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2025魯科版高中物理必修第二冊
分層作業16　圓周運動的臨界問題
A組必備知識基礎練
1.如圖所示,長度均為L的兩根輕繩,一端共同系住質量為m的小球,另一端分別固定在等高的A、B兩點,A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g。今使小球在豎直面內以AB為軸做圓周運動,若小球在最高點的速率為v時,兩根繩的拉力恰好均為零,則小球在最高點的速率為2v時,每根繩的拉力大小為(　　)
A.mg B.mg
C.3mg D.2mg
2.如圖所示,一水平放置的木板上放有砝碼,砝碼與木板間的動摩擦因數為μ,讓木板在豎直平面內做半徑為R的勻速圓周運動。假如運動中木板始終保持水平,砝碼始終沒有離開木板,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,那么下列說法正確的是 (　　)
A.在通過軌道最高點時砝碼處于超重狀態
B.在經過軌道最低點時砝碼所需靜摩擦力最大
C.勻速圓周運動的速度小于等于
D.在通過軌道最低點和最高點時,砝碼對木板的壓力之差為砝碼重力的6倍
3.如圖所示,轉動軸垂直于光滑水平面,交點O的上方h高處(A點)固定細繩的一端,細繩的另一端連接一質量為m的小球B,繩長l>h,重力加速度為g,轉動軸帶動小球在光滑水平面內做圓周運動。當轉動的角速度ω逐漸增大時,下列說法正確的是(　　)
A.小球始終受三個力的作用
B.細繩上的拉力始終保持不變
C.要使小球不離開水平面,角速度的最大值為
D.若小球離開了水平面,則角速度為
4.質量為m的小球在豎直平面內的圓形軌道內側運動,若經最高點不脫離軌道的臨界速度為v,則當小球以2v速度經過最高點時,小球對軌道的壓力大小為　　　。
5.如圖所示,質量M=2 kg的物體置于可繞豎直軸勻速轉動的平臺上,M用細繩通過光滑的定滑輪與質量為m=0.4 kg的物體相連,m懸于空中與M都處于靜止狀態。假定M與軸O的距離r=0.5 m,與平臺的最大靜摩擦力為其重力的,求:
(1)M受到的靜摩擦力最小時,平臺轉動的角速度ω0;
(2)要保持M與平臺相對靜止,平臺轉動的角速度最大值。
6.如圖所示,長為L的輕桿,兩端各連接一個質量都是m的小球,使它們以輕桿中點為軸在豎直平面內做勻速圓周運動,周期T=2π,求它們通過豎直位置時桿分別對上、下兩球的作用力大小,并說明是拉力還是支持力。
B組關鍵能力提升練
7.如圖甲所示,用一輕質繩系著一質量為m的小球,在豎直平面內做圓周運動(不計一切阻力),小球運動到最高點時繩對小球的拉力為T,小球在最高點的速度大小為v,其T-v2關系如圖乙所示,則(　　)
A.輕質繩長為
B.當地的重力加速度為
C.當v2=c時,輕質繩的拉力大小為+a
D.v28.如圖所示是半徑為r的豎直光滑圓形軌道,將一玩具小車放到與軌道圓心O處于同一水平面的A點,并給小車一豎直向下的初速度,使小車沿軌道內側做圓周運動。要使小車不脫離軌道,則在A處使小車獲得豎直向下的最小初速度應為(　　)
A. B.
C. D.
9.某興趣小組設計了一個滾筒式炒栗子機器,滾筒內表面粗糙,內徑為D。工作時滾筒繞固定的水平中心軸轉動。為使栗子受熱均勻,要使栗子到達滾筒最高處前與筒壁脫離,則(重力加速度為g)(　　)
A.滾筒的角速度ω應滿足ω<
B.滾筒的角速度ω應滿足ω>
C.栗子脫離滾筒的位置與其質量有關
D.若栗子到達最高點附近時脫離滾筒,栗子將自由下落
10.如圖所示,可視為質點的木塊A、B疊放在一起,放在水平轉臺上隨轉臺一起繞固定轉軸OO'勻速轉動,木塊A、B與轉軸OO'的距離為1 m,A的質量為5 kg,B的質量為10 kg。已知A與B間的動摩擦因數為0.2,B與轉臺間的動摩擦因數為0.3,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,g取10 m/s2。若木塊A、B與轉臺始終保持相對靜止,則轉臺角速度ω的最大值為　　　　 rad/s。
11.(2024浙江期末改編)如圖所示,MN為水平面,左側為一半圓形軌道,A點是最高點,BD是90°圓弧軌道,DE是長度為R的斜面,EF是一段很細的45°圓弧管道,D、E分別與BD圓弧和EF管道相切。半圓形軌道、圓弧軌道、管道半徑均為R?；瑝K質量為m,整個運動過程中可視為質點且阻力可以忽略。
(1)滑塊在A點的速率為多大時,對半圓形軌道壓力為0
(2)當滑塊在A點以速率離開半圓形軌道后,恰好在B點無碰撞進入圓弧軌道,到最低點C的速率為,則此時對軌道的壓力為多大
(3)當滑塊運動到F點的速率為,此時滑塊對管道的壓力為多少
12.如圖所示,兩繩系著一個質量為m=0.1 kg的小球C,上面繩長l=2 m,兩繩都拉直時與軸夾角分別為30°與45°。問球的角速度ω滿足什么條件時,兩繩始終張緊 (g取10 m/s2,保留三位有效數字)
分層作業16　圓周運動的臨界問題
1.A　當小球在最高點的速率為v時,有mg=m,解得v=;當小球在最高點的速率為2v時,有F+mg=m,解得兩繩拉力的合力F=3mg,由幾何知識得每根繩的拉力T=mg。選項A正確。
2.C　在通過軌道最高點時,向心加速度豎直向下,砝碼處于失重狀態,選項A錯誤;木板和砝碼在豎直平面內做勻速圓周運動,砝碼受到重力mg,木板支持力N和靜摩擦力f,所受合外力提供向心力,由于重力mg和支持力N在豎直方向上,因此只有當砝碼所需向心力在水平方向上時靜摩擦力有最大值,最大靜摩擦力必須大于或等于砝碼所需的向心力,即μN≥m,此時在豎直方向上N=mg,故v≤,選項B錯誤,C正確;在最低點,N1-mg=m,在最高點,mg-N2=m,則N1-N2=2m≤2μmg,選項D錯誤。
3.C　當轉動的角速度ω逐漸增大時,小球可能只受重力和細繩的拉力,選項A錯誤;小球在水平面內做勻速圓周運動時,細繩的拉力在豎直方向的分力與水平面對小球的支持力的合力大小等于小球的重力大小,細繩的拉力在水平方向的分力提供小球運動的向心力,當轉動的角速度ω逐漸增大時,所需向心力逐漸增大,細繩的拉力逐漸增大,而當小球離開水平面后,角速度增大時,繩子與豎直方向的夾角變大,拉力變大,選項B錯誤;要使小球剛好不離開水平面,則有mgtan θ=mω2r,其中tan θ=,r=,聯立解得ω=,選項C正確;若小球離開了水平面,則角速度大于,選項D錯誤。
4.解析 當小球以速度v經內軌道最高點時,小球僅受重力,重力充當向心力,有mg=m,當小球以速度2v經內軌道最高點時,小球受重力mg和向下的支持力N,如圖所示,合力充當向心力,有mg+N=m,又由牛頓第三定律得到,小球對軌道的壓力與軌道對小球的支持力相等,N'=N,由以上三式得到,N'=3mg。
答案 3mg
5.解析 (1)靜摩擦力最小為零,對M
T=Mr
對m
T-mg=0
聯立得ω0=2 rad/s。
(2)轉盤角速度最大時,M所受最大靜摩擦力指向O,對M
T+Mg=Mr
對m
T-mg=0
聯立得ωm= rad/s。
答案 (1)2 rad/s　(2) rad/s
6.解析 對小球受力分析,得
在最低點處F1-mg=m2·
所以F1=mg,方向向上,為拉力。
在最高點處,設球受桿拉力為F2,
F2+mg=m2·
所以F2=-mg,故知F2方向向上,為支持力。
答案 mg,支持力　mg,拉力
7.B　在最高點時,繩對小球的拉力和重力的合力提供向心力,則得mg+T=m,解得T=v2-mg,由圖像知,T=0時,v2=b。圖像的斜率k=,則,得繩長L=,選項A錯誤;當v2=0時,T=-a,可得-a=-mg,得g=,選項B正確;當v2=c時,可得T=·c-mg=-a,選項C錯誤;只有v2≥b,在最高點繩子的拉力T≥0,小球才能在豎直平面內做完整的圓周運動,選項D錯誤。
8.C　小車恰好不脫離軌道的條件是在最高點滿足mg=m。小車沿軌道內側做圓周運動的過程中,只有重力做功,機械能守恒。設小車在A處獲得的最小初速度為vA,由機械能守恒定律得=mgr+mv2,解得vA=,選項C正確。
9.A　栗子在最高點恰好不脫離時,有mg=,解得ω=,要使栗子到達滾筒最高處前與筒壁脫離,則ω<,故A正確,B錯誤;栗子脫離滾筒的位置與其質量無關,故C錯誤;若栗子到達最高點附近時脫離滾筒,由于栗子此時的速度不為零,因此栗子的運動不是自由落體運動,故D錯誤。
10.解析 由于A和A、B整體受到的靜摩擦力均提供向心力,故對A,有μ1mAg≥mAω2r,對A、B整體,有(mA+mB)ω2r≤μ2(mA+mB)g,解得ω≤ rad/s。
答案
11.解析 (1)根據題意,在A點由牛頓第二定律有
mg=m
解得vA=。
(2)根據題意,在C點由牛頓第二定律有
N-mg=m
解得N=(7-)mg
由牛頓第三定律可知,此時對軌道的壓力為
N'=N=(7-)mg。
(3)根據題意,在F點時,由牛頓第二定律有mg+F1=m
解得F1=mg
由牛頓第三定律可知,此時對管道的壓力為
F1'=F1=mg。
答案 (1)　(2)(7-)mg　(3)mg
12.解析 對小球受力分析,如圖所示,
當BC繩恰好拉直,但沒有拉力存在時,
有T1cos 30°=mg
T1sin 30°=mlsin 30°·
解得ω1=2.40 rad/s
當AC繩恰好拉直,但沒有拉力存在時,有T2cos 45°=mg
T2sin 45°=mlsin 30°·,解得ω2=3.16 rad/s
所以要使兩繩始終張緊,ω必須滿足的條件是
2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
答案 2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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