資源簡介

2024-2025學年江蘇省懷仁中學高一下學期5月階段檢測
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.某學校高一年級選擇“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”組合的同學人數分別為、、和現采用分層抽樣的方法選出位同學進行一項調查研究，則“史政地”組合中選出的同學人數為( )
A. B. C. D.
2.已知一組數據分別是，，，，，，，，，，則它們的百分位數為．
A. B. C. D.
3.已知一個水平放置的四邊形，用斜二測畫法畫出它的直觀圖是一個底角為，上底長為，下底長為的等腰梯形，則四邊形的面積為( )
A. B. C. D.
4.已知、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，則下列命題正確的是 ．
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，，，則
D. 若，，，則
5.已知向量與的夾角為，，，則 ．
A. B. C. 或 D. 以上都不對
6.已知一組數，，，的平均數是，方差，則數據，，，的平均數和方差分別是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.已知是單位向量，且在上的投影向量為，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
8.已知銳角中，內角、、的對邊分別為、、，，若存在最大值，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知為虛數單位，則下面命題正確的是( )
A. 若復數，則
B. 復數滿足，在復平面內對應的點為，則
C. 若復數，，滿足，則
D. 復數的虛部是
10.在正方體中，，，分別為，，的中點，則( )
A. 直線與直線異面
B. 直線與平面平行
C. 平面截正方體所得的截面是平行四邊形
D. 點和點到平面的距離相等
11.某商家為了了解顧客的消費規律，提高服務質量，收集并整理了年月至年月期間月銷售商品單位：萬件的數據，繪制了下面的折線圖．根據該折線圖，下列說法正確的是( )
A. 月銷售商品數量逐月增加
B. 各年的月銷售商品數量高峰期大致在月
C. 年月至月月銷售數量的眾數為
D. 各年月至月的月銷售數量相對于月至月，波動性大，平穩性低
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截得的圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，且該圓臺側面積為，則原圓錐的母線長為
13.已知正四棱柱中，，直線與平面所成角的正切值為，則該正四棱柱的外接球的表面積為 ．
14.已知樣本數據的平均數和方差分別為和，樣本數據的平均數和方差分別為和，全部個數據的平均數和方差分別為和，則 ， ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
在中，設角，，的對邊分別為，，已知向量，，且．
求角的大小；
若，，求的面積．
16.本小題分
社會的進步與發展，關鍵在于人才，引進高素質人才對社會的發展具有重大作用．某市進行人才引進，需要進行筆試和面試，一共有名應聘者參加筆試，他們的筆試成績都在內，將筆試成績按照、、、分組，得到如圖所示頻率分布直方圖．
求頻率分布直方圖中的值；
求全體應聘者筆試成績的眾數和平均數每組數據以區間中點值為代表；
若計劃面試人，請估計參加面試的最低分數線．
17.本小題分
如圖，三棱柱中，平面，，點，分別是線段，的中點．
求證：平面平面；
設平面與平面的交線為，求證：．
18.本小題分
我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出．某市政府為了了解全市居民生活用水量分布情況，通過抽樣，獲得戶居民月均用水量單位：，將數據按照，，分成組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．為了鼓勵居民節約用水，該市政府在本市實行居民生活用水“階梯水價”：第一階梯為每戶每月用水量不超過的部分按元收費，第二階梯為超過但不超過的部分按元收費，第三階梯為超過的部分按元收費．
求直方圖中的值；
已知該市有萬戶居民，估計全市居民中月均用水費用不超過元的用戶數；
該市政府希望使至少有的用戶每月用水量不超過第二階梯收費標準，請根據樣本數據判斷，現行收費標準是否符合要求？若不符合，則應該將第二階梯用水量的上限至少上調到多少？
19.本小題分
如圖所示，在長方形中，，為的中點，以為折痕，把折起到的位置，且平面平面．
求證：；
求四棱錐的體積；
在棱上是否存在一點，使得平面，若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．
參考答案
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14.
15.解：由可得，，所以，而，所以．
由得，而，即，解得，所以，故的面積為．

16.解：解：由題意有，解得．
解：應聘者筆試成績的眾數為，
應聘者筆試成績的平均數為．
解：，所以，面試成績的最低分為百分位數，
前兩個矩形面積之和為，前三個矩形的面積之和為，
設百分位數為，則，解得．
因此，若計劃面試人，估計參加面試的最低分數線為．

17.解：三棱柱中，平面，而平面，則，
又，，平面，于是得平面，而平面，
所以平面平面．
連接，如圖，因點，分別是線段，的中點，則，因平面，平面，
因此，平面，而平面平面，平面，
所以．

18.解：由直方圖可知，
，
解得：；
居民用水量為時，收費為元，
所以用水費用不超過元，則用水量小于等于，
由頻率分布直方圖可知，用水量小于等于的頻率為；
萬戶，
所以全市居民中月均用水費用不超過元的用戶數為萬戶．
抽取的戶居民月均用水量不超過的頻率為：
，
，所以現行收費標準不符合要求，
抽取的戶居民月均用水量不超過的頻率為：
，
，
現行收費標準不符合要求，需將第二階段用水量的上限至少上調到．
19.解：根據題意可知，在長方形中，和為等腰直角三角形，
，
，即．
平面平面，
且平面平面，平面，
平面，
平面，．
如圖所示，取的中點，連接，則，且．
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
．
連接交于點，假設在上存在點，使得平面，連接．
平面，平面平面，
，在中，．
，，
，即，
在棱上存在一點，且，
使得平面．

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