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第2課時　向心力表達式的應用
探究點一　向心力表達式的理解及應用
1．向心力的大小
(1)根據受力分析求得：圓周運動平面上，指向圓心方向的合力即為向心力．
(2)根據圓周運動規律求得：Fn＝mω2r＝m＝m()2r＝m(2πn)2r＝mωv.
2．向心力公式的瞬時性
對于勻速圓周運動，向心力大小始終不變，但對非勻速圓周運動(如用一根繩拴住小球繞固定圓心在豎直平面內做的圓周運動)，其向心力大小隨速率v的變化而變化，公式表述的只是瞬時值．
3．求解圓周運動問題必須進行的三類分析
幾何分析 目的是確定圓周運動的圓心、半徑等
運動分析 目的是確定圓周運動的線速度、角速度、向心加速度等
受力分析 目的是通過力的合成與分解，表示出物體做圓周運動時，外界所提供的向心力
角度1　利用向心力公式進行簡單計算
例1 [2023·全國甲卷]一質點做勻速圓周運動，若其所受合力的大小與軌道半徑的n次方成正比，運動周期與軌道半徑成反比，則n等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
[解題心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　利用向心力公式解決勻速圓周的動力學問題
例2 2022年北京冬奧會上，我國選手奪得花樣滑冰雙人滑冠軍．花樣滑冰極具觀賞性，體現了力與美的融合．圖甲為花樣滑冰男運動員牽著女運動員的手使其恰好做圓周運動，該過程可以簡化為長L的細線，一端固定于O點，另一端拴一質量為m的小球，讓小球在水平面內做勻速圓周運動的模型，如圖乙所示．當細線與豎直方向的夾角為α時，求：
(1)細線的拉力F的大小；
(2)小球運動的線速度的大??；
(3)小球運動的角速度及周期．
[規范答題示范]
題后反思
解決勻速圓周運動動力學問題的思路
練1　如圖所示，把一個原長為20 cm，勁度系數為360 N/m的彈簧一端固定，作為圓心，彈簧的另一端連接一個質量為0.50 kg的小球，當小球以 r/min的轉速在光滑水平面上做勻速圓周運動時，彈簧的伸長量應為(　　)
A．5.2 cm　 B．5.3 cm　 C．5.0 cm　 D．5.4 cm
練2　[2024·四川綿陽高一期末]如圖所示，光滑小球串在三桿夾角均為120°的Y形桿上，三桿結點為O，Y形桿的一桿豎直，并繞該豎直
桿勻速旋轉，使小球維持在距O點l處，重力加速度為g，則Y形桿旋轉的角速度ω為(　　)
A. B. C. D.
探究點二　變速圓周運動和一般的曲線運動
【情境思考】
　蕩秋千是小朋友很喜歡的游戲，如圖所示是蕩秋千的情景．
(1)當秋千向下蕩時，小朋友做的是勻速圓周運動還是變速圓周運動？
(2)繩子拉力與重力的合力指向懸掛點嗎？運動過程中，公式Fn＝m＝mω2r還適用嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【思維提升】
1．變速圓周運動
(1)受力特點：變速圓周運動所受的合力不指向圓心，產生兩個方向的效果：
(2)變速圓周運動中某一點的向心力仍可用Fn＝m＝mω2r等公式求解，只不過v、ω都是指那一點的瞬時速度．
2．一般曲線運動的處理方法
(1)一般的曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動．
(2)處理方法：可以把曲線分割為許多很短的小段，質點在每小段的運動都可以看作圓周運動的一部分，這樣，在分析質點經過曲線上某位置的運動時，就可以采用圓周運動的分析方法來處理．
①合力方向與速度方向夾角為銳角時，力為動力，速率越來越大．
②合力方向與速度方向夾角為鈍角時，力為阻力，速率越來越?。?br/>例3 如圖所示，物塊P置于水平轉盤上隨轉盤一起運動，圖中c方向沿半徑指向圓心，a方向與c方向垂直．當轉盤逆時針轉動時，下列說法正確的是(　　)
A．當轉盤勻速轉動時，P所受摩擦力方向為c
B．當轉盤勻速轉動時，P不受轉盤的摩擦力
C．當轉盤加速轉動時，P所受摩擦力方向可能為a
D．當轉盤減速轉動時，P所受摩擦力方向可能為b
[解題心得]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例4 [2024·南通市高一期末]如圖所示，質量為m的小明坐在秋千上擺動到最高點時懸線與豎直方向夾角為30°，重力加速度為g，下列說法正確的是(　　)
A．小明在最高點的速度為零，合力為零
B．小明在最低點的加速度為零，速度最大
C．最高點秋千對小明的作用力為mg
D．最低點秋千對小明的作用力為mg
[解題心得]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
練3　一般的曲線運動可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運動的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來代替．如圖甲所示，曲線上的A點的曲率圓定義：通過A點和曲線上緊鄰A點兩側的兩點作一圓，在極限情況下，這個圓就叫作A點的曲率圓，其半徑ρ叫作A點的曲率半徑．現將一物體沿與水平面成α角的方向以速度v0拋出，如圖乙所示．則在其軌跡最高點P處的曲率半徑是(　　)
A. B. C． D．
1．下列說法中正確的是(　　)
A．只要物體做圓周運動，它所受的合力一定指向圓心
B. 做曲線運動的物體，受到的合力方向一定在不斷改變
C．勻速圓周運動是勻速運動
D．向心力只改變做圓周運動的物體的速度方向，不改變速度的大小
2．翻滾過山車是一種非常刺激而有趣的游樂項目．如圖甲所示，小剛同學所坐的翻滾過山車正在下行中，如圖乙所示，他此時所做的運動及所受合力的可能方向分別是(　　)
A．勻速圓周運動、沿F1方向
B．勻速圓周運動、沿F2方向
C．加速圓周運動、沿F3方向
D．減速圓周運動、沿F2方向
3.如圖所示，某物體沿光滑圓弧軌道由最高點滑到最低點過程中，物體的速率逐漸增大，則(　　)
A．物體的合力為零
B．物體的合力大小不變，方向始終指向圓心O
C．物體的合力就是向心力
D．物體的合力方向始終不與其運動方向垂直(最低點除外)
4.[2023·北京卷]在太空實驗室中可以利用勻速圓周運動測量小球質量．如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定于O點，另一端系一待測小球，使其繞O做勻速圓周運動，用力傳感器測得繩上的拉力為F，用停表測得小球轉過n圈所用的時間為t，用刻度尺測得O點到球心的距離為圓周運動的半徑R.下列說法正確的是(　　)
A．圓周運動軌道可處于任意平面內
B．小球的質量為
C.若誤將n－1圈記作n圈，則所得質量偏大
D．若測R時未計入小球半徑，則所得質量偏小
5．[2024·邯鄲高一檢測]圖甲為游樂園中“空中飛椅”的游戲設施，它的基本裝置是將繩子上端固定在轉盤的邊緣上，繩子的下端連接座椅，人坐在座椅上隨轉盤旋轉而在空中飛旋．若將人和座椅看成一個質點，則可簡化為如圖乙所示的物理模型，其中P為處于水平面內的轉盤，可繞豎直轉軸OO′轉動，設繩長l＝10 m，質點的質量m＝60 kg，轉盤靜止時質點與轉軸之間的距離d＝4.0 m，轉盤逐漸加速轉動，經過一段時間后質點與轉盤一起做勻速圓周運動，此時繩與豎直方向的夾角θ＝37°，不計空氣阻力及繩重，且繩不可伸長，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求質點與轉盤一起做勻速圓周運動時：
(1)繩子拉力的大??；
(2)轉盤角速度的大?。?br/>溫馨提示：請完成分層訓練素養提升(十)
第2課時　向心力表達式的應用
導學　掌握必備知識　強化關鍵能力
探究點一
[例1]　解析：質點做勻速圓周運動，根據題意設周期T＝，
合外力等于向心力，根據F合＝Fn＝mr，
聯立可得Fn＝r3，其中為常數，r的指數為3，
故題中n＝3.
故選C.
答案：C
[例2]　答案：(1)　(2)　(3) 　2π
練1　解析：小球轉動的角速度ω＝2πn＝12 rad/s，彈簧的彈力為小球做圓周運動提供向心力，即kx＝mω2(x0＋x)，解得x＝＝ m＝0.05 m＝5.0 cm，選項C正確．
答案：C
練2　解析：小球在水平面內做勻速圓周運動，圓周半徑為r＝l sin 60°＝l，小球所受的合力提供向心力，即Fn＝mg tan 30°＝mg，由向心力公式Fn＝mω2r可得ω＝ ＝ ＝ ，故選A.
答案：A
探究點二
情境思考
答案：(1)小朋友做的是變速圓周運動．
(2)小朋友蕩到最低點時，繩子拉力與重力的合力指向懸掛點，在其他位置，合力不指向懸掛點，公式Fn＝m＝mω2r仍然適用．
[例3]　解析：當轉盤勻速轉動時，物塊P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做勻速圓周運動的向心力，故摩擦力方向為c，A項正確，B項錯誤；當轉盤加速轉動時，物塊P做加速圓周運動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有指向a方向的切向力，使線速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C項錯誤；當轉盤減速轉動時，物塊P做減速圓周運動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有與a方向相反的切向力，使線速度大小減小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D項錯誤．
答案：A
[例4]　解析：小明在最高點時，速度為零，受力分析如圖；已知F合＝mg sin 30°，F1＝mg cos 30°，解得F1＝mg，F合≠0，故A錯誤，C正確；小明在最低點速度最大，設最低點秋千對小明的作用力大小為F2，由牛頓第二定律，可得F2－mg＝man＝m>0，易知加速度不為零，秋千對小明的作用力F2大于mg，故B、D錯誤．
答案：C
練3　解析：斜拋出去的物體同時參與兩個方向的運動：水平方向以速度vx＝v0cos α做勻速直線運動，豎直方向以初速度vy＝v0sin α做勻減速直線運動．到最高點時，豎直方向速度為零，其速度為vP＝v0cos α，且為水平方向．這時重力提供其做圓周運動的向心力，由mg＝m得ρ′＝C正確，A、B、D錯誤．
答案：C
導練　隨堂檢測診斷　落實學科素養
1．解析：只有做勻速圓周運動的物體所受合力才一定指向圓心提供向心力，A錯誤；物體做曲線運動的條件是合力的方向與速度方向不在同一條直線上，但合力方向不一定變化，如平拋運動，B錯誤；勻速圓周運動的速度大小不變，方向沿圓周的切線方向，時刻在變化，所以速度是變化的，是變速運動，C錯誤；向心力只改變速度的方向，不改變速度的大小，D正確．
答案：D
2．解析：翻滾過山車正在下行中，做加速圓周運動，合力方向應該與速度成銳角，即沿F3方向．故選C.
答案：C
3．解析：物體做加速曲線運動，合力不為零，A錯誤；物體做速度大小變化的圓周運動，合力不指向圓心(最低點除外)，合力沿半徑方向的分力等于向心力，合力沿切線方向的分力使物體速度變大，即除在最低點外，物體的速度方向與合力方向的夾角始終為銳角，合力與速度不垂直，B、C錯誤，D正確．
答案：D
4．解析：空間站內的物體都處于完全失重狀態，可知圓周運動的軌道可處于任意平面內，故A正確；
根據F＝mω2R，ω＝，
解得小球質量m＝，故B錯誤；
若誤將n－1圈記作n圈，則得到的質量偏小，故C錯誤；
若測R時未計入小球的半徑，則R偏小，所測質量偏大，故D錯誤．故選A.
答案：A
5.解析：(1)如圖所示，對質點進行受力分析，圖中F為繩子的拉力．質點在水平面內做勻速圓周運動，在豎直方向上合力為零．
故F cos37°－mg＝0，解得F＝＝750 N.
(2)質點在水平面內做勻速圓周運動，重力和繩子拉力的合力提供向心力，有mg tan 37°＝mω2R，分析可知R＝d＋l sin 37°，
聯立解得ω＝ ＝ rad/s.
答案：(1)750 N　(2) rad/s
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第2課時　向心力表達式的應用
3．求解圓周運動問題必須進行的三類分析
幾何分析 目的是確定圓周運動的圓心、半徑等
運動分析 目的是確定圓周運動的線速度、角速度、向心加速度等
受力分析 目的是通過力的合成與分解，表示出物體做圓周運動時，外界所提供的向心力
角度1　利用向心力公式進行簡單計算
例1 [2023·全國甲卷]一質點做勻速圓周運動，若其所受合力的大小與軌道半徑的n次方成正比，運動周期與軌道半徑成反比，則n等于(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
答案：C

角度2　利用向心力公式解決勻速圓周的動力學問題
例2 2022年北京冬奧會上，我國選手奪得花樣滑冰雙人滑冠軍．花樣滑冰極具觀賞性，體現了力與美的融合．圖甲為花樣滑冰男運動員牽著女運動員的手使其恰好做圓周運動，該過程可以簡化為長L的細線，一端固定于O點，另一端拴一質量為m的小球，讓小球在水平面內做勻速圓周運動的模型，如圖乙所示．當細線與豎直方向的夾角為α時，求：
(1)細線的拉力F的大?。?br/>(2)小球運動的線速度的大?。?br/>(3)小球運動的角速度及周期．

[規范答題示范]
題后反思
解決勻速圓周運動動力學問題的思路
答案：C
答案：A
2．一般曲線運動的處理方法
(1)一般的曲線運動：運動軌跡既不是直線也不是圓周的曲線運動．
(2)處理方法：可以把曲線分割為許多很短的小段，質點在每小段的運動都可以看作圓周運動的一部分，這樣，在分析質點經過曲線上某位置的運動時，就可以采用圓周運動的分析方法來處理．
①合力方向與速度方向夾角為銳角時，力為動力，速率越來越大．
②合力方向與速度方向夾角為鈍角時，力為阻力，速率越來越?。?br/>例3 如圖所示，物塊P置于水平轉盤上隨轉盤一起運動，圖中c方向沿半徑指向圓心，a方向與c方向垂直．當轉盤逆時針轉動時，下列說法正確的是(　　)
A．當轉盤勻速轉動時，P所受摩擦力方向為c
B．當轉盤勻速轉動時，P不受轉盤的摩擦力
C．當轉盤加速轉動時，P所受摩擦力方向可能為a
D．當轉盤減速轉動時，P所受摩擦力方向可能為b
答案：A
解析：當轉盤勻速轉動時，物塊P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做勻速圓周運動的向心力，故摩擦力方向為c，A項正確，B項錯誤；當轉盤加速轉動時，物塊P做加速圓周運動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有指向a方向的切向力，使線速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C項錯誤；當轉盤減速轉動時，物塊P做減速圓周運動，不僅有沿c方向指向圓心的向心力，還有與a方向相反的切向力，使線速度大小減小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D項錯誤．
答案：C
答案：C
1．下列說法中正確的是(　　)
A．只要物體做圓周運動，它所受的合力一定指向圓心
B. 做曲線運動的物體，受到的合力方向一定在不斷改變
C．勻速圓周運動是勻速運動
D．向心力只改變做圓周運動的物體的速度方向，不改變速度的大小
答案：D
解析：只有做勻速圓周運動的物體所受合力才一定指向圓心提供向心力，A錯誤；物體做曲線運動的條件是合力的方向與速度方向不在同一條直線上，但合力方向不一定變化，如平拋運動，B錯誤；勻速圓周運動的速度大小不變，方向沿圓周的切線方向，時刻在變化，所以速度是變化的，是變速運動，C錯誤；向心力只改變速度的方向，不改變速度的大小，D正確．
2．翻滾過山車是一種非常刺激而有趣的游樂項目．如圖甲所示，小剛同學所坐的翻滾過山車正在下行中，如圖乙所示，他此時所做的運動及所受合力的可能方向分別是(　　)
A．勻速圓周運動、沿F1方向
B．勻速圓周運動、沿F2方向
C．加速圓周運動、沿F3方向
D．減速圓周運動、沿F2方向
答案：C
解析：翻滾過山車正在下行中，做加速圓周運動，合力方向應該與速度成銳角，即沿F3方向．故選C.
答案：D
解析：物體做加速曲線運動，合力不為零，A錯誤；物體做速度大小變化的圓周運動，合力不指向圓心(最低點除外)，合力沿半徑方向的分力等于向心力，合力沿切線方向的分力使物體速度變大，即除在最低點外，物體的速度方向與合力方向的夾角始終為銳角，合力與速度不垂直，B、C錯誤，D正確．
答案：A
5．[2024·邯鄲高一檢測]圖甲為游樂園中“空中飛椅”的游戲設施，它的基本裝置是將繩子上端固定在轉盤的邊緣上，繩子的下端連接座椅，人坐在座椅上隨轉盤旋轉而在空中飛旋．若將人和座椅看成一個質點，則可簡化為如圖乙所示的物理模型，其中P為處于水平面內的轉盤，可繞豎直轉軸OO′轉動，設繩長l＝10 m，質點的質量m＝60 kg，轉盤靜止時質點與轉軸之間的距離d＝4.0 m，轉盤逐漸加速轉動，經過一段時間后質點與轉盤一起做勻速圓周運動，此時繩與豎直方向的夾角θ＝37°，不計空氣阻力及繩重，且繩不可伸長，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求質點與轉盤一起做勻速圓周運動時：
(1)繩子拉力的大?。?br/>答案：750 N　
(2)轉盤角速度的大?。?br/>1.(4分)在光滑水平桿上穿著兩個小球，其質量關系是m1＝2m2，用水平細線把兩球連起來，當支架勻速轉動時，兩小球剛好能與桿保持無相對滑動，如圖所示．此時兩小球到轉軸的距離r1與r2之比為(　　)
A．1∶1 B．1∶4
C．2∶1 D．1∶2
答案：D
解析：由題圖可知，兩球均由所受細線的拉力提供向心力，所以向心力相等，兩球同軸轉動，角速度也相等，則有：m1ω2r1＝m2ω2r2，m1＝2m2，聯立解得r1∶r2＝1∶2.
2．(4分)一輛卡車在丘陵地帶勻速率行駛，地形如圖所示，由于輪胎太舊，途中容易爆胎，爆胎可能性最大的地段應是(　　)
A．A處　　B．b處 C．c處　　D．d處
答案：B
3．(4分)如圖所示，雜技演員進行表演時，可以懸空靠在勻速轉動的圓筒內壁上而不掉下來．該演員(　　)
A．受到四個力的作用
B．所需的向心力由重力提供
C．圓筒的角速度越大，演員所受的支持力越大
D．圓筒的角速度越大，演員所受的靜摩擦力越大
答案：C
解析：根據受力分析可知，雜技演員受重力、支持力和豎直方向上的摩擦力，共三個力，A錯誤；指向圓心的只有支持力，因此是支持力提供向心力，B錯誤；圓筒的角速度越大，所需的向心力越大，因此演員所受的支持力越大，在豎直方向上，由于演員靜止，摩擦力與重力在豎直方向上，兩者平衡，因此靜摩擦力大小不變，C正確，D錯誤．故選C.
4．(4分)如圖所示，質量相等的A、B兩物體緊貼在勻速轉動的圓筒的豎直內壁上，隨圓筒一起做勻速圓周運動，則下列關系式正確的是(　　)
A．線速度vA＝vB
B．角速度ωA>ωB
C．它們受到合力FA合>FB合
D．它們受到的摩擦力FfA>FfB
答案：C
解析：A、B同軸運動，兩者角速度相等，選項B錯誤；根據v＝ωr可知，選項A錯誤；由F合＝mω2r可知，選項C正確；在豎直方向，它們所受的靜摩擦力等于重力，由于二者質量相等，重力相等，所以它們受到的靜摩擦力相等，選項D錯誤．
答案：B
6．(10分)如圖所示一個質量為0.1 kg的小球，用一長0.45 m的細繩拴著，繩的另一端系在O點，讓小球從如圖所示位置從靜止開始釋放，運動到最低點時小球的速度為3 m/s.(小球視為質點，繩不可伸長，不計空氣阻力，取g＝10 m/s2)
(1)分析小球運動到最低點時向心力的來源，畫出小球受力示意圖；
解析：由題意可知，當小球運動到最低點時，小球受重力和繩的拉力2個力的作用，繩的拉力和重力的合力提供向心力，小球受力示意圖如圖所示．
(2)小球到達最低點時繩對小球的拉力的大?。?br/>答案：3 N
7．(12分)如圖所示，小球通過細線繞圓心O在光滑水平面上做勻速圓周運動．已知小球質量m＝0.50 kg，角速度大小ω＝2 rAd/s，細線長L＝0.20 m.
(1)求小球的線速度大小v、周期T、轉速n；


(2)求細線對小球的拉力大小F；
答案：0.4 N　
解析：細線對小球的拉力大小，根據牛頓第二定律得F＝mω2L＝0.4 N．
(3)若細線最大能承受10.0 N的拉力，求小球運行的最大線速度vm.
答案：2 m/s
8.(12分)如圖所示，圓盤繞軸勻速轉動時，在距離圓心0.8 m處放一質量為0.4 kg的金屬塊，恰好能隨圓盤做勻速圓周運動而不被甩出，此時圓盤的角速度為2 rAd/s.求：
(1)金屬塊受到的最大靜摩擦力．
答案：1.28 N　
解析：金屬塊隨圓盤恰好能做勻速圓周運動，由最大靜摩擦力提供向心力，則有F向＝fmAx＝mω2r，fmAx＝0.4×22×0.8 N＝1.28 N.
(2)若把金屬塊放在距圓心1.25 m處，在角速度不變的情況下，金屬塊還能隨圓盤做勻速圓周運動嗎？并說明理由．
答案：不能　理由見解析
解析：因為角速度不變，根據F合＝mω2r可知，金屬塊距圓心的距離越大，金屬塊隨圓盤做圓周運動需要的向心力越大，而圓盤對金屬塊的最大靜摩擦力不變，提供的靜摩擦力小于需要的向心力，所以金屬塊不能隨圓盤做勻速圓周運動．
答案：40 N　
解析：衣服所受彈力F＝mω2r＝40 N，
由牛頓第三定律知，衣服對桶壁壓力為F′＝F＝40 N.
(2)衣服與桶壁之間的動摩擦因數．


10．(10分)質量相等的小球A、B分別固定在輕桿的中點及端點，當桿在光滑的水平面上繞O點勻速轉動時，求桿的OA段及AB段對球的拉力大小之比．
答案：3∶2
解析：球所受的重力和水平面的支持力在豎直方向，且是一對平衡力，故球的向心力由桿的OA段和AB段的拉力提供．
分別隔離A、B受力分析，如圖所示．A、B固定在同一根輕桿上，所以A、B的角速度相同，設角速度為ω，則由向心力公式可得：對A：FOA－FAB＝mrω2，
對B：F′AB＝2mrω2，又FAB＝F′AB，聯立三式，解得FOA∶FAB＝3∶2.

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