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第一章 動量與動量守恒定律
提升課·專題集訓
專題 人船模型
問題情境 如圖所示,長為、質量為的小船停在靜水中,一個質量為 的人立在船
頭，若不計水的阻力,在人從船頭走到船尾的過程中,船和人相對地面的位移各是多大
1 人船模型的特征
兩個原來靜止的物體發生相互作用時,若所受外力的矢量和為零,則兩物體的動量守
恒.在相互作用的過程中,任一時刻兩物體的速度大小之比等于質量之比的反比，這樣
的問題歸為“人船模型”問題.
. .
. .
2 人船模型的規律
研究對象 人和船組成的系統
運動規律 系統所受合外力為零，動量守恒.
表達式
速度關系
位移關系
. .
特別提醒（1）“人船模型”問題中，兩物體的運動特點是“人”走“船”行、“人”停“船”
停、“人”快“船”快、“人”慢“船”慢.
（2）、 的大小與人運動的時間和運動狀態無關.
（3）當系統的動量守恒時，任意一段時間內的平均動量也守恒.
例1 ［人教版教材習題改編］（2025·江蘇徐州期中）如圖所示，質量
的木船長,質量 的人站立在船頭,人和船靜
巧畫圖像破疑難
【答案】
止在平靜的水面上.不計水的阻力,現在人要走到船尾取一樣東西,則人從船頭走到船
尾的過程中,船相對靜水移動的距離為多大
【解析】設船對地的移動距離為,則人對地的移動距離為 ,以船移
動的方向為正方向,船對地的平均速度為,人對地的平均速度為 ,如
處理“人船模型”問題時可先畫出兩物體的位移草圖，再利用動量守恒定律確定兩物
體的速度關系,進而確定兩物體的位移關系.
圖所示.
由動量守恒定律有
即
解得 .
3 人船模型的應用
（1）水平方向上類似“人船模型”的問題
類型1 劈或圓弧軌道與物塊模型
模型特點：如圖所示，可視為質點的小物塊從靜止在光滑水平面上的劈（圓弧軌道）
頂端無初速度地滑到底端，系統在水平方向動量守恒.
規律:， .
結論：， .
例2 （多選）如圖所示，在光滑的水平面上靜止放置一個光滑的斜面體，斜面的傾
角為 ，高度為 ,將一個可看作質點的小球從斜面頂端由靜止釋放，斜面體的質
量是小球質量的兩倍，小球運動到斜面底部的過程中，
( )
ACD
A.斜面體對小球做負功 B.斜面體的機械能守恒
C.斜面體和小球組成系統的動量不守恒 D.斜面體運動的距離為
【解析】對于小球和斜面體組成的系統，只有重力做功，系統的機械能守恒，斜面
體的機械能增大，則小球的機械能減小，所以斜面對小球的支持力對小球做負功，
選項A正確，B錯誤；小球在豎直方向有分加速度，斜面體和小球組成的系統所受合
外力不為零，則系統的動量不守恒，選項C正確；小球和斜面體組成的系統在水平方
向不受外力，所以系統在水平方向上動量守恒，設小球的水平位移大小為 ，斜面
體的位移大小為，小球質量為,則斜面體的質量為 ,規定向左為正方向，根據
系統水平方向動量守恒得，得，又 ，可得
，選項D正確.
類型2 圓環或圓弧槽與滑塊模型
模型特點：如圖所示，光滑水平面上放置一光滑圓環（圓弧槽），可視為質點的小
滑塊從圓心右側與圓心等高處無初速度地滑動到左側最高點，系統在水平方向動量
守恒.
規律:， .
結論：， .
例3 （2025·四川瀘州檢測）如圖所示，一個質量為的半圓槽形物體 放在光滑水
平面上，半圓槽半徑為，一小球（可視為質點）質量為 ,從半圓槽的最左端與
圓心等高的位置無初速度釋放，然后滑上半圓槽右端，接觸面均光滑， 從釋放到
滑至半圓槽右端最高點的過程中，下列說法正確的是( )
D
A.、 組成的系統動量守恒
B.的位移大小為
C.滑動到最低點時的速度大小為
D.的位移大小為
【解析】
類型3 小車或滑塊與小球模型
模型特點：如圖所示，光滑的水平面（桿）
上放置（套上）小車（滑塊），系在小車
（滑塊）上的可視為質點的小球由靜止從
與 點等高處釋放，不計空氣阻力，小球
運動到最低點的過程中，系統水平方向動
量守恒.
規律:, .
結論：， .
例4 （2025·黑龍江哈爾濱九中期中,多選）如圖所示，一質
量為 的小車靜止在光滑水平面上，車上固定一個豎直支架，
輕繩一端固定在支架上，另一端連接一質量為 的小球，輕
繩長為 ，將小球向右拉至輕繩水平后，從靜止釋放小球，不
計空氣阻力，則在接下來的運動中( )
CD
A.小球和小車組成的系統滿足動量守恒
B.小球每次運動到最低點時，小車速度都水平向右
C.小球能向左擺到原高度
D.小車向右移動的最大距離為
【解析】根據題意可知，系統在水平方向所受合力為零，在豎直方向所受合力不為
零，故系統在水平方向動量守恒，而系統總動量不守恒，故A錯誤；根據系統水平
方向動量守恒及系統機械能守恒可知，小球擺到左側最高點時系統的速度為零，則
小球仍能向左擺到原高度，故C正確；小球向左擺到原高度后，速度為零，然后再向
右擺動，向右擺到最低點時，根據水平方向動量守恒知，此時小車速度方向向左，
故B錯誤；分析可知，當小球向左擺到最大高度時小車向右的位移最大，此時小球相
對于小車的位移最大，大小為 ，系統水平方向動量守恒，設小球在水平方向上的
平均速度大小為，小車在水平方向上的平均速度大小為 ，由動量守恒定律有
，再結合運動學公式有，又有 ，聯立解得
小車向右移動的最大距離為 ，故D正確.
類型4 棒與雙球模型
模型特點：如圖所示，可視為質點的兩個小球固定
于輕桿的兩端并豎直放置在光滑水平地面上，某時
刻給質量為 的小球一個微小擾動，該小球落到地
面的過程中，系統水平方向動量守恒.
規律:， .
結論：， .
例5 如圖所示，質量分別為和的、兩個可視為質點的小球用長為
的剛性輕桿連接，豎直靜止地立于光滑的水平地面上，由于微小擾動，輕桿開始自
由倒下.已知整個過程中球不離開地面，重力加速度 ，不計空氣阻力.在
球 落地過程中，求：
（1）球落地時速度大小 （可保留根號）；
【答案】
【解析】落地時，、在水平方向共速，設水平速度大小為 ，落地過程系統水平
方向動量守恒，則有
可得
落地過程中，由機械能守恒定律有
解得 .
（2）球的位移大小 ；
【答案】
【解析】、 組成的系統在水平方向動量守恒，結合運動學知識，有
如圖所示，設的水平速度為，豎直速度為 ，因
、組成的系統在水平方向動量守恒，則
A、 沿桿方向速度相等，則
系統機械能守恒，則
聯立各式解得 .
（3）當輕桿與水平地面夾角為 時，球的速度大小 .
【答案】
（2）豎直方向上類似“人船模型”的問題
模型特點:如圖，無風環境中，氣球質量為,下端有一條不計質量的軟繩，質量為
的人沿繩下滑，氣球所受浮力等于氣球和人的總重力，系統動量守恒.
規律:, .
結論：, .
例6 （多選）如圖所示，載有物資的熱氣球的總質量為，靜止于距離水平地面 的
高處.現將質量為的物資以相對地面豎直向下的速度 投出，物資落地時與熱氣球
的距離為.設整個過程中熱氣球所受浮力不變，重力加速度為 ，不計空氣阻力，忽
略物資受到的浮力.下列說法正確的是( )
AD
A.物資落地前，熱氣球與其組成的系統動量守恒
B.投出物資后，熱氣球勻速上升
C.物資落地時，熱氣球上升的高度為
D.
【解析】物資拋出之前，物資和熱氣球組成的系統所受合外力為零，物資拋出后，
熱氣球和物資所受合外力不變，則系統所受的合外力仍為零，因此物資落地前，熱
氣球與被投出的物資組成的系統動量守恒，故A正確；投出物資后，熱氣球受到的
浮力大于重力，熱氣球所受合外力向上，則熱氣球向上做勻加速直線運動，故B錯誤；
設物資落地時，熱氣球上升的高度為 ，則對物資和熱氣球組成的系統，取豎直向上
為正方向，由動量守恒定律可得，解得 ，則
，故C錯誤，D正確.
強化集訓
針對訓練
1.如圖所示，質量為的平板車放置在光滑水平面上，一輛質量為 的電動玩
具車放在平板車上，其前端距離平板車左端 .現啟動電動玩具車，則( )
D
A.玩具車開始向左運動后，平板車仍然靜止
B.玩具車突然不動時，平板車仍然向右運動
C.玩具車運動得越快，平板車運動得越慢
D.玩具車前端運動到平板車左端時，平板車在水平面上移動
【解析】平板車和玩具車組成的系統動量守恒，根據動量守恒定律，玩具車開始向
左運動后，平板車向右運動，A錯誤；根據動量守恒定律，玩具車突然不動時，平
板車也立即停止運動，B錯誤；根據動量守恒定律，玩具車運動得越快，平板車運動
得越快，C錯誤；根據動量守恒定律有 ，玩具車前端運動到平板
車左端時，有，解得， ，故玩具車前端運動
到平板車左端時，平板車在水平面上移動 ，D正確.
2.（2025·山東泰安期中）如圖，在光滑水平面上有一輛質量為、長度為 的平板
車，車的兩端分別站著可視為質點的人和，的質量為，的質量為 .最初
人和車都處于靜止狀態.現讓兩人同時由靜止開始相向而行，并同時到達對方開始時
的位置，此時平板車的位置在原來的左側，則平板車移動的位移為( )
D
A. B. C. D.
【解析】兩人與車組成的系統動量守恒，開始時系統動量為零，設平板車移動的位
移為，運動時間為 ，取向左為正方向，由動量守恒定律有
，解得 ，故選D.
3.（2025·清華大學附屬中學朝陽學校尖子生測試，多選）在光滑水平面上放有一質
量為的小車，一質量為的小球用長為 的輕質細線懸掛于小車頂端.現從圖中位
置（細線伸直且水平）同時由靜止釋放小球和小車，設小球到達最低點時的速度為 .
從開始釋放到小球到達最低點的過程中，細線對小球做的功為 .從釋放開始小車離
開初位置的最大距離為，重力加速度為 ,則下列說法正確的有( )
BC
A. B. C. D.
【解析】從開始釋放到小球到達最低點的過程中，小球與小車組成的系統水平方向
動量守恒，由動量守恒定律和能量守恒定律得 ，
，解得 ，故A錯誤，B正確；從開始釋放到小球到
達最低點的過程中，對小球，由動能定理得，解得 ，
故C正確；從釋放開始小車離開初位置的最大距離發生在小球擺至最高點時，此時小
球與車的速度均為零，由能量守恒知小球回到原高度，由人船模型規律得
，，解得 ，故D錯誤.
4.（2025·山東濟寧一中月考）
如圖所示，在一次打靶訓練中，起初人和車一起靜止在光滑水平面上，人和靶分別
在車的兩端，車、人、槍、靶總質量為（不含子彈），每顆子彈質量為 ，一共
有發.槍與靶之間距離為 ，子彈擊中靶后會嵌入其中，射擊時總是等上一發擊中后
再打下一發，不計空氣阻力.則以下說法正確的是( )
C
A.射擊過程中，車向左移動
B.射擊完成后，車會向右做勻速運動
C.每發射一顆子彈，車移動的距離為
D.全部子彈打完后，車移動的總距離為
【解析】水平面光滑，車、人、槍、靶和子彈組成的系統所受外力的合力為零，系
統動量守恒，起初人和車一起靜止，射擊過程中，子彈向左運動，人和車向右移動，
射擊完成后，車仍然靜止，故A、B錯誤；設子彈出槍口的速度為 ，車向右運動的
速度為 ，以向左為正方向，第一發子彈剛射出槍口時，根據動量守恒定律有
，則有 ，子彈向左運動的
同時，車向右運動，則有 ，在每一發子彈射擊過程中，小車所移動的距
離，聯立解得，故C正確；結合上述分析可知， 發子彈射擊完畢后，
小車移動的總距離 ，故D錯誤.
5.（2025·山東菏澤期中）如圖所示，質量 的木船靜止在湖岸附近的水面
上，船面可看作水平面，并且比湖岸高出.在船尾處有一質量 的
鐵塊，鐵塊將一端固定的輕彈簧壓縮后再用細線拴住，鐵塊與彈簧不拴接，此時鐵
塊到船頭的距離，船頭到湖岸的水平距離 .將細線燒斷后鐵塊恰好
能落到湖岸上，忽略船在水中運動時受到水的阻力以及其他一切摩擦力，重力加速
度 .求：
（1）鐵塊脫離木船時的瞬時速度大小 ；
【答案】
【解析】燒斷細線后，木船和鐵塊組成的系統在水平方向所受合外力為零，故系統
在水平方向動量守恒，（【點關鍵】輕彈簧的質量不計，可將輕彈簧與木船看作整
體，彈簧的彈力為系統的內力.由平均動量守恒得 ）
有
又
聯立解得，
鐵塊離開木船后做平拋運動，在水平方向有
在豎直方向有
解得， .
. .
. .
（2）木船最終的速度大小 ；
【答案】
【解析】鐵塊與木船相互作用時，由動量守恒得
解得 .
（3）彈簧釋放的彈性勢能 .
【答案】
【解析】由機械能守恒定律得
解得 .
6.（2025·山東省實驗中學診斷考試）如圖所示，質量 的勻質凹槽放在光滑
的水平地面上，凹槽內有一光滑曲面軌道，點是凹槽左右側面最高點的中點， 點
到凹槽右側的距離，點到凹槽最低點的高度 .一個質量
的小球（可看成質點），初始時刻從凹槽的右端點由靜止開始下滑，整
個過程凹槽不翻轉，取重力加速度大小 .求：
（1）小球第一次運動到凹槽最低點時的速度大小；
【答案】
【解析】小球和凹槽組成的系統水平方向動量守恒，設小球第一次運動到凹槽最低
點的速度大小為，此時凹槽的速度大小為 ，取向左為正方向，有
該過程中系統機械能守恒，有
解得 .
（2）整個運動過程中，凹槽相對于初始時刻運動的最大位移.
【答案】
【解析】因小球和凹槽組成的系統在任何時候水平方向都動量守恒，即有
兩邊同時乘可得
其中為小球的位移大小， 為凹槽的位移大小.整個運動過程中，當小球運動到凹
槽左側最高點時，凹槽相對于初始時刻有最大位移，此時
聯立解得 .
高考鏈接
7.（2024·河北卷節選）如圖，三塊厚度相同、質量相等的木板、、 （上表面均
粗糙）并排靜止在光滑水平面上，尺寸不計的智能機器人靜止于 木板左端.已知三
塊木板質量均為,木板長度為，機器人質量為，重力加速度 取
，忽略空氣阻力.
（1）機器人從木板左端走到木板右端時，求、 木板間的水平距離.
【答案】
【解析】機器人從木板左端走到木板右端的過程中，機器人與 木板組成的系統
動量守恒，設機器人質量為，三塊木板質量均為，機器人從木板左端走到 木
板右端時，機器人、木板運動的位移大小分別為、 ,取向右為正方向，則有
同時有
解得、木板間的水平距離 .
（2）機器人走到木板右端相對木板靜止后，以做功最少的方式從木板右端跳到 木
板左端，求起跳過程機器人做的功，及跳離瞬間的速度方向與水平方向夾角的正切值.
【答案】
【解析】設機器人起跳的速度大小為，方向與水平方向的夾角為 ，從 木板右端
跳到木板左端時間為 ，根據斜拋運動規律得
聯立解得
機器人跳離的過程，機器人和 木板組成的系統水平方向動量守恒，有
根據能量守恒可得機器人做的功為
聯立得
根據數學知識可得當時，即時， 取最小值，代入數值得此
時 .

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