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第2講　動能、動能定理
一、動能
1.定義：物體由于　　　　而具有的能.
2.表達式：Ek=　　　　.
3.單位： 　　　　，1 J=1 N·m=1 kg·m2/s2.
4.矢標性： 　　　量.
5.瞬時性：v是瞬時速度.
6.相對性：物體的動能相對于不同的參考系一般不同.
運動
焦耳
標
二、動能定理
1.內容：力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的　　　　.
2.表達式：W=Ek2-Ek1=　　　 　　　.
3.適用范圍.
（1）動能定理既適用于直線運動，也適用于　　　　運動.
（2）既適用于恒力做功，也適用于　　　　做功.
（3）力可以是各種性質的力，既可以同時作用，也可以不同時作用.
變化
曲線
變力
（1）一定質量的物體動能變化時，速度一定變化，但速度變化時，動能不一定變化.
（2）如果物體所受的合外力為零，那么合外力對物體做功一定為零.
（3）物體的動能不變，所受的合外力不一定為零.
1.［動能］（2024年新課標卷）“福建艦”是我國自主設計建造的首艘彈射型航空母艦.借助配重小車可以進行彈射測試，測試時配重小車被彈射器從甲板上水平彈出后，落到海面上.調整彈射裝置，使小車水平離開甲板時的動能變為調整前的4倍.忽略空氣阻力，則小車在海面上的落點與其離開甲板處的水平距離為調整前的 （　　）
A.0.25倍 B.0.5倍
C.2倍 D.4倍
C
2.［動能定理］（2024年江門月考）如圖所示，在觀光車沿水平路面直線行駛的過程中，下列說法正確的是 （　　）
A.若觀光車勻速行駛，合力對乘客做正功
B.若觀光車勻速行駛，合力對乘客做負功
C.若觀光車加速行駛，合力對乘客做正功
D.若觀光車減速行駛，合力對乘客做正功
C
【解析】若觀光車勻速行駛，觀光車的動能不變，根據動能定理可知，合力對乘客不做功，A、B錯誤；若觀光車加速行駛，觀光車的動能增加，根據動能定理可知，合力對乘客做正功，C正確；若觀光車減速行駛，觀光車的動能減小，根據動能定理可知，合力對乘客做負功，D錯誤.
3.［動能定理應用］在足球賽場上，某運動員用力踢出質量為0.4 kg的足球，使足球獲得10 m/s的速度，踢球時運動員對球的平均作用力為200 N，球在場地上滾了20 m，則該運動員對足球做的功是 （　　）
A.4 J
B.20 J
C.4 000 J
D.條件不足，無法確定
B
（4）動能定理說明力對物體做功是引起物體動能變化的原因，合外力做功的過程實質上是其他形式的能與動能相互轉化的過程，轉化了多少由合外力做了多少功來度量.
2.應用動能定理的流程
BD
BCD
A.重力做的功為360 J
B.克服阻力做的功為440 J
C.經過Q點時向心加速度大小為9 m/s2
D.經過Q點時對軌道的壓力大小為380 N
2.如圖所示，一根放置于水平地面的輕質彈簧一端固定在豎直的墻壁上，處于原長時另一端位于C點.一質量為1 kg的物體以4 m/s的初速度沿水平地面的A點處向右運動，物體可視為質點，壓縮彈簧反彈后剛好停在了AC的中點B.已知物塊與水平地面的動摩擦因數為0.2，A、C之間的距離為2 m，則整個過程中彈簧的最大彈性勢能為 （　　）
A.3 J B.4 J
C.5 J D.6 J
A
考點2　動能定理與圖像綜合　［能力考點］　　　　　　　　　　　　
1.常與動能定理結合的四類圖像
v-t圖像 由公式x=vt可知，v-t圖線與坐標軸圍成的面積表示物體的位移
a-t圖像 由公式Δv=at可知，a-t圖線與坐標軸圍成的面積表示物體速度的變化量
F-x圖像 由公式W=Fx可知，F-x圖線與坐標軸圍成的面積表示力所做的功
P-t圖像 由公式W=Pt可知，P-t圖線與坐標軸圍成的面積表示力所做的功
2.解決物理圖像問題的基本步驟
例2　如圖甲所示，一物塊以一定初速度沿傾角為30°的固定斜面上滑，運動過程中摩擦力大小f恒定，物塊動能Ek與運動路程s的關系如圖乙所示.重力加速度g取10 m/s2，物塊質量m和所受摩擦力f大小分別為 （　　）
A.m=0.7 kg，f=0.5 N
B.m=0.7 kg，f=1.0 N
C.m=0.8 kg，f=0.5 N
D.m=0.8 kg，f=1.0 N
A
【解析】對物塊沿斜面上滑過程，由動能定理可得-（mgsin 30°+f）s=Ek-40 J，結合物塊動能Ek與運動路程s的關系圖像，可知物塊受到沿斜面的合力為4 N，即mgsin 30°+f=4 N，同理，對物塊沿斜面下滑過程，mgsin 30°-f=3 N，聯立解得m=0.7 kg，f=0.5 N， A正確.
1.（多選）滑雪是一項具有刺激性和挑戰性的雪上運動，如圖的滑雪情景可抽象成如下物理過程：物體沿斜面由靜止開始下滑，在水平面上滑行一段距離后停止.假若物體與斜面間和水平面間的動摩擦因數相同，斜面與水平面平滑連接，選項圖中v、a、Ek、s、t分別表示物體速度大小、加速度大小、動能、路程和時間，則其中可能正確的是 （　　）
ABD　
2.質量為2 kg的物體以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦力的作用，其動能隨位移變化的關系圖線如圖所示，重力加速度g取10 m/s2，以下說法中不正確的是 （　　）
A.物體與水平面間的動摩擦因數為0.25
B.物體與水平面間的摩擦力大小為5 N
C.物體滑行過程中的動能的變化量為100 J
D.物體滑行的加速度大小為2.5 m/s2
C
考點3　動能定理在多過程運動中的應用　［能力考點］
多過程運動中運用動能定理應注意的事項
1.運用動能定理時，選擇合適的研究過程能使問題簡化.當物體的運動過程包含幾個運動性質不同的子過程時，可以選擇一個、幾個或全部子過程作為研究過程.
2.當選擇全部子過程作為研究過程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功時，要注意運用它們的功能特點：
（1）重力的功取決于物體的初、末位置，與路徑無關.
（2）大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小與路程的乘積.
例3　（2024年江門模擬）如圖是工人傳輸貨物的示意圖，工人甲把質量m=7 kg貨物從傾斜軌道的頂端A點由靜止釋放，貨物從軌道的底端B點（B點處有一段長度不計的小圓弧）滑上放置在水平地面上的長木板.長木板的右端到達反彈裝置左端C點的瞬間，貨物剛好運動到長木板的最右端且與長木板達到共速，此時工人乙控制機械抓手迅速把貨物抓起放到存貨區.長木板進入反彈裝置，反彈后長木板的最左端返回B點時恰好靜止.已知傾斜軌道AB的長度L1=10 m，傾斜軌道AB與水平方向的夾角為θ=53°，BC段的長度L2=7.5 m，長木板的長度D=5 m，貨物與傾斜軌道以及長木板間的動摩擦因數μ1=0.5，長木板與地面的動摩擦因數μ2=0.2，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°=0.8，cos53°=0.6.求：
（1）貨物到達B點時的速度vB多大；
（2）長木板右端剛到C點時貨物的速度vC多大；
（3）長木板在反彈過程中損失的能量與長木板剛接觸反彈裝置時的能量比值η.
1.（2024年中山模擬）如圖所示為一豎直放置的玩具軌道裝置模型.一質量m=2 kg的小滑塊從P點靜止釋放，沿曲線軌道AB滑下后沖入豎直圓形軌道BC，再經過水平軌道BD，最后從D點飛出落在水平薄板MN上，各軌道間平滑連接.其中圓軌道BC的半徑R=0.14 m，水平軌道BD的長度L=1 m，BD段與滑塊間的動摩擦因數μ=0.2，其余部分摩擦不計.薄板MN的寬度D=0.24 m，M點到D點的水平距離x=0.56 m，薄板MN到水平軌道BD的豎直高度h=0.8 m，不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2.
（1）若小滑塊恰好落在薄板MN上的N點，
求小滑塊在D點的動能；
（2）若小滑塊恰好過圓弧最高點C，判斷小滑塊能否落在MN上.
2.如圖所示，“ ”形軌道aBCDef固定在豎直平面內，軌道的各彎折部分均平滑連接，其中aB、ef在同一條水平線上，BC、De部分豎直，CD為半徑為R的半圓，BC=De=2R.兩輕質彈簧A、B的一端分別固定在a、f位置，質量為m的細環（可視為質點）套在軌道上，推動細環壓縮彈簧A后鎖定（細環與彈簧A未連接）.現解除彈簧A的鎖定，釋放細環，細環運動到軌道BC的右側（整個空間包括BC）時受到與水平方向的夾角θ=37°的恒力.細環經過B后勻速運動至C，且經過C點時對圓弧軌道的壓力恰好為0.已知軌道aBCD部分光滑，軌道Def部分與細環之間的動摩擦因數μ=0.5，重力加速度為g，sin 37°=0.6，cos37°=0.8.求：
（1）彈簧A處于鎖定狀態時的彈性勢能.
（2）細環對圓弧軌道壓力的最大值.
（3）細環最終停止運動時的位置.
往復運動不用愁，動能定理來解憂
　　在某些運動中，其運動過程具有重復性、往返性，而在這一過程中，描述物體的物理量多數是變化的，而重復的次數又往往是無法確定的或者是無限的，求解這類問題時若運用牛頓運動定律及運動學公式將非常煩瑣，甚至無法解出.由于動能定理只要求物體的初、末狀態而不考慮運動過程的細節，所以用動能定理分析這類問題可使解題過程簡化.
例4　如圖所示，ABCD為一豎直平面的軌道，其中BC水平，A點比BC高出H=10 m，BC長為l=1 m，AB和CD軌道光滑.一質量為m=1 kg的物體，從A點以v1=4 m/s的速度開始運動，經過BC后滑到高出C點h=10.3 m的D點時速度為零.（g取10 m/s2）求：
（1）物體與BC軌道的動摩擦因數；
（2）物體第6次經過C點時的速度；
（3）物體最后停止的位置（距B點）.
1.如圖所示，在一個固定盒子里有一個質量為m的滑塊（可視為質點），它與盒子底面的動摩擦因數為μ，開始滑塊在盒子中央以足夠大的初速度v0向右運動，與盒子兩壁碰撞若干次后速度減為零，若盒子長為L，滑塊與盒壁碰撞沒有能量損失，求整個過程中物體與兩壁碰撞的次數.
C
（本欄目對應學生用書P375~376）
B
D
3.如圖甲所示為河沙裝車過程，可以簡化為如圖乙所示.已知傳動帶的速度為2 m/s，h1=3 m，h2=4.5 m，g取10 m/s2，小貨車能夠裝6 t沙子，傳送帶足夠長.則裝滿一車，傳送帶大約需要對沙子做的功為 （　　）
A.1.02×105 J B.9×104 J
C.2.82×105 J D.2.7×105 J
C
D　
D
6.（2024年珠海實驗中學模擬）如圖甲所示，固定斜面的傾角θ=37°，一物體（可視為質點）在沿斜面向上的恒定拉力F作用下，從斜面底端由靜止開始沿斜面向上滑動，經過距斜面底端x0 處的A點時撤去拉力F.該物體的動能Ek 與它到斜面底端的距離x的部分關系圖像如圖乙所示.已知該物體的質量m=1 kg，該物體兩次經過A點時的動能之比為4∶1，該物體與斜面間動摩擦因數處處相同，sin 37°=0.6，重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力.則拉力F的大小為 （　　）
A.8 N B.9.6 N
C.16 N D.19.2 N
D
7.（多選）如圖所示甲為一傾角為θ的斜面固定于水平面上，一可視為質點的小物塊從斜面的頂端靜止滑下，物塊與斜面之間的動摩擦因數為μ1，物塊運動到斜面底端時無能量損失進入水平面繼續運動，其和水平面之間的動摩擦因數為μ2.圖乙為物塊運動的動能Ek與水平位移x的關系圖像，則下列判斷正確的是 （　　）
A.μ1>tan θ B.μ1C.μ1+2μ2=tan θ D.2μ1+μ2=tan θ
BC　
綜合提升練
8.（2024年廣東省華僑中學、廣州協和中學、增城中學聯考）“智勇大沖關”最后一關有如圖所示的滑道，沖關者坐上坐墊（沖關過程中人和坐墊不分離）從A點靜止開始沿傾斜直軌道AB滑下，斜道傾角θ=37°；CD是一長L=3 m的水平傳送帶，B與C兩點平滑銜接，A點距傳送帶垂直距離為h=2.4 m，沖關者經C點到D點后水平拋出，落在水面上一點E.已知：傳送帶末端距水面高度H=0.8 m，坐墊與AB斜道間動摩擦因數為μ1=0.5，坐墊與傳送帶間動摩擦因數為μ2=0.2，沖關者的質量為m=50 kg，坐墊質量忽略不計，sin 37°=0.6，cos37°=0.8，g取10 m/s2.求：
（1）沖關者到達B點時的速度大小vB；
（2）如果傳送帶不動，求沖關者落到水面E點與D點的水平距離x；
（3）如果傳送帶速率為1 m/s沿逆時針方向轉動，求沖關者與傳送帶之間因摩擦產生的熱量Q.
9.（2024年新課標卷）將重物從高層樓房的窗外運到地面時，為安全起見，要求下降過程中重物與樓墻保持一定的距離.如圖，一種簡單的操作方法是一人在高處控制一端系在重物上的繩子P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的繩子Q，二人配合可使重物緩慢豎直下降.若重物的質量m=42 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，當P繩與豎直方向的夾角α=37°時，Q繩與豎直方向的夾角β=53°，（sin 37°=0.6）
（1）求此時P、Q繩中拉力的大小；
解：（1）重物下降的過程中受力平衡，設此時P、Q繩中拉力的大小分別為T1和T2，豎直方向
T1cosα=mg+T2cosβ，
水平方向T1sin α=T2sin β，
聯立代入數值得
T1=1 200 N，T2=900 N.
（2）若開始豎直下降時重物距地面的高度h=10 m，求在重物下降到地面的過程中，兩根繩子拉力對重物做的總功.
（2）整個過程根據動能定理得
W+mgh=0，
解得兩根繩子拉力對重物做的總功為
W=-4 200 J.

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