資源簡介

第六章　專題強化2
課后知能作業
基礎鞏固練
1. 如圖所示為滾筒洗衣機的豎直截面圖，洗衣機里的衣物隨滾筒一起轉動以達到脫水效果。下列說法正確的是( 　 )
A．衣物在最高點時處于超重狀態
B．當滾筒勻速轉動時，衣物在最高點與最低點所受合力相同
C．當滾筒勻速轉動時，衣物在最高點與最低點的加速度大小相等
D．衣物在最低點時受重力、滾筒對衣物的彈力以及指向圓心的向心力的作用
解析：衣物在最高點時，加速度豎直向下指向圓心，此時衣物處于失重狀態，故A錯誤；設衣服在最高點滾筒壁對其的壓力為FN1，在最低點滾筒壁對其的壓力為FN2，在最高點時FN1＋mg＝m＝ma1，在最低點時FN2－mg＝m＝ma2，由于滾筒勻速轉動，則兩個位置的向心力即合外力大小相同，方向相反，且加速度大小相等，故B錯誤，C正確；衣物在最低點時受重力、滾筒對衣物的彈力作用，兩個力的合力提供衣物做圓周運動的向心力，故D錯誤。故選C。
2．如圖所示，某同學表演“水流星”，他掄動長L的輕繩讓裝有水的杯子在豎直平面內做圓周運動。若杯子經過最高點時速率為v，杯子和水的質量為m，重力加速度為g，忽略杯子的大小，此時輕繩拉力的大小為( 　 )
A．mg B．－mg
C．＋mg D．mg－
解析：在最高點時細繩的拉力和重力的合力充當向心力，故有T＋mg＝，解得T＝－mg，故選B。
3. 如圖所示，一長為l的輕桿的一端固定在水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球。使輕桿隨轉軸在豎直平面內做角速度為ω的勻速圓周運動，重力加速度為g。下列說法正確的是( 　 )
A．小球運動到最高點時，桿對球的作用力一定向上
B．小球運動到水平位置A時，桿對球的作用力指向O點
C．若ω＝，小球通過最高點時，桿對球的作用力為零
D．小球通過最低點時，桿對球的作用力可能向下
解析：根據題意可知，小球做勻速圓周運動，小球運動到最高點時，若桿對球的作用力為零，則有mg＝mω2l，解得ω＝，可知，若小球運動的角速度ω>，桿對球的作用力向下，若小球運動的角速度ω<，桿對球的作用力向上，故A錯誤，C正確；根據題意可知，小球做勻速圓周運動，則小球運動到水平位置A時，合力指向圓心，對小球受力分析可知，小球受重力和桿的作用力，由平行四邊形定則可知，桿對球的作用力不可能指向O點，故B錯誤；根據題意可知，小球做勻速圓周運動，小球通過最低點時，合力豎直向上，則桿對球的作用力一定向上，故D錯誤。故選C。
4. 如圖所示，長為l的輕桿，一端固定一個小球；另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直平面內做圓周運動，小球過最高點的速度為v，下列敘述中不正確的是( 　 )
A．v的值可以小于
B．當v由零逐漸增大時，小球在最高點所需向心力也逐漸增大
C．當v由值逐漸增大時，桿對小球的彈力逐漸增大
D．當v由值逐漸減小時，桿對小球的彈力逐漸減小
解析：細桿拉著小球在豎直平面內做圓周運動，在最高點的最小速度為零，故A正確；根據F向＝m知，速度增大，向心力增大，故B正確；當v＝時，桿的作用力為零，當v＞時，桿表現為拉力，速度增大，拉力增大，故C正確；當v＜時，桿表現為支持力，速度減小，支持力增大，故D錯誤。故選D。
5．如圖甲所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動。當小球運動到圓形管道的最高點時，管道對小球的彈力與在最高點時的速度平方的關系如圖乙所示(取豎直向下為正方向)。MN為通過圓心的一條水平線。不計小球半徑、管道的粗細，重力加速度為g。則下列說法正確的是( 　 )
A．管道的半徑為
B．小球的質量為
C．小球在MN以下的管道中運動時，內側管壁對小球可能有作用力
D．小球在MN以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力
解析：由圖乙可知，當在最高點v2＝b時，FN＝0，則在最高點重力提供小球做圓周運動的向心力，此時mg＝m，代入得R＝，A錯誤；由圖乙知，當v2＝0時，在最高點重力等于下管道對小球向上的彈力，此時FN＝mg＝a，代入得m＝，B正確；小球在水平線MN以下的管道中運動時，由于向心力的方向要指向圓心，則管壁必然要提供指向圓心的支持力，只有外壁才可以提供這個力，所以內側管壁對小球沒有作用力，C錯誤；小球在水平線MN以上的管道中運動時，重力沿徑向的分量必然參與提供向心力，故外側管壁可能對小球有作用力，內側管壁也可能對小球有作用力，還可能均無作用力，D錯誤。故選B。
6. 如圖所示，質量為m的物塊，沿著半徑為R的半球形金屬殼內壁滑下，半球形金屬殼豎直固定放置，開口向上，滑到最低點時速度大小為v，若物體與球殼之間的動摩擦因數為μ，則物體在最低點時，下列說法正確的是( 　 )
A．受到的向心力為mg＋m
B．受到的摩擦力為μm
C．受到的摩擦力為μmg
D．受到的合力方向豎直向上
解析：物體滑到半球形金屬球殼最低點時，速度大小為v，半徑為R，向心力大小為Fn＝m，故A錯誤；根據牛頓第二定律得N－mg＝m，得到金屬球殼對小球的支持力N＝mg＋m，由牛頓第三定律可知，小球對金屬球殼的壓力大小N′＝N＝mg＋m，物體在最低點時，受到的摩擦力為f＝μN＝μ，故B正確，C錯誤；物塊豎直方向的合力向上，還受到水平方向的摩擦力，所以在最低點總的合力不是豎直向上，而是斜向上，故D錯誤。故選B。
能力提升練
7. 如圖所示，一質量為M的人站在臺秤上，臺秤的示數表示人對秤盤的壓力；一根長為R的細線一端系一個質量為m的小球，手拿細線另一端，小球繞細線另一端點在豎直平面內做圓周運動，且小球恰好能通過圓軌道最高點，則下列說法正確的是( 　 )
A．小球運動到最高點時，小球的速度為零
B．當小球運動到最高點時，臺秤的示數最小，且為Mg＋mg
C．小球在a、b、c三個位置時，臺秤的示數相同
D．小球從c點運動到最低點的過程中臺秤的示數增大，人處于失重狀態
解析：小球恰好能通過圓軌道最高點，重力剛好提供向心力，則有mg＝，解得v＝，A錯誤；當小球運動到最高點時，細線拉力為零，臺秤示數為Mg，B錯誤；小球在最高點b時，細線拉力為0，以人為研究對象，根據受力平衡可得FN＝Mg，小球在a或c時，細線拉力提供向心力，但此時細線拉力處于水平方向，以人為研究對象，豎直方向根據受力平衡可得FN′＝Mg，可知小球在a、b、c三個位置時，人對秤盤的壓力相等，故臺秤的示數相同，C正確；小球從c點運動到最低點的過程中，細線對小球的拉力逐漸增大，且拉力與豎直方向的夾角逐漸減小，可知細線對人的拉力的豎直向下分力逐漸增大，臺秤的示數增大，但此過程人一直處于靜止平衡狀態，D錯誤。故選C。
8. 如圖所示，兩個小球A、B固定在長為2L的輕桿上，球A質量為2m，球B質量為m。B球固定在桿的中點，A球在桿的一端，不計小球的大小，重力加速度為g。整個裝置在光滑的水平面上繞桿的另一端點O勻速轉動時，OB桿的拉力F1與AB桿的拉力F2之比為( 　 )
A．5∶4 B．4∶5
C．1∶4 D．4∶1
解析：整個裝置在光滑的水平面上繞桿的另一端點O勻速轉動時，角速度相同，對A球，F2＝2m×2Lω2，對B球，F1－F2＝m×Lω2，OB桿的拉力F1與AB桿的拉力F2之比為5∶4。故選A。
9．如圖所示，一輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為FN，小球在最高點的速度大小為v，FN-v2圖像如圖所示。下列說法正確的是( 　 )
A．當地的重力加速度大小為
B．小球的質量為R
C．v2＝c時，桿對小球彈力方向向上
D．若v2＝2b，則桿對小球彈力大小為2a
解析：通過題圖分析可知：當v2＝b，FN＝0時，小球做圓周運動的向心力由重力提供，即mg＝m，g＝，A錯誤；當v2＝0，FN＝a時，重力與彈力FN大小相等，即mg＝a，所以m＝＝R，B正確；當v2＞b時，桿對小球的彈力方向與小球重力方向相同，豎直向下，故v2＝c＞b時，桿對小球的彈力方向豎直向下，C錯誤；若v2＝2b，則mg＋FN＝m，解得FN＝a，方向豎直向下，D錯誤。故選B。
10．(多選)如圖所示，下列有關生活中圓周運動實例分析，其中說法正確的是( 　 )
A．甲圖中，汽車通過凹形橋的最低點時，速度不能超過
B．乙圖中，“水流星”勻速轉動過程中，在最低處水對桶底的壓力最小
C．丙圖中，火車轉彎超過規定速度行駛時，外軌對輪緣會有擠壓作用
D．丁圖中，內表面光滑的固定圓錐筒內(軸線豎直)，同一小球先后在A、B所在水平面內做圓周運動，則在兩位置小球向心加速度大小相等
解析：甲圖中，汽車通過凹形橋的最低點時，由牛頓第二定律得FN－mg＝m，汽車通過凹形橋的最低點時，速度可以超過，此時有FN>2mg，故A錯誤；乙圖中，“水流星”勻速轉動過程中，設圓心為O，最高點為A，最低點為B，水桶所處位置為C，水桶從A運動到B的過程中，設OC與OA的夾角為θ(0≤θ≤π)，對桶中的水受力分析，沿半徑方向，由牛頓第二定律得FN＋mgcos θ＝m，從A點運動到B點的過程中，cos θ逐漸減小，則桶對水的支持力逐漸增大，由牛頓第三定律可得，水對桶的壓力逐漸增大，所以在最低處水對桶底的壓力最大，故B錯誤；丙圖中，火車按規定速度轉彎時，重力和支持力的合力提供向心力，超過規定速度行駛時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，所以外軌對輪緣產生向里的擠壓作用，故C正確；丁圖中，同一小球在光滑而固定的圓錐筒內的A、B位置先后分別做勻速圓周運動，設圓錐的頂角為2θ，則＝ma，解得a＝，則在A、B兩位置小球向心加速度相等，故D正確。故選CD。
11. 如圖所示，質量m＝1 kg的小球在長為L＝0.5 m的細繩作用下，恰能在豎直平面內做圓周運動，細繩能承受的最大拉力Tmax＝42 N，轉軸離地高度h＝5.5 m，不計阻力，g＝10 m/s2。
(1)小球經過最高點的速度v是多少？
(2)若小球在某次運動到最低點時細繩恰好被拉斷，求細繩被拉斷后小球運動的水平位移x。
答案：(1) m/s　(2)4 m
解析：(1)依題意，小球恰能在豎直平面內做圓周運動，在最高點根據牛頓第二定律有mg＝
代入數據可得小球經過最高點的速度大小為v＝ m/s。
(2)小球運動到最低點時細繩恰好被拉斷，則繩的拉力大小恰好為Tmax，設此時小球的速度大小為v1。小球在最低點時由牛頓第二定律有Tmax－mg＝，解得v1＝4 m/s，此后小球做平拋運動，設運動時間為t，則對小球在豎直方向上h－L＝gt2，代入數據求得t＝1 s，在水平方向上水平位移為x＝v1·t＝4 m。
12．如圖所示，摩托車做騰躍特技表演，沿曲面沖上高0.8 m頂部水平的高臺，接著以v＝3 m/s水平速度離開平臺，落至地面時，恰能無碰撞地沿圓弧切線從A點切入光滑豎直圓弧軌道，并沿軌道下滑。A、B為圓弧兩端點，其連線水平。已知圓弧半徑R＝1.0 m，人和車的總質量為180 kg，特技表演的全過程中，阻力忽略不計。g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：(人和車可視為質點)
(1)從平臺飛出到A點，人和車運動的水平距離s；
(2)從平臺飛出到達A點時的速度大小及圓弧對應圓心角θ；
(3)人和車運動到達圓弧軌道A點時對軌道的壓力。
答案：(1)1.2 m　(2)5 m/s　106°　(3)5 580 N
解析：(1)車做的是平拋運動，據平拋運動的規律可得，
豎直方向上有H＝gt2
水平方向上有s＝vt
解得s＝v＝3× m＝1.2 m。
(2)摩托車落至A點時，其豎直方向的分速度為vy＝gt＝4 m/s
到達A點時速度為vA＝＝5 m/s
設摩托車落至A點時速度方向與水平方向的夾角為α，則有tan α＝＝
即有α＝53°，所以有θ＝2α＝106°。
(3)對摩托車受力分析可知，摩托車受到的指向圓心方向的合力作為圓周運動的向心力，所以有FNA－mgcos α＝m
代入數據解得FNA＝5 580 N。
人和車運動到A點時對軌道的壓力FNA′＝FNA＝5 580 N。
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第六章　圓周運動
專題強化2　豎直面內的圓周運動模型
提升點1 繩模型
小球沿豎直光滑軌道內側做圓周運動，小球在細繩作用下在豎直平面內做圓周運動，都是“繩模型”。
情境：如圖所示。
探究：(1)小球在豎直平面內做圓周運動過程中什么力提供向心力？
(2)在豎直平面內完成圓周運動要具有什么條件？
?[提示]
[提示]
(1)球在豎直平面內做圓周運動過程中受向下的重力和繩子拉力作用，其指向圓心的合力提供向心力。
(2)球在豎直平面內做圓周運動過程中繩的拉力(過山車內壁對小球的支持力)要大于或等于零。
典題1：如圖所示，質量為0.5 kg的小桶里盛有1 kg的水，用細繩系住小桶在豎直平面內做“水流星”表演，轉動半徑為1 m，小桶在最高點的速度為5 m/s，g取10 m/s2。求：
(1)在最高點時，繩的拉力。
(2)在最高點時，水對水桶底的壓力。
(3)為使小桶經過最高點時水不流出，在最高點時的最小速率是多少？
思維點撥：解此題的關鍵有兩點：(1)在最高點應是桶和水整體受到的合力提供向心力。(2)明確繩類模型通過最高點的臨界條件(繩拉力恰好為零)。
?[規律方法]
[規律方法]
(1)向心力分析
(3)能過最高點的條件：v≥v臨。
(4)不能通過最高點的條件：v跟蹤訓練1：如圖所示，長為L的輕質細長物體一端
與小球(可視為質點)相連，另一端可繞O點使小球在豎直
平面內運動。設小球在最高點的速度為v，重力加速度為
g，不計空氣阻力，則下列說法正確的是( 　 )
提升點2 輕桿模型
有支撐物(如球與桿連接、小球在彎管內運動等)的豎直面內的圓周運動，稱為“輕桿模型”。
情境：如圖所示。
探究：(1)小球在運動過程中什么力提供向心力？
(2)在豎直平面內完成圓周運動要具有什么條件？
?[提示]
[提示]
(1)球運動過程中受向下的重力和桿對小球作用，其指向圓心的合力提供向心力。
(2)球運動過程過程中桿的作用力(軌道壁對球的作用力)要大于或等于零(可以是壓力也可以是拉力)。
(1)小球通過A點時輕桿對小球的彈力；
(2)若小球通過最高點B時輕桿中的彈力為零，小球通過B點時的速度大小；
(3)若小球通過B點時的速度大小為1 m/s，輕桿對小球的彈力。
答案：(1)60 N，方向豎直向上　(2)2 m/s　(3)7.5 N，方向豎直向上
?[規律方法]
[規律方法]
跟蹤訓練2：(多選)如圖所示，有一個半徑為R
的光滑圓管軌道，現給小球一個初速度，使小球在
豎直面內做圓周運動，則關于小球在通過最高點時
的速度v，下列敘述正確的是( 　 )
?[特別提醒]
[特別提醒]繩模型和桿模型
(1)豎直面內的圓周運動多為非勻速圓周運動，關鍵是要分析清楚在最高點或最低點時物體的受力情況，由哪些力來提供向心力，再對此瞬時狀態應用牛頓第二定律，有時還要應用牛頓第三定律求受力。
素養能力提升
拓展整合 啟智培優
1．比較分析
類型 描述 方法
斜面上的圓周
運動 靜摩擦力控制下的圓周運動　　　 在斜面上做圓周運動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、繩控制、桿控制，物體的受力情況和所遵循的規律也不相同。 與豎直面內的圓周運動類似，斜面上的圓周運動也是集中分析物體在最高點和最低點的受力情況，列牛頓運動定律方程來解題。只是在受力分析時，一般需要進行立體圖到平面圖的轉化，這是解斜面上圓周運動問題的難點。
輕桿控制下的圓周運動
輕繩控制下的圓周運動
2. 豎直面內圓周運動的求解思路
(1)確定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點的臨界條件不同，其原因主要是“繩”不能支持物體，而“桿”既能支持物體，也能拉物體。
(3)確定研究狀態：通常情況下豎直平面內的圓周運動只涉及最高點和最低點的運動情況。
(4)進行受力分析：對物體在最高點或最低點時進行受力分析，根據牛頓第二定律列出方程F合＝F向。
課堂效果反饋
內化知識 對點驗收
1．日常生活中，我們看到的橋面都是中間高的凸形橋，中間低的凹形橋很少見。下列有說法正確的是( 　 )
A．汽車通過凹形橋的最低點時，支持力提供向心力
B．汽車通過凹形橋的最低點時，汽車處于失重狀態
C．汽車通過凹形橋的最低點時，為了防止爆胎，車應快速駛過
D．同一輛汽車以相同的速率通過凹形橋的最低點時，比通過凸形橋最高點對橋面的壓力大
A．4mg B．3mg
C．2mg D．mg
3．在公路上常會看到凸形和凹形的路面，如圖所示。一輛質量為m的汽車，通過凸形路面的最高處時對路面的壓力為N1，通過凹形路面最低處時對路面的壓力為N2，則( 　 )
A．N1C．N2解析：汽車通過凸形路面的最高處時，加速度方向向下，合力方向向下，處于失重狀態，則有N1mg，故選A。
4. 如圖所示，過山車的軌道可視為豎直平面內半徑為R的圓軌道。質量為m的游客隨過山車一起運動，當游客以速度v經過圓軌道最高點時( 　 )
A．處于超重狀態
B．加速度方向豎直向下

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