資源簡介

第七章　2
課后知能作業
基礎鞏固練
1．一顆人造衛星在地球引力作用下，繞地球做勻速圓周運動，已知地球的質量為M，地球的半徑為R，衛星的質量為m，衛星離地面高度為h，引力常量為G，則地球對衛星的萬有引力大小為( 　 )
A．G B．G
C．G D．G
解析：根據萬有引力定律，地球對衛星的萬有引力為F＝G＝G，故選A。
2．1665年，牛頓研究“是什么力量使得行星圍繞太陽運轉”的問題。若把質量為m的行星運動近似看作勻速圓周運動，運用開普勒第三定律T2＝，則可推得( 　 )
A．行星受太陽的引力為F＝k
B．行星受太陽的引力都相同
C．行星受太陽的引力F＝
D．質量越大的行星受太陽的引力一定越大
解析：行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽對行星的引力提供向心力，可得F＝mr，結合開普勒第三定律T2＝，可得F＝，故A錯誤，C正確；由F＝，可知引力F與距離r和行星的質量m有關，行星受太陽的引力不都相同，m越大，F不一定越大，則質量越大的行星受太陽的引力不一定越大，故B、D錯誤。故選C。
3．飛船運行到地球和月球間某處時，飛船所受地球、月球引力的合力恰好為零。已知地球與月球質量之比為k，則在該處時，飛船到地球中心的距離與到月球中心的距離之比為( 　 )
A．k2 B．k
C． D．
解析：設地球質量與月球質量分別為M1、M2，飛船到地球中心的距離與到月球中心的距離分別為r1、r2，飛船質量為m，飛船所受地球、月球引力平衡G＝G，解得＝＝，故選C。
4．如圖所示，兩球間的距離為r，兩球的質量分布均勻，質量大小分別為m1、m2，半徑大小分別為r1、r2，則兩球間的萬有引力大小為( 　 )
A．G B．G
C．G D．G
解析：兩球質量分布均勻，可認為質量集中于球心，由萬有引力公式可知兩球間的萬有引力大小為F＝G，故選D。
5．圖甲是未來空間站的構思圖。在空間站中設置個如圖乙繞中心軸旋轉的超大型圓管作為生活區，圓管的內、外管壁平面與轉軸的距離分別為R1、R2。當圓管以一定的角速度ω轉動時，在管中相對管靜止的人(可看作質點)便可以獲得類似在地球表面的“重力”，以此降低因長期處于失重狀態對身體健康造成的影響。已知地球質量為M，地球半徑為R，引力常量為G，地球自轉周期為T。當空間站在地球靜止同步軌道上運行時，管道轉動的角速度ω大小為( 　 )
A． B．
C． D．×
解析：人靠在外管壁上隨圓管一起做圓周運動，由題意可知G＝mω2R2，解得ω＝，故選B。
6．2018年10月15日12時23分，我國在西昌衛星發射中心用長征三號乙運載火箭以“一箭雙星”方式成功發射第三十九、四十顆北斗導航衛星。這兩顆衛星都屬于中圓軌道衛星，若已知這兩顆中圓軌道衛星繞地球運動的軌道半徑是地球繞太陽運動的軌道半徑的倍，地球的質量是太陽質量的倍，則在相等的時間內這兩顆中圓軌道衛星與地球的連線掃過的面積和地球與太陽的連線掃過的面積的比值是( 　 )
A． B．
C． D．
解析：衛星繞地球或地球繞太陽時，都是萬有引力提供向心力，則G＝m，所以v＝，扇形的面積公式S＝LR＝，聯立可得S＝，所以在相等的時間內這兩顆中圓軌道衛星與地球的連線掃過的面積和地球與太陽的連線掃過的面積的比值＝＝，故A正確，B、C、D錯誤。故選A。
能力提升練
7. 如圖所示，三顆質量均為m的地球同步衛星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，引力常量為G，設地球質量為M、半徑為R，下列說法不正確的是( 　 )
A．地球對任意一顆衛星的引力大小為
B．任意一顆衛星對地球的引力大小為
C．兩顆衛星之間的引力大小為
D．三顆衛星對地球引力的合力大小為零
解析：利用萬有引力公式計算，地心與衛星間的距離為r，則地球與任意一顆衛星間的引力大小為，A說法錯誤，B說法正確；由幾何知識可知兩顆衛星之間的距離為r，則兩顆衛星之間的引力大小為，C說法正確；三顆衛星對地球的引力大小相等，方向在同一平面內，相鄰兩顆衛星對地球的引力之間的夾角為120°，所以三顆衛星對地球引力的合力等于零，D說法正確。故選A。
8. 有一質量為M、半徑為R、質量分布均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質量為m的質點。現在球體與質點的連線上挖去半徑為R的小球體(與大球體表面相切)，如圖所示，引力常量為G，則剩余部分對質點的萬有引力大小為( 　 )
A．G B．G
C．G D．G
解析：挖去小球體前，勻質大球體與質點間的萬有引力為F1＝G＝；挖去的小球體的質量為M′＝M＝，被挖去部分原來對質點的引力為F2＝G＝，則剩余部分對質點的萬有引力大小為F＝F1－F2＝，故選A。
9. 地質勘探發現某地區表面的重力加速度發生了較大的變化，懷疑地下有空腔區域，進一步探測發現在地面P點的正下方有一球形空腔區域儲藏有天然氣，如圖所示，假設該地區巖石均勻分布且密度為ρ，天然氣的密度遠小于ρ，可忽略不計，如果沒有該空腔，地球表面正常的重力加速度大小為g；由于空腔的存在，現測得P點處的重力加速度大小為kg(k＜1)，已知引力常量為G，球形空腔的球心深度為d，則此球形空腔的體積是( 　 )
A． B．
C． D．
解析：如果將近地表的球形空腔填滿密度為ρ的巖石，則該地區重力加速度便回到正常值，因此，如果將空腔填滿，地面質量為m的物體的重力為mg，沒有填滿時是kmg，故空腔填滿后引起的引力為(1－k)mg，由萬有引力定律有(1－k)mg＝G，解得球形空腔的體積V＝，故選D。
10．如圖所示，兩個質量均為m的星體的連線的垂直平分線為MN，O為兩星體連線的中點，一物體從O沿OM方向運動，則它所受到的萬有引力大小F隨運動距離r變化的情況(不考慮其他星體的影響)大致正確的是圖中的( 　 )
解析：設物體質量為m′，由F＝，可知物體在連線的中點時所受的兩個萬有引力的合力為零，當物體運動到很遠很遠時兩個萬有引力的合力也為零(因為距離無窮大時萬有引力為零)，而物體在其他位置時所受的兩個萬有引力的合力不是零，所以物體從O沿OM方向運動時所受的萬有引力先增大后減小，且變化不均勻。故選B。
11. 已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。若地球是半徑為R、質量分布均勻的球體，假設一人掉進一個完全穿過地球中心的洞中，B點為地球中心。不考慮摩擦和旋轉效應，則下列說法正確的是( 　 )
A．人在A點速度最大
B．人在B點速度最大
C．人在C點速度最大
D．人在D點速度最大
解析：根據萬有引力的推論，在勻質的空腔內任意位置處，質點受到球殼的引力合力為零，即人往下運動的過程中，球殼越來越厚，對人有引力的中間球體部分越來越小。設人下落過程中離地心的距離為R，根據牛頓第二定律有ma＝G＝G＝Gρ，得加速度a＝，可知人在往地心掉落的過程中，中間球體部分的半徑R減小，加速度減小，在地心處加速度為零，速度最大。故選B。
12．已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的萬有引力為零，假設地球是質量分布均勻的球體，如圖若在地球內挖一球形內切空腔，有一小球自切點A自由釋放，則小球在球形空腔內將做( 　 )
A．自由落體運動
B．加速度越來越大的直線運動
C．勻加速直線運動
D．加速度越來越小的直線運動
解析：已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的萬有引力為零，那么在地球內挖一球形內切空腔后，小球在下落過程中在任意位置受力，都等于該點到地球球心形成的新球對小球的萬有引力減去該點到空腔球體球心形成新球的萬有引力；設地球密度為ρ，小球下落過程中任意點到空腔球心距離為R1，到地球中心距離為R2，當小球在空心球球心以上時，則兩球心的距離為r＝R2－R1，那么小球受到的合外力F＝G－G＝G－G＝πρG(R2－R1)m＝πρGrm，則小球的加速度為a＝πρGr，當小球在空心球球心以下時，則兩球心的距離為r＝R2＋R1，那么小球受到的合外力F＝G－＝G＋G＝πρG(R2＋R1)m＝πρGrm，則小球的加速度為a＝πρGr，所以小球向球心運動，加速度不變，即小球在球形空腔內做勻加速直線運動。故選C。
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第七章　萬有引力與宇宙航行
2．萬有引力定律
核心素養 考試重點
物理
觀念 構建任何物體都存在引力的物理觀念，能科學地描述萬有引力定律以及方向，形成相互作用觀念。 1．萬有引力定律的內容、推導及適用范圍。
2．引力常量的測量。
3．萬有引力的計算。
4．空殼內及地表下的萬有引力。
科學
思維 通過推導太陽與行星間的引力公式，體會邏輯推理在物理學中的重要性。
科學
探究 通過對萬有引力的學習讓學生會用物理知識來解釋生活中的問題，提高分析問題解決問題的能力。
科學態度與責任 通過牛頓在前人的基礎上發現萬有引力的思想過程，說明科學研究的長期性、連續性及艱巨性。
探究點1 行星與太陽間的引力
●新知導學
情境：行星繞太陽運動。
探究：行星繞太陽運動的原因？
?[提示]
[提示]
行星以太陽為圓心做勻速圓周運動，太陽對行星的引力提供了行星做勻速圓周運動的向心力。
類型：行星與太陽間的引力
典題1：(多選)關于太陽與行星間的引力，下列說法正確的是( 　 )
A．神圣和永恒的天體做勻速圓周運動無需原因，因為圓周運動是最完美的
B．行星繞太陽旋轉的向心力來自太陽對行星的引力
C．牛頓認為物體運動狀態發生改變的原因是受到力的作用，行星圍繞太陽運動，一定受到了力的作用
D．牛頓把地面上的動力學關系應用到天體間的相互作用，推導出了太陽與行星間的引力關系
思維點撥：利用行星近似圓周運動去推導出了太陽與行星間的引力關系。
解析：天體做勻速圓周運動時由中心天體的萬有引力充當向心力，故A錯誤；行星繞太陽旋轉的向心力是來自太陽對行星的萬有引力，故B正確；牛頓認為物體運動狀態發生改變的原因是受到力的作用，行星繞太陽運動時運動狀態不斷改變，一定受到了力的作用，故C正確；牛頓把地面上的動力學關系作了推廣應用到天體間的相互作用，推導出了太陽與行星間的引力關系，故D正確。故選BCD。
?[規律方法]
[規律方法]
將行星繞太陽的橢圓運動近似看成勻速圓周運動。在推導過程中，用到了向心力公式、開普勒第三定律及牛頓運動定律。
B．F和F′大小相等，是作用力與反作用力
C．F和F′大小相等，是同一個力
D．太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力
解析：由于力的作用是相互的，則F′和F大小相等、方向相反，是作用力與反作用力，太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力，故選BD。
探究點2 月—地檢驗
●新知導學
猜想：維持月球繞地球運動的力與使得蘋果下落的力是同一種力。
1．條件：已知月球與地球中心的距離r約為地球半徑R的60倍。
(2)結論：地球對蘋果、月球的吸引力是同一種力，遵從相同的規
律。
●重難解讀
在牛頓的時代，人們已經能夠比較精確地測定自由落體加速度，當時也能比較精確地測定月球與地球的距離、月球公轉的周期，從而能夠算出月球運動的向心加速度。計算結果與預期符合得很好。這表明，地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力，真的遵從相同的規律！牛頓深入思考了月球受到的引力與地面物體受到的引力的關系。正是在這個過程中，力與加速度的關系在牛頓的思想中明確起來了。
類型：月—地檢驗
典題2：“月—地檢驗”為萬有引力定律的發現提供了事實依據。已知地球半徑為R，地球中心與月球中心的距離r＝60R，下列說法正確的是( 　 )
A．卡文迪什為了檢驗萬有引力定律的正確性首次進行了“月—地檢驗”
B．“月—地檢驗”表明地面物體所受地球的引力與月球所受地球的引力是不同性質的力
C．月球由于受到地球對它的萬有引力而產生的加速度與月球繞地球做近似圓周運動的向心加速度相等
D．由萬有引力定律可知，月球繞地球做近似圓周運動的向心加速
?[規律方法]
[規律方法]月—地間的引力特點
(1)月—地間的引力大小與三個因素有關：地球質量、月球質量、月—地間的距離。月—地間引力的方向沿著二者的連線方向。
(2)月—地間的引力是相互的，遵守牛頓第三定律。
?[思考]
[思考]已知自由落體加速度g為9.8 m/s2，月球中
心距離地球中心的距離為3.8×108 m，月球公轉周期
為27.3 d，約2.36×106 s。根據這些數據，能否驗證
前面的假設？
探究點3 萬有引力定律
●新知導學
情境：如下圖。
探究：(1)是什么原因使行星繞太陽運動？
(2)在推導太陽與行星間的引力時，我們對行星的運動是怎么簡化處理的？用了哪些知識？
?[提示]
[提示]
(1)太陽對行星的引力使行星繞太陽運動。
(2)將行星繞太陽的橢圓運動看成勻速圓周運動。在推導過程中，用到了向心力公式、勻速圓周運動中線速度和周期的關系、開普勒第三定律及牛頓運動定律。
●基礎梳理
萬有引力定律
1．內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的_________成反比。

2．公式：F＝___________。
(1)物理意義：數值上等于兩個質量都是1 kg的物體相距1 m時的相互_______的大小。
二次方
引力
(2)適用條件：嚴格地說，公式只適用于_______間的相互作用。當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點，_____________可視為質點，其中r是兩球心間的距離。一個均勻球體與球外一個質點間的萬有引力也適用，其中r為_______到質點間的距離。
質點
均勻的球體
球心
[判斷正誤]
(1)在推導太陽與行星的引力公式時，用到了牛頓第二定律和牛頓第三定律。( )
(2)萬有引力不僅存在于天體之間，也存在于普通物體之間。( )
(3)質量一定的兩個物體，若距離無限小，它們之間的萬有引力趨于無限大。( )
(4)由于太陽質量大，太陽對行星的引力大于行星對太陽的引力。( )
提示：太陽對行星的引力與行星對太陽的引力大小相等。
√
√
×
×
●重難解讀
對萬有引力定律的理解
宏觀性 質量巨大的星球間或天體與附近的物體間，它的存在才有宏觀的物理意義。在微觀世界中，由于粒子的質量都非常小，萬有引力可以忽略不計
普適性 萬有引力是普遍存在的，宇宙中任何兩個有質量的物體間的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一
相互性 兩個物體相互作用的引力是一對作用力和反作用力，它們大小相等，方向相反，分別作用在兩個物體上
類型：萬有引力定律理解
A．萬有引力只存在于質量很大的兩個物體之間
B．根據公式知，r趨近于0時，F趨近于無窮大
C．自然界中任意兩個物體之間都存在萬有引力
D．相距較遠的兩物體質量均增大為原來的2倍，他們之間的萬有引力也會增加到原來的2倍
思維點撥：公式只適用于質點間的相互作用，只要是實際物體其球心距離不可能為零。
?[規律方法]
[規律方法]萬有引力定律的得出過程
跟蹤訓練3：如圖所示，兩質量均勻分布的小球半徑分別為R1、R2，相距R，質量為m1、m2，則兩球間的萬有引力大小為(引力常量為G)( 　 )
探究點4 引力常量
●新知導學
情境：假若你與同桌的質量分別為60 kg、50 kg，相距0.5 m。一粒芝麻的質量大約是0.004 g。
探究：(1)你與同桌間的萬有引力約為多少？求解時需要知道G，G是怎么知道的呢？(已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
(2)芝麻粒重力約為你和同桌之間引力的多少倍？為什么萬有引力沒把你和同桌吸到一起？
(3)平時在對某物體受力分析時需要分析該物體受到的萬有引力嗎？
?[提示]
(2)芝麻粒的重力約為4.0×10－5 N，約為你和同桌之間引力的50倍。這時的引力很小，遠小于人和地面間的最大靜摩擦力，所以不會吸引到一起。
(3)由(1)(2)知，平常兩個物體間的萬有引力非常小，故在進行受力分析時，一般不考慮兩物體的萬有引力，除非是物體與天體、天體與天體間的相互作用。
●基礎梳理
1．牛頓得出了萬有引力與物體質量及它們之間距離的關系，但沒有測出引力常量G。
2．英國物理學家___________通過實驗推算出引力常量G的值，通常情況下取G＝________________________。
卡文迪什
6.67×10－11 N·m2/kg2
●重難解讀
1．1798年，英國物理學家卡文迪什用“扭秤實驗”(如圖所示)比較準確地測出了G的數值。
2．(1)通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
(2)測定G值的意義：①證明了萬有引力的存在；②使萬有引力定律有了真正的實用價值。
類型：對引力常量理解
典題4：如圖所示，是卡文迪什測量萬有引力常數的實驗示意圖，根據胡克定律及轉動理論可知，兩平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡桿的水平力F與石英絲N發生扭轉的角度Δθ成正比，即F＝kΔθ，k的單位為N/rad，Δθ可以通過固定在T形架上平面鏡M的反射點在弧形刻度尺上移動的弧長求出來，弧形刻度尺的圓心正是光線在平面鏡上的入射點，半徑為R。已知兩平衡球質量均為m，兩施力小球的質量均為m′，與對應平衡球的距離均為r，施加給平衡球的力水平垂直平衡桿，反射光線在弧形刻度尺上移動的弧長為Δl，則測得萬有引力常數為(平面鏡M扭轉角度為Δθ時，反射光線扭轉角度為2Δθ)( 　 )
?[規律方法]
[規律方法]
(2)任何物體間的萬有引力都是同種性質的力。
(3)任何有質量的物體間都存在萬有引力，一般情況下，質量較小的物體之間萬有引力忽略不計，只考慮天體間或天體對放入其中的物體的萬有引力。
跟蹤訓練4：(多選)海邊會發生潮汐現象，潮來時，水面升高；潮退時，水面降低。有人認為這是由于太陽對海水的引力變化以及月球對海水的引力變化所造成的。中午，太陽對海水的引力方向指向海平面上方；半夜，太陽對海水的引力方向指向海平面下方；拂曉和黃昏，太陽對海水的引力方向跟海平面平行。月球對海水的引力方向的變化也有類似情況。太陽、月球對某一區域海水引力的周期性變化，就引起了潮汐現象。已知地球質量為M，半徑為R。太陽質量約為地球質量的3×105倍，太陽與地球的距離約為地球半徑的2×104倍，地球質量約為月球質量的80倍，月球與地球的距離約為地球半徑的60倍。對于地球上同一片質量為m的海水來說，下列說法正確的是( 　 )
C．我國農歷中的“朔”是指太陽、月球和地球共線、且月球位于太陽和地球之間的月相，此時，海邊容易形成大潮
D．對于同一片海水而言，地球、月球、太陽對它的引力的矢量和可能為零
探究點5 空殼內及地表下的萬有引力
探究：大球體的剩余部分對該質點的萬有引力大小。(已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零)
(1)如何將不適合萬有引力公式的計算轉化為適合萬有引力公式的計算？
(2)如何求出完整的大球體對該質點的萬有引力？
?[提示]
[提示]
(1)利用“填補法”，將挖去的部分再填上，轉化為適用萬有引力公式。
類型：空殼內及地表下的萬有引力
典題5：已知質量分布均勻的球殼對內部物體產生的萬有引力為0。對于某質量分布均勻的星球，在距離星球表面不同高度或不同深度處重力加速度大小是不同的，若用x表示某位置到該星球球心的距離，用g表示該位置處的重力加速度大小，忽略星球自轉，下列關于g與x的關系圖像可能正確的是( 　 )
思維點撥：找出x≤R和x>R物體受萬有引力的關系式。
?[規律方法]
[規律方法]“填補法”在萬有引力計算中的應用
(1)找到原來物體所受的萬有引力、割去部分所受的萬有引力、剩余部分所受的萬有引力之間的關系。
(2)所割去的部分為規則球體，剩余部分不再為球體時適合應用“填補法”。若所割去部分不是規則球體，則不適合應用“填補法”。
跟蹤訓練5：(多選)一個質量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內部挖去一個半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如右圖所示。已知挖去小球的質量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d＝6r處有一質量為m2的質點，若被挖去的小球挖去前對m2的萬有引力為F1，剩余部分對m2的萬有引力為F2，則( 　 )
素養能力提升
拓展整合 啟智培優
萬有引力的“兩點理解”和“兩個推論”
1．兩點理解
(1)兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力。
(2)地球上的物體(兩極除外)受到的重力只是萬有引力的一個分力。
2．星體內部萬有引力的兩個推論
(1)推論1：在勻質球殼的空腔內任意位置處，質點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。
課堂效果反饋
內化知識 對點驗收
1．關于卡文迪什及其扭秤裝置，下列說法中錯誤的是( 　 )
A．幫助牛頓發現萬有引力定律
B．首次測出萬有引力常量的數值
C．被譽為“第一個稱出地球質量的人”
D．使萬有引力定律有了實用價值
解析：牛頓提出了萬有引力定律，卡文迪什利用扭秤裝置比較準確地測出了引力常量，被譽為“第一個稱出地球質量的人”，也使萬有引力定律有了實用價值。本題選擇不正確的，故選A。
A．公式中的G是引力常量，是人為規定的
B．太陽與行星間的引力是一對平衡力
C．公式中的G是比例系數，與太陽、行星都沒有關系
D．公式中的G是比例系數，與太陽的質量有關
3．如圖所示，A、B為不同軌道地球衛星，軌道半徑rA＝rB，質量mA>mB，A、B運行周期分別為TA和TB，受到地球萬有引力大小分別為FA和FB，下列關系正確的是( 　 )
A．FA>FB B．FAC．TA>TB D．TA4．如圖所示，點L1和點L2稱為地月連線上的拉格朗日點。在拉格朗日點處的物體在地球與月球的共同作用下，可與月球同步繞地球轉動。中國探月工程中的“鵲橋號”中繼衛星是世界上首顆運行于地月拉格朗日點L2的通信衛星，已知地球質量是月球質量的81倍，地月球心距離約為L2點與月球球心距離的6倍，則地球對“鵲橋號”中繼衛星的引力與月球對“鵲橋號”中繼衛星的引力大小之比約為( 　 )

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