資源簡介

第六章　3
課后知能作業
基礎鞏固練
1．轆轤是古代庭院汲水的重要機械。如圖，井架上裝有可用手柄搖轉的轆轤，轆轤上纏繞繩索，繩索一端系水桶，搖轉手柄，使水桶起落，提取井水。P是轆轤邊緣上的一質點，Q是手柄上的一質點，當手柄以恒定的角速度轉動時( 　 )
A．P的線速度大于Q的線速度
B．P的向心加速小于Q的向心加速度
C．轆轤對P的作用力大小和方向都不變
D．轆轤對P的作用力大小不變、方向變化
解析：P、Q兩質點同軸轉動，角速度相等，根據v＝ωr，由于P質點的半徑小于Q質點的半徑，則P的線速度小于Q的線速度，故A錯誤；根據a＝ω2r，結合上述可知，由于P質點的半徑小于Q質點的半徑，則P的向心加速度小于Q的向心加速度，故B正確；手柄以恒定的角速度轉動時，即質點均在做勻速圓周運動，P質點受到重力與轆轤對P的作用力，根據F合＝mω2r，可知，由于合力提供向心力，合力方向時刻變化，即P質點所受外力的合力大小不變、方向變化，重力大小與方向不變，根據力的合成法則，可知，轆轤對P的作用力大小與方向均發生變化，故C、D錯誤。故選B。
2．機械手表中有大量精密齒輪，齒輪轉動從而推動表針。某機械手表打開后蓋如圖甲所示，將其中兩個齒輪簡化，如圖乙所示。已知大、小齒輪的半徑之比為3∶2，Q、P分別是大、小齒輪邊緣上的點，則P、Q兩點的向心加速度大小之比為( 　 )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶3 D．3∶2
解析：Q、P分別是大、小齒輪邊緣上的點，兩者線速度相同，根據a＝，可知P、Q兩點的向心加速度大小之比為＝＝，故D正確，A、B、C錯誤。故選D。
3．如圖所示，水平圓盤A和B通過摩擦傳動正在勻速轉動，它們不發生相對滑動，物塊1和2分別相對靜止在圓盤A和B上，圓盤B的半徑是圓盤A的1.5倍，物塊2做圓周運動半徑是物塊1的2倍，則物塊1和物塊2的向心加速度之比為( 　 )
A．3∶2 B．9∶4
C．9∶8 D．4∶9
解析：由題意得RA∶RB＝2∶3，圓盤A和B邊緣上各點線速度相等，由ωARA＝ωBRB，解得ωA∶ωB＝3∶2，物塊1和2的半徑之比為r1∶r2＝1∶2，根據a＝ω2r，得物塊1和物塊2的向心加速度之比為a1∶a2＝ωr1∶ωr2＝9∶8，故選C。
4．如圖甲為某小區出入口采用的柵欄道閘。如圖乙所示，OP為柵欄道閘的轉動桿，PQ為豎桿。P為兩桿的交點，Q為豎桿上的點。在道閘抬起過程中，桿PQ始終保持豎直，當桿OP繞O點從與水平方向成30°勻速轉動到60°的過程中( 　 )
A．P點的線速度大于Q點的線速度
B．P點的角速度大于Q點的角速度
C．P點的加速度大于Q點的加速度
D．P、Q兩點的路程相等
解析：由于P、Q兩點在同一桿上，而且桿運動時始終保持豎直，所以在30°勻速轉動到60°的過程中，兩點都做半徑相同的勻速圓周運動，故兩點的線速度、角速度、加速度和路程都相等。故選D。
5. 如圖，豎直放置的正三角形框架，繞過框架頂點的豎直軸OO′勻速轉動，A、B為框架上的兩點，用aA、aB分別表示A、B兩點的向心加速度大小。則aA、aB的大小關系為( 　 )
A．aAB．aA＝aB
C．aA>aB
D．無法確定
解析：A、B兩點繞豎直軸轉動，具有相同的角速度，根據題意可知rA6. 如圖所示，運動員以速度v在傾角為θ的傾斜賽道上做勻速圓周運動。已知運動員及自行車的總質量為m，做圓周運動的半徑為R，重力加速度為g，將運動員和自行車看作一個整體，則( 　 )
A．受重力、支持力、摩擦力、向心力作用
B．受到的合力大小為F＝
C．若運動員加速，則一定沿傾斜賽道上滑
D．若運動員減速，則一定沿傾斜賽道下滑
解析：將運動員和自行車看作一個整體，受到重力、支持力、摩擦力作用，向心力是按照力的作用效果命名的力，不是物體受到的力，故A錯誤；運動員騎自行車在傾斜賽道上做勻速圓周運動，合力指向圓心，提供勻速圓周運動需要的向心力，所以F＝，故B正確；若運動員加速，有向上運動的趨勢，但不一定沿斜面上滑，故C錯誤；若運動員減速，有沿斜面向下運動的趨勢，但不一定沿斜面下滑，故D錯誤。故選B。
能力提升練
7. 某學校中開設了糕點制作的選修課，小明同學在體驗糕點制作“裱花”環節時，他在繞中心勻速轉動的圓盤上放了一塊直徑8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕上每隔4 s均勻“點”一次奶油，蛋糕一周均勻“點”上15個奶油，則下列說法正確的是( 　 )
A．圓盤轉動的周期約為56 s
B．圓盤轉動的角速度大小為 rad/s
C．蛋糕邊緣的奶油線速度大小約為 m/s
D．蛋糕邊緣的奶油向心加速度大小約為 m/s2
解析：蛋糕一周均勻“點”上15個奶油，共有15個奶油間隔，所以圓盤轉動的周期約為T＝15×4 s＝60 s，故A錯誤；圓盤轉動的角速度大小為ω＝，代入數據得ω＝ rad/s，故B正確；蛋糕邊緣的奶油線速度大小約為v＝ωR，代入數據得v＝ m/s，故C錯誤；蛋糕邊緣的奶油向心加速度大小約為a＝ω2R，代入數據得a＝ m/s2，故D錯誤。故選B。
8．工地上起吊重物的吊車如圖所示，在某次操作過程中，液壓桿伸長，吊臂繞固定轉軸O逆時針勻速轉動，吊臂上有M、N兩點，OM的長度與MN的長度之比為2∶3，下列關于M、N兩點的說法正確的是( 　 )
A．線速度之比為2∶3
B．角速度之比為2∶3
C．向心加速度之比為2∶5
D．周期之比為2∶5
解析：吊臂上M、N兩點是同軸轉動，轉動角速度相同，周期也相同，故B、D錯誤；根據公式v＝rω，可得M、N兩點線速度之比為vM∶vN＝OM∶ON＝2∶(2＋3)＝2∶5，故A錯誤；根據向心加速度公式a＝rω2，可得aM∶aN＝OM∶ON＝2∶(2＋3)＝2∶5，故C正確。故選C。
9．如圖是一種新概念自行車，它沒有鏈條，共有三個轉輪，A、B、C轉輪半徑依次減小。輪C與輪A嚙合在一起，騎行者踩踏板使輪C轉動，輪C驅動輪A轉動，從而使得整個自行車沿路面前行，輪胎不打滑。下列說法正確的是( 　 )
A．轉輪A、C轉動方向相同，轉輪A、B轉動方向不相同
B．轉輪A、B、C角速度之間的關系是ωA＜ωB＜ωC
C．轉輪A、B、C邊緣線速度之間的關系是vA＝vB＞vC
D．轉輪A、B、C邊緣向心加速度之間的關系是aA＞aB＞aC
解析：自行車前進時，三個輪子的轉動方向是相同的，故A錯誤；因為輪C與輪A嚙合在一起，所以輪C和輪A邊緣各點的線速度大小相等，又因為輪A和輪B都是與地面接觸，一起前進的，所以輪A和輪B邊緣的各點線速度大小相等，即vA＝vB＝vC，又由圖可知，三個輪的半徑關系為RA＞RB＞RC，根據ω＝可知，ωA＜ωB＜ωC，故B正確，C錯誤；據a＝可知aA＜aB＜aC，故D錯誤。故選B。
10．摩天輪是游樂園常見的娛樂設施，如圖所示，摩天輪懸掛的座艙與摩天輪一起在豎直平面內勻速轉動，座艙通過固定金屬桿OP連接在圓環的橫桿EF上，橫桿可自由轉動使得OP始終保持豎直方向。當桿EF勻速轉動到摩天輪最高點時，下列說法正確的是( 　 )
A．座艙的加速度為零
B．座艙上的M點與N點的角速度相等
C．座艙上的M點的線速度小于N的線速度
D．金屬桿上O點的線速度小于金屬桿上P點線速度
解析：座艙在做勻速圓周運動，座艙的加速度大小不為零，方向始終指向圓心，故A錯誤；座艙上的M點與N點都在繞摩天輪的中心軸轉動，角速度相等，故B正確；座艙上的M點與N點到摩天輪的中心軸的距離相等，由v＝ωr知座艙上的M點的線速度等于N的線速度，故C錯誤；金屬桿上O點到摩天輪的中心軸的距離大于P點到摩天輪的中心軸的距離。由v＝ωr知金屬桿上O點的線速度大于金屬桿上P點線速度，故D錯誤。故選B。
11．(多選)如圖所示為摩擦傳動裝置，A、B、C三個輪的半徑之比為1∶2∶3，B輪順時針轉動時，帶動A輪和C輪轉動。已知轉動過程中，輪邊緣間無打滑現象，下列判斷正確的是( 　 )
A．A輪和C輪均逆時針轉動
B．A、B、C三輪的角速度之比為6∶3∶2
C．A、B、C三輪邊緣線速度之比為1∶2∶3
D．A、B、C三輪邊緣某點向心加速度之比為1∶2∶1
解析：因為各輪之間是摩擦傳動，所以A、B的轉動方向相反，B、C的轉動方向相反，故A輪和C輪均逆時針轉動，故A正確；由于A、B、C之間是摩擦傳動，且不打滑，故線速度大小相等，由ω＝可得A、B、C三輪的角速度之比為6∶3∶2，A、B、C三輪邊緣的線速度之比為1∶1∶1，故B正確，C錯誤；由a＝可得，A、B、C三輪邊緣某點的向心加速度之比為6∶3∶2，故D錯誤。故選AB。
12．如圖所示，用內壁光滑的薄壁細圓管彎成的由半圓形AB(圓半徑比細管的內徑大得多)和直線BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知AB部分的半徑R＝1.0 m。彈射裝置將一個質量為0.1 kg的小球(可視為質點)以v0＝3 m/s的水平初速度從A點射入軌道、小球從C點離開軌道隨即水平拋出，桌子的高度h＝0.8 m，不計受氣阻力，g取10 m/s2，求：
(1)小球在半圓軌道上運動時的角速度ω、向心加速度a的大小；
(2)小球在空中做平拋運動的時間及落到地面D點與C點的距離。
答案：(1)3 rad/s　9 m/s2　(2)0.4 s　 m
解析：(1)小球在半圓軌道上做勻速圓周運動，則有v0＝ωR
代入數據得ω＝3 rad/s
a＝ω2R
代入數據得a＝9 m/s2。
(2)小球在空中做平拋運動，
豎直方向有h＝gt2，解得t＝0.4 s
落到地面D點與C點的水平距離s＝v0t
解得s＝1.2 m
D點與C點的距離為L＝
代入數據得L＝ m。
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第六章　圓周運動
3．向心加速度
核心素養 考試重點
物理觀念 建立向心加速度的方向和大小的推導方法微元法的物理觀念。 向心加速度的推導。
科學思維 培養學生思維能力和分析問題的能力，培養學生探究問題的熱情，樂于學習的品質。
科學探究 體驗向心加速度的導出過程，領會推導過程中用到的數學方法。
科學態度
與責任 科學態度與責任：通過向心加速度的方向及公式的學習，培養學生認識未知世界要有敢于猜想的勇氣和嚴謹的科學態度。
探究點 勻速圓周運動的加速度
●新知導學
情境：
探究：通過學習圓周運動和向心力知道：做勻速圓周運動的物體所受合力提供向心力，合力指向圓心，那么物體的加速度指向如何？行星繞太陽做勻速圓周運動，行星的加速度方向如何？摩天輪做勻速圓周運動，摩天輪的加速度方向如何？加速度的大小又該怎么計算呢？
?[提示]
[提示]
加速度的方向和合力的方向一致，其大小可以根據牛頓第二定律推導，或根據加速度定義式來證明。
●基礎梳理
一、向心加速度的定義
1．定義：任何做勻速圓周運動的物體的加速度都指向_______，這個加速度叫作向心加速度。
圓心
ω2r
圓心
垂直
二、向心加速度的方向及意義
1．物理意義
描述線速度改變的_______，只表示線速度的_______變化的快慢，不表示其_______變化的快慢。
2．方向
總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻改變。
快慢
方向
大小
三、向心加速度的公式和應用
1．公式
2．對向心加速度表達式的理解
向心加速度的幾種表達式
[判斷正誤]
(1)做勻速圓周運動的物體的加速度總指向圓心。( )
(2)勻速圓周運動是加速度不變的運動。( )
√
×
×
×
×
●重難解讀
向心加速度的注意要點
(1)向心加速度是矢量，方向總是指向圓心，始終與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。向心加速度的大小表示速度方向改變的快慢。
(2)向心加速度的公式適用于所有圓周運動的向心加速度的計算。包括非勻速圓周運動。但an與v具有瞬時對應性。
類型一：勻速圓周運動的加速度方向
典題1：下列關于圓周運動的說法中正確的是( 　 )
A．向心加速度的方向始終指向圓心
B．勻速圓周運動是勻變速曲線運動
C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的
D．在勻速圓周運動中，線速度和角速度是不變的
思維點撥：理解向心加速度的定義，清楚勻速圓周運動和非勻速圓周運動的不同處。
解析：向心加速度的方向始終指向圓心，選項A正確；勻速圓周運動的加速度方向是不斷變化的，加速度不是恒量，則不是勻變速曲線運動，選項B、C錯誤；在勻速圓周運動中，角速度是不變的，線速度的方向不斷變化，則線速度不斷變化，選項D錯誤。故選A。
?[規律方法]
[規律方法]
(1)圓周運動的性質
不論向心加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動的向心加速度時刻發生改變，圓周運動一定是非勻變速曲線運動。“勻速圓周運動中”的“勻速”應理解為“勻速率”。
(2)變速圓周運動的向心加速度
做變速圓周運動的物體，加速度一般情況下不指向圓心，該加速度有兩個分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢。所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心。
跟蹤訓練1：如圖所示，輕質細繩上端固定于天花板上，下端拴一小球。小球在水平面內做勻速圓周運動，圓心為O，細繩沿圓錐面旋轉，這樣就形成了圓錐擺。關于小球向心加速度的方向，下列說法正確的是( 　 )
A．沿繩向上　　　　　　　 B．指向圓心O
C．豎直向下 D．沿繩向下
解析：由題可知，小球所受重力和繩子拉力的合力提供向心力，方向指向圓心；向心加速度的方向與向心力方向相同，均指向圓心。故選B。
?[思考]
類型二：勻速圓周運動的加速度大小
典題2：如圖所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速旋轉，A、B為球體表面上兩點，下列說法正確的是( 　 )
A．A、B兩點具有相同的角速度
B．A、B兩點具有相同的線速度
C．A、B兩點的向心加速度的方向都指向球心
D．A、B兩點的向心加速度大小之比為2∶1
思維點撥：球體所有點的角速度都相同。
?[規律方法]
[規律方法]向心加速度的大小與半徑的關系
(1)當半徑一定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比。隨頻率的增大或周期的減小而增大。
(2)當角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比。
(3)當線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比。
(4)an與r的關系圖像：如圖所示，由an－r圖像可以看出，an與r成正比還是反比，要看是ω恒定還是v恒定。
跟蹤訓練2：如圖所示的皮帶傳動裝置中，甲輪的軸和乙、丙兩輪的軸均為水平軸，其中，甲、丙兩輪半徑相等，乙輪半徑是丙輪半徑的一半。A、B、C三點分別是甲、乙、丙三輪邊緣上的點，若傳動中皮帶不打滑，則( 　 )
A．A、B兩點的線速度大小之比為2∶1
B．B、C兩點的角速度之比為1∶2
C．A、B兩點的向心加速度大小之比為2∶1
D．A、C兩點的向心加速度大小之比為1∶4
類型三：向心加速度公式推展
典題3：(多選)如圖所示的皮帶傳動裝置中，輪A和B同軸，A、B、C分別是三個輪邊緣上的質點，且rA＝rC＝2rB，則下列說法正確的是( 　 )
A．轉速之比nB∶nC＝1∶2　　　　　　
B．周期之比TB∶TC＝1∶2
C．角速度之比ωB∶ωC＝1∶2
D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1
?[規律方法]
[規律方法]向心加速度公式的應用技巧
跟蹤訓練3：如圖所示，A、B是兩個摩擦傳動輪(不打滑)，兩輪半徑大小關系為RA＝3RB，則兩輪邊緣上的點( 　 )
A．角速度之比ωA∶ωB＝3∶1
B．周期之比TA∶TB＝1∶3
C．轉速之比nA∶nB＝1∶3
D．向心加速度之比aA∶aB＝3∶1
素養能力提升
拓展整合 啟智培優
向心加速度方向的推導
如圖甲所示，一物體沿著圓周運動，在A、B兩點的速度分別為vA、vB，可以分四步確定物體運動的加速度方向。
第一步，根據曲線運動的速度方向沿著切線方向，畫出物體經過A、B兩點時的速度方向，分別用vA、vB表示，如圖甲所示。
第二步，平移vA至B點，如圖乙所示。
第三步，根據矢量運算法則，作出物體由A點到B點的速度變化量Δv，其方向由vA的箭頭位置指向vB的箭頭位置，如圖丙所示。由于物體做勻速圓周運動，vA、vB的大小相等，所以Δv與vA、vB構成等腰三角形。
第四步，假設由A點到B點的時間極短，在勻速圓周運動的速度大小一定的情況下，A點到B點的距離將非常小，作出此時的Δv，如圖丁所示。
仔細觀察圖丁，可以發現，此時，Δv與vA、vB都幾乎垂直，因此Δv的方向幾乎沿著圓周的半徑，指向圓心。由于加速度a與Δv的方向是一致的，所以從運動學角度分析也可以發現：物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。
除去課本上的向心加速度推導外還有另一種向心加速度的大小推導：
如圖所示：

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