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人教版 必修第一冊
2.3 勻變速直線運動的位移與時間的關系
一、勻速直線運動的位移
x=vt
v
t
結論：
勻速直線運動的位移就是v – t 圖線與t軸所夾的矩形“面積”。
v/m·s-1
t/s
2
6
4
10
8
3
4
5
6
0
2
1
甲
-2
-4
x
面積也有正負,面積為正,表示位移的方向為正方向,
面積為負值,表示位移的方向為負方向.
乙
X甲
X乙
下列是某同學所做的“探究小車的運動規律”的測量記錄（見下表），表中“速度v”一行是這位同學用某種方法得到的物體在0,1,2，……，5幾個位置的瞬時速度。原始的紙帶沒有保存。
思考與討論
位置編號 0 1 2 3 4 5
時間t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
速度v/(m.s-1) 0.38 0.63 0.88 1.11 1.38 1.62
能不能根據表中的數據，用最簡單的方法估算實驗中小車從位置0到位置5的位移？
位置編號 0 1 2 3 4 5
時間t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
速度v/(m.s-1) 0.38 0.63 0.88 1.11 1.38 1.62
用下面的方法估算：
科學思想方法：先把過程無限分割,以“不變”近似代替“變”,然后再進行累加的思想 。
此科學思想方法能否應用到變速直線運動的v-t圖象上，利用面積法求位移呢？
思考
這一材料給了我們什么啟示與思想呢？
v/(m.s-1)
0
20
40
5
10
15
30
t/s
50
10
v/(m.s-1)
0
20
40
5
10
15
30
t/s
50
10
設計方案:從v-t圖象中探究勻變速直線運動的位移
分割
v/m/s
0
20
40
5
10
15
30
t/s
50
10
勻變速直線運動的位移仍可用圖線與坐標軸所圍的面積表示
結論
從v-t圖象中探究勻變速直線運動的位移
由圖可知：梯形OABC的面積
S=（OC+AB）×OA/2
代入各物理量得：
又v=v0+at
得：
二、勻變速直線運動的位移
三.勻變速直線運動的位移
1.位移公式：
2.對位移公式的理解:
⑴反映了位移隨時間的變化規律。
⑵因為v0、a、x均為矢量，使用公式時應先規定正方向。（一般以v0的方向為正方向）若物體做勻加速運動,a取正值,若物體做勻減速運動,則a取負值.
(3)若v0=0,則x=
(4)特別提醒:t是指物體運動的實際時間,要將位移與發生這段位移的時間對應起來.
(5)代入數據時,各物理量的單位要統一.(用國際單位制中的主單位)
【例題 1】航空母艦的艦載機既要在航母上起飛，也要在航母上降落。
（1）某艦載機起飛時，采用彈射裝置使飛機獲得 10 m/s 的速度后，由機上發動機使飛機獲得 25 m/s2 的加速度在航母跑道上勻加速前進，2.4 s 后離艦升空。飛機勻加速滑行的距離是多少？
（2）飛機在航母上降落時，需用阻攔索使飛機迅速停下來。若某次飛機著艦時的速度為 80 m/s，飛機鉤住阻攔索后經過 2.5 s 停下來。將這段運動視為勻減速直線運動，此過程中飛機加速度的大小及滑行的距離各是多少？
【分析 】兩個問題都是已知勻變速直線運動的時間來計算位移。
第（1）問需要用勻變速直線運動的位移與時間的關系式計算。
第（2）問中，飛機著艦做勻減速直線運動的加速度需要根據速度與時間的關系式計算。勻減速運動各矢量的方向較為復雜，因此需要建立一維坐標系來確定它們的正負。
【解 析】（1）根據勻變速直線運動的位移與時間的關系式，有
（2）沿飛機滑行方向建立一維坐標系，飛機初速度 v0 ＝ 80 m/s，末速度 v ＝ 0，根據勻變速直線運動的速度與時間的關系式，有
加速度為負值表示方向與 x 軸正方向相反。再根據勻變速直線運動的位移與時間的關系式，有
例2：一輛汽車以1m/s2的加速度加速行駛了12s，駛過了180m。汽車開始加速時的速度是多少？
解：以汽車運動的初速v0為正方向
由
得：
先用字母代表物理量進行運算
知識運用
例3：在平直公路上，一汽車的速度為16m/s。從某時刻開始剎車，在阻力作用下，汽車以2m/s2的加速度運動，問剎車后10s末車離開始剎車點多遠？
說明剎車后8s汽車停止運動。
解：以汽車初速方向為正方向。
由
得運動時間
所以
剎車問題!
例4：從車站開出的汽車，做勻加速直線運動，走了12s時，發現還有乘客沒上來，于是立即做勻減速運動至停車。汽車從開出到停止總共歷時20s，行進了50 m。求汽車的最大速度。
解：設最高速度為vm，由題意，可得方程組
整理得
補充1
在勻變速直線運動中，某段時間內的平均速度等于該段時間內的中間時刻的瞬時速度以及等于這段時間內初速度和末速度的算術平均值，即
0
t
t


綜上：
1、一物體做勻加速直線運動,通過一段位移Δx所用的時間為t1,緊接著通過下一段位移Δx所用的時間為t2.則物體運動的加速度為(　　)
A. B.
C. D.
A
2、物體先做初速度為零的勻加速運動，加速度a1=2m/s2,加速一段時間t1,然后接著做勻減速直線運動,加速度大小為a2=4m/s2,直到速度減為零,已知整個運動過程所用時間t=20s,總位移為300m,則運動的最大速度是多少？
在勻變速直線運動中連續相等的時間（T）內的位移之差是恒量，即：
補充2
1
2
3
0
x1
x2
x3
xn
xn+1
n-1
n
n+1
……
v0
v0+aT
一物體做勻加速直線運動，初速度為0.5m/s，第7s內的位移比第5s內的位移多4m，求：
（1）物體加速度a 的大小；
（2）物體在前5s內的位移大小．
2m/s2．
27.5 m
[例1]射擊時,燃氣膨脹推動彈頭加速運動。若把子彈在槍筒中的運動看做勻加速直線運動，設子彈的加速度a=5×105m/s2，槍筒長x=0.64m，求子彈射出槍口時的速度。
t=1.6×10-3s
v=at=800m/s
思考
解：以子彈射出槍口時速度 v 方向為正方向

由位移公式：
又由速度公式: v＝v0+at
在此問題中，時間 t 只是一個中間量，因此要分步解決，能不能用一個不含時間的公式直接解決呢？
公式變形
注意：
1.該公式只適用勻變速直線運動
2.該公式是矢量式
因為v0、v、α、x均為矢量，使用公式時應先規定正方向。（一般以v0的方向為正方向）若物體做勻加速運動,a取正值,若物體做勻減速運動,則a取負值.
【例題2】動車鐵軌旁兩相鄰里程碑之間的距離是1km。某同學乘坐動車時，通過觀察里程碑和車廂內電子屏上顯示的動車速度來估算動車減速進站時的加速度大小。當他身邊的窗戶經過某一里程碑時，屏幕顯示的動車速度是126km/h。動車又前進了 3 個里程碑時，速度變為 54 km/h。把動車進站過程視為勻減速直線運動。
那么動車進站的加速度是多少？
它還要行駛多遠才能停下來？
【分析】 由于把動車進站過程視為勻減速直線運動，因此可以應用勻變速直線運動的速度與位移關系式計算動車的加速度。本題加速度方向跟速度方向相反，因此需要建立一維坐標系來處理相關物理量的正負號。
【解析】 沿動車運動方向為正方向建立一維坐標系。把動車通過 3 000 m 的運動稱為前一過程，之后到停下來稱為后一過程。
設在前一過程中的末位置為 M 點。 初速度 v0 ＝ 126 km/h ＝ 35 m/s，末速度 vM ＝ 54 km/h ＝ 15 m/s，位移 x1 ＝ 3 000 m。
對前一過程，根據勻變速直線運動的速度與位移的關系式，有
對后一過程，末速度 v ＝ 0，初速度 vM ＝ 15 m/s由 v2 ＝ vM2 ＋ 2ax2，有
例2某飛機著陸時的速度是216km/h,隨后勻減速滑行，加速度的大小是2m/s2,機場的跑道至少要多長飛機才能停下來？
還可以采用“逆向法”
例3.汽車以10m/s的速度行駛，剎車后的加速度大小為3m/s2,求它向前滑行12.5m后的瞬時速度？
解：以汽車的初速度方向為正方向，則：
v0=10m/s, a=-3m/s2, x=12.5m
由v2-v02=2ax得 v2=v02+2ax=102+2×(-3) ×12.5=25
所以v1=5m/s 或v2=-5m/s(舍去)
即汽車向前滑行12.5m后的瞬時速度大小為5m/s,方向與初速度方向相同。
例4：有些航空母艦上裝有幫助飛機起飛的彈射系統，已知某型號的戰斗機在跑道上加速時可能產生的最大加速度為5.0 m/s2，當飛機的速度達到50 m/s時才能離開航空母艦起飛．設航空母艦處于靜止狀態．問：
(1)若要求該飛機滑行160 m后起飛，彈射系統必須使飛機具有多大的初速度？
(2)若某艦上不裝彈射系統，要求該型號飛機仍能在此艦上正常起飛，問該艦身長至少應為多長？
追擊相遇問題是一個常見的題型，解決此類問題時要注意下列幾點：
1. 追擊相遇問題的實質：追擊相遇問題的實質就是分析討論兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置的問題。
2. 兩個等量關系：即時間與位移的關系，在同一時刻到達同一位置。這兩個關系可以通過畫草圖得到。
3. 一個臨界條件：即二者速度相等時，往往是物體能否追上、追不上或兩者相距最遠、最近的臨界條件。
追及和相遇問題
4. 追擊相遇問題的常用解題方法
（1）物理分析法：抓住“同一時刻到達同一位置”這一關鍵，挖掘題目中的隱含條件，建立運動關系圖。
（2）數學極值法：根據條件列方程，得到關于 t 的一元二次方程，用判別式進行討論。
（3）圖象法：將兩個物體運動的速度 — 時間關系在同一圖像中畫出，利用圖象分析求解相關問題。
例5. 平直公路上有甲、乙兩輛汽車，甲以 0.5 m/s2的加速度由靜止開始行駛，乙在甲的前方 200 m處以5 m/s 的速度做同方向的勻速運動，問：
(1) 甲何時追上乙？甲追上乙時的速度為多大？此時甲離出發點多遠？
(2) 在追趕過程中，甲、乙之間何時有最大距離？這個距離為多少？
解析：畫出示意圖，如圖所示，甲追上乙時，x甲＝ x0＋x乙，且 t甲＝ t乙 (追及條件)，根據勻變速直線運動、勻速直線運動的位移公式列出方程，即能解得正確的結果。
(1)設甲經過時間 t 追上乙，則有 x甲＝ a甲t2/ 2， x乙＝ v乙t，根據追及條件，有 a甲t2/ 2 ＝ x0 ＋ v乙t ，代入數值，解得 t＝40 s和 t＝－20 s (舍去)
這時甲的速度 v甲＝ a甲t ＝0.5×40 m/s＝20 m/s
甲離出發點的位移 x甲＝ a甲t2/ 2 ＝400 m。
(2)在追趕過程中，當甲的速度小于乙的速度時，甲、乙之間的距離仍在繼續增大；但當甲的速度大于乙的速度時，甲、乙之間的距離便不斷減小；當v甲＝v乙時，甲、乙之間的距離達到最大值。由a甲t＝v乙，得 t＝10 s。即甲在10 s 末離乙的距離最大。
xmax＝x0＋v乙t－a甲t2/2 ＝225 m。
答案：（1）40 s 20 m/s 400 m （2）10 s 225 m
6. 2015 年 8月7日，受強降雨天氣影響，云南省盈江縣盞西鎮發生泥石流。一汽車停在小山坡底，突然司機發現在距坡底 240 m 的山坡處泥石流以 8 m/s 的初速度、0.4 m/s2 的加速度勻加速傾瀉而下。假設泥石流到達坡底后速率不變，在水平地面上做勻速直線運動。已知司機的反應時間為 1 s，汽車啟動后以 0.5 m/s2 的加速度一直做勻加速直線運動。試通過計算說明汽車能否安全脫離？
解析：解法一：
設泥石流到達坡底的時間為 t1，速率為 v1，則
x1＝v0t1＋a1t
v1＝v0＋a1t1
代入數值得 t1＝20 s，v1＝16 m/s
v汽＝a′t＝v1 , t＝32 s
x汽＝a′t2/2 ＝256 m
泥石流在 t′＝t總－t1＝13 s 內前進的距離
x石＝v1t′＝208 m
所以泥石流追不上汽車。
解法二：
設泥石流到達坡底的時間為 t1，速度為 v1，則
x1＝v0t1＋a1t
v1＝v0＋a1t1
代入數值得 t1＝20 s，v1＝16 m/s
而汽車在 19 s 的時間內發生位移為
x2＝a2t22/2＝90.25 m
速度為 v2＝a2t2＝9.5 m/s
令再經時間 t3，泥石流追上汽車，則有
v1t3＝x2＋v2t3＋a2t32/2
代入數值并化簡得 t32－26t3＋361＝0
因Δ<0，方程無解。
所以泥石流無法追上汽車，司機能安全脫離。
答案：汽車能安全脫離

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