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第一章三角形的證明
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．在一個直角三角形中，有一個銳角等于，則另一個銳角的度數是（ ）
A． B． C． D．
2．下列定理中，不存在逆定理的是( )
A．等邊三角形的三個內角都等于60°
B．在同一個三角形中，如果兩邊相等，那么它們所對的角也相等
C．同位角相等，兩直線平行
D．全等三角形的對應角相等
3．若的三邊a、b、c滿足，則是 ( )
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
4．已知線段，按如下步驟作圖：①作射線，使；②作的平分線；③以點為圓心，長為半徑作弧，交于點；④過點作于點，則（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，BD=CF，FD⊥BC于點D，DE⊥AB于點E，BE=CD，若∠AFD=145°，則∠EDF的度數為（ ）

A．45°
B．55°
C．35°
D．65°
6．如圖所示，小正方形的邊長均為1，A、B、C三點均在正方形格點上，則下列結論錯誤的是（　　）
A． B．
C．點A到直線的距離為2 D．
7．用a、b、c作三角形的三邊，其中不能構成的直角三角形的是（ ）
A． B．a∶b∶∶2∶ C．，， D．，，
8．如圖，將沿AC所在的直線翻折得到，再將沿所在的直線翻折得到，點在同一條直線上，，則（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，若C點恰好落在DE上，且CE＝，CD＝，則AB等于（　　）
A．4 B． C． D．
10．如圖是一臺起重機的工作簡圖，前后兩次吊桿位置，與線繩（線繩垂直于地面）的夾角分別是和，則吊桿前后兩次的夾角∠的度數為（ ）

A． B． C． D．
11．如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，有下面四個結論：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的點到B，C兩點的距離相等；④到AE，AF的距離相等的點到DE，DF的距離也相等．其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
12．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，連接FG，交DA的延長線于點E，連接BG，CF， 則下列結論：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正確的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空題
13．如圖，在中，直平分，，，則的周長為 ．
14．如圖，在中，，，點，分別在，上運動，連結、，則的最小值為 ．
15．如圖，在中，AB＝AC，∠A＝50°，BD為∠ABC的平分線，則∠BDC＝ ．
16．已知：如圖，點E，F是等邊的邊，上的動點，且，連接與交于點G．
（1） ；（填“全等于”或“不全等于”）
（2）的度數是 °．
17．如圖，已知點D為邊上的中點，，則線段的長度為 ．
三、解答題
18．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8．
（1）尺規作圖：作AC的垂直平分線MN，交AB于D；
（2）在（1）的條件下，連結CD，求△BCD的周長．
19．尺規作圖：已知：線段a，b．
求作：
（1）△ABC，使AB=AC=a，BC=b；
（2）作△ABC的對稱軸．要求：不寫作法，只保留作圖痕跡．
20．作圖：已知∠AOB，試在∠AOB內確定一點P，使P到OA、OB的距離相等，并且到M、N兩點的距離也相等。

21．如圖，在中，，于點D．
（1）若，求的度數；
（2）若點E在邊AB上，交AD的延長線于點F．求證：．

22．如圖，已知∠BAD+∠ADC＝180°，AE平分∠BAD，CD與AE相交于F，DG交BC的，延長線于G，∠CFE＝∠AEB
（1）若∠B＝87°，求∠DCG的度數；
（2）AD與BC是什么位置關系？并說明理由；
（3）若∠DAB＝α，∠DGC＝β，直接寫出α、β滿足什么數量關系時，AE∥DG．
23．（1）已知如圖所示，在四邊形ABCD中，，，，BD平分．求證：．
（2）如圖所示，D，E，F分別是的三邊上的點，，和的面積相等，求證：AD平分．
24．如圖，在中，，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M．
(1)若，求的大小．
(2)連接MB，若，的周長是．
①求BC的長；
②在直線MN上是否存在點P，使的值最小，若存在，標出點P的位置并求的最小值，若不存在，說明理由．
《第一章三角形的證明》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D B B C A D B
題號 11 12
答案 D D
1．C
【分析】根據直角三角形兩銳角互余的性質列式進行計算即可得解．
【詳解】解：∵在一個直角三角形中，有一個銳角等于25°，
∴另一個銳角的度數是90°-25°=65°．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了直角三角形兩銳角互余的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．
2．D
【分析】根據逆命題的定義先寫出各選項中原命題的逆命題,再對得到的逆命題判斷真假.
【詳解】A的逆命題：三個內角都是60°，那么這個三角形是等邊三角形，正確；
B的逆命題：在同一個三角形中，如果兩角相等，那么它們所對的邊也相等，正確；
C的逆命題：兩直線平行，同位角相等，正確；
D的逆命題：對應角相等，兩個三角形全等，錯，是相似；
故答案為D
【點睛】本題考查命題與定理-原命題、逆命題、互逆命題.
3．D
【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，解答本題的關鍵是掌握兩個數的積為0，則至少有一個數是0．因為a，b，c為三邊，根據，可找到這三邊的數量關系，判斷形狀．
【詳解】解： ，
或，
當成立時，是等腰三角形，
當時，是直角三角形，
故選：D．
4．D
【分析】由題意易得∠BAD=45°，AB=AE，進而可得△APE是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵AD平分，
∴∠BAD=45°，
∵，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴AP=PE，
∴，
∵AB=AE，
∴，
∴；
故選D．
【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質與判定、勾股定理及角平分線的定義，熟練掌握等腰直角三角形的性質與判定、勾股定理及角平分線的定義是解題的關鍵．
5．B
【詳解】∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠DFC=35°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°.
∵在Rt△BDE與△Rt△CFD中BE=CD，BD=CF，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD，
∴∠BDE=∠CFD=35°.
∵∠EDF+∠BDE=90°，
∴∠EDF=55°.
故選B.
6．B
【分析】根據格點及勾股定理可得，，，然后根據勾股定理逆定理及等積法可進行求解．
【詳解】解：由圖可得：，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
設點A到直線的距離為h，
∴，
∴，
綜上可知只有B選項錯誤；
故選B．
【點睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵．
7．C
【分析】根據勾股定理的逆定理檢驗其中兩邊的平方和是否等于第三邊的平方即可．
【詳解】解：A、∵b2=（a+c）（a-c），
∴b2=a2-c2，
∴b2+c2=a2，
∴能構成直角三角形，故選項A不符合題意；
B、∵a：b：c=1：2：，
∴設a=x，則b=2x，c=x，
∵x2+（x）2=（2x）2，
∴能構成直角三角形，故選項B不符合題意；
C、∵a=32，b=42，c=52，
∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2，
∴不能構成直角三角形，故選項C符合題意；
D、∵a=6，b=8，c=10，
62+82=36+64=100=102，
∴能構成直角三角形，故選項D不符合題意．
故選C．
【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理時，可用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．
8．A
【分析】由翻折的性質可得，，再根據角的和差解答即可．
【詳解】解：由翻折的性質可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的兩個銳角互余，解決本題的關鍵是掌握翻折的性質．
9．D
【分析】連接BE，先判斷出∠BAE＝∠CAD，進而得出△ACD≌△ABE，再由等腰直角三角形的性質和全等三角形的性質可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由此可得BE⊥CE，在Rt△BEC中，由勾股定理可得2AB2＝CD2+CE2，從而可求得AB的長．
【詳解】如圖，連接BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE＝3，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，
即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴2AB2＝CD2+CE2＝（3）2+（）2＝20，
∴AB＝．
故選：D．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質等知識，關鍵是證得△ACD≌△ABE，得出BE⊥CE．
10．B
【分析】構造直角三角形，利用三角形的內角和及角的和差關系求解即可．
【詳解】解：如圖，由題意知：垂直于．

在中，
在中，
∴
故選：B．
【點睛】本題考查了直角三角形的內角和定理及角的和差關系，構造直角三角形是解決本題的關鍵．
11．D
【分析】　根據角平分線的性質和三角形全等的判定和性質可以得到解答．
【詳解】解：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，∴DA平分∠EDF；∴①②正確；
如圖，設G為AD上任一點，則G到AE，AF的距離相等，過G分別作GM⊥ED于M，GN⊥DF于N，連結BG、CG，
∵在△ABG和△ACG中，，
∴△ABG≌△ACG，∴BG=CG，∴③正確，
又在△DMG和△DNG中，，
∴△DMG≌△DNG，∴GM=GN，∴④正確，
∴①②③④都正確，
故選D．
【點睛】本題考查角平分線和三角形全等的綜合運用，靈活運用角平分線的性質及三角形全等的判定和性質是解題關鍵．
12．D
【分析】證得△CAF≌△GAB（SAS），從而推得①正確；利用△CAF≌△GAB及三角形內角和與對頂角，可判斷②正確；證明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，則③正確，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，則FM=NG，證明△FME≌△GNE（AAS）．可得出結論④正確．
【詳解】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正確；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC與AG所交的對頂角相等，
∴BG與FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正確；
過點F作FM⊥AE于點M，過點G作GN⊥AE交AE的延長線于點N，
∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
故③正確，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴EF=EG．
故④正確．
故選：D．
【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的三線合一性質與互余、對頂角，三角形內角和等幾何基礎知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
13．
【分析】先根據垂直平分線的性質可得，然后根據三角形的周長公式和等量代換可得的周長等于即可解答．本題主要考查了垂直平分線的性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解答本題的關鍵．
【詳解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周長等于．
故答案為：．
14．
【分析】作點B關于AC的對稱點B'，過B′作B′D⊥AB交AC于E，連接AB′，B′D即為BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性質解答即可．
【詳解】解：作B關于AC的對稱點B′，過B′作B′D⊥AB交AC于E，連接AB′，
此時B′E+ED=BE+ED為最小值，
此時∠B′AB=2∠BAC=30°，B′D=AB′=AB=，
即BE+ED的最小值為，
故答案為：．
【點睛】此題考查了最短路徑問題，關鍵是作點B關于AC的對稱點B'，利用軸對稱的性質解答即可．
15．
【詳解】此題考查等腰三角形的性質、三角形內角和定理、角平分線的定義和角的計算；由已知得到：，且BD為∠ABC的平分線,所以，所以
16． 全等于
【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內角的和，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
（1）根據等邊三角的性質，得出，，進而利用證明；
（2）根據全等三角的性質以及三角形的外角的性質，即可求解．
【詳解】解：（1）∵是等邊三角形，
∴，，
在和中
∴，
故答案為：全等于；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
17．5
【分析】先根據勾股定理的逆定理判斷出∠ADB=∠ADC=90°，再根據勾股定理求出AC即可．
【詳解】解：在△ADB中，AB=5，AD=3，BD=4，
∴AD2+BD2=25=AB2，
∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°=∠ADC，
∵點D為BC邊上的中點，
∴CD=BD=4，
∴在Rt△ADC中，，
故答案為：5．
【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理、線段中點有關計算，利用勾股定理的逆定理證得∠ADC=90°是解答的關鍵．
18．（1）見解析；（2）△BDC的周長為12.
【分析】（1）根據要求畫出點D即可．
（2）利用線段的垂直平分線的性質解決問題即可．
【詳解】解：（1）如圖，點D即為所求．
（2）在Rt△ABC中，∵AB=8，∠A=30°，∠C=90°，
∴BC=AB=4，
∵MN垂直平分線段AC，
∴DA=DC，
∴∠A=∠DCA=30°，
∴∠DCB=60°，
∴△BDC是等邊三角形，
∴△BDC的周長為12．
故答案為（1）見解析；（2）△BDC的周長為12.
【點睛】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質，含30度的直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
19．（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）先作線段BC=b，在分別以B、C兩點為圓心，為半徑畫弧，兩弧相交于點A，再連接AB、AC，則三角形ABC滿足條件；
（2）作線段的垂直平分線可得其對稱軸.
【詳解】解：（1）如圖，△ABC即為所求．
（2）如圖，作線段的垂直平分線 則直線AD即為所求．
【點睛】本題考查的是的等腰三角形的作圖，線段的垂直平分線的作圖，等腰三角形的性質，掌握“等腰三角形的三線合一與對稱軸”是解題的關鍵.
20．見解析
【分析】根據題意得出，點P是∠AOB的平分線與線段MN的中垂線的交點，進而得出即可．
【詳解】如圖所示，畫法如下：
（1）作∠AOB的角平線OC；
（2）連結MN，畫線段MN的垂直平分線，與OC交于點P，則點P為符合題意的點．

【點睛】此題主要考查了線段的垂直平分線和角平分線的作法．這些基本作圖要熟練掌握，注意保留作圖痕跡．
21．（1）48°；（2）證明見解析.
【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到，根據三角形的內角和即可得到；
（2）根據等腰三角形的性質得到根據平行線的性質得到，等量代換得到，于是得到結論．
【詳解】解：（1）∵，于點D，
∴，，
又，
∴；
（2）∵，于點D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
22．（1）∠DCG＝87°；（2）AD∥BC，理由見解析；（3）當α＝2β時，AE∥DG．理由見解析．
【分析】（1）根據平行線的判定定理得到AB∥CD，由平行線的性質得到∠DCG=∠B=87°；
（2）由平行線的性質得到∠BAF=∠CFE，根據角平分線的定義得到∠BAF=∠FAD，等量代換得到∠DAF=∠CFE，∠DAF=∠AEB，由平行線的判定即可得到結論；
（3）根據平行線的判定定理得到∠DAF=∠AEB，根據角平分線的定義得到∠DAB=2∠DAF=2∠AEB，然后根據平行線的性質即可得到結論．
【詳解】（1）∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠DCG＝∠B＝87°；
（2）AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠CFE，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠DAF＝∠CFE，
而∠CFE＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠AEB，
∴AD∥BC；
（3）當α＝2β時，AE∥DG．理由：
若AE∥DG，則∠G＝∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，
即當∠BAD＝2∠G時，AE∥DG．
【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵，屬于中考常考題型．
23．（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）過點D作，垂足為E，利用角平分線性質得出DE=DC，再證明在和全等，得出，即可得出結論；
（2）過點D分別作，，垂足為G，H，利用面積相等，得出DG=DH，即點D在的平分線上，進而得出結論．
【詳解】（1）如圖所示，過點D作，垂足為E．
平分，，
．
在和中，
，
．
．
，
．
（2）過點D分別作，，垂足為G，H．
和的面積相等，
．
，．
點D在的平分線上．
平分．
【點睛】本題考查的知識點是角平分線的性質以及全等三角形的判定及其性質，掌握以上知識點是解此題的關鍵．
24．(1)
(2)，當P點和M點重合時，最小且最小值為8cm
【分析】（1）根據等邊對等角以及三角形的內角和定理即可求解；
（2）根據垂直平分線的性質有，即根據的周長可以求出，問題得解；根據垂直平分線的性質可知當P與M點重合時，有最小值，最小值為AC，問題得解．
【詳解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵MN垂直平分線段AB，
∴，
∵的周長是，
∴，
∴，，
∵，，
∴；
存在，即P與M點重合時，有最小值，
即：P與M點重合時，
∵MN垂直平分線段AB，
∴，
∴，
∵點P與M點重合，
∴A、P、C三點共線，
∴，
∴根據兩點直線線段最短，可知此時有最小值，最小值為AC，
∵，，
∴最小值為，
即：當P點和M點重合時，最小且最小值為8cm．
【點睛】本題考查已知等腰三角形性質，垂直平分線的性質，兩點之間線段最短以及三角形內角和定理等知識，靈活運用垂直平分線的性質是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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