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第4講　萬有引力與航天
一、開普勒行星運動定律
1.第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是　　　　　，太陽處在橢圓的一個焦點上.
2.第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積.
3.第三定律：所有行星的軌道的半長軸的　　　　　跟它的公轉周期的
　　　　的比值都相等.
橢圓
三次方
二次方
乘積
二次方
萬有引力
2.三種宇宙速度.
宇宙速度 數值/
（km·s-1） 意義
第一宇
宙速度
（環繞速度） 7.9 衛星繞地球做圓周運動的最小發射速度.若7.9 km/s≤v<11.2 km/s，物體繞　　　　運行
第二宇
宙速度
（逃逸速度） 11.2 物體掙脫地球引力束縛的最小發射速度.若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，物體繞　　　　運行
第三宇
宙速度 16.7 物體掙脫太陽引力束縛的最小發射速度.若v≥16.7 km/s，物體將脫離　　　　在宇宙空間運行
地球
太陽
太陽系
赤道平面
地球自轉
地球自轉
五、牛頓力學的局限性和相對論時空觀
1.牛頓力學的局限性.
牛頓力學只適用于　　　　　運動的物體，微觀世界要用量子力學，高速運動、大質量天體需要用相對論.
2.相對論時空觀.
（1）在狹義相對論中，物體的質量是隨物體運動速度的增大而
　　　　的.
（2）在狹義相對論中，同一物理過程發生的位移和對應時間的測量結果在不同的參考系中是　　　　的.
宏觀低速
增大
不同
（1）面積定律是對同一個行星而言的，不同的行星相等時間內掃過的面積不等.由面積定律可知，行星在近日點的速度比它在遠日點的速度大.
（2）經典力學——牛頓運動定律的適用范疇.
1.［理解開普勒行星運動定律］火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據開普勒行星運動定律可知 （　?。?br/>A.太陽位于木星運行軌道的中心
B.火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等
C.火星與木星公轉周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方
D.相同時間內，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積
C
2.［萬有引力定律］（2024年廣西卷）潮汐現象出現的原因之一是在地球的不同位置，海水受到月球的引力不相同.圖中a、B和C處單位質量的海水受月球引力大小在 （　?。?br/>A.a處最大
B.B處最大
C.C處最大
D.a、C處相等，B處最小
A
3.［計算衛星運動的參量］金星、地球和火星繞太陽的公轉均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運行的速率分別為v金、v地、v火.已知它們的軌道半徑R金A.a金>a地>a火 B.a火>a地>a金
C.v地>v火>v金 D.v火>v地>v金
A　
B
1.（2024年新課標卷）天文學家發現，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運行，其中行星GJ1002C的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質量約為太陽質量的 （　?。?br/>A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
B
D
D
考點2　衛星運行參量的分析與計算　［能力考點］
1.衛星的軌道
（1）赤道軌道：衛星的軌道在赤道平面內，同步衛星就是其中的一種.
（2）極地軌道：衛星的軌道過南北兩極，即在垂直于赤道的平面內，如極地氣象衛星.
2.地球同步衛星的特點
六個“一定”.
3.衛星的各物理量隨軌道半徑變化的規律
AC
A.該行星表面的重力加速度大小為4 m/s2
B.該行星的第一宇宙速度為7.9 km/s
C.“背罩分離”后瞬間，背罩的加速度大小為80 m/s2
D.“背罩分離”后瞬間，探測器所受重力對其做功的功率為30 kW
F=（m探+m背）g'=4 200 N，“背罩分離”后瞬間，由牛頓第二定律有F-m背g'=m背a，解得背罩的加速度大小為a=80 m/s2，C正確；“背罩分離”后瞬間，探測器所受重力對其做功的功率為P=m探g'v=1 000×4×60 W=2.4×105 W=240 kW，D錯誤.
1.（2024年廣東一模）據報道，“TRAPPIST-1恒星系統”由1顆紅矮星和7顆（如圖所示）圍繞它運行的行星組成，若地球半徑為R，則行星的半徑如下表.據推測行星g和h的密度大致相同，若行星g的第一宇宙速度為v，則行星h的第一宇宙速度約為 （　?。?br/>A.0.5v B.0.7v C.1.5v D.2.3v
行星 B C D e f g h
半徑 1.12R 1.10R 0.78R 0.91R 1.05R 1.15R 0.77R
B　
2.（2024年河北卷）（多選）2024年3月20日，“鵲橋二號”中繼星成功發射升空，為“嫦娥六號”在月球背面的探月任務提供地月間中繼通信.“鵲橋二號”采用周期為24 h的環月橢圓凍結軌道（如圖所示），近月點A距月心約為2.0×103 km，遠月點B距月心約為1.8×104 km，CD為橢圓軌道的短軸，下列說法正確的是 （　?。?br/>A.“鵲橋二號”從C經B到D的運動時間為12 h
B.“鵲橋二號”在A、B兩點的加速度大小之比約為81∶1
C.“鵲橋二號”在C、D兩點的速度方向垂直于其與月心的連線
D.“鵲橋二號”在地球表面附近的發射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
BD
考點3　衛星變軌問題?。勰芰键c］
1.必須掌握的三種運動情境
2.衛星變軌的實質
兩類變軌 離心運動 近心運動
示意圖
變軌起因 衛星速度突然增大 衛星速度突然減小
萬有引力與
向心力的
大小關系
變軌結果 轉變為橢圓軌道運動或在較大半徑圓軌道上運動 轉變為橢圓軌道運動或在較小半徑圓軌道上運動
新圓軌道上運動的速率比原軌道的小，周期比原軌道的大 新圓軌道上運動的速率比原軌道的大，周期比原軌道的小
動能減小、勢能增大、機械能增大 動能增大、勢能減小、機械能減小
例3　“天問一號”從地球發射后，在如圖甲所示的P點沿地火轉移軌道到Q點，再依次進入如圖乙所示的調相軌道和停泊軌道，則“天問一號” （　　）
A.發射速度介于7.9 km/s與11.2 km/s之間
B.從P點轉移到Q點的時間小于6個月
C.在環繞火星的停泊軌道運行的周期比在調相軌道上小
D.在地火轉移軌道運動時的速度均大于地球繞太陽的速度
C
【解析】因發射的衛星要能變軌到繞太陽轉動，則發射速度要大于第二宇宙速度，即發射速度介于11.2 km/s與16.7 km/s之間，A錯誤；因P點轉移到Q點的轉移軌道的半長軸大于地球公轉軌道半徑，則其周期大于地球公轉周期（1年共12個月），則從P點轉移到Q點的時間為軌道周期的一半時間應大于6個月，B錯誤；因在環繞火星的停泊軌道的半長軸小于調相軌道的半長軸，則由開普勒第三定律可知在環繞火星的停泊軌道運行的周期比在調相軌道上小，C正確；衛星從P點變軌時，要增大速度，此后做離心運動速度減小，則在地火轉移軌道運動時，P點速度大于地球繞太陽的速度，D錯誤.
1.（2024年安徽卷）2024年3月20日，我國探月工程四期“鵲橋二號”中繼星成功發射升空.當抵達距離月球表面某高度時，“鵲橋二號”開始進行近月制動，并順利進入捕獲軌道運行.如圖所示，軌道的半長軸約為51 900 km.后經多次軌道調整，進入凍結軌道運行，軌道的半長軸約為9 900 km，周期約為24 h.則“鵲橋二號”在捕獲軌道運行時 （　?。?br/>A.周期約為144 h
B.近月點的速度大于遠月點的速度
C.近月點的速度小于在凍結軌道運行時近月點的速度
D.近月點的加速度大于在凍結軌道運行時近月點的加速度
B　
2.如圖所示，攜帶月壤的“嫦娥五號”軌道器和返回器組合體經歷了約6天環月等待后在近月點A點火加速，從近圓軌道Ⅰ進入近月橢圓軌道Ⅱ，接著在點A再次加速，從軌道Ⅱ進入月地轉移軌道Ⅲ，經過多次姿態調整后，在軌道Ⅲ的遠月點B附近，實施軌道器和返回器分離，返回器進入預定返回軌道.已知地球質量約為月球質量的81倍，則“嫦娥五號”軌道器和返回器組合體 （　?。?br/>D
A.在軌道Ⅰ上A點的速度大于在軌道Ⅱ上A點的速度
B.在軌道Ⅰ上的運行周期大于在軌道Ⅱ上的運行周期
C.在軌道Ⅲ上A點的加速度大于在軌道Ⅱ上A點的加速度
D.在軌道Ⅲ上B點附近時，受到的地球引力大于月球引力
天體圓周運動的幾種模型
類型一　天體的三種勻速圓周運動模型
　　如圖所示，a為近地衛星，半徑為r1；B為地球同步衛星，半徑為r2；C為赤道上隨地球自轉的物體，半徑為r3.
項目 近地衛星
（r1、ω1、v1、a1） 同步衛星
（r2、ω2、v2、a2） 赤道上隨地球自轉的物體（r3、ω3、v3、a3）
向心力 萬有引力 萬有引力 萬有引力的一個分力
軌道半徑 r2>r1>r3
角速度 同步衛星的角速度與地球自轉角速度相同，故ω2=ω3
ω1>ω2=ω3
線速度 由v=rω得v2>v3
v1>v2>v3
向心加
速度 由a=ω2r得a2>a3
a1>a2>a3
1.（多選）我國“北斗”導航系統（BDS）已經開始提供全球服務，具有定位、導航、授時、5G傳輸等功能.A、B為“北斗”系統中的兩顆工作衛星，其中A是高軌道的地球靜止同步軌道衛星，B是中軌道衛星.已知地球表面的重力加速度為g，地球的自轉周期為T0，下列判斷正確的是 （　?。?br/>A.衛星A可能經過廣州上空
B.衛星B可能經過廣州上空
C.周期大小TA=T0>TB
D.向心加速度大小aABCD
2.如圖所示，a為放在赤道上相對地球靜止的物體，隨地球自轉做勻速圓周運動，B為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛星（軌道半徑約等于地球半徑），C為地球的同步衛星.下列關于a、B、C的說法中正確的是 （　　）
A.B衛星轉動線速度大于7.9 km/s
B.a、B、C做勻速圓周運動的向心加速度大小
關系為aa>aB>aC
C.a、B、C做勻速圓周運動的周期關系為TC>TB>Ta
D.在B、C中，B的線速度大
D
類型二　雙星（或三星）模型
1.運行原理分析
系統 圖示 向心力來源
可視天體繞黑洞做圓周運動 黑洞對可視天體的萬有引力提供向心力
黑洞與可視天體構成的雙星系統 彼此給對方的萬有引力提供向心力
兩顆可視天體構成的雙星系統 彼此給對方的萬有引力提供向心力
三星系統（正三角形排列） 另兩星球對其萬有引力的合力
三星系統（直線等間距排列） 另兩星球對其萬有引力的合力
2.雙星、多星問題的分析技巧
（1）根據雙星或多星的特點、規律，先確定系統的中心以及運動的軌道半徑.
（2）各星體的向心力由其他天體的萬有引力的合力提供.
（3）星體的角速度相等.
（4）星體的軌道半徑不是天體間的距離.要利用幾何知識，尋找兩者之間的關系，正確計算萬有引力和向心力.
3.（多選）中國科學家利用“慧眼”太空望遠鏡觀測到了銀河系的MAXIJ1820+070是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統，距離地球約10 000光年.根據觀測，黑洞的質量大約是太陽的8倍，恒星的質量只有太陽的一半.若已知太陽質量為M，引力常量為G，據以上信息可以估算出 （　?。?br/>A.黑洞與恒星做勻速圓周運動的軌道半徑之比
B.黑洞與恒星做勻速圓周運動的線速度大小之比
C.黑洞做勻速圓周運動的角速度大小
D.恒星的自轉周期
AB
B
知識鞏固練
1.（2024年福建卷）（多選）“巡天號”距地表400 km，“哈勃號”距地表550 km，則 （　　）
A.ω巡<ω哈 B.v巡C.T巡a哈
（本欄目對應學生用書P367~368）
CD
2.我國第45顆“北斗”衛星軌道距地面的高度約為36 000 km，是“天宮二號”空間實驗室軌道高度的90倍左右，則 （　　）
A.該衛星的速率比“天宮二號”的大
B.該衛星的周期比“天宮二號”的大
C.該衛星的角速度比“天宮二號”的大
D.該衛星的向心加速度比“天宮二號”的大
B
D
4.（2024年華師附中檢測）我國的“夸父一號”衛星在距地面高度約七百二十公里的軌道圍繞地球做勻速圓周運動，其中安置了全日面矢量磁象儀等載荷，對太陽耀斑進行觀測、預警，同步衛星離地面高度約三萬六千公里，“夸父一號” （　?。?br/>A.受到的合外力保持不變
B.運動周期等于地球自轉周期
C.對磁象儀的作用力充當其向心力
D.加速度大于同步衛星加速度
D
5.（2024年廣東模擬）2024年11月15日，“天舟八號”貨運飛船成功相會“天和”核心艙，“天和”核心艙距離地面約h=390 km，地球北極的重力加速度為g，地球赤道表面的重力加速度為g0，地球自轉的周期為T，“天和”核心艙軌道為正圓，根據題目的已知條件（引力常量G未知），下列說法錯誤的是 （　　）
A.可以求出“天舟八號”的線速度
B.可以求出地球的質量
C.可以求出地球的半徑
D.可以求出“天舟八號”的周期
B
綜合提升練
6.（2024年深圳模擬）2024年3月20日，“長征八號”火箭成功發射，將“鵲橋二號”直接送入預定地月轉移軌道.如圖所示，“鵲橋二號”在進入近月點P、遠月點A的月球捕獲橢圓軌道，開始繞月球飛行.經過多次軌道控制，“鵲橋二號”最終進入近月點P和遠月點B、周期為24小時的環月橢圓軌道.關于“鵲橋二號”的說法正確的是 （　　）
B
A.離開火箭時速度大于地球的第三宇宙速度，才能進入環月軌道
B.在捕獲軌道運行的周期大于24小時
C.在捕獲軌道上經過P點時，需要點火加速，才可能進入環月軌道
D.經過A點的加速度比經過B點時大
D
CD
9.（多選）如圖為某著陸器多次變軌后登陸火星的軌跡圖，軌道上的P、S、Q三點與火星中心在同一直線上，P、Q兩點分別是橢圓軌道的遠火星點和近火星點，且PQ=2QS（已知軌道Ⅱ為圓軌道），下列說法正確的是 （　?。?br/>A.著陸器在P點由軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需要點火減速
B.著陸器在軌道Ⅱ上由P點運動到S點的時間是著陸
器在軌道Ⅲ上由P點運動到Q點的時間的2倍
C.著陸器在軌道Ⅱ上S點與在軌道Ⅱ上P點的加速度大小相等
D.著陸器在軌道Ⅱ上S點的速度小于在軌道Ⅲ上P點速度
AC
10.已知地球質量為M，引力常量為G.將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體.忽略地球自轉影響.
（1）求地面附近的重力加速度g；
（2）求地球的第一宇宙速度v；
（3）若要利用地球繞太陽的運動估算太陽的質量，需要知道哪些相關數據？請分析說明.

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