資源簡介

2024-2025學年四年級下冊數學易錯題型
第五單元 認識方程
（知識梳理+典例精講+培優(yōu)必刷）
【知識點一】用字母表示數
1、用字母或者含有字母的式子都可以表示數量，也可以表示數量關系。
2、字母表示數的時候，字母與數字相乘，字母與字母相乘，中間的乘號可以用小圓點代替或者省略。數字一般都寫在字母的前面。數字1與字母相乘時，1省略不寫，字母按順序寫。
3、用字母表示有關圖形的計算公式
①用C表示長方形的周長，a表示長方形的長，b表示長方形的寬，長方形周長公式:C=（a+b）×2=2（a+b）。
②用S表示長方形的面積，a表示長方形的長，b表示長方形的寬，長方形面積公式:S=a×b=ab。
③用C表示正方形的周長，a表示正方形的邊長，正方形周長公式:C=4×a=4a。
④用S表示正方形的面積，a表示正方形的邊長，正方形面積公式:S=a×a=a2。
4、用含有字母的式子表示運算律
①加法交換律:a+b=b+a。
②加法結合律:（a+b）+c=a+（b+c）。
③乘法交換律:a×b=b×a。
④乘法結合律:（a×b）×c=a×（b×c）。
⑤乘法分配律:（a±b）×c=a×c±b×c。
⑥減法的性質:a-b-c=a-（b+c）。
⑦除法的性質:a÷b÷c=a÷（b×c）
【知識點二】等量關系
1、數學術語中的等量關系
一般和差關系或倍數關系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的幾倍”等術語表示。在解題時可抓住這些術語去找等量關系。
2、常見的數量關系中的等量關系
①速度×時間=路程
②單價×數量=總價
③工作效率×工作時間=工作總量
④增長后的量=原量×（1+增長率）
3、常用的計算公式中的等量關系:
①正方形周長=邊長×4
②正方形面積=邊長×邊長
③長方形周長=（長+寬）×2
④長方形面積=長×寬
【知識點三】方程
1、方程的含義:含有未知數的等式叫方程。
2、方程必須具備的條件:①必須是等式;②必須含有未知數。
3、看圖列方程:
看圖列方程的關鍵是看懂圖意，從中找出等量關系，然后再根據等量關系列出方程。
4、方程與等式的聯(lián)系:方程是等式，但等式卻不都是方程。
【知識點四】列方程解決問題
1、列出的方程要滿足的條件
①未知數寫在等號的左邊;
②方程無單位;
③等號左右兩邊是相等的量;
④未知數不能單獨放在等號的一邊。
2、等式的性質
（1）等式的性質（一）
等式兩邊都加上（或減去）同一個數，等式仍然成立。
（2）等式的性質（二）
等式兩邊都乘（或除以同一個數0除外），等式仍然成立。
3、解方程和方程的解
求方程的解的過程叫做解方程；使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。
4、解方程步驟
（1）先寫“解”;
（2）等號對齊;
（3）運用等式性質或者加減乘除各部分間的關系（“直接想”）解方程;
（4）代入檢驗。
【考點一】用字母表示數
【典例一】爸爸今年歲，爸爸比小紅大28歲，小紅今年（ ）歲。
A．＋28 B．－28 C．＋25 D．－25
【分析】】根據“爸爸比小紅大28歲”，用爸爸的年齡減28歲，就是小紅的年齡，列式為x－28，據此選擇。
【解答】根據題干分析可得，小紅今年是x－28（歲）。
故答案為：B
【點評】本題考查了用字母表示數，比較簡單，是基礎題，只要找清數量關系即可列出算式。
【典例二】如下圖所示，甲的周長用含有字母的式子表示為( )，a×（b＋c）表示( )。
【分析】甲是長方形，長是a，寬是b，長方形的周長＝（長＋寬）×2，長和寬分別用字母表示即可。b＋c表示甲和乙拼成的長方形的長，a表示甲和乙拼成的長方形的寬，長×寬求的是長方形的面積，a×（b＋c）表示甲和乙拼成的長方形面積。
【解答】如下圖所示，甲的周長用含有字母的式子表示為2（a＋b），a×（b＋c）表示甲、乙面積和。
【點評】此題主要考查的知識點是用含有字母的式子表示數，在含有字母的乘法算式里，可以省略乘號，但是數字要寫在字母前面。
【典例三】為了慶祝國慶，學校計劃做480面小彩旗。如果平均每天做x面，做了3天，還有多少面沒有做？
【分析】根據題意可知，計劃做小彩旗的總數－3天做的面數＝沒有做的面數，3天做的面數＝平均每天做的面數×3，依此解答。
【解答】3天做的面數為：x×3＝（3x）面；
即沒有做的面數為：（480－3x）面。
答：還有（480－3x）面沒有做。
【點評】此題考查的是用字母表示數，應先找到題目中對應的關系再解答。
【考點二】等量關系
【典例一】樂樂植樹28棵，比花花植樹棵數的2倍少4棵。下列等量關系正確的是（ ）。
A．花花植樹棵數×2＋4棵＝28棵
B．花花植樹棵數×2－4棵＝28棵
C．28棵÷2－4棵＝花花植樹棵數
【分析】根據題意可知，花花植樹棵數乘2，再減4等于樂樂植樹棵數；
或者樂樂植樹棵數＋4，再除以2，即等于花花植樹棵數；據此即可解答。
【解答】A．根據分析可知，花花植樹棵數×2－4棵＝28棵，原等量關系錯誤。
B．根據分析可知，花花植樹棵數×2－4棵＝28棵，原等量關系正確。
C．根據分析可知，（28棵＋4棵）÷2＝花花植樹棵數，原等量關系錯誤。
故答案為：B
【點評】分析清楚數量之間的關系是解答本題的關鍵。
【典例二】根據下面圖意，寫出等量關系( )。
【分析】根據圖意可知：1把桌子和5把椅子一共230元，1把桌子需要80元，椅子的單價和總價都是未知的，據此寫出等量關系式。
【解答】等量關系：1張桌子的錢數＋5把椅子的錢數＝230元。
【點評】此題關鍵是根據題意找出基本數量關系。
【典例三】張阿姨買了2千克冬棗，王阿姨買了4千克香蕉，李阿姨買了1千克冬棗、1千克香蕉和3千克蘋果。如果她們三人用了同樣多的錢，那么，冬棗的價格是蘋果的多少倍？
【分析】由題意可知，2千克冬棗的價格＝4千克香蕉的價格＝1千克冬棗的價格＋1千克香蕉的價格＋3千克蘋果的價格，那么1千克冬棗的價格＝2千克香蕉的價格。4千克香蕉的價格＝2千克香蕉的價格＋1千克香蕉的價格＋3千克蘋果的價格，則1千克香蕉的價格＝3千克蘋果的價格。進而可知，2千克香蕉的價格＝6千克蘋果的價格，也就是1千克冬棗的價格＝6千克蘋果的價格。
【解答】2千克冬棗的價格＝4千克香蕉的價格
則1千克冬棗的價格＝2千克香蕉的價格
4千克香蕉的價格＝1千克冬棗的價格＋1千克香蕉的價格＋3千克蘋果的價格＝千克香蕉的價格＋1千克香蕉的價格＋3千克蘋果的價格
則1千克香蕉的價格＝3千克蘋果的價格
1千克冬棗的價格＝2千克香蕉的價格＝6千克蘋果的價格
答：冬棗的價格是蘋果的6倍。
【點評】本題考查等量代換和倍數關系，關鍵是將1千克冬棗的價格用2千克香蕉的價格代替，進而求出香蕉和蘋果價格的關系，再進一步解答。
【考點三】方程的認識
【典例一】下列式子中，方程有（ ）個。
①4x＜0.8②5s＋0.1＝8.6③75.2－6.9＝68.3④x－5.7＋2.9＝6.8
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】含有未知數的等式叫做方程。①4x＜0.8含有未知數，不是等式，不是方程；②5s＋0.1＝8.6是含有未知數的等式，是方程；③75.2－6.9＝68.3是等式，但不含未知數，不是方程；④x－5.7＋2.9＝6.8是含有未知數的等式，是方程。
【解答】①4x＜0.8、③75.2－6.9＝68.3不是方程；②5s＋0.1＝8.6、④x－5.7＋2.9＝6.8是方程。
故答案為：C
【典例二】看圖回答問題。
（1）圖中哪一段表示（400－x）元，哪一段表示（400＋y）元？
（2）根據上圖，你能列出兩個不同的方程嗎？
【分析】（1）觀察上圖可知，整個線段表示900元，整個線段由是260元、x元、y元組成，其中260元加x元等于400元，所以260元的一段表示（400－x）元；（400＋y）元等于900元，900元所示的線段表示（400＋y）元。
（2）根據260元的一段表示（400－x）元，可以列出方程：400－x＝260；根據900元所示的線段表示（400＋y）元，可以列出方程：400＋y＝900；據此即可解答。
【解答】（1）根據分析可知，260元所示的線段表示（400－x）元，900元所示的線段表示（400＋y）元。
（2）根據上圖，列出兩個不同的方程為：260＋x＝400和400＋y＝900。（答案不唯一）
【點評】分析清楚圖上各種量之間的關系，再作解答。
【考點四】解方程
【典例一】李老師買一部手機花了512元，比原價便宜了35元，這部手機的原價多少元？以下線段圖能正確表達題意的是（ ）。
A． B．
C． D．
【分析】分析題意可知，手機現(xiàn)價為512元，現(xiàn)價比原價便宜了35元，則手機的原價－35元＝手機的現(xiàn)價，據此解答。
【解答】解：設手機的原價為x元。
x－35＝512
x－35＋35＝512＋35
x＝547
所以，手機的現(xiàn)價為512元，原價為547元。
故答案為：C
【點評】手機的現(xiàn)價為512元，手機的現(xiàn)價比原價便宜了35元，則手機的原價大于手機的現(xiàn)價。
【典例二】四川省涼山州堅持多元化、差異化發(fā)展，突出地方特色，宜種則種、宜養(yǎng)則養(yǎng)。三河村依靠種植云木香和冬桃增加了村民的年收入。
（1）要想求出三河村種植的云木香和冬桃各多少畝，你選擇的信息是（ ）和（ ）。（填序號）
（2）根據你選擇的信息列方程解答。
【分析】（1）根據A、B、C提供的信息，選擇可以求出云木香和冬桃面積的兩條信息即可。
（2）根據信息B“云木香的面積比冬桃的2倍多260畝”，設種植冬桃的面積為畝，則種植云木香的面積為（2＋260）畝；
根據信息A“種植云木香的面積比冬桃多630畝”可得等量關系：云木香的面積－冬桃的面積＝云木香比冬桃多的面積，據此列出方程，并求解。
【解答】（1）要想求出三河村種植的云木香和冬桃各多少畝，我選擇的信息是A和B。
（答案不唯一）
（2）解：設種植冬桃的面積為畝。
2＋260－＝630
＋260＝630
＋260－260＝630－260
＝370
云木香：370＋630＝1000（畝）
答：種植云木香1000畝，冬桃370畝。
【點評】本題考查列方程解決問題，從題目中找到等量關系，按等量關系列出方程。
【典例三】買文具。
（1）買12支鉛筆和12個卷筆刀，100元夠嗎？
（2）尺子的單價比橡皮擦單價的2倍少1.6元，橡皮擦的單價是多少？（列方程解答）
【分析】（1）把鉛筆和卷筆刀的單價分別乘上12，計算出買12支鉛筆和12個卷筆刀需要的總金額，再和100進行比較，判斷100元夠不夠；
（2）設橡皮擦的的單價是x，根據尺子單價和橡皮擦的數量關系，進行列方程。
【解答】（1）0.3×12＋7.7×12
＝（0.3＋7.7）×12
＝8×12
＝96（元）
96元＜100元
答：100元夠。
（2）解：設橡皮擦的單價是x元。
2x－1.6＝2.4
2x－1.6＋1.6＝2.4＋1.6
2x＝4
2x÷2＝4÷2
x＝2
答：橡皮擦的單價是2元。
【點評】本題考查的是列方程解決實際問題，關鍵是找出等量關系式，要注意的是在解方程的過程中要認真細心，嚴格按照解方程步驟。
【考點五】列方程解決問題
【典例一】洗衣機廠去年每日生產260臺洗衣機，受疫情影響今年產量不佳，去年的平均日產量比今年的2.5倍少40臺，今年平均日產洗衣機（ ）臺。
A．120 B．88 C．104 D．690
【分析】根據題目可知，可以設今年的平均日產量為x臺，由于去年的平均日產量比今年的2.5倍少40臺，即今年的日產量×2.5－40＝去年的日產量，據此即可列出方程，再根據等式的性質解方程即可。
【解答】解：設今年平均日產洗衣機x臺。
2.5x－40＝260
2.5x＝260＋40
2.5x＝300
x＝300÷2.5
x＝120
所以今年平均日產洗衣機120臺。
故答案為：A
【點評】本題主要考查方程的應用，找準等量關系是解題的關鍵。
【典例二】雨燕是長距離飛行最快的鳥，每時可飛行170千米，它的速度比信鴿飛行速度的2倍還多22千米。信鴿每小時飛行多少千米？（列方程解答）
【分析】根據題意，雨燕的飛行速度比信鴿飛行速度的2倍還多22千米，確定等量關系為：雨燕的飛行速度＝信鴿的飛行速度×2＋22，已知雨燕飛行速度為170千米，信鴿的飛行速度是未知量，我們可以設信鴿的飛行速度是x千米，根據等量關系列方程即可。
【解答】解：設信鴿每小時飛行x千米。
2x＋22＝170
2x＋22－22＝170－22
2x＝148
2x÷2＝148÷2
x＝74
答：信鴿每小時飛行74千米。
【點評】理解信鴿和雨燕飛行速度的關系是解答本題的關鍵。
【典例三】老師買來一些鉛筆獎給三好學生，如果其中二人每人分4支，其余每人分2支，則多出4支；如果其中一人分6支，其余每人分4支，則又缺12支。老師買來多少支鉛筆？班上一共有多少名三好學生？
【分析】兩種發(fā)放方式的鉛筆的數量相等，所以（三好學生人數－2）×2＋4×2＋4＝（三好學生人數－1）×4＋6－12，設三好學生有x名，根據等量關系式列出方程，求出三好學生人數，再求鉛筆的支數，據此即可解答。
【解答】解：設三好學生有x名。
（x－2）×2＋4×2＋4＝（x－1）×4＋6－12
2x－4＋12＝4x－4－6
2x＋8＝4x－10
2x＋8＋10＝4x－10＋10
2x＋18＝4x
4x－2x＝18
2x＝18
x＝9
（9－2）×2＋4×2＋4
＝7×2＋8＋4
＝14＋12
＝26（支）
答：老師買來26支鉛筆，班上一共有9名三好學生。
【點評】根據題意找出等量關系是解答本題的關鍵。
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）如下圖。擺1個正方形“□”需要4根小棒，擺2個正方形需要7根小棒，擺3個正方形需要10根小棒，……照這樣擺下去，擺4個這樣的正方形，需要（ ）根小棒；31根小棒可以擺（ ）個這樣的正方形。
【答案】13 10
【分析】根據題意可知，擺1個正方形需要3×1＋1＝4（根），擺2個正方形需要3×2＋1＝7（根），擺3個正方形需要3×3＋1＝10（根）……，擺n個正方形需要（3n＋1）根，據此即可解答。
【解答】3×4＋1
＝12＋1
＝13（根）
解：設31根小棒可以擺n個這樣的正方形。
3n＋1＝31
3n＋1－1＝31－1
3n＝30
3n÷3＝30÷3
n＝10（個）
擺4個這樣的正方形，需要13根小棒；31根小棒可以擺10個這樣的正方形。
2．（2分）一個三角形中的最大內角是最小內角的5倍，第三個內角是最小內角的3倍，最小內角是（ ）°。按角分，這是一個（ ）三角形。
【答案】20 鈍角
【分析】已知三角形的內角和是180°，且最大內角是最小內角的5倍，第三個內角是最小內角的3倍，假設最小內角的度數是x，則最大內角的度數是5x，第三個內角的度數是3x，據此列方程解答即可。
按角分可以把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。銳角三角形就是三個角都是銳角的三角形，直角三角形就是有一個角是直角的三角形，鈍角三角形是有一個角是鈍角的三角形。
【解答】解：設最小的內角度數是x，則最大內角的度數是5x，第三個內角的度數是3x。
x＋5x＋3x＝180°
9x＝180°
9x÷9＝180°÷9
x＝20°
則3x＝3×20°＝60°，5x＝5×20°＝100°
這個三角形的三個內角度數分別是20°、60°、100°，這是一個鈍角三角形。
3．（2分）淘氣買了2副乒乓球拍和5盒乒乓球共用去300元，已知5盒乒乓球80元，設每副乒乓球拍元，則可列方程為（ ），解方程可知每副乒乓球拍（ ）元。
【答案】2m＋80＝300 110
【分析】根據數量關系每副乒乓球拍的價錢×2＋5盒乒乓球80元＝共用去300元，則可列方程為2m＋80＝300；再根據等式的性質1和2，先等式兩邊同時減去80，再等式兩邊同時除以2解方程。
【解答】2×m＋80＝2m＋80＝300，所以可列方程為2m＋80＝300。
2m＋80＝300
解：2m＋80－80＝300－80
2m＝220
2m÷2＝220÷2
m＝110
解方程可知每副乒乓球拍110元。
4．（2分）如圖，天平平衡了，如果要拿掉南瓜x千克，天平的右邊應該拿掉（ ）千克，才能使天平繼續(xù)保持平衡。
【答案】3.4
【分析】等式的性質1是指等式兩邊都加上（或減去）同一個數，等式仍然成立。
天平平衡意味著左右兩邊的重量是相等的，可將天平左右兩邊的物品重量看作一個等式關系，所以，根據等式的性質1解方程，等式兩邊同時減去0.2求解x。
如果要拿掉南瓜x千克，為了使天平繼續(xù)保持平衡，也需要在天平的右邊拿掉與南瓜相同重量的物品，所以解方程求得x的數值就是天平右邊應該拿掉的重量。
【解答】
解：
如果要拿掉南瓜x千克，天平的右邊應該拿掉3.4千克，才能使天平繼續(xù)保持平衡。
5．（2分）全民閱讀，學習強國。周日，笑笑上午在圖書館閱讀1.2小時，下午在圖書館閱讀2小時，如果笑笑平均每小時閱讀m個字，一共閱讀了14050個字，列出方程是（ ）。
【答案】3.2m＝14050
【分析】根據等量關系：笑笑平均每小時閱讀字的個數×笑笑在圖書館閱讀的時間＝一共閱讀的字數，據此列方程即可。
【解答】1.2＋2＝3.2（小時）
笑笑在圖書館閱讀1.2小時，下午在圖書館閱讀2小時，如果笑笑平均每小時閱讀m個字，一共閱讀了14050個字，列出方程是3.2m＝14050。
6．（2分）博物館門票優(yōu)惠價格是：成人票每張70元，學生票每張35元，某天下午賣出成人票x張，學生票張，一共收入（ ）元；當，時，一共收入（ ）元。
【答案】70x＋35y 2450
【分析】根據單價×數量＝總價，分別用字母表示出成人和學生票的價錢，再相加。然后再代入字母表示的式子中計算。
【解答】70×x＝70x（元）
35×y＝35y（元）
故一共收入（70x＋35y）元
當，時
＝2450（元）
故一共收入2450元。
7．（2分）“十四冬”賽場上，山西運動員以飽滿的奮斗熱情和最佳的競技狀態(tài)，奮勇爭先、全力以赴，取得了12枚金牌，比銀牌數量的2倍少6枚，根據題意，寫出等量關系式（ ）。
【答案】銀牌數量×2－6枚＝金牌數量
【分析】根據題意，銀牌數量的2倍少6枚即是金牌的數量，即用銀牌數量乘2再減6枚，就等于金牌數量，據此列出等量關系。
【解答】等量關系式為：銀牌數量×2－6枚＝金牌數量。
8．（2分）笑笑和淘氣做手工游戲，在一個長20厘米，寬厘米的長方形紙板上剪去一個最大正方形，剩余部分的面積是（ ）平方厘米。當時，剩余部分的面積是（ ）平方厘米。
【答案】20－2 96
【分析】原長方形長20厘米，寬厘米（＜20）。剪去的最大正方形邊長應等于長方形的寬，即厘米。原長方形面積：20×＝20，正方形面積：×＝2，剩余面積：20－2，把代入剩余面積：20×12－122＝240 144＝96（平方厘米）
【解答】原長方形面積：20×＝20，正方形面積：×＝2，剩余面積：（20－2）平方厘米。
把代入20－2中
20×12－122＝240 144＝96（平方厘米）
剩余部分的面積是（20－2）平方厘米。當時，剩余部分的面積是96平方厘米。
9．（2分）1朵梅花有5個瓣，2朵梅花共有（ ）個瓣，n朵梅花共有（ ）個瓣。
【答案】10 5n
【分析】每朵梅花瓣數乘梅花朵數，可以算出2朵梅花共有（5×2）個瓣，n朵梅花共有（5×n）個瓣。
【解答】5×2＝10（個）
5×n＝5n（個）
1朵梅花有5個瓣，2朵梅花共有10個瓣，n朵梅花共有5n個瓣。
10．（2分）如圖，用小棒擺六邊形，按照這樣的方法擺下去，擺5個六邊形需要（ ）根小棒；擺n個六邊形需要（ ）根小棒。
【答案】26 5n＋1
【分析】分析題干可知：擺1個六邊形需要（5×1＋1）根小棒，擺2個需要（5×2＋1）根小棒，擺3個需要（5×3＋1）根小棒……擺n個六邊形需要（5×n＋1）根小棒，據此解答。
【解答】5×5＋1
＝25＋1
＝26（根）
5×n＋1＝（5n＋1）根
用小棒擺六邊形，按照這樣的方法擺下去，擺5個六邊形需要26根小棒；擺n個六邊形需要（5n＋1）根小棒。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）樂樂有a張彩紙，亮亮的彩紙張數比樂樂的多3張，亮亮有（a＋3）張彩紙。（ ）
【答案】√
【分析】根據題意可知，樂樂的彩紙張數＋3張＝亮亮的彩紙張數，已知樂樂有a張彩紙，則用a＋3即可求出亮亮的彩紙張數。據此解答。
【解答】根據分析可知，樂樂有a張彩紙，亮亮的彩紙張數比樂樂的多3張，亮亮有（a＋3）張彩紙。原題干說法正確。
故答案為：√
【點評】本題考查了用字母表示數，找到相應的數量關系式是解答本題的關鍵。
12．（2分）兄妹兩人共有圖書24本，哥哥的圖書本數是妹妹的3倍。其中的等量關系是：妹妹的圖書本數×3＋哥哥的圖書本數＝24。（ ）
【答案】×
【分析】根據題意可知，哥哥圖書本數＋妹妹圖書本數＝24，其中哥哥圖書本數＝妹妹圖書本數×3，綜合兩個等量關系得：妹妹圖書本數×3＋妹妹的圖書本數＝24。據此判斷即可。
【解答】兄妹兩人共有圖書24本，哥哥的圖書本數是妹妹的3倍。其中的等量關系是：妹妹的圖書本數×3＋哥哥的圖書本數＝24。相加的是兩個哥哥的圖書本數，原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。
【點評】根據題目描述數學信息找等量關系是列方程解應用題的基礎。認真讀題解答即可。
13．（2分）解方程時，應讓方程兩邊都減去3。（ ）
【答案】×
【分析】根據等式的性質1，方程兩邊應該同時加3，據此判斷即可。
【解答】x－3＝21
解：x－3＋3＝21＋3
x＝24
解方程x－3＝21時，應讓方程兩邊都減去3。原題說法錯誤。
故答案為：×
14．（2分）如果△×□＝〇（□≠0），那么〇÷□＝△。（ ）
【答案】√
【分析】等式的性質2：等式兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，所得結果還是等式；據此解答。
【解答】根據分析：
△×□＝〇（□≠0）
△×□÷□＝〇÷□
△＝〇÷□
〇÷□＝△
所以如果△×□＝〇（□≠0），那么〇÷□＝△，原題說法正確。
故答案為：√
15．（2分）若方程4x＋4＝24的解與ax－4＝16的解相同，則a＝4。（ ）
【答案】√
【分析】根據等式的性質，先計算出4x＋4＝24的解，再把4x＋4＝24的解代入到ax－4＝16中，求出a的值，再判斷對錯。
【解答】4x＋4＝24
4x＋4－4＝24－4
4x＝20
4x÷4＝20÷4
x＝5
把x＝5代入ax－4＝16中。
5a－4＝16
5a－4＋4＝16＋4
5a＝20
5a÷5＝20÷5
a＝4
原題干說法正確。
故答案為：√
【點評】本題解題的關鍵是熟練掌握解方程的方法。
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）四（1）班圖書角有圖書60本，比四（2）班的2倍少4本，四（2）班圖書角有多少本？設四年級（2）班有圖書x本，下列方程錯誤的是（ ）。
A．2x＝60－4 B．2x－4＝60 C．2x＝60＋4 D．60＋4＝2x
【答案】A
【分析】根據題意可知，四（2）班圖書角圖書的本數×2－4＝四（1）班圖書角圖書的本數，設四年級（2）班有圖書x本，根據等量關系式列方程即可解答。
【解答】解：設四年級（2）班有圖書x本。
2x－4＝60
2x－4＋4＝60＋4
2x＝60＋4
2x＝64
2x÷2＝64÷2
x＝32
故答案為：A
【點評】本題主要考查學生列方程知識的掌握，找出等量關系式是解答本題的關鍵。
17．（2分）下面是方程的有（ ）個。
① ② ③ ④ ⑤
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】方程是含有未知數的等式。方程必須具備兩個條件：（1）必須是等式；（2）必須含有未知數。據此解答。
【解答】①，它是等式且含有未知數，所以它是方程。
②，它不是等式但它含有未知數，所以它不是方程。
③，它是等式且含有未知數，所以它是方程。
④，它不是等式但它含有未知數，所以它不是方程。
⑤，它是等式但它不含有未知數，所以它不是方程。
綜上所述，方程有2個。
故答案為：B
18．（2分）已知方程☆＋x＝2.15的解是x＝0.8，則☆表示（ ）。
A．0.8 B．1.35 C．1.45 D．2.95
【答案】B
【分析】根據題意，將x＝0.8代入原方程中，則☆＋0.8＝2.15，用和減去其中一個加數等于另一個加數，用2.15－0.8即可求出☆表示多少，據此選擇即可。
【解答】2.15－0.8＝1.35
☆表示1.35。
故答案為：B
19．（2分）近年來，深圳推進綠色低碳交通發(fā)展，新能源車輛等推廣應用走在全球前列。深圳某汽車制造廠計劃全年生產新能源汽車a輛，實際比計劃每月多生產b輛，則該廠實際每月生產新能源汽車（ ）輛。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意得，深圳某汽車制造廠計劃全年生產新能源汽車a輛，實際比計劃每月多生產b輛，那么用a÷12求出計劃每月生產的輛數，然后再加上b即可算出該廠實際每月生產新能源汽車多少輛。
【解答】根據分析可知：a÷12＋b即該廠實際每月生產新能源汽車的輛數。
故答案為：B
20．（2分）一定與3x（x＞0）相等的是（ ）。
A．x＋3 B．x＋x＋x C． D．x
【答案】B
【分析】乘法是幾個相同的數相加的簡便運算，據此分析每個選項，選出一定相等的即可。
【解答】A．x＋3是x和3相加，不是3個x相加，與3x不相等；
B．x＋x＋x＝3x，是3個x相加，與3x相等；
C．x×x×x，是3個x相乘，只有x＝1時，與3x相等，其他都不相等；
D．x ＝ x×x×x，是3個x相乘，只有x＝1時，與3x相等，其他都不相等。
一定相等的是x＋x＋x。
故答案為：B
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）解方程。
x－8＝15 5.2＋x＝10.6
9x＝54 3x÷2＝12
【答案】x＝23；x＝5.4
x＝6；x＝8
【分析】（1）仔細觀察方程及數據特點可知，方程兩邊同時加上8即可解答。
（2）仔細觀察方程及數據特點可知，方程兩邊同時減去5.2即可解答。
（3）仔細觀察方程及數據特點可知，方程兩邊同時除以9即可解答。
（4）仔細觀察方程及數據特點可知，方程兩邊同時乘2可以算出3x的值，然后方程兩邊再同時除以3即可解答。
【解答】x－8＝15
解：x－8＋8＝15＋8
x＝23
5.2＋x＝10.6
解：5.2＋x－5.2＝10.6－5.2
x＝5.4
9x＝54
解：9x÷9＝54÷9
x＝6
3x÷2＝12
解：3x÷2×2＝12×2
3x＝24
3x÷3＝24÷3
x＝8
五、解答題（滿分54分）
22．（6分）2024年6月9日是第17個國際檔案日，今年宣傳主題為“筑夢現(xiàn)代化 奮斗蘭臺人”。目前我國已有15項檔案文獻入選世界記憶名錄，17項檔案文獻入選世界記憶亞太地區(qū)名錄，數量位居世界前列，彰顯了中華文明對世界文明的重要貢獻。實驗小學檔案館第一個書架上有115份檔案，比第二個書架上檔案數量的3倍多4份，第二個書架上有多少份檔案？（列方程解答）
【答案】x＝37
【分析】根據題意找到等量關系是第二個書架上檔案數量×3＋4＝第一個書架上有115份檔案，然后設未知量第二個書架上有x份檔案，把數據代入關系式列方程，利用等式性質1和2解方程。
【解答】解：第二個書架上有x份檔案。
3x＋4＝115
3x＋4－4＝115－4
3x＝111
3x÷3＝111÷3
x＝37
答：第二個書架上有37份檔案。
23．（6分）某玩具廠5月份生產一款玩具905個，下半月比上半月生產個數的2倍少127個，上半月生產了多少個？（列方程求解）
【答案】344個
【分析】由題意得，假設上半月生產的玩具個數為x，下半月比上半月生產個數的2倍少127個，那么下半月生產的玩具個數為：2x－127。玩具廠5月份一共生產了玩具905個，據此列出等量關系為：上半月生產的玩具個數＋下半月生產的玩具個數＝905。然后根據等量關系式列出方程并解方程即可。
【解答】解：設上半月生產了x個玩具
x＋2x－127＝905
3x－127＝905
3x－127＋127＝905＋127
3x＝1032
3x÷3＝1032÷3
x＝344
答：上半月生產了344個玩具。
24．（6分）一輛客車每小時行駛60千米，從甲地到乙地，行駛了t小時。
（1）用含有字母的式子表示出客車從甲地到乙地行駛的總路程？
（2）當t＝4時，客車從甲地到乙地行駛的總路程是多少千米？
【答案】（1）（60t）千米；（2）240千米
【分析】（1）速度×時間＝路程，據此表示出客車從甲地到乙地行駛的總路程；
（2）將t＝4代入（1）得出的式子中，求出客車從甲地到乙地行駛的總路程是多少千米。
【解答】（1）客車從甲地到乙地行駛的總路程用字母表示為（60t）千米。
（2）60t
＝60×4
＝240（千米）
答：客車從甲地到乙地行駛的總路程是240千米。
25．（6分）1970年中國發(fā)射了獨立自主研制的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，邁出了走向太空的第一步。2020年“嫦娥五號”完成了月球采樣返回之旅。從“東方紅一號”到“嫦娥五號”，中國成功發(fā)射了三百個航天器，俗稱“三百星”。完成第一個“百星”用了41年時間，比第三個“百星”所用時間的13倍還多2年。完成第三個“百星”用了多少年？（用方程解答）
【答案】3年
【分析】根據題意可知，發(fā)射第三個“百星”所用時間×13＋2年＝發(fā)射第一個“百星”所用的時間，據此設發(fā)射第三個“百星”用了x年，列方程為13x＋2＝41，然后解出方程即可。
【解答】解：設發(fā)射第三個“百星”用了x年。
13x＋2＝41
13x＋2－2＝41－2
13x＝39
13x÷13＝39÷13
x＝3
答：我國達成第三個“百星”用了3年。
26．（6分）習近平主席說：“我希望北京乃至全中國都能夠藍天常在，青山常在，綠水常在，讓孩子們都在良好的生態(tài)環(huán)境之中?！蹦承＝M織四、五年級植樹，植樹情況如下表：
共植120棵 四年級 3個班 平均每個班植16棵
五年級 4個班 平均每個班植？棵
五年級平均每個班植樹多少棵？（列方程解答）
【答案】18棵
【分析】先根據總棵數－五年級班數×平均每班植樹棵數＝四年級班數×平均每班植樹棵數列方程，再利用等式性質1和2解方程。
等式的性質1：等式兩邊同時加上或減去同一個數，左右兩邊仍然相等。
等式的性質2：等式兩邊同時乘同一個數，或除以同一個不為0的數，左右兩邊仍然相等。
【解答】解：設五年級平均每個班植x棵。
120－4x＝3×16
120－4x＝48
4x＝120－48
4x＝72
4x÷4＝72÷4
X＝18
答：五年級平均每個班植18棵。
27．（6分）課后服務時間，四年級學健美操的有73人，比學硬筆書法人數的2倍多19人。學硬筆書法的有多少人？（列方程解答）
【答案】27人
【分析】根據題意可知，學硬筆書法人數×2＋19＝學健美操的人數，設學硬筆書法的有x人，據此列方程解答。
【解答】解：設學硬筆書法的有x人。
2x＋19＝73
2x＋19－19＝73－19
2x＝54
2x÷2＝54÷2
x＝27
答：學硬筆書法的有27人。
28．（6分）蜂蜜的功效有改善睡眠、增強抵抗力、消除疲勞等，是一種營養(yǎng)豐富的天然滋養(yǎng)食品。峰峰家有一罐蜂蜜，上周用去了0.33千克，這周媽媽又買來1.5千克，這時峰峰家有2.87千克蜂蜜。峰峰家原來有多少千克蜂蜜？（列方程解答）
【答案】1.7千克
【分析】先找到等量關系，原來蜂蜜的重量－用去的重量＋后來購買的重量＝現(xiàn)有的蜂蜜重量，設峰峰家原來有x千克蜂蜜，據此列方程x－0.33＋1.5＝2.87，然后解方程即可。
【解答】解：設峰峰家原來有x千克蜂蜜。
x－0.33＋1.5＝2.87
x＋1.17＝2.87
x＋1.17－1.17＝2.87－1.17
x＝1.7
答：峰峰家原來有1.7千克蜂蜜。
29．（6分）張阿姨買了2千克冬棗，王阿姨買了4千克香蕉，李阿姨買了1千克冬棗、1千克香蕉和3千克蘋果。如果她們三人用了同樣多的錢，那么，冬棗的價格是蘋果的多少倍？
【答案】6倍
【分析】由題意可知，2千克冬棗的價格＝4千克香蕉的價格＝1千克冬棗的價格＋1千克香蕉的價格＋3千克蘋果的價格，那么1千克冬棗的價格＝2千克香蕉的價格。4千克香蕉的價格＝2千克香蕉的價格＋1千克香蕉的價格＋3千克蘋果的價格，則1千克香蕉的價格＝3千克蘋果的價格。進而可知，2千克香蕉的價格＝6千克蘋果的價格，也就是1千克冬棗的價格＝6千克蘋果的價格。
【解答】2千克冬棗的價格＝4千克香蕉的價格
則1千克冬棗的價格＝2千克香蕉的價格
4千克香蕉的價格＝1千克冬棗的價格＋1千克香蕉的價格＋3千克蘋果的價格＝千克香蕉的價格＋1千克香蕉的價格＋3千克蘋果的價格
則1千克香蕉的價格＝3千克蘋果的價格
1千克冬棗的價格＝2千克香蕉的價格＝6千克蘋果的價格
答：冬棗的價格是蘋果的6倍。
【點評】本題考查等量代換和倍數關系，關鍵是將1千克冬棗的價格用2千克香蕉的價格代替，進而求出香蕉和蘋果價格的關系，再進一步解答。
30．（6分）畫出第4個和第5個圖形，并作答下面的問題。
如果照這樣畫下去，第n個圖形有多少根小棒？如果用了53根小棒，那么它是第幾個圖形？
【答案】作圖見詳解；2n＋1；26
【分析】由題意得，第1個圖形需要3根小棒，第2個圖形需要3＋2＝5（根）小棒，第3個圖形需要3＋2×2＝3＋4＝7（根）小棒，第4個圖形需要3＋2×3＝3＋6＝9（根）小棒……由此發(fā)現(xiàn)：在一個圖形中，除了第一個三角形需要3根小棒，剩下的三角形都只需要2根小棒。所以在第n個圖形中，第一個三角形需要3根小棒，剩下的（n－1）個三角形都只需要2根小棒，據此算出第n個圖形需要多少根小棒即可。如果用了53根小棒，也就是前面用n表示出來的式子的值是53，直接將值代入并求出n的值即可。
【解答】
3＋（n－1）×2＝3＋2n－2＝2n＋3－2＝（2n＋1）根
如果用了53根小棒，那么2n＋1＝53，2n＝53－1＝52，n＝52÷2＝26。
答：如果照這樣畫下去，第n個圖形有（2n＋1）根小棒。如果用了53根小棒，那么它是第26個圖形。
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第五單元 認識方程
（知識梳理+典例精講+培優(yōu)必刷）
【知識點一】用字母表示數
1、用字母或者含有字母的式子都可以表示數量，也可以表示數量關系。
2、字母表示數的時候，字母與數字相乘，字母與字母相乘，中間的乘號可以用小圓點代替或者省略。數字一般都寫在字母的前面。數字1與字母相乘時，1省略不寫，字母按順序寫。
3、用字母表示有關圖形的計算公式
①用C表示長方形的周長，a表示長方形的長，b表示長方形的寬，長方形周長公式:C=（a+b）×2=2（a+b）。
②用S表示長方形的面積，a表示長方形的長，b表示長方形的寬，長方形面積公式:S=a×b=ab。
③用C表示正方形的周長，a表示正方形的邊長，正方形周長公式:C=4×a=4a。
④用S表示正方形的面積，a表示正方形的邊長，正方形面積公式:S=a×a=a2。
4、用含有字母的式子表示運算律
①加法交換律:a+b=b+a。
②加法結合律:（a+b）+c=a+（b+c）。
③乘法交換律:a×b=b×a。
④乘法結合律:（a×b）×c=a×（b×c）。
⑤乘法分配律:（a±b）×c=a×c±b×c。
⑥減法的性質:a-b-c=a-（b+c）。
⑦除法的性質:a÷b÷c=a÷（b×c）
【知識點二】等量關系
1、數學術語中的等量關系
一般和差關系或倍數關系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的幾倍”等術語表示。在解題時可抓住這些術語去找等量關系。
2、常見的數量關系中的等量關系
①速度×時間=路程
②單價×數量=總價
③工作效率×工作時間=工作總量
④增長后的量=原量×（1+增長率）
3、常用的計算公式中的等量關系:
①正方形周長=邊長×4
②正方形面積=邊長×邊長
③長方形周長=（長+寬）×2
④長方形面積=長×寬
【知識點三】方程
1、方程的含義:含有未知數的等式叫方程。
2、方程必須具備的條件:①必須是等式;②必須含有未知數。
3、看圖列方程:
看圖列方程的關鍵是看懂圖意，從中找出等量關系，然后再根據等量關系列出方程。
4、方程與等式的聯(lián)系:方程是等式，但等式卻不都是方程。
【知識點四】列方程解決問題
1、列出的方程要滿足的條件
①未知數寫在等號的左邊;
②方程無單位;
③等號左右兩邊是相等的量;
④未知數不能單獨放在等號的一邊。
2、等式的性質
（1）等式的性質（一）
等式兩邊都加上（或減去）同一個數，等式仍然成立。
（2）等式的性質（二）
等式兩邊都乘（或除以同一個數0除外），等式仍然成立。
3、解方程和方程的解
求方程的解的過程叫做解方程；使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。
4、解方程步驟
（1）先寫“解”;
（2）等號對齊;
（3）運用等式性質或者加減乘除各部分間的關系（“直接想”）解方程;
（4）代入檢驗。
【考點一】用字母表示數
【典例一】爸爸今年歲，爸爸比小紅大28歲，小紅今年（ ）歲。
A．＋28 B．－28 C．＋25 D．－25
【典例二】如下圖所示，甲的周長用含有字母的式子表示為( )，a×（b＋c）表示( )。
【典例三】為了慶祝國慶，學校計劃做480面小彩旗。如果平均每天做x面，做了3天，還有多少面沒有做？
【考點二】等量關系
【典例一】樂樂植樹28棵，比花花植樹棵數的2倍少4棵。下列等量關系正確的是（ ）。
A．花花植樹棵數×2＋4棵＝28棵
B．花花植樹棵數×2－4棵＝28棵
C．28棵÷2－4棵＝花花植樹棵數
【典例二】根據下面圖意，寫出等量關系( )。
【典例三】張阿姨買了2千克冬棗，王阿姨買了4千克香蕉，李阿姨買了1千克冬棗、1千克香蕉和3千克蘋果。如果她們三人用了同樣多的錢，那么，冬棗的價格是蘋果的多少倍？
【考點三】方程的認識
【典例一】下列式子中，方程有（ ）個。
①4x＜0.8②5s＋0.1＝8.6③75.2－6.9＝68.3④x－5.7＋2.9＝6.8
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例二】看圖回答問題。
（1）圖中哪一段表示（400－x）元，哪一段表示（400＋y）元？
（2）根據上圖，你能列出兩個不同的方程嗎？
【考點四】解方程
【典例一】李老師買一部手機花了512元，比原價便宜了35元，這部手機的原價多少元？以下線段圖能正確表達題意的是（ ）。
A． B．
C． D．
【典例二】四川省涼山州堅持多元化、差異化發(fā)展，突出地方特色，宜種則種、宜養(yǎng)則養(yǎng)。三河村依靠種植云木香和冬桃增加了村民的年收入。
（1）要想求出三河村種植的云木香和冬桃各多少畝，你選擇的信息是（ ）和（ ）。（填序號）
（2）根據你選擇的信息列方程解答。
【典例三】買文具。
（1）買12支鉛筆和12個卷筆刀，100元夠嗎？
（2）尺子的單價比橡皮擦單價的2倍少1.6元，橡皮擦的單價是多少？（列方程解答）
【考點五】列方程解決問題
【典例一】洗衣機廠去年每日生產260臺洗衣機，受疫情影響今年產量不佳，去年的平均日產量比今年的2.5倍少40臺，今年平均日產洗衣機（ ）臺。
A．120 B．88 C．104 D．690
【典例二】雨燕是長距離飛行最快的鳥，每時可飛行170千米，它的速度比信鴿飛行速度的2倍還多22千米。信鴿每小時飛行多少千米？（列方程解答）
【典例三】老師買來一些鉛筆獎給三好學生，如果其中二人每人分4支，其余每人分2支，則多出4支；如果其中一人分6支，其余每人分4支，則又缺12支。老師買來多少支鉛筆？班上一共有多少名三好學生？
一、填空題（滿分20分）
1．（2分）如下圖。擺1個正方形“□”需要4根小棒，擺2個正方形需要7根小棒，擺3個正方形需要10根小棒，……照這樣擺下去，擺4個這樣的正方形，需要（ ）根小棒；31根小棒可以擺（ ）個這樣的正方形。
2．（2分）一個三角形中的最大內角是最小內角的5倍，第三個內角是最小內角的3倍，最小內角是（ ）°。按角分，這是一個（ ）三角形。
3．（2分）淘氣買了2副乒乓球拍和5盒乒乓球共用去300元，已知5盒乒乓球80元，設每副乒乓球拍元，則可列方程為（ ），解方程可知每副乒乓球拍（ ）元。
4．（2分）如圖，天平平衡了，如果要拿掉南瓜x千克，天平的右邊應該拿掉（ ）千克，才能使天平繼續(xù)保持平衡。
5．（2分）全民閱讀，學習強國。周日，笑笑上午在圖書館閱讀1.2小時，下午在圖書館閱讀2小時，如果笑笑平均每小時閱讀m個字，一共閱讀了14050個字，列出方程是（ ）。
6．（2分）博物館門票優(yōu)惠價格是：成人票每張70元，學生票每張35元，某天下午賣出成人票x張，學生票張，一共收入（ ）元；當，時，一共收入（ ）元。
7．（2分）“十四冬”賽場上，山西運動員以飽滿的奮斗熱情和最佳的競技狀態(tài)，奮勇爭先、全力以赴，取得了12枚金牌，比銀牌數量的2倍少6枚，根據題意，寫出等量關系式（ ）。
8．（2分）笑笑和淘氣做手工游戲，在一個長20厘米，寬厘米的長方形紙板上剪去一個最大正方形，剩余部分的面積是（ ）平方厘米。當時，剩余部分的面積是（ ）平方厘米。
9．（2分）1朵梅花有5個瓣，2朵梅花共有（ ）個瓣，n朵梅花共有（ ）個瓣。
10．（2分）如圖，用小棒擺六邊形，按照這樣的方法擺下去，擺5個六邊形需要（ ）根小棒；擺n個六邊形需要（ ）根小棒。
二、判斷題（滿分10分）
11．（2分）樂樂有a張彩紙，亮亮的彩紙張數比樂樂的多3張，亮亮有（a＋3）張彩紙。（ ）
12．（2分）兄妹兩人共有圖書24本，哥哥的圖書本數是妹妹的3倍。其中的等量關系是：妹妹的圖書本數×3＋哥哥的圖書本數＝24。（ ）
13．（2分）解方程時，應讓方程兩邊都減去3。（ ）
14．（2分）如果△×□＝〇（□≠0），那么〇÷□＝△。（ ）
15．（2分）若方程4x＋4＝24的解與ax－4＝16的解相同，則a＝4。（ ）
三、選擇題（滿分10分）
16．（2分）四（1）班圖書角有圖書60本，比四（2）班的2倍少4本，四（2）班圖書角有多少本？設四年級（2）班有圖書x本，下列方程錯誤的是（ ）。
A．2x＝60－4 B．2x－4＝60 C．2x＝60＋4 D．60＋4＝2x
17．（2分）下面是方程的有（ ）個。
① ② ③ ④ ⑤
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
18．（2分）已知方程☆＋x＝2.15的解是x＝0.8，則☆表示（ ）。
A．0.8 B．1.35 C．1.45 D．2.95
19．（2分）近年來，深圳推進綠色低碳交通發(fā)展，新能源車輛等推廣應用走在全球前列。深圳某汽車制造廠計劃全年生產新能源汽車a輛，實際比計劃每月多生產b輛，則該廠實際每月生產新能源汽車（ ）輛。
A． B． C． D．
20．（2分）一定與3x（x＞0）相等的是（ ）。
A．x＋3 B．x＋x＋x C． D．x
四、計算題（滿分6分）
21．（6分）解方程。
x－8＝15 5.2＋x＝10.6
9x＝54 3x÷2＝12
五、解答題（滿分54分）
22．（6分）2024年6月9日是第17個國際檔案日，今年宣傳主題為“筑夢現(xiàn)代化 奮斗蘭臺人”。目前我國已有15項檔案文獻入選世界記憶名錄，17項檔案文獻入選世界記憶亞太地區(qū)名錄，數量位居世界前列，彰顯了中華文明對世界文明的重要貢獻。實驗小學檔案館第一個書架上有115份檔案，比第二個書架上檔案數量的3倍多4份，第二個書架上有多少份檔案？（列方程解答）
23．（6分）某玩具廠5月份生產一款玩具905個，下半月比上半月生產個數的2倍少127個，上半月生產了多少個？（列方程求解）
24．（6分）一輛客車每小時行駛60千米，從甲地到乙地，行駛了t小時。
（1）用含有字母的式子表示出客車從甲地到乙地行駛的總路程？
（2）當t＝4時，客車從甲地到乙地行駛的總路程是多少千米？
25．（6分）1970年中國發(fā)射了獨立自主研制的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，邁出了走向太空的第一步。2020年“嫦娥五號”完成了月球采樣返回之旅。從“東方紅一號”到“嫦娥五號”，中國成功發(fā)射了三百個航天器，俗稱“三百星”。完成第一個“百星”用了41年時間，比第三個“百星”所用時間的13倍還多2年。完成第三個“百星”用了多少年？（用方程解答）
26．（6分）習近平主席說：“我希望北京乃至全中國都能夠藍天常在，青山常在，綠水常在，讓孩子們都在良好的生態(tài)環(huán)境之中。”某校組織四、五年級植樹，植樹情況如下表：
共植120棵 四年級 3個班 平均每個班植16棵
五年級 4個班 平均每個班植？棵
五年級平均每個班植樹多少棵？（列方程解答）
27．（6分）課后服務時間，四年級學健美操的有73人，比學硬筆書法人數的2倍多19人。學硬筆書法的有多少人？（列方程解答）
28．（6分）蜂蜜的功效有改善睡眠、增強抵抗力、消除疲勞等，是一種營養(yǎng)豐富的天然滋養(yǎng)食品。峰峰家有一罐蜂蜜，上周用去了0.33千克，這周媽媽又買來1.5千克，這時峰峰家有2.87千克蜂蜜。峰峰家原來有多少千克蜂蜜？（列方程解答）
29．（6分）張阿姨買了2千克冬棗，王阿姨買了4千克香蕉，李阿姨買了1千克冬棗、1千克香蕉和3千克蘋果。如果她們三人用了同樣多的錢，那么，冬棗的價格是蘋果的多少倍？
30．（6分）畫出第4個和第5個圖形，并作答下面的問題。
如果照這樣畫下去，第n個圖形有多少根小棒？如果用了53根小棒，那么它是第幾個圖形？
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