資源簡介

2024-2025學年五年級下冊數學易錯題型
第二單元 長方體（一）
（知識梳理+典例精講+培優必刷）
【知識點一】長方體的認識
1、長方體和正方體都是由6個面圍成的立體圖形。長方體和正方體各部分的名稱如下所示：
2、長方體的特點。
（1）長方體有8個頂點、6個面、12條棱；
（2）長方體相對的兩個面完全相同，6個面都是長方形，特殊情況下，有兩個相對的面是正方形；
（3）長方體相對的棱長度相等。
3、正方體的特點。
（1）正方體有8個頂點、6個面、12條棱；
（2）正方體的6個面完全相同，都是正方形；
（3）正方體每條棱的長度都相等。
4、長方體相交于同一頂點的三條棱的長度，分別叫作它的長、寬、高。
5、正方體可以看成是長、寬、高都相等的長方體因此它是特殊的長方體。
6、利用長方體和正方體的面、棱的特點可以判斷一些面是否可以組成長方體或正方體。
【知識點二】展開與折疊
1、長方體的展開圖是由6個小長方形（特殊情況下有2個正方形）組成的，相對的面完全隔開。
2、正方體的展開圖是由6個小正方形組成的，且相對的面也完全隔開。由于剪法不同，正方體和長方體的展開圖均有多種。
3、根據長方體和正方體的特點，可以判斷長方體和正方體的展開圖中哪兩個面是相對的。
4、由于長方體并不是每個面都相同，有時可直接根據面的大小來判斷(相對的面大小相同)。
【知識點三】長方體的表面積
1、長方體(或正方體)6個面的面積之和，叫作它的表面積。
2、長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2=(長×寬+長×高+寬×高)×2。如果用S表示長方體的表面積，a表示長，b表示寬，h表示高，那么長方體的表面積公式可以用字母表示為S=2ab+2ah+2bh 或S=2(ab+ah+bh)
3、正方體的表面積=棱長×棱長×6。如果用S表示正方體的表面積，a表示正方體的棱長，那么正方體的表面積公式可以用字母表示為S=6a2。
【知識點四】露在外面的面
1、求露在外面的面積，要先判斷露在外面的面的個數，再用一個面的面積乘個數。
2、數堆放在一起的正方體露在外面的面的個數時,要先觀察正方體的擺放特點，再從中找出露在外面的面的個數中包含的規律。
【考點一】長方體的認識
【典例一】一個長方體的長、寬、高分別為10厘米、6厘米、6厘米，那么這個長方體最多有（ ）條棱長度相等，最多有（ ）個面形狀相同，剩下的面都是（ ）形。
【典例二】民航規定手提行李箱的長寬高三邊之和一般不得超過115厘米，李叔叔拿的手提行李箱（如圖）正面周長是200cm，那么寬就不能超過（ ）cm。
【典例三】做一個長方體魚缸，用了下面幾塊長方形玻璃。（單位：dm）
（1）用上面的（ ）號玻璃做魚缸底最合適。（填序號）
（2）將做好的魚缸的各個面的面積填在表中。
下面 前面 后面 左面 右面
面積/dm2
【考點二】展開與折疊
【典例一】下圖是一個正方體的展開圖，將這個展開圖圍成一個正方體后，與“國”字相對面上的字是( )。
【典例二】折成如圖的小正方體（如左圖）需要6個相連的正方形紙片，認真思考，怎樣排列的小正方形才能剛好折成，把它的形狀畫出來。
【典例三】將一張長方形硬紙片，剪去多余部分后，折疊成一個棱長為l厘米的正方體．這張長方形硬紙片的面積最小是多少平方厘米？
【考點三】長方體的表面積
【典例一】求下面圖形的表面積。

【典例二】12個棱長的正方體，如圖繼續拼下去，拼成的新長方體，表面積減少了( )。
【典例三】一種無蓋帆布收納箱的形狀是長方體，為了讓收納箱穩固，里面配置了一個與收納箱長、寬、高完全相同的金屬支架，如下圖。
（1）焊制收納箱的金屬支架至少需要多長的金屬條？
（2）加工制作這個收納箱至少需要多大的帆布（手柄共用布0.6平方分米）？
【考點四】露在外面的面
【典例一】由15個棱長為的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，它的表面積為( )。
【典例二】4個棱長為6cm的正方體木箱放在墻角處（如圖），有( )個面露在外面，露在外面的面積是( )cm2。
【典例三】將3個棱長為5cm的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積與原來的3個正方體的表面積之和相比，會發生變化嗎？變化了多少？
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）如圖是正方形展開圖，將相對面上的字母填在括號里：A與（ ）相對，C與（ ）相對。
2．（2分）一種糖果盒子底面是邊長24cm的正方形，高是4.5cm，在外務工的媽媽買了2盒這樣的糖果盒子包裝在一起寄回去給孩子，至少需要（ ）的包裝紙。
3．（2分）如圖，把一個棱長15厘米的正方體分成3個相同長方體，表面積增加了（ ）平方厘米，每個小長方體的表面積是（ ）平方厘米。
4．（2分）如圖是一個棱長為5厘米的正方體展開圖，與4號面相對的是（ ）號，這個展開圖的面積是（ ）平方厘米。
5．（2分）淘氣在擺方塊，如果按下圖中的規律繼續往下擺，第4組有（ ）個面露在外面。
6．（2分）如圖，8個棱長為1分米的正方體塊放在墻角處，則這堆小方塊露在外面的面積是（ ）平方分米。
7．（2分）下圖是一些棱長為2厘米小正方體搭成的，堆放在墻角，則這些小正方體露在外面的面共有（ ）個，總面積為（ ）平方厘米。
8．（2分）“禮、樂、射、御、書、數”是古代讀書人必須學習的“六藝”。在正方體的6個面上分別寫著“六藝”中的一種，正方體展開后如圖，與“禮”字相對的是（ ）字。與“數”字相對的是（ ）字。
9．（2分）一個長方體相交于一個頂點的三條棱長總和為20米，這個長方體棱長總和（ ）米。
10．（2分）3厘米、4厘米、5厘米長的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成（ ）種不同形狀的長方體（包括正方體）。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）按下面的這兩種方式在桌面上擺小正方體。兩種擺法的規律都是每增加一個小正方體，露在外面的面就增加4個”。（ ）
12．（2分）一個長方體的無蓋水桶，長4分米，寬3分米，高5分米，做這個水桶至少需要94平方分米的鐵皮。（ ）
13．（2分）可以折疊成一個正方體。（ ）
14．（2分）相交于一個頂點的三條棱的長度之和是20cm，這個長方體的棱長總和是80cm。（ ）
15．（2分）一個長方體棱的總長為60厘米，相交于一個頂點的三條棱的長度和是10厘米。（ ）
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）把一個長、寬、高分別為4、2、3厘米的長方體切成兩個長方體（如圖），下面（ ）種切法表面積增加的最大。
A． B． C． D．
17．（2分）將4個長10厘米，寬6厘米，高3.2厘米的長方體盒子包裝在一起，下列（ ）種方式最省包裝紙。
A． B． C． D．
18．（2分）制作一個棱長30cm的正方體包裝盒，至少需要（ ）cm2的包裝紙。
A．360 B．900 C．5400 D．27000
19．（2分）老師準備制作一個正方體紙盒，希望大家在下圖補上兩個小正方形，你知道其中不正確的是（ ）。
A．B．C． D．
20．（2分）一個物體的形狀是長方體，下圖是它的一部分，它不可能是（ ）。
A．貨車車廂 B．數學書 C．倉庫 D．無法判斷
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）計算下面圖形的表面積。（單位：）
五、作圖題（滿分6分）
22．（6分）樂樂和天天想將下面的長方體切成兩個完全一樣的小長方體。樂樂想使切后的表面積增加154平方厘米；天天想使切后的表面積增加70平方厘米，他們該怎樣切？請你在下面的長方體上畫出切痕截面圖。
樂樂的切法：
天天的切法：
六、解答題（滿分48分）
23．（6分）大小不同的兩個正方體積木粘在一起，構成下圖所示的立體圖形，其中小積木的下底面的四個頂點，恰好是大積木的上底面各邊的中點。如果大積木的棱長為4分米，那么這個立體圖形的表面積是多少平方分米？
24．（6分）一間辦公室長8米，寬6米，高3米，用涂料粉刷辦公室的天花板和四面墻壁，除去門窗的面積40.8平方米，粉刷的面積是多少平方米？
25．（6分）一節長方體通風管長15分米，橫截面是邊長2.5分米的正方形。做10節這樣的通風管需要多少平方米的鐵皮？
26．（6分）一根鐵絲可以焊成一個長50厘米，寬40厘米，高30厘米的長方體框架，如果用同樣長的鐵絲做成一個正方體框架，這個正方體的棱長是多少厘米？
27．（6分）如圖，把9個棱長為6分米的正方體紙箱堆放在墻角，露在外面的面的面積是多少？
28．（6分）燈籠起源于2100多年前的西漢時期，是一種古老的漢族傳統工藝品。每年的農歷正月十五元宵節前后，人們都會掛起象征團圓意義的紅燈籠。元宵節就要到了，笑笑想動手制作一個長方體燈籠的框架（如下圖，單位：cm），至少需要多少厘米的木條？
29．（6分）有一個棱長是5厘米的正方體，在它的前面打一個邊長為1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一個邊長為1厘米的正方形孔洞（打通）， 兩個孔洞相交。求剩余部分的表面積是多少平方厘米？
30．（6分）下面是一個長方體展開圖的三個面（每個小方格邊長是1厘米）。
（1）請你畫出長方體展開圖的另外三個面。
（2）這個長方體的表面積是多少平方厘米？
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第二單元 長方體（一）
（知識梳理+典例精講+培優必刷）
【知識點一】長方體的認識
1、長方體和正方體都是由6個面圍成的立體圖形。長方體和正方體各部分的名稱如下所示：
2、長方體的特點。
（1）長方體有8個頂點、6個面、12條棱；
（2）長方體相對的兩個面完全相同，6個面都是長方形，特殊情況下，有兩個相對的面是正方形；
（3）長方體相對的棱長度相等。
3、正方體的特點。
（1）正方體有8個頂點、6個面、12條棱；
（2）正方體的6個面完全相同，都是正方形；
（3）正方體每條棱的長度都相等。
4、長方體相交于同一頂點的三條棱的長度，分別叫作它的長、寬、高。
5、正方體可以看成是長、寬、高都相等的長方體因此它是特殊的長方體。
6、利用長方體和正方體的面、棱的特點可以判斷一些面是否可以組成長方體或正方體。
【知識點二】展開與折疊
1、長方體的展開圖是由6個小長方形（特殊情況下有2個正方形）組成的，相對的面完全隔開。
2、正方體的展開圖是由6個小正方形組成的，且相對的面也完全隔開。由于剪法不同，正方體和長方體的展開圖均有多種。
3、根據長方體和正方體的特點，可以判斷長方體和正方體的展開圖中哪兩個面是相對的。
4、由于長方體并不是每個面都相同，有時可直接根據面的大小來判斷(相對的面大小相同)。
【知識點三】長方體的表面積
1、長方體(或正方體)6個面的面積之和，叫作它的表面積。
2、長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2=(長×寬+長×高+寬×高)×2。如果用S表示長方體的表面積，a表示長，b表示寬，h表示高，那么長方體的表面積公式可以用字母表示為S=2ab+2ah+2bh 或S=2(ab+ah+bh)
3、正方體的表面積=棱長×棱長×6。如果用S表示正方體的表面積，a表示正方體的棱長，那么正方體的表面積公式可以用字母表示為S=6a2。
【知識點四】露在外面的面
1、求露在外面的面積，要先判斷露在外面的面的個數，再用一個面的面積乘個數。
2、數堆放在一起的正方體露在外面的面的個數時,要先觀察正方體的擺放特點，再從中找出露在外面的面的個數中包含的規律。
【考點一】長方體的認識
【典例一】一個長方體的長、寬、高分別為10厘米、6厘米、6厘米，那么這個長方體最多有（ ）條棱長度相等，最多有（ ）個面形狀相同，剩下的面都是（ ）形。
【解題思路】根據長方體的特征，6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對面的面積相等，12條棱分為互相平行的3組，每組4條棱的長度相等；據此解答。
【詳細解答】一個長方體的長、寬、高分別為10厘米、6厘米、6厘米，那么這個長方體最多有8條棱長度相等，最多有4個面形狀相同，剩下的面都是正方形。
【考點點評】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征。
【典例二】民航規定手提行李箱的長寬高三邊之和一般不得超過115厘米，李叔叔拿的手提行李箱（如圖）正面周長是200cm，那么寬就不能超過（ ）cm。
【解題思路】根據題意可知，民航規定手提行李箱的長寬高三邊之和一般不得超過115厘米，根據長方形周長公式：周長＝（長＋寬）×2，長＋寬＝周長÷2，代入數據，求出李叔叔拿的手提包行李箱的長與高的和；再用115－行李箱的長與高的和，即可求出李叔叔行李箱的寬不能超過的長度，據此解答。
【詳細解答】115－200÷2
＝115－100
＝15（cm）
寬就不能超過15cm。
【典例三】做一個長方體魚缸，用了下面幾塊長方形玻璃。（單位：dm）
（1）用上面的（ ）號玻璃做魚缸底最合適。（填序號）
（2）將做好的魚缸的各個面的面積填在表中。
下面 前面 后面 左面 右面
面積/dm2
【解題思路】
（1）因為長方體魚缸無蓋，少上面，所以只有下面、前后面、左右面共5個面；結合已知的5塊長方形玻璃，只有①號玻璃是一塊，所以把①號玻璃做魚缸的底面最合適。
（2）長方體的特征：6個面都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面的面積相等。
根據長方體的特征先確定這個長方體無蓋魚缸用①號玻璃做下面，用②號、④號玻璃做前后面，用③號、⑤號玻璃做左右面；再根據長方形的面積＝長×寬，求出各個面的面積，并填寫在表格中。
【詳細解答】（1）用上面的①號玻璃做魚缸底最合適。
（2）下面：6×3＝18（dm2）
前、后面：6×4＝24（dm2）
左、右面：4×3＝12（dm2）
如下表：
下面 前面 后面 左面 右面
面積/dm2 18 24 24 12 12
【考點二】展開與折疊
【典例一】下圖是一個正方體的展開圖，將這個展開圖圍成一個正方體后，與“國”字相對面上的字是( )。
【解題思路】正方體有6個面，都是完全一樣的正方形，相對的面之間一定隔著一個正方形；想象把正方體展開圖折成正方體，取相對的面即可。
【詳細解答】把正方體的展開圖圍成一個正方體后，可以想象成：“里”是下面，“詩”是后面，“唐”是左面，“的”是右面，“中”是上面，“國”是前面。
所以，與“國”字相對面上的字是“詩”。
【典例二】折成如圖的小正方體（如左圖）需要6個相連的正方形紙片，認真思考，怎樣排列的小正方形才能剛好折成，把它的形狀畫出來。
【解題思路】正方體展開圖有11種特征，分四種類型，即：第一種：“1－4－1”結構，即第一行放1個，第二行放4個，第三行放1個；第二種：“2－2－2”結構，即每一行放2個正方形，此種結構只有一種展開圖；第三種：“3－3”結構，即每一行放3個正方形，只有一種展開圖；第四種：“1－3－2”結構，即第一行放1個正方形，第二行放3個正方形，第三行放2個正方形。根據正方體展開圖的11中特征作圖即可。
【詳細解答】如圖：
（答案不唯一）
【典例三】將一張長方形硬紙片，剪去多余部分后，折疊成一個棱長為l厘米的正方體．這張長方形硬紙片的面積最小是多少平方厘米？
【詳細解答】試題分析：將一張長方形硬紙片，剪去多余部分后，折疊成一個棱長為l厘米的正方體，剪成后的圖形應是
所以這張長方形的硬紙片的長應是4厘米，寬應是3厘米．然后再根據長方形的面積公式進行解答．
解：根據以上分析知這個長方形硬紙片的長應是4厘米，寬是3厘米，它的面積是：
4×3=12（平方厘米）．
答：這個長方形碣紙片的面積最小是12平方厘米．
【考點點評】本題的關鍵是求出這個長方形硬紙片的長和寬，再根據長方形的面積公式進行計算．
【考點三】長方體的表面積
【典例一】求下面圖形的表面積。

【解題思路】根據正方體的表面積＝棱長×棱長×6、長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據解答。
【詳細解答】7×7×6＝294（平方厘米）
正方體的表面積是294平方厘米。
（18×10＋18×12＋10×12）×2
＝（180＋216＋120）×2
＝516×2
＝1032（平方分米）
長方體的表面積是1032平方分米。
【典例二】12個棱長的正方體，如圖繼續拼下去，拼成的新長方體，表面積減少了( )。
【解題思路】根據正方體的表面積棱長棱長6，長方體的表面積（長寬長高寬高），把數據代入公式求出12個正方體的表面積和與長方體的表面積差即可。
【詳細解答】按照圖示拼成的長方體的長是12cm，寬和高都是1cm。
（cm2）
則表面積減少了22cm2。
【典例三】一種無蓋帆布收納箱的形狀是長方體，為了讓收納箱穩固，里面配置了一個與收納箱長、寬、高完全相同的金屬支架，如下圖。
（1）焊制收納箱的金屬支架至少需要多長的金屬條？
（2）加工制作這個收納箱至少需要多大的帆布（手柄共用布0.6平方分米）？
【解題思路】（1）觀察可知，金屬支架＝長×2＋寬×4＋高×4，據此列式解答。
（2）根據題意，由于是無蓋的帆布收納箱，只求出這個長方體除了上底面之外的五個表面積和再加上手柄共用的布即可。根據長方體表面積公式：長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，代入數據，即可解答。
【詳細解答】（1）5×2＋4.2×4＋3.5×4
＝10＋16.8＋14
＝26.8＋14
＝40.8（分米）
答：焊制收納箱的金屬支架至少需要40.8分米的金屬條。
（2）5×4.2＋（5×3.5＋4.2×3.5）×2＋0.6
＝21＋（17.5＋14.7）×2＋0.6
＝21＋32.2×2＋0.6
＝21＋64.4＋0.6
＝85.4＋0.6
＝86（平方分米）
答：加工制作這個收納箱至少需要86平方分米的帆布。
【考點四】露在外面的面
【典例一】由15個棱長為的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，它的表面積為( )。
【解題思路】首先數出露出的面的數量，前、后面露出的面數量都是7個，左、右面露出的面的數量都是10個，上、下面露出的面的數量都是8個。那么露出的面一共是50個，再根據正方形的面積計算公式正方形的面積＝邊長邊長，求出邊長為1的正方形的面積，再乘50即可解答。
【詳細解答】前、后面露出的面數量都是7個，左、右面露出的面的數量都是10個，上、下面露出的面的數量都是8個。
（個）
（）
由15個棱長為的小立方塊搭成的幾何體如圖所示，它的表面積是50。
【典例二】4個棱長為6cm的正方體木箱放在墻角處（如圖），有( )個面露在外面，露在外面的面積是( )cm2。
【解題思路】露在外面的是前面、上面和右面，從前面看有4個小正方形，從上面看有2個小正方形，從右面看有2個小正方形，將前面、上面和右面小正方形的個數相加是露在外面的面；先求出一個小正方形的面積，再乘露在外面的小正方形的個數即可。
【詳細解答】4＋2＋2＝8（個）
36×8＝288（cm2）
有8個面露在外面，露在外面的面積是288cm2。
【典例三】將3個棱長為5cm的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積與原來的3個正方體的表面積之和相比，會發生變化嗎？變化了多少？
【解題思路】觀察可知，將3個棱長為5cm的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積與原來的3個正方體的表面積之和相比，減少了4個接觸面的面積，用一個面的面積×4＝減少的面積，據此解答。
【詳細解答】5×5×4
＝25×4
＝100（cm2）
答：長方體的表面積與原來的3個正方體的表面積之和相比，面積減少了，減少了100cm2。
【考點點評】本題考查了立體圖形的切拼，每拼一次減少兩個面。
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）如圖是正方形展開圖，將相對面上的字母填在括號里：A與（ ）相對，C與（ ）相對。
【正確答案】F E
【解題思路】據正方體展開圖11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“1－4－1”型，根據特征進行判斷即可。
【詳細解答】由分析可得：
該展開圖中，折成正方體后，“A”和“F”相對，“B”和“D”相對，“C”和“E”相對。
綜上所述：A與F相對，C與E相對。
【考點點評】本題考查了正方體展開圖的特征，總共分四種類型，11種情況，每種情況折成正方體后哪些面相對是有規律的，可自己動手操作一下并且記住規律。
2．（2分）一種糖果盒子底面是邊長24cm的正方形，高是4.5cm，在外務工的媽媽買了2盒這樣的糖果盒子包裝在一起寄回去給孩子，至少需要（ ）的包裝紙。
【正確答案】2016
【解題思路】根據題意可知，要想需要包裝紙少，就把糖果盒子最大面重合，則重合后的長方體的長是24cm，寬是24cm，高是（4.5×2）cm，根據長方體表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，代入數據，即可解答。
【詳細解答】重合后的長方體的長：24cm；寬：24cm；高4.5×2＝9（cm）
（24×24＋24×9＋24×9）×2
＝（576＋216＋216）×2
＝（792＋216）×2
＝1008×2
＝2016（cm2）
【考點點評】利用長方體表面積公式進行解答，關鍵明確，兩個長方體最大面積重合，則長方體的表面積最小。
3．（2分）如圖，把一個棱長15厘米的正方體分成3個相同長方體，表面積增加了（ ）平方厘米，每個小長方體的表面積是（ ）平方厘米。
【正確答案】900 630
【解題思路】通過觀察圖形可知，把一個棱長15厘米的正方體分成3個相同長方體，表面積增加4個截面的面積，每個乘長方體的長是（15÷3）厘米，寬和高都是15厘米，根據長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把數據代入公式解答。
【詳細解答】15×15×4
＝225×4
＝900（平方厘米）
（5×15＋5×15＋15×15）×2
＝（75＋75＋225）×2
＝375×2
＝750（平方厘米）
表面積增加了900平方厘米，每個小長方體的表面積是750平方厘米。
【考點點評】此題主要考查正方體、長方體表面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
4．（2分）如圖是一個棱長為5厘米的正方體展開圖，與4號面相對的是（ ）號，這個展開圖的面積是（ ）平方厘米。
【正確答案】2 150
【解題思路】根據正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“1﹣4﹣1”型，折成正方體后，1號面與5號面相對，2號面與4號面相對，3號面與6號面相對。根據正方體的表面積計算公式“S＝6a2”即可計算出這個正方體的表面積，即展開圖的面積。
【詳細解答】如圖：
與4號面相對的是2號面
這個展開圖的面積是：
52×6
＝25×6
＝150（平方厘米）
這個展開圖的面積是150平方厘米。
【考點點評】此題考查了正方體展開圖的特征及正方體的表面積計算。
5．（2分）淘氣在擺方塊，如果按下圖中的規律繼續往下擺，第4組有（ ）個面露在外面。
【正確答案】17
【解題思路】第一個圖形有5個面露在外面，可以寫成：4×1＋1；第二圖形有9個面露在外面，可以寫成：4×2＋1；第三個圖形有13個面露在外面，可以寫成：4×3＋1；……，第n個圖形有4n＋1個面露在外面，當n＝4時，即可求出露在外面的面的個數。
【詳細解答】根據分析可知，當n＝4時：
4×4＋1
＝16＋1
＝17（個）
淘氣在擺方塊，如果按下圖中的規律繼續往下擺，第4組有17個面露在外面。
【考點點評】本題主要考查數與形結合的規律，發現每多1個圖就多4個面露在外面是解本題的關鍵。
6．（2分）如圖，8個棱長為1分米的正方體塊放在墻角處，則這堆小方塊露在外面的面積是（ ）平方分米。
【正確答案】15
【解題思路】看圖，數一數露在外面的有幾個面。根據正方形的面積公式，求出1個面的面積，再利用乘法求出露在外面的面的面積和。
【詳細解答】1×1×15＝15（平方分米）
則這堆小方塊露在外面的面積是15平方分米。
【考點點評】本題考查了露在外面的面，數時需細心，避免犯錯。
7．（2分）下圖是一些棱長為2厘米小正方體搭成的，堆放在墻角，則這些小正方體露在外面的面共有（ ）個，總面積為（ ）平方厘米。
【正確答案】18 72
【解題思路】從正面看有6個面露在外面，從上面看有6個面露在外面，從右面看有6個面露在外面，一共有（6＋6＋6）個面露在外面，再根據正方形面積公式：面積＝邊長×邊長，代入數據，求出正方體一個面的面積，再乘露在外面的面的個數，即可求出總面積。
【詳細解答】6＋6＋6
＝12＋6
＝18（個）
2×2×18
＝4×18
＝72（平方厘米）
下圖是一些棱長為2厘米小正方體搭成的，堆放在墻角，則這些小正方體露在外面的面共有18個?？偯娣e為72平方厘米。
【考點點評】解答本題的關鍵是數清楚露在外面的面的個數，進而解答。
8．（2分）“禮、樂、射、御、書、數”是古代讀書人必須學習的“六藝”。在正方體的6個面上分別寫著“六藝”中的一種，正方體展開后如圖，與“禮”字相對的是（ ）字。與“數”字相對的是（ ）字。
【正確答案】御 樂
【解題思路】正方體相對的面不相連；相對的兩個小正方形（中間隔著一個小正方形）是正方體的兩個對面，“z”字兩端處的小正方形是正方體的對面。據此解答。
【詳細解答】通過分析可得：與“射”字相對的字是“書”字；與“禮”字相對的是“御”字；與“數”字相對的是“樂”字。
9．（2分）一個長方體相交于一個頂點的三條棱長總和為20米，這個長方體棱長總和（ ）米。
【正確答案】80
【解題思路】根據長方體的特征，它有12條棱，分為3組，每組4條棱的長度相等，長方體棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，已知相交于一個頂點的三條棱長總和為20米，這個長方體棱長和用20×4即可。
【詳細解答】由分析可得：
20×4＝80（米）
綜上所述，一個長方體相交于一個頂點的三條棱長總和為20米，這個長方體棱長總和80米。
【考點點評】本題主要考查了長方體的特征及棱長總和的計算方法，根據棱長總和的計算方法解決問題。
10．（2分）3厘米、4厘米、5厘米長的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成（ ）種不同形狀的長方體（包括正方體）。
【正確答案】10
【解題思路】根據長方體棱長的特征：長方體有12條棱，相對的四條棱長度相等，按長度可分為三組，每一組有4條棱；正方體特征：12條棱長度都相等，據此可以列表解答。
【詳細解答】由分析可得：
一組棱長 一組棱長 一組棱長
第1種 4根3厘米 4根3厘米 4根3厘米
第2種 4根4厘米 4根4厘米 4根4厘米
第3種 4根5厘米 4根5厘米 4根5厘米
第4種 4根5厘米 4根4厘米 4根3厘米
第5種 4根5厘米 4根4厘米 4根4厘米
第6種 4根5厘米 4根3厘米 4根3厘米
第7種 4根4厘米 4根3厘米 4根3厘米
第8種 4根4厘米 4根4厘米 4根3厘米
第9種 4根5厘米 4根5厘米 4根3厘米
第10種 4根5厘米 4根5厘米 4根4厘米
如表，3厘米、4厘米、5厘米長的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成10種不同形狀的長方體（包括正方體）。
【考點點評】本題考查了長方體的棱長特征，需要學生可以列舉出所有的可能，其中不能漏項，不能重復。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）按下面的這兩種方式在桌面上擺小正方體。兩種擺法的規律都是每增加一個小正方體，露在外面的面就增加4個”。（ ）
【正確答案】×
【解題思路】第一種擺法：擺1個正方體露在外面5個面，5＝1×3＋2；擺2個正方體露在外面8個面，8＝2×3＋2；擺3個正方體露在外面11個面，11＝3×3＋2…由此可知，露在外面的面的個數＝擺幾個正方體就用幾×3＋2，每增加一個小正方體，露在外面的面就增加3個；
第二種擺法：擺1個正方體露在外面5個面，5＝1×4＋1；擺2個正方體露在外面9個面，9＝2×4＋1；擺3個正方體露在外面13個面，13＝3×4＋1…由此可知，露在外面的面的個數＝擺幾個正方體就用幾×4＋1，每增加一個小正方體，露在外面的面就增加4個。
【詳細解答】根據分析，第一種擺法每增加一個小正方體，露在外面的面就增加3個；第二種擺法每增加一個小正方體，露在外面的面就增加4個，所以原題說法錯誤。
故答案為：×
12．（2分）一個長方體的無蓋水桶，長4分米，寬3分米，高5分米，做這個水桶至少需要94平方分米的鐵皮。（ ）
【正確答案】×
【解題思路】由于是無蓋的，即這個長方體的表面積是求5個面的面積和，根據無蓋長方體表面積公式：表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，代入數據，求出這個無蓋水桶的表面積，即做這個水桶需要的鐵皮面積，即可解答。
【詳細解答】4×3＋（4×5＋3×5）×2
＝12＋（20＋15）×2
＝12＋35×2
＝12＋70
＝82（平方分米）
一個長方體的無蓋水桶，長4分米，寬3分米，高5分米，做這個水桶至少需要82平方分米的鐵皮。
原題干說法錯誤。
故答案為：×
【考點點評】熟練掌握長方體表面積公式是解答本題的關鍵。
13．（2分）可以折疊成一個正方體。（ ）
【正確答案】√
【解題思路】根據正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“3－3”型，可以折疊成一個正方體。
【詳細解答】
可以折疊成一個正方體。
原題說法正確。
故答案為：√
【考點點評】考查了正方體的展開圖，識記正方體的表面展開圖的11種情形是解決問題的關鍵。
14．（2分）相交于一個頂點的三條棱的長度之和是20cm，這個長方體的棱長總和是80cm。（ ）
【正確答案】√
【解題思路】根據長方體的特征，12條棱分為互相平行的3組（長、寬、高），每組4條棱的長度相等，已知相交于一個頂點的三條棱長總和是20cm，也就是長、寬、高的和是20cm，長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，由此列式解答。
【詳細解答】根據題意可知：長＋寬＋高＝20cm，長方體的棱長總和＝（長＋寬＋高）×4
所以：20×4＝80cm
故答案為：√
【考點點評】此題主要考查長方體的特征和棱長總和的計算方法，要明確一個長方體相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。
15．（2分）一個長方體棱的總長為60厘米，相交于一個頂點的三條棱的長度和是10厘米。（ ）
【正確答案】×
【解題思路】根據長方體棱長總和公式：棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，一個頂點的三條棱的和就是長方體的長＋寬＋高的和，用棱長總和÷4，即可取出一個頂點的三條棱長的和，據此解答。
【詳細解答】60÷4＝15（厘米）
一個長方體棱的總長為60厘米，相交于一個頂點的三條棱的長度和是15厘米。
原題說法錯誤。
故答案為：×
【考點點評】利用長方體的特征進行解答。
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）把一個長、寬、高分別為4、2、3厘米的長方體切成兩個長方體（如圖），下面（ ）種切法表面積增加的最大。
A． B． C． D．
【正確答案】A
【解題思路】觀察把一個長方體切成兩個長方體后，表面積增加的部分，再分別計算出增加的表面積即可解答。
【詳細解答】A．這種切法，表面積增加了兩個長4厘米、寬3厘米的長方形的面積，長方形的面積＝長×寬，4×3×2＝24（平方厘米），表面積增加了24平方厘米；
B．這種切法，表面積增加了兩個長4厘米、寬2厘米的長方形的面積，4×2×2＝16（平方厘米），表面積增加了16平方厘米；
C．這種切法，表面積增加了兩個長3厘米、寬2厘米的長方形的面積，3×2×2＝12（平方厘米），表面積增加了12平方厘米；
D．這種切法，表面積增加了兩個長3厘米、寬2厘米的長方形的面積，3×2×2＝12（平方厘米），表面積增加了12平方厘米。
24＞16＞12，則A種切法表面積增加的最大。
故答案為：A
【考點點評】本題主要考查立體圖形的切拼。明確每種切法表面積增加的部分是解題的關鍵。
17．（2分）將4個長10厘米，寬6厘米，高3.2厘米的長方體盒子包裝在一起，下列（ ）種方式最省包裝紙。
A． B． C． D．
【正確答案】C
【解題思路】根據各個選項可知，第一個選項的長是10厘米，寬是6厘米，高是4×3.2＝12.8（厘米）；第二個選項的長是10×2＝20（厘米），寬是6厘米，高是3.2×2＝6.4（厘米），第三個選項的寬是10厘米，長是6×2＝12（厘米），高是3.2×2＝6.4（厘米），第四個選項的長是10×2＝20（厘米），寬是6×2＝12（厘米），高是3.2厘米，根據長方體的表面積公式：（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，把數代入公式即可求解，再比較即可。
【詳細解答】A．3.2×4＝12.8（厘米）
（10×6＋10×12.8＋6×12.8）×2
＝（60＋128＋76.8）×2
＝264.8×2
＝529.6（平方厘米）
B．10×2＝20（厘米），3.2×2＝6.4（厘米）
（20×6＋20×6.4＋6×6.4）×2
＝（120＋128＋38.4）×2
＝286.4×2
＝572.8（平方厘米）
C．6×2＝12（厘米），3.2×2＝6.4（厘米）
（10×12＋10×6.4＋12×6.4）×2
＝（120＋64＋76.8）×2
＝260.8×2
＝521.6（平方厘米）
D．10×2＝20（厘米），6×2＝12（厘米）
（20×12＋20×3.2＋12×3.2）×2
＝（240＋64＋38.4）×2
＝342.4×2
＝684.8（平方厘米）
684.8＞572.8＞529.6＞521.6
所以方式包裝最省包裝紙。
故答案為：C
【考點點評】本題主要考查立體圖形的拼接以及長方體的表面積公式，熟練掌握長方體的表面積公式并靈活運用。
18．（2分）制作一個棱長30cm的正方體包裝盒，至少需要（ ）cm2的包裝紙。
A．360 B．900 C．5400 D．27000
【正確答案】C
【解題思路】已知正方體的棱長，根據正方體的表面積公式S＝6a2，代入數據解答即可判斷。
【詳細解答】30×30×6
＝900×6
＝5400（cm2）
至少需要54cm2的包裝紙。
故答案為：C
【考點點評】此題考查了正方體的表面積公式，要注意單位的換算。
19．（2分）老師準備制作一個正方體紙盒，希望大家在下圖補上兩個小正方形，你知道其中不正確的是（ ）。
A．B．C． D．
【正確答案】C
【解題思路】正方體展開圖有11種特征，分四種類型，即：第一種：“1－4－1”結構，即第一行放1個，第二行放4個，第三行放1個；第二種：“2－2－2”結構，即每一行放2個正方形，此種結構只有一種展開圖；第三種：“3－3”結構，即每一行放3個正方形，只有一種展開圖；第四種：“1－3－2”結構，即第一行放1個正方形，第二行放3個正方形，第三行放2個正方形。據此逐項分析，進行判斷解答。
【詳細解答】
A．，符合正方體展開圖的“1－4－1”結構，正確；
B．，符合正方體展開圖的“1－3－2”結構，正確；
C．，不符合正方體展開圖的特征，不正確；
D．，符合正方體展開圖的“1－4－1”結構，正確。
不正確的是。
故答案為：C
20．（2分）一個物體的形狀是長方體，下圖是它的一部分，它不可能是（ ）。
A．貨車車廂 B．數學書 C．倉庫 D．無法判斷
【正確答案】B
【解題思路】根據生活經驗、數據大小及對長度單位的認識，小學生兩臂伸開的長度大約1米，據此結合單位前的數據，數學書的長不可能是9.6米，據此選擇。
【詳細解答】由分析可得：一個物體的形狀是長方體，下圖是它的一部分，它不可能是數學書。
故答案為：B
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）計算下面圖形的表面積。（單位：）
【正確答案】148平方厘米；150平方厘米；440平方厘米
【解題思路】圖1和圖2利用長方體的表面積公式即可求得解。圖3的表面積由長方體的表面積加一周四個正方形的面積組合而成，據此解答。
【詳細解答】（6×5＋6×4＋5×4）×2
＝（30＋24＋20）×2
＝74×2
＝148（平方厘米）
5×5×6
＝25×6
＝150（平方厘米）
（15×8＋15×4＋8×4）×2＋2×2×4
＝（120＋60＋32）×2＋16
＝212×2＋16
＝424＋16
＝440（平方厘米）
五、作圖題（滿分6分）
22．（6分）樂樂和天天想將下面的長方體切成兩個完全一樣的小長方體。樂樂想使切后的表面積增加154平方厘米；天天想使切后的表面積增加70平方厘米，他們該怎樣切？請你在下面的長方體上畫出切痕截面圖。
樂樂的切法：
天天的切法：
【正確答案】見詳解
【解題思路】將長方體切成完全一樣的2個小長方體，則增加的面積是切面面積×2。樂樂想使切后的表面積增加154平方厘米，則切面面積應為：（平方厘米），是由長和高組成的面：（平方厘米），即從寬的中間點切開；天天想使切后的表面積增加70平方厘米，則切面面積為：（平方厘米），是由寬和高組成的面：（平方厘米），即從長的中間點切開得出答案。
【詳細解答】樂樂的切法：
天天的切法：
六、解答題（滿分48分）
23．（6分）大小不同的兩個正方體積木粘在一起，構成下圖所示的立體圖形，其中小積木的下底面的四個頂點，恰好是大積木的上底面各邊的中點。如果大積木的棱長為4分米，那么這個立體圖形的表面積是多少平方分米？
【正確答案】128平方分米
【解題思路】如圖，因為小積木的下底面的四個頂點，恰好是大積木的上底面各邊的中點，所以大正方體一個面的面積是小正方體一個面的面積的2倍，因此，這個立方體圖形的表面積＝大正方體的表面積＋小正方體四個側面的面積；據此解答。
【詳細解答】由分析得：
6×4×4＋4×（4×4÷2）
＝96＋4×8
＝96＋32
＝128（平方分米）
答：那么這個立體圖形的表面積是128平方分米。
【考點點評】本題主要考查組合體的表面積計算，關鍵是明確大正方體一個面的面積是小正方體一個面的面積的2倍。
24．（6分）一間辦公室長8米，寬6米，高3米，用涂料粉刷辦公室的天花板和四面墻壁，除去門窗的面積40.8平方米，粉刷的面積是多少平方米？
【正確答案】91.2平方米
【解題思路】求粉刷的面積就是求長方體去掉底面的5個面的面積和，根據長方體表面積公式：表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，代入數據，求出面積，再減去門窗的面積，即可求出粉刷的面積。
【詳細解答】8×6＋（8×3＋6×3）×2－40.8
＝48＋（24＋18）×2－40.8
＝48＋42×2－40.8
＝48＋84－40.8
＝132－40.8
＝91.2（平方米）
答：粉刷的面積是91.2平方米。
【考點點評】熟練掌握和靈活運用長方體表面積公式是解答本題的關鍵。
25．（6分）一節長方體通風管長15分米，橫截面是邊長2.5分米的正方形。做10節這樣的通風管需要多少平方米的鐵皮？
【正確答案】15平方米
【解題思路】據生活經驗可知，長方體的通風管只有側面，沒有底面，根據無底無蓋長方體的側面積公式：S＝（ah＋bh）×2，把數據代入公式求出做一節這樣的通風管需要鐵皮的面積，然后再乘做的節數即可。
【詳細解答】（15×2.5＋15×2.5）×2×10
＝75×2×10
＝150×10
＝1500（平方分米）
1500平方分米＝15平方米
答：做10節這樣的通風管需要15平方米的鐵皮。
【考點點評】此題主要考查無底無蓋長方體的側面積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
26．（6分）一根鐵絲可以焊成一個長50厘米，寬40厘米，高30厘米的長方體框架，如果用同樣長的鐵絲做成一個正方體框架，這個正方體的棱長是多少厘米？
【正確答案】40厘米
【解題思路】先根據長方體棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，求出鐵絲總長，再用鐵絲總長÷12即可。
【詳細解答】（50＋40＋30）×4
＝120×4
＝480（厘米）
480÷12＝40（厘米）
答：這個正方體的棱長是40厘米。
【考點點評】長方體和正方體都有12條棱，長方體相對的棱長度相等，正方體12條棱長度都相等。
27．（6分）如圖，把9個棱長為6分米的正方體紙箱堆放在墻角，露在外面的面的面積是多少？
【正確答案】612平方分米
【解題思路】觀察圖形可知，從正面看有6個面露在外面，從上面看有5個面露在外面；從右面看有6個面露在外面，一共有6＋5＋6＝17個面，再乘一個棱長6分米小正方形的面積，就是露在外面的面積，即可解答。
【詳細解答】（6＋5＋6）×（6×6）
＝（11＋6）×36
＝17×36
＝612（平方分米）
答：露在外面的面的面積是612平方分米。
【考點點評】本題考查如何觀察物體露在外面的面的個數是多少，利用面積公式求出所有露在外面的面的面積。
28．（6分）燈籠起源于2100多年前的西漢時期，是一種古老的漢族傳統工藝品。每年的農歷正月十五元宵節前后，人們都會掛起象征團圓意義的紅燈籠。元宵節就要到了，笑笑想動手制作一個長方體燈籠的框架（如下圖，單位：cm），至少需要多少厘米的木條？
【正確答案】240厘米
【解題思路】根據題意，求制作這個長方體燈籠的框架，需要多少厘米的木條，就是求這個長方體的棱長總和，根據長方體棱長總和公式：棱長總和＝（長＋寬＋高）×4，代入數據，即可解答。
【詳細解答】（30＋15＋15）×4
＝（45＋15）×4
＝60×4
＝240（厘米）
答：至少需要240厘米的木條。
【考點點評】利用長方體棱長總和的公式進行解答，關鍵是熟記公式。
29．（6分）有一個棱長是5厘米的正方體，在它的前面打一個邊長為1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一個邊長為1厘米的正方形孔洞（打通）， 兩個孔洞相交。求剩余部分的表面積是多少平方厘米？
【正確答案】180平方厘米
【解題思路】根據在正方體打一個邊長為1厘米的正方形空洞（打通），再在它的上面也打一個邊長為5厘米的正方形空洞（打通），可知棱長是5厘米的正方體表面積減少了4個邊長是1厘米的正方形面積，即減少的面積為：1×1×4＝4平方厘米；同時也增加了8個長是5厘米，寬是1厘米的長方形面積，再從中去掉一個棱長1厘米的正方體的表面積，根據正方體表面積公式：棱長×棱長×6；長方形面積公式：面積＝長×寬，代入數據，即可求出剩余面積，據此解答。
【詳細解答】5×5×6－1×1×4＋5×1×8－1×1×6
＝25×6－1×4＋5×8－1×6
＝150－4＋40－6
＝146＋40－6
＝186－6
＝180（平方厘米）
答：剩余部分的表面積是180平方厘米。
【考點點評】解答本題的關鍵是兩個空洞相交，需要減去重復的面積，即一個正方體的表面積，利用正方體表面積公式，長方體表面積公式，進行解答。
30．（6分）下面是一個長方體展開圖的三個面（每個小方格邊長是1厘米）。
（1）請你畫出長方體展開圖的另外三個面。
（2）這個長方體的表面積是多少平方厘米？
【正確答案】（1）見詳解；
（2）62平方厘米
【解題思路】（1）根據長方體展開圖的特征，長方體有6個面，相對的面完全相同，結合此補全長方體展開圖的另外三個面；
（2）根據長方體展開圖可知，該長方體長為5厘米，寬為3厘米，高為2厘米，根據長方體表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入數據求解即可。
【詳細解答】（1）如圖：（畫圖不唯一）
（2）表面積為：
（5×3＋2×5＋2×3）×2
＝（15＋10＋6）×2
＝（25＋6）×2
＝31×2
＝62（平方厘米）
答：這個長方體的表面積為62平方厘米。
【考點點評】本題考查了長方體展開圖的特征及應用，同時還要求熟練掌握長方體表面積公式，找出長方體的長、寬、高是解題的關鍵。
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