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第3節(jié)
電容器
帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)
一、電容 平行板電容器的動(dòng)態(tài)分析
1.電容器.
絕緣
導(dǎo)體
絕對值
(1)組成：由兩個(gè)彼此________且又相互靠近的________組成.
(2)帶電量：一個(gè)極板所帶電量的________.
(2)公式：C＝________＝
2.電容.
比值
Q
U
容納電荷
(1)定義：電容器所帶的電量與兩極板間電勢差的________.
ΔQ
.
ΔU
106
(3)物理意義：電容是描述電容器____________本領(lǐng)大小的物
理量.電容 C 由電容器本身的構(gòu)造因素決定，與 U、Q 無關(guān).
(4)單位：1 法拉(F)＝________微法(μF)＝1012 皮法(pF).
3.平行板電容器的電容.
正對面積
εrS
4πkd
(1)影響因素：平行板電容器的電容與兩極板間的距離成反比，
與兩極板的__________成正比，并且跟板間插入的電介質(zhì)有關(guān).
(2)公式：C＝________，k 為靜電力常量.
二、帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng) 示波管
1.帶電粒子在電場中的直線運(yùn)動(dòng).
(1)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析：帶電粒子沿與電場線平行的方向進(jìn)入勻強(qiáng)
電場，受到的電場力與運(yùn)動(dòng)方向在同一條直線上，做__________
________.
勻變速直
(2)用功能觀點(diǎn)分析：電場力對帶電粒子所做的功等于粒子動(dòng)
能的變化，即 qU＝______________.
線運(yùn)動(dòng)
運(yùn)動(dòng)情景
(帶電粒子的電荷量為 q，質(zhì)量為 m，兩板電壓為 U，
兩板間距為 d，板長為 l)
研究條件 帶電粒子垂直于電場方向進(jìn)入勻強(qiáng)電場
運(yùn)動(dòng)性質(zhì) 勻變速直線運(yùn)動(dòng)(類平拋運(yùn)動(dòng))
2.帶電粒子的偏轉(zhuǎn)分析.
處
理
方
法 相關(guān)
物理量 運(yùn)動(dòng)性質(zhì) 加速度 速度 位移 離開電場時(shí)的偏轉(zhuǎn)角θ
沿初速
度方向 _________
運(yùn)動(dòng) 0 vx＝____ l＝____ vy
tan θ＝ ＝
v0
_______
沿電場
力方向 _________
_________
直線運(yùn)動(dòng) a＝____ vy＝____ y＝____
(續(xù)表)
勻速直線
v0
v0t
初速度為零
的勻加速
qU
md
qUl
mdv0
3.示波管.
(1)構(gòu)造：①________；②_________；③_______.(如圖
所示)
電子槍
偏轉(zhuǎn)電極
熒光屏
(2)工作原理.
中心
信號(hào)電壓
①如果在偏轉(zhuǎn)電極 XX′和 YY′之間都沒有加電壓，從電子槍
射出的電子沿直線運(yùn)動(dòng)，打在熒光屏________，在那里產(chǎn)生一個(gè)
亮斑.
②YY′上加的是待顯示的____________.XX′上是機(jī)器自身的鋸
齒形電壓，叫做掃描電壓.若所加掃描電壓和信號(hào)電壓的周期相同，
就可以在熒光屏上得到待測信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)變化的圖像.
【基礎(chǔ)自測】
1.判斷下列題目的正誤.
(1)電容器所帶的電荷量是指每個(gè)極板所帶電荷量的代數(shù)和.
(
)
(2)電容器的電容與電容器所帶電荷量成反比.(
(3)放電后的電容器電荷量為零，電容也為零.(
(4)帶電粒子在勻強(qiáng)電場中只能做類平拋運(yùn)動(dòng).(
)
)
)
(5)帶電粒子在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)重力一定可以忽略不計(jì).(
)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.下列電容器相關(guān)知識(shí)描述正確的是(
)
甲
乙
丙
戊
丁
A.圖甲為電容器充電示意圖，充完電后電容器上極板帶正電，
兩極板間的電壓 U 等于電源的電動(dòng)勢 E
B.圖乙為電容器放電示意圖，放電過程中電流大小保持不變
C.圖丙為電解電容器的實(shí)物圖和符號(hào)，圖丁為可變電容器及
其符號(hào)，兩種電容使用時(shí)都嚴(yán)格區(qū)分正負(fù)極
1.0 F”字樣，其中的 5.5 V
D.圖戊中的電容器上有“5.5 V
是電容器的擊穿電壓值
答案：A
3.(2024 年江西卷)極板間一蠟燭火焰帶有正離子、電子以及其
他的帶電粒子，兩極板電壓保持不變，當(dāng)電極板距離減小時(shí)，電
)
場強(qiáng)度變化和電子受力方向?yàn)?
A.電場強(qiáng)度增大，方向向左
C.電場強(qiáng)度減小，方向向左
B.電場強(qiáng)度增大，方向向右
D.電場強(qiáng)度減小，方向向右
強(qiáng)度的關(guān)系有E＝　 ，當(dāng)電極板距離減小時(shí)，電場強(qiáng)度E增大，再
解析：由題知，兩極板電壓保持不變，則根據(jù)電勢差和電場
結(jié)合題圖可知極板間的電場線水平向左，則可知電子受到的電場
力方向向右，B 正確.
答案：B
4.如圖所示，電子由靜止開始從 A 板向 B 板運(yùn)動(dòng)，到達(dá)
)
B 板的速度為 v，保持兩極板間電壓不變，則(
A.當(dāng)減小兩極板間的距離時(shí)，速度 v 增大
B.當(dāng)減小兩極板間的距離時(shí)，速度 v 減小
C.當(dāng)減小兩極板間的距離時(shí)，速度 v 不變
D.當(dāng)減小兩極板間的距離時(shí)，電子在兩極間運(yùn)
動(dòng)的時(shí)間變長
答案：C
熱點(diǎn) 1 電容器問題的動(dòng)態(tài)分析
[熱點(diǎn)歸納]
1.分析比較的思路：
(1)先確定是 Q 還是 U 不變：電容器保持與電源連接，U 不變；
電容器充電后與電源斷開，Q 不變.
項(xiàng)目 充電后與電池兩極相連 充電后與電池兩極斷開
不變量 U Q
d 變大 C 變小，Q 變小，E 變小 C 變小，U 變大，E 不變
S 變大 C 變大，Q 變大，E 不變 C 變大，U 變小，E 變小
εr 變大 C 變大，Q 變大，E 不變 C 變大，U 變小，E 變小
2.兩類動(dòng)態(tài)變化問題的比較：
考向 1 電壓不變情況下的動(dòng)態(tài)變化
【典題 1】(2022 年廣東佛山模擬)如圖所示電路中，A、B
是構(gòu)成平行板電容器的兩金屬極板，P 為 A、B 間一定點(diǎn)，在 P
點(diǎn)有一個(gè)固定的負(fù)點(diǎn)電荷.將開關(guān) S 閉合，電路穩(wěn)定后將 A 板向上
)
平移一小段距離，則下列說法正確的是(
A.電容器的電容將增大
B.A、B 兩板間的電場強(qiáng)度將增大
C.P 點(diǎn)電勢將升高
D.P 處負(fù)點(diǎn)電荷的電勢能將增大
解析：平行板電容器的決定式為 C＝
εrS
4πkd
，電路穩(wěn)定后將 A 板向
上平移一小段距離，兩極板間距離 d 增大，電容器電容 C 減小，A 錯(cuò)
誤;電容器始終與電源相連，兩端電勢差 U 不變，當(dāng) d 增大時(shí)，根據(jù)勻
度將減小，B 錯(cuò)誤;由題圖可知 B 板電勢為零，由于 P 點(diǎn)到 B 板的距離
不變，而兩板間電場強(qiáng)度減小，所以 P 點(diǎn)電勢將降低，C 錯(cuò)誤;根據(jù)
Ep＝qφ可知 P 處負(fù)點(diǎn)電荷的電勢能將增大，D 正確.
答案：D
【遷移拓展】(2024 年甘肅卷)一平行板電容器充放電電路如
圖所示.開關(guān) S 接 1，電源 E 給電容器 C 充電；開關(guān) S 接 2，電容
器 C 對電阻 R 放電.下列說法正確的是(
)
A.充電過程中，電容器兩極板間電勢差增加，充電電流增加
B.充電過程中，電容器的上極板帶正電荷、流過電阻 R 的電
流由 M 點(diǎn)流向 N 點(diǎn)
C.放電過程中，電容器兩極板間電勢差減小，放電電流減小
D.放電過程中，電容器的上極板帶負(fù)電荷，流過電阻 R 的電
流由 N 點(diǎn)流向 M 點(diǎn)
解析：充電過程中，隨著電容器帶電量的增加，電容器兩極
板間電勢差增加，充電電流在減小，A 錯(cuò)誤；根據(jù)電路圖可知，
充電過程中，電容器的上極板帶正電荷、流過電阻 R 的電流由 N
點(diǎn)流向 M 點(diǎn)，B 錯(cuò)誤；放電過程中，隨著電容器帶電量的減小，
電容器兩極板間電勢差減小，放電電流在減小，C 正確；根據(jù)電
路圖可知，放電過程中，電容器的上極板帶正電荷，流過電阻 R
的電流由 M 點(diǎn)流向 N 點(diǎn)，D 錯(cuò)誤.
答案：C
考向 2 電容器電荷量不變時(shí)的動(dòng)態(tài)變化
【典題2】(2024 年廣東深圳三模)某同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)電容式風(fēng)
力傳感器，如圖所示.將電容器與靜電計(jì)組成回路，可動(dòng)電極在風(fēng)
力作用下向右移動(dòng)，風(fēng)力越大，移動(dòng)距離越大(可動(dòng)電極不會(huì)與固
定電極接觸).若極板上電荷量保持不變，則下列說法正確的是
(
)
A.風(fēng)力越大，電容器電容越小
B.風(fēng)力越大，靜電計(jì)指針張角越小
C.風(fēng)力越大，靜電計(jì)指針張角越大
D.風(fēng)力越大，極板間電場強(qiáng)度越大
答案：B
考向 3 電容器動(dòng)態(tài)變化綜合
【典題3】(多選，2023 年四川綿陽二模)長為 l、間距為 d 的
平行金屬板水平正對放置，豎直光屏 M 到金屬板右端距離為 l，
金屬板左端連接有閉合電路，整個(gè)裝置結(jié)構(gòu)如圖所示，質(zhì)量為
m、電荷量為 q 的粒子以初速度 v0 從兩金屬板正中間自左端水
平射入，由于粒子重力作用，當(dāng)滑動(dòng)變阻器的滑片在某一位置時(shí)，
粒子恰好垂直撞在光屏上.對此過程，下列分析正確的是(
)
A.板間電場強(qiáng)度大小為
2mg
q
B.粒子在平行金屬板間的速度變化量和從金屬板右端到光屏
的速度變化量相同
C.若僅將滑片 P 向下滑動(dòng)一段后，再讓該粒子從 N 點(diǎn)以水平
速度 v0 射入板間，粒子不會(huì)垂直打在光屏上
D.若僅將兩平行板的間距變大一些，再讓該粒子從 N 點(diǎn)以水
平速度 v0 射入板間，粒子依然會(huì)垂直打在光屏上
解析：粒子先在水平放置的兩平行金屬板間做類平拋運(yùn)動(dòng)，
粒子離開電場時(shí)具有豎直向下的加速度，粒子垂直撞在光屏上，
說明豎直方向末速度等于 0，即電場中粒子具有豎直向上的加速
度，不管是在金屬板間還是離開電場后，粒子在水平方向速度沒
有變化，而且水平位移相等，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，豎直方向速度
變化量等大反向，所以有
qE－mg
m
t＝gt，可得 E＝
2mg
q
，A 正確，
B 錯(cuò)誤;若僅將滑片 P 向下滑動(dòng)一段后，R 的電壓減小，電容器的
電壓要減小，電荷量要減小，由于二極管具有單向?qū)щ娦裕?br/>電容器不能放電，電量不變，板間電壓不變，所以粒子的運(yùn)動(dòng)情
況不變，再讓該粒子從 N 點(diǎn)以水平速度 v0 射入板間，粒子依然會(huì)
垂直打在光屏上，C 錯(cuò)誤;若僅將兩平行板的間距變大一些，電容
器電容減小，但由于二極管具有單向?qū)щ娦裕噪娙萜鞑荒芊?br/>不變，所以粒子的運(yùn)動(dòng)情況不變，再讓該粒子從 N 點(diǎn)以水平速度
v0 射入板間，粒子依然會(huì)垂直打在光屏上，D 正確.
答案：AD
易錯(cuò)點(diǎn)撥
含有二極管的電路中，電容器的充、放電只有兩
種可能：一是能充不能放，二是能放不能充.前者電荷量變大，后
者電荷量不變，需要結(jié)合電容的變化分析電壓的變化.
考向 4 電容器的充電放電實(shí)驗(yàn)
【典題4】(2024年廣西卷)某同學(xué)為探究電容器充、放電過程，
設(shè)計(jì)了圖甲實(shí)驗(yàn)電路.器材如下：電容器，電源 E(電動(dòng)勢 6 V，內(nèi)
阻不計(jì))，電阻 R1＝400.0 Ω，電阻 R2＝200.0 Ω，電流傳感器，開
關(guān) S1、S2，導(dǎo)線若干.實(shí)驗(yàn)步驟如下：
甲 乙丙
(1)斷開開關(guān) S1、S2，將電流傳感器正極與 a 節(jié)點(diǎn)相連，其數(shù)
據(jù)采樣頻率為 5000 Hz，則采樣周期為________s.
(2)閉合開關(guān) S1，電容器開始充電，直至充電結(jié)束，得到充電
過程的 I-t 曲線如圖乙，由圖乙可知開關(guān) S1 閉合瞬間流經(jīng)電阻 R1
的電流為________mA(結(jié)果保留 3 位有效數(shù)字).
(3)保持開關(guān) S1 閉合，再閉合開關(guān) S2，電容器開始放電，直至
放電結(jié)束，則放電結(jié)束后電容器兩極板間電壓為________V.
(4)實(shí)驗(yàn)得到放電過程的 I-t曲線如圖丙，I-t曲線與坐標(biāo)軸所圍
面積對應(yīng)電容器釋放的電荷量為 0.0188 C，則電容器的電容 C 為
________μF.圖丙中 I-t 曲線與橫坐標(biāo)、直線 t＝1 s所圍面積對應(yīng)電
容器釋放的電荷量為 0.0038 C，則 t＝1 s時(shí)電容器兩極板間電壓為
________V(結(jié)果保留 2 位有效數(shù)字).
(2)15.0 (3)2
(4)4.7×103 2.8
熱點(diǎn) 2 帶電粒子在電場中的直線運(yùn)動(dòng)
[熱點(diǎn)歸納]
1.帶電體在勻強(qiáng)電場中直線運(yùn)動(dòng)問題的分析方法.
基本
粒子 如電子、質(zhì)子、α粒子、離子等，除有說明或明確的暗示以外，一般都不考慮重力(但并不忽略質(zhì)量)
帶電體 如液滴、油滴、塵埃、小球等，除有說明或有明確的暗示以外，一般都不能忽略重力
2.帶電粒子(體)在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)重力的處理.
考向 1 根據(jù)牛頓動(dòng)力學(xué)分析帶電粒子的直線運(yùn)動(dòng)問題
【典題 5】(多選，2023 年廣東梅州二模)
如圖所示為電子束焊接機(jī)簡易原理圖，圖中
帶箭頭的虛線表示電場線，P、Q 是電場中的
兩點(diǎn).K 為陰極，A 為陽極，兩點(diǎn)距離為 d，在
兩極之間加上高壓 U，一電子從 K 極由靜止被
加速.不考慮電子重力，元電荷為 e，則下列說
法正確的是(
)
A.AK 之間的電場強(qiáng)度為
U
d
B.P 點(diǎn)的電勢低于 Q 點(diǎn)的電勢
C.電子由 K 到 A 的電勢能減少了 eU
D.電子由 P 運(yùn)動(dòng)到 Q，電場力做負(fù)功
解析：AK 之間為非勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度不等于 ，A 錯(cuò)誤;
U
d
沿電場線方向電勢降低，則 P 點(diǎn)的電勢低于 Q 點(diǎn)的電勢，B 正確;
電場力做功等于電勢能的減少量，則ΔEp減＝eU，C 正確;電子所受
電場力方向與電場強(qiáng)度方向相反，則電子由 P 運(yùn)動(dòng)到 Q，電場力
做正功，D 錯(cuò)誤.
答案：BC
考向 2
根據(jù)功能關(guān)系處理帶電粒子在電場中的直線運(yùn)動(dòng)
問題
【典題 6】(多選，2023 年江西景德鎮(zhèn)三模)如圖所示，一質(zhì)
量為 m、電量為 q 的帶正電小滑塊，從傾角為θ的光滑絕緣斜面
上的 A 點(diǎn)由靜止下滑，經(jīng)時(shí)間 t 后立即加上沿斜面向上的勻強(qiáng)電
場，再經(jīng)時(shí)間 t 滑塊恰好過 A 點(diǎn).重力加速度大小為 g，則(　　)
解析：未加電場時(shí)，取向下為正，根據(jù)牛頓第二定律有 a＝
答案：AD
思路導(dǎo)引
小滑塊的運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)階段，兩個(gè)階段的位移等
大反向，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，由于末速度不為零導(dǎo)致速度變化量不同，
加速度不同，根據(jù)位移等大反向，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，可以求得兩個(gè)
階段加速度的關(guān)系，進(jìn)而打開突破口.
熱點(diǎn) 3 帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的偏轉(zhuǎn)
[熱點(diǎn)歸納]
1.帶電粒子在勻強(qiáng)電場中的偏轉(zhuǎn)的兩個(gè)結(jié)論：
(1)不同的帶電粒子從靜止開始經(jīng)過同一電場(U0)加速后再從
同一偏轉(zhuǎn)電場(U)射出時(shí)的偏轉(zhuǎn)角度(φ)總是相同的.
的交點(diǎn) O 為粒子水平位移的中點(diǎn)，即 O 到電場邊緣的距離為 .
(2)粒子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后，合速度的反向延長線與初速度延長線
l
2
運(yùn)動(dòng)的
分解法 一般用分解的思想來處理，即將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)分解為
沿電場力方向上的勻變速直線運(yùn)動(dòng)和垂直電場力方向上
的勻速直線運(yùn)動(dòng)
功能
關(guān)系 當(dāng)討論帶電粒子的末速度 v 時(shí)也可以從能量的角度進(jìn)行
求解：
間的電勢差
2.處理帶電粒子的偏轉(zhuǎn)問題的方法.
考向 1 帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)
【典題7】(2024年廣東湛江二模)某種負(fù)離子空氣凈化器的原
理如圖所示，由空氣和帶一價(jià)負(fù)電的灰塵顆粒組成的混合氣流進(jìn)
入由一對平行金屬板構(gòu)成的收集器.在收集器中，帶電顆粒入射時(shí)
的最大動(dòng)能為 4×106 eV，金屬板的長度為 L，金屬板的間距為 d，
且 L＝100d.在勻強(qiáng)電場作用下，帶電顆粒打到金屬板上被收集，
不考慮重力影響和顆粒間的相互作用.要使得全部顆粒被收集，兩
極板間的電勢差至少為(
)
A.1600 V
B.800 V
C.400 V
D.200 V
答案：A
考向 2 帶電粒子在電場中加速與偏轉(zhuǎn)的綜合
【典題 8】(2023 年浙江卷)如圖所示，示波管由電子槍豎
直方向偏轉(zhuǎn)電極 YY′、水平方向偏轉(zhuǎn)電極 XX′和熒光屏組成.電極
XX′的長度為 l、間距為 d、極板間電壓為 U，YY′極板間電壓為
零，電子槍加速電壓為 10U.電子剛離開金屬絲的速度為零，從電
子槍射出后沿 OO′方向進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電極.已知電子電荷量為 e，質(zhì)量
為 m，則電子(
)
答案：D
考向 3 帶電體在電場與重力場中的運(yùn)動(dòng)
解析：小球在電場中受到的電場力為 F＝qE＝10-4×5×104 N
＝5 N，小球受到的重力為 G＝mg＝0.5×10 N＝5 N，小球受力如
圖所示.
答案：BC
考向 4 帶電粒子在電場中圓周運(yùn)動(dòng)
【典題10】(2023 年浙江卷)某帶電粒子轉(zhuǎn)向器的橫截面如圖
所示，轉(zhuǎn)向器中有輻向電場.粒子從 M 點(diǎn)射入，沿著由半徑分別為
R1 和 R2 的圓弧平滑連接成的虛線(等勢線)運(yùn)動(dòng)，并從虛線上的N
點(diǎn)射出，虛線處電場強(qiáng)度大小分別為 E1 和 E2，則 R1、R2和 E1、
E2 應(yīng)滿足(　　)
解析：帶電粒子在電場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場力提供向心
答案：A
熱點(diǎn) 4 帶電粒子在交變電場中的運(yùn)動(dòng)
[熱點(diǎn)歸納]
1.此類題型一般有三種情況：一是粒子做單向直線運(yùn)動(dòng)(一般
用牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解)；二是粒子做往返運(yùn)動(dòng)(一般分段研究)；三
是粒子做偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(一般根據(jù)交變電場的特點(diǎn)分段研究).
2.解答帶電粒子在交變電場中運(yùn)動(dòng)的思維方法.
(1)注重全面分析(分析受力特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律)，抓住粒子的運(yùn)動(dòng)
具有周期性和在空間上具有對稱性的特征，求解粒子運(yùn)動(dòng)過程中
的速度、位移、做功或確定與物理過程相關(guān)的邊界條件.
(2)分析時(shí)從兩條思路出發(fā)：一是力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，根據(jù)牛頓
第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律分析；二是功能關(guān)系.
(3)注意對稱性和周期性變化關(guān)系的應(yīng)用.
【典題 11】(2023 年海南海口一模)光滑絕緣水平面上有一坐
標(biāo)系 xOy，半徑為 R 的光滑絕緣圓環(huán)固定在坐標(biāo)系內(nèi)，圓環(huán)圓心
位于坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖甲所示.圓環(huán)內(nèi)側(cè) A(0，R)處放置一個(gè)質(zhì)量為
m、電荷量為＋q 的帶電小球，為了通過電場來控制帶電小球的運(yùn)
動(dòng)，現(xiàn)在圓環(huán)內(nèi)加上水平方向的勻強(qiáng)電場.若小球由靜止釋放，經(jīng)
時(shí)間 T 沿直線運(yùn)動(dòng)到 B(R，0)處.若給小球一個(gè)沿－x 方向的初速度，
小球恰能做完整的圓周運(yùn)動(dòng).小球可視為質(zhì)點(diǎn).
(1)求勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度 E1 的大小和方向.
(2)求小球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過 A 點(diǎn)的動(dòng)能 Ek.
(3)將原電場更換為圖乙所示的交變電場(正、負(fù)號(hào)分別表示沿
y 軸負(fù)方向和正方向)，t＝0 時(shí)刻，小球在 A 點(diǎn)由靜止釋放.欲使小
球能在一個(gè)周期 T 內(nèi)不與圓環(huán)軌道相碰，求所加電場強(qiáng)度 E2 的最
大值.
甲
乙
解：(1)小球由靜止釋放，沿直線從 A 到 B，可知電場力方向
沿著 AB 方向指向 B，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得
方向由 A 指向 B.
(2)小球最容易脫軌的位置為 C 點(diǎn)，如圖所示.
小球恰能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，可知小球在 C
點(diǎn)恰好由電場力來提供向心力，則有
從 A 點(diǎn)到 C 點(diǎn)利用動(dòng)能定理
(3)若加上沿著 y 軸方向的交變電場，若小球沒有碰到軌道，
速直線運(yùn)動(dòng)，所以小球在一個(gè) T 內(nèi)返回 A 點(diǎn)，要使電場強(qiáng)度 E2 最
大，且小球能在一個(gè)周期 T 內(nèi)不與圓環(huán)軌道相碰，可知小球在 時(shí)
T
4
刻恰好運(yùn)動(dòng)到圓心，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得
等效重力場
1.內(nèi)容.
物體僅在重力場中的運(yùn)動(dòng)是最常見、最基本的運(yùn)動(dòng)，但是對
于處在勻強(qiáng)電場和重力場中物體的運(yùn)動(dòng)問題就會(huì)變得復(fù)雜一些.此
時(shí)可以將重力場與電場合二為一，用一個(gè)全新的“復(fù)合場”來代
替，可形象稱之為“等效重力場”.
2.與等效重力場對應(yīng)的概念及解釋.
3.舉例.
【典題 12】(多選，2023 年江西九江三模)如圖所示，豎直
平面內(nèi)有一個(gè)半徑為 R 的圓周，A、D 兩點(diǎn)為其水平直徑的兩端，
C、F 兩點(diǎn)為其豎直直徑的兩端.空間有與圓周平面平行的勻強(qiáng)電
場，在圓周上的 B 點(diǎn)有一粒子源，在圓周平面內(nèi)，以相同大小的
初速度 v0 沿各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為 m 的帶相同正電荷的微粒.對比
到達(dá)圓周上各點(diǎn)的微粒的能量，發(fā)現(xiàn)到達(dá) D 點(diǎn)的微粒機(jī)械能最大，
到達(dá) E 點(diǎn)的微粒動(dòng)能最大.已知重力加速度為 g，則(
)
解析：微粒從 B 到達(dá) D 點(diǎn)時(shí)機(jī)械能最大，說明從 B 到 D 電場
力做功最多，由數(shù)學(xué)關(guān)系知過 D點(diǎn)做圓的切線為電場的等勢線，即
電場沿 OD 方向，A錯(cuò)誤;在 E 點(diǎn)的微粒動(dòng)能最大，說明從B到E合
力做功最多，即重力和電場力的合力方向沿 OE 方向，根據(jù)幾何關(guān)
圓心對稱的 P 點(diǎn)時(shí)，動(dòng)能最小，從 B 點(diǎn)到 P 點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理可
答案：BC
思路導(dǎo)引 解此題應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)如果只有重力場，小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)在最高點(diǎn)
的受力特點(diǎn).
(2)在重力場和電場的復(fù)合場中，小球恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)
時(shí)在“最高點(diǎn)”的受力情況.
方法技巧 把握三點(diǎn)，合理利用“等效法”解決問題
(1)把電場力和重力合成一個(gè)等效力，稱為等效重力.
(2)等效重力的反向延長線與圓軌跡的交點(diǎn)為帶電體在等效重
力場中運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn).
(3)類比“繩球”“桿球”模型臨界值的情況進(jìn)行分析解答.
【觸類旁通】(多選，2022 年廣東模擬)如圖所示，在水平
向左且足夠大的勻強(qiáng)電場中，一長為 L 的絕緣細(xì)線一端固定于
O 點(diǎn)，另一端系著一個(gè)質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的帶正電小球，小
球靜止在 M 點(diǎn).現(xiàn)給小球一垂直于OM的初速度 v0，使其在豎直
平面內(nèi)繞 O 點(diǎn)恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，AB 為圓的豎直直徑.已知
到 B 點(diǎn)時(shí)細(xì)線突然斷裂，則下列說法正確的是(
)
相等的過程中，重力勢能減少了 mgL
A.小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能的最小值為 mgL
C.從細(xì)線斷裂到小球的動(dòng)能與 B 點(diǎn)動(dòng)能相等
的過程中，電勢能增加了 mgL
D.從細(xì)線斷裂到小球的電勢能與 B 點(diǎn)電勢能
解析：由題意等效最高點(diǎn)在 OM 連線的反向延長線與圓周的交點(diǎn)
斷裂后，當(dāng) B 點(diǎn)速度沿與等效重力反方向的分速度為零時(shí)，動(dòng)能最小.
能相等的過程中，由動(dòng)能定理知合外力做功為零，即 B 點(diǎn)速度沿與等
答案：ABD

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