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§7. 直線和圓的方程 知識要點
一、直線方程.
1. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是.
注：①當或時，直線垂直于軸，它的斜率不存在.
②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.
2. 直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.
特別地，當直線經過兩點，即直線在軸，軸上的截距分別為時，直線方程是：.
注：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.
附：直線系：對于直線的斜截式方程，當均為確定的數值時，它表示一條確定的直線，如果變化時，對應的直線也會變化.①當為定植，變化時，它們表示過定點（0，）的直線束.②當為定值，變化時，它們表示一組平行直線.
3. ⑴兩條直線平行：
∥兩條直線平行的條件是：①和是兩條不重合的直線. ②在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導致結論的錯誤.
（一般的結論是：對于兩條直線，它們在軸上的縱截距是，則∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且）
推論：如果兩條直線的傾斜角為則∥.
⑵兩條直線垂直：
兩條直線垂直的條件：①設兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在. ②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要條件）
4. 直線的交角：
⑴直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋轉到與重合時所轉動的角，它的范圍是，當時.
⑵兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當，則有.
5. 過兩直線的交點的直線系方程為參數，不包括在內）
6. 點到直線的距離：
⑴點到直線的距離公式：設點，直線到的距離為，則有.
⑵兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.
7. 關于點對稱和關于某直線對稱：
⑴關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.
⑵關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.
若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.
⑶點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.
注：①曲線、直線關于一直線（）對稱的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(x ,y)=0關于直線y=x–2對稱曲線方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲線C: f(x ,y)=0關于點(a ,b)的對稱曲線方程是f(a – x, 2b – y)=0.
二、圓的方程.
1. ⑴曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線上的 與一個二元方程的實數建立了如下關系：
①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.
②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.
⑵曲線和方程的關系，實質上是曲線上任一點其坐標與方程的一種關系，曲線上任一點是方程的解；反過來，滿足方程的解所對應的點是曲線上的點.
注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點P0(x0 ,y)線C上的充要條件是f(x0 ,y0)=0
2. 圓的標準方程：以點為圓心，為半徑的圓的標準方程是.
特例：圓心在坐標原點，半徑為的圓的方程是：.
注：特殊圓的方程：①與軸相切的圓方程
②與軸相切的圓方程
③與軸軸都相切的圓方程
3. 圓的一般方程： .
當時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.
當時，方程表示一個點.
當時，方程無圖形（稱虛圓）.
注：①圓的參數方程：（為參數）.
②方程表示圓的充要條件是：且且.
③圓的直徑或方程：已知（用向量可征）.
4. 點和圓的位置關系：給定點及圓.
①在圓內
②在圓上
③在圓外
5. 直線和圓的位置關系：
設圓圓：； 直線：；
圓心到直線的距離.
①時，與相切；
附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.
②時，與相交；
附：公共弦方程：設
有兩個交點，則其公共弦方程為.
③時，與相離.
附：若兩圓相離，則相減為圓心的連線的中與線方程.
由代數特征判斷：方程組用代入法，得關于（或）的一元二次方程，其判別式為，則：
與相切；
與相交；
與相離.
注：若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.
6. 圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過圓
上一點的切線方程為：.
①一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特別地，過圓上一點的切線方程為.
②若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯立求出切線方程.
7. 求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉化為公共弦方程. 如圖：ABCD四類共圓. 已知的方程…① 又以ABCD為圓為方程為…②
…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.

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