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第一章 動(dòng)量與動(dòng)量守恒定律
第5節(jié) 碰撞
__________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 1.了解碰撞分為彈
性碰撞和非彈性
碰撞，知道兩類
碰撞前后動(dòng)能的
變化情況.
__________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2.掌握彈性碰撞和
非彈性碰撞的規(guī)
律，能夠定量分
析一維碰撞問(wèn)
題，能夠利用彈
性碰撞或非彈性
碰撞模型解決實(shí)
際問(wèn)題.
續(xù)表
情境導(dǎo)學(xué)
上圖裝置是我們?cè)诳萍拣^常見(jiàn)到的牛頓擺.若拉起最左端一球，由靜止釋放，
則會(huì)把最右端一球撞出，其他球靜止不動(dòng).同學(xué)們可以試著拉起更多的球同時(shí)釋
放，看看撞擊后會(huì)有怎樣的結(jié)果.
新知課丨必備知識(shí)解讀
知識(shí)點(diǎn)1 碰撞的分類
1 碰撞過(guò)程的動(dòng)量特點(diǎn)和能量特點(diǎn)
動(dòng)量特點(diǎn) 系統(tǒng)所受外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力，可認(rèn)為系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒.
能量特點(diǎn) 碰撞前的總動(dòng)能總是大于或等于碰撞后的總動(dòng)能.
2 碰撞的分類
特別提醒 關(guān)于碰撞的兩點(diǎn)提醒
1.自然界中，多數(shù)的碰撞實(shí)際都屬于非彈性碰撞.真正的彈性碰撞，只有在分子、
原子及更小的粒子之間才會(huì)發(fā)生.
2.碰撞可能發(fā)生在空間中，也可能發(fā)生在一個(gè)平面內(nèi)，還可能發(fā)生在一條直線
上.高中階段一般只討論發(fā)生在直線上的碰撞問(wèn)題.
3 從形變的角度理解彈性碰撞和非彈性碰撞
（1）若兩個(gè)物體碰撞時(shí)發(fā)生的形變是彈性形變，則在碰撞過(guò)程中只發(fā)生動(dòng)能和
彈性勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能保持不變，該碰撞為彈性碰撞.
（2）若兩個(gè)物體碰撞時(shí)發(fā)生的形變是非彈性形變，則碰撞后系統(tǒng)的動(dòng)能有損失，
該碰撞為非彈性碰撞.
拓展延伸 對(duì)心碰撞和非對(duì)心碰撞
圖1-5-1
1.對(duì)心碰撞
兩球碰撞時(shí),碰撞之前球的運(yùn)動(dòng)速度與兩球心的連線
在同一條直線上,碰撞之后兩球的速度仍會(huì)沿著這條直線,
這種碰撞稱為正碰,也叫對(duì)心碰撞或一維碰撞.如圖1-5-1
所示.
（碰撞前后兩球速度都沿同一條直線,兩球組成的系統(tǒng)在這個(gè)方向上動(dòng)量守恒.）
. .
2.非對(duì)心碰撞
圖1-5-2
如果碰撞之前球的運(yùn)動(dòng)速度與兩球心的連線不在同一條直線上,碰撞之后兩球的
速度都會(huì)偏離原來(lái)兩球心的連線.這種碰撞稱為非對(duì)心碰撞,也叫斜碰.如圖1-5-2所示.
. .
學(xué)思用·典例詳解
例1-1 兩個(gè)人在冰面上相向滾動(dòng)兩個(gè)完全相同的小球，兩個(gè)小球碰撞后恰好都靜止，
下列說(shuō)法正確的是( )
D
A.兩個(gè)小球碰前瞬間動(dòng)量相同 B.兩個(gè)人對(duì)小球做的功不相等
C.碰撞過(guò)程是彈性碰撞 D.兩個(gè)小球碰前瞬間動(dòng)能相等
【解析】?jī)尚∏蛳嘞蜻\(yùn)動(dòng)，速度方向相反，動(dòng)量方向相反，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；碰撞過(guò)程
中動(dòng)量守恒，有，可得，則 ，由于動(dòng)能相等，根
據(jù)動(dòng)能定理可知，兩個(gè)人對(duì)小球做的功相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，D正確；彈性碰撞無(wú)機(jī)械
能損失，兩個(gè)小球碰撞前動(dòng)能不為0，碰撞后動(dòng)能為0，機(jī)械能有損失，為非彈性碰
撞，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
圖1-5-3
例1-2 如圖1-5-3所示，甲、乙兩人穿著同款充氣服游玩，由于兩人初
次穿充氣服，走起路來(lái)有些控制不好平衡，所以兩人在極短時(shí)間內(nèi)發(fā)
生了一維直線碰撞.若甲的質(zhì)量為,乙的質(zhì)量為,且以相同的速率
在光滑水平面上發(fā)生相向碰撞，碰撞后乙靜止不動(dòng)，則這次碰撞
( )
B
A.屬于完全非彈性碰撞 B.屬于彈性碰撞
C.總動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能 D.碰撞后甲的速度大小為
【解析】規(guī)定碰撞前乙的速度方向?yàn)檎较颍住⒁遗鲎策^(guò)程動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守
恒定律得，解得碰撞后甲的速度大小 ,選項(xiàng)D錯(cuò)誤；碰撞前
系統(tǒng)的總動(dòng)能 ，碰撞后系統(tǒng)的總動(dòng)能
，碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能不變，因此該碰撞屬于彈性碰撞，
選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤，B正確.
知識(shí)點(diǎn)2 中子的發(fā)現(xiàn)
1 中子的發(fā)現(xiàn)過(guò)程
（1）1928年，德國(guó)物理學(xué)家玻特用 粒子去轟擊輕金屬鈹時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一種
貫穿力很強(qiáng)的中性射線.
圖1-5-4
（2）1932年，英國(guó)物理學(xué)家查德威克
研究了這種射線，并用這種中性射線與質(zhì)量
已知的氫核和氮核分別發(fā)生碰撞，認(rèn)為這種
碰撞是完全彈性的，如圖1-5-4所示.他在實(shí)
驗(yàn)中先測(cè)出了碰撞后氫核和氮核的速度，然
（3）中子的發(fā)現(xiàn)揭開(kāi)了原子核的神秘面紗，開(kāi)創(chuàng)了人類認(rèn)識(shí)原子核的新紀(jì)元.
查德威克因發(fā)現(xiàn)中子而獲得了1935年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).
后根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出了這種中性粒子的質(zhì)量.
2 中子發(fā)現(xiàn)的定量分析
設(shè)中性粒子的質(zhì)量為，碰前速率為，碰后速率為，氫核的質(zhì)量為,碰前
速率為零，碰后速率為,碰撞前后的動(dòng)量和動(dòng)能都守恒，則


解得
同理，由對(duì)氮原子核的碰撞可解得

由上述兩式可得
已知氮核質(zhì)量與氫核質(zhì)量的關(guān)系為 ，查德威克在實(shí)驗(yàn)中測(cè)得氫核速
率和氮核速率的關(guān)系是,由此得 .
由此可見(jiàn)，這種中性粒子的質(zhì)量與氫核（質(zhì)子）的質(zhì)量相同，因其不帶電，故
稱之為中子.
學(xué)思用·典例詳解
圖1-5-5
例2-3 （2022·湖南卷）1932年，查德威克用未知射線轟擊氫
核，發(fā)現(xiàn)這種射線是由質(zhì)量與質(zhì)子大致相等的中性粒子
（即中子）組成.如圖1-5-5，中子以速度 分別碰撞靜止的氫
核和氮核，碰撞后氫核和氮核的速度分別為和 .設(shè)碰撞為
彈性正碰，不考慮相對(duì)論效應(yīng)，下列說(shuō)法正確的是( )
B
A.碰撞后氮核的動(dòng)量比氫核的小 B.碰撞后氮核的動(dòng)能比氫核的小
C.大于 D.大于
【解析】設(shè)中子的質(zhì)量為,則氫核和氮核的質(zhì)量分別為、 ,由于碰撞為彈性碰
撞，選向右為正方向，對(duì)中子與氫核碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 ，
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有,聯(lián)立解得 .同理，對(duì)中子與
氮核碰撞，有，，解得 .
碰撞后氫核動(dòng)量為，氮核動(dòng)量為 ，氮核動(dòng)量大于氫核動(dòng)量，
A錯(cuò)誤；碰撞后氮核的動(dòng)能為，氫核的動(dòng)能為 ，所
以碰撞后氮核的動(dòng)能比氫核的小，B正確；由上述分析可知， ，C、D錯(cuò)誤.
釋疑惑 重難拓展
知識(shí)點(diǎn)3 彈性碰撞和完全非彈性碰撞的規(guī)律
圖1-5-6
1 規(guī)律分析
（1）情境
如圖1-5-6所示，設(shè)質(zhì)量分別為、的兩小球、 ，
在同一條光滑水平軌道上運(yùn)動(dòng)，速度分別為、 ,若兩球
發(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰后兩球速度分別為、 ；若兩球發(fā)
生完全非彈性碰撞，設(shè)碰后、兩球的速度均為 .
（2）過(guò)程分析
彈性碰撞 完全非彈性碰撞
特點(diǎn) 動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒. 動(dòng)量守恒,碰撞后兩球粘在一起，
系統(tǒng)損失的動(dòng)能最大.
列式
結(jié)論 系統(tǒng)損失的動(dòng)能
2 彈性碰撞中特殊情況討論
（1）當(dāng)時(shí)，若,則,,即兩球交換速度.
（2）當(dāng)時(shí)（“一動(dòng)碰一靜”模型）,分析討論如下表.
, 碰撞后兩球交換了速度
, 碰撞后兩小球沿同一方向運(yùn)動(dòng)
, 碰撞后球速度不變,球以 的速度被撞出去
, 碰撞后 球被反彈
, 碰撞后球以原速率反彈,而 球仍靜止
學(xué)思用·典例詳解
例3-4 如圖1-5-7所示，質(zhì)量為 的滑塊靜止于光滑的水平面上，一質(zhì)量為
的小球以 的速率向右運(yùn)動(dòng).
圖1-5-7
（1）若小球碰到滑塊后又以 的速率被彈回，求滑塊獲得的速度.
【答案】 ，方向水平向右
【解析】小球和滑塊組成的系統(tǒng)，在水平方向上不受外力，豎直方向上所受合力為
零，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以小球初速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律有
代入數(shù)據(jù)解得 ，方向水平向右.
（2）若小球碰到滑塊后兩者粘在一起運(yùn)動(dòng)，求之后的共同速度.
【答案】 ,方向水平向右
【解析】若小球碰到滑塊后兩者粘在一起運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)量守恒定律有
代入數(shù)據(jù)解得之后的共同速度為
，方向水平向右.
（3）若小球與滑塊的碰撞沒(méi)有能量損失，求碰撞后小球、滑塊的速度.
【答案】小球的速度大小為 ,方向水平向左
滑塊的速度大小為 ,方向水平向右
【解析】根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
小球與滑塊的碰撞沒(méi)有能量損失，碰撞過(guò)程中機(jī)械能守恒，有
聯(lián)立解得，
即碰后瞬間小球速度大小為,方向水平向左，滑塊的速度大小為 ,方向水平
向右.
探考法 教材深挖
深挖點(diǎn) 爆炸問(wèn)題模型
鏈接教材第27頁(yè)“發(fā)展空間”爆炸
1 概念
爆炸是指在極短時(shí)間內(nèi)釋放出大量能量，產(chǎn)生高
溫，并放出大量氣體，在周圍介質(zhì)中造成高壓的化學(xué)反應(yīng)或狀態(tài)變化.
2 爆炸遵循的規(guī)律
規(guī)律 說(shuō)明
動(dòng)量守恒 爆炸是在極短的時(shí)間內(nèi)完成的，爆炸物體間的相互作用力遠(yuǎn)大于系統(tǒng)
所受外力，所以在爆炸過(guò)程中系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒.
機(jī)械能增加 在爆炸過(guò)程中，有其他形式的能量（如炸藥的化學(xué)能）轉(zhuǎn)化為機(jī)械
能，所以爆炸后系統(tǒng)的機(jī)械能增加.
位移不變 爆炸的時(shí)間極短，因此作用過(guò)程中物體產(chǎn)生的位移很小，一般可以忽
略不計(jì)，可以認(rèn)為爆炸后物體仍然從爆炸前的位置以新的動(dòng)量開(kāi)始運(yùn)
動(dòng).
3 爆炸和碰撞的比較
爆炸 碰撞
不同點(diǎn) 系統(tǒng)的機(jī)械能會(huì)增加，有其他形式 的能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能. 系統(tǒng)的機(jī)械能不會(huì)增加，一般會(huì)減
少，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.
相同點(diǎn) 相互作用時(shí)間極短，相互作用力為變力，且遠(yuǎn)大于系統(tǒng)所受外力，滿足 動(dòng)量守恒定律. 明考向·出題考法
圖1-5-8
例5 （2025·江蘇連云港期中）如圖1-5-8所示，設(shè)質(zhì)量為 的
炮彈運(yùn)動(dòng)到空中最高點(diǎn)時(shí)速度為 ，此時(shí)突然炸成兩塊，質(zhì)量為
的彈頭以速度沿 的方向飛去，另一塊彈片
以大小為的速度沿 的反方向飛去．求：
（1） 的大小；
【答案】
【解析】規(guī)定 的方向?yàn)檎较颍ㄋ查g，彈頭和另一塊彈片組成的系統(tǒng)動(dòng)量守
恒,有
代入數(shù)據(jù)解得 .
（2）爆炸過(guò)程中炮彈增加的動(dòng)能.
【答案】
【解析】爆炸前炮彈的動(dòng)能為
爆炸后系統(tǒng)的動(dòng)能
故爆炸過(guò)程中炮彈增加的動(dòng)能為
．
解題課丨關(guān)鍵能力構(gòu)建
題型1 對(duì)碰撞問(wèn)題合理性的分析
例6 甲、乙兩球在光滑水平軌道上同向運(yùn)動(dòng),已知它們的動(dòng)量分別是 ,
,甲追上乙并發(fā)生碰撞,碰撞后乙球的動(dòng)量變?yōu)?，則
兩球質(zhì)量與 的關(guān)系可能是( )
C
A. B. C. D.
建構(gòu)導(dǎo)圖明思路
【解析】
碰撞合理性的三個(gè)制約因素
動(dòng)量 制約 碰撞過(guò)程中，碰撞雙方構(gòu)成的系統(tǒng),總動(dòng)量應(yīng)該守恒，即 .
動(dòng)能 制約 碰撞結(jié)束時(shí),碰撞雙方構(gòu)成的系統(tǒng),總動(dòng)能不會(huì)增加，即
.
運(yùn)動(dòng) 制約 碰撞前、后，碰撞雙方運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系必須合理.如果碰前兩物體同向
運(yùn)動(dòng),有 ，否則無(wú)法實(shí)現(xiàn)碰撞.碰撞后,原來(lái)在前的物體的速度一定增
大,若碰后兩物體同向運(yùn)動(dòng)，有 ，否則碰撞還沒(méi)有結(jié)束.
【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】
1.質(zhì)量相等的、兩球在光滑水平面上沿同一直線、同一方向運(yùn)動(dòng)， 球的速度為
，球的速度為，當(dāng)球追上球時(shí)發(fā)生碰撞，則碰撞后、 兩球的速度
可能為( )
C
A.、 B.、
C.、 D.、
【解析】研究、 球組成的系統(tǒng)，通過(guò)計(jì)算可知，A選項(xiàng)中速度不滿足碰撞前后系
統(tǒng)動(dòng)量守恒；B選項(xiàng)中碰后的速度大于 的速度,不符合實(shí)際；C選項(xiàng)中，碰撞前后
系統(tǒng)動(dòng)量守恒，碰撞后的動(dòng)能小于碰撞前的動(dòng)能，說(shuō)明碰撞過(guò)程中系統(tǒng)有動(dòng)能損失，
是合理的；D選項(xiàng)中，系統(tǒng)碰撞后的動(dòng)能大于碰撞前的動(dòng)能,不符合動(dòng)能制約關(guān)系.
題型2 碰撞過(guò)程的圖像問(wèn)題
圖1-5-9
例7 物塊、在水平面上沿同一直線同向滑行，追上
后發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間 極短，如圖1-5-9為兩物塊運(yùn)動(dòng)
的圖像，兩圖線在碰撞前、后均平行.已知 的質(zhì)量
為 ,則( )
D
A.物塊的質(zhì)量為
B.兩圖線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
C.碰撞過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒
D.兩物塊在 時(shí)間內(nèi)受水平面摩擦力作用的沖量不相同
信息提取析題意
【解析】以碰撞前物塊的速度方向?yàn)檎较颍Y(jié)合題圖可知，碰撞前 的速度為
，的速度為，碰撞后的速度為， 的速度為
，、 碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
，代入數(shù)據(jù)解得 ,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；兩圖線交點(diǎn)表
示該時(shí)刻、的速度相同，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有 ，
解得 ，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；碰撞前系統(tǒng)的動(dòng)能為
，碰撞后系統(tǒng)的動(dòng)能為
，由于 ，所以系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，選項(xiàng)C錯(cuò)
誤；兩物塊在碰前做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度相同，根據(jù) 可知兩物塊與地面間的
動(dòng)摩擦因數(shù)相同，根據(jù)知，在 時(shí)間內(nèi)兩物塊受水平面摩擦力作用的沖
量不相同，選項(xiàng)D正確.
根據(jù)圖像分析碰撞問(wèn)題的思路
【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】
圖1-5-10
2.（2022·北京卷）質(zhì)量為和 的兩個(gè)物體在光滑水平
面上正碰，其位置坐標(biāo)隨時(shí)間 變化的圖像如圖1-5-10所
示.下列說(shuō)法正確的是( )
C
A.碰撞前的速率大于 的速率
B.碰撞后的速率大于 的速率
C.碰撞后的動(dòng)量大于 的動(dòng)量
D.碰撞后的動(dòng)能小于 的動(dòng)能
【解析】圖像的斜率表示物體運(yùn)動(dòng)的速度，由題圖可知，碰前 保持靜止，
的速度為,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；碰撞后 的速度為
,的速度為,負(fù)號(hào)說(shuō)明 反向彈回，
則碰撞后二者速度大小相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；碰撞后反向彈回，以開(kāi)始時(shí) 的速度
方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律有，代入數(shù)據(jù)解得 ，
又碰撞后二者速度大小相等，因此碰撞后的動(dòng)量大于的動(dòng)量， 的動(dòng)能大于
的動(dòng)能，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.
題型3 多次碰撞的綜合問(wèn)題
圖1-5-11
例8 如圖1-5-11所示，裝置的左邊是足夠長(zhǎng)的
光滑水平臺(tái)面，一輕質(zhì)彈簧左端固定，右端
連接著質(zhì)量的小物塊 ．裝置的中間
是水平傳送帶，它與左右兩邊的臺(tái)面等高，
并能平滑對(duì)接.傳送帶始終以 的速
率逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng).裝置的右邊是一段與光滑的水平臺(tái)面連接的光滑曲面，質(zhì)量
的小物塊從曲面上距水平臺(tái)面處由靜止釋放.已知物塊 與傳送帶之間的
動(dòng)摩擦因數(shù)，傳送帶的長(zhǎng)度.設(shè)物塊、 之間發(fā)生的是對(duì)心彈性碰撞，
第一次碰撞前物塊靜止.取 .
（1）求物塊與物塊 第一次碰撞前的速度大小.
【答案】
【解析】設(shè)滑到曲面底部時(shí)速度為，由機(jī)械能守恒定律得
代入數(shù)據(jù)解得
由于，剛滑到傳送帶上時(shí)做勻減速運(yùn)動(dòng).設(shè) 一直減速滑過(guò)傳送帶，到達(dá)傳送
帶左端的速度為，由動(dòng)能定理得
代入數(shù)據(jù)解得
由于仍大于，說(shuō)明假設(shè)成立，即與第一次碰撞前速度大小為 .
（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明物塊與物塊 第一次碰撞后能否運(yùn)動(dòng)到右邊曲面上.
【答案】不能
【解析】設(shè)第一次碰撞后的速度為，的速度為 ，取向左為正方向，由動(dòng)量
守恒定律得
由機(jī)械能守恒定律得
代入數(shù)據(jù)解得，表明碰后以 的速度向右反彈
B滑上傳送帶后在摩擦力的作用下向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)向右運(yùn)動(dòng)的最大位移為
，由動(dòng)能定理得
代入數(shù)據(jù)解得
因，故運(yùn)動(dòng)到傳送帶的右端點(diǎn)處速度恰好減為零，故 不能滑上右邊曲面.
（3）如果物塊、每次碰撞后，物塊 再回到原來(lái)靜止的位置時(shí)都會(huì)立即被鎖定，
而當(dāng)它們?cè)俅闻鲎睬版i定被解除，試求出物塊第 次碰撞后反彈的速度大小.
【答案】
【解析】 的速度減為零后，將在傳送帶的作用下向左做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度大小與
向右做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)相等，且由于小于傳送帶的速度，故 向左返回到平臺(tái)上
時(shí)速度大小仍為 .
由于第二次碰撞仍為對(duì)心彈性碰撞，故由（2）中的關(guān)系可知碰后 仍然反彈，且碰
后速度大小仍為碰前的，即
同理可知，每次碰后都將被傳送帶帶回與 發(fā)生下一次碰撞
則與碰撞次后反彈的速度大小為 .
思路點(diǎn)撥 物塊沿光滑曲面下滑到水平臺(tái)面的過(guò)程機(jī)械能守恒，物塊、 的碰撞是
對(duì)心彈性碰撞，遵循動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，當(dāng)物塊 在傳送帶上向右運(yùn)動(dòng)
的速度為零時(shí)，將會(huì)沿傳送帶向左加速，繼而與物塊 發(fā)生第二次碰撞，同理可以發(fā)
生第三次碰撞、第四次碰撞……可根據(jù)每次碰撞后物塊的速度表達(dá)式推理歸納出
次碰撞后的速度大小.
分析多次碰撞問(wèn)題的要點(diǎn)
多次碰撞問(wèn)題通常為多過(guò)程問(wèn)題，且多與傳送帶、彈簧等聯(lián)系.分析求解時(shí)要注意以
下幾點(diǎn)：
（1）要弄清物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，特別是有往返運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.
（2）要準(zhǔn)確把握每個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程所遵守的物理規(guī)律，特別要掌握彈性碰撞過(guò)程中動(dòng)量
和機(jī)械能均守恒，兩物體質(zhì)量相等時(shí)交換速度.
（3）要注意尋找每次碰撞后的速度與碰撞前的速度的關(guān)系，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行
推理、歸納，確定次碰撞后速度的通用表達(dá)式.
【學(xué)會(huì)了嗎丨變式題】
圖1-5-12
3.如圖1-5-12所示，在水平面上有一彈簧，其
左端與墻壁相連，點(diǎn)為彈簧原長(zhǎng)位置， 點(diǎn)
左側(cè)水平面光滑，長(zhǎng) ，一與水平
方向成 角的足夠長(zhǎng)的傳送帶和水平
面在點(diǎn)平滑連接，傳送帶逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，速率.一質(zhì)量為 、可視為
質(zhì)點(diǎn)的物塊壓縮彈簧（與彈簧不拴接），使彈簧獲得彈性勢(shì)能 ，另一與物
塊完全相同的物塊停在點(diǎn)， 與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)，物塊、與
段間的動(dòng)摩擦因數(shù)，傳送帶足夠長(zhǎng)，與 的碰撞時(shí)間及碰撞過(guò)程中的能量
損失不計(jì)，重力加速度，現(xiàn)釋放 ，求：
（1）物塊第一次經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)的速度大小 ；
【答案】
【解析】物塊第一次到達(dá)點(diǎn)時(shí)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)，由機(jī)械能守恒定律得
代入數(shù)據(jù)解得 .
（2）、第一次碰撞后沿傳送帶上滑的最大位移大小 ；
【答案】
【解析】設(shè)第一次碰前的速度為，則從釋放到、 第一次相碰，由能量守恒
定律有
代入數(shù)據(jù)解得
設(shè)、第一次碰撞后的速度分別為、，由動(dòng)量守恒定律得
由機(jī)械能守恒定律得
代入數(shù)據(jù)解得，，即、 交換速度
此后沿傳送帶向上做勻減速運(yùn)動(dòng)直至速度為零，加速度大小設(shè)為 ，設(shè)做勻減速運(yùn)
動(dòng)的時(shí)間為 ,則有
解得
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，
代入數(shù)據(jù)解得， .
（3）從、第一次碰撞后到第二次碰撞前， 與傳送帶之間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量
；
【答案】
【解析】物塊與碰后至沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程，物塊 與傳送帶的相
對(duì)運(yùn)動(dòng)路程
B運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)后反向加速，加速度大小仍為，， ,故物塊 與傳
送帶共速后勻速運(yùn)動(dòng)，直至與再次碰撞，設(shè)做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 ,位移大小為
,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得，
解得，
此過(guò)程物塊 與傳送帶的相對(duì)運(yùn)動(dòng)路程
則 第一次滑上又滑下傳送帶的過(guò)程產(chǎn)生的熱量
解得 .
（4）、 能夠碰撞的總次數(shù).
【答案】6
【解析】與第二次碰撞，兩者速度再次互換，此后向左運(yùn)動(dòng)再返回與碰撞，
沿傳送帶向上運(yùn)動(dòng)再以原速率返回，每次碰前到再次碰后， 的速率相等，重
復(fù)這一過(guò)程直至兩者不再碰撞.
設(shè)重復(fù)這一過(guò)程的次數(shù)為，則對(duì)、 和彈簧組成的系統(tǒng)，從第二次碰撞后到不再
碰撞，由能量守恒定律有
解得，取取整數(shù)，所以、能夠碰撞的總次數(shù)為 .
提素養(yǎng) 深度學(xué)習(xí)
微專題 碰撞模型拓展及臨界問(wèn)題
1 模型分析
碰撞的特點(diǎn)是動(dòng)量守恒，動(dòng)能不增加.兩個(gè)物體的相互作用在滿足動(dòng)量守恒定律的條
件下經(jīng)常可當(dāng)成碰撞處理.此類問(wèn)題經(jīng)常涉及相互作用的兩物體相距“最近”“最遠(yuǎn)”或
“恰能上升到最高點(diǎn)”等臨界情況，其中蘊(yùn)含的信息是“速度相等”，兩物體從開(kāi)始相
互作用到“速度相等”的過(guò)程，往往可以看作完全非彈性碰撞.
2 常見(jiàn)模型及臨界條件
模型 規(guī)律 臨界條件
彈簧模型 ___________________________________ （水平面光滑） 從彈簧開(kāi)始被壓縮至壓縮到最短階段，可 看成完全非彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，能 量守恒.有 ， . 當(dāng)彈簧被壓縮到
最短時(shí),兩個(gè)滑塊
的速度相等.
模型 規(guī)律 臨界條件
彈簧模型 ___________________________________ （水平面光滑） 從彈簧開(kāi)始被壓縮至恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程，可 看成彈性碰撞過(guò)程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械 能守恒.有 ， . 當(dāng)彈簧被壓縮到
最短時(shí),兩個(gè)滑塊
的速度相等.
續(xù)表
模型 規(guī)律 臨界條件
子彈打木塊模型 ___________________________________ （水平面光滑） 子彈打入木塊未穿出，子彈和木塊最終共 速，可看成完全非彈性碰撞，系統(tǒng)動(dòng)量守 恒、能量守恒.有 ， . 子彈相對(duì)木塊靜
止時(shí)，子彈和木
塊速度相等，子
彈打入木塊的深
度最大.
續(xù)表
模型 規(guī)律 臨界條件
連接體模型 ___________________________________________________ （水平面光滑，輕繩 不可伸長(zhǎng)） 開(kāi)始時(shí)繩松弛、靜止，給 一個(gè)初速 度，從繩拉緊到、 具有共同速度的過(guò) 程，可看成完全非彈性碰撞過(guò)程，系統(tǒng)動(dòng) 量守恒，機(jī)械能不守恒.輕繩拉緊瞬間有 能量損失.有 ， . 、 相對(duì)靜止
時(shí)，速度相等.
續(xù)表
模型 規(guī)律 臨界條件
光滑圓弧軌道模型 _________________________________ （水平面光滑，圓弧 軌道可自由移動(dòng)） 小物塊沿光滑圓弧軌道上升至最高點(diǎn) （未脫離軌道）的過(guò)程，可看成完全非彈 性碰撞，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，水平方向動(dòng)量 守恒.有 ， ， 為小物 塊上升的高度. 小物塊沿圓弧軌
道上升到最高點(diǎn)
時(shí)，小物塊速度
和圓弧軌道的速
度相等.
續(xù)表
模型 規(guī)律 臨界條件
光滑圓弧軌道模型 _________________________________ （水平面光滑，圓弧 軌道可自由移動(dòng)） 從小物塊滑上圓弧軌道到返回水平面的過(guò) 程，可看成彈性碰撞過(guò)程，系統(tǒng)機(jī)械能守 恒，水平方向動(dòng)量守恒.有 ， . 小物塊沿圓弧軌
道上升到最高點(diǎn)
時(shí)，小物塊速度
和圓弧軌道的速
度相等.
續(xù)表
模型 規(guī)律 臨界條件
滑塊—滑板模型 _________________________________ （水平面光滑） 滑塊以速度 滑上靜止的滑板時(shí)，可看成 非彈性碰撞過(guò)程，當(dāng)滑塊在滑板上滑行的 距離最遠(yuǎn)時(shí)（未滑出滑板），整個(gè)過(guò)程可 看成完全非彈性碰撞過(guò)程，系統(tǒng)動(dòng)量守 恒，能量守恒.有 , . 滑塊相對(duì)滑板靜
止時(shí)，滑塊在滑
板上滑行的距離
最遠(yuǎn)，滑塊和滑
板的速度相等.
續(xù)表
3 典例詳析
類型1 彈簧模型
例9 （2025·山東泰安肥城一中月考）如圖1-5-13所示，光滑水平直軌道上有三個(gè)質(zhì)
量均為的物塊、、 的左側(cè)連接一輕彈簧（彈簧左側(cè)的擋板質(zhì)量不計(jì)）.開(kāi)始
時(shí)以速度朝運(yùn)動(dòng)，壓縮彈簧，當(dāng)、速度相等時(shí)，與 恰好相碰并粘在一起，
然后繼續(xù)運(yùn)動(dòng).假設(shè)和 碰撞過(guò)程時(shí)間極短，求：
圖1-5-13
（1）碰撞過(guò)程中 物塊受到的沖量大小;
【答案】
【解析】從壓縮彈簧到與具有相同速度，對(duì)、 與彈簧組成的系統(tǒng)，以向右為
正方向，設(shè)、的共同速度為，由動(dòng)量守恒定律得
解得
、共速時(shí)與發(fā)生完全非彈性碰撞，設(shè)碰撞后、的瞬時(shí)速度為,對(duì)、 組成
的系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律（、碰撞過(guò)程內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力.）得
解得
、碰撞過(guò)程，對(duì)，由動(dòng)量定理得
解得 .
. .
. .
（2）從 開(kāi)始?jí)嚎s彈簧直至與彈簧分離的過(guò)程中，整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能;
【答案】
【解析】從開(kāi)始?jí)嚎s彈簧直至與彈簧分離的過(guò)程中，系統(tǒng)僅在、 發(fā)生完全非彈
性碰撞時(shí)有機(jī)械能損失，設(shè)損失的機(jī)械能為 ，由能量守恒定律有
解得 .
（3）彈簧被壓縮到最短時(shí)的彈性勢(shì)能.
【答案】
【解析】由（1）可知,故、碰撞后，將繼續(xù)壓縮彈簧，直至、、 三
者速度相同，設(shè)此速度為，此時(shí)彈簧被壓縮至最短，其彈性勢(shì)能設(shè)為 .由動(dòng)量守
恒定律和能量守恒定律得
聯(lián)立解得 .
信息提取析題意
題眼 關(guān)鍵點(diǎn)
與 恰好相碰并粘在一起 、 的碰撞為完全非彈性碰撞.
彈簧被壓縮到最短 、、 三者共速.
類型2 子彈打木塊模型
例10 一質(zhì)量、棱長(zhǎng) 的正方體木塊放置在光滑的水平面上，
現(xiàn)有一質(zhì)量的子彈，以 的速度水平射向木塊，子彈的速
度方向與木塊表面垂直，如果用釘子將木塊固定在桌上，則子彈可穿過(guò)木塊，穿過(guò)
后子彈的速度變?yōu)?.
（1）求子彈穿過(guò)木塊的過(guò)程中受到的平均阻力大小 ；
【答案】
【解析】子彈穿過(guò)木塊的過(guò)程中，對(duì)子彈，由動(dòng)能定理得
代入數(shù)據(jù)解得 .
（2）如果木塊不固定，試推理判斷子彈能否穿過(guò)木塊；
【答案】子彈能穿過(guò)木塊
【解析】如果木塊不固定，子彈擊中木塊的過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)子彈恰好射穿木
塊時(shí)木塊的棱長(zhǎng)為，木塊和子彈的速度均為 ，以子彈的速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)
量守恒定律得
由能量守恒定律得
代入數(shù)據(jù)解得 ，因此子彈能穿過(guò)木塊.
（3）在（2）的情況下，木塊和子彈的最終速度分別為多大？
【答案】
【解析】子彈射穿木塊過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)最終子彈的速度為,木塊的速度為 ,
以子彈的速度方向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律得
由能量守恒定律得
代入數(shù)據(jù)解得，，不符合實(shí)際，舍去 .
建構(gòu)導(dǎo)圖明思路
（1）
（2）（3）
子彈打木塊模型的分析方法
子彈打木塊模型和滑塊—滑板模型類似,都是通過(guò)滑動(dòng)摩擦力發(fā)生相互作用,當(dāng)系統(tǒng)所
受合外力為零時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒,系統(tǒng)的機(jī)械能一般不守恒，多用動(dòng)能定理、功能關(guān)
系求解.
子彈打木塊模型涉及下列幾條主要的力學(xué)規(guī)律.
動(dòng)力學(xué)規(guī)律 由于組成系統(tǒng)的兩物體受到大小相同、方向相反的一對(duì)相互作用
力，故兩物體的加速度大小與質(zhì)量成反比，方向相反.
運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律 “子彈”穿過(guò)“木塊”可看作兩個(gè)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)
問(wèn)題.在一段時(shí)間內(nèi)“子彈”射入“木塊”的深度，就是這段時(shí)間內(nèi)兩者
相對(duì)位移的大小.
動(dòng)量規(guī)律 由于系統(tǒng)不受外力作用，故而遵從動(dòng)量守恒定律.
能量規(guī)律 由于系統(tǒng)摩擦力做負(fù)功，系統(tǒng)動(dòng)能減少,轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，力對(duì)“子彈”做
的功等于“子彈”動(dòng)能的減少量，力對(duì)“木塊”做的功等于“木塊”動(dòng)能的
增加量.
類型3 連接體模型
例11 如圖1-5-14所示,光滑水平路面上,有一質(zhì)量為 的無(wú)動(dòng)力小車以速率
向前行駛,小車由輕繩與另一質(zhì)量為 的車廂連接,車廂右端有一
質(zhì)量為的物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）,物體與車廂之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ,開(kāi)
始時(shí)物體靜止在車廂上,繩子是松弛的.取 ，求:
圖1-5-14
（1）當(dāng)小車、車廂、物體以共同速度運(yùn)動(dòng)時(shí),物體相對(duì)車廂的位移大小（設(shè)物體不
會(huì)從車廂上滑下）;
【答案】
【解析】繩從伸直到拉緊的時(shí)間極短,在此過(guò)程中,可認(rèn)為物體仍處于靜止?fàn)顟B(tài),小車
與車廂動(dòng)量守恒,設(shè)小車與車廂的共同速度為 ,以小車和車廂為研究對(duì)象,由動(dòng)量守
恒定律有
解得
繩拉緊后,物體與車廂發(fā)生相對(duì)滑動(dòng),最終小車、車廂和物體三者相對(duì)靜止,具有共同
速度.再將小車、車廂和物體三者看成一個(gè)系統(tǒng),系統(tǒng)動(dòng)量守恒,設(shè)它們最后的共同速
度為 ,則由動(dòng)量守恒定律有
解得
設(shè)物體相對(duì)車廂的位移為 ,則在此過(guò)程中由能量守恒定律有
解得 .
（2）從繩拉緊到小車、車廂、物體具有共同速度所需的時(shí)間.
【答案】
【解析】對(duì)物體,由動(dòng)量定理有
解得
所以,從繩拉緊到小車、車廂、物體具有共同速度所需時(shí)間為 .
思路點(diǎn)撥本題中小車與車廂間由松弛的繩子相連接，必須明確在繩拉緊瞬間，物體
仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，而小車與車廂則有共同的速度，相當(dāng)于兩者之間發(fā)生了完全非彈
性碰撞，兩者組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.
分析繩連接體相互作用問(wèn)題的要點(diǎn)
在繩連接體中，物體與物體之間的相互作用是通過(guò)輕繩發(fā)生的,因?yàn)槔K子不可伸長(zhǎng)且
不考慮質(zhì)量，則：
（1）繩連接體作用時(shí)間極短,內(nèi)力很大，這時(shí)不管系統(tǒng)受不受外力作用,一般都可以
視為動(dòng)量守恒.
（2）繩雖不可伸長(zhǎng),但有能量損失.物體間的相互作用是通過(guò)繩子傳遞的,且繩子受力
后系統(tǒng)會(huì)有一部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為繩子的內(nèi)能.所謂繩子“不可伸長(zhǎng)”,只是說(shuō)明繩連接體間
相互作用時(shí)間短,而不是說(shuō)繩子在物體相互作用的過(guò)程中不消耗能量.
類型4 光滑圓弧軌道模型
例12 如圖1-5-15所示，在光滑水平面上有一個(gè)長(zhǎng)為的木板 ，上表面粗糙，在其左
端有一個(gè)光滑的圓弧槽, 與長(zhǎng)木板接觸但不連接，且下端與木板的上表面相平，
、靜止在水平面上.某時(shí)刻滑塊以初速度從右端滑上并以的速度滑離 ，恰
好能到達(dá)的最高點(diǎn).、、的質(zhì)量均為，重力加速度為 ，試求：
圖1-5-15
（1）滑塊與木板上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù) ；
【答案】
【解析】當(dāng)在上滑動(dòng)時(shí)，與、整體發(fā)生相互作用，由于水平面光滑，與 、
組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以水平向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
①
由能量守恒定律知，系統(tǒng)動(dòng)能的減少量等于、 發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能,即
②
聯(lián)立①②解得， ③.
（2）圓弧槽的半徑 ；
【答案】
【解析】當(dāng)滑上時(shí)，與分離，、發(fā)生相互作用. 到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)兩者的速度
相等，設(shè)為，、 組成的系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，有
④
A、 組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有
⑤
聯(lián)立③④⑤解得 .
（3）、 最終分離時(shí)，各自的速度大小.
【答案】、的速度大小分別為、
【解析】滑上后，與分離，只有與發(fā)生相互作用，的速度一直為 ，設(shè)
滑離時(shí)，的速度大小為，的速度大小為，對(duì)與 組成的系統(tǒng)，由動(dòng)量守
恒定律得
由系統(tǒng)能量守恒得
聯(lián)立解得，，故另一解舍去 .
信息提取析題意
題眼 關(guān)鍵點(diǎn)
光滑水平面 、、 組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒.
滑塊恰好能到達(dá) 的最高點(diǎn) 和 具有共同的速度.
類型5 滑塊—滑板模型
例14 （2025·陜西西安市鐵一中學(xué)月考）如圖1-5-16，一長(zhǎng)木板在光滑的水平面上以
速度 向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，將一小滑塊無(wú)初速度地輕放在木板最右端.已知滑塊和
木板的質(zhì)量分別為和，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，重力加速度為 .
圖1-5-16
（1）滑塊相對(duì)木板靜止時(shí)，求它們的共同速度大小；
【答案】
【解析】由于水平面光滑，則木板與滑塊組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，規(guī)定向右為正方向，則
解得 .
（2）某時(shí)刻木板速度是滑塊的2倍，求此時(shí)滑塊到木板最右端的距離；
【答案】
【解析】由于木板速度是滑塊的2倍，則有
根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
聯(lián)立解得，
根據(jù)功能關(guān)系有
解得此時(shí)滑塊到木板最右端的距離 .
（3）若滑塊輕放在木板最右端的同時(shí)，給木板施加一水平向右的外力，使得木板保
持勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到滑塊相對(duì)木板靜止，求此過(guò)程中滑塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間以及外力所
做的功.
【答案】
【解析】由于木板保持勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有
對(duì)滑塊進(jìn)行受力分析，并根據(jù)牛頓第二定律有
滑塊相對(duì)木板靜止時(shí)有
解得
整個(gè)過(guò)程中木板滑動(dòng)的距離為
外力所做的功為 .
考試課丨核心素養(yǎng)聚焦
考情揭秘 素養(yǎng)點(diǎn)擊
基本考查點(diǎn) 碰撞的特點(diǎn)，彈性碰撞的規(guī)律. 1.了解彈性碰撞和非彈性碰撞的特
點(diǎn)，能用證據(jù)分析解釋彈性碰撞和
非彈性碰撞問(wèn)題.
2.能在熟悉的問(wèn)題情境中根據(jù)實(shí)際
情況選擇彈性碰撞或非彈性碰撞模
型解決物理問(wèn)題.
熱點(diǎn)及難點(diǎn) 多物體碰撞問(wèn)題，碰撞中的綜 合問(wèn)題. 題型及難度 以計(jì)算題為主，難度中等偏上. 高考中地位 高考常考內(nèi)容之一，多與其他 知識(shí)綜合命題. 考向1 考查彈性碰撞問(wèn)題
例14 （2024·廣東卷，多選）如圖1-5-17所示，光滑斜坡上，可視為質(zhì)點(diǎn)的甲、乙兩
個(gè)相同滑塊，分別從、高度同時(shí)由靜止開(kāi)始下滑.斜坡與水平面在 處平滑相
接，滑塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，乙在水平面上追上甲時(shí)發(fā)生彈性碰撞.忽略
空氣阻力.下列說(shuō)法正確的有( )
ABD
圖1-5-17
A.甲在斜坡上運(yùn)動(dòng)時(shí)與乙相對(duì)靜止
B.碰撞后瞬間甲的速度等于碰撞前瞬間乙的速度
C.乙的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與 無(wú)關(guān)
D.甲最終停止位置與處相距
本題以兩相同滑塊在斜坡和水平面上的運(yùn)動(dòng)為素材，創(chuàng)設(shè)了探究?jī)苫瑝K的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、
碰撞過(guò)程中的動(dòng)量和能量變化關(guān)系的問(wèn)題情境，主要考查彈性碰撞、動(dòng)量守恒定律
和能量守恒定律等知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)考查考生的理解能力和推理論證能力.
【解析】
【類題鏈接丨變式題】
類題1 （2024·廣西卷，多選）如圖1-5-18，在光滑平臺(tái)上有兩個(gè)相同的彈性小球
和水平向右運(yùn)動(dòng)，速度大小為與靜置于平臺(tái)邊緣的 發(fā)生正碰，碰撞過(guò)程中
總機(jī)械能守恒.若不計(jì)空氣阻力，則碰撞后， 在( )
BC
圖1-5-18
A.豎直墻面上的垂直投影的運(yùn)動(dòng)是勻速運(yùn)動(dòng)
B.豎直墻面上的垂直投影的運(yùn)動(dòng)是勻加速運(yùn)動(dòng)
C.水平地面上的垂直投影的運(yùn)動(dòng)速度大小等于
D.水平地面上的垂直投影的運(yùn)動(dòng)速度大小大于
【解析】由于兩小球碰撞過(guò)程中機(jī)械能守恒，可知兩小球碰撞過(guò)程是彈性碰撞，根
據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律可知， ，
由于兩小球質(zhì)量相等，故碰撞后兩小球交換速度，即，，碰后小球
做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即水平地面上的垂直投影的運(yùn)動(dòng)速度大
小等于 ；在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，即豎直墻面上的垂直投影的運(yùn)動(dòng)是勻加速
運(yùn)動(dòng).故選B、C.
考向2 考查經(jīng)典模型—— 子彈打木塊
例15 （2024·湖北卷，多選）如圖1-5-19所示，在光滑水平面上靜止放置一質(zhì)量為 、
長(zhǎng)為的木塊，質(zhì)量為 的子彈水平射入木塊.設(shè)子彈在木塊內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力
不變，其大小與射入初速度大小成正比，即為已知常數(shù) .改變子彈的
初速度大小 ，若木塊獲得的速度最大，則( )
AD
圖1-5-19
A.子彈的初速度大小為
B.子彈在木塊中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
C.木塊和子彈損失的總動(dòng)能為
D.木塊在加速過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的距離為
信息提取析題意
提取有效信息 信息加工與模型建構(gòu)
光滑水平面 子彈和木塊組成的系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)動(dòng)
量守恒.
子彈在木塊內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到 的阻力不變 子彈和木塊所受合力均為恒力，子彈和木塊均做
勻變速直線運(yùn)動(dòng).
【解析】
設(shè)子彈未擊穿木塊（留在木塊中與木塊一起運(yùn)動(dòng)）或擊穿木塊后的速度為 ，木塊
獲得的速度為 .
第一種情況：子彈未擊穿木塊
第二種情況：子彈擊穿了木塊
（用平均速度求位移）
設(shè)擊穿木塊的時(shí)間為 .
（用函數(shù)求極值）
綜上，當(dāng)子彈剛好擊穿（或剛好未擊穿）木塊時(shí) ，木塊獲得的速度最大，
最大速度 .以下為基于“解法1”的推理論證過(guò)程：
推理依據(jù) 推理結(jié)果 選項(xiàng)判斷
A項(xiàng)正確
B項(xiàng)錯(cuò)誤
C項(xiàng)錯(cuò)誤
D項(xiàng)正確
命題 探源 本題是教材第35頁(yè)“本章復(fù)習(xí)題”第9題的改編題，以“子彈打木塊”為背景素
材，創(chuàng)設(shè)尋求物體獲得最大速度的臨界狀態(tài)的學(xué)習(xí)探索問(wèn)題情境，“子彈打
木塊”模型是最典型的中學(xué)物理模型之一，各版本教材中都有同源情境，考
生應(yīng)透徹理解并引起重視.
素養(yǎng) 探源 核心素養(yǎng) 考查途徑
物理觀念 通過(guò)子彈擊中木塊前后及子彈在木塊中的運(yùn)動(dòng)，考查動(dòng)量守
恒定律、勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式、牛頓第二定律及功能關(guān)系等
知識(shí)的應(yīng)用，考查考生對(duì)基本概念和規(guī)律的掌握情況，以及
物理觀念中的運(yùn)動(dòng)觀念和能量觀念.
科學(xué)思維 本題綜合考查動(dòng)量守恒定律、勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式、牛頓第
二定律及功能關(guān)系等，要求考生能夠靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決
問(wèn)題，考查考生的信息獲取與加工能力、模型建構(gòu)能力、邏
輯推理與論證能力.本題中用函數(shù)求極值的方法求解，計(jì)算量
大，對(duì)數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用要求很高，容易讓人望而生畏，最終
不能得出正確的結(jié)果.
續(xù)表
考向3 考查多過(guò)程中的動(dòng)量問(wèn)題
例16 （2024·山東卷）如圖1-5-20甲所示，質(zhì)量為 的軌道靜止在光滑水平面上，軌
道水平部分的上表面粗糙，豎直半圓形部分的表面光滑，兩部分在點(diǎn)平滑連接，
為軌道的最高點(diǎn).質(zhì)量為 的小物塊靜置在軌道水平部分上，與水平軌道間的動(dòng)摩擦
因數(shù)為 ，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.已知軌道半圓形部分的半徑 ，重
力加速度大小 .
圖1-5-20
（1）若軌道固定，小物塊以一定的初速度沿軌道運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)時(shí)，受到軌道的彈力大
小等于，求小物塊在點(diǎn)的速度大小 ；
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知，小物塊在點(diǎn)，由合力提供向心力有
代入數(shù)據(jù)解得 .
（2）若軌道不固定，給軌道施加水平向左的推力 ，小物塊處在軌道水平部分時(shí)，
軌道加速度與 對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖乙所示.
（i）求 和 ；
【答案】
【解析】根據(jù)題意可知，當(dāng) 時(shí)，小物塊與軌道一起向左加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓
第二定律可知
根據(jù)圖乙有
當(dāng)外力時(shí)，軌道與小物塊發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則對(duì)軌道有 ，即
結(jié)合圖乙有斜率
縱截距
聯(lián)立以上各式可得，， .
（ii）初始時(shí)，小物塊靜置在軌道最左端，給軌道施加水平向左的推力 ，當(dāng)
小物塊到點(diǎn)時(shí)撤去，小物塊從點(diǎn)離開(kāi)軌道時(shí)相對(duì)地面的速度大小為 .求軌
道水平部分的長(zhǎng)度 .
【答案】
【解析】小物塊的加速度大小為，由圖乙可知，當(dāng) 時(shí)，軌
道的加速度大小為
設(shè)小物塊經(jīng)過(guò)時(shí)間運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則此時(shí)軌道的速度大小 ，小物塊的速度大
小
小物塊從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有
小物塊從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)的過(guò)程中，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，以水平向左為正方向，
則有
其中，,為小物塊離開(kāi)點(diǎn)時(shí)的速度， 為此時(shí)軌道的速度.
聯(lián)立解得（另一解，該解不滿足 ,故不符合題意，舍去）
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有
代入數(shù)據(jù)解得 .
本題以水平與半圓形軌道和物塊組成的系統(tǒng)為素材，考查了圓周運(yùn)動(dòng)與動(dòng)量守恒的綜
合問(wèn)題，涉及多個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，主要考查了動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、圓
周運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)等知識(shí)的應(yīng)用，重點(diǎn)考查考生的理解能力與推理論證能力.
信息提取析題意
提取有效信息 信息加工與模型建構(gòu)
光滑水平面 如果軌道不受推力，則軌道和物塊組成的系統(tǒng)在水平方向上所
受合力為零，系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒.
豎直半圓形部分的 表面光滑 小物塊在豎直軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，小物塊和軌道組成的系統(tǒng)機(jī)械能
守恒.
圖像 之前，物塊和軌道相對(duì)靜止，加速度相同； 之
后，物塊和軌道開(kāi)始相對(duì)滑動(dòng).
【類題鏈接丨變式題】
圖1-5-21
類題2 （2024·天津卷）如圖1-5-21所示，光滑半圓軌道直徑
沿豎直方向，最低點(diǎn)與水平面相切.對(duì)靜置于軌道最低點(diǎn)的小
球施加水平向左的瞬時(shí)沖量， 沿軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，與
用輕繩懸掛的靜止小球正碰并粘在一起.已知 ，
、的質(zhì)量分別為、 ，軌道半徑和繩
長(zhǎng)均為 ，兩球均視為質(zhì)點(diǎn)，輕繩不可伸長(zhǎng)，重力加
速度取 ，不計(jì)空氣阻力.求：
（1）與碰前瞬間 的速度大小；
【答案】
【解析】根據(jù)題意，設(shè)小球從最低點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為 ，由動(dòng)量定理有
設(shè)與碰前瞬間的速度大小為， 沿軌道從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理有
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得 .
（2）、 碰后瞬間輕繩的拉力大小.
【答案】
【解析】與用輕繩懸掛的靜止小球 正碰并粘在一起，由動(dòng)量守恒定律有
設(shè)、碰后瞬間輕繩的拉力大小為 ，由牛頓第二定律有
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得 .
圖1-5-22
類題3 （2024· 黑吉遼卷）如圖1-5-22，高度
的水平桌面上放置兩個(gè)相同物塊、 ，質(zhì)
量.、間夾一壓縮量
的輕彈簧，彈簧與、不拴接.同時(shí)由靜止釋放 、
，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí) 恰好從桌面左端沿水平方向飛
出，水平射程； 脫離彈簧后沿桌面滑行
一段距離后停止.、 均視為質(zhì)點(diǎn)，取
重力加速度 .求：
（1）脫離彈簧時(shí)、的速度大小和 ；
【答案】
【解析】對(duì) 物塊，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)得
，
代入數(shù)據(jù)解得，脫離彈簧時(shí)的速度大小為
A、 物塊質(zhì)量相等，同時(shí)受到大小相等、方向相反的彈簧彈力及大小相等、方向相
反的摩擦力，則、物塊整體動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
解得脫離彈簧時(shí)的速度大小為 .
（2）物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù) ；
【答案】0.2
【解析】對(duì)物塊，由動(dòng)能定理有
代入數(shù)據(jù)解得，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 .
（3）整個(gè)過(guò)程中，彈簧釋放的彈性勢(shì)能 .
【答案】
【解析】對(duì)、 與彈簧相互作用的過(guò)程，由能量守恒定律知
其中，
解得整個(gè)過(guò)程中，彈簧釋放的彈性勢(shì)能 .
類題4 （2024·浙江1月選考科目試題）某固定裝置的豎直截面如圖1-5-23所示，由傾
角 的直軌道，半徑的圓弧軌道，長(zhǎng)度、傾角為
的直軌道，半徑為、圓心角為 的圓弧管道 組成，軌道間平滑連接.在軌道末
端的右側(cè)光滑水平面上緊靠著質(zhì)量的滑塊，其上表面與軌道末端 所在
的水平面平齊.質(zhì)量的小物塊從軌道上高度為 處由靜止釋放，經(jīng)圓弧
軌道滑上軌道，軌道由特殊材料制成，小物塊 向上運(yùn)動(dòng)時(shí)與軌道間動(dòng)摩
擦因數(shù) ，
向下運(yùn)動(dòng)時(shí)與軌道間動(dòng)摩擦因數(shù) ，且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.當(dāng)小物
塊在滑塊上滑動(dòng)時(shí)與滑塊上表面間動(dòng)摩擦因數(shù)恒為，小物塊 運(yùn)動(dòng)到滑塊右側(cè)
的豎直擋板處能發(fā)生完全彈性碰撞.（其他軌道均光滑，小物塊視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣
阻力，，，取 ）
圖1-5-23
（1）若 ，求小物塊：
【解析】①對(duì)小物塊從到第一次經(jīng)過(guò) 的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
第一次經(jīng)過(guò)點(diǎn)的向心加速度大小為
聯(lián)立解得 .
①第一次經(jīng)過(guò) 點(diǎn)的向心加速度大小；
【答案】
②在 上經(jīng)過(guò)的總路程；
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，由幾何知識(shí)知，、間高度小于、間高度，故小物塊
不能到達(dá) 點(diǎn)
小物塊在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)?，所以小物塊每次在 上升
至最高點(diǎn)后一定會(huì)下滑，之后經(jīng)過(guò)若干次在 上的滑動(dòng)，機(jī)械能不斷減小，最終小
物塊將在、間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)（【點(diǎn)撥】小物塊在、 兩點(diǎn)速度恰好為零.），且易
知小物塊每次在 上向上運(yùn)動(dòng)和
向下運(yùn)動(dòng)的距離相等，設(shè)其在上經(jīng)過(guò)的總路程為 ，根據(jù)功能關(guān)系有
解得 .
. .
. .
. .
. .
③在上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間和向下運(yùn)動(dòng)時(shí)間 之比.
【答案】
【解析】根據(jù)牛頓第二定律可知小物塊在 上向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)的加速度大小
分別為
將小物塊在 上的若干次運(yùn)動(dòng)等效看作是一次完整的上滑和下滑，則根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)
公式有
解得 .
（2）若 ，滑塊至少多長(zhǎng)才能使小物塊不脫離滑塊？
【答案】
【解析】假設(shè)小物塊能到達(dá)點(diǎn)，對(duì)小物塊從到 的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有
解得 ，假設(shè)成立
設(shè)滑塊長(zhǎng)度為時(shí)，小物塊恰好不脫離滑塊，則小物塊返回滑塊 左端時(shí)，二者剛
好達(dá)到共同速度，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有
解得
故滑塊長(zhǎng)度至少為 才能使小物塊不脫離滑塊.
信息提取析題意
提取有效信息 信息加工與模型建構(gòu)
光滑水平面 物塊滑上滑塊后，、 組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒.
發(fā)生完全彈性碰撞 物塊與滑塊 組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能無(wú)損失.
使小物塊不脫離滑塊 小物塊撞擊擋板反彈后，與滑塊達(dá)到共速時(shí)小物塊不脫
離滑塊.
新考法 開(kāi)放探究
考法解讀力學(xué)綜合問(wèn)題的求解離不開(kāi)力學(xué)三大觀點(diǎn)：以牛頓運(yùn)動(dòng)定律和勻變速直線
運(yùn)動(dòng)規(guī)律為核心的力的觀點(diǎn)、以動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律為核心的能的觀點(diǎn)、以
動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律為核心的動(dòng)量的觀點(diǎn)，這類問(wèn)題常以計(jì)算題的形式出現(xiàn)，
往往涉及多個(gè)物體、多個(gè)過(guò)程，通常還會(huì)涉及臨界問(wèn)題、多解問(wèn)題、分類討論等開(kāi)
放性問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)，常常作為壓軸題出現(xiàn).
圖1-5-24
例17 （2024·安徽卷）如圖1-5-24所示，一實(shí)
驗(yàn)小車靜止在光滑水平面上，其上表面有粗糙
水平軌道與光滑四分之一圓弧軌道.圓弧軌道
與水平軌道相切于圓弧軌道最低點(diǎn)，一物塊靜
止于小車最左端，一小球用不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)
線懸掛于 點(diǎn)正下方，并輕靠在物塊左側(cè).現(xiàn)將
細(xì)線拉直到水平位置時(shí)，靜止釋放小球，小球
運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與物塊發(fā)生彈性碰撞.碰撞后，物塊沿著小車上的軌道運(yùn)動(dòng)，已知細(xì)
線長(zhǎng).小球質(zhì)量.物塊、小車質(zhì)量均為 .小車上的水
平軌道長(zhǎng).圓弧軌道半徑 .小球、物塊均可視為質(zhì)點(diǎn).不計(jì)空氣阻
力，重力加速度取 .
（1）求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)與物塊碰撞前所受拉力的大小；
【答案】
【解析】對(duì)小球由細(xì)線水平位置擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理有
解得
在最低點(diǎn)，對(duì)小球，由牛頓第二定律有
解得小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)與物塊碰撞前所受拉力的大小為 .
（2）求小球與物塊碰撞后的瞬間，物塊速度的大小；
【答案】
【解析】小球與物塊發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有
解得小球與物塊碰撞后的瞬間，物塊速度的大小為
.
（3）為使物塊能進(jìn)入圓弧軌道，且在上升階段不脫離小車，求物塊與水平軌道間的
動(dòng)摩擦因數(shù) 的取值范圍.
【答案】
【解析】若物塊恰好運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)兩者共速，則對(duì)物塊與小車整
體，由水平方向動(dòng)量守恒有
由能量守恒定律有
解得
若物塊恰好運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道最高點(diǎn)，此時(shí)兩者共速，則對(duì)物塊與小車整體，由水平
方向動(dòng)量守恒有
由能量守恒定律有
解得
綜上所述，物塊與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù) 的取值范圍為 .
考法創(chuàng)新 本題以小球、物塊碰撞后再與小車相互作用為素材，創(chuàng)設(shè)了科學(xué)探究問(wèn)題
情境，匯集了“繩球”模型、彈性碰撞、“板塊”模型等典型模型，第（3）問(wèn)求動(dòng)摩擦
因數(shù) 的取值范圍，需要討論 取最小值時(shí)的臨界狀態(tài)和 取最大值時(shí)的臨界狀態(tài)，
很好地考查了考生的分析綜合能力和推理論證能力.
信息提取析題意
關(guān)鍵表述 物理量及其關(guān)系
將細(xì)線拉直到水平位置 時(shí)，靜止釋放小球，小球 運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與物塊發(fā) 生彈性碰撞 小球由細(xì)線水平位置做圓周運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，機(jī)械能守
恒，細(xì)線對(duì)小球的拉力和小球的重力的合力提供小球
做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力；小球與物塊在最低點(diǎn)發(fā)
生彈性碰撞，碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒.
為使物塊能進(jìn)入圓弧軌 道，且在上升階段不脫離 小車 物塊能進(jìn)入且不脫離圓弧軌道，臨界狀態(tài)為恰好到達(dá)
圓弧軌道最低點(diǎn)或最高點(diǎn)時(shí)，物塊與小車共速.
【類題鏈接丨變式題】
圖1-5-25
類題5 （2024·湖北卷）如圖1-5-25所示，水平傳送帶
以 的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，傳送帶左右兩端的距
離為.傳送帶右端的正上方有一懸點(diǎn) ，用長(zhǎng)為
、不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛一質(zhì)量為 的小球，
小球與傳送帶上表面平齊但不接觸.在點(diǎn)右側(cè)的 點(diǎn)固
定一釘子，點(diǎn)與點(diǎn)等高.將質(zhì)量為 的小物塊無(wú)
初速度輕放在傳送帶左端，小物塊運(yùn)動(dòng)到右端與小球正碰，碰撞時(shí)間極短，碰后瞬
間小物塊的速度大小為、方向水平向左.小球碰后繞 點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)輕繩被
釘子擋住后，小球繼續(xù)繞點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng).已知小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，
重力加速度大小 .
（1）求小物塊與小球碰撞前瞬間，小物塊的速度大小；
【答案】
【解析】根據(jù)題意，小物塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律有
解得
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得，小物塊與傳送帶共速時(shí)運(yùn)動(dòng)的距離為
可知，小物塊運(yùn)動(dòng)到傳送帶右端前就與傳送帶共速，即小物塊與小球碰撞前瞬間，
小物塊的速度大小等于傳送帶的速度大小 .
（2）求小物塊與小球碰撞過(guò)程中，兩者構(gòu)成的系統(tǒng)損失的總動(dòng)能；
【答案】
【解析】小物塊運(yùn)動(dòng)到右端與小球正碰，碰撞時(shí)間極短，小物塊與小球組成的系統(tǒng)
動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律有 ，其中
，
解得
小物塊與小球碰撞過(guò)程中，兩者構(gòu)成的系統(tǒng)損失的總動(dòng)能為
解得 .
（3）若小球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)正上方，繩子不松弛，求點(diǎn)到 點(diǎn)的最小距離.
【答案】
【解析】若小球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)正上方，繩子恰好不松弛，設(shè)此時(shí)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為 ，
小球在點(diǎn)正上方的速度為，在點(diǎn)正上方，由牛頓第二定律有
小球從點(diǎn)正下方到 點(diǎn)正上方過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律有
聯(lián)立解得
即點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為 .
信息提取析題意
提取有效信息 信息加工與模型建構(gòu)
碰撞時(shí)間極短 內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，物塊與小球碰撞過(guò)程中，可認(rèn)為
系統(tǒng)動(dòng)量守恒.
小球繼續(xù)繞 點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng) 小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩子拉力始終垂直于小球速度方
向，繩子拉力不做功，只有重力對(duì)小球做功，小球
的機(jī)械能守恒.
小球運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)正上方，繩子 不松弛，求點(diǎn)到 點(diǎn)的最小距 離 小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力.
習(xí)題課丨學(xué)業(yè)質(zhì)量測(cè)評(píng)
A 基礎(chǔ)練丨知識(shí)測(cè)評(píng)
建議時(shí)間:25 分鐘
1.兩個(gè)物體碰撞前后，下列說(shuō)法可以成立的是( )
B
A.作用后的總機(jī)械能比作用前大，但總動(dòng)量守恒
B.作用前后總動(dòng)量均為零，但總動(dòng)能守恒
C.作用前后總動(dòng)能為零，而總動(dòng)量不為零
D.作用前后總動(dòng)量守恒，而系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)量增量的總和不為零
【解析】碰撞過(guò)程作用時(shí)間短，作用力強(qiáng)，滿足動(dòng)量守恒的條件，故碰撞過(guò)程動(dòng)量
是守恒的，碰撞后的機(jī)械能不可能大于碰撞前的機(jī)械能，故A錯(cuò)誤；如果質(zhì)量相同
的兩個(gè)物體以大小相等的速度相向運(yùn)動(dòng)，發(fā)生彈性正碰，則作用前后總動(dòng)量均為零，
且總動(dòng)能守恒，故B正確；兩物體作用前后總動(dòng)能為零，說(shuō)明兩物體均處于靜止?fàn)顟B(tài)，
則總動(dòng)量一定為零，C錯(cuò)誤；兩物體作用前后總動(dòng)量守恒，系統(tǒng)內(nèi)各物體動(dòng)量增量的
總和即系統(tǒng)總動(dòng)量的增量應(yīng)為零，D錯(cuò)誤.
2.質(zhì)量為的甲物塊靜止在水平面上，質(zhì)量為 的乙物塊在水平面上以一定的
初速度向甲滑去，與甲發(fā)生正碰后，兩者粘在一起，碰撞過(guò)程甲物塊受到乙物塊的
沖量大小為 ，則碰撞前乙的速度大小為( )
C
A. B. C. D.
【解析】設(shè)碰撞后甲的速度大小為，對(duì)甲物塊，根據(jù)動(dòng)量定理得 ，
解得，設(shè)碰撞前乙的速度大小為 ，取碰撞前乙的速度方向?yàn)檎较颍?br/>對(duì)甲、乙的碰撞過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得 ，解得
，選項(xiàng)C正確.
3.一支煙花豎直升空后在高為 處的最高點(diǎn)發(fā)生爆炸，分為質(zhì)量不同的兩碎塊
（水平炸開(kāi)），兩碎塊質(zhì)量之比為，其中小的一塊落地時(shí)水平位移為 ，則兩
碎塊落地后相距( )
C
A. B. C. D.
【解析】設(shè)兩碎塊的質(zhì)量分別為, ,爆炸過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以小碎塊的速度方
向?yàn)檎较颍蓜?dòng)量守恒定律得，解得 ,兩碎塊落地用時(shí)相
等，則大碎塊落地時(shí)水平位移 ,兩碎塊落地后相距
,選項(xiàng)C正確.
4.［教材第35頁(yè)“本章復(fù)習(xí)題”第11題改編］在光滑的水平面上，質(zhì)量為的小球 以
速度向右運(yùn)動(dòng)，在小球的前方點(diǎn)有一質(zhì)量為（形狀與完全相同）的小球
處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示.小球與小球發(fā)生正碰后小球、均向右運(yùn)動(dòng)，小球 在
點(diǎn)處被墻壁彈回，返回時(shí)與小球在點(diǎn)相遇， .假設(shè)小球間的碰撞及小球
與墻壁之間的碰撞都是彈性碰撞.則( )
C
A. B. C. D.
【解析】?jī)汕虬l(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰后、兩球的速度分別為、 ，規(guī)定向右為正
方向，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒得 .已知小球間的碰撞及小球與墻壁之
間的碰撞均無(wú)機(jī)械能損失，由機(jī)械能守恒定律得 ，且從兩
球碰撞后到它們?cè)俅蜗嘤觯瑑汕虻乃俣却笮”３植蛔儯蛇\(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有
（【點(diǎn)撥】根據(jù)碰后再次相遇的路程關(guān)系，求出小球
碰后的速度大小之比.），聯(lián)立解得 ，選項(xiàng)C正確.
. .
5.經(jīng)典模型 如圖所示，質(zhì)量為 的木塊位于光滑水平面上，木塊與墻之間用輕彈
簧連接，開(kāi)始時(shí)木塊靜止在位置.現(xiàn)有一質(zhì)量為的子彈以水平速度 射向木塊并
嵌入其中，則當(dāng)木塊回到位置時(shí)的速度大小以及整個(gè)過(guò)程中墻對(duì)彈簧的沖量 的大
小分別為( )
D
A.， B.，
C.， D.，
【解析】子彈射入木塊過(guò)程，由于時(shí)間極短，子彈與木塊間的內(nèi)力遠(yuǎn)大于系統(tǒng)外力，
系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得 ，解得
，子彈射入木塊后，子彈和木塊組成的系統(tǒng)在彈簧彈力的作用下先向右做
減速運(yùn)動(dòng)，后向左做加速運(yùn)動(dòng)，回到位置時(shí)速度大小不變，即木塊回到 位置時(shí)的
速度大小為 ，子彈和木塊及彈簧組成的系統(tǒng)受到的合力等于墻對(duì)彈簧的作
用力，根據(jù)動(dòng)量定理得，所以墻對(duì)彈簧的沖量 的
大小為 ，選項(xiàng)D正確.
6.（多選）如圖所示是質(zhì)量為的小球和質(zhì)量為的小球 在光滑
水平面上做對(duì)心碰撞前后的 圖像，由圖可知( )
BD
A.兩個(gè)小球在碰撞前后總動(dòng)量不守恒
B.碰撞過(guò)程中，損失的動(dòng)能是
C.碰撞前后， 的動(dòng)能不變
D.這兩個(gè)小球的碰撞是彈性碰撞
【解析】根據(jù)圖像的斜率表示速度，可知球的初速度為， 球的初速度
為，碰撞后球的速度為，碰撞后
球的速度為 ，碰撞前兩球總動(dòng)量為
，碰撞后兩球總動(dòng)量為 ，
故兩個(gè)小球在碰撞前后總動(dòng)量守恒，A錯(cuò)誤；碰撞過(guò)程中， 球的動(dòng)能變化量為
，即損失的動(dòng)能是 ，B正確；
碰撞前的動(dòng)能為0，碰撞后的動(dòng)能大于零，C錯(cuò)誤； 球動(dòng)能增加量為
，則碰撞前后兩球組成的系統(tǒng)的總動(dòng)能不變，此碰撞是彈性
碰撞，D正確.
7.在核反應(yīng)堆里，用石墨做減速劑，使鈾核裂變所產(chǎn)生的快中子通過(guò)與碳核不斷碰
撞而減速．假設(shè)中子與碳核發(fā)生的是彈性正碰，且碰撞前碳核是靜止的．已知碳核
的質(zhì)量近似為中子質(zhì)量的12倍，中子原來(lái)的動(dòng)能為 ，試求：經(jīng)過(guò)一次碰撞后中子
的動(dòng)能變?yōu)槎嗌?
【答案】
【解析】規(guī)定中子的方向?yàn)檎较颍瑥椥哉鲎裱瓌?dòng)量守恒定律和能量守恒定
律．設(shè)中子的質(zhì)量,碳核的質(zhì)量 ．有
①
②
由上述兩式整理得 ③
則經(jīng)過(guò)一次碰撞后中子的動(dòng)能
.
B 綜合練丨選考通關(guān)
建議時(shí)間:30分鐘
8.如圖所示，豎直平面內(nèi)光滑軌道末端與光滑水平桌面相切，小球 靜止在軌道的最
低點(diǎn).現(xiàn)將小球從軌道的最高點(diǎn)無(wú)初速度釋放.已知，圖中 ，重力
加速度，則、碰后小球 的速度大小可能是( )
A
A. B. C. D.
【解析】小球 下滑過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
解得
若兩球發(fā)生的是彈性碰撞，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得
解得
若兩球發(fā)生的是完全非彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律得
解得
所以碰后小球的速度大小范圍為
故選A.
9.（2025·山東煙臺(tái)一中月考，多選）如圖所示，在光滑水平面的左側(cè)固定一豎直彈
性擋板，擋板右側(cè)依次放有10個(gè)質(zhì)量均為 的彈性白色小球（在一條直線上），一
質(zhì)量為的紅色小球以與白色小球共線的速度 與1號(hào)小球發(fā)生彈性正碰，紅色小球
反彈后與擋板發(fā)生彈性碰撞，碰后速度方向與碰前速度方向相反，兩彈性白色小球
碰撞時(shí)交換速度，則下列說(shuō)法正確的是( )
BD
A.10號(hào)小球最終速度為 B.10號(hào)小球最終速度為
C.紅色小球最終速度為 D.紅色小球最終速度為
【解析】設(shè)紅色小球與1號(hào)小球碰撞后兩球速度分別為和 ，取向右為正方向，
根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 ，由能量守恒定律有
，解得， ，白色小球碰撞時(shí)交換速度，
故10號(hào)小球最終速度為 ，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)紅色小球被擋板反彈與1號(hào)小球
發(fā)生第2次碰撞后速度為，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有 ，根據(jù)
能量守恒定律，有，解得 ，依此類推，紅
色小球與1號(hào)小球碰撞10次后的速度為 ，再被擋板反彈后，紅色小球最終速
度為 ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確.
10.［2025·八省聯(lián)考（云南）高考適應(yīng)性演練，多
選］如圖甲所示，內(nèi)表面光滑的“ ”形槽
固定在水平地面上，完全相同的兩物塊、
（可視為質(zhì)點(diǎn)）置于槽的底部中點(diǎn)， 時(shí)，
、分別以速度、向相反方向運(yùn)動(dòng)，已知 運(yùn)
動(dòng)的速度隨時(shí)間 的變化關(guān)系如圖乙所示，所有
的碰撞均視為彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短，下列說(shuō)
法正確的是( )
BC
A.前17秒內(nèi)與共碰撞3次 B.初始時(shí)的速度大小為
C.前17秒內(nèi)與槽的側(cè)壁碰撞3次 D.槽內(nèi)底部長(zhǎng)為
【解析】根據(jù)彈性碰撞規(guī)律可知物塊 與槽的側(cè)壁碰后速度大小不變，方向改變，與
碰后交換速度，則根據(jù)物塊的圖像，可知前17秒內(nèi)與 共碰撞4次，分別發(fā)
生在之間、時(shí)刻、之間以及時(shí)刻，前17秒內(nèi) 與槽的側(cè)壁碰撞
3次，分別發(fā)生在、和時(shí)刻，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，C正確；與 第1次碰前速度大
小為，方向向左，碰后的速度大小為 ，方向向右，因碰后兩
物塊交換速度，可知碰前的速度大小，即初始時(shí) 的速度大小為
，選項(xiàng)B正確；槽內(nèi)底部長(zhǎng)為 ，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
11.（2022·廣東卷）某同學(xué)受自動(dòng)雨傘開(kāi)傘過(guò)程的啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如
圖所示的物理模型.豎直放置在水平桌面上的滑桿上套有一個(gè)滑塊，
初始時(shí)它們處于靜止?fàn)顟B(tài).當(dāng)滑塊從處以初速度為 向上滑
動(dòng)時(shí),受到滑桿的摩擦力為.滑塊滑到 處與滑桿發(fā)生完全非彈
性碰撞，帶動(dòng)滑桿離開(kāi)桌面一起豎直向上運(yùn)動(dòng).已知滑塊的質(zhì)量
，滑桿的質(zhì)量,、間的距離 ,重力
加速度取 ,不計(jì)空氣阻力.求：
（1）滑塊在靜止時(shí)和向上滑動(dòng)的過(guò)程中,桌面對(duì)滑桿支持力的大小和 ;
【答案】
【解析】滑塊靜止時(shí)，滑塊和滑桿均處于靜止?fàn)顟B(tài)，以滑塊和滑桿整體為研究對(duì)象，
由平衡條件可知
滑塊向上滑動(dòng)時(shí)，滑桿受重力、滑塊對(duì)其向上的摩擦力以及桌面的支持力，則有
代入數(shù)據(jù)得 .
（2）滑塊碰撞前瞬間的速度大小 ;
【答案】
【解析】 碰前，滑塊向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得
解得 ，方向向下
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得
代入數(shù)據(jù)得 .
對(duì)滑塊，由動(dòng)能定理得
代入數(shù)據(jù)解得 .
（3）滑桿向上運(yùn)動(dòng)的最大高度 .
【答案】
【解析】滑塊和滑桿發(fā)生的碰撞為完全非彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有
代入數(shù)據(jù)得
此后滑塊與滑桿一起豎直向上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理有
代入數(shù)據(jù)得 .
12.如圖所示，左側(cè)固定著內(nèi)壁光滑的四分之一圓軌道，軌道半徑為 ，右側(cè)水平面
上，一質(zhì)量為的滑板由水平部分和半徑為 的四分之一光滑圓弧構(gòu)成.質(zhì)量分別
為和物體、（視為質(zhì)點(diǎn)）鎖定在半圓軌道底端點(diǎn)和滑板左端 點(diǎn)，兩者間
有一被壓縮的輕質(zhì)彈簧（未與、 連接）.某時(shí)刻解除鎖定，壓縮的彈簧釋放，物體
、瞬間分離.物體向左運(yùn)動(dòng)上升到最大高度后即被撤去，物體 與滑板水平部分
的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，重力加速度為 .
（1）求彈簧被鎖定時(shí)的彈性勢(shì)能；
【答案】
【解析】 彈開(kāi)后運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中，由動(dòng)能定理有
解得
彈簧彈開(kāi)過(guò)程，選向右為正方向，、 系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有
解得
對(duì)、 與彈簧組成的系統(tǒng)，由能量守恒定律得彈簧彈性勢(shì)能
.
（2）若滑板與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，求物體 與滑板摩擦所產(chǎn)生的熱量
（已知 ）；
【答案】
【解析】滑上滑板時(shí)，對(duì)由牛頓第二定律得
解得的加速度
對(duì)滑板 ，由牛頓第二定律得
解得滑板加速度
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間物體與滑板共速，速度為 ，此過(guò)程
對(duì)有
對(duì)滑板有
聯(lián)立解得
Q相對(duì)滑板運(yùn)動(dòng)位移
Q與滑板摩擦產(chǎn)生的熱量 .
（3）若水平面光滑，要使物體 在相對(duì)滑板反向運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，相對(duì)地面有向左運(yùn)
動(dòng)的速度，求的長(zhǎng)度 應(yīng)滿足的條件.
【答案】
【解析】要相對(duì)滑板后退且有對(duì)地向左運(yùn)動(dòng)的速度，即（取不到）對(duì)應(yīng) 滑上
光滑圓弧軌道又退至圓弧軌道底部時(shí)速度恰為0，對(duì)物體 和滑板組成的系統(tǒng)，根據(jù)
動(dòng)量和能量守恒定律有
解得，
所以 .
C 培優(yōu)練丨能力提升
建議時(shí)間:8分鐘
13.如圖所示為某種游戲裝置的示意圖，水平軌道
、 分別與水平傳送帶左側(cè)、右側(cè)理想連接，
豎直圓形軌道與相切于 .已知傳送帶長(zhǎng)
，且沿順時(shí)針?lè)较蛞院愣ㄋ俾蕜蛩俎D(zhuǎn)動(dòng).兩個(gè)質(zhì)量均為 的滑塊
、靜置于水平軌道上，它們之間有一處于原長(zhǎng)的輕彈簧，且彈簧與 連接但不
與連接.另一質(zhì)量也為的滑塊以初速度向運(yùn)動(dòng)，與 碰撞后粘在一起，碰撞
時(shí)間極短.若距離足夠遠(yuǎn)，滑塊脫離彈簧后以速度 滑上傳送帶，并
恰好停在點(diǎn).已知滑塊與傳送帶及之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為 ，裝置其余部
分均視為光滑，滑塊、、均可看成質(zhì)點(diǎn)，重力加速度取 .
（1）求、 的距離；
【答案】
【解析】假設(shè) 滑上傳送帶后一直加速，則有
解得，所以假設(shè)不成立， 在傳送帶上一定先加速后勻速，滑上
時(shí)的速度為
又因?yàn)榍『猛Ｔ邳c(diǎn)，則有
解得 .
（2）求 的大小；
【答案】
【解析】與碰撞，由動(dòng)量守恒定律得
接下來(lái)、整體壓縮彈簧，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)， 脫離彈簧，這個(gè)過(guò)程由動(dòng)量守恒定
律和能量守恒定律有
聯(lián)立解得 .
（3）若，要使不脫離豎直圓軌道，求圓軌道半徑 的取值范圍.
【答案】或
【解析】若,、 碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，有
A、一起再通過(guò)彈簧與 發(fā)生作用，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律有
解得
假設(shè)從到一直減速，有
解得 ,假設(shè)成立
若恰好到達(dá)與圓心等高處，則有，得
即時(shí) 不脫離豎直圓軌道
若恰好能通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為，則 ，
解得
則時(shí) 不脫離豎直圓軌道
綜上，圓軌道半徑的取值范圍為或 .

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