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第二章 機械振動
第1節 簡諧運動及其圖像
___________________________________________________________ _________________________________________________________ 1.了解機械振動的概念，會
用理想化方法建構彈簧振子
模型.
2.知道簡諧運動的特征，會
描繪簡諧運動的振動圖像，
知道振動圖像的物理意義.
3.理解振幅、周期、頻率等
描述簡諧運動的物理量，知
道簡諧運動的表達式，了解
相位和初相位.
情境導學
海洋生態自動監測浮標可用于監測水質和氣象等參數，隨著水的波動，浮標也
在某個位置附近做往復的上下運動，標志航道淺灘或危及航行安全的障礙物.
新知課丨必備知識解讀
知識點1 機械振動
1 定義
物體（或物體的某一部分）在某一位置（平衡位置）兩側所做的往復運動，叫
作機械振動，通常簡稱為振動．
【說明】機械振動是機械運動的一種．
. .
2 特點
深度理解
對平衡位置的理解
1.平衡位置是物體在振動方向上所受合力為零的位置.每當物體離開平衡位置后，
它就受到一個指向平衡位置的力，該力產生使物體回到平衡位置的效果.
2.平衡位置的判斷方法：振動系統不振動時，物體處于平衡狀態所在的位置為
平衡位置.
. .
學思用·典例詳解
例1-1 （多選）下列運動屬于機械振動的是( )
ABD
A.撥動后的琴弦 B.水塘里的蘆葦在微風作用后左右擺動
C.五星紅旗迎風飄揚 D.釣魚時浮標在水中上下浮動
【解析】機械振動是指物體在平衡位置附近所做的往復運動，顯然選項C中涉及的物
體的運動不符合這一定義，故C錯誤，A、B、D正確.
點評 往返運動不一定是機械振動，判斷物體的運動是否是機械振動，要看兩個方面：
（1）是否有平衡位置；（2）是否做往復運動.
知識點2 簡諧運動
圖2-1-1
1 振子
（1）定義
如圖2-1-1所示，將彈簧上端固定，下端連接一個小球，小球可在
豎直方向上運動．彈簧的質量比小球的質量小得多，可以忽略不計，
若不計空氣阻力，這樣的系統稱為彈簧振子，（彈簧振子是一個理想
化模型，它是研究一般性振動的基礎.）其中小球稱為振子．
. .
. .
. .
. .
（2）彈簧振子的理想化條件
2 簡諧運動
（1）定義
如果質點的位移與時間的關系圖像嚴格遵從正弦函數的規律，即它的振動圖像
（位移—時間圖像）是一條正弦曲線，這樣的運動叫作簡諧運動．（【說明】簡諧
運動是最簡單、最基本的振動，任何復雜的振動都可以看作幾個或很多個簡諧運動
的疊加．）做簡諧運動的振子稱為諧振子．
（2）運動性質
簡諧運動的位移隨時間按正弦規律變化，所以它不是勻變速運動，是變力作用
下的變速運動.
. .
. .
. .
. .
深度理解
對彈簧振子位移的理解
1.振動位移：從平衡位置指向小球某時刻所在位置的有向線段，方向為由平衡
位置指向小球所在位置，大小為平衡位置到該位置的距離.
2.矢量性：振動位移是矢量，若規定小球在平衡位置右側時位移為正，則它在
平衡位置左側時就為負.
3.兩種位移的區別：機械運動中的位移是從初位置到末位置的有向線段，而彈
簧振子的位移總是相對于平衡位置而言的，都是從平衡位置指向小球所在位置.
3 簡諧運動的振動圖像
（1）振動圖像的描繪方法
以橫軸表示時間，以縱軸表示小球相對平衡位置的位移，將各時刻小球的位移
描在坐標系中，用平滑曲線連接各點.
（2）通過實驗觀察彈簧振子的振動圖像
①把小球沿彈簧軸線方向拉離平衡位置一小段距離，然后由靜止釋放，用手機
對小球的運動過程進行錄像．
②等時間間隔 截屏，然后利用軟件擬合在一張照片上．
【說明】也可以用頻閃照相機每隔 拍照一次，拍攝時底片從左向右勻速運
動，在底片上留下小球和彈簧的一系列的像.
圖2-1-2
③如圖2-1-2所示，在照片上建立坐標系，橫軸代
表時間，縱軸代表小球相對平衡位置的位移 ，就得
到了小球在平衡位置附近往復運動的位移—時間圖像，
即 圖像．
教材拓展
如何確定小球的位移—時間圖像是正弦曲線
1.假定小球的位移—時間圖像是正弦曲線，測量它的振幅和周期，寫出對應的
正弦函數的表達式.然后在圖像上選取若干個位置，測量它們的橫坐標（振動時間），
代入表達式求出函數值，若這一函數值和測量值相等，則這條曲線就是正弦曲線.
2.測量小球在各個位置的橫坐標和縱坐標，將測量值輸入到計算機中，得到一
條曲線，利用相關軟件判斷小球的位移—時間關系是否可以用正弦函數表示.
學思用·典例詳解
圖2-1-3
例2-2 （多選）彈簧上端固定在 點，下端連接一小球，組成一個振
動系統，如圖2-1-3所示，用手豎直向下拉一小段距離后釋放小球，小
球便上下振動起來，關于小球的平衡位置，下列說法正確的是
( )
CD
A.在小球運動的最低點 B.在彈簧處于原長的位置
C.在小球速度最大的位置 D.在小球原來靜止的位置
【解析】平衡位置是振動系統不振動、小球處于平衡狀態時所處的位置，可知在該
位置小球所受的重力大小與彈簧的彈力大小相等，即 ，則小球原來靜止的
位置是小球的平衡位置，故選項D正確,A、B錯誤；當小球在振動過程中經過平衡位
置時，其加速度為零，速度最大，選項C正確.
點評 平衡位置的判斷方法：振動系統不振動、小球處于平衡狀態時所處的位置為平
衡位置.此題中小球速度最大時的位置和小球原來靜止時的位置為同一位置.
【做一做丨活動建議】
圖2-1-4
如圖2-1-4，兩人合作,先在白紙中央畫一條直線 ，
使它平行于紙的長邊，作為圖像的橫坐標軸.一個人
用手使鉛筆尖在白紙上沿垂直于 的方向振動，
另一個人沿 的方向勻速拖動白紙，紙上就畫出
了一條描述筆尖振動情況的 圖像.
請完成這個實驗，并解釋：
橫坐標代表什么物理量？縱坐標代表什么物理量？為什么必須勻速拖動白紙？
提示 橫坐標代表時間；縱坐標代表筆尖離開平衡位置的位移；勻速拖動白紙，是為
了用相等的距離表示相等的時間.
圖2-1-5
例2-3 一個彈簧振子在、 間做簡諧運動，如圖2-1-5
所示，是平衡位置，以某時刻作為計時零點 ，
開始時振子沿負方向經過平衡位置，那么下列選項中的
四個 圖像能正確反映振子運動情況的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】因為開始時振子沿負方向經過平衡位置，可知 時刻振子的位移為0，
且向負方向運動，接下來位移為負值，位移大小增大，故D正確，A、B、C錯誤.
知識點3 描述簡諧運動的物理量
圖2-1-6
1 全振動
（1）定義
如圖2-1-6所示，振子在光滑桿上的和 點之間往復運動，
，如果振子由點經點運動到點，又由點經點回到
點，我們就說振子完成了一次全振動．
（2）一次全振動的特征
①振動物體的位移和速度都恢復原值；
②振動物體通過的路程為振幅的四倍.
. .
. .
2 描述簡諧運動的物理量
（1）振幅
①定義：振子離開平衡位置的最大距離．
②物理意義：表示振動的強弱．
. .
辨析比較
振幅、位移和路程的關系
振幅 位移 路程
定義 振動物體離開平衡位置 的最大距離. 從平衡位置指向振子所在 位置的有向線段. 運動軌跡的長度.
標矢性 標量 矢量 標量
變化 在穩定的振動系統中不 發生變化. 大小和方向隨時間做周期 性變化. 隨時間增加.
聯系 ①振幅等于最大位移的大小,振動范圍是振幅的兩倍. ②振子經過一個完整的振動過程（一次全振動），路程一定等于4倍振幅. （2）周期和頻率
周期 頻率
定義 振子完成一次全振動所用的時間． 完成的全振動的次數與所用時間之比．
單位
關系 意義 都表示振動的快慢． 特別提醒 1.頻率（周期）由振動系統決定，與振幅無關，因此又稱固有頻率（周期）.
2.頻率（周期）不是用來描述振動物體在某時刻運動的快慢，而是用來描述物
體振動的快慢.
（3）相位
相位是表示振動步調的物理量，它可以描述做周期性運動的物體在各個時刻所
處的狀態．相位是一個隨時間變化的量，它的單位是弧度（或度）．
深度理解
對相位的理解
把兩個相同的彈簧振子并排放在一起，并且都從平衡位置拉開相同的距離，一
個先釋放，另一個稍晚一點釋放，可以看到兩個彈簧振子都做簡諧運動，它們的振
幅及周期（頻率）都相同，所不同的只是相位，也就是振動步調——一個超前而另
一個落后.
學思用·典例詳解
例3-4 如圖2-1-7所示，可視為質點的小球以為平衡位置，在、 兩點間做簡諧運
動.若從小球經過點開始計時，在時刻小球第一次經過、兩點間的 點
（圖中未畫出），在時刻小球第二次經過點，則小球第三次通過 點的
時刻為( )
B
圖2-1-7
A. B. C. D.
【解析】
例3-5 如圖2-1-8所示為一質點做簡諧運動的 圖像，則質點( )
B
圖2-1-8
A.振動的頻率是
B.振動的振幅是
C.振動的周期是
D.時間內質點通過的路程為
【解析】
選項 分析 正誤
A
C
B √
D
知識點4 簡諧運動的表達式
1 簡諧運動的表達式
做簡諧運動的物體離開平衡位置的位移與時間的關系可用正弦函數
（或余弦函數）來表示．即

其中 叫作角頻率，（單位為，表示簡諧運動的快慢.），，
可得

式中，表示振動的振幅，表示振動的周期，表示振動的頻率，“”
表示簡諧運動的相位，時的相位叫作初相位，簡稱初相．
. .
. .
2 相位差
當兩個相同的彈簧振子，從平衡位置拉開相同的距離后，相隔不同的時間放開，
使它們的振動步調不相同，即它們各時刻的相位不同，這兩個振動有相位差．
（1）同相
若兩個完全相同的彈簧振子，周期相同，將它們朝同一方向拉開相同的距離，
然后同時放開，則在任意時刻，兩個振子處于相同的狀態，在簡諧運動的表達式中，
相位也是相同的，我們說它們的振動同相．（【說明】兩個周期相同的簡諧運動，
只要它們的相位差為，就可以說它們的振動同相．）
. .
（2）反相
若兩個完全相同的彈簧振子，周期相同，將它們朝相反方向拉開相同的距離，
然后同時放開，（相當于其中一個彈簧振子比另一個早或晚半個周期放開．）則在
任意時刻，兩個振子的位移方向相反，但大小相同，如圖2-1-9甲、乙所示，在簡諧
運動的表達式中，相位相差 ，我們說它們的振動反相．
圖2-1-9
. .
. .
. .
（表達式：）（表達式： ）
【說明】兩個周期相同的簡諧運動，只要它們相位差為 ，
就可以說它們的振動反相．
學思用·典例詳解
例4-6 （多選）物體做簡諧運動的振動方程為，物體 做簡
諧運動的振動方程為．比較、 的振動方程，下列說法正確
的是( )
CD
A.振幅是矢量，的振幅是，的振幅是
B.周期是標量，、的周期相等，均為
C.、 做簡諧運動的角頻率相同
D.做簡諧運動的頻率等于做簡諧運動的頻率
【解析】振幅只有大小沒有方向，是標量，的振幅為，的振幅為 ，故A錯
誤.周期表示物體振動的快慢，沒有方向，是標量，由振動方程可知兩物體做簡諧運
動的角頻率均為，周期均為 ，故B錯誤，C正確.兩物體做簡諧運動的
周期相同，則頻率一定相同，故D正確.
圖2-1-10
例4-7 、兩個物體做簡諧運動的振動圖像如圖2-1-10所示，則
的相位比 的相位( )
B
A.超前 B.落后 C.超前 D.落后
【解析】、 做簡諧運動的周期相同，函數表達式分別為
,,相位差,則 的相位
比的相位落后 ，選項B正確.
釋疑惑 重難拓展
知識點5 做簡諧運動的質點的位移、速度、加速度
1 位移
從平衡位置指向質點所在位置的有向線段.
（1）大小：平衡位置到質點所在位置的距離.
圖2-1-11
（2）方向：從平衡位置指向質點所在位置.
2 速度
如圖2-1-11所示，小球在 點（平衡位置）速度最大，方
向可能向上，也可能向下.在、 兩點（最大位移處）速度
為零.
3 加速度
（1）大小：由胡克定律和牛頓第二定律可知，式中表示質點的質
量，為勁度系數，表示質點的位移.
由于位移隨時間呈線性變化，所以加速度大小隨位移大小呈線性變化．
（2）方向：與位移方向相反，在經過平衡位置時方向發生改變.
. .
總結提升
簡諧運動的位移與速度、加速度的關系
1.速度與位移的關系：簡諧運動中位移增大，速度減小；位移減小，速度增大，
速度與位移的方向不一定相同.
2.加速度與位移的關系：簡諧運動中加速度跟位移同步變化，但方向總是相反的.
【說明】質點通過同一位置時，其位移和加速度的方向是一定的，但速度方向
有兩種可能：指向平衡位置或背離平衡位置.
學思用·典例詳解
深度思考
簡諧運動的位移隨時間是按正弦規律變化的，那么做簡諧運動的質點的速度、加速
度在運動過程中具有什么特征？
提示 質點的速度大小變化，方向也變化.質點由平衡位置向兩側運動時速度變小，
方向背離平衡位置，反之，速度變大，方向指向平衡位置，平衡位置處速度最大.質
點的加速度大小變化，方向也變化.質點由平衡位置向兩側運動時加速度變大，方向
指向平衡位置，反之，加速度變小，方向仍然指向平衡位置，平衡位置處加速度為0.
圖2-1-12
例5-8 一質點沿 軸做簡諧運動，其振動圖像如圖2-1-12所
示．在的時間內，質點的速度、加速度 的大小的變化
情況是( )
D
A.變大，變大 B.變小， 變小
C.變大，變小 D.變小， 變大
【解析】在的時間內，質點的位移在增大，故其速度在減小；根據
知加速度的大小與位移的大小成正比，故在的時間內，質點的加速度 在增大.
故D正確，A、B、C錯誤.
知識點6 簡諧運動的振動圖像的應用
1 圖像含義
簡諧運動的振動圖像描述的是做簡諧運動的質點的位移隨時間的變化規律，即質
點在各個時刻偏離平衡位置的位移．（【避易錯】振動圖像不是質點的運動軌跡！）
. .
. .
2 圖線上某點切線的斜率
在如圖2-1-13所示的簡諧運動振動圖像中，圖線上某點切線的斜率表示對應時刻
質點的速度的大小和方向.
圖2-1-13
. .
. .
（1）當切線的斜率為正值時，速度方向與選定的正方向相同，且斜率越大表明
此時質點的速度越大.
（2）當切線的斜率為負值時，速度方向與選定的正方向相反，且斜率的絕對值
越大表明此時質點的速度越大.
3 從振動圖像判斷振動情況
（1）判斷任意時刻質點的振動方向
判斷方法 看下一時刻質點的位置是遠離還是衡位置.
舉例分析
圖2-1-14
（2）判斷任意時刻質點的速度、加速度、位移變化
判斷方法 看下一時刻質點的位置是遠離還是衡位置.
①若遠離平衡位置，則速度越來越小，位移和加速度越來越大,但方向
相反；
②若衡位置，則速度越來越大，位移和加速度越來越小，但方向
相反.
舉例分析
4 從數學角度理解振動圖像
簡諧運動中質點的位移隨時間變化的圖像是一條正弦曲線，那么由數學知識，
可以得到：
（1）圖像具有周期性；
（2）位移隨時間變化的函數表達式為
學思用·典例詳解
例6-9 彈簧振子做簡諧運動，其位移與時間 的關系如圖2-1-15所示，由圖可知
( )
A
圖2-1-15
A. 時，速度最大，方向為負，加速度為零
B. 時，速度最大，方向為負，加速度為零
C. 時，速度最大，方向為正，加速度最大
D. 時，速度最大，方向為正，加速度最大
【解析】
時刻 位移 速度 加速度
零 最大，且沿負方向 零
負向最大 零 正向最大
零 最大，且沿正方向 零
正向最大 零 負向最大
可知A正確，B、C、D錯誤.
【學會了嗎丨變式題】
圖2-1-16
1.（2025·湖北崇陽一中期中，多選）如圖2-1-16甲所示，彈簧
振子以點為平衡位置，在、 兩點之間做簡諧運動，取向
右為正方向，振子的位移隨時間 的變化如圖乙所示，下列
說法正確的是( )
AD
A. 時，振子的速度方向向左
B.時，振子在點右側 處
C.和 時，振子的速度相同
D.到的時間內，振子從點向 點運動
【解析】
時間 振子的運動特點
分析可知，時，振子在平衡位置，且速度方向向左，故A正確； 時，
振子在點右側，與點的距離大于，故B錯誤； 時振子速度方向向
左，時，振子速度方向向右，故C錯誤；時間內，振子從點向
點運動，故D正確.
解題課丨關鍵能力構建
題型1 簡諧運動中的位移、振幅和路程的關系
例10 一質點做簡諧運動，振幅為，周期為，為平衡位置，、 為兩側最大位
移處，從經過位置與、、三點均不重合 時開始計時，則下列說法正確的是
( )
A
A.經過時，質點的平均速度一定小于
B.經過時，質點的路程不可能大于，但可能小于
C.經過時，質點的瞬時速度不可能與經過位置 時的瞬時速度相等
D.經過時，質點速度的方向與經過位置 時速度的方向可能相同也可能相反
思路點撥 求解本題的關鍵是明確簡諧運動的振幅、周期的含義，知道一個周期內質
點的路程等于振幅的4倍、半個周期內質點的路程等于振幅的2倍．
【解析】
選項 分析 正誤
A √
B
選項 分析 正誤
C
D 根據振動的周期性可知，經過半個周期后，質點速度的方向一定與 開始時速度的方向相反.
續表
做簡諧運動的物體通過的路程及計算方法
1.振動物體在任意一個周期內，通過的路程等于4倍的振幅，在任意半個周期內，
通過的路程等于2倍的振幅．則
（1）當時，振動物體通過的總路程．
（2）當時，振動物體通過的總路程．
2.振動物體在內通過的路程可能等于一個振幅，還可能大于或小于一個振幅．只有
當初始時刻振動物體在平衡位置或最大位移處時，內通過的路程才等于一個振幅．
【學會了嗎丨變式題】
圖2-1-17
2.（多選）如圖2-1-17所示，在水平光滑
桿上的一彈簧振子沿軸在、 兩點之間
做簡諧運動，、 兩點之間的距離為
，某時刻振子沿軸負方向經過
ABD
A.振子做簡諧運動的周期為
B.振子在任意四分之一個周期內運動的路程最大值為
C.振子在任意四分之一個周期內運動的路程最小值為
D.振子在任意半個周期內運動的路程一定為
點，之后第二次經過點.已知振子經過、兩點時的速度大小均為，、 兩點
之間的距離為 ，下列說法正確的是 ( )
【解析】振子沿軸負方向經過點，再經過平衡位置后第一次經過 點，然后到達
左側最大位移處，此后再反向運動第二次經過點，因振子經過、 兩點的速度大
小相等，說明、關于平衡位置對稱，則可知振子從點至第二次經過 點的時間
為半個周期，故周期，選項A正確；振子的振幅為 ，振子
在平衡位置的速度最大，則振子在平衡位置前后各振動 的四分之一個周期內運動的
路程最大，最大路程為 ，選項B正確；同理，振子在
最大位移處前后各振動 的四分之一個周期內運動的路程最小，最小路程為
，選項C錯誤；振子在任意半個周期內運
動的路程一定為 ，選項D正確.
題型2 根據振動圖像分析振動情況
例11 ［易錯題］（多選）如圖2-1-18甲所示，一彈簧振子的小球在、 間振動，取
向右為正方向，小球經過點時為計時起點，其振動的 圖像如圖乙所示，則下
列說法正確的是( )
AC
圖2-1-18
A.時刻小球在點 B.時刻小球在 點
C.在時間內，小球的位移在增大 D.在 時間內，小球的位移在減小
【解析】
易混易錯
對簡諧運動的位移理解不透徹
振動圖像中縱軸表示振動物體相對平衡位置的位移.
平衡位置處位移為零,是位移的起點,以后振動物體到達某位置，位移的方向就由平衡
位置指向該位置.
振動圖像問題的判斷方法
1.從振動圖像獲取必要信息.
2.把振動圖像和物體的振動情境結合起來，分析出物體的運動情況.
3.注意若規定的正方向和計時起點不同，則振動物體的振動圖像是不同的.
4.要明確簡諧運動中振動物體的位移是由平衡位置指向振動物體所在的位置，平衡
位置處振動物體的位移為零.
【學會了嗎丨變式題】
3.某彈簧振子沿 軸的簡諧運動圖像如圖2-1-19所示，下列描述正確的是( )
B
圖2-1-19
A. 時，振子的速度為零，加速度為正的最大值
B. 時，振子的速度為零，位移為負的最大值
C. 時，振子的速度為正，加速度為負的最大值
D.和 時振子都位于平衡位置
【解析】時，振子的速度為零，加速度為負的最大值，故A錯誤； 時，
振子的速度為零，位移為負的最大值，故B正確； 時，振子位于平衡位置，速
度為正的最大值，加速度為零，（【點撥】彈簧振子沿 軸方向振動，在平衡位置受
力平衡，所以加速度為零.）故C錯誤；和 時振子都位于正向最大位移
處，故D錯誤.
. .
. .
題型3 根據振動情況判斷振動圖像
例12 （多選）一彈簧振子沿 軸振動,振子運動的最大位
移為，振子的平衡位置位于軸上的 點,如圖2-1-20
甲所示，圖中的、、、 為四個不同的振動狀態：黑
點表示振子的位置,黑點上的箭頭表示運動的方向.取向右
為正方向，圖乙給出的①②③④四條振動圖線中,可用于
表示振子的振動圖像的是( )
AD
A.若規定狀態時 ,則①可表示振子的振動圖像
B.若規定狀態時 ,則②可表示振子的振動圖像
C.若規定狀態時 ,則③可表示振子的振動圖像
D.若規定狀態時 ,則④可表示振子的振動圖像
【解析】
根據質點振動情況判斷振動圖像的基本思路
【學會了嗎丨變式題】
圖2-1-21
4.新學習探索情境裝有砂粒的試管豎直靜浮于水面，如圖2-1-21所
示.將試管豎直提起少許，然后由靜止釋放并開始計時，在一定時
間內試管在豎直方向近似做簡諧運動.若取豎直向上為正方向，則
以下描述試管振動的圖像中,可能正確的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】裝有砂粒的試管受到重力和浮力作用，豎直提起少許時，浮力小于重力，
合力向下.試管釋放時，試管處于最高點（正方向最大位移處），將在合力作用下向
下（負方向）做加速運動，故試管的振動圖像中， 時刻對應的位移為正方向最
大值，只有選項D正確.
題型4 簡諧運動函數表達式的應用
例13 ［人教版教材習題改編］（2025·山東臨沂期中）如圖2-1-22所示為一彈簧振子
甲的振動圖像，試完成以下問題：
圖2-1-22
（1）寫出該振子在任意時刻的位移 的表達式；
【答案】
［第1步：根據圖像確定振幅、周期、角頻率］
由圖可知，彈簧振子甲的振幅，周期，則
［第2步：寫出位移與時間關系的通式］
該振子在任意時刻的位移的表達式為
［第3步：求初相，確定位移與時間的關系式］
當時，，解得
可得 .
（2）另有一彈簧振子乙也做簡諧運動，振幅為 ，周期與甲相同，乙的相位
比甲落后，請寫出乙在任意時刻的位移 的表達式，并在同一坐標系中畫出乙運動
的位移—時間圖像.
【答案】 ; 圖像見解析
［第1步：根據題給條件確定振幅、周期、角頻率及初相］
依題意，彈簧振子乙的振幅，周期，則 ,
［第2步：寫出位移與時間的關系式］
該振子在任意時刻的位移 的表達式
［第3步：求初始時刻乙的位移］
當時，有
圖2-1-23
［第4步：根據位移表達式及初始時刻的位
移畫圖］
乙運動的位移—時間圖像如圖2-1-23中圖線
Ⅱ所示.
巧畫圖像破疑難
應用簡諧運動的函數表達式解決相關問題的注意點
1.明確振幅、周期、頻率的對應數值，其中,.
2.把明確的物理量與所要求解的問題相對應，找到對應關系.
3.同頻率的兩個簡諧運動進行比較時，相位差的取值范圍一般為 .
4.比較相位或計算相位差時，一定要用同種函數來表示振動方程．
【學會了嗎丨變式題】
5.一質點做簡諧振動的振動方程是 ，則( )
B
A.在0至 內，質點的速度與加速度方向始終相同
B.在時，質點具有沿 軸正方向的最大加速度
C.在時，質點的速度方向與加速度方向均沿 軸正方向
D.在時，質點所受合力最大，速度方向沿 軸負方向
【解析】根據簡諧振動的振動方程 ，可知角頻率為
，則周期為時，．因為 ，則
在0至 時間內，質點從正向最大位移處運動到負向最大位移處，速度與加速度
方向先相同，后相反， 時，質點具有正向最大加速度，故A錯誤，B正確；
因，則時質點在 軸上方，向著正的最大位移處運動，質點
的速度方向沿軸正方向，而加速度方向沿 軸的負方向，故C錯誤；在
時，質點回到正向最大位移處，具有負向最大加速度，所受合力最大，
速度為零，故D錯誤.
題型5 簡諧運動的周期性及多解性問題
例14 ［人教版教材習題改編］（2025·湖南長沙市長郡中學月考，多選）一振子沿
軸做簡諧運動，平衡位置在坐標原點，時振子的位移為， 時
位移為 ，則( )
BC
A.振子在與 兩處的加速度可能相等
B.振子在與 兩處的速度可能不同
C.若振幅為，振子的周期可能為
D.若振幅為，振子的周期可能為
建構導圖明思路
【解析】
假設振子在、之間振動，、分別對應的位置和 的位
置，如圖所示.由題意知，振子從到用時，在一個周期內，振子從 振動
到 有四種不同的情況，再結合周期性，可對本題做如下分析.
對簡諧運動的周期性和對稱性的理解
1.簡諧運動是一種周而復始的周期性的運動，按其周期性可作如下判斷：
（1）若,則、兩時刻振動物體在同一位置，運動情況
相同；
（2）若,則、兩時刻，描述振動物體運動的物理
量、、、均大小相等、方向相反.
2.簡諧運動的對稱性可分為空間對稱性和時間對稱性.
（1）空間對稱性：經過平衡位置兩側的對稱點時，加速度的大小相等，方向相反；
速度的大小相等，方向可能相同，可能相反；動能相同.
（2）時間對稱性：不論是從對稱點回到平衡位置，還是從平衡位置運動到對稱點，
所用時間相等．
3.處理簡諧運動周期性問題的思路：先根據周期明確做簡諧運動的物體的具體位置，
再根據簡諧運動的對稱性確定具體關系.
【學會了嗎丨變式題】
6.［易錯題］（多選）一彈簧振子做簡諧運動，點為平衡位置，當它經過 點時開
始計時，經過第一次到達點，再經過第二次到達 點，則彈簧振子第三次
到達 點還要經過的時間可能為( )
AC
A. B. C. D.
【解析】振子通過點的速度方向有兩種可能，一種是從指向，另一種是從 點
背離 .利用簡諧運動的對稱性找出周期與運動時間的關系.
如圖甲所示,為平衡位置，設 代表振幅，
振子從到所需時間為 ，因為簡諧運動具有
如圖乙所示，若振子一開始從平衡位置背離向運動，設與關于 點對稱，則
振子 從經回到所用的時間與振子從經回到所用的時間相等，即．
振子從到和從到及從到所需時間相等，為 .則振子第三次
到達點還要經過的時間為 正確.
對稱性，所以振子從到所用時間和從到 所用時間相等，故
,解得.振子第三次到達 點還要經過的時間為
正確.
考試課丨核心素養聚焦
考情揭秘 素養點擊
基本考查點 簡諧運動及其規律. 1.理解機械振動的特點，知道彈簧
振子是理想化模型.
2.掌握簡諧運動的規律，體會研究
簡諧運動的思維方式.
3.能運用函數表達式和振動圖像理
解和掌握簡諧運動的特點和規律.
熱點及難點 描述簡諧運動的物理量，簡諧 運動的公式和圖像. 題型及難度 多以選擇題形式出現，難度中 等. 高考中地位 命題頻率較高，是高考的熱點 之一. 考向1 考查振動圖像的理解和應用
圖2-1-24
例15 （2024·浙江1月選考科目試題）如圖2-1-
24甲所示，質量相等的小球和點光源，分別用
相同的彈簧豎直懸掛于同一水平桿上，間距為
,豎直懸掛的觀測屏與小球水平間距為 ，小
球和光源做小振幅運動時，在觀測屏上可觀測
小球影子的運動.以豎直向上為正方向，小球和
光源的振動圖像如圖乙所示，則( )
D
A.時刻小球向上運動 B. 時刻光源的加速度向上
C.時刻小球與影子相位差為 D.時刻影子的位移為
本題以質量相等的小球和光源小振幅運動時，觀測小球影子的運動為素材，創設簡
諧運動規律的學習探究問題情境，對考生的邏輯推理與論證能力有一定的要求，體
現了高考對科學思維的考查.
【解析】
考向2 考查簡諧運動的多解問題
例16 （2023·山東卷，多選）如圖2-1-25所示，沿水平方向做簡諧運動的質點，依次
通過相距的、兩點.已知質點在點的位移大小為振幅的一半，在 點的位移大小
是在點的倍，質點經過點時開始計時，時刻第二次經過 點，該振動的振幅和
周期可能是( )
圖2-1-25
BC
A., B., C., D.,
本題以水平方向的簡諧運動創設問題情境，考查振幅、位移、周期等相關量，且涉
及多解問題，對考生的推理能力、分析綜合能力和應用數學處理物理問題的能力要
求較高.
信息提取析題意
表述 關鍵點
【解析】
考向3 考查簡諧運動的函數表達式
圖2-1-26
例17 （江蘇高考題）如圖2-1-26所示，半徑為 的
圓盤邊緣有一釘子，在水平光線下，圓盤的轉軸
和釘子在右側墻壁上形成影子和，以 為原點
在豎直方向上建立坐標系. 時從圖示位置沿逆
時針方向勻速轉動圓盤，角速度為 ，則 做簡諧
運動的表達式為( )
B
A. B.
C. D.
本題情境新穎，要求考生對簡諧運動的表達式有深刻的理解，并能運用數學思維分
析處理物理問題，既體現了對重要物理研究方法的考查，也體現了高考對核心素養
的要求.
【解析】由題圖可知，影子做簡諧運動的振幅為，以向上為正方向，設 的振動
方程為，由題圖可知，當時，的位移為 ，代入振動方程解
得，則做簡諧運動的表達式為 ，選項B正確，A、C、D錯誤.
新考法 圖像創新
考法解讀 通過簡諧運動的位移隨時間變化的圖像圖像 考查簡諧運動的描述、
振動規律等屬于常規考法，但高考往往另辟蹊徑，通過創設全新情境、變換圖像形
式等，考查考生的理解分析能力和信息獲取能力，如2024年北京卷就考查了豎直方
向做簡諧運動的手機的加速度隨時間變化的圖像，要求考生根據 圖像分析手機
做簡諧運動的規律.面對這類創新試題，我們應記住“萬變不離其宗”，抓住簡諧運動
的本質，立足課本知識，靈活運用所學的方法解決實際情境中的新問題.
例18 （2024·北京卷）圖2-1-27甲為用手機和輕彈簧制作的一個振動裝置.手機加速
度傳感器記錄了手機在豎直方向的振動情況，以向上為正方向，得到手機振動過程
中加速度隨時間 變化的曲線為正弦曲線，如圖乙所示.下列說法正確的是( )
D
圖2-1-27
A. 時，彈簧彈力為0
B. 時，手機位于平衡位置上方
C.從至 ，手機的動能增大
D.隨 變化的關系式為
【解析】
考法創新 本題用手機自帶的加速度傳感器研究豎直彈簧振子的振動，創新之處是給
出了手機振動過程的圖像，并非常見的 圖像，需要考生靈活運用所學知識
從圖像中提取關鍵信息，并與彈簧振子的運動過程建立聯系.
習題課丨學業質量測評
A 基礎練丨知識測評
建議時間：15分鐘
1.如圖所示，彈簧振子在、兩點間做無摩擦的往復運動， 是振子的平衡位置.則
振子從向 運動過程中( )
C
A.速度一直變小 B.振幅一直變小 C.加速度一直變小 D.為半次全振動
【解析】振子在由點運動到 點的過程中，彈簧的彈力做正功，振子的速度不斷增
大，故A錯誤；振幅為振子離開平衡位置的最大距離，是定值，故B錯誤；根據
可知加速度大小與位移大小成正比，振子在由點運動到 點的過程中，位
移減小，加速度減小，故C正確；振子從向運動的過程為 次全振動，故D錯誤.
2.如圖所示是某振子做簡諧運動的振動圖像，以下說法正確的是( )
B
A.因為振動圖像可由實驗直接得到，所以振動圖像就是振子實際運
動的軌跡
B.振動圖像反映的是振子位移隨時間變化的規律，并不是振子運動
的實際軌跡
C.振子在位置的位移就是曲線 的長度
D.振子運動到 點時的速度方向即該點的切線方向
【解析】振動圖像表示振子位移隨時間的變化規律，并不是振子實際運動的軌跡，B
正確，A、C錯誤點切線的方向不表示振子運動到 點時的速度方向，D錯誤.
3.新生活實際 ［魯科版教材習題改編］釣魚是很多人的愛好，
浮漂是釣魚的重要工具之一，如圖是某浮漂靜止在靜水中的示意
圖，、、為浮漂上的三個點，此時點 恰好在水面上.用手
將浮漂向下壓，使點 恰好到達水面后松手，浮漂會上下運動，
上升到最高處時，點 到達水面，浮漂的運動可看成簡諧運動.下
列說法正確的是( )
D
A.一個周期內，點 只能到達水面一次
B.點 到達水面時，浮漂具有最大速度
C.點 到達水面時，浮漂具有最大加速度
D.點 從水面運動到最高點的過程中，速度一直減小
【解析】簡諧運動具有對稱性，一個周期內，點 能到達水面兩次，選項A錯誤；點
到達水面時，浮漂運動到最低點，加速度最大，速度最小，選項B錯誤；點 到達
水面時，浮漂運動到平衡位置，加速度最小，速度最大，選項C錯誤；點 從水面，
即平衡位置運動到最高點的過程中，速度一直減小，選項D正確.
4.彈簧振子做簡諧運動，振子運動范圍為，周期為 ，計時開始時具有正向
最大加速度，則它的振動方程是( )
B
A. B.
C. D.
【解析】 時刻振子具有正向最大加速度，說明此時振子的位移是負向最大，則
位移與時間的函數關系式中， ，且由題給條件可知簡諧運
動的角頻率，振幅 ，則位移與時間的函數
關系式為 ．選項B正確.
5.一根自由長度為的輕彈簧，下端固定，上端連一個質量為的物塊，在 上
再放一個質量為的物塊，系統靜止后，彈簧長度為 ，如圖所示.如果迅速向
上移去，物塊 將在豎直方向做簡諧運動，此后彈簧的最大長度是( )
C
A. B. C. D.
【解析】移去物塊后物塊在豎直方向上做簡諧運動，平衡位置是物塊 的重力和
彈簧彈力大小相等的位置，由題中條件可得此時彈簧長度為.物塊 剛開始運動
時彈簧長度為，由對稱性可知此后彈簧的最大長度是 .選項C正確．
6.［人教版教材習題改編］如圖甲所示為一彈簧振子的振動圖像，規定向右的方向
為正方向，圖乙中為平衡位置，、 為最大位移位置，試根據圖像分析以下問題.
圖甲
圖乙
（1）如圖甲所示的振子振動的起始位置是_______________,從起始位置開始，振子
向____（填“右”或“左”）運動.
平衡位置（）
右
【解析】由題圖甲可知，起始位置位移為0，下一時刻位移為正，而位移是指由平衡
位置指向振子所在位置的有向線段，故起始位置應在平衡位置，從起始位置開始，
振子向右運動.
（2）圖甲中的、、、、 各對應圖乙中的哪個位置
對應___，對應___，對應___,對應___， 對應___.
【解析】、、三點位移為0，對應平衡位置， 點為正向最大位移處，對應位
置為，點為負向最大位移處，對應位置為 .
（3）在時，振子速度的方向與 時速度的方向______（填“相同”或“相
反”）.
相反
【解析】時，切線斜率為正，說明振子向正方向運動， 時，切線斜率為
負，說明振子向負方向運動，故兩時刻速度方向相反.
（4）振子在前 內的位移等于___.
0
【解析】振子從平衡位置運動 ，恰好又回到平衡位置，故位移為0.
B 綜合練丨選考通關
建議時間：25分鐘
7.如圖所示，一個彈簧振子在、之間做簡諧運動.為平衡位置，、 是振動過程
中關于 對稱的兩個位置，下列說法正確的是( )
B
A.振子在從向 運動的過程中，動能先減小后增大
B.振子在、間與、 間的運動時間相等
C.振子運動到、 兩位置時，位移相同
D.振子在從向 運動的過程中，加速度先增大后減小
【解析】振子在從向 運動的過程中，速度先增大后減小，即動能先增大后減小，
加速度先減小后增大，選項A、D錯誤；由對稱性可知，振子在、間與、 間的
運動時間相等，振子運動到、 兩位置時，位移等大反向，選項B正確，C錯誤.
8.（2025·上海閔行中學期中）如圖甲所示為以點為平衡位置，在、 兩點間做簡
諧運動的彈簧振子，圖乙為這個彈簧振子的振動圖像，由圖可知下列說法正確的是
( )
D
A.在 時，彈簧振子的加速度為正向最大
B.從到 時間內，彈簧振子做加速度減小的減速運動
C.在 時，彈簧振子的位移最小
D.在與 兩個時刻，振子的速度都為零
【解析】
9.新學習探索情境［鏈接教材第42頁“發展空
間”］如圖甲是演示簡諧運動圖像的裝置.當
盛沙漏斗下面的薄木板 被勻速拉出時，擺
動著的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲線顯
示出擺的位移隨時間變化的關系，板上的直
A
A. B. C. D.
【解析】由題圖乙知,又故 ，A正確，B、C、D錯誤.
線代表時間軸.圖乙是兩個擺中的沙在各自木板上形成的曲線，若板和板 拉
動的速度和的關系為，則板、上曲線所代表的振動的周期和
的關系是 ( )
10.（2025·湖南長沙市長郡中學月考，多選）、 兩個質點做簡諧運動的振動圖像
如圖所示，下列說法正確的是( )
BC
A.、的振幅之比是
B.、的振動周期之比是
C.、在內經過的路程之比是
D.時，、的位移大小之比是
【解析】由振動圖像可知的振幅為，的振幅為，則、 的振幅之比是
，故A錯誤；由振動圖像可知的周期為，的周期為，則、 的周期
之比是，故B正確；在內完成一次全振動，則經過的路程為，
完成兩次全振動，則經過的路程也為，故C正確；和 的振動方程分別為
,,則時，、 的位移分別為
,，則、的位移大小之比是 ，故D錯誤.
11.新生活實際 如圖甲所示為兒童玩具彈簧木馬.某同學坐上彈簧木馬后，由同伴配
合啟動.若只進行上下運動，忽略能量損失，木馬和該同學組成的整體的運動可看作
簡諧運動，此簡諧運動的振動圖像如圖乙.下列判斷正確的是( )
D
圖甲
圖乙
A. 時刻，該整體做簡諧運動的位移最大，且處于超重狀態
B.到 的時間內，該整體的速度先變小后變大
C.和 時刻，該整體的加速度相同
D. 時刻，該整體在平衡位置下方且向上振動
【解析】 時刻，該整體做簡諧運動的位移最大，且加速度向下，處于失重狀
態，選項A錯誤；到 的時間內，該整體由最高點到平衡位置，再到
最低點，因此整體的速度先變大后變小，選項B錯誤；和 時刻，該
整體的位移大小相等，方向相反，所以該整體的加速度大小相等，方向相反，選項C
錯誤； 時刻對應的位移為負值，且此后位移的絕對值減小，說明該整體在
時刻位于平衡位置下方，且向上振動，選項D正確.
12.根據如圖所示的振動圖像，回答下列問題.
（1）將位移隨時間的變化規律寫成 的形式，并指出振動的初相位
是多少.
【答案】
【解析】由題圖可知，該簡諧運動的振幅，周期 ，角頻率
，時
則有
代入數據得初相位 .
（2）算出下列時刻振子相對平衡位置的位移.
; .
【答案】
【解析】時， ；
時， .
C 培優練丨能力提升
建議時間：8分鐘
13.彈簧振子以點為平衡位置，在、兩點間做簡諧運動，在時，振子從 、
間的點以速度向點運動；在時，振子速度第一次變為；在
時，振子速度第二次變為 .
（1）求彈簧振子的振動周期 ；
【答案】
圖甲
【解析】彈簧振子做簡諧運動的示意圖如圖甲所示，由對稱性可
得振子速度第二次變為時，振子運動到點相對于 點的對稱
位置點，此時振子運動的時間為，故周期 .
（2）若、之間的距離為，求振子在 內通過的路程;
【答案】
【解析】若、之間的距離為，則振幅 ，又
,故振子在內通過的路程 .
（3）若、之間的距離為 ，從平衡位置開始計時，寫出彈簧振子的振動方程，
并畫出彈簧振子的振動圖像.
【答案】 振動圖像如圖乙所示
【解析】從平衡位置開始計時，振動方程可寫為，其中 ，
，即 .振動圖像如圖乙所示.
圖乙

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