資源簡介

第二章　專題強化5
課后知能作業
基礎鞏固練
1.假設航展中有甲、乙兩飛機在平直跑道上同向行駛，0～t2時間內的v－t圖像如圖所示，下列說法正確的是( 　 )
A．乙飛機在0～t2時間內的平均速度等于
B．甲飛機在0～t2時間內的平均速度比乙的大
C．兩飛機在t1時刻一定相遇
D．兩飛機在0～t2時間內不可能相遇
解析：因為乙飛機做變減速運動，故平均速度小于，故A項錯誤；由于v－t圖像的圖線與時間軸所圍的面積表示物體的位移大小，則在0～t2時間內，甲飛機的位移大于乙飛機的位移，由＝可知，甲飛機的平均速度大于乙飛機的平均速度，故B項正確；由于不知道甲、乙兩飛機初始位置，所以無法判斷兩飛機在t1時刻或0～t2時間內能不能相遇，故C、D兩項錯誤。故選B。
2．一輛小汽車以30 m/s的速度勻速行駛在高速公路上，突然發現正前方30 m處有一輛大卡車以10 m/s的速度同方向勻速行駛，小汽車緊急剎車，剎車過程中剎車失靈。如圖所示，圖線a、b分別為小汽車和大卡車的v－t圖像(忽略剎車反應時間)，以下說法正確的是( 　 )
A．因剎車失靈前小汽車已減速，故不會發生追尾事故
B．在t＝3 s時發生追尾事故
C．在t＝5 s時發生追尾事故
D．若緊急剎車時兩車相距40 m，則不會發生追尾事故且兩車最近時相距10 m
解析：根據速度—時間圖線與坐標軸所圍“面積”表示位移，由題圖知，t＝3 s時大卡車的位移xb＝vbt＝10×3 m＝30 m，小汽車的位移xa＝×(30＋20)×1 m＋×(20＋15)×2 m＝60 m，則xa－xb＝30 m，所以在t＝3 s時發生追尾事故，故B正確，A、C錯誤；若緊急剎車時兩車相距40 m，由v－t圖線可知在t＝5 s時兩車速度相等，小汽車相對于大卡車的位移Δx＝×(20＋10)×1 m＋×10×4 m＝35 m<40 m，則不會發生追尾事故且兩車最近時相距Δs＝x0－Δx＝5 m，故D錯誤。故選B。
3．甲車靜止在一平直公路上，乙車以大小為6 m/s的速度做勻速直線運動從甲車旁經過，甲車立即做初速度為零的勻加速直線運動，經過4 s恰好追上乙車，不考慮車輛尺寸，則( 　 )
A．追上乙車時，甲車的速度大小為6 m/s
B．追上乙車時，甲車的速度大小為24 m/s
C．甲車勻加速直線運動的加速度大小為1 m/s2
D．甲車勻加速直線運動的加速度大小為3 m/s2
解析：甲、乙兩車位移相等，有at2＝v乙t，解得甲車勻加速直線運動的加速度大小為a＝3 m/s2，選項C錯誤，D正確；追上乙車時，由v甲＝at，甲車的速度大小為12 m/s，選項A、B錯誤。故選D。
4．自動駕駛汽車又稱無人駕駛汽車，是一種通過電腦系統實現無人駕駛的智能汽車。某次自動駕駛汽車以恒定的加速度啟動，同時一輛貨車以恒定速度從其旁邊駛過，自動駕駛汽車再次與貨車相遇之前已達到最大速度，則下列圖像正確的是( 　 )
解析：v－t圖像的斜率代表加速度，由于自動駕駛汽車以恒定加速度啟動，則自動駕駛汽車加速時的v－t圖線為直線，A錯誤；v－t圖線與t軸圍成的面積表示位移，由題可知自動駕駛汽車再次與貨車相遇之前已達到最大速度，B項中t0時刻自動駕駛汽車剛好達到最大速度，且由圖像中幾何關系可知此時兩車位移相等，則此時相遇，B錯誤；x－t圖像的斜率表示速度大小，圖線交點表示兩車位移相同，C項中自動駕駛汽車與貨車相遇時其速度還未達到最大，C錯誤；D項中兩車x－t圖線交點表示兩車再次相遇，且自動駕駛汽車在再次相遇之前已經達到最大速度，D正確。故選D。
5．在同一水平面上，一輛小車從靜止開始以1 m/s2的加速度前進，有一人在車后與車相距25 m處，同時開始以6 m/s的速度勻速追車，人與車前進的方向相同，則人能否追上車？若追得上，求追上時小車的速度；若追不上，求人與車的最小距離。
答案：不能　7 m
解析：當小車與人的速度相等時，小車與人相距最近，
即v車＝v人＝6 m/s
又v車＝at，則t＝＝6 s
在6 s內小車行駛的距離x車＝at2＝18 m
人運動的距離x人＝v人t＝36 m
由于x車＋25 m>x人，所以人不能追上車
人與車的最小距離Δs＝x車＋s0－x人＝7 m。
綜合提升練
6．(2024·山東臨沂高一期末)A、B兩輛列車在能見度很低的霧天里在同一軌道上同向行駛，A車在前，速度vA＝10 m/s，B車在后，速度vB＝30 m/s。當B車發現A車時就立刻剎車。已知B車在進行剎車測試時發現，若車以30 m/s的速度行駛時，剎車后至少要前進1 800 m才能停下，假設B車剎車過程中加速度恒定。為保證兩輛列車不相撞，則能見度至少要達到( 　 )
A．600 m B．800 m
C．1 000 m D．1 600 m
解析：由于B車以30 m/s的速度行駛時，剎車后至少要前進1 800 m才能停下，則a＝＝ m/s2＝0.25 m/s2，設經歷時間t0 B車減速至與A車速度相等，則有vA＝vB－at0，為保證兩輛列車不相撞，則能見度至少要達到xmin＝t0－vAt0，解得xmin＝800 m，故選B。
7．(多選)(2024·茂名高一檢測)在平直公路上，自行車與同方向行駛的一輛汽車在t＝0時同時經過某一個路標，它們的位移x(m)隨時間t(s)變化的規律：汽車為x＝10t－t2，自行車為x＝6t，則下列說法正確的是( 　 )
A．汽車做勻減速直線運動，且汽車經20 s停止
B．在t＝8 s時兩車速度相等，自行車第一次追上了汽車
C．在t＝0至t＝16 s時間內，兩車間距離先增大后減小
D．當自行車追上汽車時，它們距路標96 m
解析：汽車的位移時間關系為x＝10t－t2＝v0t＋at2，知v0＝10 m/s，a＝－0.5 m/s2，汽車做勻減速直線運動，停止時間t0＝＝20 s，故A正確；兩車速度相等時有10－0.5t＝6，解得t＝8 s，在此之前，汽車速度始終大于自行車，此時相距最遠，故B錯誤；相遇時，根據10t－t2＝6t，解得t＝16 s，此時距離路標的距離x＝6t＝6×16 m＝96 m，故D正確；8 s后，汽車速度小于自行車，兩車間距減小，故在t＝0至t＝16 s時間內，兩車間距離先增大后減小，故C正確。故選ACD。
8．(2024·廈門高一檢測)一輛汽車以某一速度在平直路面上勻速行駛，司機忽然發現正前方一輛自行車正以4 m/s同向行駛，汽車司機反應0.5 s后為避免相撞立即勻減速剎車，恰好未與自行車相撞，已知汽車剎車過程中一直勻減速至停止運動，從減速開始，第1 s的位移是32 m，第5 s的位移是1 m，兩車均可視為質點。求：
(1)汽車勻速行駛的速度大小；
(2)汽車司機發現自行車時兩車間的距離。
答案：(1)36 m/s　(2)80 m
解析：(1)設汽車5 s末沒有減速至0，則
第1 s內，有x1＝v0t－at2
第5 s內，有x5＝(v0－4at)t－at2
整理得x1－x5＝4at2
其中t＝1 s，x1＝32 m，x5＝1 m
解得a＝7.75 m/s2
v0＝35.875 m/s
汽車第5 s末的速度為v5＝v0－5at
解得v5＝－2.875 m/s，不合理
所以汽車在4～5 s間減速至0。
設第4 s末的速度為v4，
有2a′x5＝v
x1＝(v4＋4a′t)t－a′t2
解得v4＝4 m/s，a′＝8 m/s2
故汽車勻速行駛的速度大小v0′＝v4＋4a′t
解得v0′＝36 m/s。
(2)汽車恰好未與自行車相撞，速度相等，有v0′－a′t′＝v
解得t′＝4 s
汽車司機發現自行車時兩車間的距離為
x0＝v0′t0＋v0′t′－a′t′2－v(t0＋t′)
其中t0＝0.5 s
解得x0＝80 m。
9．(2024·南京高一檢測)A、B兩車沿同一直線向同一方向運動，A車的速度vA＝4 m/s，B車的速度vB＝10 m/s。當B車運動至A車前方L＝7 m處時，B車剎車并以a＝－2 m/s2的加速度開始做勻減速直線運動。求：
(1)從該時刻開始計時，A車追上B車需要的時間；
(2)在A車追上B車之前，二者之間的最大距離。
答案：(1)8 s　(2)16 m
解析：(1)假設A車追上B車時，B車還沒停止運動，設t′時間內A車追上B車，根據題意，A車追上B車，需要通過位移xA＝xB＋L
A車的位移是xA＝vAt′
B車的位移是xB＝vBt′＋at′2
聯立解得t′＝7 s
但B車停下來所用時間
tB＝＝ s＝5 s
比較t′和tB可知，A車是在B車停止運動后才追上B車的，因此7 s不是A車追上B車的時間，設A車追上B車的時間為t，即xA′＝vAt
B車實際運動時間應為tB，
即xB′＝vBtB＋at，
A車追上B車，需要通過位移xA′＝xB′＋L，
聯立解得t＝8 s。
(2)在A車追上B車之前，當二者速度相等時，二者之間有最大距離Δxmax，設此時兩車運動時間為t0
vA＝vB＋at0
此時二者之間有最大距離
Δxmax＝xB′＋L－xA′
其中xA′＝vAt0
xB′＝vBt0＋at
代入數據解得Δxmax＝16 m。
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第二章　勻變速直線運動的研究
專題強化5　追及相遇問題
●目標重點展示
素養目標 學習重點
物理觀念 知道什么是追及和相遇問題。 兩物體最大距離、最小距離、運動時間和臨界速度、臨界加速度的計算。
科學思維 (1)理解追及問題的一個臨界條件。
(2)建立運動情境，畫好示意圖，會分析追及相遇問題。
●重難解讀
1．追及問題的兩類情況
(1)若后者能追上前者，則追上時，兩者處于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度；如果出發時前者速度較大，而后者做勻加速運動，則當后者的速度與前者的速度相等時，兩者相距最遠。
(2)若后者追不上前者，則當后者的速度與前者的速度相等時，兩者相距最近。
2．追及、相遇問題中的“一個臨界條件”和“兩個關系”
一個臨界條件 速度相等：它是兩物體是否相遇、距離最大、距離最小的臨界點，也是解題的關鍵切入點
兩個關系 (1)時間關系：兩個物體是同時運動還是先后開始運動。
(2)位移關系：兩個物體是同地出發還是有初始距離。
通過畫示意圖找出兩物體之間的位移關系是解題的突破口
3．解答追及、相遇問題的常用方法
(1)物理分析法
抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題中的隱含條件，建立物體運動關系的圖景，并畫出運動情況示意圖，找出位移關系。
(2)圖像法：將兩者的v－t圖像在同一坐標系中畫出，然后利用圖像求解。
(3)數學極值法：設從開始至相遇時間為t，根據條件列方程，得到關于t的一元二次方程，用判別式進行討論，若Δ>0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；若Δ＝0，說明剛好追上或相遇。若Δ<0，說明追不上或不能相碰。
4．解題思路
類型一：初速度小者追初速度大者
例1：一輛汽車在十字路口等待綠燈，當綠燈亮時汽車以3 m/s2的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以6 m/s的速度勻速駛來，從后邊超過汽車。試問：
(1)汽車從路口開動后，在趕上自行車之前經過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？
(2)汽車什么時間追上自行車？此時汽車的速度是多少？
思維引導：本題屬于追及相遇問題，可用多種方法求解。物理分析法解題快，函數法解題步驟清晰，易于表達，而圖像法不但能找到極值點，還能找到相遇點，能得出當兩物體相距最遠時的時間t、速度v，同時能得出當兩物體相遇時用的時間和速度。同學們可嘗試用不同的方法求解。
解析：(1)解法一(函數法)：當運行時間為t時，
當判別式Δ≥0時方程有實數解，即Δx≤6 m，當且僅當等式成立時有極值。
解法四(圖像法)：畫出v－t圖像，如圖所示。圖線與時間軸圍成的面積就是位移。
經分析得兩車的速度相等時，兩車間的距離最大，則
解得t＝2 s，Δx＝6 m。
解法二(圖像法)：由前面的v－t圖像可看出當t′＝2t＝4 s時，兩車位移相等，此時汽車的速度v汽＝2v＝12 m/s。
答案：(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
?[規律方法]
[規律方法]初速度小者追初速度大者規律總結
注意：勻速(或勻加速)追勻減速問題中需要對勻減速運動的物體是否已經停止進行討論
實物圖
(設經t0時間兩物體速度相等)
t＝t0以前(v2t＝t0時(v1＝v2) 相距最遠
t＝t0以后(v2>v1) 兩物體距離減小
追及情況 只能追上一次
跟蹤訓練1：如圖所示，A、B兩物體相距x＝7 m時，物體A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s的速度向右勻速運動，而物體B此時正以vB＝10 m/s的初速度向右勻減速運動，加速度a＝－2 m/s2，則A追上B所經歷的時間是( 　 )
A．7 s　　　　　　 B．8 s　　　　　　
C．9 s　　　　　　 D．10 s
類型二：初速度大者追初速度小者
例2：貨車A正在公路上以20 m/s的速度勻速行駛，因疲勞駕駛，司機注意力不集中，當司機發現正前方有一輛靜止的轎車B時，兩車距離僅有75 m。
(1)若此時B車立即以2 m/s2的加速度啟動，通過計算判斷：如果A車司機沒有剎車，是否會撞上B車？若不相撞，求兩車相距最近時的距離；若相撞，求出從A車發現B車開始到撞上B車的時間。
速度相等是兩車能否相撞的臨界條件，求出B車加速到20 m/s的時間t1，再求出t1時間內A、B兩車的位移xA、xB，從圖可以看出，如果xA>xB＋x0，兩車相撞；如果xA(2)若A車司機發現B車，立即剎車(不計反應時間)做勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2(兩車均視為質點)，為避免碰撞，在A車剎車的同時，B車立即做勻加速直線運動(不計反應時間)，問：B車加速度至少多大才能避免相撞。(這段公路很窄，無法靠邊讓道)　　　　　　?
B車加速度最小不相撞的時候，應是A、B兩車速度相等且A、B兩車處于同一位置的時候，位移關系應為xA′＝x0＋xB′
?[規律方法]
[規律方法]初速度大者追初速度小者規律總結
實物圖
(設經時間t0兩物體速度相等)
t0時刻以前(v2>v1) 兩物體距離減小(甲未追上乙時)
t0時刻(v2＝v1)Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次
若Δx若Δx>x0，相遇兩次
類型三：根據v－t圖像判斷能否相遇
例3：(多選)如圖所示是A、B兩物體同時由同一地點向同一方向做直線運動的v－t圖像，從圖像上可知，0～40 s內( 　 )
A．A做勻速運動，B做勻加速運動
B．20 s末A、B相遇
C．20 s末A、B相距最遠
D．40 s末A、B相遇
類型四：自由落體運動與豎直上拋運動的相遇問題
例4：球A從高h＝2 m的位置自由下落，同時球A正下方的球B從地面以v0＝5 m/s的速度向上拋出。(g取10 m/s2，不計空氣阻力)
(1)求兩球相遇時B球的速度大小；
(2)若B球以v0′＝4 m/s的速度拋出，兩球會不會在空中相遇？請說明理由。
解析：(1)設兩球相遇所需時間為t
由vB＝v0－gt得vB＝1 m/s。
(2)假設兩球會在空中相遇，設相遇時間為t′
由于t′答案：(1)1 m/s　(2)會　理由見解析

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