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第3節
機械能守恒定律及其應用
一、重力勢能和彈性勢能
1.重力勢能.
路徑
重力勢能
(1)重力做功的特點.
①重力做功與________無關，只與初、末位置的高度差有關；
②重力做功引起物體__________的變化.
(2)重力勢能.
舉高
mgh
標量
①概念：物體由于被________而具有的能.
②表達式：Ep＝________；
③矢標性：重力勢能是________，正負表示其大小.
(3)重力做功與重力勢能變化的關系.
減少
減少量
①定性關系：重力對物體做正功，重力勢能就________；重
力對物體做負功，重力勢能就增加；
②定量關系：重力對物體做的功等于物體重力勢能的_______.
即 WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
重力勢能具有相對性，同一物體位于同一位置時，
由于選擇不同的水平面作為零勢能面，其重力勢能的數值(包括正、
負)也不同.
越大
2.彈性勢能：物體由于發生彈性形變而具有的能量.彈簧的彈
性勢能的大小與形變量及勁度系數有關，彈簧的形變量________，
勁度系數越大，彈簧的彈性勢能越大.
二、機械能守恒定律
1.機械能：________和勢能統稱為機械能.
2.機械能守恒定律的內容：在只有________或彈力做功的物體
系統內，動能與勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變.
3.機械能守恒定律的表達式：Ek1＋Ep1＝____________.
動能
重力
Ek2＋Ep2
【基礎自測】
1.判斷下列題目的正誤.
)
(1)被舉到高處的物體的重力勢能一定不為零.(
(2)物體克服重力做功，物體的重力勢能一定增加.(
(3)任何發生彈性形變的物體都具有彈性勢能.(
)
)
(4)彈力做正功彈性勢能一定增加.(
)
(5)物體所受的合外力為零，物體的機械能一定守恒.(
)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×
2.(2023 年浙江卷)一位游客正在體驗蹦極，綁上蹦極專用的橡
)
皮繩后從跳臺縱身而下.游客從跳臺下落直到最低點過程中(
A.彈性勢能減小
B.重力勢能減小
C.機械能保持不變
D.繩一繃緊動能就開始減小
答案：B
3.(2023 年廣東肇慶二模)如圖所示，取一支質量為 m 的按
壓式圓珠筆，將筆的按壓式小帽朝下按在桌面上，無初速放手
后筆將會豎直向上彈起一定的高度 h，然后再豎直下落.重力加速
)
度為 g，不計空氣阻力.下列說法正確的是(
A.按壓時筆內部彈簧的彈性勢能增加了 mgh
B.放手后到筆向上離開桌面的過程彈簧的彈性勢能全部轉化
為筆的動能
C.筆在離開桌面后的上升階段處于超重狀態
D.筆從離開桌面到落回桌面過程的時間為
解析：因放手后筆將會豎直向上彈起一定的高度 h，該過程中
彈簧的彈性勢能轉化為重力勢能，則彈性勢能為 mgh，則按壓時
筆內部彈簧的彈性勢能增加了 mgh，A 正確.
答案：A
4.(多選)長征途中，為了突破敵方關隘，戰士爬上陡峭的山頭，
居高臨下向敵方工事內投擲手榴彈，戰士在同一位置先后投出甲、
乙兩顆質量均為 m 的手榴彈，手榴彈從投出的位置到落地點的高
度差為 h，在空中的運動可視為平拋運動，軌跡如圖所示，重力
加速度為 g，下列說法正確的有(　　)
A.甲在空中的運動時間比乙的長
B.兩手榴彈在落地前瞬間，重力的功率相等
C.從投出到落地，每顆手榴彈的重力勢能減少 mgh
D.從投出到落地，每顆手榴彈的機械能變化量為 mgh
答案：BC
熱點 1 機械能守恒的判斷方法
[熱點歸納]
1.對機械能守恒條件的理解.
(1)物體的機械能是物體的勢能加上動能，如果物體只受重力作用，
物體的機械能守恒，如果物體還受其他力作用，但其他力不做功或做
功代數和為零，則物體的機械能也守恒.
(2)物體和彈簧組成的系統的機械能包括物體的重力勢能、物體的
動能和彈簧的彈性勢能，如果只有重力和彈簧彈力做功，物體和彈簧
組成的系統機械能守恒.
2.機械能是否守恒的三種判斷方法.
【典題 1】(多選)如圖所示，下列關于機械能是否守恒
的判斷正確的是(
)
甲
乙
丙
丁
A.圖甲中，物體 A 將彈簧壓縮的過程中，A 機械能守恒
B.圖乙中，A 置于光滑水平面上，物體 B 沿光滑斜面下滑，
物體 B 機械能守恒
C.圖丙中，不計任何阻力和定滑輪質量時 A 加速下落，B 加
速上升過程中，A、B 系統機械能守恒
D.圖丁中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械
能守恒
解析：圖甲中重力和彈力做功，物體 A 和彈簧組成的系統機
械能守恒，但物體 A 機械能不守恒，A 錯誤;圖乙中物體 B 除受重
力外，還受彈力，彈力對 B 做負功，機械能不守恒，但從能量特
點看 A、B 組成的系統機械能守恒，B 錯誤;圖丙中繩子張力對 A
做負功，對 B 做正功，代數和為零，A、B 系統機械能守恒，C 正
確;圖丁中小球的動能不變，勢能不變，機械能守恒，D 正確.
答案：CD
易錯提醒
(1)機械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，
更不是合外力為零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”.
(2)對于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特
別說明，否則機械能必定不守恒.
(3)對于系統機械能是否守恒，可以根據能量的轉化進行判斷.
熱點 2 機械能守恒定律的應用
[熱點歸納]
1.機械能守恒的三種表達式.
2.一般步驟.
【典題 2】(2022 年全國乙卷)如圖所示，固定于豎直平
面內的光滑大圓環上套有一個小環.小環從大圓環
頂端 P 點由靜止開始自由下滑，在下滑過程中，
)
小環的速率正比于(
A.它滑過的弧長
B.它下降的高度
C.它到 P 點的距離
D.它與 P 點的連線掃過的面積
解析：如圖所示.設大圓環的半徑為 R，小環
下降的高度為 h，它到 P 點的距離為 L，根據機
C 正確.
答案：C
思路導引
根據小環運動過程中機械能守恒，列出方程，求
出小環下滑過程中的速率，結合表達式判斷與哪個選項符合.
【遷移拓展1】(2024 年全國甲卷)如圖，一光滑大圓環固定在
豎直平面內，質量為 m 的小環套在大圓環上，小環從靜止開始由
大圓環頂端經 Q 點自由下滑至其底部，Q 為豎直線與大圓環的切
)
點.則小環下滑過程中對大圓環的作用力大小(
A.在 Q 點最大
B.在 Q 點最小
C.先減小后增大
D.先增大后減小
解析：設大圓環半徑為 R，小環在大圓環上某處(P 點)與圓環
的作用力恰好為零，如圖所示.
設圖中夾角為θ，從大圓環頂端到 P 點過程，根據機械能守
環圓心方向的分力大于小環所需的向心力，所以大圓環對小環的
彈力背離圓心，不斷減小，從 P 點到最低點過程，小環速度變大，
小環重力和大圓環對小環的彈力合力提供向心力，所以大圓環對
小環的彈力逐漸變大，根據牛頓第三定律可知小環下滑過程中對
大圓環的作用力大小先減小后增大，C 正確.
答案：C
熱點 3 含彈簧類機械能守恒問題
[熱點歸納]
1.由于彈簧的形變會具有彈性勢能，系統的總動能將發生變
化，若系統所受的外力和除彈簧彈力以外的內力不做功，系統機
械能守恒.
2.在相互作用過程特征方面，彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長
(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大.
3.如果系統每個物體除彈簧彈力外所受合力為零，當彈簧為自
然長度時，系統內彈簧某一端的物體具有最大速度(如繃緊的彈簧
由靜止釋放).
【典題 3】(多選，2023 年廣東廣州開學考)如圖所示，物體
A、B 通過細繩及輕質彈簧連接在輕滑輪兩側，物體 A、B 的質
量分別為 2m、m.開始時細繩伸直，用手托著物體 A 使彈簧處于
原長且 A 與地面的距離為 h，物體 B 靜止在地面上，放手后物體
A 下落，與地面即將接觸時速度大小為 v，此時物體 B 對地面恰
好無壓力，不計一切摩擦及空氣阻力，重力加速度大小為 g，則下
列說法中正確的是(
)
A.物體 A 下落過程中，物體 A 和彈簧組成
的系統機械能守恒
解析：由題可知，物體 A 下落過程中，物體 B 一直靜止不動，
對于物體 A 和彈簧組成的系統，只有重力和彈簧彈力做功，則物
體 A 和彈簧組成的系統機械能守恒，A 正確;物體 A 與地面即將接
觸時，物體 B 對地面恰好無壓力，則此時彈簧的彈力為 T＝mg，
開始時彈簧處于原長，由胡克定律知 T＝kh，聯立解得彈簧的勁度
細繩對 A 的拉力也等于 mg ，對 A 根據牛頓第二定律得 2mg －
答案：AC
思路導引
彈簧的初狀態是處于原長、彈性勢能為零，末狀
態根據“物體 B 對地面恰好無壓力”可求，進而求得彈性勢能和
彈簧的彈力.根據運動過程中物體 A、B 及彈簧組成的系統機械能
守恒可分析 D 選項.
【遷移拓展 2】如圖所示，三個小球 A、B、C 的質量均為
m，A 與 B、C 間通過鉸鏈用輕桿連接，桿長為 L，B、C 置
于水平地面上，用一輕質彈簧連接，彈簧處于原
長.現 A 由靜止釋放下降到最低點，兩輕桿間夾
角α由 60°變為 120°，A、B、C 在同一豎直平
面內運動，彈簧在彈性限度內，忽略一切摩擦，
重力加速度為 g.則此下降過程中(
)
A.釋放 A 的瞬間，B 受到地面的支持力等于 1.5mg
B.A 的動能最大時，B 受到地面的支持力等于 1.5mg
C.彈簧的彈性勢能最大時，A 的加速度等于 0
D.彈簧的彈性勢能最大值和系統動能的最大值相同
解析：A 的動能最大時，設 B 和 C 受到地面的支持力大小均
為 F，此時整體在豎直方向上受力平衡，得 2F＝3mg，所以 F＝
1.5mg，B 正確.釋放 A 的瞬間，A有向下的加速度，處于失重狀態，
所以 B 受到地面的支持力小于 1.5mg， A 錯誤；當 A 到達最低點
時，動能為零，此時彈簧的彈性勢能最大，A 的加速度方向向上，
C 錯誤；當彈性勢能最大時，系統的動能為零，小球 A 減少的重
力勢能全部轉化為彈簧的彈性勢能，當系統的動能最大時，小球
A 還沒到最低點，并且是將小球 A 減少的重力勢能轉化為系統的
動能和彈簧的彈性勢能，故彈簧的彈性勢能最大值大于系統動能
的最大值，D 錯誤.
答案：B
機械能守恒定律在繩(桿)連接體模型中的應用
多個物體機械能守恒問題：根據物體間的關聯方式，常見“輕
繩連接”和“輕桿連接”兩種類型.
模型特點 通過輕繩連接的兩個物體速度大小相等
常見情景
模型提醒 如圖所示的兩物體組成的系統，在釋放 B 而使 A、B
運動的過程中，A、B的速度均沿繩子方向，在相等的
時間內 A、B 運動的路程相等，則 A、B 的速率相等
模型一 “輕繩連接”的多物體系統
【典題 4】(多選，2022 年河北卷)如圖，輕質定滑輪固定
在天花板上，物體 P 和 Q 用不可伸長的輕繩相連，懸掛在定滑
輪上，質量 mQ＞mP，t＝0時刻將兩物體由靜止釋放，物體 Q 的加
物體 Q 釋放位置處于同一高度，取 t＝0 時刻物體 P 所在水平面為
零勢能面，此時物體 Q 的機械能為 E.重力加速度大小為 g，不計
摩擦和空氣阻力，兩物體均可視為質點.下列說法正確的是(
)
A.物體 P 和 Q 的質量之比為 1∶3
答案：BCD
模型特點 通過輕繩連接的兩個物體速度大小不等
常見情景
模型提醒 如圖所示，A 放在光滑斜面上，B 穿過豎直光滑桿 PQ 下滑，將 B 的速度 v 沿繩子方向和垂直繩子方向分解，如圖所示，其中沿繩子方向的分速度 vx 與 A 的速度大小相等 B物體的速度大小總是 A 的 2 倍
【典題 5】(多選，2021 年福建廈門模擬)如圖所示，質量
均為 m 的物塊 A 和 B用不可伸長的輕繩連接，A放在傾角為 θ 的
固定光滑斜面上，而 B 能沿光滑豎直桿上下滑動，桿和滑輪中心
間的距離為 L，物塊 B 從與滑輪等高處由靜止開始下落，斜面與
桿足夠長，重力加速度為 g.在物塊 B 下落到繩與水平方向的夾角
為θ的過程中，下列說法正確的是(
)
A.開始下落時，B 的加速度大于 g
B.物塊 B 的重力勢能減小量為 mgLtan θ
C.物塊 A 的速度小于物塊 B 的速度
解析：剛開始下落時，繩子的拉力方向沿水平方向，豎直方向上
只受重力，所以加速度為 g，故A錯誤；B 下降的高度為 h＝Ltan θ，故
物塊 B 減小的重力勢能為ΔEp＝mgLtan θ，B 正確；將 B 的速度分解為
沿繩方向的速度和垂直繩方向的速度，則 vA＝v繩＝vBsin θ，則物塊 A
的速度小于物塊 B 的速度，故 C 正確；系統機械能守恒，故 mgLtan θ－
答案：BC
思路導引
判斷出開始下落時，加速度在哪個方向，即可分
析 A 選項.據圖中三角形求出 B 下落高度，B 選項得以解決.A 的速
度是 B 速度的一個分速度，B 的速度是矩形的對角線，A 的速度
是一直角邊，二者速度大小關系可明確.根據 A 與 B 減少的重力勢
能等于二者增加的動能之和，列方程可分析 D 選項.
常見
情景
模型
提醒 (1)平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角
速度相等.
(2)桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿
能對物體做功，單個物體機械能不守恒.
(3)對于桿和球組成的系統，忽略空氣阻力和各
種摩擦且沒有其他力對系統做功，則系統機械
能守恒.桿對兩個物體做的功互為相反數 兩球沿桿方向的速度大小
相等
v桿＝vacos θ
而 v桿＝vbsin θ
va
解得 vb＝
tan θ
模型二 “輕桿連接”的多物體系統
【典題 6】(多選)如圖 所示，一根長為 3L 的輕桿可繞
水平轉軸 O 轉動，兩端固定質量均為 m 的小球 A
和 B，A 到 O 的距離為 L，現使桿在豎直平面內轉
動，B 運動到最高點時，恰好對桿無作用力，兩球
均視為質點，不計空氣阻力和摩擦阻力，重力加速
度為 g.當 B 由最高點第一次轉至與 O 點等高的過
程中，下列說法正確的是(
)
A.桿對 B 球做負功
B.B 球的機械能守恒
解析：當 B 由最高點第一次轉至與 O 點等高的過程中，對于
兩球組成的系統機械能守恒，只有重力做功，所以系統的機械能
守恒.A 球的動能和重力勢能均增加，則 A 球的機械能增加，根據
系統的機械能守恒知 B 球的機械能減少，由功能關系知桿對 B 球
做負功，A 正確，B 錯誤；B 球在最高點時，由重力提供向心力，
答案：AD
模型三 鏈條類
【典題 7】(2022 年重慶模擬)如圖所示，總長為 L，質量分
布均勻的鐵鏈放在高度為 H 的光滑桌面上，有長度為 a 的一段下
垂，H＞L，重力加速度為 g，則鐵鏈剛接觸地面時速度為(　　)
解析：設鐵鏈單位長度的質量為 m，設地面為零勢能面，由
答案：D

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