線框B所受外力做功的功率之比為
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2∶1，B項正確；線框產生的熱量為Q=P電t=P電·，線框A和線框B產生的熱量之比為4∶1，C項錯誤；通過線框導線橫截面的電荷量為q=It==，通過線框A和線框B導線橫截面的電荷量之比為2∶1，D項錯誤。
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4.(2025·開封模擬)將一均勻導線圍成一圓心角為90°的扇形導線框OMN，其中OM=ON=R，圓弧MN的圓心為O點，將導線框的O點置于如圖所示的直角坐標系的原點，其中第二和第四象限存在垂直紙面向里的勻強磁場，其磁感應強度大小為B，第三象限存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為2B。從t=0時刻開始讓導線框以O點為圓心，以恒定的角速度ω沿逆時針方向做勻速轉動，假定沿OMN方向的電流為正，則線框中的電流隨時間的變化規律描繪正確的是(　　)
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在0~t0時間內，線框從圖示位置開始(t=0)轉過90°的過程中，產生的感應電動勢為E1=BωR2，由閉合電路歐姆定律得，回路中的電流為I1==，根據楞次定律判斷可知，線框中感應電流方向為逆時針方向(沿ONM方向)；在t0~2t0時間內，線框進入第三象限的過程中，回路中的電流方向為順時針方向(沿OMN方向)。回路中產生的感應電動勢為E2=BωR2+·2BωR2=BωR2=3E1，感應電
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流大小為I2=3I1；在2t0~3t0時間內，線框進入第四象限的過程中，回路中的電流方向為逆時針方向(沿ONM方向)，回路中產生的感應電動勢為E3=BωR2+·2BωR2=BωR2=3E1，感應電流為I3=3I1；在3t0~4t0時間內，線框出第四象限的過程中，回路中的電流方向為順時針方向(沿OMN方向)，回路中產生的感應電動勢為E4=BωR2，由閉合電路歐姆定律得，回路電流大小I4=I1，C項正確。
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5.(多選)有界勻強磁場磁感應強度為B，有一半徑為R的線圈，其單位長度上的電阻為r，線圈直徑MN垂直磁場邊界于M點，現以M點為 軸，在紙面內沿順時針方向勻速旋轉90°，角速度為ω，則(　　)
A.感應電流方向為順時針方向
B.感應電動勢的最大值為BR2ω
C.感應電流的最大值為
D.通過導體任意橫截面的電荷量為
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根據楞次定律，感應電流產生的磁場總要阻礙原磁通量的變化，可知在線圈轉動的過程中通過線圈的磁通量減小，由此可知感應電流應為順時針方向，A項正確；當轉過90°時的瞬間切割磁感線的有效長度最大，為圓形線圈的直徑，此時感應電動勢最大，由此可得感應電動勢的最大值為Em=B(2R)2ω=2BR2ω，根據閉合
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電路的歐姆定律可知感應電流的最大值為Im===， B、C兩項錯誤；通過導體任意橫截面的電荷量為q=== ，D項正確。
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6.(多選)如圖所示，邊長為L的正方形區域存在垂直紙面向外的勻強磁場，等腰直角三角形線框ABC以速度v勻速進入磁場區域，且AB=L，若從C點進入磁場開始計時，單位長度線框的電阻相同，則B、C兩點電勢差UBC和BC邊所受安培力FBC(規定FBC向上為正)隨時間變化的圖像正確的是(　　)
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梯級Ⅱ 能力練
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在0~過程，由右手定則可知感應電流方向由C指向B，即C的電勢高，則UBC<0，A項錯誤，B項正確；由對稱性可知，0~~是對稱的過程，題中圖像也對稱，故C項錯誤，D項正確。
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7.(多選)如圖所示，電阻不計的光滑金屬導軌MN、PQ水平放置，間距為d，兩側接有電阻R1、R2，阻值均為R，O1O2右側有磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場。質量為m、長度也為d的金屬桿置于O1O2左側，在水平向右、大小為F的恒定拉力作用下由靜止開始運動，經時間t到達O1O2時撤去恒力F，金屬桿在到達NQ之前減速為零，已知金屬桿電阻也為R，與導軌始終保持垂直且接觸良好，下列說法正確的是(　　)
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A.桿剛進入磁場時速度大小為
B.桿剛進入磁場時電阻R1兩端的電勢差大小為
C.整個過程中，流過金屬桿的電荷量為
D.整個過程中，電阻R1上產生的焦耳熱為
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桿由靜止運動到O1O2處過程，由動量定理有Ft=mv，則桿進入磁場時速度大小為v=，A項錯誤；桿剛進入磁場時產生的感應電動勢為E=Bdv，則電阻R1兩端的電勢差大小為UR1=×=E=，B項正確；金屬棒進入磁場后，由動量定理Δt=mv，即BdΔt=mv，Δt=q，解得q==，C項正確；整個過程中，產生的總焦耳熱為Q=mv2=，則電阻R1上產生的焦耳熱為QR1=Q=，D項正確。
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8.(2023·廣東卷)光滑絕緣的水平面上有垂直平面的勻強磁場，磁場被分成區域Ⅰ和Ⅱ，寬度均為h，其俯視圖如圖甲所示，兩磁場磁感應強度隨時間t的變化如圖乙所示，0~τ時間內，兩區域磁場恒定，方向相反，磁感應強度大小分別為2B0和B0，一電阻為R，邊長為h的剛性正方形金屬框abcd，平放在水平面上，ab、cd邊與磁場邊界平行。t=0時，線框ab邊剛好跨過區域Ⅰ的左邊界以速度v向右運動。在τ時刻，ab邊運動到距區域Ⅰ的左邊界處，線框的速度近似為零，此時線框被固定，如圖甲中的虛線框所示。隨后在τ~2τ時間內，Ⅰ區磁感應強度線性減小到0，Ⅱ區磁場保持不變；2τ~3τ時間內，Ⅱ區磁感應強度也線性減小到0。求:
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(1)t=0時線框所受的安培力F；
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由題圖可知t=0時線框切割磁感線產生的感應電動勢為
E=2B0hv+B0hv=3B0hv，
則感應電流大小為I==，
所受的安培力為F=2B0h+B0h=，方向水平向左。
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(2)t=1.2τ時穿過線框的磁通量Φ；
在τ時刻，ab邊運動到距區域Ⅰ的左邊界處，線框的速度近似為 零，此時線框被固定，則t=1.2τ時穿過線框的磁通量為
Φ=1.6B0h·h-B0h·h=，方向垂直紙面向里。
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(3)2τ~3τ時間內，線框中產生的熱量Q。
2τ~3τ時間內，Ⅱ區磁感應強度也線性減小到0，則有
E'===，
感應電流大小為I'==，
則2τ~3τ時間內，線框中產生的熱量為Q=I'2Rt=。
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9.如圖所示，圓心為O、半徑為r=0.5 m的金屬圓形軌道固定在水平面內，長度為r=0.5 m的直導體棒OA置于圓導軌上面，金屬圓形軌道內存在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度的大小B=1.6 T，直導體棒O端和圓軌道引出導線分別與電阻R1、R2和電容器相連。導體棒在外力作用下繞O點以角速度ω=20 rad/s順時針勻速轉動。已知導體棒的電阻R0=0.5 Ω，R1=1.5 Ω，R2=2 Ω，電容器的電容C=2×103 μF，不計金屬圓形導軌電阻，下列說法正確的是(　　)
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梯級Ⅲ 創新練
A.通過導體棒的電流為2.0 A
B.M板帶負電
C.外力做功的功率為3.5 W
D.電容器極板的帶電荷量q=4.0×10-3 C
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由導體切割磁感線產生電動勢可知E==4 V，由閉合電路歐姆定律有I==1.0 A，A項錯誤；由右手定則可以判斷，導體棒中的電流方向為O到A，所以電容器M板帶正電，B項錯誤；回路消耗的總電功率P=EI=4.0 W，由能量轉化與守恒可知外力做功的功率等于回路消耗的總功率，即P外=P=4.0 W，C項錯誤；由歐姆定律可知電容器兩端的電壓U=IR2=2.0 V，所以電容器的帶電荷量q=CU=4.0×10-3 C，D項正確。
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