資源簡介

第一章　專題強化1
課后知能作業
基礎鞏固練
1．如圖，在傾角為θ的斜面頂端將三個小球M、N、P分別以、v0、2v0的初速度沿水平方向拋出，N恰好落到斜面底端。已知tan θ＝，不計空氣阻力，重力加速度大小為g。則M落到斜面時的速度大小與P落到地面時的速度大小之比為( 　 )
A．13∶100 B．1∶4
C．∶10 D．∶10
解析：對M有tan θ＝＝＝＝，解得tM＝，則有vMy＝gtM＝，則M落到斜面時的速度大小為vM＝＝v0，對N有tan θ＝＝＝＝，解得tN＝，則有tP＝tN＝，vPy＝gtN＝v0，則P落到地面時的速度大小為vP＝＝v0，則有vM∶vP＝v0∶v0＝∶10，故選D。
2．某次實驗中，實驗員讓一小鋼珠(視為質點)以大小為3 m/s的初速度從樓梯上水平飛出，研究其運動軌跡。已知每格樓梯長25 cm，高15 cm，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不計空氣阻力，則小鋼珠第一次落在( 　 )
A．第二格 B．第三格
C．第四格 D．第五格
解析：設小鋼球能落到第n格，由平拋運動的規律可得nx＝v0t，nh＝gt2，聯立解得n＝4.32，由題意可知，這里n取大于4.32的整數，因此取n＝5，即小鋼珠第一次落在第五格。故選D。
3. 如圖，將一支飛鏢在豎直墻壁的左側O點以不同的速度水平拋出，A為O點在豎直墻壁上的投影點，每次拋出飛鏢的同時，在A處由靜止釋放一個特制(飛鏢能輕易射穿)的小球，且飛鏢均能插在墻壁上，第一次插在墻壁時，飛鏢與墻壁的夾角為53°，第二次插在墻壁時，飛鏢與墻壁的夾角為37°，圖中沒有畫出，不計空氣阻力。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)則( 　 )
A．兩次速度增量之比為9∶16
B．兩次拋出的飛鏢只有一次能擊中小球
C．兩次下落的高度之比為9∶16
D．兩次平拋的初速度之比為3∶4
解析：第一次插在墻壁時，飛鏢與墻壁的夾角為53°，則tan 53°＝，第二次插在墻壁時，飛鏢與墻壁的夾角為37°，則tan 37°＝，因為v01t1＝v02t2，解得＝，根據Δv＝gt，可知，兩次速度增量之比為3∶4，故A錯誤；因為平拋運動豎直方向是自由落體運動，所以兩次均能命中小球，故B錯誤；根據h＝gt2，兩次下落的高度之比為9∶16，故C正確；因為v01t1＝v02t2，兩次平拋的初速度之比為4∶3，故D錯誤。故選C。
4. 如圖所示O、A、B三點在同一條豎直線上，OA＝AB，B、C兩點在同一條水平線上，O、D在同一水平線上，OD＝2BC，五點在同一豎直面上。現將甲、乙、丙三小球分別從A、B、C三點同時水平拋出，最后都落在水平面上的D點，不計空氣阻力。則以下關于三小球運動的說法中正確的是( 　 )
A．三小球在空中的運動時間之比為：t甲∶t乙∶t丙＝1∶2∶2
B．三小球拋出時的初速度大小之比為：v甲∶v乙∶v丙＝4∶2∶1
C．三球的拋出速度大小、在空中運動時間均無法比較
D．三小球落地時的速度方向與水平方向之間夾角一定滿足θ甲<θ乙<θ丙
解析：根據公式h＝gt2，可得t＝，所以三小球在空中的運動時間之比為1∶∶，故A錯誤；水平方向x＝v0t，又水平位移之比為2∶2∶1，所以三小球拋出時的初速度大小之比為2∶2∶1，故B、C錯誤；三小球落地時的速度方向與水平方向之間夾角，即速度偏轉角，滿足tan θ＝＝，所以tan θ1∶tan θ2∶tan θ3＝∶∶，因此三小球落地時的速度方向與水平方向之間夾角一定滿足θ甲<θ乙<θ丙，故D正確。故選D。
5. (多選)如圖所示，傾角為θ的斜面上有A、B、C三點，現從這三點分別以不同的初速度水平拋出一小球，三個小球均落在斜面上的D點，今測得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判斷(不計空氣阻力)( 　 )
A．A、B、C處三個小球的初速度大小之比為3∶2∶1
B．A、B、C處三個小球的運動軌跡可能在空中相交
C．A、B、C處三個小球運動時間之比為1∶2∶3
D．A、B、C處三個小球落在斜面上時速度與初速度間的夾角之比為1∶1∶1
解析：由幾何關系知hAD∶hBD∶hCD＝xAD∶xBD∶xCD＝AD∶BD∶CD＝9∶4∶1，根據h＝gt2，得t＝，A、B、C處三個小球運動時間之比為tAD∶tBD∶tCD＝3∶2∶1，根據v0＝，A、B、C處三個小球的初速度大小之比為3∶2∶1，故A正確，C錯誤；三個小球的運動軌跡(拋物線)在D點相交，根據拋物線特點，不會在空中相交，故B錯誤；斜面上平拋的小球落在斜面上時，速度與初速度之間的夾角α滿足tan α＝2tan θ，與小球拋出時的初速度大小和位置無關，即三個小球落在斜面上時速度與初速度間的夾角之比為1∶1∶1，故D正確。故選AD。
6. (多選)如圖所示，小滑塊以初速度v1從傾角θ＝37°的固定光滑斜面底端A沿斜面向上滑動，同時從A點以初速度v2斜向上拋出一個小球，經0.6 s滑塊滑到斜面頂端B時，恰好被小球水平擊中。滑塊和小球均可視為質點，空氣阻力忽略不計，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2。則下列說法正確的是( 　 )
A．小滑塊的初速度v1＝6.8 m/s
B．小球的初速度v2＝8 m/s
C．斜面AB的長度為3 m
D．小球從拋出到離斜面最遠處所經歷的時間為0.3 s
解析：小球斜向上拋運動，到達B點時，能恰好水平擊中滑塊，可將小球運動看成反向的平拋，運動時間為0.6 s，在A點時豎直方向的速度vy＝gt＝6 m/s，由平拋運動的推論可得tan θ＝＝，可得vx＝4 m/s，小球的初速度v2＝，代入數據得v2＝2 m/s，故B錯誤；小球水平方向的位移x＝vxt＝4×0.6 m＝2.4 m，斜面的長度s＝＝ m＝3 m，故C正確；小球反向的平拋運動，從B點開始，設從拋出到離斜面最遠處所經歷的時間為t1，當小球下落到速度方向與水平方向夾角為θ時，距離斜面最遠，此時豎直方向上的速度vy′＝vxtan θ＝4× m/s＝3 m/s，從B點開始經歷的時間t′＝＝ s＝0.3 s，則t1＝t－t′＝0.6 s－0.3 s＝0.3 s，故D正確；滑塊從斜面上運動時，加速度a＝gsin θ＝10×sin 37°m/s2＝6 m/s2，滑塊從A到B的過程中，由運動學公式s＝v1t－at2，解得v1＝6.8 m/s，故A正確。故選ACD。
能力提升練
7. 如圖所示，勻速向右運動的小車頂部左端O點用細線懸掛有兩個大小不計的小球A、B，兩細線OA與AB的長度均為L，小球B距地面的高度也為L。某時刻繩子OA斷裂，B球落地后未移動，且A球落地時AB間細線恰好伸直。忽略空氣阻力，重力加速度為g。小車的速度為( 　 )
A． B．
C． D．
解析：繩子OA斷裂后兩小球做平拋運動，B小球下落的時間為tB＝，A小球下落的時間為tA＝，B球落地后A繼續運動的時間為t＝tA－tB＝(－1)，小車的速度與小球的水平速度相同為v＝＝＝，故選B。
8．如圖所示，一架戰斗機在距地面一定高度，由東向西水平勻速飛行的過程中向坡面投擲炸彈。第一顆炸彈自飛機飛行至O點時釋放，恰好擊中山坡底端A點，戰斗機保持原速度不變，水平運動一段時間后釋放第二顆炸彈，投放后迅速爬升，炸彈擊中坡面上的B點。已知O點距離A點的高度為h，與A點的水平距離為s；B點距離A點的高度為h，斜坡與水平面的夾角為30°，則兩次投彈的時間間隔為( 　 )
A． B．
C． D．
解析：設自C釋放第二顆炸彈，兩顆炸彈釋放初速度相同。C到B豎直方向位移為，炸彈在豎直方向做自由落體運動，連續相等時間間隔位移之比為1∶3，所以O到D和D到A時間相等，水平位移相等，因此OC＝BD＝＋＝＋h，由O到A過程，根據平拋運動規律飛機的速度v＝，兩次釋放炸彈的時間間隔Δt＝＝，故選D。
9．(多選)如圖所示，A、B兩球沿傾角為37°的斜面先后向上滾動，離開斜面后同時落在水平地面上，C點為斜面的最高點，C點距地面的高度為2 m。B球在地面上的落點距C點的水平距離為1.6 m，距A球落點的距離為2.4 m。不計空氣阻力，兩球均可視為質點，已知重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列說法正確的是( 　 )
A．A、B兩球離開斜面后運動至與C點等高位置時的速度方向相同
B．A、B兩球到達地面時的速度方向相同
C．A、B兩球離開斜面的時間間隔為0.1 s
D．A、B兩球離開斜面的時間間隔為0.2 s
解析：根據位移偏角θ和速度偏角φ的正切值之間的關系tan φ＝2tan θ，可知位移偏角相同時速度偏角也相同，根據斜拋運動的對稱性可知A、B兩球離開斜面后運動至與C點等高位置時的速度方向相同，到達地面時速度方向不相同，故A正確，B錯誤；設兩球離開斜面時的速度為vA、vB，根據斜拋運動的規律可知xA＝vAcos θ·t1，hA＝－vAsin θ·t1＋gt，xB＝vBcos θ·t2，聯立解得t1＝1 s，t2＝0.8 s，因為兩球同時落地，所以A、B兩球離開斜面的時間間隔為Δt＝t1－t2＝0.2 s，故C錯誤，D正確。故選AD。
10. (多選)某旅展開的實兵實彈演練中，某火箭炮在山坡上發射炮彈，所有炮彈均落在山坡上，炮彈的運動可簡化為斜面上的平拋運動，如圖所示，重力加速度為g。則下列說法正確的是( 　 )
A．若將炮彈初速度由v0變為，炮彈落在斜面上的速度方向與斜面的夾角不變
B．若將炮彈初速度由v0變為，則炮彈下落的豎直高度變為原來的
C．若炮彈初速度為v0，則炮彈運動到距斜面最大距離L時所需要的時間為
D．若炮彈初速度為v0，則運動過程中炮彈距斜面的最大距離L＝
解析：炮彈落到斜面上時，豎直方向位移與水平方向位移關系為tan θ＝＝＝，可得＝2tan θ，所以速度偏轉角的正切值不變，炮彈落在斜面上的速度方向與斜面夾角不變，故A正確；由炮彈落到斜面豎直方向位移與水平方向位移關系，可以解得炮彈的飛行時間為t＝，所以炮彈速度變為原來一半時，飛行時間也變為原來一半，由豎直位移公式y＝gt2可知，豎直位移為原來的，故B錯誤；炮彈與斜面距離最大時，速度方向與斜面平行，此時豎直方向速度與水平速度的關系為＝＝tan θ，解得飛行時間為t′＝，故C正確；建立如圖所示坐標系，對炮彈初速度和加速度進行分解vy′＝v0sin θ，gy＝gcos θ，當y軸方向速度減小為0時，炮彈距離斜面最遠，則最遠距離為L＝＝，故D正確。故選ACD。
11．(多選)如圖所示，某次空中投彈的軍事演習中，戰斗機以恒定速度v0沿水平方向飛行，先后釋放A、B兩顆炸彈，分別擊中傾角為θ的山坡上的M點和N點，釋放A、B兩顆炸彈的時間間隔為Δt1，此過程中飛機飛行的距離為s1；擊中M、N的時間間隔為Δt2，M、N兩點間水平距離為s2，且A炸彈到達山坡的M點時位移垂直于斜面，B炸彈是垂直擊中山坡N點的。不計空氣阻力，下列正確的是( 　 )
A．A炸彈在空中飛行的時間為
B．>
C．Δt1＝Δt2＋
D．＝v0
解析：設炸彈從A→M用時t1，有x1＝v0t1，因AM垂直斜面，則θ1＋θ＝90°，而tan φ＝2tan θ1＝，可得t1＝＝＝，故A錯誤；
同理B→N，vN方向垂直于斜面，用時t2＝＝＝，x2＝v0t2，由圖得s1＋x2＝x1＋s2[或s2＝s1＋x2－x1＝v0(Δt1＋t2－t1)]，時間關系Δt1＋t2＝t1＋Δt2(或Δt1＋t2－t1＝Δt2)，則＝v0，同時有v0＝＝，Δt1＝Δt2＋，故B錯誤，C、D正確。故選CD。
12．“沖關”類節目中有這樣一個環節，選手遇到一個人造山谷AOB，BC段是長為L＝2 m的水平跑道，選手需要自A點水平躍出沖上水平跑道，其中AO是高R＝3.6 m的豎直峭壁，OB是以A點為圓心的弧形坡，∠OAB＝60°，選手可視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)選手從A點水平躍出后經多少時間落到水平跑道上？
(2)若要落在BC段上，選手的速度應該滿足什么范圍？
(3)如果選手不幸掉落在OB弧面上，速度會不會與OB弧面垂直？如果會，推出選手落在OB弧面上初速度應具備的規律(用v0、R、g表示)。
答案：(1)0.6 s　(2)3 m/s≤v0≤m/s　(3)不會
解析：(1)由圖可知，A、B兩點之間的高度差為hAB＝AB·cos 60°＝1.8 m
由hAB＝gt2可得選手從A點水平躍出后落到水平跑道上需要的時間為tAB＝＝ s＝0.6 s。
(2)由圖可知，A、B兩點之間的水平距離為
xAB＝AB·sin 60°＝ m
要落在BC段上，選手的速度最小應為
vmin＝＝＝3 m/s
最大不超過vmax＝＝＝m/s
即速度應該滿足3 m/s≤v0≤m/s。
(3)平拋運動任一時刻速度方向的反向延長線，應該過此時刻水平位移的中點。若選手落在OB弧面上，并且與OB弧垂直的話，那么速度方向的反向延長線應該會過圓心A點。不符合平拋運動的規律，所以不可能與OB弧面垂直。
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第五章　拋體運動
專題強化1　平拋運動的兩個重要推論
提升點 拋體運動軌跡中某點速度
的表達？其速度和位移的方向
有什么關系？
●新知導學
情境：如下圖。
探究：(1)如圖所示，平拋運動軌跡中某點的速度怎么表達？速度的反向延長線在x軸上的交點有什么特點？
(2)如圖所示，速度偏向角與位移偏向角之間的關系怎樣？
?[提示]
[提示]
(1)速度是矢量，從速度的分解來看，用速度偏轉角的正切值來表達速度方向比較方便。
平拋運動的兩個重要推論
1．推論一：做平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。
2．推論二：做平拋運動的物體在任一時刻任一位置處，設其速度、位移與水平方向的夾角分別為θ、α，則tan θ＝2tan α。
類型一：斜面上的平拋運動
典題1：(多選)跳臺滑雪是勇敢者的運動，它是利用山勢特點建造一個特殊跳臺。運動員在滑雪道上獲得一定速度后從跳臺飛出，在空中飛一段距離后著陸。如圖所示，運動員從跳臺A處沿水平方向以20 m/s的速度飛出，落在斜坡上的B處，斜坡與水平方向的夾角為37°，不考慮空氣阻力(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，下列說法正確的是( 　 )
A．運動員在空中飛行的時間為3 s
B．A、B間的距離為75 m
C．運動員到B處著陸時的速度大小為25 m/s
D．運動員在空中離坡面的最大距離為9 m
思維點撥：斜面上的平拋運動，其隱含條件是已知位移夾角，根據推論二可知其速度夾角。
?[規律方法]
[規律方法]
斜面上的平拋運動問題是一種常見的題型，在解答這類問題時除要運用平拋運動的位移和速度規律，還要充分運用斜面傾角，找出斜面傾角同位移和速度與水平方向夾角的關系，從而使問題得到順利解決。常見的模型如下：
跟蹤訓練1：一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，運動軌跡如圖中虛線所示。小球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過的距離之比為( 　 )
類型二：速度偏轉角和位移偏轉角
典題2：投壺是從先秦延續至清末的中國傳統禮儀和宴飲游戲，《禮記傳》中提到：“投壺，射之細也。宴飲有射以樂賓，以習容而講藝也。”如圖所示，甲、乙兩人沿水平方向各投出一支箭，箭尖插入壺中時與水平面的夾角分別為53°和37°；已知兩支箭質量相同，忽略空氣阻力、箭長、壺口大小等因素的影響，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
下列說法正確的是( 　 )
A．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，甲所投箭的初速度比乙的小
B．若兩人站在距壺相同水平距離處投壺，乙所投的箭在空中運動時間比甲的長
C．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲所射箭落入壺口時速度比乙大
D．若箭在豎直方向下落的高度相等，則甲投壺位置距壺的水平距離比乙大
思維點撥：這類平拋運動，其隱含條件是已知速度夾角，根據推論二可知其位移夾角，再根據其水平位移相同來分析。
?[規律方法]
[規律方法]平拋運動中若已知位移夾角或速度夾角基本求解思路
(1)給出末速度方向
①畫速度分解圖，確定速度與水平方向的夾角θ；
②根據水平方向和豎直方向的運動規律分析vx、vy；
跟蹤訓練2：飛鏢游戲是一種非常有趣味性的娛樂活動，如圖所示，某次飛鏢比賽，某選手在距地面某相同的高度，向豎直墻面發射飛鏢，每次飛鏢均水平射出，且發射點與墻壁距離相同，某兩次射出的飛鏢插入墻面時速度與水平方向夾角第一次為30°和第二次為60°，若不考慮所受的空氣阻力，則( 　 )
A．兩次末速度的反向延長線不一定交于
水平位移的中點
B．第一次出手速度比第二次小
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1. 如圖所示，從傾角為θ且足夠長的斜面的頂點A，先后將同一小球以不同的初速度水平向右拋出，第一次初速度為v1，小球落到斜面上前一瞬間的速度方向與斜面的夾角為φ1，第二次初速度為v2，小球落在斜面上前一瞬間的速度方向與斜面間的夾角為φ2，若v2>v1，則φ1和φ2的大小關系是( 　 )
A．φ1>φ2 B．φ1<φ2
C．φ1＝φ2 D．無法確定
解析：根據平拋運動的推論，做平拋(或類平拋)運動的物體在任一時刻或任一位置時，設其速度方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為β，則tan α＝2tan β，由上述關系式結合題圖中的幾何關系可得tan(φ＋θ)＝2tan θ，此式表明小球的速度方向與斜面間的夾角φ僅與θ有關，而與初速度無關，因此φ1＝φ2，即以不同初速度平拋的物體，落在斜面上各點的速度方向是互相平行的。故選C。
2. 如圖所示，從某高度水平拋出一小球，經過時間
t到達地面時，速度與水平方向的夾角為θ，不計空氣阻
力，重力加速度為g，下列說法正確的是( 　 )
3. 如圖所示，將一小球從坐標原點沿著水平軸Ox以v0＝2 m/s的速度拋出，經過一段時間到達P點，M為P點在Ox軸上的投影，作小球軌跡在P點的切線并反向延長，與Ox軸相交于Q點，已知QM＝3 m，則小球運動的時間為( 　 )
A．1 s B．1.5 s
C．2.5 s D．3 s
4．如圖所示，斜面上有a、b、c、d四個點，ab＝bc＝cd，從a點正上方O以速度v水平拋出一個小球，它落在斜面的b點；若小球從O以速度2v水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的( 　 )
A．b與c之間某一點 B．c點
C．d點 D．c與d之間某一點
解析：過b做一條與水平面平行的直線，若沒有斜面，當小球從O點以速度2v水平拋出時，小球落在水平面上時水平位移變為原來的2倍，則小球將落在我們所畫水平線上c點的正下方，但是現在有斜面的限制，小球將落在斜面上的b、c之間。故A正確，B、C、D錯誤。故選A。
5．如圖所示，一固定斜面傾角為θ，將小球A從斜面頂端以速率v0水平向右拋出，小球擊中了斜面上的P點；將小球B從空中某點以相同速率v0水平向左拋出，小球恰好垂直斜面擊中Q點。不計空氣阻力，重力加速度為g，小球A、B在空中運動的時間之比為( 　 )
A．2tan2θ∶1
B．tan2θ∶1
C．1∶2tan2θ
D．1∶tan2θ

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