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第二章 機械振動
第3節 單擺
_____________________________________________________________________ _____________________________________________________ 1.理解單擺的結構，知道單
擺是理想化模型.
2.會分析單擺受到的回復
力，知道實際擺可以看成單
擺的條件.
3.通過實驗掌握單擺的周期
公式，并能應用其解決實際
問題.
情境導學
伽利略看到吊燈不停地擺動，他用脈搏計量時間，仔細觀察吊燈的擺動，終于
發現了吊燈擺動的規律.后來，惠更斯研究了單擺的振動，確定了單擺做簡諧運動的
周期公式.
新知課丨必備知識解讀
知識點1 單擺及其運動規律
圖2-3-1
1 單擺
（1）定義
如圖2-3-1所示，細線下面懸掛一個小球，若忽略細線長度的微小
變化和質量，且線長比球的直徑大得多，這樣的裝置就叫作單擺.
（【說明】單擺是一個理想化模型：擺球是質點，擺線無形變、無質
量.）
. .
. .
. .
. .
（2）實際擺看成單擺的條件
形變要求 擺線的伸縮量可以忽略.
質量要求 擺線質量與擺球質量相比可以忽略.
長度要求 擺球的直徑與擺線的長度相比可以忽略.
受力要求 忽略擺球擺動過程中所受空氣阻力的作用.
2 單擺的回復力
圖2-3-2
（1）來源
如圖2-3-2所示，取擺球在運動過程中的任意一點 .設擺
球在點時細線與豎直方向的夾角為 ，擺球受兩個力——沿
細線方向的拉力，豎直向下的重力.將重力 分解為沿圓弧
切線方向上的分量和沿擺線方向上的分量 ，則擺線的拉
力和 的合力提供了擺球繞懸點做圓周運動需要的向心力，
而重力沿圓弧切線方向的分力 ，近似指向平衡位置 ，它提供了擺球
振動的回復力.
. .
. .
. .
特別提醒 1.擺球做兩個運動：一是在平衡位置兩側做往復運動，二是繞懸點做圓
周運動.
2.擺球的回復力來源于重力沿圓弧切線方向上的分力，而不是擺球所受到的合力.
（ 除最高點外（在最高點，擺球速度為零，所需向心力為零，此時回復力等于擺球
受到的合力））.
3.當擺球經過平衡位置時，回復力為零，而其所受合力不為零，此時合力提供擺球
做圓周運動的向心力.
. .
（2）特點
設單擺的擺長為，選取平衡位置為坐標原點，水平線為軸，當偏角 很小時
為 左右弧線與軸近似重合，則擺球偏離平衡位置的位移可用 表示，有
，由數學關系知.所以單擺的回復力為 ，負號表示回
復力與位移 的方向相反.
由于、、對同一個單擺都有確定的數值，可以用一個常量 表示，上式可
以寫成 .
可見，在偏角較小的情況下，單擺擺球所受的回復力與偏離平衡位置的位移成
正比，與彈簧振子受的回復力形式相同.所以，單擺在偏角很小（ 左右）
（單擺做簡諧運動的條件 ）時的振動是簡諧運動.
. .
. .
. .
學思用·典例詳解
例1-1 （多選）單擺是為研究振動而抽象出的理想化模型，其理想化條件是
( )
ABC
A.擺線質量不計 B.擺線長度不伸縮
C.擺球的直徑比擺線長度小得多 D.只要是單擺的運動就是簡諧運動
【解析】單擺由擺線和擺球組成，擺線只計長度不計質量且擺線不伸縮，擺球直徑
遠小于擺線長度，A、B、C項正確．把單擺的運動作為簡諧運動來處理是有條件的，
只有在滿足上述條件，且擺動偏角很小 左右 的情況下才能視單擺的運動為簡諧
運動，D項錯誤.
圖2-3-3
例1-2 如圖2-3-3所示， 點為單擺的固定懸點，現將擺球（可視為質
點）拉至 點，此時細線處于張緊狀態，釋放擺球，擺球將在豎直平
面內的、之間來回擺動， 點為運動中的最低位置，則在擺動過程
中( )
D
A.擺球在點和 點處，速度為零，所受合力也為零
B.擺球在點和 點處，速度為零，回復力也為零
C.擺球在 點處，速度最大，回復力也最大
D.擺球在 點處，速度最大，細線拉力也最大
【解析】擺球在重力和細線拉力作用下沿圓弧做圓周運動，在最高點、 處速度
為零，所受合力不為零，A錯誤；在最低點 處速度最大，所需向心力最大，重力沿
細線方向的分力最大，細線的拉力最大，D正確；回復力 ，其中 為
擺線偏離豎直方向的角度，所以擺球在擺動過程中，在最高點、 處回復力最大，
在最低點 處回復力為零，故B、C錯誤.
知識點2 通過實驗探究單擺的周期和擺長的關系
1 探究影響單擺周期的因素
（1）猜想
單擺周期可能與擺球的質量、擺長及振幅（偏角為 左右）有關.
（2）實驗方法
控制變量法.
. .
（3）實驗過程
如圖2-3-4所示，在兩個鐵架臺的橫梁上分別固定一個單擺，按照以下幾種情況，
把它們拉起一定角度后同時釋放，觀察兩擺的振動快慢.
圖2-3-4
①兩擺的擺球質量、擺長相同，振幅不同.
②兩擺的擺長、振幅相同，擺球質量不同.
③兩擺的振幅、擺球質量相同，擺長不同.
（4）結論
單擺做簡諧運動的周期與擺長有關，擺長越長，周期越大，周期與擺球的質量
和振幅無關.
. .
2 探究單擺周期與擺長 的關系
（1）猜想
與 成正比；
與 成正比.
（2）測量單擺周期的方法
把單擺從平衡位置拉開一個很小的角度釋放，使之做簡諧運動.當擺球某次通過
平衡位置時開始計時，用停表記下擺球通過平衡位置次所用的時間 ，因為單擺完
成一個周期的振動，經過平衡位置兩次，所以有
,
【說明】因擺球在平衡位置速度最大，計時誤差小，一般選平衡位置為計時起點.
（3）實驗過程
①測量擺長
用刻度尺量出懸線長度，用游標卡尺量出擺球的直徑，則擺長 .
②改變單擺的擺長，測出不同擺長單擺的周期，記錄在下表中.
實驗次數 擺球直徑
1
2
…
（4）作圖
①以為縱軸，為橫軸，根據表中數據，作出 圖像.
②以為縱軸，為橫軸，根據表中數據，作出 圖像.
（5）結論
單擺的周期與擺長的二次方根成正比，即 .
學思用·典例詳解
例2-3 （2024·遼寧大連期中）某興趣小組做“探究單擺周期與擺長的關系”的實驗.
（1）擺線要選擇細些的、伸縮性____些的，擺球要選擇質量大些的、體積____些的.
（選填“大”或“小”）
小
小
【解析】擺線要選擇細些的、伸縮性小些的；擺球要選擇質量大些的、體積小些的.
（2）從擺球經過平衡位置開始計時，測出次全振動的時間為，則單擺的周期 為
__；用毫米刻度尺量出懸點到擺球的擺線長為，用游標卡尺測出擺球直徑為 ，則
單擺的擺長 為______.
【解析】單擺的振動周期為 ，由于擺長為懸點到球心的距離，故擺長為
.
（3）實驗測出不同擺長對應的多組數據，利用實驗數據作出了、 、
圖像，其中________圖像最能直觀反映周期與擺長的關系，由該圖像可得到
單擺的周期與擺長的關系是______________________（用數學表達式表示）.
為比例系數
【解析】單擺的周期與擺長的二次方根成正比，因此 圖像能直觀反映周期與
擺長的關系；由于與成正比，因此單擺的周期與擺長的關系是
為比例系數 .
圖2-3-5
（4）某同學根據實驗數據作出的圖像如圖2-3-5所示．造
成圖像不過坐標原點的原因可能是_____.
BC
A.擺長測量值偏大 B.擺長測量值偏小
C.周期測量值偏大 D.周期測量值偏小
【解析】若周期測量值準確，與過坐標原點的圖像比較，
擺長測量值偏小，故B正確，A錯誤；若擺長測量值準確，
與過坐標原點的圖像比較，周期的測量值偏大，故C正確，D錯誤.
知識點3 單擺做簡諧運動的周期公式
1 單擺的周期公式
單擺做簡諧運動的周期跟擺長的二次方根成正比，跟重力加速度的二次方根
成反比，即

特別提醒 1.單擺的周期只與其擺長和當地的重力加速度有關，而與振幅和擺球質量
無關，它又叫作單擺的固有周期.單擺周期公式的成立條件為擺角在 左右.
2.周期為的單擺叫作秒擺.秒擺的擺長約為.
2 對公式中擺長 的理解
（1）如圖2-3-6所示，實際的單擺擺球不可能是質點，所以擺長應是從懸點到擺
球球心的長度，即,其中為擺線長, 為擺球直徑.
圖2-3-6
圖2-3-7
（2）等效擺長:擺球的軌跡圓弧的圓心到擺球重心的距離.圖2-3-7中甲、乙在垂
直紙面方向擺起來的效果是相同的，若不計小球半徑，則甲擺的擺長為 ,這就
是等效擺長，其周期 .
3 對公式中重力加速度 的理解
中，應理解為等效重力加速度，實際中不一定為 ，而由單
擺所處的位置、擺球的受力情況及系統的加速度情況決定.
（1）若單擺系統只處在重力場中且星球相對于系統為慣性參考系, 由單擺所在
的空間位置決定.取，式中為擺球到星球重心的距離， 為星球的質量，可
見不同星球上 值不同.
（2）單擺處于超重、失重等非平衡狀態時：
①如果單擺處在向上勻加速上升的航天飛機內，設加速度大小為 ，
此時擺球處于超重狀態，則等效重力加速度 ．
②如果單擺處在向下勻加速運動的電梯內，設加速度大小為 ，此
時擺球處于失重狀態，則等效重力加速度 ．
（3）還有其他力參與提供回復力的狀態時：
如圖2-3-8所示，若帶電小球在電場強度方向豎直向下的勻強電場中做簡諧運動，
其等效重力加速度的求法為：先求出單擺靜止在平衡位置時擺球所受拉力 ，該
力為等效重力，再根據求出等效重力加速度，分析圖2-3-8知， ,
則 .
圖2-3-8
圖2-3-9
特別提醒
對等效重力加速度的理解要點
等效重力加速度與單擺振動過程中回復力的來源有關.若擺球除
受到重力和拉力外還受到其他力，但其他力只沿圓弧半徑方向，而沿
圓弧切線方向無分力，這種情況下單擺的周期不變.如圖2-3-9所示，帶電小球受到的
庫侖力始終沿半徑方向，會影響到擺球所受的向心力，但對擺球的回復力沒有影響，
這時，單擺的周期與擺球不帶電時相同.
深度理解
圓弧擺和圓錐擺
圖2-3-10
1.圓弧擺
如圖2-3-10所示,有一光滑圓弧曲面,在 處放一小球，圓弧
擺做簡諧運動的條件:
（1）圓弧曲面光滑;
（2）小球直徑和圓弧弧長遠小于圓弧的半徑 ;
（3）小球在曲面 上做往復運動.
圓弧擺周期 .
圖2-3-11
2.圓錐擺
如圖2-3-11所示，一根質量和伸長量均可忽略不計的細線，一
端固定在懸點上，另一端系一個擺球，擺球只受重力和拉力兩個力,
兩個力的合力提供擺球做圓周運動的向心力 .由
,解得周期
.
【注意】1.圓錐擺的擺球所受合外力 ，不可視為單擺.
2.同樣的裝置中擺球做單擺運動和做圓錐擺運動時周期不同，因此做單擺實驗
時，需要保證擺球在同一豎直面內擺動.
學思用·典例詳解
例3-4 ［教材第51頁“自我評價”第4題改編］做簡諧運動的單擺擺長不變，若擺球質量
增加為原來的4倍，擺球經過平衡位置時速度減小為原來的 ，則單擺振動的( )
D
A.頻率不變，振幅不變 B.頻率改變，振幅變大
C.頻率改變，振幅不變 D.頻率不變，振幅變小
【解析】由單擺的周期公式 可知，單擺擺長不變，則周期不變，頻率不變；
振幅是反映單擺運動過程中能量大小的物理量，由 可知，擺球經過平衡
位置時的動能不變，由機械能守恒定律可知，擺球質量增加，擺球所達到的最大位
移處距離最低點的高度減小，因此振幅變小，D正確.
例3-5 如圖2-3-12所示，三根細線在點處打結，、 兩端固定在同一水平面上相距
的兩點，使三角形成直角三角形， ，已知線長為 ，
下端 系著一個直徑不計的小球，下列說法正確的是( )
A
圖2-3-12
A.讓小球在紙面內小角度擺動，周期
B.讓小球在垂直紙面方向小角度擺動，周期
C.讓小球在紙面內小角度擺動，周期
D.讓小球在垂直紙面方向小角度擺動，周期
點撥 單擺周期公式為，其中 為擺長.當小球在紙面內做小角度擺動時，軌
跡圓弧的圓心是 點；當小球在垂直紙面方向做小角度擺動時，軌跡圓弧的圓心在
、連線上且在 點正上方．
【解析】讓小球在紙面內擺動，在擺角很小時，擺球以點為圓心擺動，擺長為 ，
周期為 ；讓小球在垂直紙面方向擺動，在擺角很小時，
擺球以的延長線與的交點為圓心擺動，擺長為 ，
周期為 ,故選項A正確.
圖2-3-13
例3-6 如圖2-3-13所示的幾個相同的單擺在不同條件下，
關于它們的周期關系，下列選項判斷正確的是( )
C
A. B.
C. D.
點撥 根據周期公式求周期 ,關鍵是要通過確定等效重力來確定等效重力加
速度.
【解析】題圖（1）中，當擺球偏離平衡位置時，重力沿斜面的分力 為等效
重力，則單擺的等效重力加速度 ；題圖（2）中兩個帶電小球的斥力總
與擺球運動方向垂直，不影響回復力；題圖（3）為標準單擺；題圖（4）中擺球處
于超重狀態，等效重力增大，故等效重力加速度增大， .由單擺做簡諧運
動的周期公式,知 ，選項C正確.
解題課丨關鍵能力構建
題型1 單擺周期公式的理解及應用
圖2-3-14
例7 ［魯科版教材習題改編］如圖2-3-14
甲所示，在 點用一定長度的擺線懸掛一
個擺球（可視為質點），在點的下方 點
處有一個釘子，現將擺球向左拉開一個很
小的角度， 時將擺球由靜止釋放，當
擺球運動到最低點時，擺線碰到釘子，此
時擺球繼續向右擺動，設向右為正方向，擺球的振動圖像如圖乙所示，不計擺線和
釘子相碰時的能量損失，取 ，結果可用分式表示，求：
（1）單擺的振動周期；
【答案】
【解析】由圖乙可知，單擺完成一次全振動的時間為 .
（2）釘子的位置點與懸點 的距離；
【答案】
【解析】由圖乙可知，小球在左側擺動時，單擺的周期為 ，由單擺周期
公式有
解得該單擺擺長為
小球在右側繞著點擺動時，周期為，由單擺周期公式有
解得該單擺碰到釘子后的擺長為
故釘子的位置點與懸點的距離，代入數據得 .
（3）圖乙中與 的比值.
【答案】
【解析】設單擺在左側擺動最大偏角為，在右側擺動最大偏角為 ，可得
，
由機械能守恒定律得
聯立并代入數據解得 .
建構導圖明思路
（2）
（3）
應用單擺周期公式求解問題的注意點
1.單擺在擺角小于 時做簡諧運動，其位移—時間圖像是正弦或余弦曲線.
2.由單擺的振動圖像可知單擺周期，而單擺的周期與重力加速度及擺長有關，與振
幅無關.
3.擺球在擺動過程中，其位移、速度、加速度及、相對于平衡位置具有對稱性.
4.單擺擺動具有周期性特點.
【學會了嗎丨變式題】
圖2-3-15
1.［人教版教材習題改編］（2025·湖北荊州中學月考，
多選）如圖2-3-15所示為同一地點的兩個單擺甲、乙的
振動圖像，， ，下列說法正確的是
( )
BCD
A.甲單擺的擺長較大
B.甲擺的振幅比乙擺的大
C.甲擺的最大偏角約為
D.在 時有正向最大加速度的是乙擺
【解析】
題型2 等效擺長和等效重力加速度問題
圖2-3-16
例8 （2025·湖南師范大學附屬中學月考）如圖2-3-16
甲所示，雙線擺也是一種單擺，它的優點是可以把擺
球的運動軌跡約束在一個確定的平面上.現把雙線擺的
其中一根懸線換成一根很輕的硬桿，組成一個“桿線
擺”，如圖乙所示，“桿線擺”可以繞著固定軸 來回
擺動.輕桿水平，桿和線均長為，重力加速度為 ，擺
角很小時，“桿線擺”的周期為( )
A
A. B. C. D.
圖2-3-17
【解析】如圖2-3-17所示，小球繞 軸轉動，相當于單擺在
傾角為 的光滑斜面上來回擺動，擺線為圖中的虛線，等
效重力 ，“桿線擺”的等效擺
長為，則周期為 ，故
選A.
圖2-3-18
例9 （2025·江蘇徐州中學、宿遷一中、如東一中月考聯考）如
圖2-3-18所示，在傾角為 的斜面頂端固定一擺長為 的單擺，
單擺在斜面上做小角度擺動，擺球經過平衡位置時的速度為 ，
擺球的質量為,重力加速度大小為 ，則以下判斷正確的是
( )
D
A.單擺在斜面上擺動的周期為
B.擺球經過平衡位置時的回復力大小為
C.若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強電場，則單擺的振動周期將增大
D.若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強電場，則單擺的振動周期將減小
建構導圖明思路
［第1步：求不加電場時的等效重力加速度］
擺球靜止在平衡位置時，所受擺線的拉力 ，則等效重力加速度
.
［第2步：求不加電場時單擺的周期］
單擺在斜面上擺動的周期 ，故A錯誤.
［第3步：根據簡諧運動的特點判斷回復力］
回復力大小與擺球偏離平衡位置的位移大小成正比，故擺球經過平衡位置時的回復
力大小為0，B錯誤.
圖2-3-19
［第4步：求加電場時的重力加速度］
若小球帶正電，并加一沿斜面向下的勻強電場，則擺球靜止
在平衡位置時，受力分析如圖2-3-19所示.
擺球所受擺線的拉力大小
等效重力加速度為 .
［第5步：求加電場時單擺的周期］
加電場時，單擺在斜面上擺動的周期
，故C錯誤，D正確.
等效擺長：擺球的軌跡圓弧的圓心到擺球重心的距離.
【學會了嗎丨變式題】
圖2-3-20
2.如圖2-3-20所示，有一半徑為的光滑小圓槽 固定在水平面上，
其中、兩點連線與水平面夾角為 ，整個裝置置于豎直
向下的電場強度為的勻強電場中，一個質量為 的小球
（可視為質點），帶正電且帶電荷量為.從 點由靜止釋放，重力
加速度為，則小球由運動到 的時間為( )
B
A. B. C. D.
【解析】因為、兩點連線與水平面夾角 ，故可以把小球的運動看作單擺的
運動，由單擺的周期公式可得，式中 為小球的等效重力加速度，又整個
裝置置于豎直向下的電場強度為 的勻強電場中，由牛頓第二定律有
，解得，則小球由運動到 的時間為
，選項A、C、D錯誤，B正確.
提素養 深度學習
微專題 擺鐘的快慢變化及調整方法
1 計時原理
擺鐘是單擺做簡諧運動的一個典型應用.擺鐘每擺動一次（即完成一次全振動），擺
鐘就會顯示一定的時間，也就是走時準確的擺鐘的周期.
2 擺鐘快慢變化的原因
3 擺鐘快慢調整的方法
（1）擺鐘變快說明周期變小,應增大擺長.
（2）擺鐘變慢說明周期變大,應減小擺長.
例10 ［人教版教材習題改編］惠更斯利用單擺的等時性原理制成了第一座擺鐘.如
圖2-3-21甲所示為日常生活中我們常見到的一種擺鐘，圖乙為擺鐘的結構示意圖，圓
盤固定在擺桿上，螺母可以沿擺桿上下移動，擺鐘的擺動可看作單擺運動，下列說
法正確的是( )
D
圖2-3-21
A.在山腳走時準確的擺鐘，在山頂仍能走時準確
B.若將擺鐘的擺角由 增加到 ，擺鐘擺動的周期將減小
C.對于走時準確的擺鐘，若調節螺母向下移動，擺鐘仍能走時
準確
D.將擺鐘由赤道移到北極，擺鐘的擺動周期減小
【解析】根據單擺的周期公式 可知，在山腳走時準確的擺鐘，在山頂時由
于發生變化，擺鐘將走時不準確，故A錯誤；將擺鐘的擺角由 增加到 ，擺鐘擺
動的周期不變，故B錯誤；對于走時準確的擺鐘，若調節螺母向下移動，相當于改變
了擺長，擺鐘不能走時準確，故C錯誤；將擺鐘由赤道移到北極，重力加速度增大，
擺鐘擺動的周期減小，故D正確.
例11 擺鐘擺錘的運動可近似看成簡諧運動，如果在同一地點，擺長為 的擺鐘在一
段時間里快了，另一機械結構相同、擺長為 的擺鐘在同樣的一段時間里慢了
，則準確的擺鐘的擺長 為多少？
【答案】
【解析】設標準擺鐘周期為，擺長為、的擺鐘周期分別為、 ,則有
，，
在相同時間內擺長為的擺鐘比標準擺鐘快，擺長為 的擺鐘比標準擺鐘慢
，設該相同時間為
相同時間內擺鐘的走時之比等于頻率之比，故有
聯立解得 .
【學會了嗎丨變式題】
3.有一單擺，在海平面上某一段時間內擺動了 次，在同一緯度某山頂上同樣長的時
間內擺動了 次，由此可知，此山的高度與地球半徑的比值是（忽略地球自轉
的影響）( )
A
A. B. C. D.
【解析】根據知，，單擺在海平面上某一段時間內擺動了 次，在
同緯度某山頂上同樣長的時間內擺動了 次，知單擺在海平面上的周期與在山
頂上的周期之比為 .則海平面的重力加速度與山頂的重力加速度之比
，設山的高度為，根據萬有引力等于重力得 ，
，，解得 ，故選項A正確.
考試課丨核心素養聚焦
考情揭秘 素養點擊
基本考查點 單擺的周期公式、擺長及重 力加速度對周期的影響. 1.掌握單擺的運動能看成簡諧運動的條
件，具備相關的物理觀念.
2.知道影響單擺周期的因素，并能計算
單擺的周期，提升分析并解決物理問題
的能力.
3.知道等效重力加速度在計算單擺周期
時的應用，具備科學思維能力.
熱點及難點 單擺的擺長、重力加速度的 變化引起周期的變化. 題型及難度 多以選擇題形式出現，難度 偏易. 高考中地位 屬于?？伎键c. 考向1 對等效擺長的理解
例12 （2024·浙江6月選考科目試題）如圖2-3-22所示，不可伸長的光滑細線穿過質
量為的小鐵球，兩端、懸掛在傾角為 的固定斜桿上，間距為 .小球
平衡時， 端細線與桿垂直；當小球受到垂直紙面方向的擾動做微小擺動時，等效于
懸掛點位于小球重垂線與交點的單擺，取 ，則( )
B
圖2-3-22
A.若擺角變小，周期將變大
B.小球擺動周期約為
C.小球平衡時，受到端細線的拉力為
D.小球平衡時，受到端細線的拉力小于 端細線的拉力
本題考查單擺、共點力平衡等知識，要求考生掌握單擺的周期公式，并能求出單擺
的等效擺長，且會運用力學方法分析小球的平衡問題，體現了高考對物理觀念和科
學思維的考查.
圖2-3-23
【解析】單擺的周期 ，可知單擺的周期與擺角的大小無關，
故A錯誤；細線穿過小球，不打結，則線中拉力處處相等， 端細線
對小球的拉力等于 端細線對小球的拉力，平衡時對小球受力分析，
如圖2-3-23所示，根據幾何關系可知兩段細線與豎直方向的夾角均
為 ，由平衡條件得 ，故C、
D錯誤；兩段細線的夾角等于 ，根據幾何關系可知，等效擺長
，
小球擺動周期，解得 ，故B正確.
考向2 單擺的振動圖像問題
圖2-3-24
例14 （2024·甘肅卷）如圖2-3-24為某單擺的振動圖像，
重力加速度取 ，下列說法正確的是( )
C
A.擺長為 ，起始時刻速度最大
B.擺長為 ，起始時刻速度為零
C.擺長為，、 點的速度相同
D.擺長為，、 點的速度相同
本題以單擺的振動圖像為背景命題，要求考生會讀圖，能從圖像中獲取解題所需信
息，并能根據單擺的振動圖像計算其擺長和最大偏角.
【解析】
新考法 實驗創新
考法解讀 單擺是簡諧運動的典型模型之一，也是豐富學生運動與相互作用觀念的重
要知識載體.依據單擺模型可設計多種科學探究問題，例如，可以設計探究單擺的周
期與擺長之間的關系，也可以考查根據單擺周期公式測量重力加速度，除常規實驗
外，還可以將實際生活中的小幅擺動問題與單擺模型類比，遷移單擺模型的相關原
理，設計創新實驗.
圖2-3-25
例14 （2024· 黑吉遼卷）圖2-3-25（a）為一套
半圓拱形七色彩虹積木示意圖，不同顏色的積
木直徑不同.某同學通過實驗探究這套積木小幅
擺動時周期與外徑 之間的關系.
（1）用刻度尺測量不同顏色積木的外徑 ,其中
對藍色積木的某次測量如圖（b）所示，從圖中
讀出_________________________ .
均正確
（2）將一塊積木靜置于硬質水平桌面上，設置積木左端平衡位置的參考點 ,將積木
的右端按下后釋放,如圖（c）所示.當積木左端某次與 點等高時記為第0次并開始計
時，第20次時停止計時，這一過程中積木擺動了____個周期.
10
（3）換用其他積木重復上述操作,測得多組數據.為了探究與 之間的函數關系，可
用它們的自然對數作為橫、縱坐標繪制圖像進行研究,數據如下表所示:
顏色 紅 橙 黃 綠 青 藍 紫
2.197 … 1.792
根據表中數據繪制出圖像如圖2-3-26所示,則與 的近似關系為___.
圖2-3-26
A
A. B. C. D.
（4）請寫出一條提高該實驗精度的改進措施:_________________________________
__________________________________________________________________.
用游標卡尺測量外徑、換用更光滑的硬質水平桌面、增加所測周期數、適當減小擺動的幅度（寫出一條即可）
【解析】
關鍵信息 物理量及其關系
圖2-3-25（b）
關鍵信息 物理量及其關系
圖2-3-26
續表
考法創新 本題以一套半圓拱形七色彩虹積木為素材，創設了探究積木小幅擺動的周
期與外徑關系的科學探究問題情境，考查考生的實驗探究能力和模型遷移能力，突
出了對創新性的考查.第（3）問結合函數圖像考查考生利用數學知識解決物理問題
的能力，突出了不同學科知識的融合；第（4）問設計了一個提高實驗精度的開放性
問題，考查考生對實驗的分析、改進能力，鼓勵考生從多角度思考問題.
習題課丨學業質量測評
A 基礎練丨知識測評
建議時間：15分鐘
1.要將秒擺的周期變為 ，下列措施可行的是( )
C
A.只將擺球質量變為原來的 B.只將振幅變為原來的2倍
C.只將擺長變為原來的4倍 D.只將擺長變為原來的16倍
【解析】單擺的周期與擺球的質量和振幅均無關，故A、B錯誤；對秒擺，有
，對周期為的單擺，有，聯立解得 ，故C
正確，D錯誤.
2.［鏈接教材第42頁“發展空間”］在盛沙的漏斗下方放一木板，讓漏斗在紙面內擺
動起來，假設漏斗中細沙勻速流出，經過一段時間后，觀察木板上沙子的堆積情況，
不考慮空氣阻力，則沙堆的剖面（紙面內）應是下列選項中的( )
B
A. B. C. D.
【解析】不考慮空氣阻力，漏斗在從最左端向最右端運動和從最右端向最左端運動
的過程中，到達中間位置時運動速度最快，漏到木板上的細沙最少，從中間到兩端
運動時漏斗運動的速度逐漸變慢，故漏到木板上的細沙越來越多，B正確.
3.［教材第54頁“自我評價”第3題改編］細長輕繩下端拴一小球構成單擺，
在懸掛點正下方擺長處有一個能擋住擺線的釘子 ，如圖所示，現將單
擺向左側拉開一個小角度，然后無初速度釋放，對于以后的運動，下列
說法正確的是( )
B
A.擺球往返運動一次的周期和無釘子時的相同
B.擺球在左、右兩側上升的最大高度一樣
C.擺球在平衡位置左右兩側經過的最大弧長相等
D.擺球在平衡位置右側的最大擺角是左側的兩倍
【解析】擺線被釘子擋住前的周期 ，擋住后的周期變為
，故A錯誤；根據機械能守恒定律可知，擺球在左、
右兩側上升的最大高度一樣，故B正確；假若無釘子時，擺球擺至
右側最高點 ，與初始釋放位置對稱，若有釘子，擺球擺至右側最
高點，、在同一水平線上，如圖所示，由幾何關系知 ，但是 ，
故D錯誤；由幾何關系知，擺球在平衡位置右側的最大弧長小于左側的，故C錯誤.
4.新航天科技 ［人教版教材習題改編］自從“玉兔二號”探測器到達月球工作并拍回
一系列珍貴的月球表面照片以后，中國人對月球的向往又進一步加深了，希望能夠
早日登上月球.假設某宇航員成功登上月球并把地球上的擺鐘帶到了月球表面.已知月
球表面的重力加速度約為地球表面的 ，現要使該擺鐘在月球上的周期與地球上周期
相同，下列辦法可行的是( )
C
A.將擺球的質量增加為原來的6倍 B.將擺球的質量減小為原來的
C.將擺長減小為原來的 D.將擺長增長為原來的6倍
【解析】已知月球表面的重力加速度約為地球表面的 ，根據單擺的周期公式
可知，要使該單擺在月球上與在地球上周期相同，必須將擺長縮短為原來
的 ，單擺的周期與擺球的質量無關，選項C正確.
5.（2025·山東泰安質檢）一細線一端固定，另一端系一密度為
的小球，組成一個單擺，其周期為 .現
將此單擺倒置于水中，將細線拉開一個小角度，使單擺做簡諧運動，
如圖所示.已知水的密度為 ，水對小球的阻力可忽略，
則單擺在水中做簡諧運動的周期為( )
D
A. B. C. D.
【解析】單擺的周期，設小球在水中的等效重力加速度為 ，則有
，又，，聯立并代入數據解得 ，選項
D正確.
B 綜合練丨選考通關
建議時間：25分鐘
6.新學習探索情境［鏈接教材第42頁“發展空間”］如圖甲所示裝置為一個除去了柱
塞的注射器被細線懸掛于鐵架上，注射器內裝上墨汁，當注射器擺動時，沿著垂直
于擺動的方向勻速拖動木板，觀察噴在木板上的墨汁圖樣.兩位同學分別使用該裝置
來研究單擺的運動.得到了如圖乙中、 所示的兩條圖線（圖中網格線尺寸相同）.下
列關于兩圖線的分析正確的是( )
D
A.對應單擺振動的振幅比 的大
B.對應單擺振動的周期比 的大
C.對應木板運動的速度比 的小
D.兩單擺擺到最低點時的加速度大小相等
【解析】由題圖乙可知，和 對應單擺擺動的振幅相同，故A錯誤；兩次實驗單擺
擺長相同，則由單擺的周期公式 可知，兩擺的周期相同，故B錯誤；由題
圖乙可知，設對應的木板運動時間為，則對應的木板運動時間為，由
可知，對應的木板運動速度比 對應的木板運動速度大，故C錯誤；兩擺振幅相同，
根據機械能守恒定律可知兩擺擺到最低點時的速度大小相等，根據牛頓第二定律可
得，解得單擺擺到最低點時的加速度大小 ，所以兩擺擺到最低點時
的加速度大小相等，故D正確.
7.［人教版教材習題改編］如圖所示，光滑圓槽的半徑 遠大于小球運動的弧長.甲、
乙、丙三個小球（均可視為質點）同時由靜止釋放，開始時，甲球比乙球離槽最低
點遠些，丙球在槽的圓心處.則以下關于它們第一次到達點 的先后順序的說法正確
的是( )
B
A.乙先到，然后甲到，丙最后到 B.丙先到，然后甲、乙同時到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到 D.甲、乙、丙同時到
【解析】對于丙球，根據自由落體運動規律有，解得 ；對于甲、
乙兩球，由于光滑圓槽的半徑 遠大于小球運動的弧長，故可將它們的運動視為做簡
諧運動的單擺的運動，其運動周期為，甲、乙兩球第一次到達點 時均運
動周期，則 .所以丙先到，然后甲、乙同時到，故B正確，A、
C、D錯誤.
8.如圖所示，兩根輕質細線分別連接兩個可視為質點的小球，小球甲在豎直面內擺
動，擺線的最大擺角為，小球乙在水平面內繞 點做勻速圓周運動，連接
小球乙的細線與豎直方向的夾角始終為 ，兩小球運動的周期恰好相等，下列說法
正確的是( )
D
A.兩根細線的長度相等
B.兩小球的質量一定相等
C.兩小球的機械能一定相等
D.連接甲、乙兩球的細線長度之比為
【解析】設兩小球運動的周期為，小球甲做簡諧運動，周期為 ，乙做勻
速圓周運動，由合力提供向心力和牛頓第二定律有 ，可得
，可得連接甲、乙兩球的細線長度之比為 ，故A錯誤，
D正確；兩小球的運動周期與質量無關，由題給信息不能判斷兩球的質量關系，也
就不能判斷兩球的機械能關系，故B、C錯誤.
9.在探究單擺運動的實驗中：
（1）如圖甲是用力傳感器對單擺振動過程
進行測量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連
接的計算機屏幕所顯示的 圖像
（、、重力加速度 均為已知量），
根據圖乙的信息可得，從 時刻開始擺
0.5
1.6
【解析】擺球在最低點時速度最大，擺線上拉力最大，故從 時刻開始擺球第一
次擺到最低點的時刻為 .
兩次拉力最大的時間間隔為半個周期，所以周期為 .
球第一次擺到最低點的時刻為____，周期為____.
（2）單擺振動的回復力是___.
B
A.擺球所受的重力
B.擺球重力在垂直擺線方向上的分力
C.擺線對擺球的拉力
D.擺球所受重力和擺線對擺球拉力的合力
【解析】單擺振動的回復力是擺球重力在垂直擺線方向的分力，故B正確，A、C、
D錯誤.
（3）下列說法正確的是_____.
BC
A.用米尺量得細線長度，則擺長為
B.若增加擺球的質量，擺球的周期不變
C.根據題中所給的信息可以求出擺球的質量
D.讓擺球在水平面內做圓周運動，測得擺動周期，可以根據單擺周期公式計算得到
重力加速度
【解析】擺長應為擺線長度加上擺球半徑，故A錯誤；單擺周期公式 ，周
期與擺球質量無關，故B正確；設單擺的最大偏角為 ，擺長為 ,則擺球在最高點時
擺線上的拉力為 ，擺球從最高點運動到最低點的過程中，機械能守
恒，重力勢能轉化為動能，有 ,擺球在最低點時，重力和細線
拉力的合力提供向心力，則 ,聯立解得擺球質量 ，
故C正確；讓擺球在水平面內做圓周運動，此為圓錐擺模型，擺球所做的運動不是簡
諧運動，不能使用單擺的周期公式計算得到重力加速度，故D錯誤.
10.如圖所示，場強方向水平向左的勻強電場中有一半徑較大的光滑
絕緣圓弧軌道，軌道上有一帶電荷量為、質量為 的小球
（可視為質點），小球能靜止于處.已知電場強度大小 ，軌
道半徑為，重力加速度為 .
（1）當小球靜止時，求小球對軌道的壓力大小.
【答案】
【解析】對帶電小球受力分析可得，小球靜止時軌道對小球的支持力大小為
解得
根據牛頓第三定律可得，小球靜止時對軌道的壓力大小為
.
（2）若使小球在軌道上偏離 處少許，求釋放后小球運動的周期.
【答案】
【解析】若使小球在軌道上偏離 處少許，小球的運動可視為單擺的簡諧運動，等效
重力加速度
根據單擺的周期公式可得
.
11.［人教版教材習題改編］如圖甲所示是一個單擺振動的情形， 是它的平衡位
置，、 是擺球所能到達的最高位置．設擺球向右運動的方向為正方向．圖乙所示
是這個單擺的振動圖像．根據圖像回答：（取,當地的重力加速度 取
）
圖甲
圖乙
（1）單擺振動的頻率是多大
【答案】
【解析】由題圖乙可知，則 .
（2）單擺的擺長是多少？
【答案】
【解析】由，得 .
（3）如果擺球在處時繩上拉力，在處時繩上拉力 ，則擺
球質量是多少？
【答案】
【解析】設擺線偏離平衡位置的角度為 ，則擺球在 點時，沿繩子方向受力平衡，
有
在點，有
從點到 點，根據機械能守恒定律有
聯立可得擺球質量 .
C 培優練丨能力提升
建議時間：8分鐘
12.如圖所示為理想單擺，擺角 足夠小，可認為單擺做簡諧運動,其平衡
位置記為 點.
（1）若已知擺球的質量為，擺長為，在擺角很小時，擺球對于 點的
位移的大小與 角對應的弧長、弦長都近似相等，即近似滿足．
請推導得出擺球在任意位置處的回復力與位移的比例常數 的表達式.
【答案】
【解析】擺球在位移為 處的受力示意圖如圖所示.
在擺角很小時，有
在擺球位移為時，回復力
即比例常數 .
（2）若僅知道單擺的振幅及擺球所受回復力與位移的比例常數 ，已知擺球在位
移處的勢能,求擺球在振動位移為時的動能（用和 表示）.
【答案】
【解析】擺球在位移處的勢能
擺球在最大位移處的動能為零，依據能量守恒定律有
則 .

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