資源簡(jiǎn)介

2024-2025學(xué)年廣西南寧市第三中學(xué)高一下學(xué)期月考(三)
數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.設(shè)集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知復(fù)數(shù)，則( )
A. B. C. D.
3.某學(xué)校有高中學(xué)生人，其中高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)的人數(shù)分別為，，，為了調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)樣本量為的樣本，那么應(yīng)抽取高二年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為( )
A. B. C. D.
4.水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，如圖所示．其中，則原平面圖形的面積為( )
A. B. C. D.
5.如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，設(shè)，，則的值為( )
A. B. C. D.
6.在正三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7.在中，若，，邊上的中線長(zhǎng)為，則( )
A. B. C. D.
8.已知，，是函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，在軸上，且軸，若，則的值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知一組樣本數(shù)據(jù)，則( )
A. 該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 B. 該樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)相同
C. 該樣本數(shù)據(jù)的方差大于極差 D. 該樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差小于眾數(shù)
10.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，若邊的中線，則下列結(jié)論正確的有( )
A. B.
C. D. 的面積為
11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在平面中，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A. 當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面為平行四邊形
B. 當(dāng)四面體的頂點(diǎn)在一個(gè)體積為的球面上時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，取得最小值
D. 的最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，的夾角為，且，，則 ．
13.將扇形紙殼剪掉扇形后得到扇環(huán)，，，如圖，用扇環(huán)制成一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面，如圖，則該圓臺(tái)的體積為 ．
14.如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)．
證明：；
求點(diǎn)到平面的距離．
16.本小題分
對(duì)于居民生活用水，某市實(shí)行階梯水價(jià)．具體來(lái)說(shuō)，季度用水量在及以下的部分，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元；季度用水量超過(guò)但不超過(guò)的部分，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元；季度用水量超過(guò)的部分，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元．
求某戶居民用水費(fèi)用單位：元關(guān)于季度用水量單位：的函數(shù)關(guān)系式；
為了了解居民的用水情況，通過(guò)抽樣獲得了年第三季度本市戶居民每戶的季度用水量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若這戶居民中，季度用水費(fèi)用超過(guò)元的有戶，求直方圖中的值以及季度用水量的第百分位數(shù)．
17.本小題分
在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
若，求面積的最大值；
若的角平分線交于點(diǎn)，且，，求邊的長(zhǎng)度．
18.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．
求證：平面；
求的長(zhǎng)；
求平面與平面夾角的余弦值．
19.本小題分
設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，，函數(shù)的“相伴向量”為記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為．
設(shè)，若的值域?yàn)椋笞C：其“相伴向量”為單位向量；
設(shè)，若，求其“相伴向量”的模的取值范圍；
設(shè)，若的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，求的取值范圍．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，
，
故，因此，故
因，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，則滿足條件的一個(gè)，
因?yàn)椋庶c(diǎn)到平面的距離．
16.解：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
所以與之間的函數(shù)關(guān)系式為．
由知，當(dāng)時(shí)，，即季度用水量超過(guò)的占，
結(jié)合頻率分布直方圖知，解得．
設(shè)第分位數(shù)為，
因?yàn)榧径扔盟康陀诘乃急壤秊椋陀诘恼迹?br/>所以第分位數(shù)在內(nèi)，故，解得，
即季度用水量的第分位數(shù)為．
17.解：因，即，由余弦定理可知，
又，則；又因?yàn)椋?br/>故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
所以面積的最大值為
由已知的角平分線交于點(diǎn)，則，
又在中，，即，
即，解得．
18.解：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
由題意知：，，，
則，．
又平面，
平面．
由題意知：，．
設(shè)，
則．
，
，
即，
展開(kāi)有：，
解得：．
故，
則有；
由題意知：，
設(shè)平面的法向量，
有則，令，則，
由知，則平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面所成的角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
19.解：的值域?yàn)椋裕院瘮?shù)的相伴向量，，
所以函數(shù)的“相伴向量”為單位向量；
，所以的“相伴向量”，
，
，，
的取值范圍為；
的“相伴函數(shù)”，其中，，．
當(dāng)，即，時(shí)取得最大值．
所以，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，令
又，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以．

第1頁(yè)，共1頁(yè)

展開(kāi)更多......

收起↑